matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

Transkripsi

1 K-13 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum persamaan kuadrat.. Menguasai berbagai metode untuk menentukan akar persamaan kuadrat. 3. Memahami sifat-sifat akar persamaan kuadrat. 4. Membuat serta menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT Persamaan kuadrat merupakan persamaan yang pangkat tertinggi variabelnya adalah. Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x adalah sebagai berikut. ax + bx + c = 0, dengan a, b, c R dan a 0 Dalam persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x, dan c adalah konstanta. Contoh-contoh persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. 1. 3x + 6x 5 = 0, dengan a = 3, b = 6, dan c = 5.. t 6t = 0, dengan a = 1, b = 6, dan c = x 10 = 0, dengan a = 9, b = 0, dan c = x = 0, dengan a =, b = 0, dan c = 0. 1

2 Contoh Soal 1 Ubahlah persamaan berikut menjadi bentuk umum persamaan kuadrat! 1. x(x 3) = 0. (x + )(x 1) = 0 3. x(x ) = p +1 = p 1, p 1, p 0 p p Persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum ax + bx + c = 0. Dengan demikian, diperoleh: 1. x(x 3) = 0 x 3x = 0 Jadi, bentuk umum persamaan kuadrat dari x(x 3) = 0 adalah x 3x = 0.. (x + )(x 1) = 0 x x + x = 0 x + x = 0 Jadi, bentuk umum persamaan kuadrat dari (x + )(x 1) = 0 adalah x + x = x(x ) = 7 x 4x = 7 (x 4x) 7 = 7 7 (kedua ruas dikurangi 7) x 4x 7 = 0 Jadi, bentuk umum persamaan kuadrat dari x(x ) = 7 adalah x 4x 7 = p +1 = p 1 p p ( +1) 3 p +1 = ( +1) p 1 p p p p (keduaruas dikal i pp ( +1)) p p 3p p = p 1 p p+1=0 Jadi, bentuk umum persamaan kuadrat dari 3 p +1 = p 1 adalah p p + 1 = 0 p p 3p

3 Contoh Soal Perhatikan gambar berikut! x + 4 x 3 Luas dari persegipanjang tersebut adalah 30 satuan luas. Bentuklah persamaan kuadrat dari informasi tersebut! Diketahui: p = x 3 l = x + 4 L = 30 satuan luas Luas persegipanjang dirumuskan dengan L = p l. Dengan demikian, diperoleh: L =30 p l =30 ( x 3 )( x +4 ) =30 x +8x 3x 1=30 x +8x 3x 1 ( ) 30 = (kedua ruas dikurangi 30) x +5x 4=0 Jadi, bentuk persamaan kuadrat dari informasi dalam soal adalah x + 5x 4 = 0. B. AKAR PERSAMAAN KUADRAT Akar atau solusi persamaan kuadrat adalah nilai-nilai pengganti variabel yang memenuhi persamaan kuadrat. Sebagai contoh, 5 adalah akar dari persamaan kuadrat x 6x + 5 = 0, karena: x 6 x +5=0 ( ) = =0 5+5=0 0=0 (pernyataan benar) 3

4 1 bukan akar dari persamaan kuadrat x x + 3 = 0, karena: x x +3=0 () 1 1+3=0 1 +3=0 1+ 3=0 = 0 (pernyataan salah) Contoh Soal 3 Jika 6 adalah akar dari persamaan kuadrat x (b + 1)x 1 = 0, maka tentukan nilai dari b! Oleh karena 6 adalah akar persamaan kuadrat x (b + 1)x 1 = 0 maka: ( ) x b+1 x 1 =0 ( ) ( )( ) 6 b =0 36 6b 6 1 = b = 0 ( 18 6b) 18 =0 18 (kedua ruas dikurangi 18) 6 b = 18 b 66 = 18 6 b =3 Jadi, nilai dari b adalah 3. (kedua ruas dibagi 6) C. METODE FAKTORISASI Bentuk faktor dari suatu persamaan merupakan bentuk persamaan yang dinyatakan dalam operasi perkalian. Faktorisasi dari suatu persamaan merupakan proses mengubah suatu persamaan menjadi perkalian faktor-faktornya. Dengan demikian, faktorisasi persamaan kuadrat dapat diartikan sebagai proses mengubah ruas kiri persamaan kuadrat menjadi perkalian faktor-faktornya. Tujuan dari faktorisasi ini adalah untuk menentukan akar persamaan kuadrat dengan prinsip berikut. Jika A dan B dua bilangan real, maka A.B = 0 jika dan hanya jika A = 0 atau B = 0 4

