BAB 4: Anuitas Lebih Umum

Transkripsi

1 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d BAB 4: Autas Lebh Umum 4. Pedahulua Pada bab 3 telah dbahas tetag autas utuk perode pembayara, da perode buga koers yag setara da dpeuh secara bersamaa, dmaa pembayara dar tgkat jumlah. Dalam bab 4 aka dbahas autas utuk pembayara yag dbuat lebh atau kurag darpada buga koers da autas dega berbaga pembayara. 4.2 Autas yag dbayarka Pada Frekues Yag Berbeda dar Buga yag dkoers Ada dua pedekata yag dapat dguaka dalam meyelesaka masalah autas.pedekata pertama dguaka utuk meghtug la umerk dar autas da meghtug dega fugs ekspoesal da logartma. Pedekata kedua megguaka aalss aljabar pada autas. Artya yatu membuat persamaa aljabar utuk autas dalam betuk smbol autas yag sudah djelaska pada bab 3. Lagkah-lagkah :. Meemuka suku buga, koers pada frekues yag sama dega pembayara yag dlakuka, yag setara dega tgkat buga yag dberka. 2. Megguaka tgkat buga yag baru, tetuka la autas yag sudah dpelajar padabab 3. Cotoh4. : Tetuka la akumulas pada akhr tahu ke 4 yag destaska sebesar $00pada awal setap kuartal selama dua tahu pertama da $200 pada awal kuartal masg-masg selama dua tahu kedua, jka buga2% yag dkoers setap kuartal dega tgkat buga % per bula, j mejad tgkat buga omal per kuartal, yag merupaka perode pembayara, maka dperoleh: Nla autas, yatu: j =.0 3 = (s 6 j + s 8 j ) = $2999 Cotoh 4.2

2 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d Pjama sebesar $ 3000 aka dbayarka dega agsura per kuartal pada akhr setap kuartal selama lma tahu. Jka tgkat buga yag dkeaka pada pjama adalah 0% per tahu dkoers setap 6 bula, Berapa jumlah yag harus dbayar pada setap kuartal. Peyelesaa : Dketahu buga 5% per setegah tahu,j mejad tgkat setara buga per kuartal yag merupaka perode pembayara, dperoleh: j =.05 2 = Notas pembayara trwula dotaskar, maka persamaa la : R a20 j = 3000 Sehgga R = 3000 a 20 j = = $9.89 Cotoh 4.3 Berapa tgkat buga efektf tahua yag aka dbayarka sebesar $ 00 pada akhr setap kuartalyag dakumulas pada akhr tahu lma sebesar $2500? Peyelesaa : dperolehtgkat buga per kuartalj = (4), maka persamaa la pada akhr tahuke lma adalah atau 4 00 s20 j = 2500 s 20 j = 25 Megguakarumus(3.33) utuk memperolehlaawal yag dteras: 0 = = Selajutya teras megguaka metode Newto-Raphso yatu megguaka rumus (3.30), dperoleh la berturut-turut sebaga berkut: tgkat buga efektf tahuadperoleh: = = =

3 = ( ) 4 = atau 9.46% Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d 4.3 Aalss Lebh Lajut PadaAutas Yag Dbayarka Dega Frekues Kurag DarBuga Yag Dkoers.. Autas-Akhr Jka k jumlah perode koers buga dalam satu perode pembayara, jagka waktu autas dukur dalam perode koers buga, da mejad suku buga per perode koers buga. dasumska bahwa setap perode pembayara bers jumlah tegral perode koers buga, dega k da keduaya bulat postf. Nla tua dar autas yag pembayara pada akhr setap k perode koers buga utuk total perode koers buga adalah: k + 2k + + k k = + k = k +k k = a s k (4.) dega demka, dperolehrumus utuk la tuaautasdega rumus autas yag sudah ddefska. Akumulas la tua autas setelah pembayara terakhr adalah a ( + ) = s (4.2) s k s k Utuk meuruka rumus 4. da 4.2, ada la R sedemka hggapembayara d akhr setap k buga perode koers utuk perode koers buga dapat dgatka oleh pembayara R pada akhr setap koers buga perode, yatu: R a Jagka waktusatu pembayaraperodekoersbuga ke k.pada akhrperodepembayaralaakumulaspembayararpada akhrsetap perodekoersbugaharus sama degapembayara. Dega demka, R s = dega mesubsttus R = s k pada R=R a, rumus 4. dperoleh. Rumus 4.2 aalog. Gambar 4. adalah mejelaska dagram waktu dar argumet datas. 3

