PEMANFAATAN JARINGAN SARAF TIRUAN UNTUK PENYELESAIAN PERMASALAHAN OPTIMASI NONLINIER

Transkripsi

1 Semnar Nasonal Aplkas eknolog Informas 0 (SNAI 0) ISSN: Yogyakarta, 7-8 Jun 0 PEMANFAAAN JARINGAN SARAF IRUAN UNUK PENYELESAIAN PERMASALAHAN OPIMASI NONLINIER Vctor Harad ), Rully Soelaman ),) Jurusan eknk Informatka, Fakultas eknolog Informas, Insttut eknolog Sepuluh Nopember, Surabaya Gedung eknk Informatka, Kampus IS, Jl. Raya IS, Sukollo, Surabaya - 60 emal : vctor@ts-sby.edu, rully@ts-sby.edu ABSRAK Saat n semakn banyak permasalahan pada kehdupan sehar-har yang memerlukan pendekatan optmas dalam penyelesaannya. Pendekatan optmas sendr menyedakan banyak alternatf metode yang dapat dplh sesua dengan karakterstk permasalahan yang akan dselesakan. Penyelesaan permasalahan rl menggunakan pendekatan optmas akan melbatkan model matemats. Model yang dbuat/dgunakan akan menentukan pada kordor teknk optmas mana kta akan bekerja. Secara gars besar, permasalahan dalam teknk optmas dapat berupa permasalahan (pemrograman) lner atau non lner. Sebenarnya kedua kelompok permasalahan n mash memberkan ruang cukup luas bag kegatan rset yang bertujuan untuk merancang konsep atau metode penyelesaan yang lebh efsen. Namun pemrograman non lner menysakan area yang lebh luas, mengngat model-model non lner serngkal memlk bentuk yang lebh kompleks dan dnams. Klas-klas pemrograman non lner dapat dtentukan dar bentuk Ddan karakterstk fungs tujuan/obyekt serta dar keberadaan dan bentuk fungs pembatasnya. Salah satu subklas dalam permasalahan pemrograman nonlner adalah masalah pemrograman kuadratk dengan fungs obyektf berbentuk fungs konveks. Peneltan n membahas penggunaan recurrent neural network untuk menyelesakan permasalahan mnmsas pemrograman kuadratk dengan batasan lner. Recurrent neural network dgunakan karena mempunya kelebhan pada strukturnya yang lebh sederhana dan komplekstas yang lebh rendah untuk dmplementaskan darpada neural network yang dgunakan sebelumnya untuk menyelesakan permasalahan tersebut d atas. In menunjukkan bahwa recurrent neural network lebh stabl pada keadaan Lyapunov dan secara global mampu mencapa konvergens dalam waktu sngkat. Kata kunc: teknk optmas, pemrograman nonlner, pemrograman kuadratk, recurrent neural network.. PENDAHULUAN Banyak permasalahan perekayasaan dapat dselesakan dengan mengubah permasalahan orsnal menjad permasalahan optmas konveks dengan batasan lnear. Sebaga contohnya, permasalahan kuadrat terkecl dengan batasan persamaan lnear dapat dlhat sebaga framework dasar yang dgunakan secara luas untuk system modellng dan desan dalam aplkas-aplkas yang bervaras sepert sgnal and mage processng serta pengenalan pola. Pada berbaga aplkas, penyelesaan realtme basanya pentng. Salah satu contohnya pada pengolahan ctra mage fuson untuk transms ctra wreless real-tme. Dbandngkan dengan metode numerk tradsonal untuk optmas dengan batasan, pendekatan neural network memlk beberapa kelebhan pada aplkas-aplkas real-tme. Pertama, struktur dar neural network dapat dmplementas secara efektf menggunakan VLSI dan teknolog optkal. Kedua, neural network dapat menyelesakan banyak permasalahan optmas dengan parameter yang bermacam-macam. Ketga, teknk ordnary dfferental equaton (ODE) numerk dapat daplkaskan secara langsung pada neural network. Dalam makalah n dcoba penggunaan onelayer neural network untuk menyelesakan permasalahan-permasalahan optmas konveks.. PEMROGRAMAN NON LINIER DAN PEMROGRAMAN KUADRAIK Permasalahan pemrograman non lner adalah proses untuk menyelesakan sstem (persamaan atau pertdaksamaan), secara bersamaan dalam jangka waktu tertentu dengan menyertakan fungs obyektf non lner untuk maksmas atau mnmsas. Jka fungs obyektf yang dmaksud berbentuk fungs kuadratk dengan fungs-fungs pembatas berbentuk lner, maka permasalahannya dsebut Permasalahan Pemrograman Kuadratk (PPK) []... Bentuk dasar pemrograman kuadratk Bentuk dasar pemrograman kuadratk bentuk prmal dan dual adalah [5]: Bentuk Prmal : Mnmas f(x) = ½ x Qx + c x Subject to g(x) = Ax b (.) Bentuk Dual: Maksmas f(x) = - ½ x Qx + b y Subject to g(x) = c + Qx - A y + z (.) dengan : F-6

