BILANGAN MODUL PERKULIAHAN

Transkripsi

1 MODUL PERKULIAHAN BILANGAN Sistem bilangan real Operasi pada bilangan bulat Operasi pada bilangan pecahan Sifat-sifat bilangan berpangkat Operasi bilangan berpangkat Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer Sistem Informasi Tim Dosen Abstract Kompetensi Dalam matematika bilangan merupakan konsep awal (primitive concept), yakni unsur yang bersifat Mahasiswa mampu memahami operasi- 0perasi yang berkaitan dengan bilangan bulat, pecahan dan bilangan berpangkat 1

2 mendasar, sering dipakai tetapi tidak pernah dapat didefinisikan secara tepat. BILANGAN 1. Sistem bilangan real Bilangan real merupakan gabungan dari bilangan rasional dengan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a b, dimana a dan b bulat sedangkan b 0. Dengan demikian bilangan rasional dapat berupa bilangan bulat, bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a, dimana a,b bulat dan b b 0, a kb untuk setiap bilangan k. Pada bilangan bentuk a b a disebut pembilang dan b disebut penyebut. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatkan dalam bentuk a, b dengan a,b bulat dan b 0, misal, log 3, π, bilangan e dan bentuk-bentuk akar. Pada sistem bilangan real, hasil operasi penjumlahan dan perkalian bilangan selalu bilangan real. Hal seperti ini dikatakan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan real bersifat tertutup. Beberapa aksioma yang memberikan sifat-sifat tentang operasi penjumlahan dan perkalian di R, yaitu : Jika a, b, c ε R berlaku : a. Tertutup maka terdapat satu dan hanya satu bilangan real yang dinyatakan dengan a + b dan ab. b. Komutatif a + b = b + a dan ab = ba c. Assosiatif a + ( b + c ) = ( a + b ) + c dan a ( bc ) = ( ab ) c d. Distributif a ( b + c ) = ab +ac e. Unsur Indentitas

3 Ada dua bilangan real 0 dan 1 sedemikian sehingga a + 0 = a dan a.1 = a f. Invers Penjumlahan Untuk setiap bilangan real a, ada suatu bilangan real yang dinamakan negatif dari a, dinyatakan dengan a ( dibaca negatif dari a ) sehingga a + ( -a ) = 0 g. Invers Perkalian Untuk setiap bilangan real a 0, terdapat bilangan b sedemikian hingga a.b = 1. Operasi pada bilangan bulat Dalam Matematika operasi yang dimaksud adalah operasi hitung. Pada dasarnya operasi hitung mencakup empat pengerjaan dasar, yaitu : penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Dari ke empat operasi ini yang merupakan operasi pokok yaitu penjumlahan. Pengurangan merupakan lawan penjumlahan (penambahan). Perkalian merupakan penambahan berulang. Sedangkan pembagian merupakan pengurangan berulang. Hirarki pengerjaannya dalam operasi hitung yang pertama tanda kurung, kemudian perpangkatan, lalu perkalian dan pembagian ( sama kuat, yang ditulis disebelah kiri didahulukan ) dan terakhir adalah penjumlahan dan pengurangan. 3. Operasi pada bilangan pecahan a) Penjumlahan dan Pengurangan Untuk melakukan penjumlahan atau pengurangan bentuk pecahan, maka nyatakan dulu pecahan-pecahan itu mempunyai penyebutnya sama, dengan cara mencari dahulu KPK-nya. Setelah penyebutnya sama baru dapat dilakukan penjumlahan atau pengurangan pada pembilangnya. Contoh : /3+1/4+5/6 = KPK 3,4,6 = 1 /3+1/4+5/6 = 8/1+3/1+10/1= 1/1 b) Perkalian dan Pembagian Untuk mengalikan dua pecahan atau lebih maka kalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dikalikan dengan penyebut. a x c x e = abc b d f bdf 3 Untuk membagai satu pecahan dengan pecahan lainnya, maka dengan cara kalikan pecahan yang satu dengan kebalikan pecahan pengalinya.

4 a : c = a b d b x d c c) Konversi Pecahan Suatu bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk bentuk tertentu. Seperti untuk menyatakan tingkat inflasi ekonomi suatu negara digunakan persen (%), untuk ketelitian dalam perhitungan digunakan bentuk desimal, atau untuk menyatakan perbandingan dua buah objek digunakan pecahan. 1. Persen Untuk mengubah bentuk pecahan biasa ke bentuk persen dapat dilakukan dengan cara yaitu: mengubah pecahan itu menjadi pecahan yang senilai dengan berpenyebut 100 atau dengan cara mengalikan pecahan itu dengan 100 %. Dengan demikian setiap bilangan pecahan dapat dirubah ke bentuk persen dan sebaliknya. Contoh : ¼ = ¼ x 100% = 5%. Desimal Mengubah bentuk pecahan menjadi bentuk desimal dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang oleh penyebutnya atau dengan cara mengubah penyebutnya menjadi bilangan 10. Contoh : 3/4 = 3/4 *5/5 = 75/100 =0.75 Contoh : Jika emas 0 karat berarti emas tersebut mengandung 0/4 emas murni dan 4/4 campuran logam lain. Tentukan berat emas murni yang terkandung dalam 30 gram emas 0 karat. Jawab : Berat emas murni dalam 30 gram emas 0 karat = 0/4 * 30 gram = 5 gram. d) Perbandingan Perbandingan adalah mencari nilai perbandingan antara ukuran dari dua objek. Perbandingan dua objek dapat berupa perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai. 4