5 Perhatikan skema faktorisasi persamaan kuadrat berikut ini! Untuk a = 1: pq = c x + bx + c =0 p+ q = b x1 = p ( x + p)( x + q)=0 x = q Untuk a 1 pq = ac ax + bx + c =0 p+ q = b p x1 = ( ax + p)( ax + q) a =0 a q x = a Super "Solusi Quipper" Akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 dengan a 1 dapat ditentukan dengan cara berikut. 1. Pindahkan a ke bagian konstanta dengan operasi perkalian, sehingga persamaannya menjadi x + bx + ac = 0.. Faktorkan seperti biasa, kemudian tentukan akarnya. 3. Akar persamaan adalah akar yang didapat pada langkah kedua dibagi nilai a yang dipindahkan sebelumnya. Contoh Soal 4 Carilah akar dari persamaan kuadrat berikut! 1. x 6x + 5 = 0. y(y 3) 10 = 0 3. p 3p = 0 4. (3m 3)(m + ) = 1 1. pq =5 x 6 x +5=0 p+ q = 6 5

6 Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = 5 dan q = 1. Dengan demikian, bentuk faktor dan akarnya adalah sebagai berikut. x 5=0 x1 =5 ( x 5)( x 1) =0 x 1= 0 x =1 Jadi, akar-akar dari x 6x + 5 = 0 adalah 1 atau 5.. Ubah dahulu bentuk persamaan ke bentuk umum persamaan kuadrat. y(y 3) 10 = 0 y 3y 10 = 0 Dengan metode faktorisasi, diperoleh: y pq = 10 3y 10=0 p+ q = 3 Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = 5 dan q =. Dengan demikian, bentuk faktor dan akarnya adalah sebagai berikut. y 5=0 y1 =5 ( y 5)( y +)=0 y +=0 y = Jadi, akar -akar daripersamaan kuadrat tersebut adalah atau 5. = 4 3. pq p 3p =0 ac a b c p+ q = 3 Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = 4 dan q = 1. Dengan demikian, bentuk faktor dan akarnya adalah sebagai berikut. (p 4)(p+ 1) = 0 p = 0 p1 = ( p )( p+ 1) = 0 1 p+ 1= 0 p = 1 Jadi, akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah atau. 6

7 Super "Solusi Quipper" Akar-akar dari p 3p = 0 dapat ditentukan dengan cara berikut. 1. p 3p () = 0 p 3p 4 = 0. (p 4)(p + 1) = 0 p = 4 atau p = 1 3. Akar-akarnya: p = 4 p =atau = 1 = Ubah dahulu persamaan ke bentuk umum persamaan kuadrat. ( 3m 3 )( m+ ) =1 3 m +3m 6= m +3m 18 = m + m 6=0 Dengan metode faktorisasi, diperoleh: m pq = 6 + m 6=0 p+ q =1 Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = 3 dan q =. Dengan demikian, bentuk faktor dan akarnya adalah sebagai berikut. m+3=0 m1 = 3 ( m+3)( m )=0 m =0 m = Jadi, akar -akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah 3 atau. Metode faktorisasi tidak selalu dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan kuadrat. Berikut ini adalah contoh persamaan-persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan. 1. x 3x = 0. x x + = x + x 1 = 0 7

8 D. METODE KUADRAT SEMPURNA Persamaan berbentuk kuadrat sempurna adalah persamaan yang berbentuk (x ± a) = h. Bentuk kuadrat sempurna lebih mudah diselesaikan tanpa melalui proses yang panjang. Sebagai contoh, bentuk kuadrat sempurna x = 9 yang dapat diselesaikan dengan cara berikut. x = 9 x = 9 x = ± 3 Begitu juga dengan bentuk persamaan (x ) = 9 yang dapat diselesaikan dengan cara berikut. x = ± 9 x = ± 3 x =± 3 Metode kuadrat sempurna dapat digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat yang tidak bisa diselesaikan dengan metode faktorisasi. Langkah-langkah mencari akar dengan metode ini adalah sebagai berikut. 1. Ubahlah bentuk persamaan kuadrat menjadi x ± px + q = 0, dengan p > 0 dan koefisien adalah satu.. Hilangkan konstanta di ruas kiri dengan proses penambahan atau pengurangan. 3. Tambahkan kedua ruas dengan bentuk berikut. p, kemudian sederhanakan hingga menjadi x p ± px + = h ( x ± p) = h 4. Selesaikan persamaan (x ± p) = h dengan cara berikut. ( x± p) = h x± p=± h x = mp± h 8

9 Contoh Soal 5 Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan metode kuadrat sempurna! 1. x x 1 = 0. x + 4x 3 = 0 1. x x 1 = 0 x x = 1 x x + =1+ x x +1= ( x 1 ) = x 1= ± x =1± Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah 1+ atau 1.. x + 4x 3 = 0 x 3 +x =0 x + x = 3 x + x + = x + x +1= ( +1) = 5 x x +1= ± 5 x = 1± 1 10 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah atau

