PERTIDAKSAMAAN

Transkripsi

1 PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a b berharga negatif. b. a dikatakan lebih dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a b berharga positif c. a dikatakan kurang dari atau sama dengan b, ditulis a b jika dan hanya jika a b atau a = b. d. a dikatakan lebih dari atau sama dengan b, ditulis a b jika dan hanya jika a b atau a = b. Contoh: a. 5 lebih kecil dari 8, ditulis 5 8 b. 9 lebih besar atau sama dengan 4, ditulis 9 4. Defenisi pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh notasi (lambang) pertidaksamaan yang berupa tanda lebih kecil, lebih besar, lebih kecil atau sama dengan, atau lebih besar atau sama dengan Bentuk umum dari pertidaksamaan adalah sebagai berikut: U(x) V(x), U(x) V(x) U(x) V(x), U(x) V(x) 3. Selang atau Interval Selang atau interval adalah suatu himpunan yang merupakan kumpulan bilangan riil yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Himpunan-himpunan ini dapat dinyatakan sebagai berikut: { x x < 5, x R} { x x 4, x R} { x x > 1, x R} { x x 1, x R} Sifat-Sifat Pertidaksamaan Teorema a. Tanda (notasi) pertidaksamaan tidak berubah bila kedua ruas - Ditambah atau dikurangi dengan suatu konstanta (bilangan riil). - Dikalikan atau dibagi dengan suatu konstanta (bilangan riil) positif. b. Tanda (notasi) pertidaksamaan akan berubah bila kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan konstanta (bilangan riil) negatif. Contoh 1. 4x > 6 Maka akan berlaku: a. 4x +5 > b. 4x 7 > 6-7 c. 4x. > 6. d. 4x / 3 > 6 / 3 e. 4x. (- 4) < 6. (-4) f. 4x / (-) < 6 / (-) 1

2 . x 6 Maka akan berlaku: a. x b. x c. x. 6. d. x / 3 6 / 3 e. x. (-4) 6 (-4) f. x / (-5) 6 / (-5) 1. Tentukan notasi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut a. x lebih besar dari 4 dan x bilangan rasional b. x 4 < - 6, x bilangan rasional. Dengan garis bilangan tentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan beikut ini. a. x 4 b. < x < 9, x angota bilangan rasional B. Pertidaksamaan Linear 1. Pengertian pertidaksamaan linear Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi satu. Contoh: 3x + 5 < 10. Menyelesaikan Pertidaksamaan linear Tentukan himpunan penyelesaian dari x yang memenuhi pertidaksamaan dibawah ini: 3x + 5 5x 4 Langkah-langkah a. Kedua ruas dikurangi 5 3x 5x 9 b. Kedua ruas dikurangi 5x - x - 9 c. Kedua ruas dibagi X 9/ Daerah himpunan penyelesaiannya adalah: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini a. 4x 5 8x + 15 b. 3x + 4 < 5x +. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut: a. (x + 1) > 3 b. 3 (x 4) < 4 ( x + ) C. Pertidaksamaan Kuadrat 1. Pengertian pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan Kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Secara umum pertidaksamaan kuadrat berbentuk Contoh: ax + bx + c < 0 ax + bx + c 0 ax + bx + c > 0 ax + bx + c 0 Dengan a 0; a, b, dan c R

