KAJIAN TENTANG GRAF PERFECT SKRIPSI. Oleh: NURUL IMAMAH AH NIM:

Transkripsi

1 AJIAN TENTANG GRAF PERFECT SRIPSI Oleh: NURUL IMAMAH AH NIM: JURUSAN MATEMATIA FAULTAS SAINS DAN TENOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 008

2 AJIAN TENTANG GRAF PERFECT SRIPSI Diajuka epada: Uiersitas Islam Negeri Malag Utuk Memeuhi Salah Satu Persyarata Dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Oleh: NURUL IMAMAH AH NIM JURUSAN MATEMATIA FAULTAS SAINS DAN TENOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 008

3 AJIAN TENTANG GRAF PERFECT SRIPSI Oleh: NURUL IMAMAH AH NIM Telah Disetujui utuk Diuji Malag, 6 Juli 008 Dose Pembimbig I, Dose Pembimbig II, Abdussakir, M.Pd Abdul Azis, M.Si NIP NIP Megetahui, etua Jurusa Matematika Sri Harii, M. Si NIP 50 8

4 AJIAN TENTANG GRAF PERFECT SRIPSI Oleh: NURUL IMAMAH AH NIM Telah Dipertahaka di Depa Dewa Peguji Skripsi da Diyataka Diterima sebagai Salah Satu Persyarata utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal: Juli 008 Susua Dewa Peguji: Tada Taga. Peguji Utama : Wahyu H. Irawa, M.Pd ( ) NIP: etua : Sri Harii, M.Si ( ) NIP: Sekretaris : Abdussakir, M.Pd ( ) NIP: Aggota : Abdul Azis, M.Si ( ) NIP: Megetahui da Megesahka, etua Jurusa Matematika Sri Harii, M.Si NIP: 50 8

5 ...Salaama Wahtirooma Sysauqo amiiqo mim ba iid Teririg Doa Semoga Skripsi ii Bermafaat da mejadi esuksesa Duia da Akhirat Dega iriga doa da rasa syukur yag teramat besar, arya besar ii kupersembahka kepada: Ayahada Ahmad Yahdi da ibuda Siti Mutmaiah tercita. Ayah, karea perasa kerigatmulah aada bisa memperoleh kesempata utuk mejelajahi duia keilmua setiggi ii. Da karea doamu aada bisa mewujudka cita-cita aada. aada sagat berterimakasih kepadamu. Ibu kaulah waita surga, dega suara lembut peuh keluh kesah, kau doaka putri-putrimu utuk meraih cita da meraih ridlo ilahi, dega keteguha hati da ketulusa jiwa, kau jadika aada sebagai orag berharga. Ayah, Ibu, terimakasih atas segala kasih sayag, pegorbaa da kebaika kalia, karea kalialah aada megerti aka arti ilmu dalam hidup ii. Dari lubuk hati yag palig dalam, aada haya bisa berkata egkaulah Ayah da Ibu yag diriduka syurga da egkaulah ayah da ibu yag sagat diriduka oleh setiap mausia yag lahir dibumi ii semoga amal kalia diterima disisi Allah, Ami ya Rabbal Alami Saudara-saudaraku; Mba Faiq, Mas Ichok, Mba reha, Mba rois,da eekku Mak Hah Yag selalu memberiku batua da motiasi seluruh keluargaku

6 Calo Suamiku tercita, Mas Jalil yag memberikaku wara-wari kehidupa, terima kasih. Jadilah sahabat tuk seumur hidupku. Dambaa hatiku. Peggerak jiwaku yag kaku. Bapak Abdussakir, M.Pd, tiada ugkapa yag patas kuucap kecuali utaia ucapa terima kasih karea bimbigamu yag amat berarti. Bapak Abdul Azis, M.Si. Terima kasih atas bimbigaya. Dose Faforitku terhormat; Bapak Wahyu Heky Irawa. Semoga Allah selalu memberika rahmat kepada Beliau Ami Bapak Drs. H. Turmudzi, M.Si da ibu yag selalu memberikaku Motiasi, bimbiga, kasih sayag serta semagat. Terima kasih. Bapak Baharudi Ghazali. Terima kasih atas batuaya. Para Dose da Guru-guruku terhormat, khususya ustadz jamaluddi, terima kasih atas asehat-asehatya Tema-temaku seperjuaga; Upik, H5, Vera, MSQ commuity (asrifa, atus, lia, amiah iffah) plus Awar semuaya trims atas motiasiya Sahabat-sahabat Musyrifah di hodijah da seluruh Musyrif-Musyrifah Ma had Sua Ampel Al-Ali Tema-tema seperjuagaku agkata

7 Motto: خ ي ر آ م م ن ت ع لم ال ق ر أ ن و ع لم ه Sebaik-baik mausia adalah yag belajar Al-Qur a da megajarkaya

8 PERNYATAAN EASLIAN TULISAN Saya yag bertada taga dibawah ii: Nama : NURUL IMAMAH AH NIM : Jurusa : Matematika Fakultas : Sais da Tekologi meyataka dega sebearya bahwa skripsi yag saya tulis ii bear-bear merupaka hasil karya saya sediri, buka tulisa atau pikira orag lai yag saya akui sebagai hasil tulisa atau pikira saya sediri. Apabila di kemudia hari terbukti atau dapat dibuktika skripsi ii hasil jiplaka, maka saya bersedia meerima saksi atas perbuata tersebut. Malag, 9 Juli 008 Yag membuat peryataa Nurul Imamah AH NIM

9 ATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Segala puji bagi Allah SWT karea atas rahmat, taufiq da hidayah-nya, peulis dapat meyelesaika peulisa skripsi sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais dalam bidag Matematika di Fakultas Sais da Tekologi Uiersitas Islam Negeri Malag. Peulis meyadari bahwa bayak pihak yag telah berpartisipasi da membatu dalam meyelesaika peulisa skripsi ii. Utuk itu, iriga do a da ucapa terima kasih yag sebesar-besarya peulis sampaika, utamaya kepada:. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Uiersitas Islam Negeri (UIN) Malag.. Prof. Drs Sutima Bambag Sumitro, SU, D.Sc selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi UIN Malag.. Ibu Sri Harii, M.Si selaku etua Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Malag.. Bapak Abdussakir, M.Pd yag telah bersedia meluagka waktuya utuk memberika bimbiga da pegaraha selama peulisa skripsi di bidag matematika. 5. Bapak Abdul Azis, M.Si yag telah bersedia memberika bimbiga da pegaraha selama peulisa skripsi di bidag agama. 6. Segeap dose pegajar atas ilmu yag telah diberika kepada peulis. 7. edua orag tua tercita. Ayah Umi yag selalu medidik, mecitai serta selalu mejadi motiator terbaik bagi peulis. 8. Segeap keluarga yag seatiasa memberika do a da dukuga yag terbaik bagi peulis. 9. Tema-tema Matematika, terutama agkata 00 beserta semua pihak yag telah membatu peyelesaia skripsi ii.