5 1. Perbandingan senilai Apabila terdapat korespodensi satu-satu antara dua obyek dengan sifat bahwa nilai perbandingan dua elemen di obyek pertama sama dengan nilai perbandingan dua elemen yang bersesuaian di obyek kedua maka kedua obyek itu disebut berbanding senilai. Perbandingan senilai digunakan juga dalam membuat skala pada peta atau membuat model. Grafik dari perbandingan senilai berupa garis lurus Misalnya : Suatu kendaraan dengan kecepatan 60 km/jam. Jarak tempuh kendaraan setelah sekian jam berjalan: Perbandingan senilai Jam Jarak Tempuh Grafik Misal : Skala pada peta adalah 1 : Jika jarak dua kota pada peta adalah 7,5 cm, maka jarak sebenarnya = x 7,5 cm = 11,5 km.. Perbandingan berbalik nilai Perbandingan berbalik nilai adalah apabila terdapat korespodensi satu-satu antara dua obyek dengan sifat bahwa nilai perbandingan dua elemen di obyek 5

6 pertama berbalik nilainya dengan nilai perbandingan dua elemen yang bersesuaian di obyek kedua maka perbandingan antara obyek pertama dengan obyek kedua disebut perbandingan berbalik nilai. Contoh : Dalam pembangunan ruang kelas suatu sekolahan akan selesai dalam waktu 6 bulan, jika dikerjakan oleh 10 orang. Pekerjaan tersebut akan memerlukan waktu 3 bulan jika dikerjakan oleh 0 orang dan akan selesai dalam waktu bulan jika dikerjakan oleh 30 orang. Jumlah Pekerja Lama Pekerjaan 6 3 Dari tabel diatas terlihat perbandingan jumlah pekerja dengan lama pekerjaan adalah tidak tetap dan grafik perbandingan tersebut juga bukan merupakan garis lurus ( linier). Dari grafik diatas terlihat bahwa jika jumlah pekerja x dan lama perkerjaan y. Perkalian antara kedua variabel tersebut selalu tetap yaitu 60. Jika pada contoh diatas, jumlah perkerja ditambah sehingga menjadi 5 orang. Maka waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut : misal jumlah pekerja awal x 1 =, lama pekerjaan y 1=30,jumlah pekerja setelah penambahan x =5 dan lama perkerjaan y. x 1/ x = y / y 1 y = y 1 * x 1/ x Lama pekerjaan y = 30 * /5 = 60/5 = 1 hari. 6

7 4. Bilangan berpangkat Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka a n (dibaca "a pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk: a n = a x a x a x a... ( sebanyak n faktor) dengan : a = bilangan dasar n = pangkat atau eksponen a n = bilangan berpangkat. a. Sifat sifat bilangan berpangkat 1. Perkalian dua bilangan berpangkat a p. a q = a p+q. Pembagian dua bilangan berpangkat a p : a q = a p-q 3. Pemangkatan bilangan berpangkat (a p ) q = a p.q 4. Pemangkatan bilangan rasional ( a b )q = aq b q 5. Perpangkatan perkalian dua bilangan (a.b) q = a q b q 6. Bilangan berpangkat 0 a 0 = 1 7. Pangkat bulat negatif a -p = 1/a p b. Operasi Bilangan berpangkat 1. Tentukan hasil 5. 3 Jawab : 5. 3 = (5+3) = 8 = 64. Sederhanakan = = 5. 3.( ) 3 =

8 = Tentukan hasil ( 8 1 ) Jawab : ( 8 1 ) = 8 1 = (3 ) (3. ) = = 1 3 = Sederhanakan x 3 + 4x 6 x Jawab : x 3 +4x 6 = x ( x 3 + 4x 6 ) x = x x +6 =x 5 + 4x 8 5. Tentukan hasil Jawab : = 4 4 ( ) = ( 3 + (3)6 ) = = = 6176 c. Persamaan Bilangan berpangkat Bentuk Umum : a f ( x) = a Konsep : g( x) f (x) = g(x) 1. Samakan bilangan pokok. Samakan bilangan pangkat 3. Selesaikan 8

9 Contoh : 4 x+1 = x 1 (x+1) = x 1 4x+) = x 1 f(x) =4x+, g(x)= x-1 f(x) = g(x) 4x++(-x-)=x-1+(-x-) 3x = -3 x= -1 d. Soal 1. Jika a = 1/, b = 1/4 dan c = 1/5 Maka nilai a +bc =. Tentukan hasil a = 3 b. ( 1 3 : 3 5 ) Seorang karyawan menggunakan 15% dari gajinya untuk biaya transportasi selama sebulan, 5% untuk sewa rumah dan bayar listrik selama sebulan, dan sisanya 35% sebanyak Rp7.000,00 ditabung. Biaya untuk makan selama sebulan adalah 4. Seorang pemilik motor menjual motornya seharga Rp ,-. Jika harga tersebut adalah 90% dari harga pembelian. Berapakah nilai pembelian motor tersebut. 5. Berikut adalah data jumlah siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakulikuler di suatu SMK. Siswa yang mengikuti kegiatan olahraga sebanyak 40%, musik 0%, Paskibra 10%, PMR 5%, dan sisanya mengikuti kegiatan Pramuka. Jika jumlah siswa seluruhnya 600 orang maka tentukan banyaknya siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakulikuler pramuka. 6. Pedagang elektronik menjual televisi 14 inci seharga Rp ,00 dan memperoleh keuntungan 0% dari penjualan tersebut maka tentukan harga pembelian televisi tersebut. 9

10 Daftar Pustaka 1. Gleen Ledder. 013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.006. Matematika untuk SMK kelas X semester genap.swadaya Murni: Jakarta. 3. Agus Setiawan Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat Tampomas, H Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta 10

11 MODUL PERKULIAHAN BILANGAN BENTUK PANGKAT DAN LOGARITMA Bilangan bentuk akar Operasi bilangan bentuk akar Penyederhanaan bilangan bentuk akar Konsep logaritma dan Operasi logaritma Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer Sistem Informasi Tim Dosen Abstract Kompetensi Sifat-sifat bentuk akar menjelaskan bahwa perkalian dua bentuk akar Mahasiswa mampu memahami dan dapat menyelesaikan soal-soal bilangan 1