3 . Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ada dua cara yang bisa dilakukan, yaitu: a. Dengan garis bilangan. b. Dengan sketsa grafiks Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari x yang memenuhi pertidaksamaan dibawah ini: X + 6 5x a. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan garis bilangan Langkah-langkahnya 1) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi dalam bentuk ax + bx + c 0 X 5x ) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi dalam bentuk ax + bx + c = 0 X 5x + 6 = 0 3) Mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor. (x 3) (x ) = 0 4) Menentukan pembuat nol (akar-akar) dari persamaan kuadrat x 1 = atau x =3 5) Melukis garis bilangan dan menempatkan nilai x pembuat nol persamaan kuadrat. 3 6) Menentukan tanda (+) atau ( ) dari pertidaksamaan pada tiap interval pembuat nol dengan cara mencoba salah satu titik yang terletak pada interval. x < < x < 3 x > 3 x 3 + x + + (x 3) (x ) + + 7) Himpunan penyelesaiannya adalah interval-interval yang memiliki tanda sesuai tanda pertidaksamaan Jadi dapat disimpulkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan X 5x adalah: Hp = {x x atau x 3, x R} Dengan garis bilangan adalah: b. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan sketsa grafiks Langkah-langkah 1) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi dalam bentuk ax + bx + c 0 X 5x ) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi dalam bentuk y = ax + bx + c y =x 5x + 6 3) Mengambar skets grafiks y = ax + bx + c Menentukan titik potong grafiks dengan sumbu x, y=0 - D = 0, grafiks memotong sumbu x di satu titik. - D > 0, grafiks memotong sumbu x di dua titik. - D < 0, grafiks tidak memotong sumbu x. Menentukan grafiks menghadap ke atas atau ke bawah dari nilai a - a < 0 grafiks menghadap ke bawah - a > 0 grafiks menghadap ke atas 3

4 Titik potong grafiks y =x 5x + 6 pada sumbu x y =x 5x + 6, y=0 0 =x 5x = (x 3) (x ) nilai x 1 = atau x =3 sehingga titik potong dengan sumbu x adalah (,0) dan (3,0) nilai a=1 atau a > 0 sehingga grafiks menghadap ke atas. Sketsa grafiks y 3 x 4) Himpunan penyelesaiannya adalah interval-interval yang memiliki tanda sesuai tanda pertidaksamaan Jadi dapat disimpulkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan X 5x adalah daerah grafiks yang berada diatas sumbu x yaitu Hp = {x x atau x 3, x R} 1. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dengan garis bilangan a. x x > 3 b. x 3x 10 < 0 c. 1 4x x 0 d. (x 1) > 4x e. (x 1) ( x + ) < x(4 x). Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dengan sketsa grafiks a. (x ) (x + 3) > 0 b. 9x 6x 3 x c. x + x + 1 > x + 4x Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dengan notasi himpunan a. 4x + x 6 < 0 b x 4x < 4x x D. Pertidaksamaan Berbentuk Pecahan 1. Pengertian Suatu pertidaksamaan berbentuk pecahan secara umum bisa ditulis U ( x) < 0 V ( x) U ( x) > 0 V ( x) U ( x) 0 V ( x) U ( x) 0 V ( x). Menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk pecahan Contoh x 1 1 Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: Mengubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol x

5 Menyederhanakan ruas kiri dari pertidaksamaan x 1 0 x + 0 Menentukan nilai faktor pembuat nol pembilang dan penyebut dari pertidaksamaan x + = 0, x = x 3 = 0, x= 3 Menentukan tanda (+) atau ( )dari pertidaksamaan pada tiap interval pembuat nol pembilang dqan penyebut dengan cara mencoba salah satu titik yang terletak pada interval. nilai x yang sudah diperoleh x < < x < 3 x > 3 x x 3 + (x +)/ (x 3) + + Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah pada interval yang memenuhi nilai sesuai tanda pertidaksamaan pecahan. Hp={x x atau x 3, x R} Bila dinyatakan dengan garis bilangan adalah: Dengan garis bilangan adalah: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut a. 1 x 3 x b. 3 > 0 x c. > 0 x 5 d. 3 > x +. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan a. x 4 x > 0 b. > 0 x 8x + 7 c. x + 3x 10 > 0 x x + d. x 1 > x x 4 e. x x 6 < 1 x + x 4 f. x + x < 1 x 4 5