10 Dalam peyusua skripsi ii tetuya masih terdapat bayak kesalaha da kekuraga, sehigga peulis megharapka kritik da sara demi perbaika skripsi ii. Akhirya, semoga skripsi ii dapat bermafaat bagi kita semua. Amie. Wassalamu alaikum Wr. Wb. Malag, 6 Juli 008 Peulis

11 DAFTAR ISI ATA PENGANTAR...i DAFTAR ISI...iii DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL...i ABSTRA...ii BAB I: PENDAHULUAN... A. Latar Belakag... B. Rumusa Masalah...5 C. Tujua Peulisa...5 D. Batasa Masalah...5 E. Mafaat Peulisa...5 F. Metode Peelitia...6 G. Sistematika Pembahasa...7 BAB II: AJIAN TEORI...9. Graf...9. Subgraf.... Graf Terhubug (Coected)...7. Pewaraa Graf Pewaraa Titik Pewaraa Sisi..... Pewaraa Wilayah (Map)....5 Graf Perfect....6 Ma rifatullah....7 Releasi atara ajia Graf Perfect dega ajia Ma rifatullah.6

12 BAB III: PEMBAHASAN.... Graf Perfect dari Berbagai Macam Graf..... Graf osog..... Graf omplit..... Graf Bipartisi komplit Graf Sikel Graf Litasa...8 BAB IV: PENUTUP...5. esimpula...5. Sara...5

13 DAFTAR GAMBAR. Titik da Sisi pada Graf...9. Titik da Sisi yag Adjacet da Isidet...0. Graf Null (Graf osog)...0. Derajat (Degree)....5 Graf da omplemeya....6 Graf Bipartisi....7 Graf Bipartisi omplit....8 Graf dega Subgraf da Buka Subgraf Peghapusa Titik da Peghapusa Sisi Graf da Subgraf Teriduksiya...6. Subgraf teriduksi Titik da Teriduksi Sisi...7. Graf Litasa...8. Graf Sikel...9. Graf Terhubug da Tidak Terhubug Pewaraa Titik pada Graf....6 Pewaraa Sisi pada Graf....7 Pewaraa Wilayah pada Graf...

14 DAFTAR TABEL. Tabel Graf N dega ω( N ) da χ ( N ).... Tabel Graf dega ω ( ) da χ ( )...8. Tabel Graf m, dega ω( m, ) da χ ( m, ).... Tabel Graf C dega ω( C ) da χ ( C ) Tabel Graf P dega ω( P ) da χ ( P )...5

15 ABSTRA Imamah AH, Nurul ajia Tetag Graf perfect. Skripsi, Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiersitas Islam Negeri (UIN) Malag. Pembimbig: Abdussakir, M.Pd Abdul Azis, M.Si ata kuci: Graf, Pewaraa Titik, order, Clique, hromatik Graf perfect, Pewaraa titik pada graf G adalah pemberia wara utuk setiap titik pada graf G, sehigga tidak ada dua titik yag terhubug lagsug medapatka wara yag sama. Bayakya wara terkecil yag diberika pada titik-titik di graf G sedemikia higga utuk setiap dua titik yag terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda disebut dega bilaga khromatik. Bayakya titik yag dimiliki oleh graf G disebut dega order dari G. Order maksimum dari subgraf komplit yag dapat dibetuk dari suatu graf G disebut dega bilaga clique. Salah satu aplikasi dari bilaga clique da bilaga khromatik suatu graf G adalah pada graf perfect. Graf perfect adalah suatu graf yag memiliki bilaga clique da bilaga khromatik yag sama. Adapu lagkah-lagkah meetuka graf perfect adalah sebagai berikut:. Meetuka subgraf komplit maksimum yag dapat dibetuk dari graf G. Meetuka bilaga clique ω (G) da meetuka bilaga khromatik χ (G) pada beberapa kasus utuk meetuka pola.. Pola yag diperoleh diyataka dega teorema.. Membuktika teorema. Berdasarka pembahasa dalam skripsi ii diperoleh bahwa graf kosog, graf komplit, graf bipartisi komplit, graf sikel geap, da graf litasa adalah graf perfect, karea masig-masig graf tersebut memiliki bilaga clique da bilaga khromatik yag sama.

16 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Dalam kehidupa di duia, mausia tidak lepas dari berbagai permasalaha. Permasalaha-permasalaha tersebut meyagkut berbagai aspek, dimaa dalam peyelesaiaya diperluka sebuah pemahama melalui suatu metode da ilmu batu tertetu. Salah satuya adalah ilmu matematika. Matematika merupaka alat utuk meyederhaaka peyajia da pemahama masalah. Dalam bahasa matematika, suatu masalah dapat mejadi lebih sederhaa utuk disajika, dipahami, diaalisis, da dipecahka. Utuk keperlua tersebut, pertama dicari pokok masalahya, kemudia dibuat rumusa atau model matematikaya (Purwato, 998: ). Matematika adalah ratuya ilmu pegetahua, sehigga matematika tidak dapat dilepaska dari berbagai ilmu yag ada da matematika juga membatu dalam kehidupa sehari-hari (Falaqiyah, 00: ). Salah satu cabag ilmu matematika yag bermafaat dalam kehidupa sehari-hari adalah Teori Graf. Pada Teori Graf diberika model matematika utuk setiap himpua dari sejumlah obyek diskrit, dimaa beberapa pasaga usur dari himpua tersebut terikat meurut suatu atura tertetu. Obyek diskrit dari dari suatu himpua misalya dapat berupa orag-orag dega atura keal, atau juga himpua ama kota dega atura jala yag meghubugka atara kota satu ke kota yag lai. Secara umum beberapa kosep dari disipli ilmu telah dijelaska dalam Al- Qura. Salah kosep dari disipli ilmu matematika yag terdapat dalam Al-Qur a adalah

17 masalah teori graf. Teori graf merupaka salah satu cabag dari matematika yag didefiisika sebagai himpua tidak kosog yag memuat eleme-eleme yag disebut titik, da pasaga tidak terurut dari eleme-eleme itu disebut sisi. Saat ii teori graf semaki berkembag da mearik. Hal ii disebabka teori graf merupaka teori yag uik da memiliki bayak peerapa. euika teori graf adalah kesederhaaa pokok bahasa yag dipelajariya, karea dapat disajika sebagai titik (ertex) da sisi (edge). Meurut sejarah teori graf lahir pada tahu 76 melalui tulisa L.Euler, seorag matematikawa Swiss, yag berisi tetag upaya pemecaha masalah jembata oigsberg yag sagat terkeal di Eropa (Sutaro, 00: 65). Di oigsberg (sebelah timur Prussia, Jerma) sekarag berama aliigrad terdapat sugai Pregal yag megitari pulau eiphof lalu bercabag mejadi dua buah aak sugai tesebut. Ada tujuh buah jembata yag meghubugka darata yag dibelah oleh sugai tersebut. Masalahya adalah Apakah mugki melalui ketujuh jembata itu masig-masig tepat satu kali, da kembali ke tempat semula?. Euler membuat model masalah tersebut dalam betuk graf. Darata diyatakaya sebagai sebagai titik atau (ertex); da jembata diyatakaya sebagai garis yag disebut sisi (edge). Jawaba yag dikemukakaya adalah tidak mugki orag melalui ketujuh jembata itu masig-masig satu kali da kembali lagi ke tempat asal keberagkata jika derajat setiap titik tidak seluruhya geap, yaitu bayakya garis yag terkait lagsug dega titik. Berikut ii adalah firma Allah yag meyataka tetag keterkaita atara titik sebagai awal peciptaa mausia da garis sebagai proses perjalaa mausia yag terdapat dalam surat Al-Mukmiu ayat -6 yag berbuyi:

18 ΟèO & Å Β 9 #ts% Îû Zπx ôüçρ çµ oψùyèy_ ΝèO & ÏÛ ÏiΒ 7's# ß ÏΒ z ΣM}$# $oψø)yz ô s)s9uρ zο sàïèø9$# $tρöθ ssù $Vϑ sàïã sπtóôòßϑø9$# $uζø)y sù ZπtóôÒãΒ sπs)yèø9$# $uζø)y sù Zπs)tæ sπx ôü Ζ9$# $uζø)yz y7ï9 sœ y èt/ /ä ΡÎ) ΝèO t É)Î sƒø:$# ß ômr& ª!$# x8u $t7tfsù tyz#u $ )ùyz çµ tρù't±σr& ΟèO $Vϑøtm: šχθèwyèö7è? Ïπyϑ ušé)ø9$# tπöθtƒö/ä ΡÎ) ΟèO tβθçfíh yϑs9 Da Sesugguhya kami Telah meciptaka mausia dari suatu saripati (berasal) dari taah. emudia kami jadika saripati itu air mai (yag disimpa) dalam tempat yag kokoh (rahim). emudia air mai itu kami jadika segumpal darah, lalu segumpal darah itu kami jadika segumpal dagig, da segumpal dagig itu kami jadika tulag belulag, lalu tulag belulag itu kami bugkus dega dagig. emudia kami jadika dia makhluk yag (berbetuk) lai. Maka Maha sucilah Allah, Pecipta yag palig baik. emudia, sesudah itu, Sesugguhya kamu sekalia bear-bear aka mati. emudia, Sesugguhya kamu sekalia aka dibagkitka (dari kuburmu) di hari kiamat. Ayat tersebut meyataka bahwa mausia diciptaka dari suatu titik atau saripati, air mai, segumpal darah, da lai sebagaiya yag telah disebutka dalam surat Al- Mukmiu tersebut. emudia beberapa garis dalam suatu graf adalah proses perjalaa mausia dari awal diciptaka higga kemudia mati da dibagkitka kembali. Ayat Al-Qur a tetag peciptaa mausia tersebut jika digambarka dega pasaga titik da garis pada teori graf adalah sebagai berikut: تبعثون ميتون خلقاا خر نطفة سللة عظام لحما مضغة علقة عظاما Dalam proses perjalaa kehidupaya, mausia memiliki karakter yag bermacam-macam ada yag baik da ada yag buruk, sehigga semua mausia pasti memiliki dosa. Dosa yag ada pada diri mausia dimisalka sebagai wara pada suatu

19 graf, sehigga diharapka mausia memiliki wara yag miimum atau dosa yag sedikit sekali. Hal tersebut dapat dilakuka dega cara tidak selalu megikuti hawa afsu, karea afsu itulah mausia yag hidup di muka bumi ii ada yag sempura da ada yag tidak sempura. Dalam teori graf mausia yag sempura da tidak sempura dimisalka sebagai graf perfect da graf tidak perfect. Graf perfect adalah graf yag ditemuka oleh Claude Berge pada tahu 960a. Ia memperkealka graf perfect sebagai graf yag memiliki bilaga clique da bilaga khromatik yag sama. Bilaga clique didefiisika sebagai order maksimum dari subgraf komplit pada graf G (Marthi, 980:5). Sedagka bilaga khromatik didefiisika sebagai bayakya wara terkecil yag diberika pada titik-titik di graf G sedemikia higga utuk setiap dua titik yag terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda (Rose dalam hotimah, 006:). ajia tetag graf perfect saat ii masih belum begitu bayak dikeal oleh orag. Berdasarka hal tersebut, maka peulis megambil judul skripsi ii, yaitu: ajia tetag Graf Perfect.. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag masalah di atas dapat ditarik rumusa permasalaha yag aka dibahas, yaitu bagaimaa lagkah-lagkah meetuka suatu graf mejadi graf perfect.. Tujua Peulisa Adapu tujua dari peulisa ii adalah utuk megetahui lagkah-lagkah meetuka suatu graf mejadi graf perfect.

20 . Batasa Masalah Utuk tetap mejaga kedalama pembahasa materi, peulisa tugas akhir ii dibatasi pada Obyek kajia graf kosog, graf komplit, graf bipartisi komplit, graf litasa, da graf sikel geap. Peulis haya membatasi pada beberapa graf tersebut karea merupaka graf perfect. Dalam teori graf, istilah yag dipakai belum baku sepeuhya. Utuk itu setiap piliha istilah dapat diterima asal diguaka secara kosiste. Istilah-istilah tersebut atara lai:. Titik titik oktah ode ertex. Sisi garis edge..5 Mafaat Peulisa Peulisa karya ilmiah ii pada dasarya diharapka dapat memberika mafaat terhadap beberapa pihak, diataraya:. Bagi Peulis - Meambah wawasa da ilmu pegetahua tetag teori graf perfect.. Bagi Jurusa Matematika - Sebagai baha pustaka tetag kajia graf perfect..6 Metode Peelitia.6. Pedekata da jeis peelitia Jeis dari peelitia ii adalah deskriptif kualitatif. Pedekata yag diguaka adalah pedekata kualitatif dega metode kepustakaa.

21 Dalam pedekata deskriptif kualitatif ii maka peulis megguaka metode peelitia kepustakaa (Library Research). Metode peelitia kepustakaa yaitu peelitia yag dilakuka di dalam perpustakaa utuk megumpulka data da iformasi. Pegumpula data da iformasi tersebut dapat dilakuka dega batua bermacam material yag terdapat di ruag perpustakaa seperti buku-buku da dokume yag ada..6. Data da sumber data Data yag diguaka peulis dalam ragka peyusua skripsi ii adalah datadata yag meliputi bilaga-bilaga clique, bilaga khromatik, da data-data lai yag sesuai. Sumber data dalam peulisa skripsi ii diperoleh melalui buku-buku atara lai Gary Chartrad da Lida Lesiak (Graphs ad digraphs secod editio) Robi J. Wilso da Joh J. Watkis (Graph a Itroductiory Approach) da sumber-sumber lai yag relea..6. Tehik Aalisis data Dalam megaalisis data, peulis melakuka persiapa dega meghitug bilaga clique da bilaga khromatik dari beberapa graf yag diteliti. Beberapa graf tersebut atara lai graf kosog, graf komplit, graf bipartisi komplit, graf litasa, da graf sikel geap. Selajutya meyimpulka apakah graf-graf tersebut merupaka graf perfect.

22 .7 Sistematika Pembahasa Agar peulisa skripsi ii lebih terarah, mudah ditelaah da dipahami, maka diguaka sistematika pembahasa yeg terdiri dari empat bab. Masig-masig bab dibagi ke dalam beberapa subbab dega rumusa sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Pedahulua meliputi: latar belakag permasalaha, rumusa masalah, tujua peelitia, batasa masalah, mafaat peelitia, metode peelitia, da sistematika peulisa. BAB II AJIAN PUSTAA Bagia ii terdiri atas kosep-kosep (teori-teori) yag medukug bagia pembahasa. osep-kosep tersebut atara lai berisi tetag dasar-dasar teori sebagai acua dalam peulisa skripsi ii, atara lai teori megeai graf perfect da teori keagamaa berserta releasi atara keduaya. BAB III PEMBAHASAN Pembahasa berisi tetag aalisis graf kosog, graf komplit, graf bipartisi komplit, graf litasa, da graf sikel geap dega beberapa pembuktia dari teorema-teorema yag diperoleh dari pola suatu graf. BAB IV PENUTUP Pada bab ii aka dibahas tetag kesimpula da sara.

23 BAB II AJIAN TEORI.. Graf Graf G didefiisika sebagai pasaga himpua (V(G),E(G) dega V(G) adalah himpua berhigga tak kosog dari eleme-eleme yag disebut titik (ertex), da E(G) adalah himpua (boleh kosog) dari pasaga tak terurut (u,) dari titik u da yag berbeda di V yag disebut sisi (edge). Jadi dapat diketahui bahwa kompoe utama terbetukya suatu graf G adalah titik. Sisi e(u,) di dalam graf G dapat ditulis dega e u. Sebagai cotoh graf G pada Gambar. adalah graf dega V (G) } da E (G) { e, e, e, e, e5} dega e, e, e, {,,, e, da 5 e. e e e e 5 Gambar. Titik da Sisi pada Graf e e Jika eu adalah sisi dari graf G, maka u da dikataka adjacet atau terhubug lagsug, sedagka sisi e dikataka terkait lagsug atau icidet pada titik u da, sebagai cotoh pada Gambar. titik dikataka terhubug lagsug dega titik da, tetapi tidak terhubug lagsug dega titik, sedagka sisi e terkait lagsug pada titik da. Sisi e terkait lagsug pada titik da, tetapi sisi e tidak terkait lagsug pada titik.

