Modul Matematika XI MIA Semester 1 Lingkaran

Transkripsi

1 Lingkaran XI MIA 017/018 Modul Matematika XI MIA Semester 1 Lingkaran Oleh : Markus Yuniarto, S.Si 1 Tahun Pelajaran 017/018 SMA Santa Angela Jl. Merdeka No. Bandung

2 Lingkaran XI MIA 017/018 Peta Konsep Persamaan Lingkaran Dengan Pusat (0, 0) Dengan Pusat (a, b) Jarak garis/titik Terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui titik pada lingkaran Melalui titik diluar lingkaran LINGKARAN Dengan gradien

3 Lingkaran XI MIA 017/018 PENDAHULUAN Lebih dari seribu tahun yang lalu, para ahli matematika Bangsa Yunani biasa memandang garis singgung sebuah lingkaran sebagai sebuah garis yang menyentuh lingkaran hanya di satu titik. Descartes bahkan mempunyai argument bahwa pasti ada dua titik potong ketika sebuah garis memotong lingkaran. Jika hanya ada satu titik potong, maka garis itu pastilah garis singgung lingkaran. Mereka hanya menenmpatkan lingkaran sebagai bangun yang stagnan. Berlawanan dengan ide-ide tersebut, Issac Newton, orang Inggris yang menemukan Hukum Universal Gravitasi, mempunyai pendapat yang berbeda mengenai garis singgung. Ia memandang garis singgung pada sebuah titik sebagai limit posisi dari sebuah garis yang melalui titik itu dan titik lain yang bergerak semakin dekat ke titik tadi. Dengan demikian, lingkaran menurut Newton merupakan lintasan lengkung tertutup sederhana yang membolehkan gerakan dan oleh karena itu lingkaran disebut bangun yang dinamis. STANDAR KOMPETENSI Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya. KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR KOMPETENSI DASAR INDIKATOR Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukan Menentukan persamaan garis singgung pada Merumuskan persamaan lingkaran berpusat di (0,0) dan (a,b). Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya diketahui. Menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu. Menentukan posisi dan jarak suatu titik terhadap lingkaran Melukis garis yang menyinggung lingkaran

4 Lingkaran XI MIA 017/018 lingkaran dalam berbagai situasi dan menentukan sifat-sifatnya Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran. Menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Merumuskan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui. A. DEFINISI Y A (x 1, r B(x, y ) P(a,b) r r C (x, y ) O X Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama ( jari-jari linkaran ) terhadap sebuah titik tertentu ( pusat lingkaran ) yang digambarkan pada bidang kartesius. P (a,b) = Pusat Lingkaran r = jari-jari lingkaran r = AP = BP = CP Dalam menentukan persamaan lingkaran, kita harus mengerti tentang formula jarak. Berikut ini diberikan beberapa formula untuk menentukan jarak.

5 Lingkaran XI MIA 017/ Jarak antara dua titik A(x 1, y 1) dan B(x, y ), ditentukan oleh j = ( x x ) ( y y 1 1). Jarak titik A(x 1, y 1) terhadap garis lurus ax + by + c = 0 dirumuskan j ax 1 by a 1 b c B. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O ( 0,0 ) dan Berjari-jari r Y O r x y A ( x, y ) X Berdasarkan definisi lingkaran, maka akan diperoleh persamaan lingkaran yang berjari jari r dan berpusat di titik pangkal O(0,0). Titik A(x,y) pada Lingkaran. Jari-jari lingkaran r = OA. Dengan mengingat kembali rumus jarak antara dua titik, maka akan diperoleh rumus persamaan lingkaran: OA = ontoh r 1 = ( x 0) ( y x y 0) x y r 5

6 Lingkaran XI MIA 017/018 Contoh 1 : Tentukan persamaan lingkaran yang : a. berpusat di O(0, 0) dan r = b. berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(, ) c. berpusat di O(0, 0) dan meyinggung garis 1x 5y 9 = 0 Jawab : a. Pusat di O(0, 0) dan r = x + y = r x + y = x + y = 9 atau x + y 9 = 0 b. Pusat di O(0, 0) dan melalui titik A(, ) Karena melalui titik A(, ) maka nilai r ditentukan dari x + y = r diperoleh nilai r = + r = 5. Jadi persamaan lingkarannya adalah x + y = 5. c. Pusat di O(0, 0) dan meyinggung garis 1x 5y 9 = 0 Y O 1x 5y 9 = 0 r X Karena menyinggung garis 1x 5y 9=0 maka r merupakan jarak titik pusat O(0, 0) dengan garis 1x 5y 9 = 0. Dengan menggunakan rumus jarak titik terhadap garis diperoleh jar-jari : r = r = ax 1 by a 1 b c 1.0 ( 5).0 ( 9) r = 1 ( 5) Jadi persamaan lingkarannya adalah x + y = 9 6

