KAJIAN GRAF LATIS FAKTOR BILANGAN PRIMA BERPANGKAT n DAN BILANGAN 2 n 10 SKRIPSI. Oleh: ZAINAL ABIDIN NIM:

Transkripsi

1 KAJIAN RAF LATIS FAKTOR BILANAN PRIMA BERPANKAT DAN BILANAN 0 SKRIPSI Oleh: ZAINAL ABIDIN NIM: JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOI UNIVERSITAS ISLAM NEERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALAN MALAN 009

2 KAJIAN RAF LATIS FAKTOR BILANAN PRIMA BERPANKAT DAN BILANAN 0 SKRIPSI Diajuka Kepada: Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag Utuk Memeuhi Salah Satu Persyarata Dalam Memperoleh elar Sarjaa Sais (S.Si) Oleh: ZAINAL ABIDIN NIM: JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOI UNIVERSITAS ISLAM NEERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALAN MALAN 009

3 KAJIAN RAF LATIS FAKTOR BILANAN PRIMA BERPANKAT DAN BILANAN 0 SKRIPSI Oleh: ZAINAL ABIDIN NIM: Telah Disetujui utuk Diuji Malag, 0 Juli 009 Dose Pembimbig I, Dose Pembimbig II, Evawati Alisah, M.Pd Ahmad Barizi, M.A NIP NIP Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Sri Harii, M.Si NIP. 50 8

4 KAJIAN RAF LATIS FAKTOR BILANAN PRIMA BERPANKAT DAN BILANAN 0 SKRIPSI Oleh: ZAINAL ABIDIN NIM Telah Dipertahaka di Depa Dewa Peguji Skripsi da Diyataka Diterima sebagai Salah Satu Persyarata utuk Memperoleh elar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal: 8 Juli 009 Susua Dewa Peguji: Tada Taga. Peguji Utama : Abdussakir, M. Pd ( ) NIP Ketua Peguji : Usma Pagalay, M.Si ( ) NIP Sekretaris Peguji : Evawati Alisah, M. Pd ( ) NIP Aggota Peguji : Ahmad Barizi, M. A ( ) NIP Megetahui da Megesahka, Ketua Jurusa Matematika Sri Harii, M.Si NIP. 50 8

5 SURAT PERNYATAAN Yag bertada taga di bawah ii: Nama : Zaial Abidi NIM : Fakultas Jurusa Judul Skripsi : Sais da Tekologi : Matematika : Kajia raf Latis Faktor Bilaga Prima Berpagkat da Bilaga 0 meyataka dega sebearya bahwa skripsi yag saya tulis ii bear-bear merupaka hasil karya saya sediri, buka merupaka pegambilaliha data, tulisa atau pikira orag lai yag saya akui sebagai hasil tulisa atau pikira saya sediri. Apabila di kemudia hari terbukti atau dapat dibuktika skripsi ii hasil jiplaka, maka saya bersedia meerima saksi atas perbuata tersebut. Malag, 8 Juli 009 Yag meyataka, Zaial Abidi NIM

6 MOTTO: Dzikir, Fikir, da Amal Sholeh Taqwa, Itelektualitas, da Profesioalitas Kebeara, Kejujura, da Keadila

7 PERSEMBAHAN: Peulis persembahka Karya ii utuk orag-orag yag sagat berarti: Kedua oragtua tercita (Alm. Syd. Abdullah & Srf. Zaiiyah) yag tapa lelah memberika doroga moral, spiritual, fiasial da tak heti-hetiya mecurahka kasih sayagya. Kakak-kakak tersayag (Srf. Halimatus Sa diyah, Srf. Amiah, Srf. Fatimah Al-Batul) yag selalu mejadi tema dalam mecapai cita. Kakak-kakak ipar (Syd. Muhsi & Syd. Idrus) terima kasih atas sara-sara da batua yag telah diberika. Seluruh keluarga besar bai Abdullah, bai Thoha & bai Muhammad, Keluarga ii aka selalu mejadi keluarga impia. Seluruh sahabat-sahabat Pergeraka Mahasiswa Islam Idoesia, perjuaga masih pajag. PMII ada utuk mustad afi, igatlah selalu mereka. Sahabat Alif, Roisu, Hadir, Afif, Makmu, Mahdi, Bambag, Wahid, Ahmad, Lutfi, hozali, Asoy, Fraky, Rosid. Terimakasih atas semua wawasa yag telah diberika.

8 KATA PENANTAR Syukur alhamdulillah peulis pajatka kehadirat Allah Swt yag telah memberika curaha rahmat, taufiq da hidayahnya sehigga skripsi yag berjudul Kajia raf Latis Faktor Bilaga Prima Berpagkat da raf Latis Faktor Bilaga 0 ii dapat terselesaika. Sholawat serta salam semoga tetap terlimpahka kepada jujuga abi besar Muhammad SAW yag telah membawa umat mausia dari jala yag gelap meuju jala yag terag bederag. Peulis meyadari bahwa dalam peulisa skripsi ii tidak aka medapatka suatu hasil yag baik tapa adaya bimbiga, batua, sara serta doa dari berbagai pihak. Oleh karea itu peulis meyampaika ugkapa terima kasih kepada. Prof. H. Imam Suprayogo, M.Si selaku Rektor Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag.. Prof. Dr. Sutima Bambag Sumitro, SU., DSc. selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag.. Sri Harii, M. Si selaku Ketua Jurusa Matematika Uiversitas Islam Negeri Malag. 4. Evawati Alisah, M.Pd selaku Dose Pembimbig I, yag seatiasa dega sabar memberika bimbiga. 5. Ahmad Barizi, M.A selaku Dose Pembimbig II, terima kasih atas bimbiga yag telah diberika.

9 6. Abdussakir, M. Pd yag telah memberika ispirasi dalam peyelesaia skripsi ii. 7. Segeap dose Matematika yag telah berjasa memberika ilmuya, membimbig da memberika motivasi dalam peyelesaia skripsi ii. 8. Kedua oragtua da semua keluarga yag selalu medoaka da medukug setiap lagkah peulis. 9. Sahabat-sahabat Pergeraka Mahasiswa Islam Idoesia, yag selalu mejadi sumber ispirasi. 0. Tema-tema matematika khususya agkata 004, terima kasih atas dukuga, motivasi, da kebersamaaya selama ii.. Semua pihak yag tidak dapat peulis sebutka satu persatu, yag telah bayak membatu dalam peyelesaia skripsi ii. Kiraya skripsi ii masih jauh dari sempura, oleh karea itu peulis megharapka kritik da sara yag sifatya membagu. Akhirya, peulis berharap semoga skripsi ii dapat bermafaat bagi peulis khususya da bagi pembaca pada umumya. Malag, 0 Juli 009 Peulis

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENANTAR... i DAFTAR ISI... iii DAFTAR AMBAR... v DAFTAR TABEL... vii ABSTRAK... viii BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag.... Rumusa Masalah Tujua Masalah Mafaat Peelitia Metode Peelitia Batasa Masalah Sistematika Peulisa... 0 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Bilaga..... Keterbagia..... Bilaga Prima Fugsi Multiplikatif Teori Latis raf..... Defiisi raf..... Adjacet da Icidet... 4

11 .. Operasi Pada raf Macam-macam raf raf Litasa raf Sikel raf Trivial da No Trivial Jala da Litasa raf Tagga Derajat Suatu Titik....4 raf Utuk Kosep Waris....5 raf pada Kosep Pembagia Zakat... 4 BAB III PEMBAHASAN. raf Latis Faktor Bilaga.. Pembahasa Himpua.. Pembahasa Himpua.. Pembahasa Himpua..4 Mecari Ciri Umum raf Latis Faktor Utuk p... 6 P... 6 P... 4 P P raf Latis Faktor Bilaga Mecari Faktor Pembagi Positif Membuat raf Latis Faktor Mecari Ciri Umum raf Latis Faktor Utuk Relevesi raf Latis Faktor dega Kosep Tigkata orag berpuasa... 6 BAB IV KESIMPULAN 4.. Kesimpula Sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