24 e e e e 5 e Gambar. Titik da Sisi yag Adjacet da Isidet Bayakya titik yag dimiliki oleh graf G disebut order dari G da ditulis dega p(g) atau p. Himpua sisiya diamaka size dari G da ditulis dega q(g) atau q. Jadi graf G memiliki order p da size q. Graf G disebut fiite atau berhigga jika himpua titik adalah berhigga, atau graf yag jumlah titikya adalah berhigga. Graf ifiite atau tak berhigga adalah graf yag jumlah titikya tidak berhigga. Graf triial adalah graf berorder satu dega himpua sisiya merupaka himpua kosog. Graf o triial adalah graf yag berorder lebih dari satu (Body ad Murthy, 976). Graf palig sederhaa adalah graf Null atau graf kosog dega titik, diotasika dega N. Graf kosog didefiisika sebagai suatu graf dega himpua sisiya merupaka himpua kosog. Graf ii haya terdiri dari himpua eleme yag disebut ertex. Berikut ii adalah cotoh graf kosog da graf tidak kosog: Gambar. Graf Null atau Graf osog da Graf tidak osog Degree dari ertex pada sebuah graf G adalah jumlah edges atau sisi e yag terkait lagsug pada, degree atau derajat pada titik G diotasika dega deg G atau

25 d (). Misalka pada Gambar., d ) d( ) da d ) d( ). Jika setiap ( ( titik dalam suatu graf mempuyai derajat yag sama maka graf tersebut disebut dega graf reguler (Reguler Graphs). Sebuah graf G dikataka r reguler atau reguler berderajat r jika setiap titik di G mempuyai derajat r. G : Gambar. Derajat atau Degree Hubuga atara jumlah derajat semua titik dalam suatu graph G dega bayak sisi, yaitu q, adalah: G deg( ) q. Jumlah derajat titik sama dega jumlah kali bayakya sisi. Hal ii diyataka dalam teorema berikut. Teorema. Misalka G graph dega order p da ukura q, maka G deg( ) q.

26 Bukti: Setiap meghitug derajat suatu titik di G, maka suatu sisi dihitug kali. area setiap sisi meghubugka dua titik berbeda maka ketika meghitug derajat semua titik, sisi aka terhitug dua kali. Dega demikia diperoleh bahwa jumlah semua derajat titik di G sama dega kali jumlah sisi di G. Terbukti bahwa G deg( ) q. (Chartrad da Leiak, 986:7 da Siag, 00:06-07) Berdasarka hubuga tersebut, maka bayak titik gajil dalam suatu graph selalu geap. Hal ii diyataka dalam teorema berikut. Teorema. Bukti Bayakya titik gajil dalam suatu graph selalu geap. Misalka G graph da misalka X adalah himpua titik geap di G da Y adalah himpua titik gajil di G. Maka G deg( ) deg( ) + deg( ) q. X Y area X adalah himpua titik geap maka X area q adalah bilaga geap da X Y deg( ) haruslah bilaga geap. deg( ) adalah geap. deg( ) juga geap maka

27 area Y himpua titik gajil da deg( ) adalah bilaga geap, maka Y bayak titik di Y haruslah geap, sebab jika bayak titik di Y gajil maka Y deg( ) adalah gajil. Terbukti bahwa bayakya titik gajil di G adalah geap. (Chartrad da Leiak, 986:7-8 da Siag, 00:07-08) ompleme dari graf G diotasika dega G. ompleme graf G adalah suatu graf dega himpua titik di G sama dega himpua titik di G yaitu V(G ) V(G). Dega titik u, di G terhubug lagsug jika da haya jika titik u, di G tidak terhubug lagsug da sebalikya. Berikut ii adalah Gambar.5 cotoh graf komplit beserta komplemeya. G G Gambar.5 Graf dega omplemeya Graf komplit adalah graf dega titik yag diotasika dega. Graf komplit didefiisika sebagai sebuah graf dega setiap titik yag salig terhubug lagsug. Jadi mempuyai ( ) sisi da setiap titikya berderajat -. ompleme graf komplit yaitu adalah graf dega titik yag berderajat 0. Graf bipartisi (Bipartite graph) adalah graf yag himpua titikya dapat dikelompokka mejadi dua bagia himpua V da V. Setiap sisi di dalam graf G

28 meghubugka sebuah titik V ke titik V da diyataka sebagai G ( V, V ). Setiap pasaga titik di V tidak terhubug lagsug (demikia pula dega titik V ). Jika setiap titik di V terhubug lagsug dega semua titik V maka G ( V, V ) disebut graf bipartisi komplit (complete bipartite graph) yag dilambagka dega m,. Jumlah sisi pada graf bipartisi komplit adalah m. Gambar.6 da.7 berikut ii adalah cotoh graf bipartisi da graf bipartisi komplit: Gambar.6 Graf Bipartisi Gambar.7 Graf Bipartisi omplit

29 . Subgraf Graf H dikataka subgraf dari graf G jika setiap titik di H adalah titik di G, da setiap sisi di H adalah sisi di G, dega kata lai V ( H ) V ( G) da E( H ) E( G). Pada kasus yag lai graf G disebut supergraf dari H, jika G da H adalah graf yag tidak semua titik-titikya dapat dilabelka, H juga dapat mejadi subgraf dari G jika setiap titik yag tidak berlabel dapat dilabelka mejadi V ( H ) V ( G) da E( H ) E( G). Jika H adalah subgraf dari G maka dapat ditulis H G. Gambar.8 adalah cotoh G da G sebagai subgraf dari G, aka tetapi G buka subgraf dari G karea ada sisi di E( G ) yag buka eleme di E (G). G : G : 5 5 G : G : 5 5 Gambar.8 Graf dega Subgraf da buka Subgraf Subgraf dari graf G dapat diperoleh dega meghapus titik atau sisi, jika V (G) da V ( G), maka G- meujukka subgraf dega V ( G) { } dega

30 sisi-sisi dari G yag tidak terkait lagsug dega. Jika e E( G ), maka G-e adalah subgraf yag memiliki himpua titik V(G) da sisi E( G) { e}. Sebagai cotoh Gambar.9 yaitu peghapusa titik da peghapusa sisi: G: G-: G-e: Gambar.9 Peghapusa Titik da Peghapusa Sisi Subgraf Teriduksi (Iduced subgraf) H dari graf G yag diotasika dega G[ V ] adalah subgraf dari graf G yag memuat himpua V titik bersama semua sisisisi u dari graf G dimaa u, V meghapus titik-titik dari graf G. Perhatika gambar berikut:, jadi subgraf H dari graf G dapat diperoleh dega G 5 G 5 Gambar.0 Graf dega Subgraf Teriduksiya Subgraf teriduksi sisi (edge iduced) H di defiisika sebagai G [ E ] jika H F utuk setiap subset F dari E(G). Jadi subgraf teriduksi sisi dari graf G dapat diperoleh dega meghapus titik da sisi pada graf G. Perhatika gambar berikut:

31 Gambar. Subgraf Teriduksi Titik da Teriduksi Sisi Subgraf H dari graf G yag memiliki himpua order yag sama pada G, atau jika subgraf H dega V(H)V(G), maka H disebut spaig subgraf dari G.. Graf Terhubug (Coected) Sebuah jala atau walk W dari titik 0 ke pada graf G adalah suatu barisa higga yag bergati-gati dari titik da sisi e e e e, 0, 0,,,,,...,, sedemikia higga e i i utuk setiap i0,,,...,- Jala ii meghubugka titik 0 da. i+ Jala ii dapat juga diotasika sebagai Pajag suatu jala adalah jumlah sisi pada jala tersebut. Jala dikataka tertutup jika 0 da terbuka jika 0. Jala W yag semua sisiya berbeda disebut trail (Chartrad da Leiak, 986:6). Jala W yag semua titik da semua sisiya berbeda disebut litasa (Chartrad da Lida Lesiak, 986:6). Dega demikia setiap litasa pasti merupaka trail, tetapi tidak semua trail merupaka litasa.

