MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
|
|
- Sucianty Jayadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran. Contohnya gambar di atas, yaitu bola, ban, cd, cincin dan masih banyak lagi. Benda-benda tersebut adalah benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran. Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar XY) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Bola adalah himpunan titik-titik tertentu (pada bidang XYZ). yang berjarak sama dari suatu titik Pada bab ini terdiri atas 3 kegiatan belajar. Tujuan dari ke tiga kegiatan belajar ini adalah anda akan merumuskan persamaan lingkaran dan bola, bentuk umum persamaan lingkaran dan bola, menentukan garis singgung lingkaran dan menentukann bidang singgung bola.
2 2 KEGIATAN BELAJAR 7 Persamaan Lingkaran dan Bola Setelah mempelajari kegiatan belajar 7 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari, tentu Anda banyak sekali melihat atau menemukan bangun-bangun yang permukaanya berbentuk lingkaran, bola, dan sebagainya. Coba Anda catat bangun-bangun apa saja yang permukaannya berbentuk lingkaran, bukan lingkaran, bola dan bukan bola. Pelajari ciri-ciri apa saja yang Anda temukan pada bangun-bangun yang termasuk lingkaran dan bola. Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan lingkaran dan bola. A. Menentukan Persamaan Lingkaran Ilustrasi 7.1: 7 Anda tentu sangat mengenal sekali benda yang bernama sepeda. Sepeda merupakan salah satu alat transportasi yang memanfaatkan bangun berbentuk lingkaran untuk bergerak. Bangun lingkaran pada sepeda diantaranya terdapat pada roda depan, roda belakang, roda-roda gigi depan dan belakang. Perhatikan gambar sepeda di bawah ini (Gambar 7.1).
3 3 Sumber: Gambar sepeda balap Lingkaran-lingkaran tersebut mempunyai ukuran dan letak yang berbeda-beda. Ukuran lingkaran ditentukan oleh panjang jari-jarinya sedangkan letaknya ditentukan oleh posisi titik pusatnya. Definisi 1: Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran (radius). Sekarang kita pindahkan gambar roda sepeda (Gambar 7.1) pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 7.2 di bawah ini. Sumber: Gambar roda sepeda balap dan lingkaran pada koordinat cartesius
4 4 Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan lingkarannya? Untuk menentukan persamaan lingkaran berdasarkan panjang jari-jari dan letak titik pusatnya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 7.1 Menentukan Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) Langkah-langkahnya: 1. Gambarkan sebuah lingkaran dengan mengambil titik pusat di sebarang titik selain titik (0,0) (beri nama titik tersebut yaitu titik (, )) dan jarijarinya. 2. Kemudian buatlah sebuah titik sebarang pada lingkaran tersebut, misalkan (, ). Jarak antara titik T dan titik P adalah ( ) + ( ). 3. Karena jarak titik T dan titik P merupakan jari-jari lingkaran yaitu, maka diperoleh hubungan yaitu ( ) + ( ) = atau ( ) + ( ) = (1) Karena (, ) sebarang titik pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran tersebut memenuhi persamaan (1). Sehingga diperoleh persamaan (1) adalah kumpulan titik itu membentuk persamaan lingkaran yang berpusat di titik (, ) dengan jari-jari satuan. Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat lingkaran (, ) adalah (0,0), maka persamaan (1) menjadi: ( 0) + ( 0) =, sehingga diperoleh persamaan + = (2) Persamaan (2) merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jarijari. Cara lain dalam menemukan konsep persamaan lingkaran yang berpusat (, ) yaitu dengan menggunakan rumus translasi sumbu koordinat seperti yang terlihat pada Gambar 7.3 di bawah ini.
5 5 Gambar Translasi (0,0) (a,b) Menemukan hubungan antara dan serta dan. Garis, adalah sumbu baru sejajar, sumbu lama dan melalui (, ). Dengan menggeser titik pusat (0, 0) ke titik (, ), maka didapat hubungan bahwa: = + = = = Terhadap sistem, maka persamaa lingkaran (, ) yang oleh sistem dinyatakan dengan (0, 0) dan jari-jari adalah ( ) + ( ) = yang jika dinyatakan dalam susunan sistem menjadi: ( ) + ( ) = Jika diganti dengan dan diganti dengan maka persamaan di atas sama dengan bentuk pada persamaan (1) yaitu ( ) + ( ) =. Masalah 7.1 Tentukan koordinat pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan = 0 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari persamaan = 0 akan dibentuk menjadi persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) yaitu ( ) + ( ) =. Maka persamaan = 0 dibagi 4 pada kedua ruas sehingga diperoleh = 0.
