Pelabelan Product Cordial Gabungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm Tertutup SKRIPSI

Transkripsi

1 Pelabela Product Cordial Gabuga Salia di atara Gra Helm da Gra Helm Tertutup SKRIPSI Utuk memeuhi sebagia persyarata mecapai derajat Sarjaa S-1 Disusu oleh Ira Setiawa PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 2015

2 e,j Uiversitas lstam Negeri Sua Kaliiaga ar rf-',- FM-UTNSK-BM-O5-o3/RO Hal : Persetujua Skipsi Lamp : - Kepada Yth. Deka Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijag Yogyakat di Yogyakarta Assalamu?laikum wr. wb. Setelah membaca, reeliti, merberika petujuk da regoreki serta megadaka perbailo seperluya, malo lomi selaku perbimbig berpedapat bahwa skipsi Saudara: Nama : Ira Setiawa NIM :1161i49 Judul Skipsi.: Pdabela Wrct@rdialGabuga Salia di atara Gra Helm da Gra Helm Tetrtup sudah dapat dhjuka kembali kepada Prcgram Studi llatematika Faultas Sais da Tekologi UIN Sua lgluaga Yogtrakata sebagai sahh sall qarat utuk memperoleh gelar Saiaa Si Satu datam Program Studi MatemaUka Fakullas Sais da Tekologi. Dega ii kami megharap agar skipsi/trgas akhir Saudam tersebut di atas dapat segera dimuaqosrphlo. Atas perhatiaya kami ucapka terima losih. Wasslamu'alaikum w wb. Yogyakarta, 12 Mei 2015 Dra. Khurul Warpati, M.Si. NIP

3 I,4. *..'.J Uiversitas lslam Negeri Sua Kaliiaga A'r CERT t-e'"- Flrl -UI NSK-BM-O5-O3/ RO Hal : Persetujua Skipsi Lamp : - Kepada Yth. Deka Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua lglijag Yogryrakarta di Yogyakarta Asglamu'alakum wr. wb. Setelah membaca, meeliti, merberika petujuk da megoreksi serta megadaka perbaika seperluya, malo lomi sdalar pembimbig berpedapat bahwa skipsi Saudam: Nama : Ira Setiawa NIM :1151i219 Judul Skipsi.: Pelabela Wuct@rdial@buga Salia di atara Gra Helm da Gra Helm TerhrUp sudah dapat diajulo kembali kepada Program Sh.rdi MatemaUka Fal(ljltas Sais da Tekologi UIN Sua KalUaga YogryElGrta sebagai salah sauj qbrat utrk memperoleh gelar Sarjaa Strata Satu dalam Program S[rdi MatemaUka Fakultas Sais da Tetologi. Dega ii kami megharap agar skipsi/tugas akhir Saudar:a tersebut di atas dapat seger dimuaqsyahka. Atas perhauaya kami ucapka terima kasih. Wassbmu'abikum wr. wb. Yogyakarta, 12 lvlei 2015 PAbis rr_* t..={,-- V-\Y Ptuehammad Abrori, S.Si., M.Kom. NrP. L iii

4

5 SURAT PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI Saya yag bertada taga di bawah ii: Nama NIM Ira Setiawa Prodi/Smt : Materatika/ VIII Fakultas Sais da Tekologr Meyataka dega sesugguhya bahwa skripsi yag berjudul "Pelabela Prodttct Cordial Gabuga Salia di atara Gra Helm da Gra Helm Tertr.ttup" adalah bear-bear hasil karya sediri melaika buka jiplaka, kecuali jika dalam pegutipa substasi disebutka sumberya dalam datar pustaka da setriajag pegetahua saya juga tidak terdapat karya dalam tugas akhir yag perah ditulis oleh orag lai. Yogyakarta, 18 Mei 2015 Yag meyataka, NrM

6 HALAMAN PERSEMBAHAN Saya mempersembahka karya ii utuk almamater tercita Uiversitas Islam Negeri Sua Kalijaga, kedua orag tua tercita da semua pihak yag telah megerahka segala batuaya. vi

7 HALAMAN MOTTO Jagalah kamu bersikap lemah, da jaga pula kamu bersedih hati, padahal kamulah orag-orag yag palig tiggi derajatya, jika kamu orag-orag yag berima. (Surah Al-Imra Ayat 139) Semagatlah dalam hal yag bermaaat utukmu, mita tologlah pada Allah, da jaga malas (patah semagat). (H.R. Muslim No. 2664) Belajarlah selagi yag lai sedag tidur, bekerjalah selagi yag lai sedag bermalas-malasa, bersiap-siaplah selagi yag lai sedag bermai da bermimpilah selagi yag lai sedag berharap. (William Arthur Ward) vii