12 senama dengan indeks n, sama dengan perkalian radikan dari masing masing bentuk akar dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar senama. bentuk akar dan soal-soal logaritma sesuai dengan sifat-sifatnya Bilangan bentuk akar 1. Bilangan bentuk akar Dalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu lambang bentuk akar, radikan, dan indeks.secara umum, bentuk akar ditulis dalam bentuk: n ( a dibaca "akar pangkat n dari a") n Dengan : a disebut bentuk akar/ radikal n disebut index a disebut radikan n a Seperti halnya bilangan pangkat, bentuk akar pun memiliki sifat-sifat tertentu.untuk a, b bilangan riil dengan n bilangan asli berlaku: n 1. a n x b n = axb. n a b n n = a b n 3. p a n ± q b n =(p ± q) a Sifat-sifat bentuk akar di atas menjelaskan bahwa perkalian dua bentuk akar senama dengan indeks n, sama dengan perkalian radikan dari masing masing bentuk akar dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar senama. Untuk penjumlahan dan pengurangan dengan bentuk akar sejenis maka yang dijumlahkan atau dikurangkannya adalah koefisien dari masing-masing bentuk akar, lalu dikalikan dengan bentuk akar tersebut. Contoh : =

13 = 7 x 3 = = = = = = 3 = = 3 33 = Tentukan hasil x 3 3 x 3 = =3 5 4 x 3 3 = x 5 3 x 5 = 3 = 5x5 3 = 5x5 3 = 15 3 = 5 3 = = 5. Operasi bilangan bentuk akar Bilangan berpangkat dengan pangkat nol, bulat negatif, dan pecahan disebut juga sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya. Adapun bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif disebut juga bilangan berpangkat sebenarnya. Untuk sebarang nilai a dengan a 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, dan n berlaku: n 1. a = a 1 n n. a m = a m n 3

14 Bilangan a 1 n dan a m n disebut bilangan dengan pangkat sebenarnya. Contoh : 1. 5= = Penyederhanaan Bentuk akar Dalam suatu bentuk operasi bilangan, ada kalanya bilangan tersebut memiliki penyebut dalam bentuk akar, seperti: 1, Bentuk-bentuk bilangan tersebut dapat disederhanakan dengan cara merasionalkan penyebut pecahan-pecahan tersebut. Suatu bentuk pecahan yang memuat bilangan bentuk akar dikatakansederhana jika dipenuhi: 1. setiap bilangan bentuk akarnya sudah dalam bentuk sederhana, dan. tidak ada bentuk akar pada penyebut jika bilangan tersebut pecahan. Pada bagian ini akan dipelajari mengenai cara merasionalkan berbagai bentuk pecahan agar lebih sederhana. 1. Pecahan bentuk a b Bentuk akar dengan b 0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan dengan b sehingga: a = a X b b b b = a b b contoh : 3 = 3 x 3 3 = = 3 3 4

15 . Pecahan bentuk a b c a b c = a b+ c = a x b+ c = a(b+ c ) b c b+ c b+c a x b c = a(b c ) b+ c b c b c Contoh : = x = (3 5 ) 4 5 Contoh : = (3 5 ) = -(3 5 ) 1 = x = (3+ 5 ) 9 5 = (3+ 5 ) 4 = (3 + 5 ) 3. Pecahan bentuk a Contoh : b ± c = x 3+ 5 = (3+ 5 ) = (3+ 5 ) = -(3 + 5 ) 4. Konsep Logaritma 5

16 Metode logaritma pertama kali dipublikasikan oleh matematikawan scotlandia,yaitu John Napier pada 1614 dalam bukunya yang berjudul Mirifici ogarithmorumcanonis Descriptio. Metode ini memberikan kontribusi yang besar untuk emajuan ilmu pengetahuan, salah satunya pada bidang astronomi dengan menjadikan perhitungan rumit menjadi mudah. Pada pembahasan sebelumnya telah di pelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 4 = 16, disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis: 4 = 16 log 16 = 4 Secara umum: Jika x = a n maka a log x = n, dan sebaliknya jika a log x = n maka x = a n. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut: a log x = n x = a n dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a 1; x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0 n = hasil logaritma. ( a log x dibaca"logaritma x dengan basis a") Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya,bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma. Contoh : 1. 5 log 1 15 = 5 log 1 15 =-3 5 log 1 15 = = = = 7 log 1 49 = - 6

17 5. Operasi Logaritma Sifat-sifat logaritma : 1. Untuk a > 0, a 1, berlaku: a log a = 1, a log 1 = 0, log 10 = 1. Untuk a > 0, a 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y R berlaku: a log x + a log y = a log xy 3. Untuk a > 0, a 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y R, berlaku: a log x - a log y = a log x/y 4. Untuk a > 0, a 1, a, n dan x R berlaku: a log x n = n a log x 5. Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x R, berlaku: a m log x n = n m alog x 6. Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y R berlaku: a log x x log y = a log y 7. Untuk a > 0, serta a dan x R, berlaku: a a log x = x 7

18 8. Untuk a > 0, serta a dan x R berlaku: contoh : a na log x =x n log 6 + log 18 log 7 = log = log = log 4 = log = log =.1 = contoh : 3 log9 + 3 log log 7 = 3 log9 + 3 log log 7 = 3 log 3 +3log log 3 =. 3 log 3+1/ 3 log 3-3 log 3 =.1 +1/-. =-7/ contoh : Jika log 3 = 0,4771 dan log = 0,3010 maka nilai dari log 75 =... log 75 = log 300/4 = log 300 log 4 = log log 3 log += + 0,4771 (0,3010) =,4771 0,600 8

19 = 1,8751 contoh : log5 x 3 log 3 x 5 log3 =. log5 x 3 3 log 3 x. 5 log3 =.3.. log5 x 5 log 3 x 3 log = 1 log = 1.1 = 1 Daftar Pustaka 1. Gleen Ledder. 013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.006. Matematika untuk SMK kelas X semester genap.swadaya Murni: Jakarta. 3. Agus Setiawan Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat Tampomas, H Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta 9