4 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d 2. Autas-Jatuh Tempo Nla tua dar autas yag pembayara pada setap awal perode k, koers buga utuk total perode koers buga adalah + k + 2k + + k = k = a a k (4.3) Nlaakumulastua perodekoersbuga setelah pembayara terakhr adalah a a k ( + ) = s a k (4.4) Utuk meuruka rumus 4.3 da 4.4 aalog megguaka autas-akhr. Pertmbaga La Pada saatfrekues pembayara perpetutas kurag dar buga yag dkoers. Nla tua dar suatu perpetutas-akhr adalah k k + 2k + = k = ( + ) k = s k (4.5) yag merupaka batas rumus (4.) dega medekat tak terhgga. Nla tua dar perpetutajatuh tempo: a k Kasus khusus kedua yag kadag-kadag dtemu yatu meemuka la dar sejumlah pembayara pada buga δ. Meskpu d bawah kategor,frekues pembayaraautas kurag dar buga koers, masalah tdak cukup dselesaka dega metode d atas, karea da k keduaya terbatas. Masalah dapat dselesaka dega meuls persamaa utuk la autas sebaga jumlah dar la tua atau la akumulas dar setap pembayara, meggatka tk dega e δtk da ( + ) tk dega e δtk, dsebut deret geometr. Kasus khusus ketgasagat jarag dtemuka, dmaasetap perode pembayara tdak bers jumlah tegral perode koers buga ( k>, tap k tdak terpsahka). Terdapat juga, pedekata terbak prsp-prsp dasar, yatu meuls sebuah persamaaa sebaga jumlah dar la tua atau akumulas la dar setap pembayara, kemuda haslya sebaga deret 4

5 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d geometrs. Cotoh 4.4: Tetuka persamaa utuk la tua padaautas d maa total r pada pembayara, pertama membayar pada akhr tahu ke tujuh, da ssa pembayara pada teral tahu ke tga, pada tgkat buga tahua, dyataka sebaga:. autas-lagsug, da 2. autas-jatuh tempo. gambar 4.3 utuk cotoh 4.4 ada d halama 0 la tua dar autas: (3r+4). Megguaka deret geometr, dperoleh: 7 3r+7 3 = 4 3r+4 ( + ) 3 = 3r+4 ( 4 ) ( + ) 3 = a 3r+7 a 7 a 3 Dcatat : bahwa betuk autas-akhr dtada pada peyebut. 2. Megguaka deret geometr, dperoleh: 7 3r+7 3 = 3r+4 ( 4 ) ( + ) 3 = a 3r+7 a 7 a 3 Dcatat :bahwa karakterstk autas-jatuh tempo olehddalampeyebut Ulagcotoh4.dega megguakapedekata deretpada 4.3. Tgkat suku buga adalah % per bula, jagka waktu autas adalah 48 perode koers buga, da setap perode pembayara bers tga perode koers buga, karea autas-jatuh tempo, la akumulas mejad: 00 s s 24.0 a 3.0 = = $2999 megguaka tabel buga da pembulata ke dolar terdekat, jawaba yag dperoleh sama dega cotoh 4. Cotoh4.6 Iestassebesar $ 000dguaka utukmelakuka pembayarasebesar $ 00pada akhrsetap tahu utukselama mugkdegapembayaraakhrlebh keclyag dbuatpada 5

