TEORI GRAPH DAN IMPLEMENTASINYA DALAM ILMU KOMPUTER

Transkripsi

1 TEORI GRPH N IMPLEMENTSINY LM ILMU KOMPUTER in Wirdsri Progrm Studi Ilmu Komputr, Univrsits Sumtr Utr dinws@gmil.om STRK: Mklh ini mmhs tntng pokok hsn dlm mtmtik diskrit yitu tori grph dn implmntsiny dlm ilmu komputr. Tori grph mrupkn konsp yng sudh ukup lm dipki dn ditrpkn pd nyk idng. Mklh ini mnyjikn gimn ttrn konsptul grph, yitu tntng gmrn umum, dfinisi grph, hingg smpi pd ttrn implmntsi, yitu gimn konsp trsut ditrpkn dlm idng ilmu komputr khususny dlm Struktur t dn mnntukn minimum spnning tr (MST) yng nyk dipliksikn dlm mslh TSP (Trvling Slsmn Prolm). Kt Kuni: grph, struktur dt, TSP, trvling slsmn prolm. PENHULUN Tori grph diprknlkn pd d k 18 olh sorng mtmtikwn rnm Lonhrd Eulr. Eulr mno mmhkn tk-tki yng diknl dngn nm Mslh Jmtn Konigsrg. Trdpt tujuh uh jmtn yng mnghuungkn du pulu dn suh sungi, sprti yng ditunjukkn pd Gmr 1. kn diri suh lintsn yng mlwti stip jmtn tpt stu kli. dri jmtn Konigsrg yng diknl sgi multigrph, diprlihtkn pd Gmr. Suh multigrph mmiliki du lmn yitu himpunn vrtks (titik/nod) dn himpunn dg (gris) yng mnghuungkn ntr vrtks. X Y W Z Gmr 1. Jmtn Konigsrg Suh mtod untuk mnri solusi dri mslh ini dlh dngn mmntuk modl Gmr. Rprsntsi Multigrph Jmtn Konigsrg Titik-titik yng diri ll X, Y, Z, dn W pd Gmr itulh yng disut vrtks, dn gris yng mnghuungkn ntr titik itulh Jurnl SINTIKOM

2 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm yng disut dngn dg. Eulr mntpkn suh turn yng is dipki dismu multigrph, untuk mnri solusi dri mslh pd jmtn Konigsrg, turn ini disut dngn Eulrin pth, yng runyi: ndikn kit mmpunyi suh multigrph shingg untuk rp psng vrtks trdpt suh pth (lintsn) dintr vrtks-vrtks trsut. Multigrph trsut mmiliki Eulrin pth jik dn hny jik trdpt 0 tu vrtks yng mn nyk dg yng mningglkn vrtks trsut rjumlh gnjil. Multigrph pd jmtn Konigsrg mmiliki mpt vrtks, yng mn kmpt vrtks trsut mmiliki dg yng mningglkn vrtks trsut rjumlh gnjil. Mk multigrph jmtn Konigsrg tidk mmiliki Eulrin pth. Multigrph yng ditunjukkn pd Gmr tidk mmiliki pnh, shingg disut dngn undirtd grph (grph tk rrh). Slikny, multigrph yng mmiliki pnh disut dngn dirtd grph (grph rrh) (Gmr ). d Gmr. Grph Tk rrh finisi 1. Suh simpl grph (undirtd grph) dlh psngn dri G = ( V, E) dimn: 1. V dlh himpunn rhingg dri lmn yng disut vrtks. E dlh suh rlsi yng irrflksif dn simtri pd V. Psngn rurutn pd E disut dg dri grph. Lih spsifik, jik = ( u, v) Î E, diktkn hw dg dlh ntr u dn v (dn jug ntr v dn u ), dn diktkn hw u djnt k v. Lih juh, dpt diktkn hw inidnt k u (dn jug v ). Krn E simtri, mk kit dpt mnotsikn sgi psngn tk rurut { u, v }. ndikn G = ( V, E) suh grph. ngn u, v vrtks. gr dri v, dinotsikn dngn d ( v), dlh jumlh dg yng inidnt k v. Krn suh dg hrus inidnt k du vrtks, mk munullh Torm 1. Torm 1. ndikn G = ( V, E) å vî V d( v) = E Suh sugrph dri grph G = ( V, E) dlh suh grph G ' = ( V ', E ') shingg V ' Í V dn E ' Í E. Sugrph G ' = ( V ', E ') disut sgi spnning sugrph jik V = V '. Gmr 4 mnunjukkn du sugrph, G 1 dn G dri grph G. 4 Jurnl SINTIKOM d Gmr. Grph rrh d G Gmr 4. Grph G dn du sugrphny G 1 dn G G 1 G