20 MODUL PERKULIAHAN DIAGRAM VENN o Pengertian dan berbagai macam bentuk himpunan o Operasi himpunan o Pengertian dan Bentuk himpunan Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer Sistem Informasi Tim Dosen Abstract Kompetensi Diagram Venn merupakan bentuk lain dari penyajian suatu himpunan dengan cara menggunakan gambar. Adapun semua anggota dari himpunan semesta ditunjukan dengan noktah atau titik dalam suatu gambar persegi panjang. Mahasiswa mampu memahami dan dapat membedakan berbagai macam bentuk himpunan dan menggambarkan nya dalam bentuk diagram venn 1

21 Diagram Venn: 1. Pengertian dan berbagai macam bentuk himpunan Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. George Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set) Penyajian bentuk himpunan Enumerasi Contoh : Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1,, 3, 4}. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. C = {kucing, a, Amir, 10, paku} R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } C = {a, {a}, {{a}} } K = { {} } Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1,,..., 100 } Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -, -1, 0, 1,, }. Simbol-simbol Baku Contoh : P = himpunan bilangan bulat positif = { 1,, 3,... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1,,... }

22 Z = himpunan bilangan bulat = {..., -, -1, 0, 1,,... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Notasi Pembentuk himpunan Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh : A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5 A = { x x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1,, 3, 4} M = { x x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF151} Diagram Venn Contoh : Misalkan U = {1,,, 7, 8}, A = {1,, 3, 5} dan B = {, 5, 6, 8}. Diagram Venn: 3

23 Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Dan dinotasikan dengan n(a) atau A Bentuk/ Jenis Himpunan Himpunan Kosong Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {} Contoh (i) E = { x x < x }, maka n(e) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(p) = 0 (iii) A = {x x adalah akar persamaan kuadrat x + 1 = 0 }, n(a) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {} himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}} {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong. Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A ϲ B 4

24 Diagram Venn: Contoh : { 1,, 3} ϲ {1,, 3, 4, 5} {1,, 3} ϲ {1,, 3} Jika A = { (x, y) x + y < 4, x, y 0 } dan B = { (x, y) x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B ϲ A. TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ϲ A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ({} ϲ A). (c) Jika A ϲ B dan B ϲ C, maka A ϲ C A dan A ϲ A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1,, 3}, maka {1,, 3} dan adalah improper subset dari A. A ϲ B berbeda dengan A ϲ B A ϲ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ϲ B, A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {, 3} adalah proper subset dari {1,, 3} 5

25 A ϲ B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A = B. Notasi : A = B maka A ϲ B dan B ϲ A Contoh (i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x x (x 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka B ϲ A Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C Himpunan yang Ekivalen Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B menyatakan bahwa n(a) = n(b) Contoh Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4 6

26 Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: Contoh Jika A = { x x P, x < 8 } dan B = { 10, 0, 30,... }, maka A // B. Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau A Jika A = m, maka P(A) = m. Contoh Jika A = { 1, }, maka P(A) = {{}, { 1 }, { }, { 1, }} Contoh Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}. Operasi Himpunan Irisan Notasi : A B = { x / x A dan x B } 7

27 Contoh : - Jika A = {, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} - Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -, 6 }, maka A B = {}. Gabungan Notasi : A B = { x x A atau x B } Contoh : Jika A = {, 5, 8 } dan B = { 7, 5, }, maka A B = {, 5, 7, 8, } A = A Komplemen Notasi : = { x x U, x A } 8

28 Contoh : Misalkan U = { 1,, 3,..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {, 4, 6, 8} jika A = { x x/ P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 } contoh : Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri (E A) (E B) atau E (A B) semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta A C D semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta Selisih 9

29 Notasi : A B = { x x A dan x B } = A Contoh : Jika A = { 1,, 3,..., 10 } dan B = {, 4, 6, 8, 10 }, maka A B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B A = {1, 3, 5} {1,, 3} = {5}, tetapi {1,, 3} {1, 3, 5} = {} Beda setangkup Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Contoh : Jika A = {, 4, 6 } dan B = {, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } Contoh : Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya diatas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. Semua mahasiswa yang mendapat nilai A : P Q 10

30 Soal Semua mahasiswa yang mendapat nilai B : P Q Semua mahasiswa yang mendapat nilai C : U (P Q) Jika A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu Gambar diagram venn yang menunjukan mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta Buktikan (A B) B Jawab : Ambil t A B sebarang. Jelas bahwa t A. Dengan demikian setiap elemen di A B pasti juga berada di A. Jadi (A B) A. Buktikan (A B) B Daftar Pustaka 11

31 7. Gleen Ledder. 013, Mathematical for the Life Sciences, Springer. 8. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.006. Matematika untuk SMK kelas X semester genap.swadaya Murni: Jakarta. 9. Agus Setiawan Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat

32 MODUL PERKULIAHAN PERSAMAAN LINEAR DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR o Pengertian persamaan linear o Sistem Persamaan linier o Persamaan linear dengan dua peubah o Persamaan linear dengan tiga peubah o Pengertian pertidaksamaan linear serta penyelesaiannya Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer Sistem Informasi Tim Dosen Abstract Kompetensi Kalimat terbuka dalam istilah matematika adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. Persamaan linier merupakan kalimat Mahasiswa mampu memahami dalam mendiskripsikan penyelesaian persamaan linear dan pertidaksamaan linear 1

33 matematika dengan pangkat teringgi variabel yang dimuatnya adalah satu. 1. Pengertian persamaan linier Kalimat terbuka dalam istilah matematika adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. Kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan atau = disebut persamaan. Persamaan linier merupakan kalimat matematika dengan pangkat teringgi variabel yang dimuatnya adalah satu. Suatu persamaan linear yang mengandung n variabel x 1, x,,x n dinyatakan dalam bentuk : a 1x 1 + a x + + a nx n = b dimana a 1, a,, a n, b adalah konstanta riil. Dalam hal ini, variabl yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma ataupun fungsi exponensial. Persamaan linier yang paling sederhana, adalah persamaan linier satu variable ax + b = 0, dimaan a,b adalah konstanta dan a 0. Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan persamaan linier satu variabel adalah sebagai berikut. 1. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang sama.. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama. Contoh : 1. 8x 4 = 6x + 1 8x -4 (6x+4) = 6x +1 (6x+4), masing-masing ruas dikurang (6x+4) 8x-4-6x+4 =6x +1-6x-4 x =8 ½ x = ½ 8 x = 4. ¼ x 3 = -x +1 4(¼ x 3)=4(-x +1) x -1 = -4x +4 x-1 +(4x+1)= -4x +4 +(4x+1),, masing-masing ruas ditambah (4x+1) 5x = 16