7 Lingkaran XI MIA 017/018 C. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di P (a, b) dan Berjari-jari r Y O P(a, b) r A(x,y) X Titik A(x, y) pada lingkaran yang berpusat di P(a,b) dan jari-jari lingkaran r, sehingga PA = r. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, maka akan diperoleh rumus persamaan lingkaran: ( x x1 ) ( y y1) ( x a) ( y b) r r x a y b r Merupakan persamaan baku lingkaran dengan pusat P(a, b) Contoh dan jari-jari r. Tentukan persamaan lingkaran yang : a. berpusat di P(, ) dan r = 6 b. berpusat di P(5, -1) dan melalui A(-1, 7) c. berpusat di P(, ) dan menyinggung x + y + = 0 Jawab : a. berpusat di P(, ) dan r = 6 maka diperoleh a = dan b = Persamaan Lingkaran : ( x a) ( y b) r (x ) + (y ) = 6 (x ) + (y ) = 6 b. berpusat di P(5, -1) dan melalui A(-1, 7), maka r = panjang PA = PA. Dengan menggunakan jarak dua titik diperoleh r = ( 1 5) (7 ( 1)) = 10 7

8 Lingkaran XI MIA 017/018 Persamaan Lingkaran : ( x a) ( y b) r (x 5) + (y + 1) = 10 (x 5) + (y + 1) = 100 c. berpusat di P(, ) dan menyinggung x + y + = 0 Jari-jari lingkaran merupakan jarak P(, ) dengan garis x + y + = 0, diperoleh : r = ax 1 by a 1 b c = Persamaan lingkaran:.. = 17 1 ( x a) ( y b) r 17 (x ) + (y ) = 1 89 (x ) + (y ) = 1 1(x ) + 1(y ) = 89 8

9 Lingkaran XI MIA 017/018 LATIHAN 1 Jawablah dengan singkat, jelas dan benar! 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan mempunyai : a. r = b. r = 1 c. r = d. r = +. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik : a. A( -, 0 ) b. B( -, ) c. C( 6, - 8 ) 9

10 Lingkaran XI MIA 017/ d. D( 0, 5 ). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis : a. x = b. x + 1 = 0 c. y = - 6 d. y 7 = 0

11 Lingkaran XI MIA 017/018. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(, - ) dan mempunyai: a. r = 8 b. r = 5. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, - ) dan mempunyai: a. r = b. r = - 6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P( -, 1 ) dan menyinggung : a. sumbu x b. x = 1 c. y = 0 d. y + = 0 7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(,0) dan melalui titik : a. (, ) b. ( - 1, - ) 8. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(- 1, ) dan melalui titik : a. ( - 7, ) b. (, ) 9. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan titik : a. A ( -, ) dan B ( 6, ) b. A (1,-) dan B(-,6) 10. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis : a. x + y + 10 = 0 b. x y = 11. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(1, -) dan menyinggung garis: a. 6y 8y = 10 b. x + y 0 = 0 1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x y 1 = 0, melalui titik pangkal O (0, 0) dan berjari-jari 5! 1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x y + 6 = 0, melalui titik pangkal O (0,0) dan menyinggung garis x y 6 = 0! 1. Tentukan pusat dan jari jari lingkaran berikut : a. x + y = 5 c. (x ) + (y + 5) = 1 b. x + y = d. (x + ) + (y 1) = Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y dengan titik pusat pada kuadran III dan berjari-jari!

12 Lingkaran XI MIA 017/018 D. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan berjari-jari r mempunyai persamaan baku ( x a) ( y b) r, jika bentuk ini dijabarkan maka diperoleh : ( x a) ( y b) r x ax + a + y by + b = r x + y ax by + a + b r = 0, misalkan A = a, B = b dan C = a + b r maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran : x y Ax By C 0 Dengan Pusat A B A B P, dan jar-jari r C Contoh Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x + y 6x + 8y = 0! Jawab : Lingkaran : x + y 6x + 8y = 0 diperoleh A = 6, B = 8 dan C = A B Pusat:, = (, ) 1 A B Jari jari = C r = ( ) ( ) = 7 Contoh Lingkaran x + y + x + by 1 = 0 melalui titik (1, 7), tentukan pusat lingkaran tersebut! Jawab : Subtitusi (1, 7) ke lingkaran x + y + x + by 1 = 0 diperoleh : b.7 1 = 0