32 Graf litasa adalah graf yag berbetuk litasa atau graf yag terdiri dari litasa (path tuggal). Graf litasa dega titik di otasika dega P. Graf litasa P memiliki - sisi, graf litasa tersebut dapat diperoleh dari graf sikel meghilagka salah satu sisi sembarag P : Cotoh graf litasa: P : P : P : P 5 : C dega Gambar. Graf Litasa atau Graf Path.Jala tertutup W yag semua sisiya berbeda disebut sirkuit (Chartrad da Lesiak, 986:8). Jala tertutup W yag semua titikya berbeda disebut sikel (Chartrad da Lesiak, 986:8). Dega demikia setiap sikel pasti merupaka sirkuit, tetapi tidak semua sirkuit merupaka sikel. Jadi dari hubuga atara sirkuit da sikel diperoleh bahwa: trail tertutup da taktriial pada graph G disebut sirkuit di G. Sirkuit yag semua titik iteralya berbeda disebut sikel. Sikel dega pajag k disebut sikel-k. Sikel-k disebut geap atau gajil bergatug pada k geap atau gajil. Graf Sikel (Cycle Graf) C ialah graf terhubug -reguler yag mempuyai titik ( ) da sisi. Gambar berikut adalah cotoh graf sikel:

33 Jika setiap pasag titik di graf G ada litasaya, maka G diamaka terhubug (coected). ompoe dari graf adalah subgraf terhubug maksimal dari G. Jadi setiap graf terhubug haya mempuyai satu kompoe. Sedagka utuk graf tak terhubug memiliki sedikitya dua kompoe. Berikut ii adalah cotoh graf terhubug da tidak terhubug: c c Gambar. Graf Sikel Gambar Gambar. Graf. Terhubug tidak berhubug da Tidak Terhubug. Pewaraa Graf Pewaraa Graf adalah suatu pemberia wara pada salah satu eleme-elemeya (titik da sisi), sehigga eleme-eleme yag salig terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda. Ada tiga macam pewaraa graf yaitu pewaraa titik, pewaraa sisi, da pewaraa wilayah (regio).

34 .. Pewaraa Titik Pewaraa titik adalah memberi wara pada titk-titik suatu graf sedemikia sehigga tidak ada dua titik terhubug lagsug mempuyai wara yag sama. Bilaga romatik χ (G) (Chromatik Number) adalah bayakya wara miimum yag diperluka utuk mewarai titik-titik pada graf G sedemikia sehigga setiap titiktitik yag terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda. Jika χ (G) k, maka titik-titik pada graf G dapat diwarai dega k wara, tetapi tidak diwarai dega k- wara. Beberapa graf tertetu dapat lagsug ditetuka bilaga kromatikya. Graf kosog N memiliki χ ( G). karea semua titik tidak terhubug, jadi utuk mewarai semua titik cukup dibutuhka satu wara saja. Graf komplit sebab semua titik salig terhubug sehigga diperluka wara. memiliki χ ( G ) Pewaraa-k utuk graf G merupaka peujuka k wara pada titik G sedemikia higga titik yag berdekata medapat wara berbeda (Watkis da Wilso, 99:56). Jika G memiliki pewaraa-k, maka G dapat diwara-k. Bilaga khromatik G diotasika dega χ (G) adalah bilaga terkecil k yag meujukka bahwa G dapat diwara-k. Berikut ii adalah cotoh pewaraa titik pada graf: 5 (a) (b) (c) Gambar.5 Pewaraa Titik pada Graf

35 Pewaraa-k ii dapat ditujukka dega meulis bilaga,,,, k di dekat titik pada graf. Pada Gambar.5 (a), (b), da (c) masig-masig megilustrasika pewaraa-, pewaraa-, da pewaraa-5. Dega demikia, χ ( G) karea G memiliki pewaraa- (gambar a) sehigga χ ( G). Berikut ii adalah beberapa bilaga khromatik yag telah diketahui: P C N χ ( ) χ ( ) m χ (, ) C + χ ( ), χ ( ) χ ( ). (Chartrad da Lida Lesiak, 979:7).. Pewaraa Sisi Pewaraa sisi-k utuk G adalah pemberia k wara pada sisi-sisi G sedemikia higga setiap dua sisi yag bertemu pada titik yag sama medapatka wara berbeda (Watkis da Wilso, 99:6). Jika G memiliki pewaraa sisi k, maka G dikataka dapat diwara sisi k. Ideks khromatik G diotasika dega χ '( G) adalah bilaga k terkecil sehigga G dapat diwara sisi-k. Gambar.6 Pewaraa Sisi pada Graf

36 Pewaraa sisi-k ii dapat ditujukka dega meulis bilaga-bilaga,,,, k pada sisi-sisiya. Cotoh Gambar.6 adalah pewaraa sisi-. Dega demikia χ '( G)... Pewaraa Wilayah (Map) Pewaraa wilayah merupaka pewaraa graf G yag dapat diwarai dega atau wara miimum, sehigga wilayah yag terhubug lagsug dapat diwarai dega wara yag berbeda. Pewaraa wilayah dapat disimbolka dega χ * ( G). Gambar.7 Pewaraa wilayah pada Graf.5 Graf Perfect Graf perfect adalah suatu graf yag mempuyai bilaga khromatik da bilaga clique yag sama, ( χ ( H ) ω( H ) (Chartrad da Lesiak, 996:80). Bilaga clique diotasika dega ω (G) didefiisika sebagai order dari subgraf komplit maksimum yag bisa dibetuk dari graf G. Bilaga khromatik suatu graf G diotasika dega χ (G) didefiisika sebagai jumlah miimal wara yag diperluka utuk mewarai titik-titik pada graf G sedemikia sehigga setiap titik-titik yag terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda.

37 Berikut ii cotoh dari graf perfect: Subgraf komplit dari adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf adalah sediri. area subgraf komplit maksimumya adalah, maka order subgraf komplitya adalah, sehigga ω ( ). area atara satu titik dega titik yag lai salig terhubug lagsug maka pewaraa miimum yag diberika adalah, sehigga χ ( ). area terbukti ω ( ) χ( ), maka graf adalah graf perfect.

38 .6 Ma'rifatullah Meurut bahasa, kata Ma'rifat berarti megetahui atau megeal. Pegertia tersebut bisa diperluas lagi mejadi: cara megetahui atau megeal Allah melalui tadatada kekuasaa-nya yag berupa makhluq-makhluq ciptaa-nya. Sebab dega haya memperhatika tada-tada kekuasaa-nya kita bisa megetahui aka keberadaa da kebesara Allah SWT. area tidak ada satu makhluqpu walau sekecil atau sebesar apapu, yag ada dega sediriya. Semuaya itu pasti ada yag meciptaka. Da siapa lagi yag meciptaka segala makhluq tersebut kalau buka Allah? Tada-tada tetag adaya Allah sudah jelas terlihat di sekelilig kita. Setiap hari bisa melihat terbitya matahari dari ufuk timur da kemudia teggelam di ufuk barat da betapa idahya bula serta begitu gemerlapya bitag-bitag yag bertabura di malam hari. Semua itu yag meciptaka da megatur peredaraya adalah Allah. Siapa yag tak megeal Allah lewat tada-tada kekuasaa-nya, ia adalah sebuta-butaya mausia. Buka buta mataya, aka tetapi buta hatiya. Adapu cara memperhatika tada-tada kekuasaa Allah buka haya sekedar dega megguaka peglihata lahir saja. Tetapi harus juga ditujag dega peglihata mata bathi (hati) yag jerih dari berbagai macam dosa. Hal iilah yag dimaksud dega ilmu ma rifat. Meurut seorag ahli ma'rifat yag berama Al-Juaidi meyebutka bahwa seorag belum bisa disebut sebagai ahli ma'rifat sebelum diriya mempuyai beberapa sifat berikut, yaitu: a. Megeal Allah secara medalam, higga seaka-aka dapat berhubuga secara lagsug dega-nya.