6 6 Selanjutnya = 0 dijadikan kuadran sempurna yaitu = Sehingga diperoleh + ( + 2) = 9 Jadi koordinat pusat lingkaran adalah, 2 dan jari-jari adalah 3. Setelah memahami persamaan lingkaran di atas, sekarang Anda lanjutkan untuk memahami materi bola di bawah ini B. Menentukan Persamaan Bola Ilustrasi 7.2: Mungkin Anda tidak asing dengan benda yang namanya bola. Benda yang berbentuk bola ini sering Anda gunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dalam permainan basket, voly, sepak bola, golf, kasti, dan lain sebagainya. Bola memiliki ukuran yang berbeda-beda tergantung jenis permainannya. Perhatikan Gambar bola di bawah ini. Sumber: Gambar Bola Sesuai dengan namanya, bola termasuk bangun ruang. Tahukah Anda apa itu bola? Definisi 2: Bola (permukaan bola) adalah himpunan titik-titik di ruang dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut dengan jari-jari bola sedangkan titik tertentu itu dinamakan dengan titik pusat bola. Definisi 3: 3 Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik ujung vektor di dalam ruang yang titik pangkalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik pangkal tertentu itu disebut titik pusat bola, dan panjang vektor yang konstan
7 7 itu disebut jari-jari bola. Sekarang kita pidahkan gambar bola tersebut pada Koordinat Cartesius tiga dimensi. Seperti yang terlihat pada (Gambar 7.5) di bawah ini. Sumber: Gambar 7.5 bola sepa ak dan bola pada sistem koordinat Tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan bola jika unsur-unsur bolanya diketahui? Untuk menentukan persamaan bola dengan pusat (,, ) lakukanlah kegiatan 7.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda. Kegiatan 7.2 Menentukan Persamaan bola dengan pusat (,, ) Langkah-langkahnya: 1. Gambarkan sebuah bola pada ruang dimensi tiga, dengan titik pusat (,, ) dan jari-jari.. 2. Ambil atau buat sebuah titik sebarang (,, ) pada permukaan bola tersebut. Gamba ar Bola pada sistem koordinat 3. Vektor =,, dengan =, = =,, Kemudian kuadratkan vektor tersebut, sehingga persamaannyaa menjadi
8 8 = ( ) + ( ) + ( ) = = jari-jari bola atau = ( ) + ( ) + ( ) 4. Karena (,, ) adalah sebarang titik pada permukaan bola, maka persamaan ( ) + ( ) + ( ) = merupakan persamaan bola dengan pusat (,, ) dan jari-jari =. Persamaan bola dengan pusat (,, ) dan jari-jari = adalah ( ) + ( ) + ( ) = (3) Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat persamaan bola ( ) + ( ) + ( ) = adalah titik pangkal (0, 0, 0), maka persamaan itu menjadi: ( 0) + ( 0) + ( 0) = atau + + = (4) Sehingga persamaan (4) merupakan persamaan bola dengan pusat (0, 0, 0) dan jari-jari =. Masalah 7.2 Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik (1,2,3) dan melalui titik (2,4,1). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Jari-jari bola adalah jarak dua titik yang diketahui tersebut, yaitu = (2 1) + (4 2) + (1 3) = = 3 Dari kegiatan 7.4 diketahui bahwa persamaan bola yaitu ( ) + ( ) + ( ) = Selanjutnya dengan menggunakan persamaan tersebut substitusikan jari-jari 3 dan titik pusat (1,2,3) sehingga diperoleh ( 1) + ( 2) + ( 3) = 3 Sehingga diperoleh persamaan bola yaitu ( 1) + ( 2) + ( 3) = 9
9 9 Setelah memahami persamaan lingkaran dan persamaan bola di atas, kita lanjutkan materi selanjutnya, yaitu bentuk umum persamaan lingkaran dan bola. C. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan bola jika unsur-unsur bolanya diketahui? Untuk menentukan persamaan bola dengan pusat (,, ) lakukanlah kegiatan 7.3 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda. Kegiatan Menentukan persamaan umum lingkaran Langkah-langkahnya: 1. Tulis kembali bentuk persamaan lingkaran pada kegiatan 9.1 yang berpusat di (, ) yang telah dilakukan, yaitu ( ) + ( ) = 2. Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh = 3. kemudian semua variabel dipindahkan ke ruas kiri sehingga diperoleh persamaan = 0 4. dengan memisalkan persamaan di atas dengan = 2, = 2, dan = + atau = 2, = 2, = Sehingga diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran adalah = (3) Dengan pusat di, dan jari-jari = + Sehingga diperoleh = + Dari persamaan (5) dan jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga kemungkinan, yaitu: 1. Jika + > 0 atau < +, maka lingkaran itu dinamakan lingkaran nyata (sejati). 2. Jika + < 0 atau > +, maka lingkaran itu disebut lingkaran khayal.
10 10 3. Jika + = 0 atau = +, maka lingkaran itu disebut lingkaran titik. Jadi, lingkaran titik adalah lingkaran yang mempunyai jarijari = 0. Masalah 7.3: 7 Jika diketahui tiga buah titik (1,3), (6, 2) dan ( 3, 5) yang tidak segaris pada suatu persamaan umum lingkaran, yaitu = 0 yang mengandung tiga parameter yaitu,, dan, bagaimanakah bentuk persamaan lingkaran tersebut? Gambar Lingkaran Yang Melalui Tiga Buah Titik Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. untuk menentukan persamaan umum lingkaran tersebut dapat digunakan cara determinan dan cara subsitusi-eliminasi. Misalkan tiga buah titik (, ), (, ) dan (, ) yang tidak segaris pada suatu persamaan umum lingkaran, yaitu = 0 yang mengandung tiga parameter yaitu,, dan. a. Dengan cara Determinan Secara determinan menentukan persamaan lingkaran yang melalui ke tiga titik dengan menggunakan rumus di bawah ini.