34 x = 16/5 Contoh : Suatu perusahaan yang memproduksi barang tertentu dengan harga jual Rp900,00 tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp00.000,00 dan biaya variabel per unit barang adalah Rp400,00. a) Tentukan model persamaan untuk total hasil penjulan dan biaya total. b) Tentukan banyaknya unit barang harus dijual ketika terjadi titik pulang pokok. Jawab: a. Misalkan banyaknya barang terjual adalah x unit Total hasil penjualan x unit yang masing-masing unitnya Rp900,00 barang adalah R = 900x Biaya tetap = Rp00.000,00 Biaya variabel = Rp400,00 Biaya total produksi Q = x b. Syarat terjadi titik pulang pokok, yaitu R = Q R = Q 900x = x 500x = x = 400 Jadi, banyaknya barang yang harus terjual agar terjadi pulang pokok adalah 400 unit. Definisi : Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear. Contoh : a. x+y = 4 b. x + y + z = -1 x-3y = 1 -x +y +3z =-3 x -y +z =-1 Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penyelesaian( solusi ).Sistem persamaan linear yang memiliki tiga kemungkinan penyelesaian yaitu : 3

35 a. tidak ada penyelesaian ( tidak konsisten ) b. ada satu penyelesaian c. ada banyak penyelesaian. Persamaan linier dengan dua peubah Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linier dua variabel : ax + by = c x dan y disebut variabel dan c adalah konstanta Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum : ax + by = c px + qy = r dengan x, y disebut variabel a, b, p, q disebut keifisien c, r disebut konstanta Untuk mencari jawab dari suatu sistem persamaan linier dapat dilakukan dengan cara b. Eliminasi c. Subtitusi d. Grafik e. Operasi baris elementer Contoh : Tentukan jawab sistem persamaan x + y = 8 (I) dan x y = 6 (II) 1. Eliminasi x + y = 8 (x) x y = (-) 5y =10 (1/5) y = 4

36 Subtitusi nilai y ke salah satu persamaan x+()=8 x=4 Jawab sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y =. Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, }. Subtitusi Ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + y = 8 (I) Kemudian rubah persamaan tersebut menjadi x = 8 y (III), Subtitusi persamaan (III) ke (II) (8 y) y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 y) 16 4y y = y = 6-5y = y = -10 5y = 10 y = subtitusi nilai y= ke dalam salah satu persamaan : x + y = 8 x +.. = 8 x + 4 = 8 x = 8 4 x = 4 Jawab sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y =. Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, } 3. Grafik x + y = 8 y = - ½ x + 4 x y = 6 y = x -6 Tabel fungsi (I) x y 4 3,5 3,5 1,5 1 Tabel fungsi (II) x y Grafik fungsi 5

37 3. Persamaan linier dengan tiga variabel Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung tiga variabel, dengan bentuk umum : ax + by + cz = d x dan y disebut variabel dan d adalah konstanta Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear tiga variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum : a 1x + b 1y + c 1z = d 1 a x + b y + c z = d a 3x + b 3y + c 3z = d 3 dengan x, y disebut variabel a, b, p, q disebut keifisien c, r disebut konstanta Pada sistem persamaan linear yang menggunakan banyak variabel, maka hal pertama yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah sistem persamaan linear yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu persamaan linear biasanya juga tidak didapatkan secara langsung tetapi melalui penyederhanaan dari permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari hari. Setelah diubah ke bentuk matriks, maka matriks tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk eselon baris 6

38 tereduksi untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL. Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss Jordan. Pada proses eliminasi tersebut operasi operasi yang digunakan disebut operasi baris elementer. Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan, yaitu : Contoh : a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol b. Mempertukarkan dua buah baris c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. Tentukan jawab sistem persamaan linier Jawab : x + y + 3z = 1 x + 5y + 3z = 6 x + 8z = 6 Tulis sistem persamaan linier diatas ke bentuk matrik. A b 1 3 x y = z 5 Rubah ke bentuk augmented matrik 1 3 [A b]=[ ] 5 Lakukan operasi baris elementer untuk matrik A menjadi matrik segitiga bawah : 1 3 [A b]=[ [A b]=[ [A b]=[ ] b -b 1 ( baris ke dua dikurangi x baris pertama ) ] b 3-b 1 ( baris ke tiga dikurang baris pertama ) 7 1 4] b 3+b ( baris ke tiga dikurangi baris pertama ) 7

39 Dengan menulis kembali matrik diatas ke bentuk sistem persamaan linier : x + y + 3z = 1 ( 1 ) y - 3z = 4 ( ) z = ( 3) Subtitusi nilai z = ke persamaan () Y 3() = 4 y = 10 Subtitusi nilai z= dan y =10 ke persamaan (1) x (10) + 3() = 1 x -14 = 1 Solusi sistem persamaan linier diatas : x=15, y=10,z= 4. Pengertian pertidaksamaan linier Bentuk umum pertidaksamaan linier satu variabel dinyatakan dengan : ax + b (R) 0; a, b Riil dan (R) = salah satu relasi pertidaksamaan. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier hampir sama dengan menyelesaikan persamaan linier satu variabel. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan biasanya juga dituliskan dalam bentuk interval atau selang. Beberapa bentuk atau jenis interval disajikan sebagai berikut. Notasi Interval Pertidaksamaan Grafik 8

