BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pnhulun Skripsi ini mmhs tntng uji ksn u t multivrit rsrkn p grf. Dlm ini kn ipprkn sr ringks mngni istriusi srgm iskrit, grf, pohon, n uji ksn u t multivrit rsrkn p grf. 2.2 Distriusi Srgm Diskrit plungny lh Puh k X iktkn ristriusi srgm iskrit pil fungsi ( ) (2.1) Ekspktsi n vrins ri puh k X i ts msing-msing lh ( ) (2.2) ( ) (2.3) 2.3 Grf Grf G ifinisikn sgi psngn himpunn (V, E), itulis ngn notsi G = (V, E), lm hl ini V lh himpunn tik-kosong ri simpul-simpul (vrtis tu no) n E lh himpunn sisi (gs tu rs) yng mnghuungkn spsng simpul (Munir, 2010). Grf imungkinkn tik mmpunyi sisi stu uh pun, ttpi simpulny hrus, miniml stu. Simpul 4

2 5 p grf pt inomori ngn huruf sprti ngn ilngn sli tu gungn kuny. Mislkn u n v lh simpul p grf. Sngkn sisi yng mnghuungkn simpul u ngn simpul v inytkn ngn psngn (u,v) tu inytkn ngn lmng ngn kt lin, jik lh sisi yng mnghuungkn simpul u ngn simpul v, mk pt itulis sgi = (u,v). Sr gomtri grf igmrkn sgi skumpuln nokth (simpul) i lm ing u imnsi yng ihuungkn ngn skumpuln gris (sisi) Grf Srhn (Simpl Grph) Grf yng tik mngnung glng mupun sisi-gn inmkn grf srhn. Jringn komputr mrupkn ontoh grf srhn. Simpul mnytkn komputr, sngkn sisi mnytkn slurn tlpon untuk rkomuniksi. P grf srhn, sisi lh psngn tk trurut (unorr pirs). Ji, mnuliskn sisi (u,v) sm sj ngn (v,u). kit pt jug mnfinisikn grf srhn G = (V, E) triri ri himpunn tik kosong simpul-simpul n E lh himpunn psngn tk rurut yng r yng isut sisi. Gmr 2.1 mnyjikn ontoh grf srhn Gmr 2.1 Contoh Grf Srhn P Gmr 2.1 ilngn sli mrupkn simpul n mrupkn sisi yng mnghuungkn simpul 1 n simpul 2, mrupkn sisi

3 6 yng mnghuungkn simpul 1 n simpul 3, mrupkn sisi yng mnghuungkn simpul 2 n simpul 3, mrupkn sisi yng mnghuungkn simpul 2 n simpul 4, n mrupkn sisi yng mnghuungkn simpul 3 n simpul Grf Tk-Brrh Grf yng sisiny tik mmpunyi orintsi rh isut grf tkrrh. P grf tk rrh, urutn psngn simpul yng ihuungkn olh sisi tik iprhtikn. Ji, (u,v) = (v,u) lh sisi yng sm. Gmr 2.2 mnyjikn ontoh grf tk-rrh. V1 1 5 V2 3 4 V5 2 6 V3 7 V5 Gmr 2.2 Contoh Grf Tk-Brrh P Gmr 2.2 simpul ( ) ( ) ihuungkn olh sisi, simpul ( ) ( ) ihuungkn olh sisi, simpul ( ) ( ) ihuungkn olh sisi, simpul ( ) ( ) ihuungkn olh sisi, simpul ( ) ( ) ihuungkn olh sisi, simpul ( ) ( ) ihuungkn olh sisi, n simpul ( ) ( ) ihuungkn olh sisi.

4 Trminologi Dsr Grf. Brttngg (Ajnt). Du uh simpul p grf tk-rrh G iktkn rttngg il kuny trhuung lngsung ngn suh sisi. Dngn kt lin, u rttngg ngn v jik (u,v) lh suh sisi p grf G. Gmr 2.3 mnyjikn ontoh grf rttngg. V1 1 2 V2 V3 4 5 V4 Gmr 2.3 Contoh Grf Bttngg P Gmr 2.3 simpul ttngg ngn simpul, simpul rttngg ngn n, ttpi tik rttngg ngn.. Brsisin (Inint) Untuk smrng sisi = (u,v), sisi iktkn rsisin ngn simpul u n simpul v. Gmr 2.4 mnyjikn ontoh grf rsisin Gmr 2.4 Contoh Grf Brsisin P Gmr 2.4 sisi rsisin ngn simpul n, sisi rsisin ngn simpul n, sisi rsisin ngn simpul n, sisi