11 = (6) + Substitusikan nilai (, ), (, ) dan(, ) ke dalam persamaan (6) dan cari determinan dari L tersebut menggunakan ekspansi kofaktor. b. Dengan cara Substitusi-eliminasi Misalkan bentuk umum persamaan lingkaran yang akan ditentukan: = (, ) pada, berarti: = 0 (7.1) (, ) pada, berarti: = 0 (7.2) (, ) pada, berarti: = 0 (7.3) Dari persamaan (7.1), (7.2), dan (7.3), tentukan nilai,, dan. Atau dengan menggunakan persamaan lingkaran yaitu: ( ) + ( ) = (8) Dimana ( ) = + begitu juga sebaliknya untuk ( ). (, ) pada, berarti: ( ) + ( ) = (8.1) (, ) pada, berarti: ( ) + ( ) = (8.2) (, ) pada, berarti: ( ) + ( ) = (8.3) (7) Dengan mensubstitusi nilai (, ) pada persamaan (8.1), nilai (, ) pada persamaan (8.2), dan nilai (, ) pada persamaan (8.3) maka diperoleh nilai,, dan. Setelah memperoleh nilai,, dan maka substitusi,, dan ke persamaan (8), selanjutnya persamaan (8) dijabarkan sehingga terbentuk persamaan umum lingkaran seperti persamaan (7). Setelah memahami materi di atas, selesaikanlah masalah 9.3 dengan menggunakan cara determinan dan eliminasi-substitusi dengan teman Anda. Buatlah dikertas kegiatan Anda. D. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Bola Untuk menentukan bentuk umum bola lakukanlah kegiatan di bawah ini. Kegiatan Menentukan persamaan umum bola Langkah-langkahnya: 1. Tulis kembali bentuk persamaan bola pada kegiatan 1.2 yang berpusat di (,, ) yang telah dilakukan, yaitu ( ) + ( ) + ( ) = 2. Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh
12 = 0 3. Kemudian dimisalkan = 2, = 2, = 2 dan + + = Maka persamaan bola tersebut dapat ditulis menjadi, = (9) Dari bentuk umum persamaan bola tersebut maka dapat disimpulkan bahwa persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam, dan dengan ciri-ciri sebagai berikut a. Tidak memuat suku-suku, atau, b. Koefisien-koefisien,, dan selalu sama. Selanjutnya, akan ditentukan koordinat titik pusat dan jari-jari dari bola dari persamaan = 0. Persamaan ini diubah dalam bentuk kuadrat sempurna dari, dan sebagai berikut: = + + Selanjutnya, persamaan tersebut dijadikan ke dalam bentuk = Persamaan di atas sama bentuknya dengan persamaan bola yang telah diperoleh pada kegiatan 1.2, dari persamaan tersebut diperoleh titik pusat bola yaitu,, dan jari-jarinya adalah = + +. atau Dari persamaan umum bola = 0, dengan = 2, = 2, = 2 dan = + +, maka diperoleh =, =, dan =. Berarti pusat bola itu adalah (,, ) = ( 1 2, 1 2, 1 2 ) Kemudian = + +, atau = + + = + + =
13 13 Maka = + +, ini merupakan rumus untuk menghitung jari-jari bola. Dari persamaan dan jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga kemungkinan, yaitu: (i) Jika + + > 0, maka > 0. Kondisi ini memperlihatkan bentuk bola yang disebut bola nyata (sejati). (ii) Jika + + = 0, maka = 0. Kondisi ini memperlihatkan bentuk bola yang disebut dengan bola titik. (iii) Jika + + < 0, maka imajiner. Kondisi ini memperlihatkan bentuk bola yang disebut dengan bola khayal (imajiner). Masalah 7.4: Jika diketahui tiga buah titik (2, 1,8), ( 3, 1,3), (2,4,3) dan (2,2, 1) yang tidak sebidang pada suatu persamaan umum bola, yaitu = 0 yang mengandung empat parameter yaitu,,, dan D bagaimanakah bentuk persamaan bola tersebut?. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. untuk menentukan persamaan umum bola tersebut dapat digunakan cara determinan dan cara subsitusi-eliminasi. Misalkan empat buah titik yaitu (,, ), (,, ), (,, ) dan (,, ) yang tidak sebidang. Maka persamaan bola tersebut dapat dicari dengan menggunakan cara di bawah ini. a. Dengan cara determinan Secara determinan menentukan persamaan bola yang melalui ke empat titik dengan menggunakan rumus di bawah ini = + + (10)
14 14 Substitusikan nilai (,, ), (,, ), (,, ) dan (,, ) ke dalam persamaan (9) dan cari determinan dari S tersebut menggunakan ekspansi kofaktor. b. Dengan eliminasi atau subsitusi-eliminasi Misalkan bentuk umum persamaan bola yang akan ditentukan: =...(10) (,, ) pada, berarti: = 0 (10.1) (,, ) pada, berarti: = 0 (10.2) (,, ) pada, berarti: = 0 (10.3) (,, ) pada, berarti: = 0 (10.4) Dari persamaan (10.1), (10.2), dan (10.3), tentukan nilai,, dan. Atau dengan menggunakan persamaan bola yaitu ( ) + ( ) + ( ) = (11) (,, ) pada, berarti:( ) + ( ) + ( ) =..(11.1) (,, ) pada, berarti: ( ) + ( ) + ( ) =..(11.2) (,, ) pada, berarti:( ) + ( ) + ( ) =.(11.3) Dengan mensubstitusi nilai (,, ) pada persamaan (11.1), nilai (,, ) pada persamaan (11.2), dan nilai (,, ) pada persamaan (11.3) maka diperoleh nilai,,, dan. Setelah memperoleh nilai,,, dan maka substitusi,,, dan ke persamaan (11), selanjutnya persamaan (11) dijabarkan sehingga terbentuk persamaan umum lingkaran seperti persamaan (10). Setelah memahami materi di atas, selesaikanlah masalah 7.4 dengan menggunakan cara determinan dan eliminasi-substitusi dengan teman Anda. Buatlah dikertas kegiatan Anda. Rangkuman 1. Lingkaran adalah himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran. 2. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) adalah + + = 3. Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan berjari-jari r adalah
15 15 ( ) + ( ) = 4. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah = dengan pusat di, dan jari-jari = + 5. Bola adalah himpunan titik-titik di ruang dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut jari-jari bola dan titik tertentu itu disebut titik pusat bola. Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik ujung vektor di dalam ruang yang titik pangkalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik pangkal tertentu itu disebut titik pusat bola, dan panjang vektor yang konstan itu disebut jari-jari bola. 6. Persamaan bola dengan pusat (0,0,0) adalah + + = 7. Persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (a,b,c) adalah ( ) + ( ) + ( ) = 8. Bentuk umum persamaan bola adalah = dengan titik pusat bola yaitu,, dan jari-jarinya adalah = + +.
16 16 KEGIATAN BELAJAR 8 Garis Singgung Lingkaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran. Pernahkah Anda memperhatikan suatu benda yang berbentuk lingkaran yang berada pada suatu daerah datar seperti yang terlihat pada gambar 8.1 di bawah ini? Sumber: Gambar 8.1 lingkaran menyinggung suatu daerah datar Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan garis singgung lingkaran bergradien, persamaan garis singgung melalui titik (, ) pada lingkaran, dan persamaan garis singgung melalui titik (, ) di luar lingkaran.