40 Tanda pada batas interval berarti batas tersebut termasuk dalam interval. Sedangkan tanda pada batas interval berarti batas tersebut tidak termasuk dalam interval. Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan adalah sebagai berikut. 1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang sama (sifat 1).. Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (sifat ). 3. Tanda pertidaksamaan berubah arah atau dibalik jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama (sifat 3). Contoh : 5x > 4x + 9 5x 4x > 4x + 9 4x (sifat 1) x > 9 Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x x > 9} dengan garis bilangan Contoh : 15x + 1x x 1x 11 3x < 9 (1/3) 3x (1/3) 9 x < 3 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x x 3} dengan garis bilangannya Contoh : x + 4 5x + 3 x

41 (untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas, pisahkan menjadi dua pertidaksamaan. Setelah itu, cari irisannya dari HP kedua pertidaksamaan tersebut). x + 4 5x + 3 x + 10 dipisahkan menjadi x + 4 5x + 3 dan 5x + 3 x + 10 x 5x < 3 4 dan 5x x < x -1 dan 3x 7 x 1/4 x 7/3 Grafik irisan himpunan Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x 1/4 x 7/3} Contoh : Suatu perusahaan mainan memproduksi mainan anak-anak dengan biaya Rp3.500,00 tiap unit dan biaya operasional produksi Rp ,00. Jika mainan akan dijual Rp5.000,00, tentukan banyaknya mainan yang harus diproduksi agar untung paling sedikit Rp75.000,00. Jawab: Misalkan banyaknya mainan yang diproduksi sebanyak x Biaya total yang dikeluarkan = 3.500x Pendapatan total yang diperoleh = 5.000x Untung = Pendapatan total Biaya total = 5.000x (3.500 x ) = 5.000x x = 1.500x Untung paling sedikit Rp75.000,00 Jadi, untung > x > x > x > x > 116,67 10

42 Soal : Jadi, supaya untung lebih dari Rp75.000,00 harus terjual 117 buah mainan anak-anak. 1. Tentukan nilai x persamaan berikut a) x + 1 = 7 b) 5x + 9 = 4x 8. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini dan lukis garis bilangannya. a) 5(x ) 6x + 10 b) x -3 > x -5 c) x 7 < 5x + x Suatu perusahaan memproduksi kopiah dengan biaya Rp6.000,00 tiap unit, dan biaya operasional produksi Rp ,00. Kopiah akan dijual Rp10.000,00. Tentukan banyaknya kopiah yang diproduksi agar laba paling sedikit Rp ,00 4. Tentukan solusi sistem persamaan linier berikut : x + y - z = 7 x -y + z = 4 x + y+ 8z = 6 Daftar Pustaka 1. Gleen Ledder. 013, Mathematical for the Life Sciences, Springer. 13. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.006. Matematika untuk SMK kelas X semester genap.swadaya Murni: Jakarta. 14. Agus Setiawan Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat

43 MODUL PERKULIAHAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Penyelesaiannya persaman dan pertidaksamaan kuadrat. Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer Sistem Informasi Tim Dosen Abstract Kompetensi Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabel (peubah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat dituliskan dalam Mahasiswa mampu memahami mendeskripsikan persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat. 1

44 bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 1. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variable (peubah) adalah dua. Bentuk umum adalah ax + bx + c = 0, a 0 dengan a, b, c R Bentuk-bentuk persamaan kuadrat 1. x + 5x 3 = 0, dengan a = 1, b = 5, dan c = -3 (persamaan kuadrat biasa). x + 5x = 0, dengan a =, b = 5, dan c = 0 (persamaan kuadrat tidak lengkap) 3. x 6 = 0, dengan a = 1, b = 0, dan c = -6 (persamaan kuadrat murni). Pertidaksamaan kuadrat Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabel (peubah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan. Jenis akar persamaan kuadrat Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus, maka jenis-jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai b 4ac. Oleh karena itu, b 4ac disebut diskriminan atau pembeda dan biasanya disingkat dengan D dimana D = b 4ac. Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat: jika D > 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda; jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau sering disebut mempunyai akar kembar; jika D < 0, maka persamaan kuadrat, tidak mempunyai akar riil (akar imajiner);

45 jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar rasional yang berlainan. Contoh : Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini tanpa mencari akarnya terlebih dahulu. 1. x + 4x + 4 = 0. x + x + = 0 Jawab: 1. x + 4x + 4 = 0 a= 1, b =4, c=4 D= b 4ac D= D = 0 Persamaan kuadrat mempunyai dua akar kembar. x + x + = 0 a= 1, b =1, c= D= b 4ac D= D = -8 D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat a) Penyelesaian persamaan kuadrat Mencari penyelesaian persamaan kuadrat berarti mencari nilai x sedemikian sehingga jika nilai disubstitusikan akan memenuhi persamaan tersebut. Penyelesaian persamaan kuadrat disebut juga akar-akar persamaan kuadrat. Beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu: a. Faktorisasi Dengan menggunakan sifat perkalian pada bilangan riil, yaitu jika dua bilangan riil dikalikan hasilnya sama dengan nol. Dengan demikian, salah satu dari bilanganbilangan tersebut sama dengan nol atau kedua-duanya sama dengan nol. Jika p q = 0 maka p = 0 atau q = 0 Contoh : Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini. a. x + x 8 = 0 3

46 b. x + 3x = 0 Jawab: Untuk menyelesaikan persamaan ax + bx + c = 0, terlebih dahulu dicari dua bilangan memenuhi syarat sebagai berikut. a) Hasil kalinya adalah sama dengan a c b) Hasil jumlahnya adalah sama dengan b Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah α dan β, maka α β = a c dan α+ β = b Dengan demikian, bentuk faktornya adalah (ax + α)(ax + β) = 0 dengan membagi a pada ruas kiri dan kanan, maka akan didapat bentuk asal atau mula-mula. a. x + x 8 = 0 Dari persamaan tersebut didapat a =1, b =, dan c = -8. Cari dua bilangan sehingga Hasil kalinya = 1 (-8) = -8, Hasil penjumlahannya =. Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 4 dan -, sehingga x + x 8 = 0 (x + 4)(x ) = 0 x + 4 = 0 atau x = 0 x = -4 x = b. x + 3x = 0 Dari persamaan tersebut didapat a =, b = 3, dan c = 0. Carilah dua bilangan sehingga, Hasil kalinya = 0 = 0, Hasil penjumlahannya = 3 Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 0 dan 3, sehingga: x + 3x = 0 (x + 0)(x + 3) = 0 Membagi dengan pada ruas kiri dan kanan didapat 4

