PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)"

Transkripsi

1 PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan yang merupakan bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Banyak cara untuk mendapatkan faktor prima dari sebuah bilangan, diantaranya yang paling populer adalah dengan menggunakan pohon faktor. Akan tetapi penggunaan pohon faktor ini perlu didasari dengan penguasaan terhadap materi keterbagian sebuah bilangan. Untuk itu, Anda yang berminat agar membaca Aksioma Keterbagian yang ditulis oleh penulis yang sama. Contoh 1: Uraikan 1 atas faktor-faktor primanya! tidak dapat dibagi, tetapi habis dibagi. Karena itu, langsung bagi dengan hasilnya tidak habis dibagi dengan,, 5, dan 7. Karena itu faktor prima dari 1 hanya dan 107. Contoh : Uraikan 44 atas faktor-faktor primanya! habis dibagi (karena bilangan genap) hasilnya 1. 1 habis dibagi hasilnya habis dibagi hasilnya 5. 5 tidak habis dibagi,, 5, 7, 11, dan 1. Karena itu faktorfaktor prima 44 adalah dan 5 atau Contoh : Uraikan 0.00 atas faktor-faktor primanya! habis dibagi hasilnya habis dibagi hasilnya habis dibagi hasilnya habis dibagi 7 hasilnya habis dibagi hasilnya 1. Karena itu, fakor 7 14 prima dari 0.00 adalah,, 5, 7, , dan 1 atau dapat ditulis Created on 09/04/006 16:1:00

2 Penerapan faktor prima yang banyak dikenal adalah untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan, dan menentukan Faktor Pesersekutuan Terbesar (FPB) dari dua atau lebih bilangan. Bagian ini tidak akan dibahas dalam tulisan ini. Tulisan ini akan membahas penerapan faktor prima untuk menyelesaikan bentuk aljabar khususnya pemfaktoran bentuk aljabar dan peneyederhanaan pecahan bentuk aljabar, penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, dan penyelesaian bentuk a b c, a, b, dan c asli. B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar Bentuk a b Bentuk a b dikenal dengan nama selisih dua kuadrat. Bentuk ini faktor-faktornya adalah (a + b) dan (a b). Karena itu, a b ( a b)... (1) Beberapa penerapan bentuk a b Sering kita menjumpai soal-soal seperti berikut ?...? ? Nampaknya soal ini bila diselesaikan secara biasa akan membutuhkan waktu yang agak lama. Namun, dengan menggunakan faktor-faktor selisih dari dua kuadrat, maka soal ini ternyata dapat diselesaikan hanya dalam hitungan detik. Perhatikan bentuk soal di atas bila diubah menjadi bentuk seperti berikut: ( ) (51 49) ( + ) ( ) ( ) (10 10) Soalnya amat mudah bukan? Tripel Pythagoras Salah satu teorema dalam matematika yang banyak digunakan adalah teorema Pythagoras. Teorema ini berbunyi pada segitiga siku-siku kuadrat hypotenusa sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Perhatikan gambar berikut: B a C b c A ABC siku-siku di titik C. AC b satuan, BC a satuan, dan AB c satuan. Menurut Pythagoras berlaku hubungan: c a + b, akibatnya: a c b dan b c a Created on 09/04/006 16:1:00

3 Perhatikan bahwa bentuk a c b yang dapat diubah menjadi a ( c + b)( c b), dan bentuk b c a dapat diubah menjadi b ( c + a)( c a). Dengan demikian, a ( c + b)( c b) ( c + b). ( c b),... () dan b ( c + a)( c a) ( c + a). ( c a)... () Bentuk () dan () masing-masing adalah panjang sisi a dan sisi b pada segitiga siku-siku dengan panjang hypotenusa c. Contoh 1: Tentukanlah panjang sisi ketiga pada sebuah segitiga sikusiku bila diketahui panjang hypotenusa 1 cm dan salah satu sisi siku-sikunya berukuran 1 cm! Perhatikan gambar! x x 5. 1 x 5.1 x 5 cm x...? Contoh : Segitiga ABC siku-siku di titik B. Bila AC 5 cm dan AB 4 cm, berapakah panjang BC? A Perhatikan gambar di samping! BC ( 5 + 4)(5 4) 4 B 5 BC...? C BC 49. BC 7.1 BC 7 cm Garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah garis singgung persekutuan dua buah lingkaran. Garis singgung persekutuan dua buah lingkaran yang dikenal ada, yaitu; (1) garis singgung persekutuan dalan (g d ), dan () garis singgung persekutuan luar (g l ). 1 Created on 09/04/006 16:1:00

4 Untuk menemukan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut: A' Perhatikan gambar! R g Lingkaran P pusatnya di titik P d A dengan jari-jari r, dan lingkaran O r pusatnya di titik O dengan jari-jari d P O R. Jarak antara kedua pusat g d R lingkaran yaitu OP d. Panjang garis singgung persekutuan dalam B kedua lingkaran adalah AB g d satuan. Berapakah AB? Untuk menemukan jawabannya, maka garis AB ditranslasikan oleh tranlasi B O sehingga titik B berimpit dengan titik O, titik A akan berimpit dengan A. Dengan demikian, AA R, A O g d, dan PA ' r + R. Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: A' R g d A r d P O Perhatikan bahwa segitiga siku-siku PA O siku-siku di titik A. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masingmasing adalah panjang garis singgung dalam (g d ) dan jumlah jari-jari kedua lingkaran (r + R). Dengan demikian didapatkan hubungan: d (g d ) + (r + R) yang mengakibatkan : (g d ) d (r + R),... (4) dan (r + R) d (g d )... (5) Persamaan (4) dapat diubah menjadi: (g d ) d (r + R) (g d ) (d + r + R)(d r R) g d ( d + r + R). ( d r R)... (6) Persamaan (5) dapat diubah menjadi: (r + R) d (g d ) (r + R) (d + g d )(d g d ) r + R) ( d + g ). ( d g )... (7) ( d d Persamaan (6) dan (7) inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan dalam. Contoh 1: Created on 09/04/006 16:1:00

