LINGKARAN. Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Perhatikan gambar berikut.

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "LINGKARAN. Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Perhatikan gambar berikut."

Hartanti Johan
6 tahun lalu
Tontonan:

1 LINGKARAN Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap titik tertentu. Perhatikan gambar berikut. r P Titik P disebut pusat, sedangkan Jarak P ke lingkaran dinamakan jari-jari. Lingkaran merupakan salah satu irisan kerucut. Maksudna jika suatu kerucut dipotong oleh bidang datar ang tegak lurus sumbuna maka dihasilkan bidang ang disebut lingkaran A. Persamaan Lingkaran. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan Jarijari r O P(x,) Berdasarkar definisi, Jarak titik O ke P (OP) = r OP = r ( x 0) + ( 0) = r (jika kedua ruas dikuadratkan didapat) x + = r Jadi Persamaan Lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari-jari r adalah : x + = r

2 . Pers Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dengan jari-jari r Perhatikan gambar berikut. Y P(x,) M(a,b) O X Jarak M ke P (MP) = r MP = r ( x a ) + ( b) = ( x a ) + ( b ) = r Jadi persamaan Lingkaran dengan pusat M(a,b) dan r ( x a ) + ( b ) = r Jari-jari r adalah Dari persamaan ( x a ) + ( b ) = r dapat diuraikan sebagai berikut. ( x a ) + ( b ) = r x ax + a + b + b = r x + ax b + a + b r = 0 (i) Misalkan A = -a, B = -b, dan C = a + b r maka persamaan (i) menjadi x + + Ax + B + C = 0 Pusat Lingk M(a,b) menjadi M( A B ) Jari-jari r = r = a + b C atau, A + B ) ( ) ( C = A + B C Jadi Pers Umum Lingkaran : x + + Ax + B + C = 0 pusat M( B A ) dan r = A + B C,

3 Contoh : Tentukan Pusat dan Jari-jari dari Lingkaran dengan persamaan :. x + = 6. (x ) + ( ) = 9 3. x + ( + 3) 5 = 0. x + + x = 0 5. x + x + = Perhatikan Dari persamaan Lingkaran : x + + Ax + B + C = 0 pusat M( A B ) dan jar-jari r = A + B C, a. Jika A + B > C b. Jika A + B < C maka pusat riil dan r riil maka pusat riil dan r khaal c. Jika A + B = C maka pusat riil dan r nol. Lingkaran ini dinamakn lingkaran titik. Perhatikan dari kasus ke-3 ( x + A) + ( + B) = 0 {( + B) + i ( x + A)}{( + B) + i ( x + A)} = + ( ) B = i x + A atau + B = i ( x + A 0 ) Jadi lingkaran nol, jika pada bidang kompleks berubah menjadi sebuah garis isotroop ang melalui titik pusatna. Melalui tiga titik ang tidak kolinier dapat dibuat tepat satu lingkaran. Misalkan titik tersebut adalah P(a,b), Q (c,d) dan R (e,f) Persamaanna dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. Memisalkan persamaan lingkaran x + + Ax + B + C = 0 kemudian titik ang diketahui disubstitusikan sehingga didapat tiga persamaan. Karena ada tiga variabel dan tiga pers maka dapat ditentukan nilai A, B dan C

4 . Dengan menggunakan diterminan matriks berikut. + x a + b a b c + d c d = 0 e + f e f B. Persamaan Garis singgung Lingkaran. Persamaan Garis singgung Lingkaran di titik (x, ) pada Lingkaran. a. Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r P(x, ) Misalkan pers garis tsb bergradien m Gradien garis OP adalah. Karena garis x tersebut tegak lurus garis OP maka m = Pers garis melalui (x, ) gradien = x ( x x ) x x adalah = - x x + x + x x = x + (P pd Lingk shg x + =r ) + x x = r