47 (x + 0)(x + 3) = 0 x + 0 = 0 atau x + 3 = 0 x = 0 atau x = -3 Untuk mempersingkat dapat juga digunakan cara memfaktorkan langsung (persamaan dengan nilai c = 0). x + 3x = 0 x(x + 3) = 0 b. Melengkapkan kuadrat sempurna Persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, diubah menjadi bentuk kuadrat dengan cara sebagai berikut. a. Pastikan koefisien dari x adalah 1, bila tidak bagilah dengan bilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1. b. ambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan. c. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, sedangkan ruas kanan dimanipulasi, sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana. Contoh : Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, carilah akarakarnya. 1. x 4x 5= 0. x x 1 = 0 Jawab : x 4x 5= 0 x 4x + (-) = 5 + (-) x 4x +(1/ -4 ) = 5+(1/ -4) x 4x +(- ) = 5+(-) (x ) = 9 x = ± 9 x = ± 3 x1 = 3 + atau x = -3 + = 5 = -1 Jawab : x x 1 = 0 5

48 x -½ x = ½ x -½ x +(½ -½) = ½ + (½ -½) (x ¼ ) = ½ + 1/16 x = ± 9 16 x = ± 3 4 x 1 = -3/4 +1/4 atau x = ¾ +1/4 x1 = ½ x = 1 c. Rumus kuadrat (biasa dikenal dengan rumus abc). Dengan menggunakan aturan melengkapkan kuadrat sempurna yang telah dipelajari sebelumnya, dapat dicari rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. ax + bx +c = 0 x + b a x + c a = 0 x + b a x = - c a x + b a x + (1. b a ) = - c a + (1. b a ) x + b a x + ( b a ) = - c a + b 4a ( x + b a ) = b 4ac 4a ( x + b ) = a ± b 4ac 4a x = - b ± a b 4ac 4a x = b± b 4ac a x 1 = b b 4ac a Contoh : dan x = b+ b 4ac a Tentukan akar persamaan x 6x + 9 = 0 dengan menggunakan rumus x = b± b 4ac a x = ( 6)± ( 6)

49 6 ± x = 6 ± x = x 1 = 3 atau x =3 d. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Dari rumus kuadrat, diperoleh akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut. x 1 = b b 4ac a atau x = b+ b 4ac a Dengan menjumlahkan dan mengalikan kedua akar x 1 + x = b b 4ac a x 1 + x = b b a = b a + b+ b 4ac a x 1. x = b b 4ac a. b+ b 4ac a x 1. x = b (b 4ac) 4a x 1. x = c a Contoh : Jika x1 dan x akar-akar dari persamaan x + x 3 = 0, tentukanlah a. x 1 + x b. x 1 +x Jawab : a. a = 1,b= dan c=3 x 1 + x = b a = -3/1 = -3 b. a = 1,b= dan c=3 x 1 +x = (x 1 + x ) - x 1. x = (-3).(3/1) = 9 6 = 3 7 e. Menyusun Persamaan Kuadrat 1. Rumus perkalian faktor (x x1)(x x) = 0 contoh : Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya - dan 5. (x (-))(x 5) = 0

50 (x +) (x 5) = 0 x -3x-10 =0. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar x (x1 + x)x + x 1. x = 0 contoh : Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya /3 dan - x (x1 + x)x + x 1. x = 0 x (/3 - )x + /3. - = 0 x (-4/3)x -4/3 = 0 3x +4x-4 =0 b) Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat Langkah-langkah untuk mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut. 1. Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat (ruas kanan = 0).. Carilah akar-akar dari persamaan tersebut. 3. Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut. 4. Tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval tersebut 5. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini. x x 8 > 0. Jawab: Nyatakan dalam bentuk persamaan. x x 8 = 0 Carilah akar-akarnya x x 8 = 0 (x 4)(x + ) = 0 x = 4 atau x = - 8

51 Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut Soal : Daerah penyelesaian x < - atau x > 4 HP = {x x < - atau x > 4, x R } 1. Selesaikan persaman kuadrat 4x 1x + 8 = 0 dengan cara. Tentukan a. Faktor b. Melengkapi kuadrat c. Rumus ABC Jika Salah satu akar persaman kuadrat x x + c = 0 adalah 1, tentukan nilai c dan akar yang lainnya. 3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya ½ dan 3 4. Himpunan penyelesaian dari - < 3(x 1) < 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari x x > 90 Daftar Pustaka 17. Gleen Ledder. 013, Mathematical for the Life Sciences, Springer. 18. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.006. Matematika untuk SMK kelas X semester genap.swadaya Murni: Jakarta. 19. Agus Setiawan Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat

52 MODUL PERKULIAHAN Persamaan dan Pertidaksamaan linier Pengertian harga mutlak Pertidakpersamaan pecahan Pertidaksamaan bentuk harga mutlak Pengertian pertidaksamaan harga mutlak dan pecahan Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer Sistem Informasi Tim Dosen Abstract Kompetensi 1

53 Harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol x sebagai nilai positif dari nilai x dan -x.. Mahasiswa mampu memahami mampu menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya. Persamaan dan Pertidaksamaan linier Harga mutlak Dalam matematika untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai harga mutlak. Harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol x sebagai nilai positif dari nilai x dan -x. Definisi Untuk setiap bilangan real x, harga mutlak dari x ditulis x dan x, x>0 x = -x, x<0 Dengan menggunakan garis bilangan definisi diatas dapat digambarkan seperti terlihat pada garis bilangan berikut : Contoh a. 5 =5 c. -1/3 = -(-1/3) = 1/3 b = -3 = 1 =1 d. 0 = 0 Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan tidak sama dengan, lebih dari (lebih besar dari), lebih dari atau sama dengan, kurang dari (lebih kecil dari), kurang dari atau sama dengan.