5 Perhatikan gambar di bawah ini! Panjang PQ 0 cm, PA 8 cm, dan AB 16 cm. Tentukan perbandingan luas lingkaran I dan II!. P 8 A 16 0 B Q I II g d 16 r...? R 8 d 0 Agar soal ini mudah diselesaikan, digambarkan dalam bentuk segitiga siku-siku, sedemikian sehingga didapatkan hubungan : ( r + R) ( d + g d ). ( d g d ) ( r + 8) (0 + 16). (0 16) ( r + 8) 6. 4 ( r + 8) 6. 1 r 4 Perbandingan Luas I : Luas II R : r 8 : 4 64 : 16 4 : 1. Contoh : Perhatikan gambar di samping! D Bila AB 5 cm, AC cm dan BD 5 cm, berapakah panjang A B CD? C g d...? r R 5 d 5 Agar soal ini mudah diselesaikan, digambarkan dalam bentuk segitiga siku-siku, sedemikian sehingga didapatkan hubungan : g d g d g d g d g d g d g d ( d + r + R). ( d r R) ( 5 + 7). ( Panjang CD 4 cm. Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut: 7) Created on 09/04/006 16:1:00

6 Perhatikan gambar! Lingkaran A pusatnya di titik A g C D l dengan jari-jari r, dan lingkaran B pusatnya di titik B dengan jari-jari r R g l E R. Jarak antara kedua pusat A d B lingkaran yaitu AB d. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah AE g l satuan. Berapakah AE? Untuk menemukan jawabannya, maka garis CD ditranslasikan oleh tranlasi D A sehingga titik D berimpit dengan titik A, titik C akan berimpit dengan E. Dengan demikian, CE DA r, AE g l, dan BE R r. Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: C D A r g l g l d r E R - r Perhatikan bahwa segitiga siku-siku ABE siku-siku di titik E. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masing-masing adalah panjang garis singgung luar (g l ) dan selisih jari-jari kedua lingkaran (R r). Dengan demikian didapatkan hubungan: d (g l ) + (R r) yang mengakibatkan : (g l ) d (R r),... (8) dan (R r) d (g l )... (9) Persamaan (8) dapat diubah menjadi: (g l ) d (R r) (g l ) (d + R r)(d (R r)) g d ( d + R r). ( d R + r)... (10) Persamaan (9) dapat diubah menjadi: (R r) d (g l ) (R r) (d + g l )(d g l ) R r) ( d + g ). ( d g )... (11) ( l l Persamaan (10) dan (11) inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan luar. Contoh 1: Lingkaran M berjari-jari satuan dan lingkaran N berjari-jari 10 satuan memiliki garis singgung persekutuan luar PQ. Bila B Created on 09/04/006 16:1:00

7 MN 5 satuan, berapakah panjang garis singgung persekutuan luar PQ? P M? Q 5 R N 10 Perhatikan gambar di atas. PQ MR. MRN siku-siku di titik R. NR Karena itu, MR MR MR MR MR MR MN ( MN + NR ) ( NR 7)(5 ( MN 7) NR) MR 4 Jadi, panjang garis singgung PQ 4 satuan. Contoh : Dua buah lingkaran memiliki garis singgung persekutuan luar dengan panjang 5 cm. Jarak kedua titik pusat lingkaran itu 7 cm. Bila jari-jari lingkaran pertama 15 cm, berapakah panjang jari-jari lingkaran yang kedua? D A? 5 C 7 E B 15 Perhatikan gambar! ABE siku-siku di titik E. AB 7 adalah hypotenusa. AE DC 5. BE BC AD. Karena itu, BE BE AB 7 AE 5 BE (7 + 5)(7 5) BE 7. BE 144 BE 1 Karena BE BC AD, maka BC AD 1. AD BC 1 AD 15 1 Created on 09/04/006 16:1:00

8 AD AD cm Panjang jari-jari lingkaran yang kedua cm. Bentuk ax + bx + c, a 0, a, b, c Real Bentuk ax + bx + c, a 0, a, b, c Real sering juga disebut bentuk kuadrat. Bentuk ini dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut: ( ax...)( ax...) 1. Tuliskan ax + bx + c a. Carilah nilai a.c.. Carilah faktor prima dari a.c. 4. Dari faktor-faktor prima itu carilah pasangan faktor a.c yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b. 5. Pasangan faktor yang didapatkan dimasukkan untuk mengisi titik-titik pada langkah Perhatikan faktor pembilang dari langkah 1. Tentukan faktor yang habis dibagi dengan a. 7. Faktor-faktor dari ax + bx + c akan didapatkan. Contoh 1: Tentukanlah faktor-faktor dari x + 7x + 1! Perhatikan bentuk x + 7x + 1. a 1, b 7 dan c 1. ac 1. Faktor prima dari 1... Karena itu 1 1 1, 1 6, 1 4. Tuliskan ( x...)(...) x + 7x + 1 x...(i) 1 Sekarang, pilihlah faktor dari 1 yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b 7. Didapatkan +4 dan +. Karena itu + 4 dan + menggantikan titik-titik pada bentuk (I) sehingga ( x + 4)( x + ) x + 7x x + 7x + 1 ( x + 4)( x + ) Contoh : Tentukanlah faktor-faktor dari x 5x +! Created on 09/04/006 16:1:00