3 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm Suh grph G = ( V, E) diktkn komplit jik untuk stip vrtksny u, v Î V{ u, v} Î E. Suh komplit grph dngn n vrtks dinotsikn sgi K n. Stip grph dlh spnning sugrph dri suh komplit grph.. PTH, YLE, N GRPH TERHUUNG Suh pth (lintsn) yng pnjngny k pd sutu grph dlh risn dri vrtksvrtks vo, v1, K, vk shingg untuk i = 1,, K, k,{ vi- 1, vi} Î E. risn,, d, dlh suh pth dngn pnjng (lngth) pd grph G pd Gmr 4. Suh pth pd suh grph tk rrh (undirtd grph) disut sgi yl (sirkuit) jik vrtks wl dn vrtks khirny sm, dn tidk d dg yng rulng pd pth trsut. Jdi, suh yl hrus mmpunyi skurng-kurngny tig dg. Grph yng tidk mmiliki yl disut dngn grph yli (siklik). Pth,,,, dlh suh yl pd grph G Gmr 4. Suh yl tidk olh mmiliki dg yng rulng, ttpi olh mmiliki vrtks yng rulng. Sgi ontoh, pth,,,,, d, dlh yl pd grph Gmr 4. Sugrph G pd Gmr 4 dlh yli. Suh grph diktkn onntd (trhuung) jik trdpt suh pth ntr stip psngn vrtks-vrtksny. Grph G dn G 1 pd Gmr 4 dlh onntd, ttpi G tidk. dlh sm disut sgi Eulrin yl (Eulrin Sirkuit). ontoh 1 Tunjukknlh grph pd Gmr mmiliki Eulrin pth ttpi tidk mmiliki Eulrin sirkuit. Tntuknlh Eulrin pthny. d Gmr. Grph untuk ontoh 1 Pnylsin: Krn trdpt du vrtks ( d dn ) yng rdgr gnjil, ssui dngn torm, mk trdpt suh Eulrin pth, ttpi ukn Eulrin yl. Untuk mnntukn Eulrin pthny, kit hrus mmuli dri vrtks d tu. Jik dimuli dri d, diprolh pth d,,,,,, d,,. Gmr mnunjukkn Eulrin pth, dngn stip dgny diri ll ssui dngn jlur pthny EULERIN PTH Torm. Suh grph trhuung (onntd) dngn skurng-kurngny du vrtks mmiliki Eulrin pth jik dn hny jik trdpt 0 tu vrtks yng rdgr gnjil. Suh pth dlh yl jik dn hny jik stip vrtksny mmpunyi dgr gnp. Suh Eulrin pth, yng pthny dlh yl shingg vrtks wl dn khirny d Gmr. Grph dngn Eulrin pth. HMILTONIN YLE Mslh yng sm untuk mnri Eulrin sirkuit dlh mslh untuk mnri Hmiltonin sirkuit (Hmiltonin yl). 1 Jurnl SINTIKOM

