Penurunan Persamaan Perpetuitas dan Anuitas

Transkripsi

1 SEMINR NSIONL MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK UNY 2016 Peurua Persamaa Perpetutas da utas T - 6 Bud Fresdy Fakultas Ekoom da Bss Uverstas Idosa bstrak Mahasswa bss da akutas, debtor bak, da vestor memerluka persamaa-persamaa matematka keuaga utuk meghtug la sekarag atau la aka datag dar perpetutas da autas. Semua utag dega peluasa secara agsura da skedulya memerluka kosep autas la sekarag (PV). pakah tu kredt pemlka rumah (KPR), kredt pemlka aparteme (KP), kredt mult gua, atau utag leasg. Dalam akutas, meghtug amortsas ago atau dsago oblgas juga berhubuga dega kosep autas la sekarag (PV). Semetara kosep perpetutas dguaka vestor utuk valuas sepert valuas saham, propert, da usaha. Terakhr, kosep autas la aka datag (FV) bayak dterapka utuk perecaaa keuaga sepert peyusua skg fud atau utuk akumulas daa utuk pesu, baya peddka aak, da laya. Dega mapulas matematka, kta dapat meuruka semua persamaa utuk perpetutas da autas yag basa dguaka dar persamaa dasar. Kata kuc: utas, Nla aka datag, Nla sekarag, Perpetutas, Persamaa dasar. I. PERSMN DSR da bayak varas autas da perpetutas dalam bss da akutas (Fresdy, 2010). Beberapa d ataraya adalah persamaa la sekarag (PV) utuk autas & perpetutas basa, autas & perpetutas d muka, autas & perpetutas dtuda, da autas & perpetutas bertumbuh. Sela tu, mash ada persamaa la aka datag utuk autas basa, autas d muka, da autas bertumbuh. Meggat ada belasa persamaa la sekarag da la aka datag utuk autas da perpetutas, mahasswa bss da prakts keuaga memadag perlu meghafal persamaa-persamaa tersebut. Dega matematka keuaga, usaha meghafal sejatya tdak dperluka. Sepert matematka laya, dega mapulas sederhaa da haya bermodalka persamaa dasar, kta dapat meuruka semua persamaa autas da perpetutas yag ada. Persamaa dasar yag dperluka dalam matematka keuaga adalah persamaa yag dkembagka Irvg Fsher sejak tahu 1930-a (Fsher, 1930) utuk meghtug la sekarag (PV) dar sebuah la aka datag (FV) pada perode dega megguaka tgkat dskoto. FV ) PV ( 1 sehgga PV FV FV (1 (1 ) ) Cotoh 1 (Meghtug Preset Value) Seorag karyawa bermaksud membel produk vestas utuk baya peddka yag berla Rp pada tahu ke-8. Jka retur vestas tersebut adalah 6% per tahu, berapakah daa yag harus a vestaska saat? FV = Rp = 8 = 6% PV FV (1 ) Rp (1+0,06) -8 MT 31

2 ISBN Rp ,7 Cotoh 2 (Meghtug Future Value) Pak Had megvestaska uag sela Rp pada sebuah bak yag memberka suku buga bersh 7% per tahu selama 10 tahu. Jka suku buga tersebut tdak berubah selama perode vestas, berapakah jumlah uag Pak Had pada akhr perode vestas? Rp = 7% = 10 FV PV ( 1 ) FV = Rp (1+0,07) 10 FV = Rp ,5. Perpetutas II. PEMBHSN Perpetutas adalah ragkaa arus kas sebesar yag terus meerus dar perode 1 (atau 1 perode lag) hgga perode tak hgga dega terval waktu yag sama, da dapat dgambarka sebaga berkut: Nla sekarag atau PV dar perpetutas d atas (dsebut juga perpetutas basa) adalah: PV (1 ) (1 ) 2 (1 ) 3 (1 ) (1) I adalah deret geometr dega faktor pegal atau raso r = 1. Jka Persamaa (1) d atas kta 1 kalka dega (1/faktor pegal) atau (1+) d kedua ruas kr da kaa, kta aka medapatka Persamaa (2) sebaga berkut: PV 1 ) (1 ) (1 ) ( 2 (1 ) (2) Jka Persamaa (2) dkurag dega Persamaa (1), maka aka dperoleh hasl sebaga berkut. PV (1+) PV (1+ 1) = PV () = PV (3) Ilah persamaa preset value utuk perpetutas basa. Cotoh 3 (Perpetutas Basa) Sebuah produk vestas meawarka mbal hasl sebesar Rp per tahu seumur hdup. Jka suku buga dasumska tetap sebesar 6% per tahu, berapakah la sekarag dar vestas tersebut? MT 32