9 (x...)(x...) x 5x + (x 1)( x 4) (x 1)( x ) x 5x + (x 1)( x ) ac ( 4) 4..( ) Pasangan faktor yang jumlahnya 5 adalah 1 dan 4. Karena itu yang menggantikan titik-titik adalan 1 dan 4. Contoh : Tentukanlah faktor-faktor dari x 11x + 6 (x...)(x...) ac 18 x 11x ( 18) (x )(x 9) 18.9.( 9) 18.6.( 6) (x )( x ) Pasangan faktor yang x 11x + 6 (x )( x ) jumlahnya 11 adalah dan 9. Penyederhanaan pecahan aljabar Lanjutan dari pemfaktoran bentuk kuadrat di SMP adalah penyederhanaan pecahan bentuk aljabar. Bila pemfaktoran bentuk ax + bx + c belum dipahami dengan baik, maka berlatihlah sebelum melanjutkan pada penyederhanaan pecahan aljabar. Contoh 1: 1x + 8x + 5 Sederhanakanlah bentuk! 1x + 9x + 15 Pembilangnya adalah 1x + 8x + 5. Karena itu, ac dapat dituliskan dalam bentuk perkalian faktor primanya sebagai Pasangan-pasangan faktor dari 105 adalah , 105 5, , dan Pasangan faktor yang jumlahnya 8 adalah 5. Bila pasangan faktor ini dibagi dengan 1, sama artinya bila dibagi dengan 7. Sehingga didapatkan: Created on 09/04/006 16:1:00

10 1x 1x Contoh : (1x...)(1x...) 1x + 8x (1x + )(1x + 5) 1x + 8x x + 8x + 5 (7x + 1)( x + 5) Pembilang dapat ditulis dalam bentuk ( 7x + 1)( x + 5). Penyebutnya adalah 1x + 9x Nilai ac 180. Bila ditulis dalam bentuk perkalian faktor primanya, maka Pasangan faktor yang mungkin untuk 180 adalah , , , , , , , , , dan Pasangan faktor yang jumlahnya 9 adalah 9 0. Bila pasangan faktor ini dibagi dengan 1 4, maka didapatkan bentuk seperti berikut: (1x...)(1x...) 1x + 9x (1x + 9)(1x + 0) 1x + 9x x + 9x + 15 (4x + )(x + 5) Penyebut dapat ditulis dalam bentuk ( 4x + )(x + 5). Jadi, bentuk sederhana dari: 1x + 8x + 5 (7x + 1)(x + 5) 1x + 9x + 15 (4x + )(x x x x 4x Sederhanakan bentuk 6x x x x x 0! + 14x + 0 (x...)(x...) x 6x 0 x + 14x + 0 (x...)(x...) (x + 4)(x 10) x 6x 0 x + 14x + 0 (x + 4)(x + 10) x 6x 0 (x + 4)( x 10) x + 14x + 0 (x + 4)(( x + 10) x x x x Created on 09/04/006 16:1:00

11 Penjelasan pembilang. ac 40. Faktor yang jumlahnya b 6 adalah 40 4 ( 10). Penjelasan Penyebut. ac 40. Faktor yang jumlahnya b 14 adalah Contoh : x 5x 1 Sederhanakan bentuk! x 11x 0 (x...)(x...) x 5x 1 x 11x 0 (x...)(x...) (x + 4)(x 9) x 5x 1 x 11x 0 (x + 4)(x 15) x 5x 1 (x + 4)( x ) x 11x 0 (x + 4)( x 5) x 5x 1 x x 11x 0 x 5 Penjelasan pembilang. ac 6. Faktor yang jumlahnya b 5 adalah 6 4 ( 9). Penjelasan Penyebut. ac 60. Faktor yang jumlahnya b 11adalah 40 4 ( 15). C. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax + bx + c 0, a 0, a, b, dan c Real. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara, yaitu dengan (1) memfaktorkan; () melengkapkan kuadrat sempurna; dan () dengan menggunakan rumus. Dalam tulisan ini yang akan dibahas hanya penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan hampir sama dengan menyelesaiakan bentuk kuadrat ax + bx + c, a 0, a, b, dan c Real dengan memfaktorkan yang sudah di bahas pada bagian terdahulu. Karena itu, untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai berikut: Created on 09/04/006 16:1:00

12 ax + bx + c 0 ( ax...)( ax...) ax + bx + c 0 a ( ax...)( ax...) 0 a Bandingkan dengan langkah-langkah berikut: Langkah I: Kalikan a dengan c hasilnya ac. Langkah II: Faktorkan ac atas faktor-faktor primanya. Langkah III: Pilihlah pasangan faktor ac yang jumlahnya sama dengan b. Langkah IV: Bagilah pasangan faktor ac yang memenuhi dengan a, kemudian masing-masing kalikan dengan 1. Hasil dari Langkah IV adalah penyelesaian yang dicari. Contoh 1: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x + 5x + 0! x + 5x + 0 ac 6 b 5 (x...)(x...) x + 5x b 5 + (x + )(x + ) 0 x x a a (x + )( x + 1) 0 x x x + 0 x x x 1 x x 1 x x 1 Nilai x yang memenuhi persamaan x + 5x + 0 adalah atau 1. Penjelasan: Pasangan faktor ac 6 yang jumlahnya b 5 adalah. Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda. Created on 09/04/006 16:1:00

13 Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x 1x + 1 0! x 1x ac 6 b 1 x 1x + 1 (x...)(x...) 6 4 ( 9) ( 9) (x 4)(x 9) x x a a (x 4)( x ) x 4 0 x 0 x x x 4 x 4 x x 4 x x Nilai x yang memenuhi persamaan x 1x adalah 4 atau. Penjelasan: Pasangan faktor ac 6 yang jumlahnya b 1 adalah 4 ( 9). Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda. Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x x 0 0! x x 0 0 ac 40 b x x 0 (x...)(x...) 40 5 ( 8) ( 8) (x + 5)(x 8) x x a a (x + 5)( x 4) x x 4 0 x x x 5 x 4 5 x x 4 5 x x 4 Created on 09/04/006 16:1:00