12 DAFTAR AMBAR ambar. Jembata Koigsberg...5 ambar. raf yag Merepresetasika Masalah Jembata Koigsberg...6 ambar. raf yag Merepresetasika Tigkata Seorag dalam fiqh...7 ambar. Diagram Latis Faktor...9 ambar. raf...4 ambar. raf H...4 ambar.4 abuga raf...5 ambar.5 Pejumlaha Dua raf...6 ambar.6 raf Hasil Kali Kartesius...6 ambar.7 raf litasa...7 ambar.8 raf Sikel...8 ambar.9 raf Trivial da o Trivial...8 ambar.0 raf...9 ambar. raf Tagga M M... 5 ambar. raf... ambar. raf yag Merepreserasika Pembagia Waris...4 ambar.4 raf yag Merepreserasika Pembagia Zakat...5 ambar..a Diagram Latis Faktor L...9 ambar..b raf Latis Faktor L...9 ambar..a Diagram Latis Faktor L...40 ambar..b raf Diagram Latis Faktor L...40 ambar..a Diagram Latis Faktor L...4 ambar..b raf Diagram Latis Faktor L...4 ambar.4.a Diagram Latis Faktor L...44 ambar.4.b raf Latis Faktor L...44 ambar.5.a Diagram Latis Faktor L...44 ambar.5.b raf Diagram Latis Faktor L...44

13 ambar.6.a Diagram Latis Faktor L...45 ambar.6.b raf Diagram Latis Faktor L...45 ambar.7.a Diagram Latis Faktor L...48 ambar.7.b raf Latis Faktor L...48 ambar.8.a Diagram Latis Faktor L...49 ambar.8.b raf Diagram Latis Faktor L...49 ambar.9.a Diagram Latis Faktor L...50 ambar.9.b raf Diagram Latis Faktor L...50 ambar.0 Diagram Latis Faktor L...5 ambar. raf Latis Faktor...5 ambar..a Diagram Latis Faktor L...57 ambar..b raf Latis Faktor L...57 ambar..a Diagram Latis Faktor L...58 ambar..b raf Diagram Latis Faktor L...58 ambar.4.a Diagram Latis Faktor L...59 ambar.4.b raf Diagram Latis Faktor L...59 ambar.5 raf Latis Faktor Bilaga ambar.6 raf Latis Faktor...64 ambar.7 raf Tigkata orag berpuasa...66

14 DAFTAR TABEL Tabel. Pola raf Latis Faktor Utuk Bilaga p... 4 Tabel. Pola raf Latis Faktor Utuk Bilaga p Tabel. Pola raf Latis Faktor Utuk Bilaga p...5 Tabel.4 Pola raf Latis Faktor Utuk Bilaga p...5 Tabel.5 Pola raf Latis Faktor Utuk Bilaga

15 ABSTRAK Abidi, Zaial Kajia raf Latis Faktor Bilaga Prima Berpagkat da raf Latis Faktor Bilaga 0. Skripsi, Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. Pembimbig : Evawati Alisah, M.Pd Ahmad Barizi, M.A Kata kuci: Faktor, raf, Latis, Himpua. Aljabar adalah salah satu yag palig tua dari semua cabag matematika. Sejarahya adalah sepajag sejarah dari peradaba. Sebagai cabag matematika seperti halya teori bilaga, geometri, maupu matematika terapa laiya, aljabar merupaka salah satu bidag matematika yag mempuyai bayak sekali materi yag dapat dibahas, di ataraya adalah himpua, operasi himpua, grup, latis, da sebagaiya. Peelitia ii membahas tetag graf yag terbetuk dari latis faktor suatu bilaga. Pada peelitia ii diambil dua rumusa masalah yaki: ) Bagaimaa graf yag terbetuk dari latis faktor bilaga prima berpagkat? da ) Bagaimaa graf yag terbetuk dari latis faktor bilaga 0?. Pada proses pegerjaa, tahapaya adalah sebagai berikut: a) Meetuka himpua bilaga yag aka diteliti. b) Mecari faktor pembagi dari setiap usur dalam himpua tersebut. c) Memeriksa apakah faktor-faktor yag ditemuka memeuhi atura latis. d) Membuat graf latis faktor dari masig-masig bilaga aggota himpua. e) Medeskripsika ciri-ciri yag dimiliki oleh graf latis faktor yag terbetuk. f) Mecari karakteristik umum graf latis faktor yag terbetuk dega megaalisis ciri-ciri yag dimilikiya. Setelah proses terlaksaa, maka dihasilka kesimpula sebagai berikut: Utuk graf latis faktor bilaga prima berpagkat maka V ( ), E( ), pajag litasa dari adalah da derajat maksimum dari titiktitik pada adalah. Utuk graf latis faktor bilaga 0 dega > 0 maka V ( ) 4, E( ) 4, sikel terpajag pada adalah 4 da cycle terpedek pada adalah 4.

16 BAB I PENDAHULUAN.. Latar Belakag Matematika sebagai suatu ugkapa dari pikira mausia mecermika kehedak yag aktif, alasa pereuga, da keigia utuk kesempuraa yag aesthetic. Usur-usur dasarya adalah ituisi da logika, kostruksi da aalisis, ciri khas da kaidah umum (Richard&Herbert,969). Dalam megartika matematika, pada satu sisi matematika adalah gaya di maa seseorag meyataka suatu variasi himpua dari simbol seolah-olah tapa mausia da, di sisi yag lai meyataka matematika sebagai kedalama peafsira dari suatu gaya tertetu berkaita dega aktivitas mausia. (Brow,996:8) Duia matematika lahir dari rahim kesadara bahwa alam semesta itu diatur oleh hukum-hukum yag teratur. Hal ii meyiratka arti bahwa utuk memasuki rahasia pemahama dari duia matematika maka pertama-tama harus melakuka lompata kualitatif dalam alam kesadara. Alam harus dipadag sebaga sesuatu yag tuduk pada hukum-hukum keteratura (Alisah & Dharmawa,007:7). Alam semesta memuat betuk-betuk da kosep matematika, meskipu alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala isiya diciptaka Allah dega ukura-ukura yag cermat da teliti, dega perhituga-perhituga yag mapa, da dega rumus-rumus serta persamaa yag seimbag da rapi (Abdusysyakir,007:79). Maka sebagai muslim harus

17 mempuyai keyakia bahwa hukum-hukum keteratura tersebut datagya dari Allah. Allah meetapka hukum sesuai dega apa yag dikehedakinya, sebagaimaa firmanya dalam Al Qur a surat Al Qamar ayat 49 disebutka: Artiya: Sesugguhya kami meciptaka segala sesuatu meurut ukura Dari segi bahasa kata qadar dapat berarti kadar tertetu yag tidak bertambah atau berkurag, atau berarti kuasa. Tetapi karea ayat tersebut berbicara tetag segala sesuatu yag berada dalam kuasa Allah, maka adalah lebih tepat memahamiya dalam arti ketetua da sistem yag telah ditetapka terhadap segala sesuatu. Tidak haya terbatas pada salah satu aspekya saja. (Shihab,00:48) Aljabar adalah salah satu yag palig tua dari semua cabag matematika. Sejarahya adalah sepajag sejarah dari peradaba, baragkali lebih pajag. Sejarawa yag terkeal tetag matematika B. L. Va der Waerde percaya bahwa ada suatu peradaba yag medahului peradaba dari Mesopotamia, Mesir, Negeri Chia, da Idia da bahwa peradaba itu adalah sumber akar dari kosep matematika yag palig awal (Tabak,004:xi). Sebagai cabag matematika seperti halya teori bilaga, geometri, maupu matematika terapa laiya, aljabar merupaka salah satu bidag matematika yag mempuyai bayak sekali materi yag dapat dibahas, di ataraya adalah bilaga, himpua, operasi himpua, grup, latis, da sebagaiya.