8 KATA PENGANTAR Peulis meyampaika puji da rasa syukur yag sebesar-besarya ke hadirat Allah Swt., yag telah megaugerahka segala karuia da hidayah-nya, sehigga Peulis dapat meyelesaika tugas akhir ii. Sholawat da salam semoga tercurahka kepada Nabi Muhammad Saw., beserta keluarga, sahabat, da seluruh umat Islam di duia. Ami. Tugas akhir dega judul Pelabela Product Cordial Gabuga Salia di atara Gra Helm da Gra Helm Tertutup telah diselesaika oleh peulis gua memeuhi salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Strata Satu di Program Studi Matematika pada Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta. Peulis meyadari sepeuh hati bahwa peulisa tugas akhir ii tidak aka terwujud sebagaimaa mestiya tapa disertai dega motivasi, araha, da bimbiga dari berbagai pihak. Saya sebagai peulis meyampaika ucapa terima kasih yag sebesarbesarya kepada: 1. Ibu Dr. Maizer Said Nahdi, M.Si. selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Sua Kalijaga Yogyakarta. 2. Bapak Dr. M. Wakhid Musthoa selaku Ketua Program Studi Matematika. viii

9 3. Ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si. selaku Pembimbig I yag telah meluagka waktu utuk membatu, memotivasi, membimbig da megarahka peulis dalam meyelesaika tugas akhir ii. 4. Bapak Abrori, S.Si., M.Kom. selaku Pembimbig II yag telah meluagka waktu membatu, memotivasi, membimbig da megarahka dalam meyelesaika tugas akhir ii. 5. Ibu Malahayati, M.Sc., selaku dose pembimbig akademik yag telah bersedia megarahka da memberika motivasi selama meduduki bagku kuliah di Program Studi Matematika. 6. Semua Bapak/Ibu dose yag telah membimbig saya lewat pegajara, araha, da dukuga selama meempuh pedidika di kampus tercita ii. 7. Ayahada, Ibuda, Kakak, da Adik tercita da tersayag yag selalu memberika dukuga lewat do a da kasih sayag sehigga membuat peulis selalu merasa bersemagat dalam megerjaka tugas akhir ii. 8. Semua sahabat di Podok Al-Barokah yag seatiasa selalu medo aka da memotivasi peulis dalam meyelesaika tugas akhir ii. 9. Tema-tema seperjuaga Matematika 2011 yag telah setia mejadi tema belajar peulis selama ii. 10. Semua pihak yag tidak dapat disebutka satu per satu yag telah membatu dalam peyelesaia tugas akhir ii. ix

10 x

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSETUJUAN SKRIPSI... HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI... HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI... HALAMAN PERSEMBAHAN... HALAMAN MOTTO... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMBANG... ABSTRAK... i ii iv v vi vii viii xi xiii xvi xvii xviii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakag Batasa Masalah Rumusa Masalah Tujua Peelitia Maaat Peelitia Tijaua Pustaka Sistematika Peulisa Metode Peelitia xi

12 BAB II LANDASAN TEORI Himpua Teori Gra Fugsi Kombiatorik Nilai Mutlak BAB III PELABELAN PRODUCT CORDIAL SISI PADA GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP Pelabela Product Cordial Sisi BAB IV PELABELAN PRODUCT CORDIAL GABUNGAN SALINAN DI ANTARA GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP Pelabela Product Cordial BAB V PENUTUP Kesimpula Sara DAFTAR PUSTAKA xii

13 DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Skema Peelitia Gambar 2.1 Gra G Gambar 2.2 Gra Tidak Berarah G Gambar 2.3 Gra G Gambar 2.4 Gra G Gambar 2.5 Gra G Gambar 2.6 Gra TerkoeksiG 6 da G Gambar 2.7 Gra Sederhaa G Gambar 2.8 Gra 3-reguler da 4-reguler Gambar 2.9 Gra Legkap K 1, K 2 da K Gambar 2.10 Gra Siklus C 4 da C Gambar 2.11 Gra G 9, G 10 da G9 G Gambar 2.12 Ilustrasi Fugsi Gambar 2.13 Jeis-Jeis Fugsi Gambar 3.1 Gra Roda W 3 da W Gambar 3.2 Gra G Gambar 3.3 Gra Helm H Gambar 3.4 Gra Helm Tertutup CH Gambar 3.5 Gra Siklus C Gambar 3.6 Gra Siklus C xiii

14 Gambar 3.7 Gra Siklus C Gambar 3.8 Gra Siklus C Gambar 3.9 Gra Helm H Gambar 3.10 Gra Helm H Gambar 3.11 Gra Helm H Gambar 3.12 Gra Helm H Gambar 3.13 Gra Helm Tertutup CH Gambar 3.14 Gra Helm Tertutup CH Gambar 4.1 Gra Gear G Gambar 4.2 Gra Gear G Gambar 4.3 Gra Gear G Gambar 4.4 Gabuga Litasa 3 Salia Gra Roda W Gambar 4.5 Gabuga Litasa 5 Salia Gra Helm H Gambar 4.6 Gabuga Litasa 5 Salia Gra Helm H Gambar 4.7 Gabuga Litasa 5 Salia Gra Helm H Gambar 4.8 Gabuga Litasa 5 Salia Gra Helm H Gambar 4.9 Gabuga Litasa 4 Salia Gra Helm H Gambar 4.10 Gabuga Litasa 4 Salia Gra Helm H Gambar 4.11 Gabuga Litasa 4 Salia Gra Helm H Gambar 4.12 Gabuga Litasa 3 Salia Gra Helm Tertutup CH Gambar 4.13 Gabuga Litasa 7 Salia Gra Helm Tertutup CH xiv