39 b. Dalam beramal selalu berpedoma kepada petujuk-petujuk Rasulullah SAW (Al-Hadits). c. Berserah diri kepada Allah dalam hal megedalika hawa afsuya. d. Merasa bahwa diriya adalah kepuyaa Allah da kelak pasti aka kembali kepada-nya. Adapu meurut Imam Al-Ghozali sebagaimaa yag ditulis dalam kitab Ihya 'Ulumudi disebutka bahwa ada hal yag harus dikeal da dipelajari oleh seseorag yag berma'rifat kepada Allah. etiga hal tersebut adalah:. Megeal siapa diriya.. Megeal siapa Tuhaya.. Megeal Duiaya..7 Releasi atara ajia Graf Perfect dega ajia Ma rifatullah Pada bab I telah dikaji bahwa suatu graf dapat diaalogika dega mausia. Mausia sebagai suatu graf mempuyai titik da mempuyai garis, titik adalah awal dari mausia tercipta. Garis adalah proses perjalaa mausia tersebut. Mausia yag tercipta di muka bumi pastilah memiliki perbedaa, ada yag sempura da ada yag tidak sempura. esempuraa da ketidaksempuraa mausia itulah yag diaalogika sebagai graf perfect da graf tidak perfect. Sebagaimaa kita ketahui bahwasaya Graf perfect adalah suatu graf yag mempuyai bilaga khromatik da bilaga clique yag sama. Jika kita megkaji kembali hubuga atara materi graf perfect da graf tidak perfect dega Itegrasiya pada Al-Qur'a, terdapat hubuga atara ilmu tasawuf yag terkadug di dalamya, dega gagasa bahwasaya sebuah graf dapat disebut perfect apabila bilaga clique

40 da da bilaga khromatikya seimbag, sama halya jika kita misalka pada ilmu tasawuf yag megkaji tetag pecapaia mausia meuju ma rifatullah, bahwasaya mausia aka mecapai tigkata kesempuraa ma rifatullah apabila atara jasmai atau khouf seorag mausia da Rohai atau raja seorag mausia telah seimbag, sebalikya mausia tidak aka mecapai tigkata ma rifatullah apabila atara khouf da roja ya tidak seimbag. Jasmai mausia kita misalka sebagai bilaga clique dalam teori graf, yaitu order maksimum dari suatu graf. Order merupaka titik-titik yag tampak sama halya seperti jasmai mausia. Semaki bayak mausia melakuka pedekata kepada Allah, maka ia aka semaki ia dapat mecapai tigkata ma rifatullah. Bilaga khromatik adalah bayakya pewaraa terkecil yag dapat diberika terhadap suatu graf, wara dimisalka sebagaimaa dosa seorag mausia. Wara miimum dimisalka sebagai dosa yag sedikit da dimiliki seorag mausia yag dekat kepada Allah. Jadi mausia aka sampai kepada tigkata ma rifatullah jika dia telah mampu medekatka diri kepada Allah S.W.T yag tercermi dari perbuata baikya serta selalu meghidari perbuata yag meyebabka ia berdosa. Dalam surat Ali-Imro ayat disebutka: ÒΟ Ïm Ö θà xî ª!$#uρ ö/ät/θçρèœ ö/äs9 öï øótƒuρ ª!$# ãνäö7î6ósムÏΡθãèÎ7?$sù!$# tβθ 7Åsè? óοçfζä. βî) ö è% atakalah: "Jika kamu (bear-bear) mecitai Allah, ikutilah aku (lahir da bathi) iscaya Allah megasihi da megampui dosa-dosamu." Allah Maha Pegampu lagi Maha Peyayag.

41 Adapu ayat lai pada surat Al-Baqarah ayat ٠٨ yag meyebutka bahwa mausia diperitahka oleh Allah agar masuk kepada agama islam secara sempura adalah: çµ ΡÎ) Ç süø ±9$# ÅV uθäüäz (#θãèî6 s? Ÿωuρ Zπ ù!$ÿ ÉΟùÅb 9$# Îû (#θèäz Š$# (#θãζtβ#u š Ï%!$# $yγ ƒr' tƒ Î7 Β Aρß tã öνà6s9 Hai orag-orag yag berima, masuklah kamu ke dalam Islam sempura (kaffah), da jagalah kamu turuti lagkah-lagkah syaita. Sesugguhya syaita itu musuh yag yata bagimu. Dua ayat Al-Qur a tersebut meujukka bahwasaya Allah aka megasihi da megampui dosa-dosa mausia yag megikutiya secara lahir da bathi (kaffah) da tidak selalu megikuti lagkah-lagkah syeta. area dega selalu berpegag teguh kepada jala Allah da tidak megikuti lagkah-lagkah syeta, maka tigkata kesempuraa aka tercapai. area kesempuraa itulah yag mejadi tujua akhir hidup mausia. Mausia yag igi mecapai ma rifatullah harus meempuh jala atau cara-cara yag telah diajurka. Adapu jala atau cara utuk meuju sebuah kesempuraa dapat ditempuh dega tiga tahapa yaitu:. Syari at Syari at adalah peratura da udag-udag yag bersumber kepada wahyu Allah. Peritah da laragaya jelas da dijalaka utuk kesejahteraa seluruh mausia. Cotoh dari syari at adalah: kewajiba mausia utuk sholat, zakat, da lai sebagaiya.

42 . Thariqah Thariqat adalah jala yag ditempuh da sagat waspada serta berhati-hati ketika beramal ibadah. Adapu cotoh dari thoriqah ii adalah: thoriqah aghsabadiyah, tijaiyah da lai sebagaiya.. Hakekat. Hakekat adalah toggak terakhir. Dalam haqiqat itulah mausia yag mecari dapat meemuka cahaya ma'rifatullâh. Para peutut ilmu tasawuf tidak aka mecapai kehidupa yag hakiki, kecuali telah meempuh tigkata hidup ruhai yag tiga tersebut. Tiga jala itu hedaklah ditempuh bersama-sama da bertahap. Sebagaimaa disebutka dalam salah satu syair di dalam kitab hidayatul adzkiya yag berbuyi فش ر ي ع ة كس ف ي ن ة و طر ي ق ة كا لب ح ر ثم ح ق ي ق ة د ر غ لا Ibarat bahtera itulah syari'at Ibarat samudera itulah thariqat Ibarat mutiara itulah haqiqat Ugkapa dari syair di atas mejelaska keduduka tiga jala meuju akhirat. Syari'at ibarat kapal, yaki sebagai istrume mecapai tujua. Thariqat ibarat lauta, yaki sebagai wadah yag megatar ke tempat tujua. Haqiqat ibarat mutiara yag sagat berharga da bayak mafaatya. Utuk memperoleh mutiara haqiqat, mausia harus megarugi lauta dega ombak da gelombag yag dahsyat. Sedagka utuk megarugi lauta itu, tidak ada jala lai kecuali dega kapal. Apabila ketiga tahapa itu tidak ditempuh maka peutut tasawuf atau mereka yag bermiat mecari hidup ruhai yag tetram tidak aka medapatka mutiara yag sagat mahal hargaya. etiga jala meuju kesempuraa ma rifatullah yaitu syari at, thoriqah da hakekat jika

43 dikaitka dega teori graf aka memiliki suatu betuk pasaga titik da garis sebagai berikut: Syari at Thariqah Hakekat Ma rifat Titik pada graf tersebut adalah tigkata jala meuju ma rifatullah da garis meggambarka proses yag harus ditempuh oleh mausia utuk meuju ma rifatullah. Pasaga titik da garis tersebut meggambarka bahwa mausia dapat mecapai tigkata ma rifatullah jika mausia melalui titik-titik syari at, thoriqah, kemudia hakekat secara bertahap. Sebalikya mausia tidak aka dapat mecapai tigkata ma rifatullah jika mausia tidak melalui titik-titik tersebut secara bertahap. area jika mausia dapat mecapai tigkata hakekat tapa melalui thoriqah maka yag ia peroleh bukalah ilmu ma rifatullah aka tetapi ilmu kebatia. Apabila mausia mecapai ma rifat tapa bersyari at, maka ia aka sesat.