18 Pada aspek yag lai, diskursus tetag bilaga dalam khazaah keilmua matematika dapat dikataka adalah salah satu topik yag sagat meyita perhatia para matematikawa duia. Ilmu bilaga sagat terkait dega perhituga. Dalam Surat al-ji ayat 8, diteragka bahwa Tuha meciptaka segala sesuatu (kejadia da semua objek di alam semesta) dega "hituga yag teliti satu persatu", yaitu dari kata Arab, 'adad. Artiya: Supaya Dia megetahui, bahwa Sesugguhya Rasul-rasul itu telah meyampaika risalah-risalah Tuhaya, sedag (sebearya) ilmu- Nya meliputi apa yag ada pada mereka, da Dia meghitug segala sesuatu satu persatu. Esesi ayat ii adalah bahwa ilmu Tuha meliputi segala sesuatu, tidak ada yag tertiggal. Semua kejadia, objek alam, peciptaa di bumi da lagit, da struktur al-qur'a, tidak ada yag kebetula. Semuaya ditetapka dega hituga yag sagat teliti. Sebearya bila diketahui, (sebagia) ilmu tersebut meliputi risalah-risalah yag disampaika da ilmu yag ada pada para Rasul. Dalam kehidupa moder sekarag pu, kita aka mejumpai "hituga tersebut", mulai dari yag sederhaa sampai yag palig rumit. (Muftie:004:04) Bilaga prima adalah salah satu subtopik dalam ilmu bilaga. Bilaga prima selalu mempesoa para ahli matematika. Secara acak mereka ampak di atara bilaga bulat, amu tidak semua bilaga bulat adalah bilaga prima. Bilaga prima secara defiitif dega bahasa yag lebih umum adalah bilaga yag haya bisa dibagi bilaga itu sediri da satu (Khao Yao Tug. 008:). Berarti ia haya mempuyai dua faktor, yaki bilaga itu sediri da.

19 Pembahasa tetag bilaga prima tidak dapat terlepas dari teori tetag bilaga itu sediri. Pecaria bilaga prima dega formula seperti yag dilakuka oleh matematikawa Erastosthees diaggap sebagai cikal bakal dari teori bilaga (Khao Yao Tug. 008:). Jika p adalah bilaga prima, maka himpua Pi adalah himpua bilaga prima berpagkat, diotasika A pi i,,, da =,,,... Berbeda dega bilaga prima, setiap usur dari himpua tersebut tidak haya memiliki dua faktor. Selai bilaga prima ada sebuah bilaga yag tidak kalah mearik yaitu bilaga 0. Bilaga ii mempuyai faktor yag teratur utuk 0,,,. Teori latis adalah salah satu cabag dari matematika moder yag pembahasaya sagat terkait dega himpua da relasi. Ada beberapa macam cotoh latis, di ataraya latis fite kecil, latis boole, latis, faktor, latis partisi da sebagaiya. Matematikawa Jerma keamaa Richard Dedeki adalah orag yag pertama kali meerbitka kertas kerjaya pada teori latis. Ia memulai dega mempelajari faktor persekutua dari bilaga-bilaga asli. Bilaga-bilaga ii dega sifat-sifat keterbagiaya memberika bayak cotoh-cotoh latis. (Sukardjoo:00:50) Teori raf adalah salah satu cabag matematika yag memahas masalah yag memuat susua objek tertetu da keterhubuga atara objek-objek tersebut. Euler (707-78) disebut sebagai bapak dari teori graph. (Hararay:969:). Euler berusaha utuk merepresetasika Jembata Koigsberg,

20 da meyelesaika permasalaha jembata tersebut. Koigsberg adalah sebuah kota di sebelah timur Prussia (Jerma sekarag) dimaa terdapat sugai Pregel da merupaka tempat tiggal Duke of Prussia pada abad ke-6 (tahu 76). Kota tersebut saat ii berama Kaliigrad, da merupaka pusat ekoomi da idustri utama di Russia Barat. Sugai Pregel membagi kota mejadi 4 darata dega megalir megitari pulau Keiphof lalu bercabag mejadi dua buah aak sugai seperti tampak pada gambar.: ambar. Jembata Koigsberg. Pada abad ke-8 dibagulah tujuh jembata yag meghubugka keempat darata tersebut. Pada hari Miggu, masyarakat Koigsberg biasaya berjala-jala dari darata satu ke darata laiya melalui jembata tersebut. Mereka berpikir apakah mugki utuk berjala meyeberagi ke-tujuh jembata tapa melalui jembata yag sama dari suatu darata da kembali ke tempat semula. Masalah ii pertama kali dipecahka oleh Leohard Euler. Solusi Euler merepresetasika masalah ii ke dalam sebuah graf dega ke-empat darata sebagai titik (vertex) da ketujuh jembata sebagai sisi (edge). raf yag dibuat Euler diperlihatka pada gambar. (Wirawa, 008:).

21 C A D B ambar. raf yag Merepresetasika Masalah Jembata Koigsberg. Dega graf tersebut, Euler berhasil meemuka jawaba keapa oragorag tidak dapat melalui ketujuh jembata tersebut masig-msig sekali da kembali ke tempat semula. Jawaba yag ditemuka Euler adalah karea tidak semua titik pada graf tersebut berderajat geap. Simpul B, C, da D berderajat, sedagka simpul A berderajat 5 (Wirawa, 008:). Beberapa permasalaha praktis yag petig dalam kehidupa dapat diselesaika dega teori graf, misalya masalah idustry da pemetaa suatu daerah. Selai itu, beberapa permasalaha dalam matematika sedri juga dapat diselesika dega terori graf, seperti latis dari grup da subgrup da poho faktor dari suatu bilaga. Misalka himpua A pi i,,, adalah himpua bilaga prima berpagkat yag memeuhi defiisi latis. Da misalka K 0,40,, 0 adalah himpua bilaga dega,,. Setiap usur dari dua himpua ii mempuyai faktor pembagi positif. Jika dibuat poho faktor dari setiap usur dari himpua tersebut megguaka kaidah pembuata diagram latis, poho seperti apakah yag aka terbetuk? Jika diagram tersebut diibaratka sebuah graf, maka ciri apa saja yag dimiliki oleh graf tersebut?.

22 Abdul Hamid Hakim dalam Al Baya memberika tiga tigkata seorag dalam memakai fiqh yaki Al Muqallid,(المقل د) Al Muttabi,(المت بع) da Al Mujtahid.(المجتھد) Al Muqallid adalah tigkata di maa seseorag meerima qaul ahli fiqh tapa megetahui dasar yag diikuti. Al Muttabi adalah tigkata di maa seseorag meerima qaul ahli fiqh dega megetahui dasar dari qaul tersebut. Tigkata ketiga adalah Al Mujtahid di maa seseorag telah mampu meghasilka qaul sediri dega jala istibath dari Al Qur a da As Suah. Kosep fiqh tersebut jika digambarka dega pasaga titik da garis pada teori graf adalah sebagai berikut: المجتھد المت بع المقل د ambar. raf yag Merepresetasika Tigkata seorag dalam fiqh Setiap titik dalam graf tersebut merepresetasika seorag mufaqqih (orag yag megguaka fiqh). Sisi pada graf mewakili proses yag dilalui seseorag utuk mecapai tigkata tertetu. Setiap proses utuk mecapai tigkat selajutya memiliki syarat-syarat tertetu (sejeis kosesus) yag harus dimiliki seseorag. Maka setiap dua titik pada graf di atas aka terhubug jika syarat-syarat dalam proses telah terpeuhi. Kaita kosepsi tersebut dega graf latis faktor ialah bahwa setiap dua titik pada graf latis faktor dapat terhubug jika telah memeuhi syarat-syarat tertetu.