15 Gambar 4.14 Gabuga Litasa 4 Salia Gra Helm Tertutup CH Gambar 4.15 Gabuga Litasa 4 Salia Gra Helm Tertutup CH Gambar 4.16 Gabuga Litasa 4 Salia Gra Helm Tertutup CH Gambar 4.17 Gabuga 2 Salia Gra Helm H 4 dega Litasa P Gambar 4.18 Gabuga 2 Salia Gra Helm H 6 dega Litasa P Gambar 4.19 Gabuga 2 Salia Gra Helm H 3 dega Litasa P Gambar 4.20 Gabuga 2 Salia Gra Helm H 5 dega Litasa P Gambar 4.21 Gabuga 2 Salia Gra Helm Terutup CH 6 dega Litasa P Gambar 4.22 Gabuga 2 Salia Gra Helm Tertutup CH 6 dega Litasa P Gambar 4.23 Gabuga 2 Salia Gra Helm Tertutup CH 8 dega Litasa P Gambar 4.24 Gabuga 2 Salia Gra Helm Tertutup CH 7 dega Litasa P Gambar 4.25 Gabuga 2 Salia Gra Helm H 5 dega Litasa P Gambar 4.26 Gabuga 2 Salia Gra Helm H 5 dega Litasa P Gambar 4.27 Gabuga 2 Salia Gra Helm H 6 dega Litasa P Gambar 4.28 Gabuga 2 Salia Gra Helm Tertutup CH6 dega Litasa P xv

16 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Persamaa da Perbedaa Peelitia xvi

17 DAFTAR LAMBANG VG ( ) EG ( ) : Kurag dari sama dega : Himpua Simpul : Himpua Sisi C : Gra Siklus W : Gra Roda G : Gra Gear H : Gra Helm CH () e () v : Gra Helm Tertutup : Fugsi Pelabela Sisi : Fugsi Pelabela Simpul : Akhir dari suatu pembuktia xvii

18 PELABELAN PRODUCT CORDIAL GABUNGAN SALINAN DI ANTARA GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP ABSTRAK Pelabela merupaka salah satu kosep yag mucul sebagai hasil perkembaga dari teori gra. Pelabela gra berpera vital dalam beberapa bidag ilmu pegetahua, seperti, astroomi, teori pegkodea, x-ray crystallography, radar da maajeme database. Pelabela yag aka diguaka dalam kasus ii adalah product cordial da product cordial sisi. Kedua pelabela tersebut mucul setelah adaya peelitia pelabela cordial yag dilakuka oleh Cahit. Gra Cordial diivestigasi oleh Cahit melalui gra amili, sehigga tujua dalam peelitia ii utuk megkaji lebih dalam megeai pelabela product cordial sisi pada gra amili yaitu gra helm da helm tertutup da product cordial pada gabuga salia di atara keduaya. Cara yag diguaka dalam membuktika kedua pelabela tersebut yaitu dega megguaka atura kombiatorik da memperhatika simpul yag salig adjacet da sisi yag salig icidet. Terdapat istilah ugsi diiduksi dalam pelabela product cordial da product cordial sisi yag memuat atura product. Perbedaaya, jika atura product pada pelabela product cordial sisi yag diguaka adalah sisiya, sedagka product cordial megguaka simpul-simpulya. Hasil peelitia meyataka bahwa dega megguaka pola tertetu utuk kasus gajil da geap pada gra helm da gra helm tertutup berlaku pelabela product cordial sisi, sedagka pada gabuga salia di atara keduaya berlaku pelabela product cordial. Gra yag memeuhi pelabela product cordial disebut sebagai gra product cordial, sedagka gra yag memeuhi pelabela product cordial sisi disebut sebagai gra product cordial sisi. Kata Kuci: Pelabela product cordial, pelabela product cordial sisi, gra helm da gra helm tertutup. xviii