14 A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) ax + bx + c, a 0, a, b,dan c Real. Fungsi kuadrat akan memotong sumbu x bila ordinatnya sama dengan 0 (y f(x) 0). Karena itu, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, sama dengan mencari nilai-nilai x yang membuat fungsi f(x) bernilai 0, sehingga terbentuk persamaan f ( x) ax + bx + c 0. Bentuk ax + bx + c 0 adalah bentuk umum dari persamaan kuadrat. Dengan demikian, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, sama dengan mencari penyelesaian persamaan kuadrat. Contoh 1: Tentukan titik potong fungsi f ( x) 6x + 17x 5 dengan sumbu x! Fungsi f ( x) 6x + 17x 5 memotong sumbu x bila y f ( x) 0. Karena itu, f ( x) 6x + 17x 5 0 ac 0 b 17 6x + 17x (15) ( 6x...)( 6x...) x x ( 6x + )( 6x + 15) a a 0 15 x x (x 1)( x + 5) x 1 0 x x x x 1 x x x x x Jadi, titik potong fungsi f ( x) 6x + 17x 5 dengan sumbu 5 1 x adalah di titik (,0) dan (,0). Perhatikan pada kolom kanan dalam penyelesaian di atas. Mengapa nilai x 1 dibagi dengan 6, sedang x dibagi dengan 6? Created on 09/04/006 16:1:00

15 Contoh : Tentukan koordinat titik potong f : x x x dengan garis y 0! f : x x x dapat ditulis sebagai f ( x) y x x. Karena itu didapatkan, x x 0 ( x...)( x...) 0 1 ( x + 1)( x ) 0 x x 0 x 1 x Jadi, titik potong fungsi dengan garis y 0 masing-masing di titik ( 1, 0) dan (, 0). Contoh : Fungsi f ( x) x x 4 berpotongan dengan garis y 5x 4 di titik A dan B. Tentukanlah koordinat titik A dan titik B! Bila y f ( x) x x 4 berpotongan dengan garis y 5x 4 berarti keduanya memiliki titik persekutuan yang dilalui oleh fungsi f(x) dan garis y. Perhatikan bahwa, y x x 4... (1) dan y 5x 4... () Persamaan (1) dan persamaan () memiliki ruas kiri yang sama, yaitu y. Karena itu, (1) (). Sehingga didapatkan persamaan berikut: x x 4 5x 4 x x x( x + 1) x x + 0 5x + x 0 0 x x 0 x 1 Nilai-nilai x yang diperoleh disubstitusi ke persamaan (1) atau persamaan (). Untuk x 1 didapatkan y 5( 1) 4 1 A ( 1, 1) Untuk x 0 didapatkan y 5(0) 4 4 B (0, 4) Jadi, titik perpotongannya adalah A ( 1, 1) dan B (0, 4). Created on 09/04/006 16:1:00

16 A. Bentuk a b c, a, b, dan c Asli (Pengayaan) Bentuk a b c, a, b, dan c Asli memiliki n buah pasangan penyelesaian bila c memiliki n buah faktor. Faktor-faktor dari c dapat dengan mudah dicari dengan menggunakan kombinasi perkalian dari faktor prima yang dimiliki oleh c. Karena itu, bila c adalah bilangan prima, maka bentuk a b c, a, b, dan c Asli hanya memiliki satu pasang penyelesaian. Contoh 1: Diketahui a b 75, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu! a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu sama dengan 1 dari banyaknya faktor yang dimiliki oleh 75. Untuk mengetahui semua faktor dari 75, terlebih dahulu 75 difaktorkan atas faktor-faktor primanya. Semua faktor dari 75 (kecuali 1 dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 75. Bilangan 75 dapat ditulis sebagai Dalam bentuk pasangan faktor-faktornya , 75 5, dan Jadi, ada pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b. Pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut: Untuk pasangan faktor Karena a b (a + b)(a b), maka (a + b) 75 dan 75 (a b) 1 dicari 8. Sehingga a b (8 + 7)(8 7) 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (8, 7). Untuk pasangan faktor dan ( a b). Perhatikan bahwa 1. (1 + 1) 5 ( a b) ( ) 5 ( a b) Sehingga a b ( )(14 11) 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (14, 11). Created on 09/04/006 16:1:00

17 Untuk pasangan faktor dan ( a b) 5. Perhatikan bahwa 8. (8 + 7) 15 ( a b) ( a + b) (9 + 6) 15 ( a b) (10 + 5) 15 ( a b) Sehingga a b (10 + 5)(10 5) 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (10, 5). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a b 75, a, dan b adalah bilangan asli adalah (8, 7); (14, 11); dan (10,5). Contoh : Diketahui a b, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan itu! Penyeleaian: a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu hanya 1 pasang, karena adalah bilangan prima yang ditulis sebagai 1. b. Untuk faktor 1, maka 1. Sehingga : a + b a b Pasangan yang memenuhi a b (1 + 11)(1 11). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (1, 11) Contoh : Diketahui a b 15, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu! a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi 1 persamaan itu sama dengan dari banyaknya faktor 9 6 yang dimiliki oleh 15. Untuk mengetahui semua faktor dari 15, terlebih dahulu 15 difaktorkan atas faktorfaktor primanya. Semua faktor dari 15 (kecuali 1 dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 15. Bilangan 15 dapat ditulis sebagai Dalam bentuk pasangan faktor-faktornya , 15 45, , dan Created on 09/04/006 16:1:00

