PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan

Transkripsi

1 PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor arah bidang itu adalah : [ Z [ ] dan ] R P T Q Y X Untuk sembarang titik pada bidang V berlaku : Tetapi dari gambar tampak pula bahwa Subtitusi ke 3 diperoleh atau [ ][ ] [ 3 ℜ ] 4 [ yang merupakan bentuk vector persamaan bidang rata yang melalui tiga titik. ] 5 Persamaan 5 dapat dituliskan sebagai [ ][ ] [ ] [ ] 6

2 merupakan persamaan bidang rata dalam bentuk vector yang melalui titik vektor arahnya [ ] dan [ ]. dengan vector- atau... 7 yang disebut sebagai persamaan parameter bidang rata dan pada persamaan a dan b di eliminasikan dengan cara mengalikan mengalikan pada b kemudian di perkurangkan diperoleh : Dengan cara serupa diperoleh Selanjutnya dan atau atau di subtitusikan ke c : [ Selanjutnya 9 dapat dituliskan sebagai : yang merupakan persamaan linier bidang rata [ yang merupakan persamaan bidang rata melalui titik diperoleh ] pada a dan ] 8 9 dengan vector normal [ ]. dengan dan ; ;

3 [ ] disebut vector normal bidang rata V dengan [ ] yang merupakan vector yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh dan yaitu : Hal-Hal Khusus. maka bidang sumbu Y di. memotong sumbu X di dan memotong sumbu Z di Z bidang V sejajar sumbu X bidang V sejajar sumbu Z 3 X bidang V sejajar bidang XOZ bidang V sejajar bidang YOZ Persamaan bidang rata yang melalui 3 titik mempunyai persamaan dalam bentuk determinan : Persamaan bidang rata yang melalui titik [ Y 3 bidang V sejajar bidang XOY memotong 3 bidang sejajar sumbu Z bidang V sejajar sumbu Y CATATAN. maka bidang V melalui titik O sebaliknya. jika ] dan [ dan dengan vector-vektor arahnya ] mempunyai persamaan dalam bentuk determinan

4 3. Persamaan bidang rata yang melalui 4 titik mempunyai persamaan dalam bentuk determinan : dan 4. Jarak titik Px y z ke bidang Ax By Cz D Ax By Cz D d A B C 5. Jarak dua bidang sejajar H : ax by cz m dan H : ax by cz n dengan n Ambil titik P z pada H berarti P c n Jarak P ke H : c d 6. Bidang sejajar SOAL-SOAL a b c a b c n m c mn a b c H :A xb yc zd H :A xb yc zd A B C H H A B C. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik-titik 3 3 dan 3. Jwb : Persamaan bidang rata melalui 3 dan sejajar sumbu Z diantaranya adalah 4 3. Bidang rata 3 adalah melalui titik asal O 4. Persamaan parameter bidang ratayang melalui titiktitik A43 B-35 dan C65 adalah Tentukan persamaan linier bidang rata yang memotong OX di P dimana memotong OY di Q dimana 3 dan memotong OZ di R dimana Jwab Bidang yang dimaksud melalui titik-titik 3 dan - dengan persamaan 3

5 SUDUT ANTARA DUA BIDANG DATAR Ternyata bahwa : cos atau [cos cos.. ; cos cos ] dengan juga berarti isalakan bidang rata H: Ax By Cz D dengan vektor normal [ ] dan dan berturut-turut sudut antara vektor normal dengan sumbu-sumbu koordinat yang arahnya ditentukan oleh vektor-vektor dan [ ].. dan cos yang merupakan vektor normal satuan yang searah. Sudut antara dua bidang rata Sudut antara bidang rata : : adalah sudut antara vektor-vektor normalnya. normal maka. cos Bidang [.. sejajar bidang bila dan ] [ ] dimana. dan bidang rata adalah sudut yang dibentuk oleh vektor. atau berarti Bidang saling tegak lurus bila tegak lurus berarti. Contoh Tentukan sudut antara bidang : 4 dan : 3 4. Jawab Vektor-vektor normal masing-masing [] dan [34] maka cos Jadi Contoh Tentukan persamaan bidang rata melalui titik dan sejajar bidang rata : 3 5. Jawab Vektor normal bidang rata H adalah [35] berarti bidang yang sejajar dengan H mempunyai vektor normal yang sama yakni [35]. isalkan persamaan linier bidang rata