2 Semnar Nasonal Aplkas eknolog Informas 0 (SNAI 0) ISSN: Yogyakarta, 7-8 Jun 0 A : matrks berdmens m x n yang bers koefsen varabel keputusan dalam fungs pembatas; Q : matrks smetrs berdmenas n x n yang bers koefsen dar suku kuadratk fungs obyektf; c : vektor berdmens n yang bers koefsen dar suku lner fungs obyektf; b : vektor berdmens m untuk menampung koefsen yang ada d ss kanan; x : vektor berdmens n untuk menampung semua varabel keputusan; m : menunjukkan jumlah fungs pembatas; n : menunjukkan jumlah varabel keputusan yang dgunakan; y : vektor berdmens m untuk menampung varabel bentukan yang dgunakan dalam fungs obyektf bentuk dual; z : vektor berdmens n untuk menampung varabel bentukan yang dgunakan dalam fungs pembatas bentuk dual; Formulas umum Lagrange multpler yang dtuls dengan mengkatkan varabel dual, sepert berkut: L(x, )= c x + ½ x Qx - y (Ax-b) (.4) dmana y merupakan varabel dual dar persamaan prmal pemrograman kuadratk. Dkatakan bahwa sebuah sstem permasalahan nonlner (khususnya permasalahan pemrograman kuadratk) akan memlk solus optmal, yatu apabla memenuh konds KK. Konds KK merupakan turunan pertama dar persamaan umum Lagrange (.4). Sehngga persamaan konds KK yang dgunakan menjad : c + Qx A y + z = 0 Ax - b = 0 xz = 0 (x,z) 0 (.5).. Konvekstas fungs obyektf Uj konvekstas dlakukan untuk memastkan bahwa permasalahan kta memlk satu hmpunan solus yang unk. Selan pengujan analts melalu fungs obyektfnya, uj konvekstas n dapat memanfaatkan matrks Q. Suatu fungs obyektf (dalam hal n adalah fungs kuadratk) merupakan fungs konveks jka matrk Q semdefnt postf. Pengujan matrks Q dapat dlakukan dengan cara [][4]: 3. INJAUAN ERHADAP RECURREN NEURAL NEWORK Lemma : x * adalah solus untuk persamaan (.) jka dan hanya jka terdapat y * ε R m, yang memenuh [] (x f(x) A y) Ax b 0 x 0. xqx > 0. nla egen(q) >= 0, nla egen dapat dperoleh dar perhtungan det(i - Q) = 0 dmana α konstanta postf (x) + = [(x ) +,...,(x n ) + ] (x ) + = max{0,x }.3. Konds optmal Kods optmal dar penyelesaan permasalahan pemrograman kuadratk akan tercapa apabla memenuh konds Karush-Kuhn-ucker (KK). Konds KK merupakan generalsas dar metode Lagrange multpler yang daplkaskan untuk bentuk prmal permasalahan pemrograman kuadratk []: L(x, ) = c x + ½ x Qx - (Ax b) (.3) Hanya saja penerapan KK, yang dentk dengan penerapan Lagrange multpler n, selan berfungs untuk menjamn dperolehnya solus yang optmal, dalam prosesnya juga me-lner-sas bentuk nonlner (kuadratk) dar fungs obyektf menjad bentuk lner serta membuat pertdaksamaan dalam fungs pembatas menjad bentuk persamaan. Hal n dlakukan dengan tujuan untuk mempermudah proses komputas dan penyelesaan secara umum permasalahan pemrograman kuadratk tu sendr. Berdasarkan formulas pada Lemma, maka kta mendapatkan recurrent neural network dengan struktur satu-layer untuk menyelesakan permasalahan (3.), dengan rumus [3] d dt x x (x f(x) A y ( Ax b) dmana λ > konstanta skala y) (3.) Model jarngan saraf truan yang dgunakan n akan menunjukkan bahwa penyelesaan permasalahan pemrograman kuadratk akan konvergen pada suatu ttk kesetmbangan, bak penyelesaan dengan nla nsal berasal dar dalam daerah kelayakan maupun dar luar daerah kelayakan. Ada pengembangan jarngan saraf truan dar persamaan (3.) yang dgunakan pada peneltan n, yatu : permasalahan x d doman tertentu permasalahan nequalty varatonal F-63