3 SEMINR NSIONL MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK UNY 2016 = Rp = 6% PV Rp % Rp ,7 B. utas rus kas dalam perpetutas dbayarka atau dterma terus-meerus mula perode 1 hgga perode tak hgga (). Jka perode arus kas teryata terbatas, kataka mula perode 1 hgga perode atau selama kal, kta meyebutya dega autas. Dega kata la, autas, atau basa dsebut autas basa, adalah ragkaa arus kas sebesar dega terval waktu yag sama msalya bulaa atau tahua mula dar perode 1 hgga perode. utas basa sejatya adalah selsh dua perpetutas yatu perpetutas basa sepert yag djelaska d atas da perpetutas dtuda yatu perpetutas yag dmula pada perode +1. Oleh karea tu, persamaa utuk autas basa dapat dturuka sebaga selsh dua perpetutas d atas yatu perpetutas 1 da perpetutas 2. Perpetutas 1 merupaka perpetutas basa N N+1 Sebagamaa hasl yag dturuka d atas, la sekarag PV (Persamaa 3). Perpetutas 2 merupaka perpetutas dtuda yatu perpetutas yag arus kasya dmula pada perode +1 sampa perode. Hgga perode, tdak ada arus kas da dapat dgambarka sebaga berkut N N+1 Dega PV =, la sekarag (PV) pada perode 0 atau PV0 = ( 1 ) (4) Jka Perpetutas 1 dkurag Perpetutas 2, kta aka memperoleh autas dega arus kas mula dar perode 1 hgga perode N Utuk medapatka persamaa utuk la sekarag (PV) dar autas d atas, kta aka megurag Persamaa (3) dega Persamaa (4). Kareaya, la sekarag dar autas basa adalah: MT 33

4 ISBN ( 1 ) 1 1 (1 ) PV= 1-(1+) - ( ) (5) Cotoh 4 (Perpetutas Dtuda) Sebuah produk vestas meawarka autas sebesar Rp per tahu seumur hdup, yag dmula dar tahu ke 5. Jka mbal hasl yag dharapka dasumska tetap sebesar 6% per tahu, berapakah la sekarag dar vestas tersebut? = Rp = 6% +1 = 5, dega demka = 4 ( 1 ) Rp % (1 6%) 4 Rp ,5 Cotoh 5 (Preset Value utuk utas Basa) Berapakah la sekarag dar arus kas sebesar Rp yag dmula dar tahu ke 1 sampa dega tahu ke 4, jka mbal hasl yag dharapka selama perode tersebut adalah 6%? = Rp = 6% = 4 1-(1+) - ( ) Rp % Rp ,1 ( 1-( 1+ 6% ) -4 ) Nla sebesar Rp ,1 sama dega selsh dar Cotoh Soal 3 da 4 (Rp ,7 Rp ,5). Hal meujukka bahwa autas basa dapat dperoleh dar selsh perpetutas basa da perpetutas dtuda. Semetara utuk memperoleh persamaa autas utuk la aka datag (future value) dberka la sekarag, kta aka megguaka persamaa dasar. FV = ( 1 = PV ) 1 (1 ) ( 1 ) MT 34