6 E. Pertidaksamaan Berbentuk Akar 1. Pengertian Secara umum pertidaksamaan berbentuk akar dapat ditulis sebagai berikut: U (x) < V (x) U (x) > V (x) U (x) V (x) U (x) V (x) Dengan syarat U(x) > 0 dan V(x) >0. Menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk akar Contoh Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x 6 < 3x 1 Langkah langkah yang harus dilakukan adalah: Tanda akar harus dihilangkan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas x 6 < 3x 1 Ditentukan himpunan penyelesaian dari langkah pertama x < 6 x > 6 Bentuk bilangan yang didalam akar harus lebih besar atau sama dengan nol. Syarat x 6 0 atau 3x 1 0 x 6 3 x 1 x 3 x 4 Ditentukan himpunan penyelesaiannya yaitu x > 6 x 3 Dari ketiganya Hp= {x x > 6, x R} x 4 1. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan-pertidaksaman berikut ini a. < 4 b. x 4 < 4 c. x + 5 > 5 x d. x 4 > x +. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan-pertidaksaman berikut ini a. x 5x b. x 3x + 5 > 1 3x x c. x 5x d. x x 1 > x F. Pertidaksamaan Berbentuk Harga Mutlak 1. Pengertian Harga mutlak suatu bilangan x ditulis x, bernilai x jika x 0 dan bernilai x jika x<0. x, x 0 Secara matematis nilai dari x = x, x < 0 Secara umum pertidaksamaan harga mutlak memiliki bentuk sebagai berikut: a. U(x) < a b. U(x) > a c. U(x) a dengan a >0 d. U(x) a. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat berbentuk harga mutlak Bentuk U(x) < a mempunyai penyelesaian U(x) < a atau (U(x)) < a 6

7 Contoh 1) x < 7 Cara 1 x < 7 x < 7 atau - x < 7 x < 7 x > -7 Hp = { x 7 < x < 7, x R } cara x < 7 x < 7 x 7 < 0 (x + 7) (x 7) < Hp = { x 7 < x < 7, x R } ) 3x 4 5 Cara 1 3x 4 5 (3x 4) 5 atau (3x 4) 5 3x 9 3x x 3 3x 1 x 1 3 Cara 3x 4 5 (3x 4) 5 (3x 4) 5 0 ((3x 4) + 5 ) ((3x 4) 5 ) 0 (3x + 1) (3x 9) Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan dibawah ini: a. x < 4 b. x 5 > c. x + 4 > 6 d. 6x + 4 < 4. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan dibawah ini: a. x < 1 b. x x 1 < 1 c. x 8x d. > 1 (x 1) G. Pertidaksamaan Pangkat Tinggi 1. Pengertian Pertidaksamaan pangkat tinggi adalah sebuah pertidaksamaan dengan variabelnya mempunyai pangkat tertinggi lebih dari dua. Misanya: X 4 13x Menyelesaikan pertidaksamaan pangkat tinggi Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini: (x 5) (x + 1) (x 3) < 0 7

8 Langkah-langkah yang harus dilakukan 1) Mengubah pertidaksamaan pangkat tinggi menjadi dalam bentuk baku sehingga ruas kanan dari pertidaksamaan tersebut bernilai nol. (x 5) (x + 1) (x + 3) < 0 ) Mengubah bentuk pertidaksamaan pangkat tinggi menjadi perkalian faktor faktornya. (x 5) (x + 1) (x + 3) < 0 3) Menentukan pembuat nol (akar-akar) dari persamaan kuadrat x 1 = 5 atau x = 1 atau x 3 = 3 4) Melukis garis bilangan dan menempatkan nilai x pembuat nol persamaan kuadrat ) Menentukan tanda (+) atau ( ) dari pertidaksamaan pada tiap interval pembuat nol dengan cara mencoba salah satu titik yang terletak pada interval. x < 3 3 <x< 1 1 <x< 5 x > 5 x 5 + x (x + 1) (x +3) (x 5) (x + 1) (x +3) + + 6) Himpunan penyelesaiannya adalah interval-interval yang memiliki tanda sesuai tanda pertidaksamaan Jadi dapat disimpulkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x 5) (x + 1) (x + 3) < 0 adalah: Hp = {x x > 3 atau x < 5, x R} Dengan garis bilangan adalah: Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini: a. (x 3) (x + 3) (x + 5) > 0 b. (x + x )(x + 3)( x) > 0 c. (x + 6) 5 (x 4) (x + 3) 0 8