18 Jadi, ada 4 pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b.pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut: Untuk pasangan faktor dan ( a b) 1. Perhatikan bahwa ( ) 15 ( a b) Sehingga a b ( )(68 67) 15. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (68, 67). Untuk pasangan faktor dan ( a b). Perhatikan bahwa. ( + ) 45 ( a b) 1 (4 + 1) 45 ( a b) 4 1 Sehingga a b (4 + 1)(4 1) 15. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (4, 1). Untuk pasangan faktor dan ( a b) 5. Perhatikan bahwa 14. (14 + 1) 7 ( a b) ( a + b) (15 + 1) 7 ( a b) 15 1 ( ) 7 ( a b) Sehingga a b ( )(16 11) 15. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (16, 11). Untuk pasangan faktor dan ( a b) 9. Perhatikan bahwa 8. (8 + 7) 15 ( a b) ( a + ( a + ( a + b) b) b) (9 + (10 + (11 + 6) 5) ) 15 ( a ( a ( a b) b) 10 b) (1 + ) 15 ( a b) 1 9 Sehingga a b (1 + )(1 ) 15. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (1, ). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a b 15, a, dan b adalah bilangan asli adalah (1, ); (16, 11); (4, 1); dan (68, 67) Created on 09/04/006 16:1:00

19 D. Latihan 1. Hitunglah : a. 1 1 b c. 5 5 d Bila pasangan bilangan (a, b, c) berikut merupakan tripel Pythagoras, carilah bilangan yang belum diketahui: a. b 1, c 1 b. a 15, c 17 c. b 0, c 9 d. a 45, c 5. Garis singgung lingkaran a. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 11 cm dan cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran 17 cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan luarnya? b. Jarak dua pusat lingkaran 1 cm. Bila panjang jari-jari masingmasing lingkaran cm dan cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan dalamnya? 4. Pemfaktoran bentuk ax + bx + c, a 0, a, b, c Real Faktorkanlah : a. x 7x + b. x + 7x + 4 c. x 5x d. 4x + 1x + 5. Penyederhanaan pecahan aljabar Sederhanakanlah: a. x 6x 0 x + 14x + 0 b. x 17x + 0 x + x 0 c. x + 10x 8 6x 8x + 16 d. x + 4x + 1 x + 5x + 6. Carilah nilai-nilai yang memenuhi persamaan kuadrat berikut: a. x + x 1 0 b. x 7x + 0 c. x + 9x d. x + x 0 Created on 09/04/006 16:1:00

20 7. Tentukan titik potong fungsi kuadrat berikut, dengan sumbu x : a. f ( x) x + 6x + 10 b. f ( x) 7 + 6x x 8. Tentukanlah pasangan (a, b) dengan a, b bilangan asli, sedemikian sehingga memenuhi persamaan berikut: a. a b 560 b. a b 756 c. a b 646 d. a b 550 B. Kunci Created on 09/04/006 16:1:00

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012 Jenjang SMP Bidang Matematika

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012 Jenjang SMP Bidang Matematika Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 202 Jenjang SMP Bidang Matematika Bagian A : Soal Isian Singkat. Sebuah silinder memiliki tinggi 5 cm dan volume 20 cm 2. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2007 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2007 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 007 TINGKAT PROVINSI TAHUN 006 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi

Lebih terperinci

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian :

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian : 1. Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm C. 26 cm B. 52 cm D. 13 cm 2. Gambar disamping adalah persegi panjang. Salah satu sifat persegi panjang adalah

Lebih terperinci

SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI

SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI HAK CIPTA DILINDUNGI UNDANG-UNDANG SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI BIDANG MATEMATIKA Waktu : 210 menit KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL

Lebih terperinci

Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 2012

Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 2012 Tutur Widodo Pembahasan OSK Matematika SMA 01 Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 01 Oleh Tutur Widodo 1. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi (n 1(n 3(n 5(n 013 = n(n + (n

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2014 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2014 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2014 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2015 Waktu : 210 Menit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT

Lebih terperinci

Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun Oleh Tutur Widodo. (n 1)(n 3)(n 5)(n 2013) = n(n + 2)(n + 4)(n )

Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun Oleh Tutur Widodo. (n 1)(n 3)(n 5)(n 2013) = n(n + 2)(n + 4)(n ) Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 01 Oleh Tutur Widodo 1. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi adalah... (n 1)(n 3)(n 5)(n 013) = n(n + )(n + )(n + 01) Jawaban : 0 ( tidak

Lebih terperinci

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak 4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,

Lebih terperinci

C. B dan C B. A dan D

C. B dan C B. A dan D 1. Perhatikan Himpunan di bawah ini! A = {bilangan prima kurang dari 11} B = {x < x 11, x bilangan ganjil} C = {semua faktor dari 12} D = {bilangan genap antara 2 dan 14} Himpunan di atas yang ekuivalen

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes bagian pertama ini terdiri dari 20 soal. 2. Waktu yang disediakan adalah

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN

Lebih terperinci

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000 Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat.