5 SEMINR NSIONL MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK UNY 2016 FV = ( 1 ) 1 (6) Cotoh 6 (Future Value utuk utas Basa) Wra meyshka dar peghaslaya Rp per bula selama 25 tahu utuk bekal pesuya. Jka retur yag dperolehya adalah 6% p.a., berapakah la vestasya pada akhr tahu ke 25? = FV = FV = = Rp % 12 = 0,5% = 25 tahu x 12 bula = 300 bula ( 1 ) 1 Rp ,5% FV = Rp ,4 (( 1+ 0,5% ) 300-1) C. Perpetutas Bertumbuh Perpetutas bertumbuh berbeda dar perpetutas basa dalam hal adaya pertumbuha sebesar g setap perode yag tdak ada dalam perpetutas basa atau g = 0 pada perpetutas basa. Kareaya, jka ragkaa arus kas dalam perpetutas basa adalah sama besar yatu ; dalam perpetutas bertumbuh, arus kas bertumbuh yatu mula dar satu perode lag mejad (1+g) pada perode kedua, (1+g) 2 pada perode ketga, da seterusya. Ragkaa arus kas dalam perpetutas bertumbuh dapat dgambarka sebaga berkut. (1+g) (1+g) 2 (1+g) -1 (1+g) (1+g) N N+1 Nla sekarag atau preset value dar perpetutas bertumbuh dapat dperoleh dar mapulas matematka megguaka dua persamaa sebaga berkut. Persamaa berkut merupaka la sekarag (PV) dar ragkaa arus kas sebuah perpetutas bertumbuh. PV= 2 (1 g) (1 g) (1 g) 2 3 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 (7) 1 g I adalah sebuah deret geometr dega raso pegal. Faktor pembeda atara la suku 1 1 g pertama da suku kedua, atara suku kedua da suku ketga, da seterusya adalah. Jka 1 1 g Persamaa (7) d atas dkalka dega faktor pembeda yatu d kedua ruasya yatu kr da 1 kaa, aka dperoleh persamaa berkut. MT 35

6 ISBN g PV 1 = (1 g) 2 (1 ) (1 g) 3 (1 ) 2 (1 g) (1 ) (8) Jka Persamaa (7) dkurag dega Persamaa (8), aka dperoleh hasl sebaga berkut. 1 g PV PV = 1 ( 1 ) 1 g PV1 = 1 ( 1 ) (1 ) (1 g) PV = 1 ( 1 ) g PV = 1 ( 1 ) PV ( g) = ( g) I adalah persamaa la sekarag utuk perpetutas bertumbuh. (9) Cotoh 7 (Perpetutas Bertumbuh) Sebuah vestas meawarka arus kas sebesar Rp tahu depa yag aka megkat 5% per tahu utuk seumur hdu[. Jka tgkat dskoto yag releva adalah 7% per tahu, berapakah la sekarag vestas tersebut? = Rp g = 5% = 7% ( g) Rp %- 5% Rp D. utas Bertumbuh Berbeda dega perpetutas bertumbuh dega perode hgga tak terhgga, perode dalam autas bertumbuh terbatas yatu haya sampa perode. Sama sepert persamaa autas basa yag merupaka selsh dar perpetutas basa dkurag perpetutas dtuda, persamaa utuk autas bertumbuh juga dapat dperoleh dar peguraga perpetutas bertumbuh dtuda dar perpetutas bertumbuh basa. Perpetutas bertumbuh basa mempuya arus kas sepert d bawah. MT 36

7 SEMINR NSIONL MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK UNY 2016 (1+g) (1+g) 2 (1+g) -1 (1+g) (1+g) N N+1 Sebagamaa sudah dturuka d atas, la sekaragya atau ( g) (Persamaa 9). Semetara perpetutas bertumbuh yag dtuda selama perode atau perpetutas yag dmula dar perode +1 dapat dgambarka da dhtug la sekarag pada perode (PV ) sebaga berkut. (1+g) (1+g) N N+1 Utuk medapatka la sekarag (PV) pada perode 0, kta kembal megguaka persamaa dasar Sehgga PV 0 = (1 g) ( g) (1 ) (10) Jka dua ragkaa arus kas d atas kta kurag, maka aka dperoleh ragkaa arus kas sebaga berkut. (1+g) (1+g) 2 (1+g) N Nla sekarag dar autas bertumbuh dega ragkaa arus kas sepert d atas adalah dega meghtug selsh kedua persamaaya yatu Persamaa (9) Persamaa (10). PV= ( g) (1 g) ( g) (1 ) ( g) (1 g) 1 (1 ) (11) Cotoh 8 (Perpetutas Bertumbuh Dtuda) Sebuah vestas meawarka arus kas mula dar Rp tahu depa yag megkat 5% per tahu utuk seumur hdup. Jka tgkat dskoto yag releva adalah 7% per tahu, berapakah la sekarag vestas tersebut? = Rp = 5, dega demka = 4 g = 5% = 7% MT 37