23 .. Rumusa Masalah berikut: Berdasarka latar belakag di atas, maka dibuat rumusa masalah sebagai. Bagaimaa graf yag terbetuk dari latis faktor bilaga prima berpagkat?. Bagaimaa graf yag terbetuk dari latis faktor bilaga 0?.. Tujua Berdasarka rumusa masalah di atas, maka tujua peelitia ii adalah:. Medeskripsika da megaalisis graf yag terbetuk dari latis faktor bilaga prima berpagkat.. Medeskripsika da megaalisis graf yag terbetuk dari latis faktor bilaga Mafaat Peelitia Dari peulisa skripsi ii diharapka dapat bermafaat bagi:. Peulis a. Utuk meambah pemahama tetag kosepsi yag yag ada dalam matematika, khususya teori bilaga, struktur aljabar, da teori graf. b. Sebagai saraa da latiha utuk meambah pemahama peguasaa peulis tetag grafik dari latis faktor perpagkata bilaga prima. Pembaca Sebagai tambaha literatur bagi mahasiswa khususya yag sedag meempuh mata kuliah teori bilaga, struktur aljabar, da teori graf.

24 .5. Metode Peelitia Metode yag diguaka dalam peelitia ii adalah library research atau kajia literature, yaki melakuka peelitia utuk memperoleh data-data da iformasi-iformasi serta objek-objek yag diguaka dalam permasalaha trersebut. Studi kepustakaa merupaka peampila argumetasi pealara keilmua utuk memaparka hasil olah pikir megeai suatu permasalaha atau topik kajia kepustakaa yag dibahas dalam pemelitia. Literatur utama dari peelitia ii adalah karya Sukardjoo dega judul Teori Latis da karya Robi J Wilso, da Joh J Watkis dega judul raphs: A Itroductory approach: A First Course i Discrete Mathematics. Da disertai literature pedukug seperti karya Frak Harary berjudul raph Theory, karya Drs. atot Muhsetyo, M. Sc berjudul Dasar-dasar Teori Bilaga da lai sebagaiya. Adapu lagkah-lagkah yag aka diterapka oleh peulis dalam membahas peelitia ii adalah meerapka kosep teori latis pada bilaga prima, selajutya meghubugkaya dega teori graf dega tahapa-tahapa adalah sebagai berikut: a. Meetuka himpua bilaga yag aka diteliti. b. Mecari faktor pembagi dari setiap usur dalam himpua tersebut. c. Memeriksa apakah faktor-faktor yag ditemuka memeuhi atura latis. d. Membuat graf latis faktor dari masig-masig bilaga aggota himpua. e. Medeskripsika ciri-ciri yag dimiliki oleh graf latis faktor yag terbetuk.

25 f. Mecari ciri umum graf latis faktor yag terbetuk dega megaalisis ciriciri yag dimilikiya..6. Batasa Masalah Dalam pembahasa teori latis, ada beberapa cotoh latis. Agar pembahasa dalam skripsi ii tidak meluas pada bermacam-macam cotoh latis, maka peulis haya membatasi pada masalah Latis Faktor. Utuk meghidari terjadiya persepsi yag berbeda terhadap fokus kajia dalam peelitia ii, perlu ada peegasa istilah yag diperguaka, sehigga secara operasioal tidak ada kedala terjadiya perbedaa pemahama meyagkut hal-hal yag dibahas berkaita dega pegguaa istilah-istilah berikut:. Latis faktor, adalah latis yag terdiri dari faktor-faktor positif dari sebuah bilaga.. Latis subgrup adalah latis yag terdiri dari subgrup-subgrup dari sebuah grup. Dalam peelitia ii istilah latis yag dipakai adalah latis faktor..7. Sistematika Peulisa Agar peulisa skripsi ii lebih terarah, mudah ditelaah da dipahami, maka diguaka sistematika pembahasa yeg terdiri dari empat bab. Masig-masig bab dibagi ke dalam beberapa subbab dega rumusa sebagai berikut:

26 BAB I PENDAHULUAN Pedahulua meliputi: latar belakag masalah, rumusa masalah, tujua peelitia, batasa masalah, mafaat peelitia, metode peelitia da sistematika peulisa. BAB II KAJIAN PUSTAKA Bagia ii terdiri atas kosep-kosep (teori-teori) yag medukug bagia pembahasa. Kosep-kosep tersebut atara lai membahas tetag graf, teori latis, da teori bilaga. BAB III PEMBAHASAN Merupaka pembahasa utama tetag karakteristik graf latis faktor bilaga prima berpagkat da graf latis faktor bilaga 0. BAB IV PENUTUP Pada bab ii aka dibahas tetag kesimpula da sara.

27 BAB II KAJIAN TEORI. Bilaga Pada dasarya semua cabag ilmu bersumber dari Al-Qur a baik itu ilmu agama maupu ilmu umum, da salah satu dari cabag ilmu tersebut adalah disipli ilmu matematika. Sedagka salah satu cabag dari ilmu matematika tersebut adalah bilaga. Dalam Al-Qur a ada beberapa ayat yag membahas tetag bilaga. Salah satuya dalam al-qura surat al-israa ayat disebutka. Artiya: Da kami jadika malam da siag sebagai dua tada, lalu kami hapuska tada malam da kami jadika tada siag itu terag, agar kamu mecari karuia dari Tuhamu, da supaya kamu megetahui bilaga tahu-tahu da perhituga. da segala sesuatu Telah kami teragka dega jelas. Dalam ayat ii terdapat kata( عدد ) yag berarti bilaga. Ii berarti bahwa bilaga terbahas dalam Al-Qur a. Ayat ii mejelaska tetag bilagabilaga tahu. Dega ii mausia diharapka megetahui bilaga tahu-tahu da perhituga waktu (hari, bula, da sebagaiya).

28 .. Keterbagia Masalah pembagia secara substasial termaktub dalam Al-Qu a, diataraya di dalam surat a-nisaa ayat berikut: Artiya: Allah mesyari'atka bagimu tetag (pembagia pusaka utuk) aakaakmu. yaitu:bagia seorag aak lelaki sama dega bagia dua orag aak perempua; da jika aak itu semuaya perempua lebih dari dua, Maka bagi mereka dua pertiga dari harta yag ditiggalka; jika aak perempua itu seorag saja, Maka ia memperoleh separuh harta. da utuk dua orag ibu-bapak, bagi masig-masigya sepeream dari harta yag ditiggalka, jika yag meiggal itu mempuyai aak; jika orag yag meiggal tidak mempuyai aak da ia diwarisi oleh ibu-bapakya (saja), maka ibuya medapat sepertiga; jika yag meiggal itu mempuyai beberapa saudara, Maka ibuya medapat sepeream. (Pembagia-pembagia tersebut di atas) sesudah dipeuhi wasiat yag ia buat atau (da) sesudah dibayar hutagya. (Tetag) orag tuamu da aak-aakmu, kamu tidak megetahui siapa di atara mereka yag lebih dekat (bayak) mafaatya bagimu. Ii adalah ketetapa dari Allah. Sesugguhya Allah Maha megetahui lagi Maha Bijaksaa. Ayat ii meeragka bahwa sebearya pembagia (harta) merupaka syari at Allah SWT. Pada ayat ii dijelaska siapa saja yag berhak utuk

29 medapatka harta warisa berikut ukura pembagiaya agar tidak ada kesejaga dari masig-masig peerima harta. Defiisi. Cotoh: Suatu bilaga bulat adalah habis dibagi oleh suatu bilaga bulat m 0 jika ada suatu bilaga bulat x sehigga m x. (Muhsetyo, 997:4) Notasi: m dibaca m membagi, habis dibagi m, m faktor, atau kelipata dari m. a. 5 0 sebab ada bilaga bulat sehigga 0 = 5. b. 8 sebab ada bilaga bulat 6 sehigga 8 =.6.. Bilaga Prima Defiisi. Cotoh: Jika p adalah suatu bilaga bulat positif lebih dari ( p ) yag haya mempuyai pembagi positif da p, maka p disebut bilaga prima. Bilaga-bilaga da adalah bilaga-bilaga prima sebab: a. adalah bilaga bulat positif yag haya mempuyai pembagi positif da. b. adalah bilaga bulat positif yag haya mempuyai pembagi positif da.