17 17 Masalah 8.1 Jika Gambar 8.1 di atas kita pindahkan gambar lingkaran yang menyinggung suatu daerah datar pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 8.2 di bawah ini. Gambar 8.2 lingkaran dengan pusat (, ) jari-jari dan Menyinggung garis Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut? A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di (, ) dan (, ) bergradien. Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0) dan (, ) bergradien lakukanlah kegiatan 8.1 dan perhatikan Gambar 8.3 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda. Gambar r lingkaran dengan pusat (, ) jari-jari dan sebuah garis di luarnya
18 18 Kegiatan 8.1. Gradien garis singgung diketahui dan d lingkaran berpusat di (0,0) Langkah-langkahnya: 1. potonglah antara lingkaran + = dan garis = + sebagai berikut = dipotongkan = + 3. Subsitusikan garis = + ke persamaan lingkaran + = sehingga diperoleh: + ( + ) = = (1 + ) = 0 (12) 4. Persamaan (13) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel. Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (12) mempunyai nilai: Diskriminan ( ) positif atau > 0, diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis = + memotong lingkaran + = pada dua titik. < 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis = + tidak memotong lingkaran + = atau garis = berada di luar lingkaran. = 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis = + menyinggung lingkaran + = pada suatu titik. 5. Agar garis = + menyinggung lingkaran + =, maka ambil = 0, yaitu: (2 ) 4(1 + )( ) = = = 0 4( ) = 0 (1 + ) = 0 = ± 1 + Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran + = dengan gradien atau yang sejajar dengan garis = + memiliki dua buah garis singgung yaitu: = + + = + (13) Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( ) + ( ) = dengan gradien. Geser titik pusat lingkaran (0, 0) ke titik (, ).
19 19 Akibatnya persamaan garis singgung = bergeser menjadi = ( ) atau = ( ) + ( 1 + ) Dan persamaan garis singgung = 1 + bergeser menjadi = ( ) 1 + atau = ( ) + ( 1 + ). Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran ( ) + ( ) = dengan gradien atau yang sejajar dengan garis = + memiliki dua buah garis singgung yaitu: = ( ) + + = ( ) + (14) B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik (, ) Pada Lingkaran yang berpusat di (, ) dan (, ) Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0) dan (, ) yang melalui titik (, ) lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda. Kegiatan 8.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0) 1. Misalkan persamaan lingkaran + = dan titik (, ) dan (, ) yang terletak pada lingkaran. 2. Sehingga persamaan garis BC adalah = = ( ) (15) 3. Karena titik (, ) dan (, ) berada pada lingkaran maka berlaku persamaan berikut + = dan + = Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan atau + = 0 = = ( ) ( )( + ) = ( )( + ) = 4. Subsitusikan persamaan (16) ke persamaan (15) sehingga diperoleh: y y = (x x ) = + + ( ) (16) (17)
20 20 5. Apabila titik (, ) bergerak mendekati titik (, ), sehingga titik (, ) dan (, ) berimpit, dan garis akan menjadi garis singgung lingkaran di titik (, ), akibatnya = dan =. Sehingga persamaan (18) menjadi: y y = (x + x ) (y + y ) (x x ) y y = 2x 2y (x x ) (kalikan semuanya dengan ) = + + = + + = Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (, ) pada lingkaran + = adalah: + = Perhatikan perubahan persamaan lingkaran + = menjadi: + = kita menggunakan kaidah membagi adil. (18) Kaidah Membagi Adil: Digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik (, ). Penerapannya dengan cara mengubah variabel pada persamaan lingkaran dengan aturan sebagai berikut: diubah menjadi diubah menjadi ( ) diubah menjadi ( )( ) ( ) diubah menjadi ( )( ) diubah menjadi ( + ) diubah menjadi ( + ) Caranya dengan prinsip translasi yaitu dengan menggeser pusat lingkaran (0, 0) ke (, ) seperti yang terlihat pada Gambar 8.4 di bawah ini.
21 21 Gambar Tranlasi (0,0) ke (a,b) Maka persamaan garis singgung + = atau ( 0)( 0) + ( 0)( 0) = berubah menjadi: ( )( ) + ( )( ) = Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran ( ) + ( ) = dengan titik singgung (, ) adalah: ( )( ) + ( )( ) = Dengan menggunakan Kaidah Membagi Adil yang tertera di atas, maka persamaan garis singgung yang melalui titik (, ) pada lingkaran adalah: = 0 (19) + + ( + ) + ( + ) + = (20) C. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik (, ) di Luar Lingkaran Agar dapat menentukan persamaan garis singgung melalui titik (, ) di luar lingkaran, maka diskusikan kegiatan 8.3 dengan teman Anda. Kegiatan Menentukan Kuasa Titik (, ) Terhadap Lingkaran + = Jika titik (, ) terletak di luar lingkaran yang berpusat di (0, 0) seperti yang terlihat pada Gambar 8.5 di bawah ini:
22 22 Gambar Titik di Luar Lingkaran Persamaan garis singgung yang melalui titik (, ) tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut denagn langkah-langkahnya adalah: 1. Titik (, ) berada di luar lingkaran + =. 2. Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran yaitu dan. Garis menyinggung lingkaran di (, ); garis menyinggung lingkaran di (, ). Jadi, titik merupakan titik potong garis singgung dan. 3. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu + =. Titik (, ) pada, sehingga diperoleh + =. Itu berarti (, ) pada garis + =.(1) 4. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung diperoleh + =. Itu berarti (, ) pada persamaan + =.(2) 5. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis (garis penghubung antara titik dan ) yaitu + =, yang juga di sebut garis kutub atau garis polar dari titik (, ) terhadap lingkaran + = adalah + = (21) Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1. Persamaan garis kutub (polar) dari titik (, ) terhadap lingkaran ( ) + ( ) = adalah ( )( ) + ( )( ) = (22)
23 23 2. Persamaan garis kutub (polar) dari titik (, ) terhadap lingkaran = 0 adalah = (23) Kegiatan Menentukan persamaan garis singgung dari titik (, ) di luar lingkaran baik yang berpusat di (, ) maupun yang berpusat di (, ) diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Membuat garis kutub (polar) dari titik terhadap lingkaran. 2. Mencari koordinat titik potong garis kutub dengan lingkaran. 3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis kutub (polar) dan lingkaran tersebut. D. Kuasa Lingkaran Masalah Roda telah digunakan dalam transportasi selama lebih dari lima tahun, kendaraan pertama pribadi praktis dengan menggunakan roda yaitu sepeda, ditemukan lebih dari seratus tahun yang lalu. Sepeda moderen adalah salah satu transportasi yang paling efisien, dengan jumlah energi yang diperlukan untuk membawa sejumlah berat. Untuk mencegah rangka sepeda goyang, maka posisi titik temu rangka harus diperhitungkan dengan tepat dan memperhatikan posisi roda pula. Bidang olah raga juga menggunakan konsep kuasa lingkaran untuk memperhitungkan posisi pemain untuk melakukan lemparan, tendang dan lainnya. Contohnya dalam kasus berikut: Misalkan seorang pemain bola berlari di garis sisi lapangan dan dia ingin melepaskan tendangan. Pada posisi mana seharusnya dia menendang sehingga memberikannya kesempatan terbaik menggolkannya. Permasalahan di atas adalah menentukan titik pada garis sisi lapangan sehingga memaksimumkan sudut terhadap garis gawang. Diilustrasikan pada Gambar 8.6 di bawah ini:
24 24 Gambar titik pada garis sisi lapangan E. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran Definisi 2.1: Misalkan persamaan lingkaran (, ) = + = dan titik (, ). Kuasa titik (, ) terhadap lingkaran adalah suatu konstanta dengan = (, ) = +. Ada tiga jenis kemungkinan nilai, yaitu: > 0, berarti titik (, ) di luar lingkaran + = = 0, berarti titik (, ) pada lingkaran + = < 0, berarti titik (, ) di dalam lingkaran + = Selanjutnya kita akan membahas mengenai kuasa suatu titik terhadap lingkaran. Agar lebih memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 8.5 Kuasa suatu titik terhadap lingkaran 1. Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat, jari-jari, satu titik diluar lingkaran dan 4 titik berada pada lingkaran yang terlihat pada gambar di bawah ini.