3 Semnar Nasonal Aplkas eknolog Informas 0 (SNAI 0) ISSN: Yogyakarta, 7-8 Jun 0 Permasalahan x d doman tertentu Dketahu permasalahan pemrograman convex nonlnear dengan bentuk : mnmze f(x) subject to Ax b,x (3.) dmana f(x) contnuosly dfferentable dan konveks dar R n ke R A ε R mxn b ε R m Ω = {x ε R m x h} Berdasarkan pada Lemma, maka : P(x f(x) A Ax b 0 y) x 0 (3.3) dmana PΩ : R n Ω adalah operator proyeks yang ddefnskan dengan PΩ (x) = [PΩ (x ),..., PΩ (x n )], dan l x l P(x ) x l x h h x h Sebaga salah satu perluasan dar jarngan saraf truan pada persamaan (3.), model jarngan saraf truan untuk memecahkan persamaan (3.) dberkan sebaga berkut : d dx x P y x f x A y x Ax b (3.4) eorema : Asumskan f(x) adalah strctly convex dan dua kal lebh dfferentable untuk setap x 0. maka jarngan saraf truan pada persamaan (3.4) stabl pada tahap Lyapunov dan konvergen pada ttk u * = {x *, y * }, dmana x * adalah solus optmal untuk rumusan (3.3). Lebh jauh, kecepatan konvergen dar jarngan saraf truan pada rumusan (3.4) proporsonal untuk parameter desan λ. Gambar 3.. Pseudocode untuk permasalahan x pada doman tertentu Permasalahan nequalty varatonal Dketahu permasalahan nequalty varatonal dengan bentuk : * * x x Fx 0,x (3.5) dmana F : R n R n adalah contnuously dfferentable. Ω = { x ε R n Ax = b, x 0 } Dengan konds KK untuk (3.5) kta ketahu bahwa x * adalah solus untuk persamaan (3.5) jka dan hanya jka ada y* ε R m, sedemkan rupa sehngga u * = [x *, y*] untuk permasalahan : * * u u Gu 0,x 0 (3.6) dmana u x,y 0 n m R x 0 dan x F A Gu Ax b y Sesua dengan teorema proyeks, persamaan (3.6) dapat dformulaskan sebaga x x F A y Ax b 0 x 0 Sebaga perluasan lan dar jarngan saraf truan pada persamaan (3.), kta mendapatkan model jarngan saraf truan untuk menyelesakan permasalahan (3.5) d dt x x y Fx A y x Ax b (3.7) F-64

4 Semnar Nasonal Aplkas eknolog Informas 0 (SNAI 0) ISSN: Yogyakarta, 7-8 Jun 0 dmana λ > 0 adalah konstanta penskalaan. eorema : Asumskan x F postf defnt pada n n R x R x 0. Maka trayektor dar jarngan saraf truan pada rumusan (3.7) dengan ttk awal n m xt 0,yt 0 R R konvergen terhadap ttk kesetmbangan { x *, y * }, dmana x * adalah solus dar rumusan (3.5). Lebh jauh, waktu konvergen dar jarngan saraf truan pada rumusan (3.7) adalah fnte. Data nla nsal dan perkraan waktu serta banyak teras dtunjukkan pada tabel 4. berkut: abel 4.. Nla, tspan, dan banyak teras Uj Coba Nla Insal tspan Iteras [ 0; 0; 0; 0; 0; 0] [; -; ; -; 0; ] [.5; -.5; 0.5 ; -.5; 0.5;.5] [.5; -.75; 0.75 ; -.75; 0.75;.75] [; -; -.5 ; -.5; -.75; ] Perubahan nla penyelesaan pada permasalahan uj coba dapat dlhat pada grafk trayektor berkut : Gambar 3.. Pseudocode untuk permasalahan nequalty varatonal 4. HASIL UJI COBA 4.. Uj Coba Pertama Pada Uj coba pertama, dberkan contoh yang menamplakan kefektfan dalam memperoleh hasl Bentuk permasalahan : Mnmze f(x) Subject to Ax = b, x Є Ω Dmana 3 f ( x) ( x x ) ( x3 x4 ) ln( x x4 ) 3x x 00 A 00 b, { x R l 0.,0,,0,0. h 0,0,0,0 4 h x l} 4x x 3 4 x 3x Penyelesaan Dengan Jarngan Saraf ruan: dberkan beberapa nsalsas dan perkraan waktu. Hal n dmaksudkan untuk menunjukkan bahwa pada permasalahan pemrograman kuadratk dengan nla nsal yang berbeda-beda dan perkraan waktu yang tetap untuk semua nsalsas akan menghaslkan grafk trayektor yang konvergen pada satu ttk kesetmbangan. Untuk setap nla nsal dan perkraan waktu yang berbeda, memlk teras yang berbeda pula dalam mencapa ttk kesetmbangan. 4 Gambar 4.. Grafk trayektor x Gambar 4.. Grafk trayektor x Gambar 4.3. Grafk trayektor x 3 F-65