4 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm Suh Hmiltonin sirkuit dlh suh yl pd suh grph yng mn stip vrtksny dillui tpt stu kli. Suh grph dngn Hmiltonin sirkuit mk grph trsut kn onntd (trhuung), ttpi tidk smu grph yng trhuung mmiliki Hmiltonin sirkuit. Mslh mnjdi lih sulit jik dg pd grph diri tnd dngn oot (wight) yng mnunjukkn jrk tu iy prjlnn, mk kmudin mnri Hmiltonin sirkuitny dn mnghitung totl iy minimumny. Mslh ini disut dngn trvling slsmn prolm. Slh stu lgoritm yng digunkn untuk mnri solusi dri trvling slsmn prolm dlh nrst nighor mthod (mtod ttngg trdkt), dngn sumsi hw grph ny trhuung (onntd). Nrst Nighor Mthod untuk Trvling Slsmn Prolm gin Pilih srng v1 Î V. v ' v1 w 0 Tmhkn v ' k dftr vrtks dlm pth. whil vrtks yng tidk rtnd rsis do gin Tndi v '. Pilih srng vrtks yng tidk rtnd, u, yng trdkt dngn v ' Tmhkn u k dftr vrtks dlm pth w w + oot dri dg { v ', u } v ' Jurnl SINTIKOM u nd Tmhkn v 1 k dftr vrtks dlm pth. w w + oot dri dg { v ', v 1} nd. ontoh Gunkn lgoritm nrst nighor pd grph root rikut. 8 7 Pnylsin: imuli dri. ri nili wl w = 0 dn dftr vrtks dlm pth dlh. Vrtks yng tidk rtnd yng trdkt dngn dlh, jdi tmhkn k dlm pth, sprti diprlihtkn pd Gmr 8(), dn tndi. Kmudin tmhkn k w. Vrtks yng tidk rtnd yng trdkt dngn dlh, jdi tmhkn k dlm pth, sprti diprlihtkn pd Gmr 8(), dn tndi. Tmhkn w dngn. Vrtks yng tidk rtnd yng trdkt dngn dlh, jdi tmhkn k dlm pth, sprti diprlihtkn pd Gmr 8(), dn tndi. Kmudin tmhkn k w. Krn tidk d sis vrtks yng tidk rtnd, mk yl kn trpnuhi dngn mnmhkn vrtks k dlm pth. Kmudin tmhkn w dngn. Hsil sirkuitny diprlihtkn pd Gmr 8(d). oot dri sirkuitny dlh 4. Gmr 9 mmprlihtkn smu ktig uh Hmiltonin sirkuit yng dpt dintuk dri grph trsut, dn yng pling ik dlh yng mmiliki totl oot. Gmr 7. Grph untuk ontoh

5 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm () () Gmr 8. Pnrpn lgoritm nrst nighor () (d) 7 simpul dn sisi yng mmngun huungn ntr simpul. Konsp T grph ini mrupkn turunn konsp grph dri idng kjin mtmtik. Pokok hsn slumny mnjlskn hw grph mnmpilkn visulissi dt dn huungnny. Sdngkn jik rir mslh implmntsi struktur dt grph itu sndiri, isu utm yng dihdpi dlh gimn informsi itu disimpn dn dpt dikss dngn ik, ini yng dpt disut dngn rprsntsi intrnl. Sr umum trdpt du mm rprsntsi dri struktur dt grph yng dpt diimplmntsi. Prtm, disut djny list, dn diimplmntsi dngn mnmpilkn msing-msing simpul sgi suh struktur dt yng mngndung snri dri smu simpul yng sling rhuungn. Yng kdu dlh rprsntsi rup djny mtrix dimn ris dn kolom dri mtriks (jik dlm kontks implmntsi rup snri du dimnsi) trsut mrprsntsikn simpul wl dn simpul tujun dn suh ntri di dlm snri yng mnytkn pkh trdpt sisi di ntr kdu simpul trsut djny List lm tori grph, djny list mrupkn ntuk rprsntsi dri sluruh sisi tu usur dlm sutu grph sgi sutu snri. Simpul-simpul yng dihuungkn sisi tu usur trsut dinytkn sgi simpul yng sling trkit. lm implmntsiny, hsh tl digunkn untuk mnghuungkn suh simpul dngn snri risi simpulsimpul yng sling trkit trsut. Gmr 9. Hmiltonin sirkuit dri grph ontoh E. STRUKTUR T GRPH lm idng ilmu komputr, suh grph dpt dinytkn sgi suh struktur dt, tu sr spsifik dinmkn sgi T (strt dt typ) yng trdiri dri kumpuln Gmr. Undirtd yli Grph 7 Jurnl SINTIKOM