5 Jadi pers garis singgung Lingk dgn pusat O(0,0) jari-jari r dititik P(x, ) ang terletak pada lingk adalah + x x = r b. Lingkaran dengan pusat M(a,b) jari-jari r P(x, ) M(a,b) Jika pusat sumbu koordinat digeser ke M(a,b), berarti titik P(x, ) dipandang dari sumbu ang baru adalah P (x, ) dengan x = x + a dan = + b Berdasarkan dari bahasan sebelumna, persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari r di titik P (x, ) ang terletak pada lingkaran adalah + x x = r Selanjutna jika pusatna dikembalikan pada O(0,0) maka menjadi ( b)( b) + (x a) (x a) = r Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b) jari-jari r di titik P(x, ) ang terletak pada lingkaran adalah ( b)( b) + (x a) (x a) = r Selanjutna jika pusatna M( A B ) dan jar-jari r =, A + B C maka persamaan garis singgunna menjadi ( b)( b) + (x a) (x a) = r ( + B ) ( + B ) + (x + A ) (x + A ) = A + B C + B (+ ) + B + xx + A(x+ x ) + A = A + B C + B (+ ) + xx + A(x+ x ) + C = 0 Jadi pers garis singgung lingkaran x + + Ax + B + C = 0 di titik P(x, ) ang terletak pada lingkaran adalah + B (+ ) + xx + A (x+ x ) + C = 0

6 . Persamaan Garis singgung Lingkaran bergradien m. a. Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r = mx + n Misalkan Persamaan garis tersebut = mx + n. Dipotongkan pada lingkaran x + = r sehingga didapat persamaan : x + (mx + n ) = r x + m x + mn x + n r = 0 ( + m ) x + mn x + n r = 0 Persamaan Kuadrat dalam x sehingga sarat memotong pada satu titik D=0 Didapat : m n ( + m )(n r ) = 0 m n n - m n + r + m n = 0 n + r + m r = 0 n = r + m r n = ± r m + Jadi persamaan garis singgung lingkaran x + = r ang bergradien m adalah = mx ± r m +

7 b. Lingkaran dengan pusat M(a,b) dengan jari-jari r Perhatikan gambar 5. Geser pusat sumbu koordinat ke M(a,b) sehingga didapat sumbu ang baru X dan Y Y Y (a,b) X X Sehingga persamaan lingkaran pada sumbu ang baru adalah x + = r Pers garis singgung bergradien m pada lingkaran x + = r adalah = mx ± r m + (i) Perhatikan hub titik pd sumbu lama dan baru x = x a dan = b (ii) Dari (i) dan (ii) didpt ( b) = m(x a) ± r m + Jadi persamaan garis singgung lingkaran ( x a ) + ( b ) = r ang bergradien m adalah ( b) = m(x a) ± r m + Selanjutna jika persamaan lingkaran dinatakan dalam bentuk x + + Ax + B + C = 0, persamamaan garis singgung bergradien m adalah ( + B ) = m (x + A) ± A + B C m + atau ( + B ) = m (x + A) ± ( A + B C) ( m + )

8 3. Persamaan garis singgung dari titik (x, ) ang terletak di luar lingkaran a. Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r P(x, ) Misalkan persamaan garis melalui P memotong lingkaran pada Q(a,b) Pers garis singgung di titik Q adalah b + xa = r Garis tsb melalui P shg dipenuhi b + x a = r...(i) Titik Q pada lingkaran sehingga a + b = r... (ii) Dari (i) dan (ii) dapat ditentukan nilai a dan b. a + r ( ) = r ax a x a + r ( ) = Pers terakhir merupakan pers kuadrat dalam a. Shg didpt dua nilai a, kemudian disubstitusikan ke (i) atau (ii) didapat nilai b Persamaan garis singgungna adalah persamaan garis melalui titik (a,b) dan (x, ). Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + = dari titik (3,6) 0