44 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ii kita aka megkaji apakah graf kosog, graf komplit, graf bipartisi komplit, graf litasa, da graf sikel geap merupaka graf perfect. Graf perfect dapat diperoleh dega membuktika bilaga clique da bilaga khromatik dari suatu graf G sama. Jika terbukti bilaga clique da bilaga khromatik dari graf G sama, maka graf tersebut adalah graf perfect. Sebalikya jika bilaga clique da bilaga khromatik dari graf G tidak sama maka graf G tersebut buka graf perfect. Adapu lagkah-lagkah meetuka graf perfect adalah sebagai berikut:. Meetuka subgraf komplit da subgraf komplit maksimum dari graf G.. Meetuka bilaga clique ω (G) da meetuka bilaga khromatik χ (G) pada beberapa kasus utuk meetuka pola.. Pola yag diperoleh diyataka dega teorema.. Membuktika teorema.. Graf Perfect dari Berbagai Macam Graf.. Graf osog Utuk meujukka graf kosog sebagai graf perfect, maka harus ditetuka bilaga clique da bilaga khromatik dari graf kosog dega titik N. Berikut ii adalah graf N dega bilaga clique da bilaga khromatikya: Perhatika graf N berikut! N :

45 Subgraf komplit maksimum dari graf N haya. area haya memuat titik saja, Sehigga bilaga clique ω ( N ), da bilaga khromatik χ ( N ) karea haya satu titik yag diberi wara. Terbukti bahwa bilaga clique da bilaga khromatik ω N ) χ( N ), maka N adalah graf perfect. ( Perhatika graf N berikut! N : Subgraf komplit maksimum dari graf N haya, sehigga bilaga clique ω (N ). area atara titik satu dega titik yag laiya tidak terhubug lagsug, maka pewaraa miimumya haya sehigga χ (N ). Terbukti Bilaga clique da bilaga khromatik ω N ) χ( N ). Jadi N adalah graf perfect. ( Perhatika graf N berikut! N : Subgraf komplit maksimum dari graf N haya, sehigga bilaga clique ω (N ). area atara titik satu dega titik yag laiya tidak terhubug lagsug, maka pewaraa miimumya haya sehigga bilaga khromatik χ (N ). Terbukti ω (N ) χ (N ), maka graf N adalah graf perfect. Perhatika graf N berikut! N : Subgraf komplit maksimum dari graf N haya, sehigga bilaga clique ω (N ). area atara titik satu dega titik yag laiya tidak terhubug lagsug,

46 maka pewaraa miimumya juga haya sehigga bilaga khromatik χ (N ), Terbukti χ (N )ω (N ). Jadi N adalah graf perfect. Berikut ii adalah tabel utuk graf kosog beserta bilaga clique da bilaga khromatikya: Tabel. Graf N dega ω N ) da χ N ) ( ( Graf N Subgraf komplit maksimum ω ( N ) χ ( N ) N N N N N Dari beberapa kasus yag telah diselesaika serta berdasarka Tabel.., maka terlihat pola bahwa graf kosog memiliki ω (N ) χ (N ). Dega demikia dapat dibuat teorema berikut: Teorema..: Graf kosog dega titik N adalah graf perfect Bukti : Graf N memiliki subgraf komplit maksmum, karea subgraf komplit maksimumya, maka order maksimumya adalah, sehigga ω ( N ). area setiap titik tidak terhubug lagsug dega titik yag lai, maka bayakya pewaraa titik yag diberika adalah, sehigga χ ( N ). Jadi karea ω ( N ) χ ( N ), maka terbukti bahwa graf kosog adalah graf perfect.

47 .. Graf omplit khromatikya: Berikut ii adalah graf komplit Perhatika graf berikut! dega bilaga clique da bilaga Subgraf komplit dari graf adalah: Graf komplit sama dega graf kosog N yag memuat satu titik. Subgraf komplit maksimum dari graf adalah sediri, sehigga ω ( ). area graf haya mempuyai satu titik, maka pewaraa miimumya juga haya sehigga χ ( ), Jadi karea ω ( ) χ ( ), maka graf merupaka graf perfect. Perhatika graf berikut! Subgraf komplit dari graf adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf adalah:

48 Subgraf komplit maksimum dari graf adalah sediri, sehigga ω ( ). area atara titik satu dega titik yag lai terhubug lagsug, sehigga pewaraa pada setiap titik harus berbeda, maka bayakya wara miimumya adalah sehigga χ ( ). area ω ( ) χ ( ), maka graf adalah graf perfect. Perhatika graf berikut! Subgraf komplit dari graf adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf adalah:

49 Subgraf komplit maksimum adalah sediri, sehigga ω ( ). area atara titik yag satu dega titik yag lai didalam graf tersebut terhubug lagsug, megakibatka bayakya wara miimum pada graf adalah sehigga χ ( ). area ω ( ) χ ( ), maka graf adalah graf perfect. Perhatika graf berikut: Subgraf komplit dari graf adalah:

50 Subgraf komplit maksimum dari graf adalah: Subgraf komplit maksimum adalah sediri, sehigga ω ( ). area atara titik yag satu dega titik yag lai pada graf tersebut terhubug lagsug, megakibatka bayakya wara miimum pada adalah, sehigga χ ( ). area ω ( ) χ ( ), maka graf adalah graf perfect. khromatikya: Berikut ii adalah Tabel graf komplit beserta bilaga clique da bilaga Tabel. Graf dega ω ) da χ ) ( ( Graf Subgraf komplit ω ( ) χ ( ) maksimum Dari beberapa kasus yag telah diselesaika da berdasarka Tabel. maka terlihat bahwa graf komplit,, da memiliki pola ω ( Dega demikia dapat dibuat teorema berikut: Teorema..: Graf komplit dega titik adalah graf perfect ) χ ( ).

51 Bukti: Graf memiliki subgraf komplit maksimum diriya sediri atau, karea subgraf komplit maksimumya adalah adalah, sehigga ω ( ). itu sediri, maka order maksimumya area setiap titik terhubug lagsug dega setiap titik yag lai, maka bayakya wara miimum pada graf juga sebayak, sehigga χ ( ). area ω ( ) χ ( ), maka graf adalah graf perfect... Graf Bipartisi omplit Berikut ii adalah graf, dega bilaga clique da bilaga khromatikya: Perhatika graf, berikut!, Graf komplit dari graf, adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf, adalah:

52 Graf, memiliki subgraf komplit maksimum, sehigga ω (, ). area atara titik satu dega titik lai terhubug lagsug, maka pewaraa miimum yag diberika adalah, sehigga ilai χ (, ). area ω (. ) χ (. ), maka graf, merupaka graf perfect. Perhatika graf, berikut!, Subgraf komplit dari graf, adalah: Subgraf komplit maksimum utuk graf, adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf, adalah, sehigga ω (, ). area graf, haya memiliki dua titik yag terhubug lagsug, maka pewaraa miimum yag diberika juga sehigga χ (, ). area ω (, ) χ (, ), maka graf, adalah graf perfect.