54 Pertidaksamaan pecahan Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang penyebutnya mengandung variabel. Contoh : a. (x 3) (x+1) 4 b. 3(x 4) (x+1) > Prosedure penyelesaian pertidaksamaan pecahan 1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri.. Tentukan pembuat nol ruas kiri 3. Samakan penyebut untuk menyederhanakan pecahan. 4. Tuliskan nilai-nilai tersebut pada garis bilangan 5. Berikan tanda pada setiap interval 6. Arsir sesuai dengan tanda pertidaksamaan 7. Interval yang diarsir adalah jawab pertidaksamaan. Contoh : Tentukan jawab pertidaksamaan (x 3) (x+1) 1 Jawab : (x 3) (x+1) 1 (x 3) (x+1) 1. (x+1) (x+1) 0 (x 3 x 1) (x+1) 0 (x 4) (x+1) 0 Buat garis bilangan Contoh : Himpunan penyelesaian HP = -1 x 4 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x+) (x 1) 1 3

55 Jawab : (x+) (x 1) 1 (x+) (x 1) (x 1) (x 1) 0 (x+3) (x 1) 0 Buat garis bilangan Himpunan penyelesaian HP = x -3 atau x 1 Pertidaksamaan bentuk harga mutlak Suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup. Dalam pertidaksamaan berlaku ketentuan berikut : A. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah dengan bilangan yang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru yang ekivalen dengan pertidaksamaan semula. Contoh : x+3 7 x Contoh : 3x-4 x-1 3x-4 (x-1) x-1 (x-1) x-3 0 x B. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan atau dibagi oleh sebuah bilangan positif yang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru yang ekivalen dengan pertidaksamaan semula. 4

56 Contoh : 4x 3 8 (1/4) (4x-3) (1/4).8 C. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan atau dibagi oleh sebuah bilangan negatif yang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru yang ekivalen dengan pertidaksamaan semula tetapi tanda pertidaksamaan yang baru harus dibalik Contoh : -½ x 3 (-)( -½ x 3) (-) x+6-4 Penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak adalah dengan menggunakan sifat-sifat berikut: 1. x < a -a< x < a. x > a ; a > 0 x < -a atau x > a 3. x = x 4. x = x 5. x < y x < y 6. xy = x y 7. x y = x y dengan syarat x, y, a R dan a > 0 contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x +1 < 3. Jawab : x < a -a< x < a x+1 < 3-3< x+1 < 3 Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < Jadi himpunan penyelesaiannya { x / -4 < x < } Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan : { x / x > -4 } { x / x < }. Contoh : 5

57 Cari himpunan penyelesaian dari x+1 3. Jawab : Berdasarkan sifat x > a ; a > 0 x < -a atau x > a x+1 3; a > 0 x+1-3 atau x+1 3 Dua pertidaksamaan ini menghasilkan x -4 atau x -. Jadi himpunan penyelesaiannya { x / x -4 atau x - }. Himpunan penyelesaiannya dapat pula distulis dengan menggunakan simbul gabungan { x / x -4 }U {x / x }. Contoh : Selesaikanlah x +3 < x x +3 < x -( x) <x +3 <( x ) -( x) <x +3 <( x ) x - < x + 3 < - x -<3 dan x <-1 Himpunan penyelesaian HP= { x / x < -1/ } Atau x +3 < x (x + 3) <-x (x+3) <(-x) x + 6x + 9 < x - 1x x < -5 x < -1/ Himpunan penyelesaian HP= { x / x < -1/ } Contoh : 6

58 Selesaikanlah 3x+7 > 4x+8 Kuadratkan kedua ruas (3x + 7) > (4x +8) 9x + 4 x + 49 > 16x - 64x + 64 >0-7x + 106x - 15> 0 7x - 106x + 15 < 0 (7x - 1)(x - 15) < 0 Kemungkinannya (1). 7x - 1 > 0 dan x - 15 < 0 (). 7x - 1 < 0 dan x - 15 > 0 (1). 7x - 1 > 0 dan x - 15 < 0 x>1/7 atau x <15 () 7x - 1 < 0 dan x - 15 > 0 x<1/7 dan x>15 Himpunan penyelesaiannya HP = { x /x, 1/7<x<15} Pertidaksamaan harga mutlak dan pecahan Pertidaksamaan harga mutlak dana pecahan adalah pertidaksamaan harga mutlak yang penyebutnya mengandung variabel. Contoh : a. x 1 x+ <3 atau x 1 > x+ Penyelesain Penyelesaian persamaan harga mutlak pecahan dapat dilakukan berdasarkan sifat x = x dan x y = x y 1. x y = x y 7

59 . Samakan ruas kiri = 0 3. Tentukan nilai-nilai x pembuat 0 persamaan 4. Tuliskan nilai-nilai tersebut pada garis bilangan 5. Berikan tanda pada setiap interval 6. Arsir sesuai dengan tanda pertidaksamaan 7. Interval yang diarsir adalah jawab pertidaksamaan Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian x+7 x 1 1 Untuk bentuk pecahan diatas perhatikan x-1 0 atau x 1.Kuadratkan pembilang dan penyebut (x+7) (x 1) 1 4x +8x+49 (x 1) 1 4x +8x+49 x x+1 (x 1) 0 3x +30x+48 (x 1) 0 Perhatikan (x-1) selalu bertanda positip untuk x 1, sehingga (x-1) tidak berpengaruh terhadap tanda pertidaksamaan. (x+8)(x+)>0 x = -8 atau x = - Buat garis bilangan dan berikan tanda untuk masing-masing interval. Himpunan penyelesaian : x -8 atau - x x; atau x > 1 Soal : 1. Tentukan nilai dari = 8