13 Lingkaran XI MIA 017/018 7b = A B Pusat :, = (, ) b = 6 LATIHAN Jawablah dengan singkat, jelas dan benar! 1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut! a. x + y + x y + 1 = 0 c. x + y 8x + 6y = 0 b. x + y y 5 = 0 d. x + y x + y = 0. Tentukan pusat dan jari-jarinya, lingkaran yang melalui titik: a. (, ), (0, -1) dan (, 0) b. (1, ), (6, -) dan (-, -5). Lingkaran x + y x + y + c = 0 melalui titik (0, -1). Tentukan jarijarinya!. Lingkaran x + y x + 6y + m = 0 berjari-jari 5. Tentukan nilai m! 5. Lingkaran x + y + px + 6y + = 0 mempunyai jari-jari dan menyinggung sumbu X. Tentukan pusat Lingkaran! 6. Lingkaran x + y + 6x + 6y + c = 0 menyinggung garis x =, tentukan nilai c! 7. Titik (a, b) adalah pusat lingkaran x + y x + y + 1 = 0, tent. Nilai a + b! 8. Diketahui Lingk x + y px + q = 0 berjari-jari. Garis x y = 0 menyinggung lingkaran tersebut. Tent. Nilai p yang positif! 9. Tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya terletak pada garis x = dan menyinggung sumbu Y di titik (0, )! 10. Tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya terletak pada garis y = dan menyinggung sumbu X di titik ( 1, 0)! 11. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(6, ) dan menyinggung sumbu X di titik B(, 0)! 1. Tentukan persamaan lingkaran yang konsentris (sepusat) dengan lingkaran x + y x + 1y = 0 dan melalui titik A( 1, 5)! 1. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X positif dan menyinggung garis y x serta melalui titik (,5 1 )! 1

14 Lingkaran XI MIA 017/ Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari satuan dan menyinggung garis x + y 7 = 0 di titik! 1 (,0) 15. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x + y + 1 = 0, berjari-jari 5 dan menyinggung sumbu X! 16. Tentukan nilai p yang positif agar lingkaran x + y px + q = 0 dengan jari-jari menyinggung garis y = x! 17. Tunjukkan bahwa garis x + y = 0 meyinggung lingkaran yang berjar-jari dan berpusat di titik (5, 0)! 18. Lingkaran x + y + 6x + 6y + c = 0 menyinggung garis x =, tentukan nilai c! E. POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN Ada tiga kemungkinan posisi suatu titik terhadap lingkaran: 1. Titik terletak pada lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat: a. x y r atau b. ( x a) ( y b) r atau c. x y Ax By C 0. Titik terletak di dalam lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat: a. x y r atau b. ( x a) ( y b) r atau c. x y Ax By C 0. Titik terletak di luar lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat: a. x y r atau b. ( x a) ( y b) r atau c. x y Ax By C 0 1

15 Lingkaran XI MIA 017/018 Contoh 5 Tanpa menggambar pada bidang kartesius tentukan posisi titik A(1, ) terhadap lingkaran : a. x + y = 9 b. (x ) + (y + 1) = 10 c. x + y + 6x y + = 0 Jawab : a. Titik A(1, ) dan L x + y = 9 Subtitusi A(1, ) ke L x + y = 9 diperoleh 1 + = 5 < 9. Jadi A(1, ) terletak di dalam L x + y = 9. b. Titik A(1, ) dan L (x ) + (y + 1) = 10 Subtitusi A(1, ) ke L (x ) + (y + 1) = 10 diperoleh (1 ) + ( + 1) = 10 = 10. Jadi titik A(1, ) terletak pada L (x ) + (y + 1) = 10. c. Titik A(1, ) dan L x + y + 6x y + = 0 Subtitusi A(1, ) ke L x + y + 6x y + = 0 diperoleh = 10 > 0. Jadi titik A(1, ) terletak di luar L x + y + 6x y + = 0. F. JARAK TITIK PADA LINGKARAN 1. Titik di luar lingkaran C Jarak terdekat titik A dengan lingkaran = AB P B A AB = AP PB = AP r Jarak terjauh titik A dengan Lingkaran = AC AC = ( AP) ( PC) ( AP) r dengan r = jari-jari lingkaran. 15