9 . Garis Kutub a. Persamaan garis kutub lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r dari titik P(x, ) Perhatikan gb berikut. Dari titik P dibuat garis singgung lingkaran n dan n. Garis singgung tersebut memotong Lingkaran di Q dan R. Garis k ang melalui Q dan R dinamakan garis kutub. P(x, ) n n k Titik Q (a,b) dan R (c,d). Gradien garis k adlh m = d b c a Gradien garis melalui O dan P adalah m = x Pers garis singgung melalui (a,b) adalah ax + b = r Garis tersebut melalui (x, ) maka ax + b = r.. () x Pers garis melalui Q(a,b) gradien adalah x b = (x a) atau b = -xx + ax atau + xx = b + ax ( dari ()) + xx = r Jadi pers garis kutub dari (x, ) adalah + xx = r

10 B. Hubungan dua Lingkaran. Dua Lingkaran berpotongan tegak lurus L : x + + A x + B + C = 0 L : x + + A x + B + C = 0 Berpotongan tegaklurus maka (M M ) = r + r M (- ½ A, - ½ B ) dan M (- ½ A, - ½ B ) r = A + B C dan r = A + B C (- ½ A +½A ) +(-½B + ½ B ) = A + C B + A + C B - ½ A A - ½ B B = -C -C -½ A A + ½ B B = C + C. Dua lingkaran ang saling berpotongan dan salah satu membagi lingkaran ang lain sama besar L : x + + A x + B + C = 0 L : x + + A x + B + C = 0 L membagi L menjadi sama besar, maka (M M ) = r - r Catatan : Sudut potong dua lingkaran adalah sudut ang dibentuk oleh perpotongan garis singgung ang ditarik dari pusat.

11 C Garis Kuasa. Kuasa ttitik pada Lingkaran Kuasa titik (x, ) terletak diluar lingkaran maka kuasana merupakan kuadratna jarak titik tersebut ke titik singgung lingkaran dari garis singgung ang dibuat dari titik tersebut pada lingkaran. A D M C B(x, ) F E M pusat lingkaran L : x + + Ax + B + C = 0 Ingat dalam geometri berlaku : [BA] = [BE] [BF] = [BC] [BD] Hasil kali ini kuasa titik B terhadap lingkaran L [BC] [BD] = [BM r] [ BM + r ] = [BM] r = (x + ½ A) + ( + ½ B) ( A + B C ) = x + + Ax + B + C Jadi kuasa titik B(x, ) thdp lingkaran L adalah x + + Ax + B + C. garis Kuasa. Garis Kuasa adalah tempat kedudukan titik-titik ang memiliki kuasa sama terhadap dua linkaran. Misalkan diketahui lingkaran : L : x + + A x + B + C = 0 L : x + + A x + B + C = 0 Misalkan titik (x, ) memiki kuasa sama terhadap L dan L maka dipenuhi : x + + A x + B + C = x + + A x + B + C atau (A - A ) x + (B - B ) + C - C = 0 Jelas tempat kedudukan tersebut berupa garis lurus ang melalui (x, ) Sehingga kalau dijalankan didapat : (A - A ) x + (B - B ) + C - C = 0 A A Gradien garis tersebut adalah B B Gradien perpusatan adalah B + + B A A Terlihat bahwa perkalian gradiena adalah - sehingga garis tersebut tegak lurus dengan perpusatan.

12 Soal. Tentukan persamaan lingkaran ang titik pusatna terletak pada garis x = 0 dan meninggung sumbu. Jika dari titik (, -) terhadap lingkaran (x + 3) + ( ) = 9 maka tentukan persamaan garis ang menghubungkan kedua titik singgungna. 3. Diketahui lingkaran L

dokumen-dokumen yang mirip

BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN

STANDAR KOMPETENSI: BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN Menusun persamaan lingkaran dan garis singgungna. KOMPETENSI DASAR Menusun persamaan lingkaran ang memenuhi persaratan ang ditentukan Menentukan persamaan