Modul ini adalah modul ke-3 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini
|
|
- Ade Kurnia
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial ARITETIKA ODULAR DAN ARITETIKA SOSIAL podul p p3p p p PENDAHULUAN odul ii adalah modul ke-3 dalam mata kuliah atematika. Isi modul ii membahas tetag aritmetika modular da aritmetika sosial. odul ii terdiri dari 3 kegiata belajar. Pada kegiata belajar 1 aka dibahas megeai bilaga jam. Pada kegiata belajar 2 aka dibahas megeai aritmetika modular. Terakhir, pada kegiata belajar 3 aka dibahas megeai aritmetika sosial. Setelah mempelajari modul ii, Ada diharapka dapat memahami operasioperasi bilaga jam da operasi modular, kosep aritmetika sosial. Secara khusus setelah mempelajari modul ii, Ada diharapka dapat: 1. meyelesaika operasi pejumlaha pada bilaga jam 2. meyelesaika operasi peguraga pada bilaga jam 3. meyelesaika operasi perkalia pada bilaga jam 4. mejelaska sifat-sifat operasi pada bilaga jam 5. meyelesaika soal perhituga kogruesi 6. mejelaska sifat-sifat operasi pada kogruesi 7. meetuka kelas-kelas residu modulo 8. mejelaska pegertia buga tuggal 9. meyelesaika soal perhituga buga tuggal 10. mejelaska pegertia buga majemuk 11. meyelesaika soal perhituga buga majemuk PETUNJUK BELAJAR 1. Bacalah dega cermat pedahulua modul ii sehigga Ada memahami tujua da bagaimaa mempelajari modul ii. 2. Bacalah uraia materi dalam modul ii, tadailah kata-kata petig yag merupaka kuci. Pahami setiap kosep dalam uraia materi dega mempelajari cotoh-cotohya. 3. Jika megalami kesulita dalam mempelajari modul ii, diskusikalah dega tema-tema Ada atau dega tutor. 4. Pelajari sumber-sumber lai yag releva utuk memperluas wawasa. 5. Kerjaka soal-soal latiha dalam modul ii tapa melihat petujuk jawaba latiha terlebih dahulu. Apabila megalami kesulita, barulah Ada melihat petujuk jawaba latiha. 6. Kerjaka soal-soal tes formatif da periksa tigkat kemampua Ada dega mecocokka jawaba Ada dega kuci jawaba tes formatif. Ulagilah pegerjaa tes formatif ii sampai Ada bear-bear dapat megerjaka semua soal-soal tes formatif ii dega bear. Selamat Belajar, Semoga Sukses! atematika 85
2 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial A. OPERASI PENJULAHAN PADA BILANGAN JA BILANGAN JA Coba Ada perhatika gambar 3.1 berikut. Pejumlaha pada bilaga jam merupaka suatu operasi perputara jarum jam ke arah kaa (positif) Gambar 3.1 Gambar 3,1 merupaka suatu permukaa jam empata. Pada kodisi awal, jam meujukka jam 4. Kemudia kalau jarum jam digeraka ke arah kaa jam meujukka jam 1. Hal ii dapat dikataka bahwa: = 1 (pejumlaha, seperti terlihat pada gambar 3.1 di atas). Coba Ada perhatika cotoh-cotoh berikut: = = = = = = 3. Sebagai cotoh lai, perhatika jam delapaa berikut: Gambar atematika
3 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Pada sistem jam delapaa, coba Ada perhatika cotoh-cotoh berikut: = = = = = = 5. Dega memperhatika cotoh-cotoh di atas maka dapat digeeralisasi pejumlaha bilaga pada sistem jam k-a. Jika a, b, merupaka agka-agka pada jam k-a, maka aka berlaku: a b, a b (a b) k, jika(a b) k jika (a b) k Cotoh 1: Pada sistem jam delapaa, tetukalah ilai dari: (1) (2) (3) (4) (5) Peyelesaia: k = 8. (1) = 5, karea 5 < 8. (2) = 7, karea 7 < 8. (3) = 13 8 = 5, karea 13 > 8. (4) = 12 8 = 4, karea 12 > 8. (5) = 14 8 = 6, karea 14 > 8. B. OPERASI PENGURANGAN PADA BILANGAN JA Coba Ada perhatika gambar 3.3 berikut. Peguraga pada bilaga jam merupaka suatu operasi perputara jarum jam ke arah kiri (egatif) Gambar 3.3 atematika 87
4 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Gambar 3.3 merupaka suatu permukaa jam empata. Pada kodisi awal jam meujukka jam 4. Kemudia kalau jarum jam digeraka ke arah kiri, jam meujukka jam 3. Hal ii dapat dikataka bahwa: 4-1 = 3 (peguraga, seperti terlihat pada gambar 3.3 di atas). Coba Ada perhatika cotoh-cotoh berikut: 3-2 = = = = = = 4. Sebagai cotoh lai perhatika jam delapaa berikut: \ 4 Gambar 3.4 Pada sistem jam delapaa, coba Ada perhatika cotoh-cotoh berikut: 5 4 = = = = = = 5. Dega memperhatika cotoh-cotoh di atas, maka dapat digeeralisasi peguraga bilaga pada sistem jam k-a. Jika a, b, merupaka agka-agka pada jam k-a, maka aka berlaku: a b k, jika a b a b, jika (a b) 0 a b 0 Cotoh 2: Pada sistem jam delapaa, tetukalah ilai dari: (1) 3 2. (2) 5 3. (3) atematika
5 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial (4) 5 7. (5) 7 7. Peyelesaia: k = 8 (1) 3-2 = 1, karea 1 > 0. (2) 5-3 = 2, karea 2 > 0. (3) 6-7 = = 7, karea (4) 5-7 = = 6, karea (5) 7 7 = = 8, karea 0 0. C. OPERASI PERKALIAN PADA BILANGAN JA Perkalia bilaga jam merupaka suatu operasi pejumlaha agka-agka yag sama berulag kali pada bilaga jam. isalya, 3 x 4 = Cotoh 3: Pada sistem jam delapaa, tetukalah hasil dari: (1) 2 x 4. (2) 3 x 2. (3) 3 x 4. (4) 5 x 3. (5) 4 x 7. Peyelesaia: k = 8 (1) 2 x 4 = = 8. (2) 3 x 2 = = 6. (3) 3 x 4 = = 12 8 = 4. (4) 5 x 3 = = 15 8 = 7. (5) 4 x 7 = = 28 (3x8) = = 4. Dega memperhatika cotoh-cotoh di atas maka dapat digeeralisasi peguraga bilaga pada sistem jam k-a. Jika a, b, merupaka agka-agka pada jam k-a, maka aka berlaku: a x b a x b k ; bilaga cacah Cotoh 4: Pada sistem jam dua belasa, tetukalah hasil dari: (1) 4 x 2 (2) 5 x 3 (3) 6 x 4 (4) 7 x 5 (5) 8 x 10 atematika 89
6 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Peyelesaia: (1) 4 x 2 = 8 (0 x 12) = 8 ( = 0). (2) 5 x 3 = 15 (1 x 12) = 3 ( = 1). (3) 6 x 4 = 24 (1 x 12) = 12 ( = 2). (4) 7 x 5 = 35 (2 x 12) = 11 ( = 2). (5) 8 x 10 = 80 (6 x 12) = 8 ( = 6). D. OPERASI PEBAGIAN PADA BILANGAN JA Tabel 3.1 Perkalia pada Bilaga Jam Empata x Perhatika tabel 3.1. Dapat kita lihat bahwa utuk beberapa bilaga pada sistem jam empata, pegerjaa bagi itu berlaku. Perhitugaya dapat kita lakuka karea pegerjaa bagi itu merupaka lawa dari pegerjaa kali. isalya, 2 : 3 = 2, karea 2 x 3 = 2. Aka tetapi 3 : 2 tidak mempuyai peyelesaia, karea tidak ada bilaga pada tabel tersebut yag bila dikalika dega 2 meghasilka 3. Berlaia lagi dega 2 : 2 yag mempuyai jawab 1 da 3, karea 1 x 2 = 2 da 3 x 2 = 2. Oleh karea itu, pegerjaa bagi pada sistem jam empata tidak tertutup. Kita tidak haya dapat membuat sistem jam empata, tetapi sistem jam k-a laiya. Da pegerjaa bagi pada aritmetika jam k-a tersebut tidak tertutup. E. SIFAT-SIFAT OPERASI PADA BILANGAN JA Berikut ii diberika diberika tabel pejumlaha, peguraga, da perkalia utuk sistem bilaga jam delapaa. Tabel 3.2 Pejumlaha pada Bilaga Jam Delapaa atematika