6 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d saatpembayaraterakhr.jkabuga7% dkoersper semester,tetukajumlahpembayarada jumlahtotal pembayara. Peyelesaa : Atau 00 a.035 s = 00 a.035 = 0s = Dega tabelbuga, dperoleh 36< <37, dega demka, 8pembayara regulerdapembayara akhryag lebh kecldapat dbuat.pembayara kecl tambahapada saatpembayararegulerakhrdotaskaolehr.makapersamaalapada akhr8tahuadalah Atau R + 00 s s = 000(.035) 36 R = = $0.09 total pembayara akhr sehgga aka mejad $ 0, Aalss lebh lajut pada autas yag dbayarka dega Frekues lebh dar buga yag koers Pada baga, autas dbag mejad beberapa baga :. Auty-mmedate (autas Akhr) 2. Auty-due (Autas jatuh tempo) 3. Other cosderatos (autas sepajag masa / perpetutas). Auty-mmedate (autas akhr) Merupaka autas yag pembayara pertama dlakuka pada setap akhr tahu selama tahu.nla tua dar autas yag dbayar /m pada akhr setap m tahu, dar perode koers buga utuk total perode koers buga, dtetuka oleh da dhtug sebaga berkut: a m m m m m m 2 m m m... m a 6

7 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d (4.7) Nla akumulas dar autas akhr, setelah pembayara terakhr dlakuka, dlambagka ( ) dega da dapat dhtug sbb: s m s a ( ) ( ) (4.8) Akbat dar autas akhr pada persamaa 4.7 da 4.8, maka dapat dtuls sebaga berkut: a ( ) ( ) ( ) ( ) s ( ) s a ( ( m) ) (4.9) (4.0) 2. Auty-due ( Autas Jatuh Tempo) Merupaka autas yag pembayara atau peermaaya dlakuka d awal perode. la tua dar autas jatuh tempo yag dbayar /m pada awal setap m tahu dar perode koers buga utuk total perode koers buga, dtetuka oleh a ( m, ) da dapat dhtug sbb: a (4.) d Nla akumulas dar salah satu autas jatuh tempo m tahu dar perode koers buga setelah pembayara terakhr dlakuka, dapat dlambagka dega (, dmaa s m) s a ( ) d ( ) (4.2) Akbat dar autas jatuh tempo pada persamaa 4. da 4.2 adalah da a ( ) d d a ( ( d m) ( ) ( ) s ( ) d d s ) ( ( d m) ) 7

8 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d setap pembayara dbawah yag dlakuka setap m tahu dar perode koers buga medekat dapat dhtug sebaga berkut: ( a m) ( m ( m ) ) ( a m) m ( m a a ) a a Da juga, ( s m m) ( ) s 3. Other Cosderatos ( Autas Sepajag Masa ) Pada saat frekues pembayara perpetutas lebh dar buga yag dkoers, berkut persamaa yag aalog dega persamaa (3.20) da (3.2) da a a d (4.7) (4.8) Cotoh 4.7 Pembayara $400 per bula dlakuka selama sepuluh tahu. Tetuka: a. la tua dar pembayara selama dua tahu sebelum pembayara pertama b. Nla akumulas tga tahu setelah pembayara terakhr. guaka rumus berdasarka tgkat buga efektf Peyelesaa: a a (2) ( a (2) 2 a (2) 2 ) b. (2) 3 (2) 4800s ( ) 4800( 0 s 3 s (2) 3 ) 8

9 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d Cotoh 4.8 Guaka cotoh 4.2, megguaka pedekata yag dkembagka dalam baga 4.4 Peyelesaa: 2 (2) Ra R 500 a (2) (2) a (.02348)(7.727) $9.89 Cotoh 4.9 Berapa tgkat buga efektf tahua pada la tua dar sejumlah pembayara sebesar $ setap eam bula lamaya, dega pembayara pertama sama dega $ 0?. Peyelesaa: Persamaa laya: ( ) ( 0.9 ) atau 23.46% 4.5 Cotuous Auttes (Autas kotu) Kasus khusus pada autas yag dbayarka dega frekues lebh dar buga yag dkoers adalah salah satu pembayara tak terhgga, Cotoh: pembayara yag dlakuka kotu. Kta aka meetuka la tua pada autas yag dbayarka secara kotu utuk buga yag dkoers selama perode. Sedemka sehgga total dar jumlah autas yag dbayar selama setap perode buga yag dkoers adalah satu dega smbol a, persamaa dar a adalah a 0 dt Persamaa t dt merupaka la tua dar pembayara dt yag dperoleh dar la t. Persamaa sederhaa dapat dformaska dega tegral: 9