8 ISBN (1 g) ( g) (1 ) Rp (1+ 5%) 4 (7%- 5%) (1+ 7%) 4 Rp ,3 Cotoh 9 (Preset Value utas Bertumbuh) Berapakah la sekarag dar arus kas Rp pada tahu ke 1 yag megkat 5% per tahu sampa dega tahu ke 4, jka tgkat dskoto yag releva adalah 7%? = Rp = 4 g = 5% = 7% (1 g) ( g) 1 (1 ) Rp æ (1+ 5%)4 ö ç1- (7%- 5%) è (1+ 7%) 4 ø Rp ,7 Nla sebesar Rp ,7 sama dega selsh dar Cotoh Soal 7 da 8 (Rp Rp ,3). Hal meujukka bahwa autas bertumbuh dapat dperoleh dar selsh perpetutas bertumbuh basa da perpetutas bertumbuh dtuda. Semetara utuk medapatka persamaa la aka datag dar autas bertumbuh, kta kembal megguaka persamaa dasar. FV = FV= PV ) ( g) ( 1 = (1 g) ( g) 1 (1 ) ( 1 ) (1 g) ( 1 ) = ( g) 1 ) (1 g) (1 ) ( 1 ) ( (12) Cotoh 10 (Future Value utas Bertumbuh) Selama 10 tahu a aka meyshka peghaslaya utuk dtabug, mula dar Rp tahu depa dega pertumbuha sesua dega pegkata gaj tahuaya. Jka pertumbuha gaj a sebesar 6% da suku buga releva 8% per tahu, berapakah la tabuga a pada tahu ke 10? = Rp = 10 g = 6% = 8% FV = FV = ( g) Rp (8%- 6%) ( 1 ) (1 g) ((1+8%) 10 -( 1+ 6% ) 10 ) MT 38

9 SEMINR NSIONL MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK UNY 2016 FV = Rp ,9 E. Perpetutas d Muka Varas la dar perpetutas adalah perpetutas d muka. Perpetutas d muka berbeda dar perpetutas basa dalam hal perode utuk arus kas pertama. Dalam perpetutas basa, arus kas pertama terjad pada perode 1, sedagka dalam perpetutas d muka, arus kas mula perode 0 atau har. Semetara perode utuk arus kas laya sama. Dega demka, perpetutas d muka adalah perpetutas basa dtambah arus kas perode 0 sebesar PV Perpetutas d Muka = PV Perpetutas Basa + PV Due = (13) Cotoh 11 (Perpetutas d Muka) Sebuah perusahaa bermaksud meawarka produk vestas yag memberka arus kas sebesar Rp per bula yag dmula sejak dbelya vestas tersebut. Jka retur yag releva dasumska 9% per tahu, berapakah harga wajar produk vestas tersebut? = PV Due = PV Due = PV Due = Rp % = 0,75% 12 Rp , 75% + Rp = Rp ,7 F. utas d Muka Megguaka aalog yag hampr sama sepert utuk perpetutas d muka, kta juga dapat meuruka persamaa la sekarag utuk autas d muka dar persamaa la sekarag autas basa. Kedua autas mempuya kesamaa dalam hal ada kal arus kas sebesar. Perbedaaya, dalam autas basa, perode arus kas tu mula perode 1 hgga perode. Dalam autas d muka, perodeya mula perode 0 atau har hgga perode 1. utas basa dgambarka sebaga berkut N-1 N utas d muka dgambarka sebaga berkut. MT 39