7 Tabel 3.3 Peguraga pada Bilaga Jam Delapaa Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Tabel 3.4 Perkalia pada Bilaga Jam Delapaa x Dari tabel di atas dapat ditujukka bahwa pada sistem bilaga jam secra umum berlaku sifat-sifat sebagai berikut: (1) Sifat Komutatif a + b = b + a. a x b = b x a. (2) Sifat Assosiatif a + (b + c) = (a + b) + c. a x (b x c) = (a x b) x c. (3) Sifat Distributif a x (b + c) = (a x b) + (a x c). a x (b - c) = (a x b) - (a x c). atematika 91
8 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Petujuk: Jawablah pertayaa dega sigkat da tepat! Utuk memperdalam pemahama megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1. Dalam sistem jam empata, hasil dari operasi 4 2 adalah Dalam sistem jam eama, tetuka ilai x dari x + 3 = Dalam sistem jam delapaa, hasil dari operasi (7 + 6) (4 + 5) adalah Dalam jam delapaa, tetuka himpua peyelesaia dari ilai p persamaa 4 x p = Tetuka ilai k, jika pada jam k-a berlaku 4 9 = 6. Petujuk Jawaba Latiha Periksa secara seksama jawaba, kemudia cocokkalah jawaba dega kuci jawaba berikut: = x + 3 = 2 x = 2 3 x = x = = 13 8 = = 9 8 = 1. Sehigga, (7 + 6) (4 + 5) = 5 1 = Karea jam delapaa, ii artiya k = 8 4 x p = x 8 p = 2, dega aggota himpua bilaga cacah. Jadi, himpua peyelesaiaya adalah {2, 4, 6, 8} = k = 6 Jadi, ilai k = Pejumlaha pada bilaga jam merupaka suatu operasi perputara jarum jam ke arah kaa (positif). 2. Peguraga pada bilaga jam merupaka suatu operasi perputara jarum jam ke arah kiri (egatif). 3. Perkalia bilaga jam merupaka suatu operasi pejumlaha agkaagka yag sama berulag kali pada bilaga jam. 4. Pada sistem bilaga jam berlaku sifat-sifat sebagai berikut: (1) Sifat Komutatif a + b = b + a. 92 atematika
9 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial a x b = b x a. (2) Sifat Assosiatif a +( b + c) = (a + b) + c. a x ( b x c) = (a x b) x c. (3) Sifat Distributif a x (b + c) = (a x b) + (a x c). a x (b - c) = (a x b) - (a x c). Petujuk: Pilihlah salah satu jawaba yag diaggap palig tepat! 1. Dalam sistem jam empata, hasil dari operasi 1 3 adalah... A. 4 C. 2 B. 1 D Dalam sistem jam empata, hasil dari operasi 3 x 2 adalah... A. 1 C. 3 B. 2 D Pada sistem jam limaa, jika berlaku a 4 = 2 maka ilai a adalah... A. 1 C. 3 B. 2 D Pada sistem jam eama, jika berlaku 3b = 6 maka ilai b berikut ii memeuhi, kecuali... A. 6 C. 3 B. 2 D Pada sistem jam eama, jika berlaku 5c = 2 maka ilai c yag memeuhi adalah... A. 6 C. 2 B. 1 D Pada sistem jam delapaa, ilai dari 6(5 2) adalah... A. 2 C. 4 B. 3 D Pada sistem jam delapaa, jika berlaku 3(6 y) = 2 maka ilai y yag memeuhi adalah... A. 2 C. Jawaba A da B kedua-duaya salah B. 4 D. Jawaba A da B kedua-duaya bear atematika 93
10 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 8. Dalam sistem jam dua belasa berlaku persamaa 4(5 + y) = 8. Nilai y yag memeuhi persamaa tersebut adalah... A. 0, 2, 3, da 6 C. 0, 2, 3, da 9 B. 1, 2, 3, da 6 D. 0, 3, 6, da 9 9. Jika pada jam p-a berlaku operasi = 9, maka ilai p adalah... A. 13 C. 9 B. 11 D Jika pada jam k-a berlaku operasi 4(3 5) = 8, maka ilai k adalah... A. 4 C. 12 B. 8 D. 16 Cocokka jawaba Ada dega megguaka kuci jawaba Tes Formatif 1 yag terdapat di bagia akhir baha belajar madiri ii. Hituglah jawaba Ada yag bear, kemudia guaka rumus di bawah ii utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 1. Rumus : Jumlah jawaba Ada yag bear Tigkat peguasaa = X 100 % 10 Arti tigkat peguasaa yag Ada capai : 90 % - 100% = Baik sekali 80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup < 70% = Kurag Apabila tigkat peguasaa Ada telah mecapai 80 % atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar selajutya. Bagus! Tetapi apabila ilai tigkat peguasaa Ada masih di bawah 80 %, Ada harus megulagi Kegiata Belajar 1, terutama bagia yag belum Ada kuasai. 94 atematika
11 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial A. PENGERTIAN ARITETIKA ODULAR ARITETIKA ODULAR Dalam aritmetika jam, lambag bilaga utuk bilaga palig besar dapat digati dega ol. Jika demikia maka aritmetika jam mejadi aritmetika modular. Bahasa aritmetika modular yag dibicaraka pada saat ii haya terbatas pada bilaga bulat positif. Dalam aritmetika modular peraa ol sama dega peraa bilaga terbesar pada arimetika jam. Sebagai cotoh = 7 (dalam aritmetika jam delapaa) da = 7 (dalam aritmetika modularya), sedagka 8 x 7 = 8 (dalam aritmetika jam delapaa) da 0 x 7 = 0 (dalam aritmetika modularya). Dalam aritmetika jam tigaa, haya mempuyai lambag bilaga 1, 2, da 3, sedagka pada aritmetika modular haya mempuyai lambag bilaga-bilaga 0, 1, da 2. Dalam aritmetika jam empata haya mempuyai lambag bilaga 1, 2, 3, da 4, sedagka dalam aritmetika modular empata haya mempuyai lambag bilaga 0, 1, 2, da 3. Jadi, jika bicara tetag aritmetika jam -a, maka lambag bilaga yag ada haya 1, 2, 3,..., da, sedagka jika bicara tetag aritmetika modular - a, lambag bilaga yag ada itu hayalah 0, 1, 2, 3,..., da -1 di maa bilagabilaga yag ditulis dega lambag bilaga 0, 1, 2, 3,..., da -1 itu merupaka sisa pembagia bilaga-bilaga oleh. Sekali lagi perlu diigat bahwa aritmetika jam itu sama saja dega aritmetika modular, haya bilaga terbesar da ol yag berbeda. Agar lebih jelas, berikut ii dibuat tabel pertambaha da perkalia utuk aritmetika modular tigaa da limaa. Tabel 3.5 Aritmetika odular Tigaa x atematika 95