10 E. RUMUS KUADRATIS (RUMUS abc) Dari metode kuadrat sempurna, dapat dikembangkan sebuah rumus praktis yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus tersebut selanjutnya dinamakan dengan rumus kuadratis atau rumus abc atau rumus Al-Khwarizmi (karena ditemukan oleh salah seorang ulama islam yaitu Abu Musa Al-Khwarizmi). Rumus kuadratis atau rumus abc dapat dinyatakan sebagai berikut. x 1, b± = a D, dengan D= b 4 ac (diskriminan) Contoh Soal 6 Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut dengan rumus kuadratis! 1. x 6x = 0. 4x 7x + 1 = 0 1. Dari x 6x = 0, diketahui a = 1, b = 6, dan c =. Dengan menggunakan rumus kuadratis, diperoleh: ( 6) ± ( 6) 4(1)( ) x1, = (1) x1, = 6 ± 44 x1, = 6 ± 11 x = 3± 11 1, Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah atau Dari 4x 7x + 1 = 0, diketahui a = 4, b = 7, dan c = 1. Dengan menggunakan rumus kuadratis, diperoleh: x 1, x ( 7) ± ( 7) 4(4)(1) = (4) 1, = 7 ± 33 8 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah atau

11 F. DISKRIMINAN DAN SIFAT AKAR PERSAMAAN KUADRAT Nilai diskriminan dapat digunakan untuk menentukan sifat-sifat akar persamaan kuadrat dengan ketentuan berikut. 1. Jika D 0 maka akar-akarnya real.. Jika D > 0 maka akar-akarnya real berbeda. 3. Jika D = 0 maka akar-akarnya real kembar. 4. Jika D = 1, 4, 9, 16,..., k dengan k bilangan asli maka akar-akarnya real berbeda dan rasional. 5. Jika D 1, 4, 9, 16,..., k dengan k bilangan asli maka akar-akarnya real berbeda dan irrasional. 6. Jika D < 0 maka akar-akarnya tidak real atau imajiner. Contoh Soal 7 Tentukan sifat-sifat akar persamaan kuadrat berikut berdasarkan nilai diskriminannya! 1. x x 7 = 0. x + 4x + 4 = 0 3. x 9x 5 = 0 4. x + 4x + 5 = 0 1. Dari x x 7 = 0, diketahui a = 1, b =, dan c = 7. Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut: D = b 4ac = ( ) 4.1.( 7) = 3 Oleh karena D = 3 > 0 dan bukan merupakan hasil pangkat dua bilangan asli, maka x x 7 = 0 memiliki akar real berbeda dan irasional.. Dari x + 4x + 4 = 0, diketahui a = 1, b = 4, dan c = 4. Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut: D = b 4ac = = = 0 Oleh karena D = 0 maka x + 4x + 4 = 0 memiliki dua akar real dan kembar. 11

12 3. Dari x 9x 5 = 0, diketahui a =, b = 9, dan c = 5. Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut: D = b 4ac = ( 9) 4..( 5) = = 11 Oleh karena D = 11 > 0 dan bisa dinyatakan dengan 11, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar real berbeda dan rasional. 4. Dari x + 4x + 5 = 0, diketahui a = 1, b = 4, dan c = 5. Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut: D = b 4ac = (4) = 4 Oleh karena D = 4 < 0, maka x + 4x + 5 = 0 memiliki akar tidak real atau imajiner. G. APLIKASI PERSAMAAN KUADRAT Penyelesaian soal aplikasi persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan membuat dahulu model matematika dari soal, kemudian menyelesaikannya dengan salah satu metode penentuan akar persamaan kuadrat. Perhatikan contoh berikut! Contoh Soal 8 Suatu persegipanjang memiliki luas 4 cm dan keliling cm. Tentukan ukuran panjang dan lebar dari persegipanjang tersebut! Misal: panjang = p dan lebar = l. Oleh karena luas persegipanjang 4 cm, maka: pl = 4...(1) Oleh karena keliling persegipanjang cm, maka: (p + l) = p + l = 11 l = 11 p...() Substitusi persamaan () ke persamaan (1) sehingga diperoleh: 1

13 pl =4 p(11 p)=4 11 p p =4 p +11p 4=0 p 11 p+4=0 ( p 8)( p 3) =0 p =8 atau p =3 Untuk p = 8, maka l = 11 8 = 3 cm. Untuk p = 3, maka l = 11 3 = 8 cm. Jadi, ukuran panjang dan lebar dari persegipanjang tersebut adalah p = 8 cm dan l = 3 cm atau p = 3 cm dan l = 8 cm. Contoh Soal 9 Sebuah bola dilempar ke atas dan membentuk lintasan parabola. Jika tinggi bola dari permukaan tanah dinyatakan dengan ht ()= 1 t + 3 t 4 +4 meter, dengan t dalam detik dan t 0, maka pada detik ke berapakah bola jatuh ke tanah? Saat bola jatuh ke tanah, berarti ketinggian bola 0 meter dari tanah. Dengan demikian, diperoleh: ht ()= t t 4 +4=0 t +6 t +16=0 t 6t 16=0 ( t 8)( t +)=0 t =8 atau t = (tidak mungkin, t harus positif) Jadi, bola jatuh ke tanah pada detik ke-8. 13