16 Lingkaran XI MIA 017/018. Titik di dalam lingkaran C P A B Jarak terdekat titik A dengan lingkaran = AB AB = PB AP = r AP Jarak terjauh titik A dengan Lingkaran = AC AC = CP + AP = r + AP dengan r = jari-jari lingkaran. Contoh 6 Diberikan titik A(6, 8) dan L x + y = 9. Hitunglah jarak terdekat titik A ke lingkaran L! Jawab : Mula-mula kita harus mengetahui posisi titik A terhadap lingkaran L dengan cara mensubtitusi titik A(6, 8) ke L x + y = 9, diperoleh : A(6, 8) x + y = = 100 > 9 jadi titik A berada diluar lingkaran. Jarak terdekat = AP r = 16 ( 6 0) (8 0) 7 = Jadi jarak terpendek titik A ke lingkaran L adalah satuan panjang. LATIHAN Jawablah dengan singkat, jelas dan benar! 1. Tentuan posisi titik berikut terhadap lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 8! a. (,1) b. (, - ) c. (-5,7) d. (0, 8) Jawab :

17 Lingkaran XI MIA 017/018. Tentuan posisi titik berikut terhadap lingkaran ( x 1) ( y ) 16! a. (-,-) b. (-5,) c. (,1) d. (1,-) Jawab :. Tentuan posisi titik berikut terhadap lingkaran x y x 8y 5 0 a. (-,9) b. (8,1) c. (-,-1) d. (1,) Jawab : 17

18 Lingkaran XI MIA 017/018. Tentukan nilai p jika titik (-5, p) terletak pada lingkaran x + y + x 5y 1 = 0! Tentukan nilai a jika titik (, ) terletak pada lingkaran x + y + ax + 6y 7 = 0! Berapakah jarak antara titik dengan lingkaran berikut : a. (7, ) dan x + y + 6x 8y = 0 b. c. (, 5) dan x + y + x 7y 18 = 0 c. (-, 6) dan x + y = 16 d. d. (1, ) dan x + y x y + 1=

19 Lingkaran XI MIA 017/ Tentukan jarak terjauh titik P(, ) ke L (x ) + (y 1) =! Tentukan panjang garis singgung dari titik P(5, -) ke L x + y x 8y 10 = 0!

20 Lingkaran XI MIA 017/ Diketahui titik N(, 6) dan L (x + ) + (y + ) =. a. Tentukan posisi titik N terhadap lingkaran L b. Hitunglah jarak terpendek titik N ke lingkaran L c. Hitunglah jarak terjauh titik N ke lingkaran L d. Panjang garis singgung titik N ke lingkaran L Panjang garis singgung yang ditarik dari titik R(, 5) terhadap lingkaran L x + y + kx = 0 sama dengan satu satuan panjang. Hitunglah nilai k!

21 Lingkaran XI MIA 017/018 G. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN Secara geometri ada tiga kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu : (i) Garis memotong L (ii) Garis menyinggung L (iii) Garis tidak memotong L Syarat : D > 0 Syarat : D = 0 Syarat : D < 0 Dengan D = Diskriminan = b ac. Contoh 7 Tentukan posisi garis y = x + terhadap L x + y + x y + 1 = 0! Jawab : Subtitusi garis y = x + ke L x + y + x y + 1 = 0, diperoleh: x + (x + ) + x (x + ) + 1 = 0 10x + 1x + = 0 sehingga nila a = 10, b = 1 dan c = Nilai D = b ac = = 9 > 0 Karena diperoleh D > 0 maka garis y = x + memotong ligkaran L di dua titik yang berlainan. 1

22 Lingkaran XI MIA 017/018 H. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 1. Pers. Garis singgung lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran g Garis g disebut garis singgung Lingkaran L di A(x 1, y 1) titik A(x 1, y 1). P(a, b) Catatan : 1. Titik A harus pada lingkaran L.. AP tegak lurus dengan garis singgung g. Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran di titik A(x 1, y 1) : Pers. Lingkaran Pers. Garis Singgung x + y = r x 1x + y 1y = r (x a) + (y b) = r (x 1 a)(x a) + (y 1 b)(y b) = r x + y + Ax + By + C = 0 x 1x + y 1y + A (x + x 1) + B (y + y 1) + C = 0 Contoh 8 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran : a. L x + y = 5 di titik A(1, -) b. L (x + ) + (y ) = 58 di titik B(0, 9) c. L x + y + x + 8y 1 = 0 di titik C(, 1) Jawab : a. PGS L x + y = 5 di titik A(1, -) berarti x 1 = 1, y 1 = dan r = 5 PGS x 1x + y 1y = r x y = 5 atau x y 5 = 0. Jadi persamaan garis singgungnya adalah x y 5 = 0. b. PGS L (x + ) + (y ) = 58 di titik B(0, 9) berarti x 1 = 0, y 1 = 9, a = -, b =, r = 58 PGS (x 1 a)(x a) + (y 1 b)(y b) = r