12 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Tabel 3.5 Aritmetika odular Limaa x Telah dijajaki bahwa baik pada aritmetika jam maupu pada aritmetika modular, operasi tambah, kurag, da kali bersifat tertutup. Sedagka pegerjaa bagi tidak tertutup. Perhatika aritmetika modular -a dega merupaka bilaga prima, misalya = 7. Apakah operasi pembagia pada aritmetika modular tujuha bersifat tertutup? Utuk melihat tertutup tidakya operasi pembagia, cukup membuat tabel perkalia utuk aritmetika modular tujuha. Pada aritmetika modular tujuha haya ada lambag bilaga 0, 1, 2, 3, 4, 5, da 6. Tabel perkaliaya bisa lihat sebagai berikut: Tabel 3.6 Tabel Perkalia pada Aritmetika odular Tujuha x Pada aritmetika modular tujuha itu utuk setiap bilaga (kecuali ol) ada bilaga lai yag merupaka kebalikaya, yaitu 1 kebalika dari 1, 2 kebalika dari 4, 3 kebalika dari 5, 4 kebalika dari 2, 5 kebalika dari 3, da 6 kebalika dari 6. Apa sebabya? Sebabya karea pada aritmetika modular tujuha itu 1 x 1 = 1, 2 x 4 = 1, 3 x 5 = 1 da 6 x 6 = 1. Ii berarti bahwa pada aritmetika modular -a, setelah bilaga ol dikeluarka, operasi bagi bersifat tertutup jika merupaka bilaga prima. 96 atematika
13 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 1: Dega megguaka permukaa jam, pada aritmetika modular delapaa, carilah: (1) (2) 3 4. (3) 3 x 5. (4) 4 : 5. Peyelesaia: Gambar 3.5 (1) = 1. ulai dari 0 melagkah searah dega arah jarum jam sebayak 4 selag dilajutka dega 5 selag. (2) 3 4 = 7. ulai dari 0 melagkah sebayak 3 selag searah dega arah jarum jam, diikuti 4 selag lagkah berlawaa arah jarum jam. (3) 3 x 2 = 6. ulai dari 0 melagkah searah dega arah jarum jam 3 lagkah masig-masig lagkah terdiri dari 2 selag. (4) 4 : 3 = 4. ulai dari 4 melagkah berlawaa arah jarum jam terdiri dari 3 selag, sampai kembali ke-0. Utuk sampai ke-0 ii diperluka 4 lagkah. B. KONGRUENSI ejajaki pembahasa bagia ii, marilah ambil sebuah cotoh. Adaika hari kedua bula tertetu jatuh pada hari Sei, kemudia kita igi megetahui hari apa taggal 25 bula itu. Jika tidak ada kaleder, peyelesaiaya dapat dilakuka sebagai berikut: Satu miggu terdiri dari 7 hari, karea itu taggal 25, 18, 11, da 4 jatuh pada hari yag sama. Karea pada taggal 2 bula itu jatuh pada hari Sei, maka taggal 4 jatuh pada hari Rabu. Jadi taggal 25 bula itu jatuh pada hari Rabu. Cara di atas dilakuka dega peguraga berulag, maksudya adalah bahwa 4 itu diperoleh dari 25 dega jala meguragka 7 secara berulag dari 25. Tetapi peguraga secara berulag itu sama saja dega pembagia. aka 4 juga dapat diperoleh dega jala membagi 25 oleh 7 (4 merupaka sisaya). Taggal 25, 18, 11, da 4 jatuh pada hari yag sama karea jika 25, 18, 11, da 4 dibagi dega 7 sisaya sama, yaitu 4. Aritmetika jam merupaka betuk lai dari aritmetika bilaga bulat. Dalam aritmetika bilaga bulat ii jumlah a + b da perkalia a x b dari bilaga bulat a atematika 97
14 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial da b didefiisika sebagai sisa pembagia oleh bilaga bulat m, dega m 0. Aritmetika modular yag sudah dibahas berdasar kepada kogrue modulo yag disimbolka dega otasi. isalya x 2 (modulo 3), dibaca x kogrue dega 2 modulo 3, artiya x itu adalah semua bilaga bulat yag jika dibagi 3 bersisa 2. Peulisa x 2 (modulo 3) lebih biasa ditulis dega x 2 (mod 3). Jika dua bilaga bulat a da b dibagi dega bilaga asli m da bersisa sama, maka dikataka bahwa a kogrue dega b modulo m da ditulis a b (mod m), atau b kogrue dega a modulo m da ditulis b a (mod m). Jadi jika a da b dua bilaga bulat (positif, egatif, atau ol) da m sebuah bilaga asli, maka a b (mod m) secara sederhaa berarti bahwa (a b) itu habis dibagi m. Atau dega perkataa lai jika a b (mod m) maka a b = km dega k merupaka bilaga bulat. Secara formal didefiisika sebagai berikut: Defiisi: Dua bilaga bulat a da b kogrue modulo m jika da haya jika: m (a b) (dibaca: m membagi (a b)). Jika a tidak kogrue dega b modulo m, maka dituliska dega: a b (mod m). Cotoh 2: (1) 17 9 (mod 8), sebab 17 da 9 jika dibagi 8 masig-masig bersisa sama, yaitu 1. Juga dapat dilihat bahwa (17 9) merupaka kelipata 8. (2) 43 7 (mod 9), sebab 43 da 7 jika dibagi 9 masig-masig bersisa sama, yaitu 7. Juga dapat dilihat bahwa (43-16) merupaka kelipata 9. (3) 37 5 (mod 6), sebab (37 5) buka merupaka kelipata 6 C. SIFAT-SIFAT RELASI KONGRUENSI Relasi dega tada pada a b (mod m) diamaka relasi kogruesi. Relasi kogruesi mempuyai sifat-sifat yag sama seperti relasi kesamaa. isalka a, b, c, da d adalah bilaga bulat da m adalah bilaga asli. Relasi kogruesi mempuyai sifat-sifat sebagai berikut: (1) Refleksif, yaitu a a (mod m) Sebab a a = 0 kelipata m, yaitu 0 = 0 x m. (2) Simetri. Jika a b (mod m) maka b a (mod m). Ii akibat lagsug dari defiisi. (3) Trasitif. Jika a b (mod m) da b c (mod m) maka a c (mod m). Buktiya silahka Ada coba sebagai latiha. D. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PADA KONGRUENSI (1) Jika a b (mod m), maka utuk c adalah sebarag bilaga bulat berlaku (a + c) (b + c) (mod m). 98 atematika
15 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 3: (mod 9), misalka jika diambil c = 5 maka: (47 + 5) (11 + 5) (mod 9), karea = 36 merupaka kelipata 9. (2) Jika a b (mod m) da c d (mod m) maka (a + c) (b + d) (mod m). Cotoh 4: (mod 9) da (mod 9) maka: ( ) ( ) mod 9, karea = 63 merupaka kelipata 9. (3) Jika (a + c) (b + c) (mod m) maka a b (mod m). Cotoh 5: (42 + 5) (6 + 5) (mod 9) maka: 42 6 (mod 9), karea 42 6 = 36 merupaka kelipata 9. (4) Jika a b (mod m), maka utuk c adalah sebarag bilaga bulat berlaku ac bc (mod m). Cotoh 6: 35 8 (mod 3), misalka diambil c = 4 maka: (35 x 4) (8 x 4) (mod 3), karea (35 x 4)-(8 x 4) = = 108 merupaka kelipata 3. (5) Jika a b (mod m) da c d (mod m) maka ac bd (mod m). Cotoh 7: 7 4 (mod 3) da 11 5 (mod 3) maka: 7 x 11 = 4 x 5 (mod 3), 7 x 11 4 x 5 = = 57 habis dibagi 3. (6) Jika ac bc (mod m) maka tidak selalu a b (mod m). Cotoh 8: (mod 12) 13 x 3 5 x 3 (mod 12) 13 5 (mod 12). E. RELATIF PRIA Dua buah bilaga bulat a da b dikataka relatif prima jika FPB(a, b) = 1. Cotoh 9: (1) 20 da 3 relatif prima sebab FPB(20, 3) = 1. (2) 7 da 11 relatif prima karea FPB(7, 11) = 1. (3) 20 da 5 tidak relatif prima sebab FPB(20, 5) = 5 ¹ 1. Jika a da b relatif prima, maka terdapat bilaga bulat m da sedemikia sehigga ma + b = 1 atematika 99