5 8 rsisin ngn simpul n, sisi rsisin ngn simpul n, n sisi rsisin ngn simpul n.. Lintsn (Pth) Lintsn yng pnjngny n ri simpul wl k simpul tujun i lm grf G ilh risn rslng-sling simpul-simpul n sisi-sisi yng rntuk smikin shingg ( ) ( ) ( ) lh sisi-sisi ri grf G. Jik grf yng itinju lh grf srhn, mk kit ukup mnuliskn lintsn sgi risn simpul-simpul sj:, krn ntr u uh simpul rturutn i lm lintsn trsut hny stu sisi. Suh lintsn iktkn lintsn srhn (simpl pth) jik smu simpulny r (stip sisi yng illui hny stu kli). Lintsn yng rwl n rkhir p simpul yng sm isut lintsn trtutup (los pth), sngkn lintsn yng tik rwl n rkhir p simpul yng sm isut lintsn truk (opn pth). Pnjng lintsn lh jumlh sisi lm lintsn trsut. Gmr 2.5 mnyjikn ontoh grf yng mngnung lintsn (pth) Gmr 2.5 Contoh Grf ngn Lintsn (Pth)

6 2 9 P Gmr 2.5 ontoh lintsn (pth) ri simpul k simpul lh ( ) n ontoh lintsn (pth) ri simpul k simpul lh ( ).. Siklus (Cyl) tu Sirkuit (Ciruit). Siklus tu sirkuit lh lintsn yng rwl n rkhir p simpul yng sm. Suh sirkuit iktkn sirkuit srhn (simpl iruit) jik sirkuit trsut tik mmut/mlwti sisi yng sm u kli (stip sisi yng illui hny stu kli). Gmr 2.6 mnyjikn ontoh siklus (yl) tu sirkuit (iruit). V1 1 V2 3 V3 V4 Gmr 2.6 Sirkuit V 1 -V 2 -V 3 -V 1. Trhuung (Connt). Ktrhuungn u uh simpul lh pnting i lm grf. Du uh simpul u n simpul v iktkn trhuung jik trpt lintsn ri u k v. Jik u uh simpul trhuung mk psti simpul yng prtm pt ipi ri simpul yng ku. Du simpul trminl p jringn komputr hny pt rkomuniksi il kuny trhuung. Grf tk-rrh G isut grf trhuung (onnt grph) jik untuk stip psng simpul u n v i lm himpunn V trpt lintsn ri u k v (yng jug rrti hrus lintsn ri ri u k v). Jik tik, mk G isut grf tk

7 10 trhuung (isonnt grph). Gmr 2.7 mnyjikn ontoh grf trhuung n ontoh grf tik trhuung. x y () () Gmr 2.7 () Contoh Grf Trhuung n () Contoh Grf Tik Trhuung P Gmr 2.7 () mrupkn ontoh grf trhuung, trpt lintsn ri simpul k simpul n ntr simpul trhuung olh suh sisi, Gmr 2.7 () mrupkn ontoh grf tik trhuung krn stip simpul p grf tik ihuungkn olh suh sisi. f. Upgrf (Sugrph). Mislkn G = (V, E) lh suh grf. G 1 = (V 1,E 1 ) lh upgrf (sugrph) ri G jik n. Gmr 2.8 mnyjikn ontoh Upgrf (sugrph) ri suh grf. 4 4 () () Gmr 2.8 () Contoh Grf n () Contoh Sugrf ri ()

8 11 g. Upgrf Mrntng (Spnning Sugrph). Upgrf G 1 = ( ) ri G = (V,E) iktkn upgrf mrntng jik = V (yitu G 1 mngnung smu simpul ri G). Gmr 2.9 mnyjikn ontoh grf, upgrf mrntng ri grf n ukn upgrf mrntng ri grf () () () Gmr 2.9 () Grf G, () Upgrf Mrntng ri G, () Bukn Upgrf Mrntng ri G P Gmr 2.9 () mrupkn ontoh grf ngn lim simpul yitu simpul. Gmr 2.9 () mrupkn ontoh upgrf mrntng ri grf G krn mngnung smu simpul ri grf G, Gmr 2.9 () ukn upgrf mrntng ri G krn tik mngnung smu simpul i grf G. h. Grf Broot (Wight Grph). Grf root lh grf yng stip sisiny iri suh hrg (oot). Boot p tip sisi pt r- rgntung p mslh yng imolkn ngn grf. Boot pt mnytkn jrk ntr u uh kot, iy prjlnn tr u uh kot, wktu tmpuh psn (mssg) ri suh simpul komuniksi k simpul komuniksi lin (lm jringn komputr), ongkos prouksi, n sginy.