19 BAB I Pedahulua 1.1 Latar Belakag Teori gra merupaka bagia dari ilmu matematika yag umurya tergolog muda jika dibadigka dega ilmu yag laiya. Teori gra mulai ditemuka pada tahu 1736 oleh Leohard Euler ( ). Masalah yag harus dipecahka pada saat itu adalah terkait dega jembata Koisberg. Jembata tersebut terdiri atas tujuh jembata yag terletak di atas sugai Pregel. Jembata tersebut haya boleh dilewati tepat satu kali dalam meempuh empat kawasa yag terhubug satu sama lai di kota Koisberg. Jika empat kawasa tadi diasumsika sebagai simpul da tujuh jembataya sebagai sisi maka terbetuklah awal mula kosep teori gra. Salah satu hasil dari perkembaga teori gra yaitu muculya kosep tetag pelabela atau dikeal dega istilah valuatio yaitu suatu pemetaa yag membawa eleme-eleme gra pada bilaga-bilaga yag biasaya berupa bilaga bulat positi atau o-egati. Piliha domai yag palig lazim diguaka adalah semua himpua simpul da sisi yag disebut sebagai pelabela total, himpua simpul (pelabela simpul), atau himpua sisi (pelabela sisi) (Wallis, 2001). 1

20 2 Pelabela gra memaika bayak pera vital dalam bidag ilmu pegetahua. Beberapa cotoh dari bidag tersebut adalah astroomi, teori pegkodea, x-ray crystallography, radar da maajeme database (Poraj dkk, 2014). Pelabela gra juga bermaaat utuk beberapa area dalam ilmu komputer da jariga komuikasi (Vaidya da Shah, 2014). Bayak variasi pelabela yag termuat dalam teori gra ii, salah satu di ataraya adalah pelabela cordial. Gra cordial adalah versi yag lebih lemah dari gra graceul da gra harmoious. Pelabela cordial mucul berawal dari suatu kegagala dalam membuktika dugaa bahwa pelabela graceul da harmoius berlaku utuk semua tree. Pelabela cordial dapat diivestigasi utuk beberapa gra amili, seperti gra siklus, gra komplit, gra roda, da sebagaiya (Cahit, 1987). Gra roda yag termasuk dalam gra amili merupaka dasar dalam pembetuka gra helm dega meghubugka simpul-simpul pedat dega simpul-simpul pada gra roda sehigga dihasilka gra helm. Berdasarka kajia yag dilakuka oleh peeliti lai, dikataka bahwa gra helm dijadika sebagai kostruksi gra helm tertutup dega peambaha sisi baru yag meghubugka setiap simpul pedat pada gra helm oleh suatu sisi yag disebut sebagai sisi eksteral. Lebih spesiik lagi terkait dega gra helm da gra helm tertutup, keduaya memeuhi pelabela product cordial sisi. Pelabela tersebut dideiisika sebagai suatu pemetaa dari elemeeleme gra G yag himpua sisiya ditetuka terlebih dahulu sebagai

21 3 domai yag harus dikaitka dega bilaga bier. Pelabela tersebut juga memiliki ugsi yag diiduksi berupa *: V( G) {0,1} dega ketetua v e1 e2 e *( ) ( ). ( )... ( ), kemudia kodisi hasil akhir aka memeuhi v (0) v (1) 1 da e (0) e (1) 1, dega v (0) da v (1) secara berturut-turut merupaka jumlah simpul dari gra G di bawah ugsi * yag diberi label 0 da 1, sedagka e (0) da e (1) secara berturut-turut merupaka jumlah sisi dari gra G di bawah ugsi yag diberi label 0 da 1. Gra hasil salia gabuga di atara gra helm da gra helm tertutup memeuhi pelabela product cordial. Pelabela tersebut dideiisika sebagai suatu pemetaa dari eleme gra G dega domai ugsi yag pertama kali diketahui berupa himpua simpul. Pelabela tersebut juga memiliki ugsi yag diiduksi yaitu berupa himpua sisi yag dikaitka dega bilaga bier da memiliki ketetua g( e) g( v1). g( v2). Ketetua yag laiya aalog dega deiisi pelabela product cordial sisi. Peelitia megeai pelabela product cordial sisi pada gra helm da gra helm tertutup sudah dibuktika oleh S. K. Vaidya da C.M. Barasara (2012). Pelabela pada gra helm da gra helm tertutup tersebut dikembagka lagi dega peerapaya megguaka gra hasil peggabuga salia di atara keduaya da hasil yag diperoleh memeuhi pelabela product cordial sebagaimaa pembuktia yag telah dilakuka oleh G.V. Ghodasara da S.M. Vaghasiya (2014).

22 4 Pelabela product cordial memuat suatu atura kombiatorik, yaitu atura dasar meambah da megalika atau meambah saja. Khususya megeai kombiatorik dega atura dasar megalika, di dalamya dapat dihasilka jumlah setiap bagia simpul yag dapat dituliska dalam betuk persamaa baik itu utuk bagia yag berlabel 0 maupu 1 sesuai dega atura atau pola dalam betuk ugsi yag sudah ditetuka. Berdasarka atura ii, kita aka semaki mudah dalam membuat suatu ilustrasi dari setiap pelabela yag dibetuk da memberika kemudaha juga dalam setiap pembuktia. Pelabela product cordial sisi haya megadug atura dasar meambah yaitu suatu atura yag dapat memberika hasil akumulasi pejumlaha dari masig-masig label baik itu 0 maupu 1 pada bagia sisiya sehigga memeuhi product cordial sisi sesuai dega pola yag sudah ditetuka sebelumya. Atura product yag ada dalam pelabela product cordial sisi da product cordial merupaka hal yag mearik utuk diteliti da dikaji karea secara berturut-turut sesuai deiisiya atura tersebut diterapka pada pelabela simpul da sisi. Atura product pada pelabela simpul aka meghasilka label sisi dega megoperasika setiap simpul yag adjacet pada sisi tersebut, sedagka atura product pada sisi aka meghasilka pelabela simpul dega megoperasika setiap sisi yag icidet dega simpul-simpul tersebut. Jika kita megguaka atura product pada simpul maka label sisi-sisiya yag dihasilka merupaka akibat dari adaya