10 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d a 0 dt = t log e 0 = e δ (4.20) Persamaa (4.20) aalog dega persamaa (3.2).terdapat ketepata atara cara membayara dega hasl persamaa. Persamaa (4.20) dapat dperoleh sebaga berkut: a = lm a (m) m = lm m (m) = δ atau a = lm a (m) ( ) m = lm m d (m) = δ Autas kotu adalah kasus lmt pada autas pembayara. Dapat dguaka utuk dtuls a dalam betuk a dega peyesuaa: a = δ a = s a (4.2) Nla pada δ = s dapat dhtug lagsug da terdapat pada tabel tgkat buga pada Appedx I. Nla akumulas dar autas kotu pada akhr autas ddefska dega s. s = 0 π ( + ) t = ( + ) t log e ( + ) = ( + ) δ = δ s = s s = lm s (m) (m) m ~ = lm s m ~ pegetahua tambaha tetag autas kotu dapat dperoleh melalu persamaa (4.22) sehubuga dega batas atas lmt da kemuda meggat dega t, dperoleh d s dt t = (+) t dt π 0 0

11 = + δs t (4.25) Serupa dega persamaa (4.9) dapat dperoleh d dt a t = t = δa t (4.26) Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d Dar persamaa (4.26) juga dapat dperoleh terpretas secara erbal, yag berbeda dega mater tambaha yag d bahas pada bab 6. Kta dapat meetukala autas kotu secara tepat dalam hal kekuata buga δ. ketka hal dlakuka, maka persamaa (4.26) mejad a = e δ δ Da persamaa (4.23) dapat mejad s = eδ δ Cotoh 4.0 Tetuka tgkat buga, dmaa Peyelesaa: Megguaka formula 4.28, maka s 3 20 s0 e e ( e 20 Namu, e e e 0 2)( e 2 log 0 e ) e meyratka bahwa atau 6.93% 0 sehgga kta memlk 4.6 Macam-macam Autas Dasar (Basc Varyg Autes) Sejauh semua autas daggap memlk tgkat pembayara.kta sekarag meghapus pembatasa da megaggap autas dega pembayara berubah. Pada secto, aka dasumska bahwa perode pembayara da perode koers buga adalah sama.

12 Macam-macam autas yag aka ddskuska adalah Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d. Macam-macam pembayara (paymets aryg) dalam deret artmatka. 2. Macam-macam pembayara (paymets aryg) dalam deret geometr. 3. Pola pembayara laya.. Macam-macam pembayara (paymets aryg) dalam deret artmatka. Pada autas akhr dega jagka waktu perode dmaa pembayara dmula pada P da megkat sebesar Q per perode sesudahya. Dega P harus postf da Q boleh postf atau egatf selama P + (-)Q> 0. P P+Q P+(-2)Q P+(-)Q Msalka A adalah la tua autas, maka A = P + P + Q 2 + P + 2Q P + 2 Q + [P + Q] I merupaka kombas deret artmatka da deret geometr. Kta dapat meyelesaka persamaa aljabar datas dega megalka raso pada deret geometr. + A = P + P + Q + P + 2Q 2 + P + 3Q [P + Q] A = P + P + Q + P + 2Q 2 + P + 3Q P + Q A A = P + P + Q + P + 2Q 2 + P + 3Q P + Q [P + P + Q 2 + P + 2Q P + 2 Q + P + Q ] Msalka S utuk la akumulas : Igat :s = a ( + ) A = P + Q + Q 2 + Q Q P Q A = P + Q( ) P Q A = P( ) + Q( ) Q A = P ( ) + Q a A = Pa + Q a 2