16 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 10: Bilaga 20 da 3 adalah relatif prima karea FPB(20, 3) =1, atau dapat ditulis ( 13).3 = 1, dega m = 2 da = 13. Tetapi 20 da 5 tidak relatif prima karea FPB(20, 5) = 5 ¹ 1 sehigga 20 da 5 tidak dapat diyataka dalam m = 1. F. KONGRUENSI LINIER Sudah megetahui bahwa jika ac bc (mod m) maka tidak selalu a b (mod m ). Supaya ac bc (mod m) selalu berlaku a b (mod m) maka c da m harus merupaka bilaga prima relatif. Dalil: Jika ac bc (mod m) da d merupaka faktor persekutua terbesar (FPB) dari c da m m, maka a b( mod ) d Cotoh 11: Sederhaakalah (mod 9). Peyelesaia : (mod 9) 5 x 6 8 x 6 (mod 9), karea FPB dari 6 da 9 sama dega 3 maka 5 x 6 8 x 6 (mod 9) mejadi 5 8 (mod 3). Jika bilaga bulat dibagi oleh 3 maka sisaya adalah 0, 1, atau 2. Atau bilaga bulat itu telah dibagi mejadi 3 kelas yag berbeda, yaitu kelas yag kogrue dega 0 (mod 3), kelas yag kogrue dega 1 (mod 3) da kelas yag kogrue dega 2 (mod 3). Dikataka bahwa kumpula bilaga bulat itu telah dipisahka mejadi tiga set bilaga yag disebut kelas-kelas residu modulo 3. Jadi kelaskelas residu modulo 3 itu adalah: [0] = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}. [1] = {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}. [2] = {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...}. Pada umumya dalam kogruesi modulo m, dega m bilaga bulat tertetu yag lebih besar dari 1, kumpula bilaga bulat itu terbagi mejadi m kelas, yag disebut kelas-kelas residu modulo m, di maa sebarag dua usur dari kelas yag sama adalah kogrue, sedagka usur-usur dari kelas-kelas yag berbeda tidak kogrue. 100 atematika
17 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Petujuk: Jawablah pertayaa dega sigkat da tepat! Utuk memperdalam pemahama megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1. Apakah (mod 3). 2. Buktika bahwa jika a b (mod m) da b c (mod m) maka a c (mod m). 3. Jika 5 3 (mod 2), tujukka bahwa (mod 2). 4. Sederhaakalah (mod 24). PETUNJUK JAWABAN LATIHAN Periksa secara seksama jawaba, kemudia cocokkalah jawaba dega kuci jawaba berikut: 1. Buka. Karea = 106, da 106 buka merupaka kelipata dari Bukti: a b (mod m), maka a b = k 1.m b c (mod m), maka b c = k 2.m + a c = (k 1 + k 2 )m Karea a c = (k 1 + k 2 )m, maka a c (mod m) (mod 2) maka (mod 2) dari 5 3 (mod 2) da (mod 2), maka didapat : 5 x 20 3 x 12 (mod 2) (mod 2) (mod 24) 5 x 24 7 x 24 (mod 24) Kemudia kita cari dari 24 da 24, da didapat 24, sehigga: 5 x 24 7 x 24 (mod 24) mejadi: mod 24 Jadi, betuk sederhaa dari (mod 24) adalah 5 º 7 (mod 1). atematika 101
18 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 1. Aritmetika modular bisa didapatka dari aritmetika jam, yaitu dega melakuka peggatia lambag bilaga palig besar oleh bilaga ol. 2. Dalam aritmetika modular peraa ol sama dega peraa bilaga terbesar pada arimetika jam. Sehigga utuk aritmetika jam tigaa, lambag bilaga yag diguaka 1, 2, da 3, sedagka pada aritmetika modular lambag bilagaya adalah 0, 1, da Pada aritmetika modular, operasi tambah, kurag, da kali bersifat tertutup, sedagka operasi bagi tidak bersifat tertutup. 4. isalya x 2 (modulo 3), dibaca x kogrue dega 2 modulo 3, artiya x itu adalah semua bilag bulat yag jika dibagi 3 bersisa 2. Peulisa x 2 (modulo 3) lebih biasa ditulis dega x 2 (mod 3). 5. Jika dua bilaga bulat a da b bagi dega bilaga asli m da bersisa sama, maka dikataka bahwa a kogrue dega b modulo m da ditulis a b (mod m), atau b kogrue dega a modulo m da ditulis b a (mod m). 6. Jadi jika a da b dua bilaga bulat (positif, egatif, atau ol) da m sebuah bilaga asli, maka a b (mod m) secara sederhaa berarti bahwa (a b) itu habis dibagi m. 7. Dua bilaga bulat a da b kogrue modulo m jika da haya jika m (a b). Sedagka jika a tidak kogrue dega b modulo m, maka dituliska dega a b (mod m). 8. Sifat-sifat Relasi Kogruesi isalka a, b, c, da d adalah bilaga bulat da m adalah bilaga asli. Relasi kogruesi mempuyai sifat-sifat sebagai berikut: a. Refleksif, yaitu a a (mod m). b. Simetri. Jika a b (mod m) maka b a (mod m). c. Trasitif. Jika a b (mod m) da b c (mod m) maka a c (mod m). 9. Sifat-sifat Operasi Hitug pada Kogruesi a. Jika a b (mod m), maka utuk c adalah sebarag bilaga bulat berlaku (a + c) (b + c) (mod m). b. Jika a b (mod m) da c d (mod m) maka (a + c) (b + d) (mod m). c. Jika (a + c) (b + c) (mod m) maka a b (mod m). d. Jika a b (mod m), maka utuk c adalah sebarag bilaga bulat berlaku ac bc (mod m). 102 atematika
19 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial e. Jika a b (mod m) da c d (mod m) maka a.c) b.d (mod m). f. Jika ac bc (mod m) maka tidak selalu a b (mod m). 10. Dua buah bilaga bulat a da b dikataka relatif prima jika (a, b) = 1. Jika a da b relatif prima, maka terdapat bilaga bulat m da sedemikia sehigga ma + b = Jika ac bc (mod m) da d merupaka faktor persekutua terbesar m (FPB) dari c da m, maka a b( mod ). d 12. Suatu kogruesi modulo m, dega m bilaga bulat tertetu yag lebih besar dari 1, aka membagi kumpula bilaga bulat mejadi m kelas, yag disebut kelas-kelas residu modulo m. Petujuk: Pilihlah salah satu jawaba yag diaggap palig tepat! 1. Dari bilaga-bilaga berikut, pasaga bilaga yag relatif prima adalah... A. 7 da 17 C. 5 da 15 B. 6 da 16 D. 4 da Jika 27 5 (mod m), maka ilai m yag memeuhi adalah... A. 5 C. 3 B. 4 D Jika a 11(mod 3), maka ilai a yag memeuhi adalah... A. 4 C. 6 B. 5 D Jika 19 b(mod 8), maka ilai b yag memeuhi adalah... A. 25 C. 29 B. 27 D Nilai x yag memeuhi 13x 9(mod 25) adalah... A. 9 C. 18 B. 12 D Nilai x = 5 adalah merupaka peyelesaia dari... A. 5x 7(mod 8) C. 11x 5(mod 4) B. 7x 3(mod 4) D. 3x 13(mod 5) 7. Nilai x yag memeuhi (x + 15) 7(mod 6) adalah... A. 10 C. 20 B. 15 D. 25 atematika 103