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 202 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 203 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : BAGIAN PERTAMA. Tanpa mengurangi keumuman misalkan

Lebih terperinci

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30 Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 005 Nomor Soal: -30. Garis 5y 60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran

Lebih terperinci

4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) }

4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) } 1. Diketahui himpunan P = ( bilangan prima kurang dari 13 ) Banyak himpunan bagian dari P adalah... 5 25 10 32 P = {Bilangan prima kurang dari 13} = {2, 3, 5, 7, 11} n(p) = 5 2. Dari diagram Venn di bawah,

Lebih terperinci

OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b

OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan adalah bilangan bulat genap tak negatif. n = F P B(a, b + KP K(a, b a b Solusi. Misalkan d = F P B(a, b,

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 015 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 016 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 1. 015 = 5 13 31 Banyaknya faktor

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2008

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2008 Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2008 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN

Lebih terperinci

Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2004/2005

Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2004/2005 Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2004/2005 1. Perhatikan himpunan di bawah ini! A = {bilangan prima kurang dari 11} B = { 1 < 11, bilangan ganjil} C = {semua faktor dari 12}

Lebih terperinci

1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4

1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4 1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4 C. 6 B. 5 D. 7 Kunci : B B = (bilangan prima kurang dan 13) Anggota himpunan B = (2, 3, 5, 7, 11) Sehingga banyaknya

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL "We are the first of the fastest online solution of mathematics" 009 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang

Lebih terperinci

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN-KOTA TAHUN 2006

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN-KOTA TAHUN 2006 OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN-KOTA TAHUN 00 SOAL PILIHAN GANDA. Jumlah dua bilangan bulat yang berbeda adalah 4. Jika hasil bagi kedua bilangan tersebut adalah juga bilangan bulat,

Lebih terperinci

01. Perhatikan persegi panjang ABCD di bawah ini. Jika OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... (A) 78 cm (B) 52 cm (C) 26 cm (D) 13 cm

01. Perhatikan persegi panjang ABCD di bawah ini. Jika OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... (A) 78 cm (B) 52 cm (C) 26 cm (D) 13 cm 0. Perhatikan persegi panjang ABCD di bawah ini. Jika OA = 26 cm, maka panjang BO adalah.... (A) 78 cm (B) 52 cm (C) 26 cm (D) 3 cm 02. Bangun di bawah ini merupakan bangun yang memiliki simetri putar

Lebih terperinci

OLIMPIADE MATEMATIKA SLTP TINGKAT KABUPATEN KOTA 2006

OLIMPIADE MATEMATIKA SLTP TINGKAT KABUPATEN KOTA 2006 OLIMPIADE MATEMATIKA SLTP TINGKAT KABUPATEN KOTA 00 SOAL PILIHAN GANDA. Jumlah dua bilangan bulat yang berbeda adalah. Jika hasil bagi kedua bilangan tersebut adalah juga bilangan bulat, maka salah satu

Lebih terperinci

MATEMATIKA (Paket 2) Waktu : 120 Menit

MATEMATIKA (Paket 2) Waktu : 120 Menit MATEMATIKA (Paket 2) Waktu : 20 Menit (025) 77 2606 Website : Pilihlah jawaban yang paling tepat!. Hasil dari A. B. D. 8 5 8 2 2 8 2 adalah. 2. Hasil dari A. B. D. 8 adalah.. Bentuk sederhana dari A. 2

Lebih terperinci

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP

Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP Lingkaran & Garis Singgung A. Unsur-Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut titik pusat lingkaran. Lambang lingkaran dengan

Lebih terperinci

OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI

OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI SESI III (ISIAN SINGKAT DAN ESSAY) WAKTU : 180 MENIT ============================================================

Lebih terperinci

SOAL MATEMATIKA - SMP

SOAL MATEMATIKA - SMP SOAL MATEMATIKA - SMP OLIMPIADE SAINS NASIONAL TINGKAT KABUPATEN/KOTA KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA TAHUN 200

Lebih terperinci

FAKTORISASI SUKU ALJABAR

FAKTORISASI SUKU ALJABAR 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR Pernahkah kalian berbelanja di supermarket? Sebelum berbelanja, kalian pasti memperkirakan barang apa saja yang akan dibeli dan berapa jumlah uang yang harus dibayar. Kalian

Lebih terperinci

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut 00

Lebih terperinci

Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011

Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011 Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011 1. Diketahui A = 7x + 5 dan B = 2x 3. Nilai A B adalah A. -9x +2 B. -9x +8 C. -5x + 2 D. -5x +8 BAB II BENTUK ALJABAR A B = -7x

Lebih terperinci

Bab 1. Irisan Kerucut

Bab 1. Irisan Kerucut Tahun Ajaran 01 01-013/Genap Bab 1. Irisan Kerucut e=0 e 1 A. Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) Pada segitiga siku-siku, siku, menurut dalil phytagoras berlaku : c =

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 013 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 1. 94 + 013 = a + b 013 = 61

Lebih terperinci

Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12

Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12 Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12 Tim Pembahas : Th. Widyantini Untung Trisna Suwaji Wiworo Choirul Listiani Estina Ekawati Nur Amini Mustajab PPPPTK Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 2004/2005

UJIAN NASIONAL SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 2004/2005 UJIAN NASIONAL SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 004/005 Mata Pelajaran : MATEMATIKA Hari/Tanggal : RABU, 8 JUNI 005 Waktu : 0 MENIT PETUNJUK UMUM. Periksa dan bacalah soal-soal sebelum kamu menjawab. Tulis nomor

Lebih terperinci

Pelatihan-osn.com Konsultan Olimpiade Sains Nasional contact person : ALJABAR

Pelatihan-osn.com Konsultan Olimpiade Sains Nasional  contact person : ALJABAR ALJABAR 1. Diberikan a 4 + a 3 + a 2 + a + 1 = 0. Tentukan a 2000 + a 2010 + 1. 2. Diberikan sistem persamaan 2010(x y) + 2011(y z) + 2012(z x) = 0 2010 2 (x y) + 2011 2 (y z) + 2012 2 (z x) = 2011 Tentukan

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2004 TINGKAT PROVINSI

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2004 TINGKAT PROVINSI SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2004 TINGKAT PROVINSI Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT

Lebih terperinci

didapat !!! BAGIAN Disusun oleh :

didapat !!! BAGIAN Disusun oleh : SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2012 TIM OLIMPIADE MATEMATIKAA INDONESIA 2013 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012

Lebih terperinci

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 01 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 0 soal isian singkat dan tes

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2015 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan

Lebih terperinci

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI Segitiga 1. Beberapa sifat yang berlaku pada segitiga adalah : Jumlah sudut-sudut sembarang segitiga adalah 180 0 Pada segitiga ABC berlaku AC = BC B = A

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Prestasi itu diraih bukan didapat!!!