10 ISBN N-1 N Dega kata la, perbedaa kedua autas hayalah pada perode dalam autas basa dgat dega pada perode 0 dalam autas d muka, semetara utuk (-1) arus kas laya sama. Kareaya, persamaa la sekarag utuk autas d muka adalah: PV Due = PV utas basa sampa perode -1 + PV Due = (1 ) 1 1 (14) Cotoh 12 (Preset Value utas d Muka) Kayla bermaksud megambl KPR dega besar ccla maksmal sebesar Rp per bula yag dmula pada saat tada taga perjaja selama 10 tahu. Jka suku buga dasumska tetap 12% per tahu, berapakah plafo pjama maksmal yag dapat dperoleh Kayla? = = Rp % 12 = 1% per perode = 10 tahu x 12 bula = 120 bula 1 1 (1 ) Rp (1+1%) % Rp ,3 ( ) + Rp Terakhr, kta juga dapat meuruka persamaa la aka datag (FV) utuk autas d muka dar persamaa la aka datag utuk autas basa dega sedkt modfkas. Meggat arus kas pertama pada autas d muka adalah har atau perode 0, maka la aka datag (FV) dalam persamaa autas basa sudah tercapa pada perode 1 (agsura terakhr) dalam autas d muka. Gambar dar dua autas d atas adalah sebaga berkut. utas Basa N-1 N utas d Muka MT 40

11 SEMINR NSIONL MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK UNY 2016 FV=? N-1 N Berdasarka pemahama, jka dmta meghtug la aka datag (FV) pada perode, kta cukup meambahka buga dalam perode terakhr yatu FV(). Dega demka, persamaa la aka datag (FV) utuk autas d muka adalah: FV Due = FV (1+) FV Due = ( 1 ) 1 (1 ) (15) Cotoh 13 (Future Value utas d Muka) Rao g memlk daa cadaga yag dapat dguaka saat pesu. Utuk tu, Rao meyshka peghaslaya sebesar Rp per bula dmula har, selama 20 tahu. Jka mbal hasl yag dapat dperolehya adalah 9% p.a., berapakah la vestasya pada akhr tahu ke-20? = = Rp % 12 = 0,75% = 20 tahu x 12 bula = 240 bula FV Due = ( 1 ) 1 (1 ) FV Due = Rp , 75% (1+ 0, 75%)240-1 ( ) (1+ 0, 75%) FV Due = Rp ,1 la dar perpetutas adalah perpetutas d muka. Perpetutas d muka berbeda dar perpetutas basa dalam hal perode utuk arus kas pertama. bertumbuh berbeda dar perpetutas basa dalam hal adaya pertumbuha sebesar g setap perode yag tdak ada dalam bertumbuh berbeda dar perpetutas basa dalam hal adaya pertumbuha sebesar g setap perode yag tdak ada kas dalam perpetutas dbayarka atau dterma terus-meerus mula perode 1 hgga perode tak hgga (). Jka perode arus kas teryata terbatas, kataka mula perode 1 hgga perode atau selama kal, kta meyebutya dega autas. Dega kata la, autas, atau basa dsebut autas basa, adalah ragkaa arus kas sebesar dega terval waktu yag sama msalya bulaa atau tahua mula dar perode 1 hgga perode. III. SIMPULN Persamaa-persamaa perpetutas bayak dguaka utuk valuas da meghtug kebutuha uag pesu. Sedagka persamaa-persamaa autas la sekarag (PV) dperluka utuk urusa semua kredt yag dluas dega agsura termasuk peyusua skedulya. Semetara aplkas persamaapersamaa autas la aka datag adalah dalam perecaaa keuaga sepert peyusua skg fud da akumulas daa utuk tujua keuaga tertetu. MT 41

12 ISBN Mahasswa bss da akutas serta prakts keuaga haya perlu meguasa persamaa dasar FV = PV (1+) utuk dapat meuruka semua persamaa perpetutas da autas. Dega mapulas sederhaa da logka matematka keuaga, persamaa la sekarag utuk perpetutas da autas bak basa, dtuda, d muka, da bertumbuh dapat dperoleh. Jka persamaa la sekarag utuk autas basa, autas bertumbuh, da autas d muka sudah dperoleh, persamaa la aka datagya dapat dega mudah dturuka dega megalka faktor compoudg (1+) sesua persamaa dasar FV = PV (1+). DFTR PUSTK [1] Fresdy, Bud, Matematka Keuaga eds 3 Revs, Peerbt Salemba Empat, [2] Fsher, Irvg, The Theory of Iterest, The Macmlla Compay, MT 42