20 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 8. Nilai a da b yag memeuhi a 23(mod b) adalah... A. a = 9 da b = 5 C. a = 5 da b = 4 B. a = 7 da b = 5 D. a = 3 da b = 5 9. Betuk sederhaa dari (mod 10) adalah... A (mod 5) C. 3 8 (mod 5) B (mod 2) D. 5 3 (mod 2) 10. Bilaga bulat positif terkecil yag memeuhi 7x 5(mod 4) adalah... A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 Cocokka jawaba Ada dega megguaka kuci jawaba Tes Formatif 2 yag terdapat di bagia akhir baha belajar madiri ii. Hituglah jawaba Ada yag bear, kemudia guaka rumus di bawah ii utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 2. Rumus : Jumlah jawaba Ada yag bear Tigkat peguasaa = X 100 % 10 Arti tigkat peguasaa yag Ada capai : 90 % - 100% = Baik sekali 80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup < 70% = Kurag Apabila tigkat peguasaa Ada telah mecapai 80 % atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar selajutya. Bagus! Tetapi apabila ilai tigkat peguasaa Ada masih di bawah 80 %, Ada harus megulagi Kegiata Belajar 2, terutama bagia yag belum Ada kuasai. 104 atematika
21 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial A. PENGERTIAN BUNGA TUNGGAL ARITETIKA SOSIAL Buga adalah uag jasa yag dibayarka atas suatu pijama atau atas suatu ivestasi (simpaa) dari bak, koperasi, atau pribadi yag kovesiaoal. Buga dari suatu modal biasaya diyataka dega persetase, da diperhitugka utuk setiap periode waktu tertetu sesuai dega kesepakata bersama, misalya satu hari, satu bula, satu tahu, da sebagaiya. Apabila buga yag dibayarka pada setiap periode waktu tertetu dega besar modal yag dijadika dasar perhituga buga utuk setiap periode waktu tersebut selalu tetap, maka buga tersebut diamaka buga tuggal. B. ETODE PERHITUNGAN BUNGA TUNGGAL Rumus yag diguaka utuk meghitug buga tuggal adalah sebagai berikut: B = x b x dega: B = buga tuggal. = modal. b = suku buga (persetase buga). = waktu. Waktu () dapat dihitug dalam tahu, bula, da hari, sehigga rumus tersebut mejadi: (1) Rumus buga tuggal jika dalam tahu: B = x b x (2) Rumus buga tuggal jika dalam bula: B x b x 12 (3) Rumus buga tuggal jika dalam hari: B x b x 360 Sedagka, rumus yag diguaka utuk meghitug besar modal akhir yag harus dikembalika setelah masa pijama selesai adalah sebagai berikut: = + B atematika 105
22 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial dega: = modal akhir. = modal awal. B = buga. Agar Ada dapat memahami perhituga buga tuggal, pelajarilah cotohcotoh berikut. Cotoh 1: Pak Hasa memijam uag utuk modal usaha pertaia kepada sebuah koperasi sebesar Rp ,00 dega suku buga 11% setahu da dihitug dega cara buga tuggal. Hituglah besar buga selama 150 hari! Peyelesaia: = , b = 11%, da = 150. Nilai-ilai tersebut subtitusika ke rumus: B x b x Diperoleh: x 11% x Jadi, besar buga selama 150 hari adalah Rp ,00. Cotoh 2: Pada suatu trasaksi pemijama modal di suatu bak, Ibu Aisa da pihak bak yag kovesioal bersepakat bahwa perhituga bugaya berdasarka buga tuggal dega suku buga 12% setahu da Ibu Aisa aka megembalika seluruh modal da bugaya setelah 5 tahu. Setelah dihitug teryata pegembalia seluruh modal da bugaya setelah 5 tahu tersebut besarya adalah Rp ,00. Berapa rupiah besar pijama Ibu Aisa kepada bak tersebut? Peyelesaia: b = 12%, = 5, da 5 = Nilai-ilai tersebut subtitusika ke rumus: = + B = + ( x b x ) = [1 +( b x )] = Diperoleh: Μ 1 (b x ) (12% x 5) 1 0,6 1,6 Jadi, besar pijama Ibu Aisa kepada bak tersebut adalah Rp , atematika
23 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 3: Pak Taufik meyimpa modal kepada sebuah koperasi sebesar Rp ,00 dega suku buga tuggal. Setelah 3 bula teryata Pak Taufik meerima buga sebesar Rp ,00. Berapa persekah buga yag dikeaka koperasi dalam satu tahu? Peyelesaia: = , = 3, da B = Nilai-ilai tersebut subtitusika ke rumus: B x b x B b x Diperoleh: b x 0, ,1 10% x 12 Jadi, buga yag dikeaka koperasi dalam satu tahu adalah 10%. Cotoh 4: Ibu Halimah memijam uag sebesar Rp ,00 dega suku buga 9% setahu da dihitug dega cara buga tuggal kepada sebuah bak. Bila setelah 4 tahu Ibu Halimah merecaaka utuk megembalika seluruh uag pijama beserta bugaya, berapa rupiah besar uag yag aka diberika oleh Ibu Halimah? Peyelesaia: = , b = 9%, = 4 Hitug terlebih dahulu besar buga, dega rumus: B = x b x Diperoleh: = x 9% x 4 = Kemudia hitug besar modal akhir, dega rumus: = + B. Diperoleh: 4 = = Jadi, besar uag yag aka diberika oleh Ibu Halimah adalah Rp ,00. Cotoh 5: Seorag pedagag meyimpa modal sebesar Rp ,00 atas suku buga tuggal 10,5% setahu. Agar modal mejadi Rp ,00, berapa bulakah modal itu harus disimpa? atematika 107
24 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Peyelesaia: = , b = 10,5%, da = Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = + B = + ( x b x ) 12 - x b x 12 12( - ) x b x 12( x b Diperoleh: - ) 12( ) x 10,5% Jadi, agar modal mejadi Rp ,00, modal itu harus disimpa selama 24 bula. C. PENGERTIAN BUNGA AJEUK Bila seseorag meyimpa sejumlah modal di suatu bakyag kovesioal, maka pada akhir periode pertama modal tersebut aka meghasilka buga. Buga tersebut bisa diambil atau tidak. Apabila buga pada periode pertama tersebut tidak diambil, maka pada perhituga periode kedua buga tersebut ditambahka ke modal awal sehigga mejadi modal baru. odal baru tersebut dijadika dasar perhituga buga utuk periode berikutya. odal yag diperbugaka dega cara tersebut diperbugaka berdasarka buga majemuk. D. ETODE PERHITUNGAN BUNGA AJEUK isalka suatu modal awal ( 0 ) diperbugaka atas suku buga majemuk b setahu, maka dapat kita tetuka bahwa: (1) odal pada akhir tahu pertama: 1 = 0 + b 0 1 = 0 (1 + b) (2) odal pada akhir tahu kedua: 2 = 1 + b 1 2 = 0 (1 + b) + b[ 0 (1 + b)] 2 = 0 (1 + b)(1 + b) 2 = 0 (1 + b) 2 (3) odal pada akhir tahu ketiga 3 = 2 + b 2 3 = (1 + b) 2 + b[(1 + b) 2 ] 3 = (1 + b) 2 (1 + b) 3 = (1 + b) 3 (4) da seterusya atematika