13 S = Ps + Q s Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d Pada autas megkat, jka P = da Q =, maka la tua autas dotaska(ia) yatu 2 - (Ia) Ia = a + a = + a = a + ( + ) = a + Ia = a (Is) Nla akumulas autas, Is adalah Is = Ia ( + ) Is = s = s + ( + ) Kta bsa meetuka Ia dega megguaka formula pada autas tertuda (deferred autes) yatu m a = a m+ a m sehgga Ia = Ia = Ia = + t=0 t=0 t t a t t

14 Ia = + Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d Ia = Ia = a Pada autas meuru, jka P = da Q = -, maka la tua autas dotaska (Da) yatu - 2 (Da) Da = a a = a + = a (Ds) la akumulas autas dotaska (Ds) yatu Ds = Da ( + ) = ( + ) s Kta bsa meetuka Da dega megguaka pedekata pada tgkat autas Da = = t= = t= t a t

15 Utuk bermacam-macam perpetutas : Dega Da = Da = a A = Pa + Q a Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d lm a = da lm = 0 Maka A = P + Q 2 P da Q harus postf. Pedekata alteratf utuk mecar persamaa utuk bermacam-maca autas megkut 3 kuattas berkut : F = (la tua pembayara pada akhr perode) G = d perode) (la tua tgkat perpetutas per perode, pembayara pertama pada akhr H = d2 (la tua perpetutas megkat,2,3,..., pembayara pertama pada akhr perode) 2. Macam-macam pembayara (paymets aryg) dalam deret geometr Pada autas akhr dega perode dmaa pembayara pertama adalah da pembayara selajutya megkat pada deret geometr dega raso +k. Nla tua autas adalah Dega deret geometr dperoleh k + 3 ( + k) ( + k) + k + + k + = + k + ( k) = + k + k 5

16 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d Pada persamaa dapat dealuas dega perhtuga lagsug. Bak +k + atau mugk + +k sama dega +j utuk beberapa j dega fugs buga tabulas. Jka k= maka formula tdak terdefs. Namu, la tua haya. Nla tua perpetutas aka ada jka 0 < +k + Jka +k + < dmaa kasus pejumlaha deret geometr ada. deret geometr derge da la tua perpetutas tdak ada. 3. Pola pembayara laya Terdapat perbedaa atara stlah aryg auty da arable auty.autas arabel adalah tpe autas dmaa pembayara beraras sesua dega pegalama estas dar aku estas yag medasar, basaya destaska pada saham. Cotoh :. Guaka tekk yag melbatka F, G, H utuk medapatka formula Ia = a da Da = a a. Pembayara drepresetaska dega Ia yatu H H +. G + d d 2 d = d + + d = d d = d = a b. Pembayara drepresetaska dega Da yatu. G (H 2 H +2 ). d 2 d 2 +2 d 2 = 2 ( ) = a 2. Autas meyedaka utuk 20 pembayara tahua, pembayara tahu pertama yatu $000. Pembayara megkat sehgga setap pembayara adalah 4% pembayara sebelumya.tetuka la tua dar autas pada tgkat buga efektf tahua adalah 7%. 6

17 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d Dega megguaka formula + k + k = = = $ Macam Autas (Tujaga) yag Lebh Umum Macam autas yag djelaska d baga 4.6 dasumska bahwa perode pembayara da koers buga sebadg da bertepata.pada baga 4.7 pembatasa sepert tu dubah. Pada praktekya, bermacam autas dega pembayara yag dbuat dega frekues yag sedkt atau dperbayak dar pada buga coertble (meyesuaka)yag jarag terjad. Kta aka mempertmbagka geeralsas dar autas yag megkat, (Ia), dega buga yag lebh koertbel da frekues yag lebh sedkt dbadg pembayara yag dbuat. Autas yag la dega pembayara yag berubah secara artmetk (deret ukur) dapat datas secara aalog. Pertmbaga pertama dalam kasus dmaa pembayara dbuat lebh jarag da buga yag dapat berubah. Msalka k adalah blaga perode perubaha buga dalam satu perode pembayara, msalka meyataka besarya autas berdasarka perode perubaha buga.blaga pembayara adalah /k, yag berupa blaga bulat. Mssal A adalah preset alue dar geeralsas autas ak. A = k + 2 2k + + k k + k () da + k A = + 2 k + + k 2k + k k (2) Sekarag elmas persamaa () dega (2) + k A = + 2 k + + k 2k + k k A = k + 2 2k + + k k + k + k A A = + 2 k k + 4 2k 2 2k + + k k 7