23 5 pelabela simpul. Jika kita megguaka atura product pada sisi maka pelabela simpul yag diperoleh merupaka akibat dari adaya pelabela sisi. Pelabela product cordial sisi yag ada dalam tugas akhir ii diterapka dalam gra helm, da gra helm tertutup. Terdapat hal uik di dalamya yaitu utuk setiap kodisi dari gra ii selalu memeuhi pelabela product cordial sisi baik itu simpul yag berjumlah geap maupu gajil. Berbeda dega product cordial sisi, product cordial diterapka pada gabuga litasa dega salia di atara gra helm da gra helm tertutup da gabuga dua saliaya oleh litasa yag pajagya berbeda. Sesuatu yag mearik terkait dega peerapa product cordial yaki utuk simpul yag berjumlah gajil maupu geap dega pola yag sudah ditetuka teryata memeuhi pelabela product cordial. Berdasarka pejelasa di atas, maka peulis tertarik utuk megkaji da membahas secara medalam megeai pelabela product cordial sisi pada gra, helm gra, helm tertutup da product cordial pada gra hasil gabuga salia di atara keduaya. Kedua pelabela tersebut memiliki suatu pola kasus gajil da geap yag diberika dalam pembuktia pada setiap teorema yag diberika. Pola yag sudah ada tersebut dapat diguaka sebagai lagkah dalam meghasilka suatu persamaa. Pembetuka persamaa dapat diperoleh melalui atura dasar kombiatorik dega atura dasar megalika da meambah atau atura dasar meambah saja. Jika bayak simpul da salia sudah diketahui maka kemudia diperoleh jumlah simpulya, setelah itu dapat dicari label sisiya dega megguaka atura

24 6 product. Jika jumlah simpul da sisi sudah diketahui da memeuhi kodisi v (0) v (1) 1da e (0) e (1) 1 maka aka berlaku pelabela product g g g g cordial. Pola pelabela product cordial sisi juga bersiat tertetu sebagaimaa diberika dalam pembuktia teorema pelabela. Pola yag sudah ada tersebut kemudia dapat dibuat persamaa secara lagsug tapa megguaka kombiatorik dega atura dasar megalika. Jika lagkah itu selesai dilakuka maka jumlah sisi da simpul yag berlabel 0 atau 1 secara mudah dapat diketahui tapa harus meghitug satu per satu. Pola yag sudah dibetuk persamaa tersebut aka berlaku pelabela product cordial sisi jika memeuhi v (0) v (1) 1 da e (0) e (1) 1 yag secara berturut-turut v (0) da v (1) merupaka jumlah simpul yag berlabel 0 da 1, sedagka e (0) da e (1) secara berturut-turut merupaka jumlah sisi yag berlabel 0 da Batasa Masalah Masalah yag aka dibahas dalam peulisa tugas akhir ii adalah tetag pelabela gra yag dikhususka utuk gra yag sederhaa, berhigga, terkoeksi da tidak berarah dega order p (simpul) da ukura q (sisi) yag peerapaya diaplikasika pada gra helm, helm tertutup da gabuga salia di atara kedua gra tersebut.

25 7 1.3 Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag da batasa masalah yag telah dipaparka sebelumya maka dapat dirumuska permasalaha yag aka dikaji dalam tugas akhir ii yaitu sebagai berikut: 1. Bagaimaakah pelabela product cordial sisi pada gra helm, gra helm tertutup da product cordial gabuga salia di atara keduaya? 2. Bagaimaakah cara utuk melakuka pelabela product cordial sisi pada gra helm, gra helm tertutup da product cordial gabuga salia di atara keduaya? 1.4 Tujua Peelitia Secara garis besar tujua dari peulisa tugas akhir ii adalah sebagai berikut: 1. Utuk megetahui pelabela product cordial sisi pada gra helm, gra helm tertutup da product cordial gabuga salia di atara keduaya. 2. Utuk megetahui cara melakuka pelabela product cordial sisi pada gra helm, gra tertutup, da product cordial gabuga salia di atara keduaya.