25 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Sehigga, rumus yag diguaka utuk perhituga besar modal akhir tahu ke- adalah: = 0 (1 + b) dega: = modal akhir. 0 = modal awal. b = suku buga (persetase buga). = waktu. Agar Ada dapat memahami perhituga buga majemuk, pelajarilah cotohcotoh berikut. Cotoh 6: Pak Yusuf mempuyai simpaa sebesar Rp ,00 di suatu bakyag kovesioal. Pak Yusuf meerima suku buga majemuk 1,5% sebula. Berapa jumlah uag yag aka diterima Pak Yusuf setelah 2,5 tahu? Peyelesaia: 0 = , = 2,5 tahu = 30 bula, da b = 1,5%. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) Diperoleh: 30 = (1 + 1,5%) 30 = (1,015) 30 = ,102. Jadi, jumlah uag yag aka diterima Pak Yusuf setelah 2,5 tahu adalah Rp ,102. Cotoh 7: Sebuah koperasi memijamka sejumlah uag kepada Ibu Khodijah yag dihitug atas suku buga majemuk 11,5% setahu. Setelah 8 tahu Ibu Khodijah harus megembalika pijama da bugaya sebesar Rp ,00. Berapakah besar pijama Ibu Khodijah itu? Peyelesaia: b = 11,5%, = 8, da 8 = Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) 0 (1 b) atematika 109
26 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Diperoleh: ,19 0 (1 11,5%) 5 (1,115) 5 Jadi besar uag yag dipijam Ibu Khodijah adalah Rp ,19. Cotoh 8:Cotoh 8: Suatu modal sebesar Rp ,00 disimpa atas suku buga majemuk. Setelah 8 tahu, modal tersebut mejadi Rp ,78. Berapa % buga tiap tahuya? Peyelesaia: 0 = , = 8, da 8 = ,78. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) 0 (1 b) (1 b) ((1 1 b b Diperoleh: 1 b) ) b ,78-1 1,16-1 0,16 16% Jadi, buga tiap tahuya adalah 16%. 110 atematika
27 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 9: Seorag pegraji kayu memijam modal sebesar Rp ,00 atas suku buga majemuk sebesar 1,5% sebula. Apabila ia harus megembalika pijama da buga sebesar Rp ,00. Berapa bulakah lamaya modal itu dipijam? Peyelesaia: 0 = , b = 1,5%, da = Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) 0 (1 b) log log (1 b) 0 log log (1 b) 0 log 0 log (1 b) Diperoleh: log ,4 log (1 1,5%) Jadi, modal itu dipijamka selama 21,4 bula. Petujuk: Jawablah pertayaa dega sigkat da tepat! Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1. Sebuah koperasi memijamka sejumlah uag kepada Ibu imi. Pihak koperasi da Ibu imi bersepakat bahwa perhituga bugaya berdasarka buga tuggal dega suku buga 10,25% setahu. Ibu imi aka megembalika seluruh modal da bugaya setelah 4,5 tahu. Setelah dihitug seluruh pijama da bugaya selama 4,5 tahu besarya adalah Rp ,00. Berapa rupiah besar pijama Ibu imi kepada koperasi tersebut? atematika 111
28 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 2. Pak Hasyim megivestasika modalya di sebuah bak yag kovesioal sebesar Rp ,00 atas suku buga tuggal 9,5% setahu. Agar modal mejadi sebesar Rp ,00, berapa bulakah modal itu harus disimpa? 3. Suatu modal sebesar Rp ,00 disimpa Pak Budi di sebuah koperasi atas suku buga majemuk. Setelah 45 bula, modal tersebut mejadi Rp ,04. Berapa % buga tiap tahuya? 4. Pada suatu trasaksi pemijama modal di suatu bak yag kovesioal, Pak Yauar memijamka sejumlah uag yag dihitug atas suku buga majemuk 12,5% setahu. Setelah 75 bula, Pak Yauar harus megembalika seluruh pijama da bugaya sebesar Rp ,92. Berapakah besar pijama Pak Yauar? 5. Seorag age beras memijam modal sebesar Rp ,00 atas suku buga majemuk sebesar 11,5% setahu. Apabila ia harus megembalika pijama da buga sebesar Rp ,63. Berapa tahukah modal itu dipijam? Petujuk Jawaba Latiha Periksa secara seksama jawaba Ada, kemudia cocokkalah jawaba Ada dega kuci jawaba berikut: 1. b = 10,25%, = 4,5, da 4,5 = Nilai-ilai tersebut subtitusika ke rumus: = + B = + ( x b x ) = [1 +( b x )] Μ = 1 (b x ) Diperoleh: (10,25% x 4,5) 1 0, ,46125 Jadi, besar pijama Ibu imi kepada koperasi tersebut adalah Rp , = , b = 9,5%, da = Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = + B = + ( x b x ) 12 - x b x 12 12( - ) x b x 12( - ) x b Diperoleh: 12( ) x 9,5% Jadi, agar modal mejadi Rp ,00, modal itu harus disimpa selama 30 bula. 112 atematika
29 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 3. 0 = , = 45 bula = 3,75 tahu, da 8 = ,04. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) (1 b) 0 (1 b) ((1 b) 1 b b Diperoleh: 0 1 ) ,75 b ,04-1 1,16-1 0,125 12,5% Jadi, buga tiap tahuya adalah 12,5%. 4. b = 12,5%, = 75 bula = 6,25 tahu, da 6,25 = ,92. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) 0 (1 b) Diperoleh: , , (1 12,5%) 6,25 (1,125) 6,25 Jadi besar uag yag dipijam Ibu Khodijah adalah Rp , = , b = 11,5%, da = ,63. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) (1 b) 0 log log (1 b) 0 atematika 113
30 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial log log (1 b) 0 log 0 log (1 b) Diperoleh: ,63 log ,5 log (1 11,5%) Jadi, modal itu dipijamka selama 3,5 tahu. 1. Buga tuggal adalah buga yag dibayarka pada setiap periode waktu tertetu dega besar modal yag dijadika dasar perhituga buga utuk setiap periode waktu tersebut selalu tetap. 2. Rumus utuk meghitug buga tuggal adalah: B =.b. dega: B = buga tuggal = modal b = suku buga (persetase buga) = waktu 3. Rumus utuk meghitug besar modal akhir pada buga tuggal adalah: = + B dega: = modal akhir = modal awal B = buga 4. Buga majemuk adalah buga yag meghasilka buga, yaitu jika buga pada periode pertama tidak diambil maka pada perhituga periode kedua buga tersebut ditambahka ke modal sehigga mejadi modal baru. odal baru tersebut dijadika dasar perhituga buga utuk periode berikutya. 5. Rumus perhituga buga majemuk: = 0 (1 + b) dega: = modal akhir b = suku buga (persetase buga) 0 = modal awal = waktu 114 atematika