23 Lingkaran XI MIA 017/018 (0 + )(x + ) + (9 )(y ) = 58 x + 7y 6 = 0 Jadi persamaan garis singgungnya adalah x + 7y 6 = 0. c. PGS L x + y + x + 8y 1 = 0 di titik C(, 1) berarti x 1 =, y 1 = 1, A =, B = 8, C = 1. PGS x 1x + y 1y + A (x + x 1) + B (y + y 1) + C = 0 x + 1.y + (x + ) + (y + 1) 1 = 0 x + 5y 1 = 0 Jadi persamaan garis singgungnya adalah x + 5y 1 = 0.. Pers. Garis singgung lingkaran Melalui suatu Titik di luar Lingkaran P R Q A(x1, y1) Langkah-langkah menentukan PGS dari titik di luar lingkaran : 1. Menentukan persamaan garis kutub ( rumus yang digunakan sama dengan rumus mencari PGS lingk. diatas). Menentukan titik singgung lingkaran (titik Q dan R) dengan mensubtitusikan pers. Garis kutub ke pers. Lingkaran.. Menentukan persamaan garis singgung di titik singgung tersebut Garis hubung QR disebut Garis kutub atau garis polar. Garis hubung AQ dan AR disebut garis singgung lingkaran.

24 Lingkaran XI MIA 017/018 Contoh 9 Tentukan PGS pada x + y = 9 yang dapat ditarik dari titik A(0, )! Jawab : (i) Menentukan persamaan garis kutub/polar dari titik A(0, ), berarti x 1 = 0, y 1 =, r = 9 Pers. Grs kutub x 1x + y 1y = r 0.x + y = 9 (ii) Menentukan titik singgung lingkaran dengan cara mensubtitusi pers. Garis polar ke pers. Lingkaran. y = 9 x + x + y = 9 9 x = x 1 = = 9 Jadi titik singgungnya = atau x = 9 7 9, dan, y = (iii) Menentukan persamaan garis singgung L x + y = 9 di titik dan 7 9, Garis singgung di titik 7 7 9, x 1x + y 1y = r x + 9 y = 9 7 x + 9y = 6 7 x + y 1 = ,

25 Lingkaran XI MIA 017/ Garis singgung di titik, 7 7 x + 9 y = 9 x 1x + y 1y = r x + 9y = 6 x y + 1 = 0 Jadi persamaan garis singgung L x + y = 9 yang ditarik dari titik A(0, ) adalah 7 x + y 1 = 0 dan 7 7 x y + 1 = 0.. Pers. Garis singgung lingkaran dengan Gradien tertentu P(a, b) PGS dengan gradien m Pers. Lingkaran Pers. Garis Singgung x + y = R y mx r 1 m (x a) + (y b) = R y b m( x a) r 1 m x + y + Ax + By + C = 0 y b m( x a) r 1 m Contoh 10 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran : a. L x + y = 9 dengan gradien b. L (x + ) + (y 1) = yang sejajar dengan garis x + y 1 = 0 c. L x + y x + 6y + 5 = 0 yang tegak lurus garis x + y = 5 5

26 Lingkaran XI MIA 017/018 Jawab: a. L x + y = 9 dengan gradien berarti m =, r = PGS y mx r 1 m y = x y = x 1 Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = x dan y = x b. L (x + ) + (y 1) = yang sejajar dengan garis x + y 1 = 0, berarti a =, b = 1, dan r =. Gradien garis x + y 1 = 0 adalah m 1 6 = PGS. Syarat dua garis sejajar m 1 = m. Jadi m = y b m( x a) r 1 m y 1 = y 1 = (x + ) (x + ) y 1 = y = x 8 10 x + y = atau x + y = 8 10 x + y = 5 atau x + y = 15 Jadi persamaan garis singgungnya adalah : x + y 5 = 0 atau x + y + 15 = 0.. (x + ) c. L x + y x + 6y + 5 = 0 yang tegak lurus garis x + y = 5 Dari L x + y x + 6y + 5 = 0 diperoleh A =, B = 6 dan C = 5 Pusat lingkaran = (1, -) dan r = = 5 1 Dari x + y = 5 diperoleh m 1 =, karena tegak lurus maka m 1.m = 1, diperoleh m = PGS y b m( x a) r 1 m y + = (x 1) 5 1

27 Lingkaran XI MIA 017/018 y + = x 5 x y 5 5 = 0 Jadi persamaan garis singgungnya adalah x y = 0 atau x y 10 = 0 LATIHAN Jawablah dengan singkat, jelas dan benar! 1. Selidiki hubungan garis dan lingkaran berikut ini : a. x + y = 0 dan x + y = 5 b. y = x dan x + y + x y + 1 = 0 c. x + y 1 = 0 dan (x ) + (y + 1) = Buktikan bahwa garis x + y = 0 menyinggung lingkaran yg berpusat di P(-1, -) dan melalui titik (1, 0). Tentukan titik singgungnya!