25 25 Gambar Titik di Luar Lingkaran 2. Pada gambar di atas dapat dilihat melalui titik dapat ditarik banyak sekali garis-garis yang memotong lingkaran masing-masing di dua titik, dan menyinggung lingkaran dititik dan. Gambar di atas dalam geometri berlaku bahwa: = = = = =. Maka hasil kali ini disebut kuasa titik terhadap lingkaran. Sekarang akan dihitung besarnya kuasa titik terhadap lingkaran tersebut. Misalkan (, ) dan persamaan lingkaran adalah = 0 dengan pusat, dan kuadrat jari-jarinya adalah = +. Kuasa titik T terhadap lingkaran tersebut adalah = ( )( + ) = = = Jadi, kuasa titik (, ) pada lingkaran adalah = 0 adalah Kuasa suatu titik dapat bernilai positif, nol atau negatif berturut-turut apabila titik itu diluar, pada atau di dalam lingkaran. Jika persamaan lingkaran dalam bentuk ( ) + ( ) =, maka kuasa titik (, ) terhadap adalah: = ( ) + ( ) (24)
26 26 F. Garis Kuasa Sudut perpotongan dua lingkaran adalah sudut antara garis singgunggaris singgung pada salah satu titik potong ke dua lingkaran itu, atau sudut antara jari-jari yang mengarah ke titik potong tersebut. Gambarkan dua lingkaran dan yang masing-masing berpusat di dan. Misalkan ke dua lingkaran itu berpotongan di titik dan. Gambar perpotongan antara dua lingkaran adalah sentral ke dua lingkaran. Garis (atau garis ) adalah garis singgung lingkaran dan garis (atau garis ) adalah garis singgung lingkaran. Misalkan adalah sudut antara dan (yaitu sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis singgung dan ). G. Titik Kuasa Misalkan,, adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut titik kuasa seperti yang terlihat pada Gambar 8.9 di bawah ini. Dilambangkan dengan: = 0 = = atau = 0 = 0
27 27 Gambar 8.9 tiga buah lingkaran membentuk satu titik kuasa Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar, dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga. Rangkuman 1. Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran + = dengan gradien m dititik pusat O(0,0) adalah = + + dan = + 2. Persamaan lingkaran garis singgung lingkaran lingkaran + = dengan gradien m dititik (a,b) adalah = ( ) + + dan = ( ) + 3. Persamaan garis singgung lingkaran + = di titik (, ) yang berpusat di O(0,0) adalah + = 4. Persamaan garis singgung lingkaran ( ) + ( ) = di titik (, ) yang berpusat di (a,b) adalah ( )( ) + ( )( ) = 5. Persamaan garis singgung lingkaran = 0 di titik (, ) yang berpusat di (a,b) adalah + + ( + ) + ( + ) + = 6. Lingkaran dengan pusat membagi dua lingkaran, maka sikusiku, sehingga =.
28 28 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan pertandingan sepak bola seperti yang terlihat pada Gambar 9.1 di bawah ini? Bola di sepak pada suatu daerah/bidang datar yaitu lapangan bola yang berumput. Gambar Bola dan bidang Rata Pada kegiatan belajar 9 ini kita akan membahas kedudukan suatu bola pada bidang rata. Untuk lebih memahami kedudukan bola dan bidang rata, selesaikanlah masalah di bawah ini.