26 8 1.5 Maaat Peelitia Berdasarka peelitia yag dilakuka ii, peulis megharapka dapat memberika maaat sebagaimaa yag disampaika berikut ii: 1. Memberika pegetahua da wawasa bagi pembaca tetag pelabela product cordial sisi pada gra helm, gra helm tertutup da product cordial gabuga salia di atara keduaya. 2. Memberika pegetahua kepada pembaca bahwa dalam pelabela product cordial da product cordial sisi aka dibahas terkait dega atura product, kombiatorik, sisi yag salig icidet, simpul-simpul yag salig adjacet, da kodisi saat gajil da geap dega sebagai bayak simpul yag membetuk gra siklus berlaku masig-masig pelabela. 3. Sebagai dasar atau acua bagi pihak tertetu yag bermiat utuk megembagka teori gra khususya tetag pelabela product cordial sisi da product cordial ke arah yag lebih luas lagi. 1.6 Tijaua Pustaka Sumber utama pustaka yag diguaka dalam tugas akhir ii berupa jural. Sebagai peujag utuk memperjelas istilah-istilah dasar dari pembahasa tetag gra ii peulis megguaka reeresi dari beberapa buku. Jural yag berjudul Product Cordial Labelig o Graphs Related to Helm, Closed Helm ad Gear Graph (G.V. Ghodasara da S.M. Vaghasiya, 2014) berisi pejelasa tetag gabuga litasa dari hasil salia di atara

27 9 gra helm da gra helm tertutup memeuhi pelabela product cordial. Gabuga itu berupa gabuga litasa dega salia di atara keduaya da gabuga dua salia oleh litasa yag pajagya berbeda-beda. Terdapat pola pelabela tertetu di dalamya, kemudia dari pola tersebut dapat diketahui jumlah masig-masig label baik itu bagia yag berlabel 0 maupu 1. Label tersebut diterapka pada setiap bagia simpul da sisi gra hasil gabuga helm H da gra helm tertutup CH. Gabuga di atara kedua gra tersebut berupa k salia da dua salia dega litasa yag berubah-ubah. Kodisi pelabela utuk da k berilai gajil maupu geap dalam kasus ii berlaku pelabela product cordial. Jural yag berjudul Edge Product Cordial Labelig o Graphs (S.K. Vaidya da C.M. Barasara, 2012) berisi pejelasa megeai pelabela product cordial sisi pada beberapa gra stadar seperti gra poho, gra C K 1, gra AC, gra helm web Wb, gra buga Fl, gra gear H, gra helm tertutup C, gra W, gra CH, gra G da gra shell S. Berdasarka jural ii, peulis haya megkaji lebih dalam lagi megeai pelabela product cordial sisi pada gra helm da gra helm tertutup karea keduaya memiliki kesamaa yaki setiap gajil maupu geap pada H da CH tetap memeuhi pelabela product cordial. Berdasarka pola yag sudah ada baik itu utuk gra yag memiliki jumlah gajil maupu geap, jumlah dari label 0 da 1 dapat diketahui secara mudah da akhirya memeuhi pelabela product cordial. Berikut ii disajika tabel megeai perbedaa da persamaa peelitia:

28 10 Tabel 1.1 Persamaa da Perbedaa Peelitia Peulis Persamaa Perbedaa G.V. Ghodasara Peerapaya pada Gra Hasil da Vaghasiya S.M. Gabuga Salia di atara Gra Helm, Helm Tertutup ad Gra Gear (2014) S.K. Vaidya da C.M. Barasara, (2012) Peerapaya dalam Gra helm da Gra Helm Tertutup Peerapaya pada gra C, gra W, gra poho, gra C K 1, gra AC, gra helm gra web gear H, gra helm tertutup Wb, gra buga G da gra shell S CH, Fl, gra Pejelasa yag dipaparka peulis berbeda dega hasil peelitia dalam jural yag dicatumka pada tabel 1.1. Perbedaa yag sagat tampak terletak pada cotoh-cotoh pada setiap kasus pelabela product cordial sisi da product cordial. Reeresi yag bersumber pada buku lebih bayak diguaka utuk mejelaska istilah dasar dalam tulisa ii. Istilah tersebut berupa deiisideiisi yag secara tepat tercatum dalam ladasa teori. Misalya, deiisi megeai gra, litasa, gra reguler, gra siklus, gra legkap da sebagaiya.