9 12 Gmr 2.10 mnyjikn ontoh grf root, imn oot p stip sisi mnytkn jrk (lm km). 30 Km 15 Km V4 Gmr 2.10 Contoh Grf Broot P Gmr 2.10 mrupkn ontoh grf root imn oot p stip sisi yng mnghuungkn simpul mnytkn jrk (lm km). i. Grf Lngkp (Complt Grph). Grf lngkp ilh grf srhn yng stip simpulny mmpunyi sisi k smu simpul linny. Grf lngkp ngn n uh simpul ilmngkn ngn K n. Stip simpul p K n mmpunyi sisi snyk n- 1. Gmr 2.11 mnyjikn ontoh grf lngkp. V1 V2 V5 V3 V4 Gmr 2.11 Contoh Grf Lngkp 2.4 Pohon Pohon lh grf tk-rrh trhuung yng tik mngnung sirkuit. Mislkn G = (V, E) lh grf tk-rrh srhn n jumlh simpulny n. Dngn mikin, smu prnytn i wh ini lh kivln:

10 13. G lh pohon.. Stip psng simpul i lm G trhuung ngn lintsn tunggl.. G trhuung n mmiliki m = n-1 uh sisi.. G tik mngnung sirkuit.. G tik mngnung sirkuit n pnmhn stu sisi p grf kn mmut hny stu sirkuit. f. G trhuung n smu sisiny lh jmtn (jmtn lh sisi yng il ihpus mnykn grf trph mnji u komponn). Gmr 2.12 mnyjikn ontoh pohon. f Gmr 2.12 Contoh Pohon Pohon Mrntng Mislkn G = (V, E) lh grf tk-rrh trhuung yng ukn pohon, yng rrti i G trpt rp sirkuit. G pt iuh mnji pohon T = (V 1, E 1 ) ngn r mmutuskn sirkuit-sirkuit yng. Crny, mul-mul ipilih suh sirkuit, llu hpus stu uh sisi ri sirkuit ini. G kn ttp trhuung n jumlh sirkuitny rkurng stu. Bil pross ini ilkukn rulng-ulng smpi smu sirkuit i G hilng, mk G mnji suh pohon T, yng inmkn pohon mrntng (spnning tr). Disut pohon mrntng krn smu simpul p pohon T sm ngn smu simpul p grf G, n sisi-sisi p pohon T sisi-sisi p grf G. Dngn kt lin, n

11 14 mrntngny.. Gmr 2.13 mnyjikn ontoh grf lngkp n mpt uh pohon (G) (T 1 ) (T 2 ) (T 3 ) (T 4 ) Gmr 2.13 Contoh Grf Lngkp G n Empt Pohon Mrntngny T 1, T 2, T 3, n T Pohon Mrntng Minimum Jik G lh grf root, mk oot pohon mrntng T ri G ifinisikn sgi jumlh oot smu sisi i T. Pohon mrntng yng r mmpunyi oot yng r pul. Dintr smu pohon mrntng i G, pohon mrntng yng root minimum inmkn pohon mrntng minimum (minimum spnning tr). Pohon mrntng minimum mmpunyi trpn yng lus lm prktik. Mislkn pmrinth kn mmngun jlur rl krt pi yng mnghuungkn sjumlh kot. Mmngun jlur rl krt pi iyny mhl, krn itu pmngunn jlur ini tik prlu mnghuungkn lngsung u uh kot, ttpi ukup mmngun jlur krt sprti pohon mrntng. Krn i lm suh grf mungkin sj trpt lih ri stu pohon mrntng, hrus iri pohon mrntng yng mmpunyi jumlh jrk trpnk, ngn kt lin hrus iri pohon mrntng minimum. Gmr 2.14 mnyjikn ontoh pohon mrntng minimum (minimum spnning tr).

12 h h 15 g 15 g f f () () Gmr 2.14 () Grf yng mnytkn jringn jlur rl krt pi. Boot p stip sisi mnytkn pnjng rl krt pi (lm 100 Km) () Pohon mrntng yng mmpunyi jumlh jrk minimum 2.5 Uji Ksn Multivrit Brsrkn Grf Mislkn ( ) *( ) + lh sutu smpl k rukurn n ri vktor-vktor k X lm n Y lm, imn p n q lh ilngn intgr positif. Vktor k ( ), n vktor k ( ) Mislkn f x, f y, n f x,y msing-msing mnytkn istriusi untuk X, Y, n gungn ri X n Y. X n Y iktkn sling s jik n hny jik (Szkly n Rizzo, 2009). Dngn mikin untuk mnguji hipotsis pkh X n Y sling s pt irumuskn hipotsis sgi rikut (2.4) Untuk mnurunkn sttistik uji ri hipotsis i ts rsrkn grf, prtm-tm prhtikn ontoh srhn rikut untuk n = 5. Gmr 2.15 mnyjikn gmr grf lngkp iooti jrk G X n G Y srt pohon mrntng minimum (Minimum Spnning Tr - MST) untuk grf G X. Grf G X (Gmr 2.15