31 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Petujuk: Pilihlah salah satu jawaba yag diaggap palig tepat! 1. Sejumlah uag jasa yag dibayarka atas suatu pijama atau atas suatu ivestasi (simpaa) dari bak, koperasi, atau pribadi yag kovesioal diamaka... A. Discout. C. Suku buga. B. Buga. D. Persetase. 2. Buga yag dibayarka pada setiap periode waktu tertetu dega besar modal yag dijadika dasar perhituga buga utuk setiap periode waktu tersebut selalu tetap, diamaka... A. Buga berbuga. C. Buga tetap. B. Buga majemuk. D. Buga tuggal. 3. Rumus yag diguaka utuk meghitug modal akhir dega buga majemuk adalah... A. 0 (1 + b) +. C. 0 (1 + b). B. 0 (1 + b) x. D. 0 (1 + b). 4. Rumus yag diguaka utuk meghitug buga tuggal per hari adalah... b b A. B x x. C. B x x b b B. B x. D. B x Pak Gatot megivestasika modalya sebesar Rp ,00 dega suku buga tuggal kepada sebuah bak yag kovesioal. Setelah 2 tahu Pak Gatot meerima buga sebesar Rp ,00. Berapa persekah buga yag dikeaka bak dalam satu tahu? A. 10 %. C. 11%. B. 10,5%. D. 11,5%. 6. Seorag pejahit memijam uag utuk modal usaha kepada sebuah bak yag kovesioal sebesar Rp ,00 dega suku buga 9% setahu da dihitug dega cara buga tuggal. Hituglah besar buga selama 20 bula? A. Rp ,00. C. Rp ,00. B. Rp ,00. D. Rp , Ibu Nurul seorag pegusaha caterig, meyimpa modal di sebuah koperasi berdasarka buga tuggal dega suku buga 12% setahu. Ibu Aisa berecaa megambil seluruh modal da bugaya setelah 5 tahu. Setelah dihitug teryata seluruh modal da bugaya setelah 5 tahu tersebut besarya adalah Rp ,00. Berapa rupiah besar modal Ibu Nurul kepada koperasi tersebut? atematika 115
32 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial A. Rp ,00. C. Rp ,00. B. Rp ,00. D. Rp , Seorag pejual makaa, igi memperluas usahaya. Utuk itu memijam uag sebesar Rp ,00 dega suku buga 9,5% setahu da dihitug dega cara buga tuggal kepada sebuah koperasi. Bila setelah 18 bula pejual makaa tersebut merecaaka utuk megembalika seluruh uag pijama beserta bugaya, berapa rupiah besar uag yag aka diberika oleh pedagag makaa tersebut? A. Rp ,00. C. Rp ,00. B. Rp ,00. D. Rp , Seorag pejual gorega megivestasika keutugaya ke sebuah bak yag kovesioal sebesar Rp ,00. Ia meerima suku buga majemuk sebesar 0,95% sebula. Berapa jumlah uag yag aka diterima pedagag beras tersebut setelah 1,5 tahu? A. Rp ,203. C. Rp ,203. B. Rp ,203. D. Rp , Pak Dede memijam sejumlah uag kepada sebuah bak yag kovesioal yag dihitug atas suku buga majemuk 10% setahu. Setelah 6 tahu Pak Dede harus megembalika pijama da bugaya sebesar Rp ,50. Berapakah besar pijama Pak Dede? A. Rp ,00. C. Rp ,00. B. Rp ,00. D. Rp ,00. Cocokka jawaba Ada dega megguaka kuci jawaba Tes Formatif 3 yag terdapat di bagia akhir baha belajar madiri ii. Hituglah jawaba Ada yag bear, kemudia guaka rumus di bawah ii utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 3. Rumus : Jumlah jawaba Ada yag bear Tigkat peguasaa = X 100 % 10 Arti tigkat peguasaa yag Ada capai : 90 % - 100% = Baik sekali 80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup < 70% = Kurag Apabila tigkat peguasaa Ada telah mecapai 80 % atau lebih, Ada telah 116 atematika
33 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial meutaska Kegiata Baha Belajar adiri. Bagus! Tetapi apabila ilai tigkat peguasaa Ada masih di bawah 80 %, Ada harus megulagi Kegiata Belajar 3, terutama bagia yag belum Ada kuasai. atematika 117
34 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial TES FORATIF 1 1. C 2. B 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. D 9. B 10. D TES FORATIF 2 1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. A 8. D 9. B 10. B TES FORATIF 3 1. B 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A 7. B 8. C 9. A 10. B KUNCI JAWABAN TES FORATIF 118 atematika
35 DAFTAR PUSTAKA Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Britto, J. R. ad Bello I. (1984). Topics i Cotemporary athematics. New-York: Harper & Row. Devie, D. F. ad Kaufma J. E. (1983). Elemetary athematics for Teachers. Caada: Joh Wiley & Sos. Firdaus, Y. (2002). Pelajara Akutasi SA utuk Kelas XII. Jakarta: Erlagga. Rose, K. H. (2003). Discrete athematics ad Its Applicatios. New York: c Graw Hill. Ruseffedi, E. T. (1989). Dasar-dasar atematika oder da Komputer utuk Guru. Badug: Tarsito. Spiegel,. R. da Iskadar, K. atematika Dasar. Jakarta: Erlagga Sukio, Tauwijaya, J., da Aata, P. (1989). atematika 2 Program Ilmu-Ilmu Fisik da Ilmu-Ilmu Biologi. Klate: Ita Pariwara. Sukio, Tauwijaya, J., da Aata, P. (1989). atematika 3 Program Ilmu-Ilmu Fisik da Ilmu-Ilmu Biologi. Klate: Ita Pariwara. Wahyudi. (1996). Pelegkap atematika Akutasi utuk SU Kelas 3 IPS Cawu 2. Badug: Delta Bawea. atematika 119
i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
Lebih terperinciIII BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
Lebih terperinciBAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK
BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciBAB 2 : BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN
Jl. Raya Wagu Kel. Sidagsari Kta Bgr Telp. 0251-8242411, email: prhumasi@smkwikrama.et, website : www.smkwikrama.et BAB 2 : BUNGA, PERTUBUHAN DAN PELURUHAN PENGERTIAN BUNGA Buga adalah jasa dari simpaa
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.
MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciBarisan Aritmetika dan deret aritmetika
BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperinciKekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa
Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika
Lebih terperinciSistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat
Lebih terperinciANUITAS. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmanto,S.Si.
ANUITAS 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 1 OVERVIEW Auitas adl suatu pembayara dalam jumlah tertetu, yag dilakuka setiap selag waktu da lama tertetu, secara berkelajuta. Suatu auitas yg pasti dilakuka
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciInduksi Matematik dan Teorema Binomial
Modul Iduksi Matematik da Teorema Biomial Sukirma I PENDAHULUAN duksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia dari bayak teorema dalam Teori Bilaga maupu dalam mata kuliah matematika laiya. Sedagka
Lebih terperinciRENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran
RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1 Satua Pedidika Mata Pelajara Kelas/Semester Materi Pokok Waktu : SMA N 6 YOGYAKARTA : Matematika : XII IPS/ : Barisa da Deret : 6 jam pelajara 1. Stadar Kompetesi 4.