29 Sistematika Peulisa Peyusua sistematika yag jelas dalam suatu peulisa adalah hal yag sagat petig sekali utuk diperhatika karea dapat memberika kemudaha dalam memahami secara keseluruha isi dari peulisa. Oleh karea itu, peulis aka mejelaska gambara secara umum megeai sistematika peulisaya yaitu sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ii berisi pejelasa megeai latar belakag, batasa masalah, rumusa masalah, tujua peelitia, maaat peelitia, sistematika peulisa, da metode peulisa. BAB II DASAR TEORI Bab ii memuat istilah-istilah dasar yag diguaka dalam pembahasa seperti himpua, ugsi, kombiatorik, ilai mutlak, aktor persekutua terkecil, pelabela, da laiya yag ada kaita dega teori gra. BAB III DAN BAB IV PEMBAHASAN Bab ii berisi pejelasa terkait dega pelabela product cordial sisi pada gra helm da helm tertutup serta product cordial gabuga salia di atara keduaya. Pola pada tiap-tiap kasus yag terdapat dalam pelabela product cordial sisi da product cordial ii bersiat tertetu da dapat dijadika lagkah awal dalam membuktika kedua pelabela tersebut. Terkait dega cara melakuka pelabela aka dijelaska lebih lajut

30 12 dega megguaka pembuktia teorema yag disertai dega cotoh ilustrasiya agar dapat dega mudah dipahami. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Bagia ii memuat kesimpula tetag pelabela product cordial sisi pada gra helm, gra helm tertutup da product cordial gra gabuga salia di atara kedua gra tersebut. Kesimpula ii merupaka iti atau hasil akhir dari keseluruha peelitia atau kajia yag sudah dilakuka oleh peulis. Bagia ii juga memuat sara yag tetuya bersiat membagu yag diberika secara umum bagi pembaca yag igi meambah pegetahua da wawasa da igi meeruska da megembagka peelitiaya tetag pelabela product cordial sisi pada gra helm, gra helm tertutup da gra product cordial gabuga salia di atara keduaya. 1.8 Metode Peelitia Metode yag diguaka oleh peulis adalah metode literatur atau kepustakaa dega memahami da megkaji beberapa sumber baik itu dari jural maupu buku sumber yag medukug da meujag peulisa tugas akhir ii. Peulis lebih bayak megguaka jural dari sebagia peeliti yag membahas pelabela product cordial sisi da product cordial yag meurut peulis perlu dikaji da dipahami lebih dalam lagi agar diketahui secara jelas da rutut dalam pejabaraya berdasarka beberapa pola yag sudah ada pada masig-masig gra.

31 13 Hal pertama yag dilakuka dalam pelabela product cordial yaitu memahami teorema yag sudah ada. Terdapat pola tertetu dalam setiap pembuktiaya yag bertujua utuk megetahui bagia-bagia yag harus diberi label 0 da 1. Pelabela ii diterapka dalam gra hasil salia dari masig-masig gra helm da gra helm tertutup. Jika hasilya berupa gabuga litasa dega k salia pada gra helm atau gra helm tertutup maka berdasarka pola yag sudah ditetuka dapat dibetuk suatu persamaa dega megguaka atura kombiatorik dega atura dasar megalika. Persamaa itu kemudia diguaka utuk megetahui seberapa bayak label 0 da 1 pada setiap bagiaya. Jika setiap bagia tersebut sudah diketahui maka dega mudah total bagia yag diberi label 1 da 0 dapat diketahui juga dega megguaka kombiatorik atura dasar meambah, sedagka jika hasil saliaya berupa dua salia gra helm atau gra helm tertutup dega litasa yag berubah-ubah (k pada litasa P k dega pajagya k 1) maka diguaka atura kombiatorik dega atura dasar meambah saja. Jika lagkah pelabela simpul pada pelabela product cordial ii sudah selesai maka dilajutka dega mecari label sisi dega megoperasika simpul-simpul yag adjacet dega megguaka atura product sehigga diperoleh total sisi yag diberi label 0 da 1. Jika jumlah label 0 da 1 pada simpul da sisi sudah diketahui maka dapat dikataka memeuhi pelabela product cordial jika memeuhi v (0) v (1) 1 da e (0) e (1) 1, g dega otasi v g (0), v g (1) secara berturut-turut merupaka jumlah simpul g g g

32 14 yag berlabel 0 da 1, sedagka e g (0), e g (1) secara berturut-turut merupaka jumlah sisi yag berlabel 0 da 1. Suatu gra yag memeuhi pelabela product cordial disebut sebagai gra product cordial. Jika pelabela product cordial sisi yag aka diberika dalam kasus ii diterapka pada gra helm da helm tertutup maka dega pola yag sudah ada dapat lagsug diketahui persamaa utuk megetahui bagia yag harus diberi label 0 da 1. Total label dari sisiya dapat dihasilka dega megguaka kombiasi dega atura dasar meambah. Jika sudah diketahui pelabela sisiya maka dapat dicari juga pelabela pada simpulya dega memperhatika sisi yag icidet pada tiap-tiap simpulya da selajutya dioperasika dega megguaka atura product. Total label 0 da 1 pada sisi da simpulya sudah dihasilka sehigga dapat dikataka bahwa pelabela product cordial sisi terpeuhi jika berlaku v (0) v (1) 1 da e (0) e (1) 1, dega v (0), v (1) secara berturut-turut merupaka jumlah simpul yag berlabel 0 da 1, sedagka e (0), e (1) secara berturut-turut merupaka jumlah sisi yag berlabel 0 da 1. Suatu gra yag memeuhi pelabela product cordial sisi disebut sebagai gra product cordial sisi. Secara mudah peelitia ii dapat dipahami dega memperhatika skema metode peelitia berikut ii.