13 16 ()) n G Y (Gmr 2.15 ()) msing-msing mrprsntsikn kumpuln titik-titik smpl untuk vktor X n Y. Gmr 2.15 () mrupkn MST untuk grf G X () () () Gmr 2.15 () Grf G X, () Grf G Y, () MST ri Grf G X Dlm gin ini jrk yng kn igunkn lh jrk Eulin. Jrk Eulin ntr u pngmtn lm X n Y msing-msing ifinisikn sgi rikut: ( ) (2.5) n ( ) (2.6) Untuk t yng istnrissi, mk jrk Eulin-ny lh: ( ) (2.7)

14 17 ( ) (2.8) imn: (2.9) (2.10) ( ) (2.11) (2.12) (2.13) ( ) (2.14) Jik X n Y sling s, tik ihrpkn hw titik smpl yng ihuungkn olh sisi root rnh i grf G X jug mmiliki sisi root rnh i grf G Y. Di wh hipotsis nol sling s, jik kit mmilih sisi ri G X, kmuin mliht rnking sisi trsut i G Y, mk rnking ini kn ristriusi sr k. Di wh hipotsis ltrntif ihrpkn hw jik irikn MST ri G X, kmuin kit mmilih sisi ri G X, mk rnking ri sisi trsut i G Y kn kil. Sgi ontoh, prhtikn Gmr 2.15, rsrkn MST ri G X, prjlnn kn ilkukn i grf G Y imuli ri simpul k simpul. Jrk ri simpul k simpul mrupkn jrk trkt prtm iningkn ngn jrk ri simpul k simpul yng linny. Shingg rnking ri prjlnn simpul k

15 18 simpul i grf G Y lh 1. Prjlnn ilnjutkn ri simpul k simpul i grf G Y. Jrk ri simpul k simpul mrupkn jrk yng trkt ku iningkn ngn jrk ri simpul k simpul, n. Shingg rnking ri prjlnn simpul k simpul i grf G Y lh 2. Prjlnn ilnjutkn ri simpul k simpul i grf G Y. Jrk ri simpul k simpul mrupkn jrk trkt prtm iningkn ngn jrk ri simpul k simpul. Shingg rnking ri prjlnn simpul k simpul i grf G Y lh 1. Brsrkn rnking yng kil ri sisi-sisi i grf G Y rsrkn MST p grf G X, tmpkny kmungkinn ktrkitn ntr X n Y Pmntukn Sttistik Uji Dlm gin ini ilustrsi yng p prgrf slumny untuk n = 5 kn ignrlissi kmuin kn intuk sttistik uji untuk hipotsis yng p Prsmn (2.4). Brsrkn MST ri G X, prjlnn kn ilkukn i grf G Y imuli ri simpul prtm p MST ri G X. Kmuin mju k simpul yng ru. Dngn mikin prjlnn kn ilkukn lm n-1 thp. Prjlnn kn irprsntsikn olh * + imn n mnunjukkn simpul prtm n ku yng trpilih p lngkh k j, imn { } n { }. Sr umum thpn yng ilkukn isjikn p Gmr 2.16.

16 19 Thp 1 Rnking jrk ri sisi 1 = ( ) i lm grf G Y intr jrk ri sisi-sisi yng mnghuungkn simpul ngn simpul linny. Sut sj rnking trsut lh ( * +). Thp 2 Rnking jrk ri sisi 2 = ( ) i lm grf G Y intr sisi-sisi yng mnghuungkn ngn { }. Sut sj rnking trsut lh ( * +) Thp j Rnking jrk ri sisi j = ( ) i lm grf G Y intr sisi-sisi yng mnghuungkn ngn { }. Sut sj rnking trsut lh ( * +). Thp rnking jrk ri sisi n-2 = ( ) i lm grf G Y intr sisi-sisi yng mnghuungkn ngn { }. Sut sj rnking trsut lh ( * +). Gmr 2.16 Thpn lm Mnntukn Rnking p Grf Di wh hipotsis nol X n Y sling s, ristriusi srgm iskrit p * +, imn sling s. Brsrkn n-2 thp i ts, Hllr kk. (2012) mngusulkn sutu sttistik uji untuk hipotsis p Prsmn (2.4). Sttistik ujiny lh: ( ) (2.15) Distriusi ri Sttistik Uji Di wh hipotsis nol, kspktsi n vrins ri ( ) msing-msing lh: ( ) [ (( ) ) ( ) ] (2.16)

17 20 ( ) [ ( (( ) ) ( ) )] (2.17) Sttistik uji lh jumlh ri puh k yng sling s, imn kspktsi n vrinsny i wh hipotsis nol msing-msing lh ( ) ( ) (2.18) ( ) ( ) (2.19) Ktik, i wh hipotsis nol, puh k ( ) ( ) kn ristriusi norml ku.