18 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d Dapat pula d tuls sebaga: A = a k s k Rumus (4.40) adalah ers geeralsas dar formula (4.3), slahka lhat persamaaya! Lebh lajut pada kasus dmaa pembayara dbuat lebh serg darpada buga yag berubah (koertbel). Dua perbedaa hasl mucul berdasar Meggat stuas dmaa laju pembayara kosta selama setap perode perubaha buga dega keaka terjad haya sekal per perode perubaha buga. Kta bsa memafaatka hubuga atara perlaku terjadya pembayara da besarya buga pada pembag utuk meghaslka ers rumus yag d geeralsas dar rumus (4.3) (Ia) (m) = a (4.4) (m ) Rumus (4.4) memberka preset alue dar -perode autas saat, dbayarka per-m dmaa pembayara selama perode pertama adalah /m, pembayara kedua 2/m, dst, hgga tap pembayara selama perode adalah /m Lebh lajut pada stuas dmaa laju pembayara berubah tap perode pembayara. Adaka pegkata autas dapat dbayarka selama /m tap perode perubaha buga pada ahr dar m pertama dar perode perubaha buga, 2/m tap perode perubaha buga pada m yag ke dua, dst. Maka pembayara pertama harus lah 2 m 2, yag ke-2 haruslah m 2, dst. D tujuka preset alue pada autas sepert adalah (Ia) (m), dega persamaa (I m a) (m) = m 2 m m + + m m m pembukta slahka car! = a (m) (m) autas dmaa pembayara bermaca deret geometr, dmaa perode pembayara da perode perubaha buga berbeda adakalaya dapat dtemuka. Meskpu demka, layakya autas awal tdak ada kesulta baru. Dapat segera d selesaka dega megekspreska la autas sebaga jumlaha pada deret geometr dapat dega segera dtaksr. Tehk dlustraska pada cotoh

19 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d cotoh 4.6 carlah preset alue dar ketakhggaa yag dbayar pada ahr dar tahu ke-3, 2 pada ahr tahu ke-6, 3 pada ahr tahu ke-9, dst jawab: Msalka la preset alue dar perpetutas adalah A, maka A = A = A 3 = = 3 A = Jad preset alue yatu A sebesat A = Cotoh 4.7 Carlah la akumulas pada ahr dar 0 tahu dar sebuah tujaga ( autas) yag dbayarka pada awal tap tegah tahu selama 5 tahu. Besarya pembayara adalah $ 2000, da tap pembayara sebesar 98% dar pembayara sebelumya. Buga kredt 0% berubah secara kuadratk. Kta dapat meghtug tap perode dalam perempat tahu. Nla akumulas adalah P = 2000[ ] = = 40,052 a (m) = = (m) =

20 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d 4.8 Macam Autas Kotu Autas kotu merupaka pembayara yag dlakuka secara terus meerus dega la pembayara yag berbeda utuk setap pembayara selama tahu. Nla sekarag (t=0) dar autas, dmaa pembayara pada waktu t ddefska sebaga f t dt da tgkat buga efektf tahua, dhtug sebaga berkut : PV = Ia = f t t dt Jka buga yag dberka berupa arabel δ t da f t e t δ r dr 0 dt merupaka la saat dar pembayara f t dt pada waktu t maka la saat dar aras autas kotu perode adalah PV = Ia = f t e δ r dr 0 dt 0 0 t Cotoh: Tetuka la sekarag dar autas kotu selama tahu dega tgkat buga efektf sebesar δ da besar pembayara pada waktu ke t adalah sebesar t 2 Daftar Pustaka Theory of Iterest, Kellso, S.G., 99, 2 d Edto, Mc Graw Hll 20

21 Husa Arfah, M.Sc : Autas yag lebh Umum Emal :husaarfah@uy.ac.d 2