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 008 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : BAGIAN PERTAMA 1. ABC adalah segitiga sama

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT)

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT) SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT) BAGIAN A : ISIAN SINGKAT 1. Sebuah silinder memiliki tinggi dan volume. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin

Lebih terperinci

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 (90menit) 1. Semua tripel (x, y, z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan

Lebih terperinci

Soal Ulangan Umum Semester 1 Kelas VIII

Soal Ulangan Umum Semester 1 Kelas VIII Soal Ulangan Umum Semester 1 Kelas VIII A. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar! 1. Salah satu factor dari x - xy 4y adalah cm a. (x - 4y)(x + 3y) b. (x + 4y)(x

Lebih terperinci

SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2015 BIDANG MATEMATIKA

SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2015 BIDANG MATEMATIKA SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 015 BIDANG MATEMATIKA BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT 1. Banyak faktor persekutuan dari 1515 dan 530 yang merupakan bilangan genap positip

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8 KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8 Dirangkum oleh Moch. Fatkoer Rohman Website: http://fatkoer.co.cc http://zonamatematika.co,cc Email: fatkoer@gmail.com 009 Evaluasi Bab 1 Untuk nomor 1 sampai 5 pilihlah

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL MATEMATIKA UN 2014 Jawaban : Pembahasan : (operasi bilangan pecahan) ( ) Jawaban : (A) Pembahasan : (perbandingan senilai) 36 buku 8 mm x x 3. 0 X buku 24 mm Jawaban : (C) Pembahasan :

Lebih terperinci

SOAL PR ONLINE IX SMP MATA UJIAN: MATEMATIKA (KODE: P18) 1. Alas sebuah limas berbentuk segi-6. Banyak rusuk dan sisi limas berturutturut

SOAL PR ONLINE IX SMP MATA UJIAN: MATEMATIKA (KODE: P18) 1. Alas sebuah limas berbentuk segi-6. Banyak rusuk dan sisi limas berturutturut Kode: P8 MATEMATIKA IX SMP SOAL PR ONLINE IX SMP MATA UJIAN: MATEMATIKA (KODE: P8). Alas sebuah limas berbentuk segi-6. Banyak rusuk dan sisi limas berturutturut (A) 7 dan. (C) 8 dan 8. dan 7. (D) 8 dan

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008 Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat

Lebih terperinci

Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2010

Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2010 Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 010 1. Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dengan pernyataan, Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1 + bilangan ganjil adalah

Lebih terperinci

King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat:

King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat: Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KUADRAT - Hubungkan titik-titik tersebut sehingga terbentuk kurva atau grafik yang mulus. Kelas : A. FUNGSI KUADRAT Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: y = f(x)

Lebih terperinci

SOAL UN DAN PENYELESAIANNYA 2009

SOAL UN DAN PENYELESAIANNYA 2009 1. 1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara. 2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding. Ingkaran dari kesimpulan kedua premis diatas adalah... A. Saya giat belajar dan

Lebih terperinci

BENTUK-BENTUK ALJABAR

BENTUK-BENTUK ALJABAR BENTUK-BENTUK ALJABAR (Pembelajaran Matematika SMP) Oleh : H. Karso FPMIPA UPI A. Kalimat Matematika dalam Bentuk Aljabar Serta Unsur-unsurnya Dalam pelajaran matematika pengertian kalimat matematika dibedakan

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 008/009. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis

Lebih terperinci

LATIHAN UJIAN AKHIR SEKOLAH

LATIHAN UJIAN AKHIR SEKOLAH LATIHAN UJIAN AKHIR SEKOLAH BERSTANDAR NASIONAL MATEMATIKA WAKTU : 0 menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL PETUNJUK UMUM 1. Periksa dan bacalah soal-soal sebelum menjawab.. Jawaban dikerjakan pada lembar

Lebih terperinci

Matematik Ekonom Fungsi nonlinear

Matematik Ekonom Fungsi nonlinear 1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya

Lebih terperinci

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana

Lebih terperinci

KOTA - PROVINSI - NASIONAL TAHUN 2017 MATA PELAJARAN: MATEMATIKA

KOTA - PROVINSI - NASIONAL TAHUN 2017 MATA PELAJARAN: MATEMATIKA OLIMPIADE SAINS SMP/MTs TINGKAT KOTA - PROVINSI - NASIONAL TAHUN 07 MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Mata Pelajaran : Matematika Jenjang : SMP/MTs MATA PELAJARAN PETUNJUK UMUM () Kerjakan soal ini dengan JUJUR,

Lebih terperinci

Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Provinsi. Tutur Widodo. Bagian Pertama : Soal Isian Singkat

Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Provinsi. Tutur Widodo. Bagian Pertama : Soal Isian Singkat Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 013 Seleksi Tingkat Provinsi Tutur Widodo Bagian Pertama : Soal Isian Singkat 1. Diberikan tiga lingkaran dengan radius r =, yang saling bersinggungan. Total luas dari

Lebih terperinci

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Bab 3 Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus 3.1 Pengertian

Lebih terperinci

PERSIAPAN UN MATEMATIKA SMP 2014

PERSIAPAN UN MATEMATIKA SMP 2014 PERSIAPAN UN MATEMATIKA SMP 014 Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, atau d di depan jawaban yang benar! 1. Di suatu daerah yang berada pada ketinggian.500 meter di atas permukaan laut suhunya

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2006 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2006 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 006 TINGKAT PROVINSI TAHUN 005 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi

Lebih terperinci

LEMBAR SOAL National Math Olympiad 3 RD PDIM UB 2014

LEMBAR SOAL National Math Olympiad 3 RD PDIM UB 2014 PETUNJUK UNTUK PESERTA 1. Tuliskan nama lengkap, kelas, asal sekolah, alamat sekolah lengkap dengan nomor telepon, faximile, email sekolah dan nama guru Matematika di tempat yang telah disediakan.. Tes

Lebih terperinci

Pembahasan OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2012

Pembahasan OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2012 Pembahasan OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2012 Bidang Matematika Oleh Tutur Widodo Soal 1. Jika diketahui himpunan H = {(x, y) (x y) 2 + x 2 15x + 50 = 0, dengan x dan y bilangan asli}, tentukan banyak

Lebih terperinci

TEOREMA PYTHAGORAS. Contoh Hitunglah nilai kuadrat bilangan-bilangan berikut

TEOREMA PYTHAGORAS. Contoh Hitunglah nilai kuadrat bilangan-bilangan berikut Teorema pythagoras berasal dari seorang matematikawan dari Yunani yang bernama Pythagoras, tetapi ada juga yang menyebutkan bahwa teorema pythagoras berasal dari Cina karena ada sebuah buku yang merupakan

Lebih terperinci

KEGIATAN BELAJAR SISWA

KEGIATAN BELAJAR SISWA KEGIATAN BELAJAR SISWA Bidang studi : Matematika Satuan Pendidikan: SLTP Kelas: 3 (tiga) Caturwulan: 1 (satu) Pokok Bahasan: Transformasi Subpokok Bahasan: Refleksi Waktu: 150 Menit Endang Mulyana 2003

Lebih terperinci

OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN

OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN Disajikan pada Pembimbingan Kompetisi Guru-Guru Matematika dalam pemecahan soal-soal OSN di lingkungan Sekolah Menengah Atas Kota

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Kode 5 Oleh Tutur Widodo. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : maka nilai x y

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka

Lebih terperinci

Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 2012 Tingkat SMP

Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 2012 Tingkat SMP Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 01 Tingkat SMP Oleh Tutur Widodo I. Soal Pilihan Ganda (Cara Penilaian : Benar = 1 poin, Kosong = 0, Salah = 0.5 poin) 1. Terdapat berapa

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2003 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2004

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2003 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2004 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 003 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 004 Bidang Matematika Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN

Lebih terperinci

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979 Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2002 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2003

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2002 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2003 Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 003 Bidang Matematika Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN

Lebih terperinci

n suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai

n suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai Contents 1 TEORI KETERBAGIAN 2 1.1 Algoritma Pembagian............................. 3 1.2 Pembagi persekutuan terbesar......................... 6 1.3 Algoritma Euclides............................... 11

Lebih terperinci

KUMPULAN SOAL OSP MATEMATIKA SMP PEMBINAAN GURU OLIMPIADE DISUSUN: DODDY FERYANTO

KUMPULAN SOAL OSP MATEMATIKA SMP PEMBINAAN GURU OLIMPIADE DISUSUN: DODDY FERYANTO KUMPULAN SOAL OSP MATEMATIKA SMP PEMBINAAN GURU OLIMPIADE DISUSUN: DODDY FERYANTO DIURUTKAN BERDASARKAN TAHUN DAN DIKUMPULKAN BERDASARKAN TOPIK MATERI BILANGAN 2011 1. Jika x adalah jumlah 99 bilangan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 015 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 016 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 015

Lebih terperinci

Identitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian.

Identitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian. Glosarium A Akar pangkat dua : akar pangkat dua suatu bilangan adalah mencari bilangan dari bilangan itu, dan jika bilangan pokok itu dipangkatkan dua akan sama dengan bilangan semula; akar kuadrat. Asosiatif

Lebih terperinci

Solusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Bidang Matematika

Solusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Bidang Matematika Solusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 01 Bidang Matematika Oleh : Tutur Widodo 1. Karena 01 = 13 31 maka banyaknya faktor positif dari 01 adalah (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 8. Untuk mencari banyak

Lebih terperinci

Faktorisasi Suku Aljabar

Faktorisasi Suku Aljabar Bab 1 Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini siswa diharapkan mampu: Menjelaskan pengertian koe sien, variabel, konstanta, suku satu, suku dua, dan suku banyak; Menyelesaikan masalah operasi tambah,

Lebih terperinci

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers

Lebih terperinci

PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP

PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP Dibuat untuk persiapan menghadapi UN 2012 PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP Lengkap dengan kisi-kisi dan pembahasan Mungkin (tidak) JITU 12 1. Menghitung hasil operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada

Lebih terperinci

1. Diketahui suatu polynomial 15. A B 3C D. Berapakah koefisien dari. A B C D Jawab :

1. Diketahui suatu polynomial 15. A B 3C D. Berapakah koefisien dari. A B C D Jawab : 3 2 1. Diketahui suatu polynomial 15 A B 3C D. Berapakah koefisien dari 5 15 6 2 2 A B C D Jawab :? 2. Diberikan polinomial f(x) = x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + + a n-1 x + a n dengan koefisien a 1, a

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 8/9. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut

Lebih terperinci

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2011 Jenjang SMA Bidang Matematika

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2011 Jenjang SMA Bidang Matematika Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMA 011 Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 011 Jenjang SMA Bidang Matematika Bagian A : Soal Isian Singkat 1. Diberikan segitiga sama kaki ABC dengan AB = AC.

Lebih terperinci

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili 4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik

Lebih terperinci

OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI

OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 200 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI SESI II (PILIHAN GANDA DAN ISIAN SINGKAT) WAKTU : 20 MENIT ============================================================

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1986

Matematika EBTANAS Tahun 1986 Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo

Lebih terperinci