53 Berikut ii adalah graf, beserta bilaga clique da bilaga khromatikya: Perhatika graf, berikut!, Subgraf komplit dari graf, adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf, adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf, adalah, sehigga ω (, ). area graf, haya memiliki dua titik yag terhubug lagsug maka pewaraa miimumya juga sehigga χ (, ). area ω (, ) χ (, ), maka graf, adalah graf perfect. Perhatika graf, berikut!,

54 Subgraf komplit dari graf, adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf, adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf, adalah, sehigga ω (, ). area titik yag terhubug lagsug haya, maka pewaaa miimumya adalah sehigga χ (, ). area ω (, ) χ (, ), maka graf, adalah graf perfect. Berikut ii adalah Tabel graf bipartisi komplit beserta bilaga clique da bilaga khromatikya: Tabel. Graf, dega ω ) da χ ) m ( m, ( m, Graf m, Subgraf komplit maksimum, ω ( m, ) χ ( m, ),,, m,

55 Dari beberapa pembuktia pada graf,, da graf da berdasarka Tabel., maka diperoleh pola ω ( m, ) χ ( m, berikut: Teorema.. Bukti: Graf bipartisi komplit dega titik m, Berikut ii adalah gambar graf m, : ). Dega demikia dapat dibuat teorema m, adalah graf perfect m Graf bipartisi komplit memiliki kompoe titik m da. area titik pada m haya terhubug lagsug dega, maka subgraf komplit maksimumya adalah, sehigga order maksimumya adalah. Oleh karea itu ω (, ). area setiap titik pada m haya terhubug lagsug dega, maka titik m m memiliki wara da juga memiliki wara sehigga χ ( m, ). Jadi karea χ ( m, ) ω ( m, ), maka graf m, adalah graf perfect... Graf Sikel Berikut ii beberapa betuk Graf C dega :

56 Perhatika graf C berikut! C Subgraf komplit dari graf C adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf C adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf sikel C adalah, sehigga ω ( C ). Wara miimum yag dapat diberika pada C adalah, karea titik-titik yag terhubug lagsug adalah sehigga χ ( C ). area ω ( C ) χ ( C ), maka graf C adalah graf perfect. Perhatika graf C 6 berikut! C 6

57 Subgraf komplit dari graf C 6 : Subgraf komplit maksimum dari graf C 6 adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf sikel C 6 adalah, sehigga ω ( C 6 ). Wara miimum yag dapat diberika pada C 6 adalah karea titik-titik yag terhubug lagsug adalah, sehigga χ ( C 6 ). area ω ( C 6 ) χ ( C 6 ), maka graf C 6 adalah graf perfect. Perhatika graf C 8 berikut! C 8 Subgraf komplit dari graf C 8 adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf C 8 adalah:

58 Subgraf komplit maksimum dari graf C 8 adalah, sehigga ω ( C 8 ), Bayak pewaraa miimumya adalah, sehigga χ ( C 8 ). area ω ( C 8 ) χ ( C 8 ), maka graf sikel C 8 merupaka graf perfect. Perhatika graf C 0 berikut! C 0 Subgraf komplit dari graf C 0 adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf C 0 adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf C 0 adalah, sehigga ω ( C 0 ), da bayak pewaraa miimumya adalah, sehigga χ ( C 0 ). area ω ( C 0 ) χ ( C 0 ), maka graf sikel C 0 adalah graf perfect.

59 Berikut ii adalah Tabel graf sikel beserta bilaga clique da bilaga khromatikya: Tabel. Graf C, dega ω C ) da χ C ) ( ( Graf C C C 6 C 8 C 0 Subgraf komplit ω ( C ) χ ( C ) maksimum C Berdasarka ilai bilaga clique da bilaga khromatik yag diperoleh dari graf graf sikel C, C 6, C 8, C 0 da berdasarka Tabel, tampak sebuah pola ω ( C ) χ ( C ). Dega demikia dapat dibuat teorema berikut: Teorema..5 Graf sikel dega titik C, adalah graf perfect Bukti: Graf sikel dega titik C, memiliki subgraf komplit maksimum, karea haya dapat dibuat subgraf komplit maksimum dega titik saja, sehigga ω ( C ). area titik yag terhubug lagsug pada graf C adalah titik, maka bayakya pewaraa yag diberika adalah, sehigga χ ( C ). area ω ( C ) χ ( C ), maka terbukti bahwa graf sikel C, adalah graf perfect.

60 ..5 Graf Litasa Berikut ii adalah gambar dari graf litasa P dega bilaga clique da bilaga khromatikya: Perhatika graf P berikut:! Subgraf komplit dari graf P adalah: P : Subgraf komplit maksimum dari graf P adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf P adalah, sehigga ω (P ). area graf P haya memiliki titik, maka pewaraa miimum pada graf P adalah, sehigga χ (P ). Jadi karea ω (P ) χ (P ), maka graf P adalah graf perfect. Perhatika graf P berikut! P Subgraf komplit dari P adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf P adalah:

61 Subgraf komplit maksimum dari graf P adalah, sehigga ω (P ). area graf P haya memiliki titik terhubug lagsug, maka pewaraa miimumya adalah sehigga χ (P ). area ω (P ) χ (P ), maka graf P adalah graf perfect. Perhatika graf P berikut! Subgraf komplit dari graf P adalah: P : Subgraf komplit maksimum dari graf P adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf P adalah, sehigga ω ( P ). area graf P haya memiliki titik terhubug lagsug, maka pewaraa miimumya adalah sehigga χ ( P ). areaω ( P ) χ ( P ) maka graf P merupaka graf perfect. Perhatika graf P berikut! P Subgraf komplit dari P adalah:

62 Subgraf komplit maksimum dari graf P adalah: Subgraf komplit maksimum dari graf P adalah, sehigga ω ( P ). area graf P haya memiliki titik terhubug lagsug, maka pewaraa miimumya adalah, sehigga χ ( P ). areaω ( P ) χ ( P ) maka graf P merupaka graf perfect. khromatikya: Berikut ii adalah Tabel graf litasa beserta bilaga clique da bilaga Tabel.5 Graf P dega ω( P ) da χ ( P ) Graf P Subgraf komplit ω ( P ) χ ( P ) maksimum P P P P P Dari pembuktia graf P, P, P da P tersebut, diperoleh pola bahwaω (P ) χ ( P ) daω (P ) χ (P ),. Dega demikia diperoleh teorema berikut:

63 Teorema..6 Bukti: Graf litasa dega titik P adalah graf perfect. Graf P memiliki subgraf komplit maksimum, maka order dari subgraf komplit maksimum graf P adalah, sehigga ω (P ). area P haya memiliki titik, maka bayak pewaraa yag diberika adalah, sehigga χ ( P ). Graf litasa dega titik P memiliki subgraf komplit maksimum, sehigga ω (P ). area graf P haya memiliki titik terhubug lagsug, maka bayak pewaraa miimum yag diberika adalah, sehigga χ ( P ),. area ilai ω ( P ) χ ( P ) da ω ( P ) χ ( P ), maka graf P adalah graf perfect.

64 BAB IV PENUTUP. esimpula Graf perfect adalah suatu graf yag memiliki bilaga clique da bilaga khromatik yag sama utuk setiap graf G. Bilaga clique diotasika dega ω (G) didefiisika sebagai order dari subgraf komplit maximum dari graf G. Bilaga khromatik suatu graf G diotasika dega χ(g) didefiisika sebagai bayakya wara miimal yag diperluka utuk mewarai titik-titik pada graf G, sedemikia sehigga setiap titik-titik yag terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda. Adapu lagkah-lagkah meetuka graf perfect adalah sebagai berikut: 5. Meetuka subgraf komplit maksimum yag dapat dibetuk dari graf G 6. Meetuka bilaga clique ω (G) da meetuka bilaga khromatik χ (G) pada beberapa kasus utuk meetuka pola. 7. Pola yag diperoleh diyataka dega teorema. 8. Membuktika teorema. Berdasarka pembahasa dalam skripsi ii diperoleh ketitika bahwa graf kosog, graf komplit, graf bipartisi komplit, graf sikel geap, da graf litasa adalah graf perfect, karea beberapa graf tersebut memiliki bilaga clique da bilaga khromatik yag sama.