30 .. Fugsi Multiplikatif Defiisi. Cotoh: a. Suatu fugsi yag didefiisika pada himpua bilaga bulat positif disebut dega fugsi aritmetika b. Jika m da adalah bilaga-bilaga positif da FPB(a,b)=, maka suatu fugsi f yag memeuhi hubuga f ( m) f ( m) f ( ) disebut dega fugsi multiplikatif Suatu fugsi g didefiisika sebagai: g( ) utuk semua bilaga bulat positif. Karea haya didefiisika pada himpua bilaga bulat positif, maka g adalah fugsi aritmetika. Karea g( m) g( ) m, g( m) m ( m)( ) g( m) g( ) Maka g merupaka fugsi multiplikatif. Defiisi.4 Cacah (bayak) semua pembagi yag positif dari disebut dega fugsi cacah pembagi da ditulis dega: τ d d

31 Cotoh: Teorema. Bukti: a. Pembagi-pembagi yag positif dari 4 adalah,, da 4 sehigga cacah pembagi dari 4 adalah. jadi τ 4. b. Pembagi-pembagi yag positif dari 6 adalah,,, 4, 6, 9,, 8, da 6 sehigga jumlah cacah pembagi dari 6 adalah 9. jadi τ 6 9. Jika p adalah suatu bilaga prima da N, maka: τ p Faktor-faktor dari p adalah,,,,, p p p p, berarti bayakya factor atau pembagi dari p adalah tepat sama dega (+), sehigga τ p. Cotoh: Peyelesaia: Diketahui = 5, carilah ilai τ 5 5 5, sehigga τ =τ 5 τ 5 = 4 Teorema. Jika adalah suatu bilaga asli dega pemfaktora prima: p p p p k a a a a k Maka: τ ( a )( a )( a ) ( a k )

32 Bukti: Karea τ adalah fugsi multiplikatif, maka: a a a a ( ) ( p k p p p k ) a a a a ( p ) ( p ) ( p ) ( p k k ) ( )( )( ) ( ) a a a a k Cotoh: Diketahui = 00. Carilah ilai τ 00 Peyelesaia: 00.5, sehigga τ(00) ( 5 ) ( ) (5 ) ( )( ). Teori Latis Dalam Al-Qur a kajia megeai latis yag diartika sebagai himpua atau kelompok sudah ada seperti kehidupa mausia yag terdiri dari berbagai macam gologa, dimaa gologa merupaka bagia dari himpua karea himpua sediri merupaka kumpula objek-objek yag terdefiisi. Dalam al- Qura surat al-fatihah ayat 7 disebutka.

33 Artiya: (yaitu) Jala orag-orag yag telah Egkau beri ikmat kepada mereka; buka (jala) mereka yag dimurkai da buka (pula jala) mereka yag sesat (Q. S. Al-Fatihah: 7). Ayat ii mejelaska bahwa mausia terbagi mejadi tiga kelompok, yaitu () kelompok yag medapat ikmat dari Allah SWT (Mu mi), () kelompok yag dimurkai Allah SWT, da () kelompok yag sesat (Abdussakir, 006:47). Defiisi.5 Cotoh: Suatu latis L adalah suatu aljabar dega dua operasi bier (dilambagka dega da ) yag memeuhi postulat-postulat berikut: utuk semua a, b, c di L, i. a b L (L tertutup terhadap operasi ) ii. a b L (L tertutup terhadap operasi ) iii. a b b a (operasi komutatif) iv. a b b a (operasi komutatif ) v. a ( b c) ( a b) c (operasi asosiatif) vi. a ( b c) ( a b) c (operasi asosiatif) vii. a ( a b) a (Absorpsi terhadap operasi ) viii. a a b a (Absorpsi terhadap operasi ) (Sukardjoo, 00:9) Misalka usur-usur dari latis L adalah faktor-faktor positif dari bilaga asli 6, yaitu:,, 4, 6, 8, 9,, 8, 4, 7, 6, 54, 7, 08, 6

34 berikut: himpua ii memuat faktor persekutua terbesar (FPB) tuggal da kelipata persekutua terkecil (KPK) tuggal dari setiap aggota dari himpua itu; dega demikia jika kita defiisika FPB( a, b) da KPK( a, b) a b, a b, postulat i da ii dipeuhi. Sifat komutatif (postulat iii da iv) dipeuhi. Postulat v, vi (asosiatif dipeuhi) da sifat absorpsi (postulat vii, viii) juga terpeuhi. Utuk meggambar diagram latis perlu diperhatika atura-atura sebagai. Faktor terkecil sampai faktor terbesar digambar terlebih dahulu.. dimulai dari faktor terkecil diletakka palig bawah da diakhiri faktor terbesar diletakka palig atas.. Posisi faktor yag lebih kecil diletakka agak ke bawah dibadigka dega faktor yag lebih besar. 4. Misal a, b, da c adalah faktor dari p da a b c, a b. a aka terhubug pada b jika a b (a membagi b) da tidak ada c sedemikia sehigga c b da a c. Dega megikuti atura tersebut aka didapat diagram latis seperti berikut: ambar. Diagram Latis Faktor

35 Teorema. Bukti: a a a (Sukardjoo, 00:9) a a a ( a a b) a Jadi a a a (terbukti). pejelasa : pembuktia ii diawali dega merubah a a. Dega megubah a yag kedua mejadi a a b (megikuti postulat viii) maka a a mejadi a ( a a b). Kemudia dari a ( a a b) mejadi a ( a b). Da meurut postulat vii a ( a b) a. Cotoh:, a b disamadegaka b sehigga Misalka usur-usur dari latis L adalah faktor-faktor positif dari bilaga asli, yaitu,, 4, 8, 6,. Jika defiisika FPB( a, b) KPK( a, b) Peyelesaia: a b. Buktika bahwa 8 8 8! 8 8 = 8 (8 +8 8) meurut postulat viii = 8 meurut postulat vii Jadi (terbukti). Teorema.4 Bukti: a a a (Sukardjoo, 00:9) a a a a a a a b, da

36 Jadi a a a (terbukti). pejelasa : dega berdasar teorema, bahwa a a a, maka a yag kedua dari betuk a a diubah mejadi a a, sehigga betuk a a berubah mejadi a a a. Kemudia meurut postulat viii a a a a. Maka a a a. Cotoh: Misalka usur-usur dari latis L adalah faktor-faktor positif dari bilaga asli 64, yaitu,, 4, 8, 6,, 64. Jika defiisika FPB( a, b) a b, da KPK( a, b) a b. Buktika bahwa! Peyelesaia: = ( ) meurut teorema = meurut postulat viii Jadi = (terbukti). Teorema.5 Jika a b a, maka a b b (Sukardjoo, 00:40) Bukti: a b a b b b a b b b a b Jadi jika a b a, maka a b b (terbukti). pejelasa : diketahui bahwa a b a maka betuk a b berubah mejadi a b b. Betuk a b b dapat diubah mejadi b a b (meurut postulat iv). Da meurut postulat iii betuk a b b a, maka betuk b a b dapat diubah

37 mejadi b b a. Da dega melihat postulat viii dapat dega mudah dibuktika bahwa b b a b. Sehigga a b b. Cotoh: Misalka usur-usur dari latis L adalah faktor-faktor positif dari bilaga asli 8, yaitu,, 4, 8, 6,, 64, 8. Jika defiisika FPB( a, b) Peyelesaia: a b, da KPK( a, b) bahwa 6 8 8! 6 8 = (6 8) 8 diketahui 6 8 = 6 a b. Jika 6 8 =6, buktika = 8 (6 8) komutatif (meurut postulat iv) = 8 (8 6) komutatif (meurut postulat iii) = 8 meurut postulat viii Jadi jika 6 8 = 6 maka 6 8 = 8 (terbukti). Teorema.6 Bukti: Jika a b b, maka a b a (Sukardjoo, 00:40) a b a ( a b) a Jadi jika a b b, maka a b a (terbukti). pejelasa: diketahui a b a a Cotoh: b, maka betuk a b dapat diubah mejadi b. Da dega merujuk pada postulat vii didapat a a b a.