Lebih terperinciBuku Padua Belajar Maajeme Keuaga Chapter 0 KONSEP NILAI WAKTU UANG. Pegertia. Nilai Uag meurut waktu, berarti uag hari ii lebih baik / berharga dari pada ilai uag dimasa medatag pada harga omial yag sama.
Lebih terperinciREGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk
Lebih terperinciInduksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta
Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh
Lebih terperinciARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Lebih terperinciCATATAN KULIAH #12&13 Bunga Majemuk
CATATAN KULIAH #12&13 Buga Majemuk 10.1 Pedahulua Pada pembahasa sebelumya diasumsika bahwa P atau ilai pokok pembayara tidak megalami perubaha dari awal higga akhir sehigga ilai buga selalu dihitug dari
Lebih terperinciPendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Materi ke 1
BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciBAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS
BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada
Lebih terperinciPendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X
Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..
Lebih terperinciMETODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa
19 III. METODE PENELITIAN A. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia ii adalah seluruh siswa kelas VIII SMP Negeri 8 Badar Lampug tahu pelajara 2009/2010 sebayak 279 orag yag terdistribusi dalam tujuh
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinci) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...
SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciManajemen Keuangan. Idik Sodikin,SE,MBA,MM KONSEP WAKTU UANG PADA MASALAH KEUANGAN. Modul ke: Fakultas EKONOMI DAN BISNIS. Program Studi Akuntansi
Modul ke: 05 KONSEP WAKTU UANG PADA MASALAH KEUANGAN Fakultas EKONOMI DAN BISNIS Program Studi Akutasi Idik Sodiki,SE,MBA,MM Pedahulua Kosep ilai waktu dari uag (time value of moey) pada dasarya mejelaska
Lebih terperinciPendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinciGalat dan Perambatannya
Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami
Lebih terperinciProjek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,
Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinciIII. METODE PENELITIAN. kelas VIII semester ganjil SMP Sejahtera I Bandar Lampung tahun pelajaran 2010/2011
III. METODE PENELITIAN A. Latar Peelitia Peelitia ii merupaka peelitia yag megguaka total sampel yaitu seluruh siswa kelas VIII semester gajil SMP Sejahtera I Badar Lampug tahu pelajara 2010/2011 dega
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT FUNGSI
1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari
Lebih terperinciFungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.
Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO
MODUL MATEMATIKA Barisa da Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2007 KATA PENGANTAR Halo...!!! selamat jumpa dalam Modul Matematika SMA. Dalam
Lebih terperinciBab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Lebih terperinciFungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.
Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A
Lebih terperincitheresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :
theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu
Lebih terperincib. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:
Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciKompleksitas dari Algoritma-Algoritma untuk Menghitung Bilangan Fibonacci
Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma utuk Meghitug Bilaga Fiboacci Gregorius Roy Kaluge NIM : 358 Program Studi Tekik Iformatika, Istitut Tekologi Badug Jala Gaesha, Badug e-mail: if8@studets.if.itb.ac.id,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd
MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)
Lebih terperinciEKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI
EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka
Lebih terperinciPedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai
PENGUJIAN HIPOTESIS Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai ilai-ilai parameter populasi,
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciRuang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud
Lebih terperinciTEORI PENAKSIRAN. Bab 8. A. Pendahuluan. Kompetensi Mampu menjelaskan dan menganalisis teori penaksiran
Bab 8 TEORI PENAKSIRAN Kompetesi Mampu mejelaska da megaalisis teori peaksira Idikator 1. Mejelaska da megaalisis data dega megguaka peaksira titik 2. Mejelaska da megaalisis data dega megguaka peaksira
Lebih terperinciBARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal
Lebih terperinciBAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciMatematika SMA (Program Studi IPA)
Smart Solutio UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 202/203 Disusu Sesuai Idikator Kisi-Kisi UN 203 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusu oleh : Pak Aag SKL 5. Memahami kosep it, turua da itegral dari fugsi
Lebih terperinciPENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:
PENGUJIAN HIPOTESIS A. Lagkah-lagkah pegujia hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaa megeai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tetag ilai-ilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy
BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag
Lebih terperinciMETODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai
Lebih terperinciInstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan
Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Surabaya Model Sistem dalam Persamaa Keadaa Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Latiha Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Istilah-istilah Dalam Persamaa Keadaa Aalisis Sistem
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT
PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DIKTAT Oleh: Rippi Maya Eliva Sukma Cipta PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 016 Kata Pegatar Diktat ii disusu sebagai
Lebih terperinciFungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
Lebih terperinciBAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Waktu : 0 Meit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN
BAB III METODE PENELITIAN A. Racaga da Jeis Peelitia Racaga peelitia ii adalah deskriptif dega pedekata cross sectioal yaitu racaga peelitia yag meggambarka masalah megeai tigkat pegetahua remaja tetag
Lebih terperinciHimpunan Kritis Pada Graph Caterpillar
1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak
Lebih terperinciBarisan, Deret, dan Notasi Sigma
Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai
Lebih terperinciBAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL
BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,
Lebih terperinciHimpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sudah Anda kenal di sekolah menengah, bahkan sejak sekolah
Modul Himpua Dra Sri Haryati Kartiko, MS PENDHULUN impua sudah da keal di sekolah meegah, bahka sejak sekolah H dasar Himpua merupaka usur yag petig dalam probabilitas, sehigga dipelajari kembali dalam
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah
Lebih terperinciKETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL
KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL Khusul Afifa 1, Abdussakir 2 1 Mahasiswa Jurusa Matematika UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag 2 Dose Jurusa Matematika
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA
MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA
Lebih terperinciSumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika
Lebih terperinci1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus
ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai
Lebih terperinciMasih ingat beda antara Statistik Sampel Vs Parameter Populasi? Perhatikan tabel berikut: Ukuran/Ciri Statistik Sampel Parameter Populasi.
Distribusi Samplig (Distribusi Pearika Sampel). Pedahulua Bidag Iferesia Statistik membahas geeralisasi/pearika kesimpula da prediksi/ peramala. Geeralisasi da prediksi tersebut melibatka sampel/cotoh,
Lebih terperinciRING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman
JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices
Lebih terperinciUKURAN PEMUSATAN DATA
Malim Muhammad, M.Sc. UKURAN PEMUSATAN DATA J U R U S A N A G R O T E K N O L O G I F A K U L T A S P E R T A N I A N U N I V E R S I T A S M U H A M M A D I Y A H P U R W O K E R T O DEFINISI UKURAN PEMUSATAN
Lebih terperincioleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak
Lebih terperinciSOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15
SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia
Himpua Suatu himpua atau gugus adalah merupaka sekumpula obyek. Pada umumya aggota dari gugus tersebut memiliki suatu sifat yag sama. Suatu himpua bagia atau aak gugus merupaka sekumpula obyek yag aggotaya
Lebih terperinciBatas Bilangan Ajaib Pada Graph Caterpillar
J. Math. ad Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 3, No., Nov 006, 49 56 Batas Bilaga Ajaib Pada Graph Caterpillar Chairul Imro Jurusa Matematika FMIPA ITS Surabaya imro-its@matematika.its.ac.id Abstrak Jika suatu
Lebih terperinci