6 tersebut adalah 3 5. Bidang ini diketahui melalui titik berarti memenuhi 3 5 diperoleh. Jadi persamaan bidang rata yang melalui titik dan sejajar bidang rata : 3 5 adalah 3 5. Contoh 3 Tentukan persamaan bidang rata melalui titik dan titik 3 serta tegak lurus bidang rata : 3 4 Jawab isalkan bidang yang dicari adalah : Karena bidang tegak lurus bidang berarti Diketahui pula bidang melalui O berarti... 3 Diketahui pula bidang melalui berarti... 3 atau Subtitusi ke 3 diperolah Persamaan Persamaan 4 dikali dua bagi dengan Subtitusi 5 ke diperoleh Jadi persamaan bidang : I diperoleh TEPAT KEDUDUKAN TK Tempat Kedudukan TK merupakan himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan. TK mungkin merupakan : himpunan kosong sebuah titik berupa kurva garis lurus atau garis lengkung berupa permukaan bidang rata atau bidang lengkung ataupun seluruh ruang itu. enjalankan titik Ambil titik sembarang pada TK kemudian cari hubungan-hubungan antara yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan. Dengan menjalankan titik ataumenghapus indeks nol dari hubungan-hubungan tersebut diperoleh TK yang diminta. Contoh. Tentukan TK yang berjarak 3 satuan dari bidang XOZ dan jumlah kuadrat jaraknya ke titik dan adalah tetap 3 Solusi

7 Ambil titik pada TK Berjarak 3 satuan dari bidang XOZ yaitu bidang. Ini berarti : 3 atau 3 * Jumlah Kuadrat titik P ke titik dan adalah 3 i ii iii [ ] [ 4 ] atau 3 ** Dari * dan ** titik P dijalankan sehingga diperoleh TK : Atau ditulis dalam notasi himpunan TK : { 9} { Berupa apakah TK ini? Perpotongan bidang rata dengan bola berbentuk lingkaran?? 3 9 }. II PERSAAAN BOLA Permukaan kulit bola merupakan TK yang vektor di dalam yang titik awalnya tertentu pusat bola dan panjang yang konstan sebagai jari-jari bola. Atau permukaan bola merupakan TK titik-titik di dalam ruang yang berjarak sama Jari-jari terhadap sebuah titik tertentu pusat bola. Persamaan Bola isalkan pusat bola adalah Jari-jari R Gambar. maka [ Karena atau maka dan ] O Gambar.: Bola

8 Dengan menjalankan titik P diperoleh yang merupakan persamaan bola berpusat di. dan berjari-jari R. Persamaan bola yang berpusat dititik asal dan berjari-jari R adalah : Secara umum persamaan bola adalah berbentuk Sehingga pusat bola adalah : dan Jari-jari bola adalah :..3.4 > maka bola merupakan sebuah titik < maka bola merupakan bola khayal Secara simbolis persamaan bola dapat dituliskan sebagai yang memiliki 4 parameter ABC dan D jadi suatu bola akan tertentu jika diketahui melalui 4 buah titik yang tidak sebidang. Contoh. Tentukan pusat dan jari-jari bola : Solusi Diketahui Pusat bola Jari-jari bola 4 6 dan maka 4 6 Persamaan bola melalui 4 buah titik dihitung melalui persamaan determinan berikut : 3 dan dan dapat

9 Contoh. dan Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik Solusi Cara I isalkan persamaan bola S adalah : Karena bola melalui titik maka Bola melalui maka Bola melalui maka Bola melalui maka iv 4 ii i iii Dari persamaan i sampai iv diperoleh yang melalui ke 4 titik tersebut adalah: dan D sehingga persamaan bola Cara lain Gunakan determinan 4 4 menjadi

10 menjadi KEDUDUKAN BIDANG RATA DENGAN BOLA isalkan suatu bola berjari-jari R dan sebuah bidang rata pusat bola ke bidang H maka.. 3. dengan adalah jarak titik < maka bidang H memotong bola perpotongannya berupa lingkaran Gbr.a maka bidang H menyinggung bola terdapat sebuah titik persekutuan Gbr.b > maka bidang H tidak memotong bola Gbr.c H Gbr..b Gbr..a Contoh.3 a. Tentukan kedudukan bola S : : Solusi Ingat persamaan bidangb rata H: Jarak ke bidang H : Karena d Gbr..c 6 8 terhadap bidang 3 4 dan jari-jari bola adalah Pusat bola adalah H disisni 5 6 < maka bidang H memotong bola dengan perpotongan berup lingkaran. b. Dari soal a Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran tersebut PR maka