5 Semnar Nasonal Aplkas eknolog Informas 0 (SNAI 0) ISSN: Yogyakarta, 7-8 Jun 0 5x x x x 3 F( x) 5x 3x 0x 3x x x x x3 b 6 40,0,0 A,, Gambar 4.4. Grafk trayektor x 4 Penyelesaan Dengan Jarngan Saraf ruan: dberkan beberapa nsalsas perkraan waktu dan nla lamda yang berbeda. Data nla nsal, nla lamda dan perkraan waktu serta banyak teras dtunjukkan pada tabel 4.. berkut: abel 4.. Nla, tspan, nla lamda dan banyak teras Uj Coba Nla Insal lamda tspan Iteras [0;0;0.5;46.00] 40 [0;] 953 [0;0;0.5;46.00] 0 [0;] 00 [0;0;0.5;46.00] 0 [0;] 55 Perubahan nla penyelesaan pada permasalahan uj coba dapat dlhat pada grafk trayektor berkut : Gambar 4.5. Grafk trayektor x 5 Gambar 4.7. Grafk terhadap tspan dengan lamda = 40 Gambar 4.6. Grafk trayektor semua x 4.. Uj Coba Kedua Pada Uj coba kedua, dberkan contoh permasalahan pertdaksamaan varatonal dengan bentuk permasalahan : Gambar 4.8. Grafk terhadap tspan dengan lamda = 0 F-66

6 Semnar Nasonal Aplkas eknolog Informas 0 (SNAI 0) ISSN: Yogyakarta, 7-8 Jun 0 Gambar 4.9. Grafk terhadap tspan dengan lamda = 0 5. KESIMPULAN Beberapa hal yang dapat dsmpulkan pada peneltan n antara lan adalah:. Pendekatan jarngan saraf truan (neural network) sangat sesua dgunakan untuk menyelesakan permasalahan pemrograman kuadratk, dan khususnya recurrent neural network sangat stabl pada keadaan Lyapunov dan mampu mencapa konvergens secara lebh cepat untuk solus optmal d bawah konds konvex dar fungs obyektf;. Metode recurrent neural network memlk struktur sngle-layer yang sederhana dan dapat dmplementaskan pada komputas parallel; 3. Metode recurrent neural network tdak memerlukan konds kontnutas Lpschtz dar fungs obyektf, sehngga metode n dapat dgunakan untuk beragam bentuk permasalahan optmas konveks dengan pembatas lner. Penyelesaan Permasalahan Pemrograman Kuadratk, Proceedng of Conference of Appled Informaton echnology, Bandung, 007 [8] Harad, V., Otomas Barrer erm dan Penerapannya pada Penyelesaan Permasalahan Optmas, Prosdng Konferens Nasonal Sstem Informas, Jogjakarta, 008 [9] Lange, K., An Adaptve Barrer Method for Convex Programmng, Methods and Applcatons of Analyss, Internatonal Press, 994, pp [0] Melman, A., and Polyak, R., he Newton Modfed Barrer Method for Quadratc Programmng Problems, Ann. Oper. Res., vol. 6, pp , 996 [] Meszaros, C., Steplengths n Interor-Pont Algorthms of Quadratc Programmng, Computer 9and Automaton Research Insttut, 997 [] Rardn, R.L., Optmzaton n Operaton Research, Prentce-Hall, Inc., New Jersey, 998 [3] aha, H.A, Operaton Research : An Introducton, 7 th Edton, Pearson Educaton, Inc., 003 [4] Wrght, M.H., Prmal-Dual Interor-Pont Methods, SIAM : Phladelpha, 996 DAFAR PUSAKA [] Bazaraa, M.S., and Shetty, C.M., Nonlnear Programmng heory and Algorthms, John Wlley and Sons, Inc., 990 [] Ben-al, A., and Nemrovsk, A., Convex Optmzaton n Engneerng: Modellng, Analyss and Algorthm, echnon-israel Insttute of echnology, 998 [3] Bhatt, M.A., Practcal Optmzaton Methods, Sprnger Verlag New York Inc., 000 [4] Boyd, S., and Vandenberghe, L., Convex Optmzaton, Cambrdge Unversty Press, 006 [5] Bronson, R., Operaton Research, McGraw-Hll, Inc., USA, 98 [6] Harad, V, Penyelesaan Pemrograman Kuadratk Menggunakan Metode Interor-Pont Dengan Fungs Adaptve Barrer, Jurusan eknk Informatka, Fakultas eknolog Informas, IS, Surabaya, 007 [7] Harad, V., Aplkas Varas Fungs Adaptf Barrer pada Metode Interor Pont untuk F-67