38 Misalka usur-usur dari latis L adalah faktor-faktor positif dari bilaga asli 8, yaitu,, 4, 8, 6,, 64, 8. Jika defiisika FPB( a, b) Peyelesaia: a b, da KPK( a, b) bahwa 6 8 6! a b. Jika 6 8 = 8, buktika 6 8 = 6 (6 +8) diketahui 6 8 = 8 = 6 meurut postulat vii Jadi jika 6 8 = 8 maka (terbukti).. raf.. Defiisi raf Defiisi.6 raf adalah pasaga himpua (V, E) dega V adalah himpua tidak kosog da berhigga dari obyek-obyek yag disebut sebagai titik da E adalah himpua (mugki kosog) pasaga tak beruruta dari titik-titik berbeda di V yag disebut sebagai sisi (Chartrad da Lesiak, 986: 4). Himpua titik di diotasika dega V() da himpua sisi diotasika dega E(). Sedagka bayakya usur di V disebut order dari da dilambagka dega p() da bayakya usur di E disebut size dari da dilambagka dega q(). Jika graf yag dibicaraka haya graf, maka order da size dari tersebut cukup ditulis dega p da q (Chartrad da Lesiak, 986: 4).

39 Cotoh: v v v v 4 ambar. raf raf memuat himpua titik V da sisi yaitu : V = v, v, v v, 4 E = v, v, v, v, v, v, v, v, v v 4 4 4, raf mempuyai order 4 atau p = 4 da size 5 atau q = 5... Adjacet da Icidet Defiisi.7 Sisi e = (u,v) dikataka meghubugka titik u da v. Jika e = (u,v) adalah sisi di graf, maka u da v disebut terhubug lagsug (adjacet), u da e serta v da e disebut terkait lagsug (icidet). Utuk selajutya, sisi e = (u,v) aka ditulis e uv (Chartrad da Lesiak,986:4). Cotoh: v v 5 v v 4 v ambar. raf H Dari ambar. pada graf H, titik v da v adalah adjacet atau terhubug lagsug tetapi v da v 5 tidak. Titik v da sisi (v v ) da (v v 5 ) adalah terkait lagsug (icidet) dega titik v.

40 .. Operasi pada raf Defiisi.8 abuga dua graf da yag diotasika dega mempuyai himpua titik V ) V ( ) V ( ) da himpua ( sisi E ) E( ) E( ). Jika graf memuat sebayak graf H, ( maka diotasika dega = H (Chartrad da Lesiak, 986: ). Cotoh: u v u v ambar.4. abuga raf ambar di atas merupaka cotoh gabuga graf da. V( ) = {u,u }, V( ) = {v,v }, E() = {u u } da E()= {v v }. Jika, maka V ) V ( ) V ( ) ={u,u } {v,v }={u,u,v,v } ( da E ) E( ) E( ) ={u u } {v v }={u u, v v } ( Karea graf memuat graf K, maka graf tersebut dapat diotasika K. Defiisi.9 Pejumlaha dua graf da yag diotasika mempuyai himpua titik V ) V ( ) V ( ) da himpua ( sisi E ) E( ) E( ) { uv u V ( ) da v V ( )} (Chatrad ( da Lesiak, 986: ).

41 Cotoh: u v u v : : + : v v u v u v ambar.5. Pejumlaha Dua raf Pada cotoh di atas, V( ) = {u,u }, V( ) = {v,v,v }, maka = + mempuyai himpua titik V ) V ( ) V ( ) = {u,u } {v,v,v }={u,u, ( v,v,v } da himpua sisi E ) E( ) E( ) {u v, u v, u v, u v, u v, ( u v }= { u u, v v, v v, u v, u v, u v, u v, u v, u v }. Defiisi.0 Hasil kali kartesius dari graf da adalah graf yag diotasika x da mempuyai himpua titik V ) V ( ) x V ( ), da dua titik (u, u ) da (v, v ) dari graf ( terhubug lagsug jika da haya jika u = v da u v E ) atau u = v da u v E ) (Chartrad da Lesiak, 986: ). ( (

42 Cotoh: (u,v ) u v : : x : (u,v ) (u,v ) (u,v ) u v v (u,v ) (u,v ) ambar.6. raf Hasil Kali Kartesius Pada cotoh di atas, V( ) = {u,u }, V( ) = {v,v,v }, maka = x mempuyai himpua titik =V()={(u,v ),( u,v ),( u,v ),( u,v ), (u,v ), (u,v )}. (u,v ) da (u,v ) terhubug lagsug jika da haya jika u = u da v v E( )...4 Macam-macam raf..4. raf Litasa Defiisi. raf path adalah graf yag terdiri dari satu litasa (path tuggal). raf path (litasa) dega titik diotasika dega (Wilso da Cotoh: Watkis, 990:7). 4 ambar.7 raf litasa

43 ..4. raf Sikel Sikel adalah jala tertutup dega barisa titik yag berbeda. Dega kata lai, sikel adalah litasa tertutup, sikel dega pajag dapat juga ditulis dega -sikel. Defiisi. Defiisi. raf sikel adalah graf yag terdiri dari satu sikel (sikel tuggal). raf sikel dega titik diotasika dega C (Wilso da Watkis, 990:7). raf Sikel (Cycle raf) C ialah graf terhubug beratura yag Cotoh: mempuyai titik ( ) da sisi (Chartrad da Lesiak, 986:8). a a a b e b c C b d C 4 c d c C 5 ambar. 8 raf Sikel..5 raf Trivial da o Trivial Defiisi.4 raf disebut fiite atau berhigga jika himpua titik adalah berhigga, atau graf yag jumlah titikya adalah berhigga. raf ifiite atau tak berhigga adalah graf yag jumlah titikya tidak berhigga. raf trivial

44 adalah graf berorder satu dega himpua sisiya merupaka himpua kosog. raf o trivial adalah graf yag berorder lebih dari satu (Body ad Murthy, 976:). Cotoh: ambar.9 raf Trivial da o Trivial Pada ambar.6 merupaka graf trivial karea haya memuat satu titik atau berorder satu da himpua sisiya merupaka himpua kosog. Sedagka merupaka graf o trivial karea berorder lebih dari satu...6 Jala da Litasa Defiisi.5 Sebuah jala (walk) u v di graf adalah barisa berhigga (tak kosog) W : u = v 0, e, v, e, v,..., e,v = v yag berselag selig atara titik da sisi, yag dimulai dari titik u da diakhiri dega titik v sedemikia higga utuk 0 < i, maka ei vi v i adalah sisi di. v 0 disebut titik awal, v disebut titik akhir, v, v,..., v - disebut titik iteral, da meyataka pajag dari W (Chartrad da Lesiak, 986:6).

45 Cotoh: v 6 e v 5 5 e4 v 4 e 7 : v e 6 e e v e v ambar. 0 raf Cotoh jala pada graf dalam gambar.0 adalah v, v. 4 e4, v5, e, v, e, v, e6, v6, e7, v, e, Defiisi.6 Trail u v adalah jala u v yag semua sisiya berbeda da boleh megulag titik (Chartrad da Lesiak, 986: 6). Cotoh: Cotoh trail pada graf dalam gambar.0 adalah : v, v. 5 e, v, e, v, e6, v6, e5, v5, e4, 4 Defiisi.7 Jala terbuka yag semua sisi da titikya berbeda disebut litasa. Dega demikia dapat dikataka bahwa setiap litasa pasti trail, tetapi tidak semua trail merupaka litasa (Wilso ad Watkis, 989: 5). Cotoh: Cotoh litasa pada graf dalam gambar.0 adalah : v, v. e, v, e, v, e7, v6, e5, v5, e4, 4

46 ..7 raf Tagga Defiisi.8 raf Tagga yag diotasika sebagai M adalah suatu graf yag dibetuk dari operasi hasil kali kartesius atara graf litasa dega dua titik da graf litasa dega titik yaitu M P P (allia.007:) Cotoh: P : P : P P : M P : P : P P : M M M 4 M 5 ambar. raf Tagga M M 5