28 Lingkaran XI MIA 017/ Garis y = x + c menyinggung lingkaran x + y x y 15 = 0. Tent. Nilai c! Diket. Garis x y + c = 0 dan lingkaran x + y + 1x = 0. Tent. Batasbatas nilai c agar garis tersebut memotong lingkaran di dua titik yang berbeda! Tentukan nilai k agar garis y = kx tidak memotong lingkaran (x ) + (y 1) = 1! 8

29 Lingkaran XI MIA 017/ Tentukan PGS x + y = 0 dititik (, )! Tentukan PGS (x 1) + (y 5) = 9 dititik (1, )! Tentukan PGS x + y + 6x y 5 = 0 dititik (, -1)! 9

30 Lingkaran XI MIA 017/ Tentukan PGS (x ) + (y + 1) = 5 dititik (1, 0)! 10. Tenttukan PGS x + y = 6 dititik (5, - 1)! 11. Tentukan PGS x + y 6x 9y = 0 di titik (-1, )! 1. Tentukan PGS x + y + x 9y 10 = 0 di titik dengan absis! 1. Tentukan PGS x + y + x + y + 1 = 0 di titik dengan ordinat 1! 1. Tentukan PGS pada x + y = 5 yang dapat ditarik dari titik (-7, 1)! 15. Tentukan PGS pada x + y 6x 8y + 0 = 0 yang dapat ditarik dari titik O(0, 0)! 16. Tentukan persamaan garis singgung pada L x + y = 16 yang : a. Bergradien b. Tegak lurus garis y = x c. Sejajar garis x y = Tentukan persamaan garis singgung pada L 0 ( x 1 1 ) ( y 1) yang : a. bergradien 5 b. membentuk sudut terhadap sumbu X positif c. sejajar dengan garis y = x d. tegak lurus dengan garis x y + 1 = Tentukan persamaan garis singgung pada L x + y 6x + y 6 = 0 yang : a. bergradien b. tegak lurus dengan x 8y 5 = 0

31 Lingkaran XI MIA 017/018 c. sejajar dengan y + x = Garis y = x dengan lingkaran L x + y x = 0 berpotongan di titik A dan B. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter AB! 0. Tentukan Persamaan Lingkaran yang melalui titik (1, 0) dan menyinggung garis x + y = di titik (, -1)! 1. Diketahui garis y = x + 1 menyinggung lingkaran L dititik dengan absis. Garis y = x melalui pusat lingkaran L. Tentukan jari jari lingkaran L tersebut!. Titik A(r, r) terletak pada lingkaran L yang berpusat di O(0, 0). Tentukan titik potong garis yang menyinggung L di titik A dengan sumbu X!. Garis g merupakan garis singgung melalui titik A(, ) pada lingkaran 5 x y = 0. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y x + y + = 0 yang sejajar dengan garis g!. Diberikan titik R(1, ) dan lingkaran L x + y y = 1. Tentukan : a. posisi titik R terhadap L b. Persamaan garis polar lingkaran dari titik R c. Panjang AB jika A dan B titik potong garis polar dengan lingkaran d. Persamaan garis singgung yang melalui titik A dan B 5. Buktikan bahwa sudut antara dua garis singgung melalui O(0, 0) pada lingkaran (x 7) + (y + 1) = 5 adalah! 1

32 Lingkaran XI MIA 017/018 Soal Pengayaan Pilih satu jawaban yang tepat! 1. Persamaan lingkaran yang melalui titik A(1, ), B(, 1) dan C(1, 0) adalah. a. x + y + x y + 1 = 0 b. x + y + x + y + 1 = 0 c. x + y x y + 1 = 0 d. x + y x y + 1 = 0 e. x + y + x + y + 1 = 0. Persamaan lingkaran yang melalui titik A(, ) dan B(-, 5) serta pusat lingkaran pada garis x + y 11 = 0 adalah. a. x + y x 8y + 11 = 0 b. x + y x 8y + 7 = 0 c. x + y + x + 8x 11 = 0 d. x + y + x 8y + 7 = 0 e. x + y + x + 8y + 11 = 0. Agar lingkaran x + y 6x + 8y p = 0 menyinggung garis x y = 0, maka nilai p adalah. a. 0 d. 18 b. 9 e. 5 c. 11. Tempat kedudukan titik M terhadap titik P(, -1) dan Q(6, ) sehingga PM = MQ adalah lingkaran yang berpusat di titik. a. (1, -) d. (10, 5) b. (-1, ) e. (-10, -5) c. (8, 5) 5. Persamaan garis singgung lingkaran x + y x + 6y 1 = 0 pada titik (5, 1) adalah. a. x y + 19 = 0 b. x + y 19 = 0 d. x + y 19 = 0 c. x y 19 = 0 e. x + y + 19 = 0