29 29 A. Kedudukan Bola dan Bidang Rata Masalah Jika Bola ( ) + ( ) + ( ) = 0 berjari-jari, pusat (,, ). Bidang rata = 0, dengan adalah jarak antara pusat bola (,, ) ke bidang rata = 0, maka ada 3 kemungkinan kedudukan antara bola = 0 dengan bidang = 0. Bagaimana hubungan bola dengan bidang rata? Untuk menentukan hubungan antara bola dan bidang rata lakukan kegiatan 9.1 di bawah ini. Kegiatan Hubungan antara bola dan bidang rata Langkah-langkahnya: 1. Lukislah suatu lingkaran dengan >, berarti bola = 0 berpotongan dengan bidang rata = 0, seperti yang terlihat pada Gambar 3.1 di bawah ini. Gambar Bola berpotongan dengan Bidang Rata Perpotongan Bola = 0 dengan bidang rata = 0 akan membentuk sebuah lingkaran dengan persamaan lingkaran adalah: = 0 = 0 Bagaimanakah cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut? Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran berpotongan tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini. a. Perhatikan siku-siku di. adalah titik pusat lingkaran. b. Untuk menentukan jari-jari lingkaran kita dapat menggunakan dalil phytagoras yaitu = + sehingga diperoleh:
30 30 = + = = Jadi, jari-jari lingkaran yang disimbolkan dengan adalah: = (25) c. Untuk menyatakan persamaan lingkaran di dalam ruang, kita dapat mengambil sebuah bola = 0 dan sebuah bidang rata = 0 yang saling berpotongan menurut lingkaran tersebut. Jadi, persamaan lingkaran dinyatakan dengan dua persamaan yaitu: = = (26) d. Selain berpotongan bola dan bidang rata, suatu lingkaran dapat pula dinyatakan sebagai berikut: (1) Perpotongan antara bola = 0 dengan bola = 0 (2) Perpotongan silinder (tabung) atau kerucut lingkaran tegak lurus dengan bidang paralelnya(=bidang yang tegak lurus poros) seperti yang terlihat pada Gambar 9.2 (a) dan (b) di bawah ini. Gambar (a) Bidang Rata dan Tabung Gambar (b) Bidang Rata dan Kerucut
31 31 e. Dari persamaan (26) di atas, kita dapat menentukan titik pusat lingkaran tersebut yaitu dengan cara: (1) Pusat lingkaran adalah titik tembus antara garis dengan bidang rata = 0. Garis tegak lurus dengan bidang rata = 0, berarti vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata atau dapat di tulis menjadi,, =,,. = + Persamaan garis = = + (1) = + (2) Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan bola sehingga diperoleh nilai. (3) Setelah nilai di dapatkan maka subsitukan nilai tersebut ke persamaan (1) sehingga diperoleh titik pusat lingkaran. 2. = berarti bola = 0 menyinggung bidang rata = 0, seperti yang terlihat pada Gambar 9.3 di bawah ini. Gambar Bola menyinggung bidang rata Jika bidang rata = 0 menyinggung bola = 0 maka bidang rata = 0 disebut juga dengan bidang singgungnya. Bagaimana menentukan bidang singgung tersebut? Untuk menentukan bidang singgung tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini dan diskusikanlah dengan teman Anda. a. Misalkan = 0 dengan pusat bola (,, ) dan (,, ) adalah titik singgung bola = 0 dan bidang rata = 0.
32 32 b. Vektor tegak lurus terhadap bidang rata = 0, berarti vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata yaitu:,, =,, sehingga diperoleh: = +, +, +..(1) Bidang rata melalui titik (,, ) maka persamaan bidang rata adalah: ( ) + ( ) + ( ) = 0..(2) c. Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan bidang singgung bola = 0 di titik (,, ) adalah: = (27) Berdasarkan proses di atas, dapat di simpulkan bahwa: 1) Jika = 0, maka persamaan bidang singgung di titik (,, ) adalah: = 2) Jika ( ) + ( ) + ( ) =, maka persamaan bidang singgung di titik (,, ) adalah: ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) = 3) Jika + + =, maka persamaan bidang singgung di titik (,, ) adalah: + + = Persamaan bidang singgung di atas mengikuti kaidah Membagi Adil yaitu pergantian: menjadi, menjadi, menjadi menjadi ( + ), menjadi ( + ), menjadi ( + ) menjadi ( + ). 3. < berarti bola = 0 tidak memotong dan tidak menyinggung bidang rata = 0 seperti yang terlihat pada Gambar 9.4 di bawah ini.
33 33 Gambar bola tidak memotong maupun menyinggung bidang rata Kuasa Titik Misalkan bola (,, ) = 0 dan misalkan titik (,, ). Definisi 1: Kuasa titik (,,, ) terhadap bola (,, ) di defenisikan sebagai: = (,, ) = 0 ada 3 kemungkinan nilai yaitu: Titik di luar bola jika dan hanya jika > 0 Titik pada bola jika dan hanya jika = 0 Titik di dalam bola jika dan hanya jika < 0 Anti Geometri dari Kuasa Titik Masalah Misalkan bola (,, ) = 0 dan titik (,, ) adalah titik sebarang. Bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung bola jika titiknya di luar bola. Untuk menentukan persamaan garis lurus tersebut lakukanlah kegiatan di bawah ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Perhatikan Gambar 9.5 di bawah ini.
34 34 Gambar Titik di Luar Bola 2. Tarik garis melalui (,, ). Misalkan cosinus arah garis adalah: cos, cos, cos sehingga persamaan parameter garis adalah: = + cos = + cos (1) = + cos Garis ada yang menembus bola, ada yang menyinggung bola, dan ada yang tidak menyinggung atau tidak menembus bola. 3. Andaikan garis tersebut menembus bola pada titik dan untuk mencari titik tembus, subsitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan bola = 0 sehingga di peroleh: =.(2) Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalam, ada beberapa ketentuan persamaan kuadrat tersebut yaitu: (1) Jika > 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar dan yang berbeda. (2) Jika = 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar dan yang konstan (sama). (3) Jika < 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar dan yang imaginer. 4. Andaikan persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar yang berbeda yaitu dan. Berarti garis menembus bola pada dua titik. Misalkan titik itu adalah titik dan dengan: ( + cos, + cos, + cos ) dan
35 35 ( + cos, + cos, + cos ) = ( ( + cos )) + ( ( + cos )) + ( ( + cos )) = + + = ( + + ) =. 1 =. Akar dari persamaan kuadrat (1) = ( ( + cos )) + ( ( + cos )) + ( ( + cos )) = + + = ( + + ) =. 1 =. Akar dari persamaan kuadrat (1) ( ). ( ) = = = = Jadi, ( ). ( ) = (,, ) = = harga mutlak kuasa titik (,, ) terhadap Bola (28) Atau : Bila dari titik tertentu ditarik garis sebarang yang memotong bola di dan maka harga ( ). ( ) adalah konstan. Kalau di luar bola maka harganya = kuasa, dan kalau di dalam bola maka harga negatifnya = kuasa. Bidang Kutub Masalah Misalkan persamaan Bola (,, ) = 0 dan sebarang titik (,, ). Bagaimanakah persamaan bidang kutubnya? Untuk menentukan persamaan bidang kutub, lakukanlah kegiatan di bawah ini. Kegiatan 9.4. Persamaan Bidang Kutub
36 36 Langkah-langkahnya adalah: 1. Perhatikan Gambar 9.5 (a) di bawah ini. Gambar (a) Bola dan garis 2. Tarik garis melalui titik (,, ) sehingga menembus bola di dan. 3. Misalkan titik (,, ) pada garis sehingga titik dan sekawan haromonis dengan titik dan. Artinya jika = 1 maka = 1. Seperti yang terlihat pada Gambar 9.5(b) di bawah ini. Gambar 9.5(b) 9 Bola dan garis 4. Jika garis digunakan, maka tempat kedudukan titik merupakan suatu bidang rata, yang disebut dengan bidang kutub (bidang polar) bola = 0, dengan titik kutubnya adalah titik. 5. Misalkan persamaan Bola + + = 0, dengan titik kutubnya (,, ) maka koordinat titik adalah + + 1, + + 1, +. (1) + 1
37 37 Agar maka + + = 0..(2) 6. Subsitusikan persamaan (1) ke (2) sehingga diperoleh persamaan bidang kutub adalah + = Rangkuman 1. Persamaan bidang singgung bola ( ) + ( ) + ( ) = yang melalui titik (,, ) adalah ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) = 2. Persamaan bidang singgung bola = 0 yang melalui titik (,, ) adalah ( + ) ( + ) ( + ) + = 0 3. Kuasa suatu titik (,, ) terhadap persamaan bola = 0 adalah = 0 4. Jika titik (,, ) terletak pada, di dalam atau di luar bola, maka kuasa titik terhadap bola berturut-turut mempunyai nilai nol, negatif atau positif.