47 ..8 Derajat Suatu Titik Defiisi.9 Derajat titik v pada graf, ditulis dega deg(v), adalah bayakya sisi yag terkait lagsug pada v. Dega kata lai, bayakya sisi yag memuat v sebagai titik ujug. Titik v dikataka geap atau gajil tergatug dari deg(v) geap atau gajil (Chartrad da Lesiak 986: 7, Sutaro,005: 69). Cotoh: Perhatika graf berikut yag mempuyai himpua titik V = {a, b, c, d} da himpua sisi E = {e, e, e, e 4, e 5 }. a e c : e e 4 e b e 5 d ambar. raf Berdasarka gambar.8, diperolah bahwa: deg(a) = deg(b) = deg(c) = deg(d) = Titik a da b adalah titik gajil, titik c da d adalah titik geap. Karea tidak ada yag berderajat, maka graf tidak mempuyai titik ujug. Hubuga atara jumlah derajat semua titik dalam suatu graf dega

48 bayak sisi, yaitu q, adalah deg( v) = q. Hal ii diyataka dalam v Teorema.7 teorema berikut. Jika graf dega V() = { v, v,..., v } maka deg i ( v i ) q (Chartrad da Lesiak, 986: 7) Bukti: Setiap sisi terkait lagsug dega titik. Bila derajat tiap titik tersebut dijumlahka maka sisi tersebut dihitug kali. Akibat Teorema.7 Pada sebarag graf, bayakya titik yag berderajat gajil adalah geap (Chartrad da Lesiak, 986: 7). Bukti: Misalka graf dega titik sebayak q, maka ambil W yag memuat himpua titik gajil di serta U yag memuat himpua titik geap di. Dari teorema maka diperoleh: v V () deg v v W deg v v U deg v q dega demikia karea v U Sehigga adalah geap. deg v geap, maka deg v juga geap. v W

49 .4 raf utuk Kosep Waris Dalam Islam, kosep waris didasarka pada al-qur a surat a-nisaa ayat seperti berikut:... Artiya: Da bagimu (suami-suami) seperdua dari harta yag ditiggalka oleh isteri-isterimu, jika mereka tidak mempuyai aak. jika Isteri-isterimu itu mempuyai aak, Maka kamu medapat seperempat dari harta yag ditiggalkaya sesudah dipeuhi wasiat yag mereka buat atau (da) sesudah dibayar hutagya... Jika digambarka dalam betuk graf, warisa utuk suami yag ditiggalka istri yag tak puya aak adalah sebagai berikut: v v v ambar. raf yag merepreserasika pembagia waris raf di atas meggambarka pembagia harta. Titik v adalah harta yag ditiggalka. Titik v da v adalah sasara pembagia harta tersebut. Titik v mewakili pembagia harta utuk suami da v meggambarka pembagia harta utuk selai suami. Sedagka sisi pada graf meggambarka besarya

50 pembagia harta pada masig-masig sasara. Besar bagia utuk suami yaitu ½ da bagia utuk selai suami adalah ½..5 raf pada Kosep Pembagia Zakat Zakat merupaka salah satu ruku Islam.dalam distribusiya zakat haya dikhususka pada beberapa orag saja. Jadi tidak semua orag dapat meerima zakat. Di dala al-qur a surat at-taubah ayat 60 disebutka: Artiya: Sesugguhya zakat-zakat itu, hayalah utuk orag-orag fakir, oragorag miski, pegurus-pegurus zakat, para mu'allaf yag dibujuk hatiya, utuk (memerdekaka) budak, orag-orag yag berhutag, utuk jala Allah da utuk mereka yuag sedag dalam perjalaa, sebagai suatu ketetapa yag diwajibka Allah, da Allah Maha megetahui lagi Maha Bijaksaa. Jika digambarka dalam graf, maka distribusi zakat seperti berikut: Zakat Fakir Miski Pegurus zakat Muallaf Memerdekaka budak Orag Sabilillah Musafir ambar. 4 raf yag merepreserasika pembagia Zakat

51 Titik pada graf mewakili pemberi da peerima zakat. Sedagka sisi pada graf mewakili proses distribusi zakat dari pemberi pada peerima zakat.

52 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ii dibahas graf latis faktor dari dua bilaga yaitu graf latis faktor bilaga prima berpagkat (diotasika dega p ) da graf latis faktor bilaga 0. Utuk pembahasa graf latis faktor bilaga prima berpagkat diambil sampel tiga himpua. Adapu tiga himpua tersebut adalah himpua P {,,5,7,, },,,5,7,, P, da,,5,7,, P. Tiga himpua ii adalah himpua bilaga prima berpagkat, himpua bilaga prima berpagkat, himpua bilaga prima berpagkat... raf Latis Faktor Bilaga p Pada subbab ii sebagai cotoh haya diambil tiga himpua. Adapu tiga himpua tersebut adalah himpua P {,,5,7,, }, P,,5,7,,, da P,,5,7,,. Tiga himpua ii adalah himpua bilaga prima berpagkat, himpua bilaga prima berpagkat, himpua bilaga prima berpagkat.... Pembahasa Himpua P...i. Mecari Faktor Pembagi Positif Utuk mecari faktor pembagi positif (selajutya haya disebut faktor) dari suatu bilaga maka perlu diperhatika defiisi keterbagia pada bab. Di

53 sii haya dicotohka dalam mecari faktor dari bilaga, selajutya dapat dicari dega cara serupa...i. Utuk mecari faktor dari bilaga, maka harus dicari suatu bilaga bulat m 0, m 0 yag membagi (m ). Ditemuka da, maka da adalah faktor dari. Selajutya faktor-faktor tersebut diotasika sebagai barisa L,. Meurut defiisi 5 di dalam bab, τ...ii. Faktor dari adalah da, diotasika,..iii. Faktor dari 5 adalah da 5 diotasika,5 L da L da τ. τ 5. Utuk L,, barisa ii memuat faktor persekutua terbesar (FPB) tuggal da kelipata persekutua terkecil (KPK) tuggal dari setiap aggota dari himpua L ; dega demikia jika kita defiisika FPB( a, b) KPK( a, b) a b, maka jika diambil a, b, c di L maka: ix. a b L ( L tertutup terhadap operasi ) x. a b L ( L tertutup terhadap operasi ) xi. a b b a (operasi komutatif) xii. a b b a (operasi komutatif ) xiii. a ( b c) ( a b) c (operasi asosiatif) xiv. a ( b c) ( a b) c (operasi asosiatif) xv. a ( a b) a (Absorpsi terhadap operasi ) xvi. a a b a (Absorpsi terhadap operasi ) a b, da Karea L memeuhi kedelapa postulat di atas, maka L adalah sebuah Latis.

54 Utuk L,, barisa ii memuat faktor persekutua terbesar (FPB) tuggal da kelipata persekutua terkecil (KPK) tuggal dari setiap aggota dari himpua L ; dega demikia jika kita defiisika FPB( a, b) KPK( a, b) a b, da a b, maka jika diambil a, b, c di L maka postulat i sampai viii terpeuhi. Karea L memeuhi kedelapa postulat latis, maka L adalah sebuah Latis. Utuk L,5, barisa ii memuat faktor persekutua terbesar (FPB) tuggal da kelipata persekutua terkecil (KPK) tuggal dari setiap aggota dari himpua L ; dega demikia jika kita defiisika FPB( a, b) KPK( a, b) a b, da a b, maka jika diambil a, b, c di L maka postulat i sampai viii terpeuhi. Karea L memeuhi kedelapa postulat latis, maka L adalah sebuah Latis. Lagkah selajutya adalah membuat diagram Latis Faktor dari L, L, L. Diagram latis faktor ii, di dalam tulisa ii peulis sebut dega raf Latis Faktor. Setiap titik pada graf mewakili faktor dalam diagram latis yag berarti bahwa baykya titik pada graf sama dega bayakya faktor pada diagram latis. Da setiap sisi dalam graf mewakili garis dalam diagram latis. Setelah terbetuk graf dari L, L, L, selajutya adalah medeskripsika ciri yag dimiliki oleh graf latis faktor yag terbetuk....ii. Membuat raf Latis Faktor Utuk meyusu atau meggambar graf latis faktor dari L, L, L harus memperhatika lagkah-lagkah berikut:

55 5. Faktor terkecil sampai faktor terbesar digambar terlebih dahulu. 6. Faktor yag lebih kecil diletakka di bawah sedagka yag lebih besar di atas. 7. Misal a, b, da c adalah faktor dari p da a b c. a aka terhubug pada b jika a b (a membagi b) da tidak ada c sedemikia sehigga c b da a c. Pembahasa dimulai dari. raf Latis Faktor utuk L L, adalah latis yag memuat dua faktor. Setiap faktor tersebut diwakili oleh titik v da v. aris pada diagram latis faktor diwakili oleh sisi e. Dega megikuti prosedur yag telah ditetuka aka terbetuk graf sebagai berikut: L : ambar..a Diagram Latis Faktor L v : e v ambar..b raf Latis Faktor raf ii adalah graf path yaki graf yag haya memiliki satu litasa. graf ii mempuyai ciri diataraya: a. Memiliki titik, V =, b. Memiliki sisi, E atau q =. v v maka order dari adalah atau p =. = e, dega demikia graf ii mempuyai size c. Derajat setiap titik pada graf ii adalah deg( v ), deg( v). Maka derajat maksimum dari titik-titik pada graf ii adalah. d. Pajag litasaya adalah, yaitu W v, e, v

56 . raf Latis Faktor utuk L L, adalah latis yag memuat dua faktor. Setiap faktor tersebut diwakili oleh titik v da v. aris pada diagram latis faktor diwakili oleh sisi e. Adapu gambarya seperti di bawah ii: L : : v e v ambar..a Diagram Latis Faktor L ambar..b raf Latis Faktor raf ii mempuyai ciri: a. Memiliki titik, V =, b. Memiliki sisi, E atau q =. v v maka order dari adalah atau p =. = e dega demikia graf ii mempuyai size e. Derajat setiap titik pada graf ii adalah deg( v ), deg( v). Maka derajat maksimum dari titik-titik pada graf ii adalah. c. Pajag litasaya adalah, yaitu W v, e, v. raf Latis Faktor utuk L L,5 adalah latis yag memuat dua faktor. Setiap faktor tersebut diwakili oleh titik v da v. Da garis pada diagram latis faktor diwakili oleh sisi e. Adapu gambarya seperti di bawah ii:

57 5 L : : e v v ambar..a Diagram Latis Faktor L ambar..b raf Latis Faktor raf ii mempuyai ciri: a. Memiliki titik, V =, b. Memiliki sisi, E atau q =. v v maka order dari adalah atau p =. = e dega demikia graf ii mempuyai size c. Derajat setiap titik pada graf ii adalah deg( v ), deg( v). Maka derajat maksimum dari titik-titik pada graf ii adalah. d. Pajag litasaya adalah, yaitu W v, e, v...iii. Mecari Ciri Umum raf Latis Faktor utuk P Dari proses pembuata graf latis faktor dari usur-usur dalam himpua P,,5 yaki latis faktor,, sebagai berikut: L L L diperoleh graf yag memiliki pola Tabel. Pola raf Latis Faktor utuk Bilaga p Order Size Derajat maksimum titik Litasa terpajag utuk utuk utuk 5 utuk p

58 ... Pembahasa Himpua P...i. Mecari Faktor Pembagi Positif Utuk mecari faktor pembagi positif (selajutya haya disebut faktor) dari suatu bilaga maka perlu diperhatika defiisi keterbagia...i. Faktor dari adalah,, da. Selajutya faktor-faktor tersebut diotasika sebagai barisa, τ. L,,. Meurut defiisi 5 di dalam bab..ii...iii. Faktor dari Faktor dari adalah, da 5 adalah, 5 da, diotasika 5 diotasika L,, da τ. L,5,5 da τ 5. Selajutya diperiksa apakah L, L, L memeuhi postulat-postulat latis. Utuk L,,, barisa ii memuat faktor persekutua terbesar (FPB) tuggal da kelipata persekutua terkecil (KPK) tuggal dari setiap aggota dari himpua L ; dega demikia jika kita defiisika FPB( a, b) KPK( a, b) a b, da a b, maka jika diambil a, b, c di L maka postulat i sampai viii terpeuhi. Karea L memeuhi kedelapa postulat latis, maka L adalah sebuah Latis. Utuk L,,, barisa ii memuat faktor persekutua terbesar (FPB) tuggal da kelipata persekutua terkecil (KPK) tuggal dari setiap aggota dari himpua L ; dega demikia jika kita defiisika FPB( a, b) KPK( a, b) a b, da a b, maka jika diambil a, b, c di L maka postulat i sampai viii

59 terpeuhi. Karea L memeuhi kedelapa postulat latis, maka L adalah sebuah Latis. Utuk L,5,5, barisa ii memuat faktor persekutua terbesar (FPB) tuggal da kelipata persekutua terkecil (KPK) tuggal dari setiap aggota dari himpua L ; dega demikia jika kita defiisika FPB( a, b) KPK( a, b) a b, da a b, maka jika diambil a, b, c di L maka postulat i sampai viii terpeuhi. Karea L memeuhi kedelapa postulat latis, maka L adalah sebuah Latis. Lagkah selajutya adalah membuat diagram Latis Faktor dari L, L, L. Setiap titik pada graf mewakili faktor dalam diagram latis yag berarti bahwa baykya titik pada graf sama dega bayakya faktor pada diagram latis. Setiap sisi pada graf mewakili garis pada diagram latis. Setelah terbetuk graf dari L, L, L, selajutya adalah medeskripsika ciri yag dimiliki oleh graf latis faktor yag terbetuk....ii. Membuat raf Latis Faktor. raf Latis Faktor utuk L L,, adalah latis yag memuat tiga faktor. Setiap faktor tersebut diwakili oleh titik v, v da v. aris pada diagram latis faktor diwakili oleh sisi e da e pada graf. Dega megikuti prosedur yag telah ditetuka aka terbetuk graf sebagai berikut:

60 L : : v e v e ambar.4.a Diagram Latis Faktor L v ambar.4.b raf Latis Faktor raf ii adalah graf path yaki graf yag haya memiliki satu litasa. graf ii mempuyai ciri di ataraya: a. Memiliki titik, V =,, b. Memiliki sisi, E =, atau q =. v v v maka order dari adalah atau p =. e e, dega demikia graf ii mempuyai size c. Derajat setiap titik pada graf ii adalah deg( v ), deg( v), deg( v). Maka derajat maksimum dari titik-titik pada graf ii adalah. d. Pajag litasaya adalah, yaitu W v, e, v, e, v. raf Latis Faktor utuk L L,, adalah latis yag memuat dua faktor. Setiap faktor tersebut diwakili oleh titik v, v da v. Da garis pada diagram latis faktor diwakili oleh sisi e da e. Adapu gambarya seperti di bawah ii: v L : : e v e ambar.5.a Diagram Latis Faktor L v ambar.5.b raf Latis Faktor

61 raf ii mempuyai ciri: a. Memiliki titik, V =,, b. Memiliki sisi, E =, atau q =. v v v maka order dari adalah atau p =. e e dega demikia graf ii mempuyai size c. Derajat setiap titik pada graf ii adalah deg( v ), deg( v), deg( v). Maka derajat maksimum dari titik-titik pada graf ii adalah. d. Pajag litasaya adalah, yaitu W v, e, v, e, v.. raf Latis Faktor utuk L L,5,5 adalah latis yag memuat dua faktor. Setiap faktor tersebut diwakili oleh titik v, v da v. Da garis pada diagram latis faktor diwakili oleh sisi e da e. Adapu gambarya seperti di bawah ii: 5 L : 5 : v e v e ambar.6.a Diagram Latis Faktor L v ambar.6.b raf Latis Faktor raf ii mempuyai ciri: a. Memiliki titik, V =,, b. Memiliki sisi, E =, atau q =. v v v maka order dari adalah atau p =. e e dega demikia graf ii mempuyai size