33 Lingkaran XI MIA 017/ Diketahui lingkaran x + y px + q = 0 berjari-jari, garis x y = 0 akan menyinggung lingkaran tersebut bila nilai p yang positif sama dengan. a. b. c. d. 8 e. 7. Garis singgung lingkaran x + y = 1 di titik (, ) menyinggung lingkaran (x 7) + (y ) = p. Nilai p =. a. 5 b. 1 c. 1 d. 5 e Diketahui lingkaran x + y x + y + c = 0 melalui titik A(5, -1). Jari-jari lingkaran tersebut adalah a. d. b. e. c Jarak antara titik pusat lingkaran x x + y + = 0 dari sumbu Y adalah. a. d. 1,5 b.,5 e. 1 c. 10. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0, ) pada lingkaran x + y = 1 adalah a. y = x 7 6 d. y = x b. y = x + 1 e. y = x + c. y = x Jika lingkaran x + y + px + 10y + 9 = 0 mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu X. maka pusat lingkaran tersebut adalah. a. (-5, ) d. (-6, 5) b. (-5, ) e. (, -5) c. (6, -5) 1. Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x + y 1x + 6y 1 = 0 berturut-turut adalah. a. (, 1) dan d. (, 1) dan b. (-, 1) dan e. (-, 1) dan 6

34 Lingkaran XI MIA 017/018 c. (, -1) dan 1. Persamaan garis singgung lingkaran x + y 0x + 16y + 19 =0 di titik (6, -5) adalah. a. x + y + 9 = 0 b. x + y 9 = 0 d. x y + 9 = 0 c. x y 9 = 0 e. x + y 9 = 0 1. Persamaan garis singgung melelui titik (0, 5) pada lingkaran x + y = 0 adalah. a. x + y = 10 dan -x + y = 10 b. x + y = 10 dan x y = -10 c. x + y = 10 dan x y = 10 d. x + y = -10 dan x y = 10 e. x + y = -10 dan x y = Jika lingkaran x + y + x + ky 1 = 0 melalui titik (-, 8). Jari-jari lingkaran tersebut adalah. a. 1 d. 1 b. 5 e. 5 c Lingkaran x + y + x + py + 9 = 0 mempunyai jari-jari dan menyinggung sumbu Y. Pusat lingkaran tersebut adalah. a. (-, -1) d. (-1, 6) b. (, -1) e. (-1, ) c. (-1, -6) 17. Garis singgung lingkaran x + y = 5 di titik (-, ) menyinggung lingkaran dengan pusat (10, 5) dan jari-jari r. Nilai r = a. d. 9 b. 5 e. 11 c Persamaan lingkaran yang berpusat di O dan melalui titik (, ) adalah. a. x + y = d. x + y = 11 b. x + y = e. x + y = 1 c. x + y = Jari-jari lingkaran dengan persamaan x + y = 6 adalah.

35 Lingkaran XI MIA 017/018 5 a. d. 18 b. 6 e. 6 c Persamaan lingkaran dengan pusat (, -) dan jari-jari adalah. a. x + y x + 6x + = 0 b. x + y x + 6x = 0 c. x + y x + 6x + 5 = 0 d. x + y x + 6x 5 = 0 e. x + y x + 6x + 16 = 0 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di (, 8) dan menyinggung garis x 7 = 0 adalah a. x + y x 16y 5 = 0 b. x + y + x 16y 5 = 0 c. x + y x 16y + = 0 d. x + y + x 16y = 0 e. x + y x + 16y + = 0. Lingkaran x + y ax + 6y + 9 = 0 menyinggung sumbu X untuk a = a. -7 b. c. d. e. 7. Pusat lingkaran x + y x + 6y 1 = 0 adalah 1 a. (, 1) d.,5 b. (, -) e.,1 c. (-, ). Persamaan lingkaran berpusat di (, ) yang melalui (5, -1) adalah a. x + y x 6y 1 = 0 b. x + y x 6y 5 = 0 c. x + y x 6y 1 = 0 d. x + y x y 10 = 0 e. x + y + x + y + 5 = 0 5. Persamaan lingakaran yang berpusat di (-, 7) dan berjari-jari 6 adalah a. x + y 8x 1y 6 = 0