Garis Singgung Lingkaran
1 KEGIATAN BELAJAR 8 Garis Singgung Lingkaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran. Pernahkah Anda memperhatikan
Lebih terperinciBola dan bidang Rata
1 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA
1 KEGIATAN BELAJAR 11 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 11 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar Pada
Lebih terperinciKEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK
1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.
Lebih terperinciMODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS
1 KEGIATAN BELAJAR 13 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 13 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips, Titik Singung dan Garis Pada kegiatan
Lebih terperinciMODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA
1 KEGIATAN BELAJAR 15 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 15 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menemukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singung dan Garis
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Lebih terperinciSUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 6 SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 6 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan sudut antara dua bidang rata 2. Menentukan jarak sebuah
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan
PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciPersamaan Parabola KEGIATAN BELAJAR 10
1 KEGIATAN BELAJAR 10 Persamaan Parabola Setelah mempelajari kegiatan belajar 10 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan Parabola 2. Melukis Persamaan Parabola Anda tentu sangat mengenal
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciPERSAMAAN HIPERBOLA KEGIATAN BELAJAR 14
1 KEGIATAN BELAJAR 14 PERSAMAAN HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 14 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan Persamaan Hiperbola 2. Melukis Persamaan Hiperbola Sebelumnya anda telah
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciPERSAMAAN ELLIPS. Setelah mempelajari kegiatan belajar 12 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan elips. 2. Melukis persamaan elips
1 KEGIATAN BELAJAR 12 PERSAMAAN ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 12 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan elips. 2. Melukis persamaan elips Anda tentu sangat mengenal sekali
Lebih terperinciPEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN
PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN.` Definisi Suatu transformasi yang didasarkan pada fungsi dengan dinamakan transformasi kebalikan. Secara geometric, transformasi akan memetakan titik-titik yang mendekati
Lebih terperinciLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak
4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciPesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat
Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi
Lebih terperinci2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang
TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu
Lebih terperinciBab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.
Bab 3 Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus 3.1 Pengertian
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperincic. 2 d Jika suatu garis mempunyai persamaan 2x + y + 4 = 0, maka gradiennya adalah a. 2 b. ½ c. 2 d. ½
1 SOAL LATIHAN UH MATEMATIKA PERSAMAAN GARIS LURUS KELAS 8 SMP I. Pilihan Ganda GRADIEN (m) 1. Persamaan garis y = x, maka gradiennya adalah a. b. 4 c. d.. Persamaan garis y = x, maka gradiennya adalah
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciPEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA
PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/00 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHAS :. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 00 . Perhatikan
Lebih terperinciBil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah
ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciBAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN
STANDAR KOMPETENSI: BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN Menusun persamaan lingkaran dan garis singgungna. KOMPETENSI DASAR Menusun persamaan lingkaran ang memenuhi persaratan ang ditentukan Menentukan persamaan
Lebih terperinciPersamaan Garis singgung Melalui titik (x 1, y 1 ) diluar lingkaran. Pusat Lingkaran (a, b) Persamaan Garis singgung. Jari Jari r.
PERSAMAAN LINGKARAN Pusat Lingkaran (0, 0) Melalui titik (x, y ) pada lingkaran Jika diketahui gradient m xx y mx r yy r m x y r Persamaan Garis singgung Melalui titik (x, y ) diluar lingkaran Jari Jari
Lebih terperinciSumber Belajar 2x40mnt Buku teks. 2x40mnt. 2x40mnt. (2x + 3) + (-5x 4) (-x + 6)(6x 2) Tes tulis Tes uraian Berapakah: berikut: Teknik Bentuk
Sekolah : SMP Kelas : VIII Mata Pelajaran : Matematika Semester : I(satu) SILABUS Standar : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus 1.1 Melakukan operasi aljabar Bentuk
Lebih terperinciD. GEOMETRI 2. URAIAN MATERI
D. GEOMETRI 1. TUJUAN Setelah mempelajari modul ini diharapkan peserta diklat memahami dan dapat menjelaskan unsur-unsur geometri, hubungan titik, garis dan bidang; sudut; melukis bangun geometri; segibanyak;
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG
HANDOUT (BAHAN AJAR) GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG Sofyan Mahfudy IAIN Mataram KATA PENGANTAR Alhamdulillah puji syukur kepada Alloh Ta ala yang dengan rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus
Lebih terperinciTabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional
Rekap Nilai Ujian Nasional tahun 2011 Pada tahun 2011 rata-rata nilai matematika 7.31, nilai terendah 0.25, nilai tertinggi 10, dengan standar deviasi sebesar 1.57. Secara rinci perolehan nilai Ujian Nasional
Lebih terperinciPEMBELAJARAN IRISAN KERUCUT: LINGKARAN DI SMA
PAKET PEMBINAAN PENATARAN Drs. M. Danuri, M.Pd. PEMBELAJARAN IRISAN KERUCUT: LINGKARAN DI SMA 45 O 1 3 4 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan
Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciSilabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.
Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciLINGKARAN. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com
Bab 9 LINGKARAN A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran lingkaran siswa mampu: 1. Mendeskripsikan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis
Lebih terperinciLINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
LINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 4 ia nc o3 D.c om Bab r: w be Su m. pa ww ne b Lingkaran Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciMODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)
Lebih terperinciBagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
Lebih terperinciPembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12
Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12 Tim Pembahas : Th. Widyantini Untung Trisna Suwaji Wiworo Choirul Listiani Estina Ekawati Nur Amini Mustajab PPPPTK Matematika Yogyakarta
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : MATEMATIKA TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciSUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd
SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1 Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas PGRI Yogyakarta 2010 Letak Suatu Titik pada Garis Lurus O g
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Titik, Garis, dan Bidang Pada geometri, tepatnya pada sistem aksioma, terdapat istilah tak terdefinisi. Istilah tak terdefinisi adalah istilah dasar yang digunakan dalam membangun
Lebih terperinciPROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I. Mata Pelajaran : Matematika
PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I Mata Pelajaran : Matematika 191 PROGRAM SEMESTER TAHUN PELAJARAN 20 / 20 Nama Sekolah : Kelas/ Semester : VII/1 Mata Pelajaran : Matematika Aspek : BILANGAN Standar
Lebih terperinciPembelajaran Lingkaran SMA dengan Geometri Analitik
PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajaran Lingkaran SMA dengan Geometri Analitik Penulis Drs. M. Danuri, M.Pd. Penilai Drs. Sukardjono, M.Pd. Editor Titik Sutanti, S.Pd.Si. Ilustrator
Lebih terperinciBUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciGEOMETRI ANALIT DI R3
GEOMETRI ANALIT DI R3 1. Persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel di Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, (3*) dengan A, B, C, D merupakan bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciKoordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola. Tim Kalkulus II
Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinciUKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI
UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana
Lebih terperinciSISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang.
1 KEGIATAN BELAJAR 1 SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan Berikut ini kita akan
Lebih terperinciDr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
SISTEM-SISTEM KOORDINAT Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Sistem Koordinat Kartesian Dalam sistem koordinat Kartesian, terdapat tiga sumbu koordinat yaitu sumbu x, y, dan z. Suatu titik
Lebih terperinciBAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS
BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini
Lebih terperinciMateri Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD:
Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD: 1. Bilangan dan Operasinya 2. Kelipatan dan Faktor 3. Angka Romawi, Pecahan dan Skala 4. Perpangkatan dan Akar 5. Waktu, Kecepatan, dan Debit
Lebih terperincimatematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran
KTSP & K-3 matematika K e l a s XI GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi garis singgung lingkaran..
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciBOLA. Geometri Analitik Ruang. Oleh Mega Teguh Budiarto
BOLA Geometri Analitik Ruang Oleh Mega Teguh Budiarto Persamaan Bola Q P DISKUSI Berikan minimal 3 contoh persamaan bola, beri alasan mengapa contoh yang saudara buat persamaan bola. Berikan minimal 3
Lebih terperinciPREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP
Dibuat untuk persiapan menghadapi UN 2012 PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP Lengkap dengan kisi-kisi dan pembahasan Mungkin (tidak) JITU 12 1. Menghitung hasil operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada
Lebih terperinciPembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciJARING-JARING BANGUN RUANG
BAHAN BELAJAR MANDIRI 6 JARING-JARING BANGUN RUANG PENDAHULUAN Bahan Belajar mandiri 6 mempelajari tentang Jaring-jaring Bangun ruang : maksudnya jika bangun ruang seperti kubus, balok, kerucut dan yang
Lebih terperinciMODUL 8 FUNGSI LINGKARAN & ELLIPS
MODUL 8 FUNGSI LINGKARAN & ELLIPS 8.1. LINGKARAN A. PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN PUSAT PADA TITIK ASAL DAN JARI-JARI R Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari jari R adalah : x 2 + y 2 = R 2 B. PERSAMAAN
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciPEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDY IPA
PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/010 MATEMATIKA PROGRAM STUDY IPA PEMBAHAS : 1. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 010 1. Perhatikan
Lebih terperinciIRISAN DUA LINGKARAN
LINGKARAN IRISAN DUA LINGKARAN Oleh : Saptana Surahmat Konsep hubungan dua lingkaran sangat penting dalam kehidupan kita. Sepasang roda pada sepeda, sepeda motor, kendaraan bermotor, roda gigi pada pengatur
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciBuku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto
Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciPP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN
Bab III : Lingkaran 30 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak ang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran 3..
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Perhatikan gambar berikut.
LINGKARAN Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap titik tertentu. Perhatikan gambar berikut. r P Titik P disebut pusat, sedangkan Jarak P ke lingkaran dinamakan jari-jari.
Lebih terperinciPengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam
Lebih terperinciA. PERSAMAAN GARIS LURUS
A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam
Lebih terperinci. A.M. A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI
A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI Suatu titik menyatakan letak atau posisi dari sesuatu yang tidak mempunyai ukuran, maka titik tidak mempunyai ukuran. Dikatakan bahwa titik berdimensi nol (tak
Lebih terperinciParabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada
Parabola 6.1. Persamaan Parabola Bentuk Baku Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada bidang sedemikian hingga titik itu berjarak sama dari suatu titik tertentu yang disebut
Lebih terperinci4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Geometri Analitik/ PMK 708 2. Jumlah SKS : 3 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1979
Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila
Lebih terperinciGeometri Ruang (Dimensi 3)
Geometri Ruang (Dimensi 3) Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung volume = a³ luas = 6a² rusuk kubus = a panjang diagonal = a 2 panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume =
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN 1. POKOK BAHASAN : KINEMATIKA
RENCANA PEMBELAJARAN 1. POKOK BAHASAN : KINEMATIKA A. Sistem koordinat (SK) Secara umum, sistem koordinat merupakan cara menyatakan posisi dalam ruang, dinyatakan dalam variabel ruang. Dalam ruang D-2,
Lebih terperinci