33 15 GRAF Icidet Adjacet Pelabela product cordial sisi (Vaidya da Barasara, 2012) Pelabela product cordial (Vaghasiya da Ghodasara, 2014) Gra helm Gra helm tertutup Salia gra helm Salia gra helm tertutup Gra product cordial sisi Gra hasil gabuga litasa k salia Gra hasil gabuga 2 salia dega litasa berubah-ubah Gra product cordial Gambar 1.1 Skema Peelitia

34 BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpula Berdasarka uraia megeai beberapa hal terkait dega gra product cordial sisi da product cordial yag dibahas dalam peelitia, peulis dapat memberika kesimpula sebagai berikut: 1. Kodisi pelabela yag harus terpeuhi terlebih dahulu dalam gra product cordial sisi adalah pelabela sisi, sedagka syarat dalam gra product cordial yag harus terpeuhi terlebih dahulu adalah kodisi pelabela simpul. 2. Pelabela product cordial sisi memperhatika sisi yag salig icidet dalam meetuka ugsi yag diiduksi, sedagka gra product cordial megguaka simpul yag salig adjacet. 3. Perhituga jumlah sisi ataupu simpul pada setiap bagia pola pelabela product cordial sisi da gra product cordial dapat diguaka suatu atura kombiatorik sehigga dapat dega mudah diketahui jumlah sisi da simpul yag berlabel 0 da Atura pelabela product cordial da product cordial sisi yag terdapat dalam kajia ii tidak dapat dilakuka dega sembarag pola melaika harus dega pola tertetu. Sebagai salah satu cotohya, diberika gra helm H dega gajil da pola label 0 da 1 yag diguaka pada 116

35 117 sisiya secara berturut-turut yaitu da 2 2 sehigga dihasilka jumlah label 0 da 1 pada simpulya secara berturut-turut yaitu +1 da. 5. Gra helm da gra helm tertutup memeuhi pelabela product cordial, sedagka gra hasil gabuga di atara keduaya memeuhi pelabela product cordial sisi utuk gajil da geap. 5.2 Sara Bagi pembaca yag igi melakuka peelitia atau megembagka lebih lajut terkait dega pelabela product cordial da product cordial sisi pada suatu gra dapat megguaka jeis gra laiya. Misalya, gra buga yag mempuyai variasi berbeda dega gra helm da gra helm tertutup.

36 DAFTAR PUSTAKA Abdussakir dkk Teori Gra Topik Dasar Utuk Tugas Akhir/Skripsi. Malag: UIN Malag Press. Aldous, Joa da Robi Wilso Graphs ad Applicatios A Itroductory Approach. UK: The Ope Uiversity. Bartle, Robert G da Doald R. Sherbert Itroductio To Real Aalysis, edisi ke-4. USA: Joh Wiley & Sos, Ic. Cahit, I. Cordial Graphs: A Weaker Versio o Graceul ad Harmoius Graphs, ARS Combiatoria 23 (1987), pp Gallia, J. A A Dyamic Survey o Graph Labelig. Electroic Joural Combiatorics. Grossma, Peter Descrete Mathematics or Computig. Palgrave Macmilla. New York: Iswadi, Hazrul dkk Kalkulus. Malag: Bayumedia Publishig. J. Purcell, Edwi dkk Kalkulus Jilid 1 Edisi Kedelapa. Pretice Hall, Ic. Lipschutz, Seymour da Marc Lipso Matematika Diskret. The McGraw- Hill Compaies. Poraj, R dkk Dierece Cordial Labelig o Subdivisio o Sake Graphs, Uiversal Joural o Applied Mathematics, 2(1): Rose, Keeth H Discrete Mathematics ad Its Applicatio, edisi ke- 6, Mc-Graw-Hill. Setya Budhi, Woo Lagkah Awal Meuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: CV Ricardo. Vaghasiya, S.M. da G.V. Ghodasara. Product Cordial Labelig o Graph Related to Helm, Closed Helm ad Gear Graph, Iterasioal Joural o Pure ad Applied Mathematics, Vol. 91 (2014), No. 4, Vaidya, S.K. da M. Barasara. Edge Product Cordial Labelig o Graphs, J.Math. Computh, Sci. 2 (2012), No.5,

37 119 Vaidya, S.K. da M. Barasara. Further Results o Product Cordial Labelig, Iteratioal J. Math. Combi. Vol. 3 (2012), Vaidya, S.K. da N.H. Shah Some New Results o Prime Cordial Labelig, 9 halama, Article ID , 9. Hidawi Publishig Corporatio. Vasudev, C Combiatorics ad Graph Teory. New Delhi: New Age Iteratioal (P) Ltd., Publishers. West, Douglas B Itroductio to Graph Theory. Sigapore: Pearso Educatio, Ic. 119