36 Lingkaran XI MIA 017/018 b. x + y 8x + 1y 6 = 0 c. x + y + 8x 1y 6 = 0 d. x + y 8x 1y 9 = 0 e. x + y + 8x 1y + 9 = 0 6. Lingkaran (x a) + (y b) = 81 akan menyinggung sumbu X jika a. a = 81 d. a = 9 atau a = -9 b. b = 81 e. b = 9 atau b = -9 c. a = 9 7. Jari-jari lingkaran x + y x + 6y + 1 = 0 adalah a. 1 b. c. d. e Lingkaran x + y + x + 6y (8 + b) = 0 memiliki jari-jari 5, maka nilai b adalah a. 1 b. c. d. e Persamaan garis singgung di titik (-, ) pada lingkaran x + y = 5 adalah a. y x + 5 = 0 d. y + x 5 = 0 b. y + x 5 = 0 e. y x 5 = 0 c. y x + 5 = 0 0. Persamaan garis singgung melalui (5, 1) pada lingkaran x + y x + 6y 1 = 0 adalah a. x + y 19 = 0 d. x y + 19 = 0 b. x y 19 = 0 e. x 7y 6 = 0 c. x + 7y 6 = 0 1. Jarak terdekat antara titik (-7, ) ke lingkaran x + y 10x 1y 151 = 0 adalah a. b. c. d. 8 e. 1. Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x + y +x 5y 1 = 0, maka nilai k adalah a. -1 atau - d. 0 atau b. atau e. 1 atau -6 c. -1 atau 6. Persamaan lingkaran dengan pusat di (-, ) dan menyinggung sumbu Y adalah 6

37 Lingkaran XI MIA 017/018 a. x + y + x 6y + 9 = 0 b. x + y + x 6y 9 = 0 c. x + y x + 6y + 9 = 0 d. x + y x 6y + 9 = 0 e. x + y x 6y 9 = 0. Lingkaran x + y + x 6y + c = 0 melalui titik (-5, 7). Jari-jari lingkaran adalah 7 a. 5 b. c. 15 d. e Persamaan garis yang sejajar dengan garis x y = 10 dan membagi lingkaran x + y + x + = 0 atas dua bagian yang sama adalah a. x y + = 0 b. x y = 0 d. x + y + = 0 c. x + y = 0 e. x y + = 0 6. Garis singgung lingkaran x + y = 1 dititik (, ) menyinggung lingkaran (x 7) + (y ) = a. Nilai a adalah a. 5 b. 1 c. 5 d. 1 e Garis lurus yang di tarik dari titik O(0, 0) dan menyinggung lingkaran dengan persamaan x + y +8x y + = 0 ada buah. Gradien dari kedua garis singgung adalah a. -1 atau 7 d. 1 atau -7 b. -1 atau -7 e. 1 atau 1 / 7 c. 1 atau 7 8. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran x + y x + y = 0 yang sejajar dengan garis 5x 1y + 15 = 0 adalah a. 5x 1y + 10 = 0 b. 5x 1y 10 = 0 d. 5x + 1y + 10 = 0 c. 5x + 1y 10 = 0 e. 5x 1y + 68 = 0 9. Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 9 cm dan cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 0 cm. maka panjang garis singgung persekutuan dalam dari kedua lingkaran tersebut adalah a. 1 cm d. 18 cm b. 1 cm e. 0 cm c. 16 cm

38 Lingkaran XI MIA 017/ Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 11 cm dan cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 5 cm. maka panjang garis singgung persekutuan luar dari kedua lingkaran tersebut adalah a. cm d. 8 cm b. cm e. 0 cm c. 6 cm 8

39 Lingkaran XI MIA 017/018 Glosarry Lingkaran Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama ( jari-jari linkaran ) terhadap sebuah titik tertentu ( pusat lingkaran ) yang digambarkan pada bidang kartesius. Garis Kutub Garis yang menghubungkan titik singgung yang satu dengan titik singgung yang lain pada lingkaran. Gradien Perbandingan garis yang menyinggung lingkaran. 9

40 Lingkaran XI MIA 017/018 Daftar Pustaka Drs. Sumadi dkk Matematika SMU A. Solo : Tiga Serangkai. Sukino Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta : Erlangga. Tim Galaksi. 00. GALAKSI SMU Matematika II A. Klaten : CV.Merpati. Tim Penyusun Soal Pemantapan UN Matematika. Bandung : Yrama Widya. 0