11 Jwb dan pusat lingkaran PERSAAAN BIDANG SINGGUNG PADA BOLA isalkan suatu bola S: berpusat di dan misalkan suatu titik pada bola. Pusat bola adalah dan titik singgung adalah. Tampak pada gambar bahwa merupakan vektor normal dari bidang singgung H : Karena. Sehingga persamaan bidang singgung H adalah pada bola maka memenuhi bola * ** Dari dan diperoleh persamaan bidang singgung pada bola yaitu Rumus ini dikenal dengan embagi adil yaitu menjadi dan menjadi Contoh.4 Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik pada bola di titik Solusi : Diskusi kelas Subtitusi titik pada bola diperoleh 6 8 diperoleh dan 4. Jadi titik singgung pada bola adalah dan 4. Pers. Bid.singgung... Kedudukan antara dua bola pusat isalakan terdapat dua bola : pusat dan dan grs sentral jari jari jari jari aka. Kedua bola tidak berpotongan >. Kedua bola bersinggungan luar 3. Kedua bola berpotongan < < 4. Kedua bola bersinggungan dalam 5. Salah satu bola berada dalam bola yang lain < S S R R d R R d R R d 3

12 S S S S d d 5 4 Soal Latihan. Selidiki apakah bidang- bidang rata H : 3x y 4z dan H : 6x 4y 8z 3 sejajar? iya tentukan jaraknya dan sketsa grafiknya. 35 dan 37.. elalui tiga titik Tentukan persamaan bidang datar dalam bentuk a Parameter b persamaan linier. 3. Diberikan bola : 6 4 dan bidang :. a. Tentukan kedudukan bidang rata H terhadap bola S b. seandainya bidang memotong bola tentukan jari-jari dan pusat lingkaran perpotongannya. 4. Tentukan Tempat Kedudukan TK titik-titik yang berjarak satuan dari bidang XOY dan jumlah kuadrat jaraknya ke titik-titik dan adalah konstan 5. Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik pada bola : Tentukan kedudukan bola : 9 dan : 6 Solusi soal latihan. jadi bidang-bidang dan saling sejajar. Untuk menentukan jarak Pilih sebarang titik misalnya P z titik P adalah P. pada H z sehingga koordinat Jarak titik Px y z ke bidang Ax By Cz D d Jadi jarak titik P ke H adalah d.. Vektor-vektor arah bidang datar adalah

13 [ ] [ ] [3] [ ] [ ] [5] a Persamaan vektorial bidang datar melalui tiga titik P Q dan R adalah [ ] [ ] [ ] [ ] [] [3] [5] Persamaan bidang datar dalam bentuk parameter adalah: b 3 5 Vector normal bidang data melalui tiga titik [A B C] x x y y [ ] x x x x 3 5 z z y y y y 3 5 y y z z z z z z z z x x x x y y Jadi vektor normal bidang rata adalah [ ] [4 5] Konstanta D dapat dihitung dari bidang rata : 4 5 D D 3 Jadi persamaan bidang rata bentuk linier adalah 3. Persamaan bola Pusat Ax By Cz D 4x 5y z 3 dan jari-jari mempunyai Jadi pusat bola 3 dan jari-jari 5 5 Jarak titik 3 ke bidang rata : adalah a. b. d 3. Karena < maka bola memotong bidang rata berupa lingkaran berjari-jari r. enurut Phytagoras Jadi 4. Untuk menentukan pusat lingkaran dibuat garis g melalui pusta bola dan tegak lurus bidang H. Vektor normal bidang H adalah [ ] [] jadi persamaan garis g adalah g: 3 yang disubtitusikan ke dalam : diperoleh 3 diperoleh 4. 3 Jadi pusat lingkaran potong adalah dan.. Selanjutnya nilai disubtitusi ke dalam g Ambil titik Syarat I berjarak satuan dari bidang XOY berarti atau * Syarat II jumlah kuadrat jarak ke titik-titik dan adalah konstan berarti atau 5. ** Dari * dan ** indeks dijalankan diperoleh TK 4 5 yang merupakan sebuah lingkaran irisan bidang rata dan bola atau dengan notasi himpunan : { 4} { 5}

14 5. Titik pada bola berarti 4 3 atau dan 3 Dengan sistem bagi adali persamaan bidang singgung di adalah atau Persamaan bidang singgung di adalah atau Bola : 3 9 dan 3 3. Jadi titiik-titik singgung pada bola adalah : Karena < < < < 7 jadi kedua bola berpotongan.