6 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm Grph pd gmr dpt didskripsikn sgi snri {,},{,},{,}. n rprsntsi djny list dpt digmrkn mllui tl di wh ini. Tl 1. Rprsntsi djny List Vrtx djny rry of djnt Vrtis djnt to, djnt to, djnt to, Slh stu kkurngn dri tknik rprsntsi ini dlh tidk dny tmpt untuk mnyimpn nil yng mlkt pd sisi. ontoh nili ini ntr lin rup jrk simpul, tu n simpul.. djny Mtrix djny Mtrix mrupkn rprsntsi mtriks nxn yng mnytkn huungn ntr simpul dlm sutu grph. Kolom dn ris dri mtriks ini mrprsntsikn simpul-simpul, dn nili ntri dlm mtriks ini mnytkn huungn ntr simpul, pkh trdpt sisi yng mnghuungkn kdu simpul trsut. Pd suh mtriks nxn, ntri non-digonl ij mrprsntsikn sisi dri simpul i dn simpul j. Sdngkn ntri digonl ii mnytkn sisi klng (loop) pd simpul i. 4 Gmr 1 mrupkn djny mtrix yng rkorlsi dngn grph tk rrh pd gmr 11. Kolom dn ris pd mtriks mrupkn simpul-simpul rll 1-. Klihn dri djny mtrix ini dlh lmn mtriksny dpt dikss lngsung mllui indks, dngn gitu huungn kttnggn ntr kdu simpul dpt ditntukn dngn lngsung. Sdngkn kkurngn pd rprsntsi ini dlh il grph mmiliki jumlh sisi tu usur yng rltif sdikit, krn mtriksny rsift jrng yitu hny mngndung lmn ukn nol yng sdikit. Ksus sprti ini mrugikn, krn kutuhn rung mmori untuk mtriks mnjdi oros dn tidk fisin krn komputr mnyimpn lmn 0 yng tidk prlu. F. TREE Gmr 1. djny mtrix Suh grph G = ( V, E) disut tr (pohon) jik G trhuung (onntd) dn yli (tidk mmiliki yl). Gmr 1 mmprlihtkn ontoh tig uh grph yng ktig-tigny dlh tr. 1 8 Gmr 11. Grph tk rrh rll Jurnl SINTIKOM Gmr 1. ontoh tr

7 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm Torm. Klimt rikut ini dlh kivln untuk grph G = ( V, E) dngn n vrtks dn m dg. (1) G dlh tr. () Trdpt tpt suh pth ntr smu vrtks pd G. () G trhuung (onntd) dn m = n- 1. (4) G trhuung (onntd) dn mnghpus slh stu dg mnykn G tidk trhuung (disonntd). () G yli (tidk mmiliki yl) dn m = n- 1. () G yli (tidk mmiliki yl) dn pnmhn suh dg mnykn trntukny yl. Torm di ts dpt digunkn untuk mmprlihtkn hw stip grph yng onntd (trhuung) risi suh spnning tr (tr yng mrntng), yng mn suh spnning tr dri suh grph dlh suh tr. Trdpt du r untuk mmntuk suh spnning tr dri suh grph. Prtm muli dngn mnghilngkn rp dg shingg pd khirny kn mnghsilkn suh sugrph yng ttp trhuung (onntd), shingg jik dihpus slh stu dg kn mnykn sugrph mnjdi tidk trhuung. Ssui dngn gin (4) dri Torm, sugrph khir ini dlh suh spnning tr. Prhtikn hw, spnning tr kn mmiliki jumlh dg snyk n- 1 dg, dngn n dlh jumlh vrtks yng dimiliki olh grph smul. r yng kdu, muli mnggmrkn grph dngn tnp dg (hny vrtksvrtksny sj), dn tmhkn dg stu prstu shingg stip vrtksny trhuung, dn tidk trdpt yl, shingg jik mnmhkn slh stu dg kn mnykn trntukny yl. Grph yng dintuk disut dngn tr. ontoh Gunkn r prtm di ts untuk mnri suh spnning tr dri grph pd Gmr 14 rikut. Pnylsin: Krn mmiliki 8 uh dg dn nm vrtks, mk kit hrus mnghilngkn tig dg. Slnjutny, srng dg dpt dihpus. Prtm, hpuslh. Kmudin srng dg yng lin, ttpi ukn, hpuslh 4. Slnjutny srng dg olh dihpus ttpi ukn 1 dn, hpuslh 7. Kit smpi di kdn dimn jik mnghpus slh stu dg kn mnykn grph mnjdi tidk trhuung (disonnt), sugrph hsil inilh yng disut spnning tr, ditunjukkn pd Gmr 1. Sugrph trsut mmpunyi lim uh dg, ssui dngn prnytn di gin () dri Torm Gmr 14. Grph untuk ontoh Miniml Spnning Tr Miniml spnning tr (disut jug dngn MST) dlh mnri suh spnning tr dngn jumlh oot (wight) miniml dri suh grph yng trhuung (onntd). 7 Gmr 1. Spnning tr untuk grph ontoh 9 Jurnl SINTIKOM

8 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm Mslh ini sm sprti pd trvling slsmn prolm. lgoritm untuk mnri miniml spnning tr dlh sgi rikut. lgoritm untuk Mnri Miniml Spnning Tr gin suh dg di E dngn oot pling kil. T { } E ' E - { } whil E ' ¹ Æ gin ' suh dg Î E ' dngn oot pling kil. T T È { '} E ' himpunn dg di E '- T yng pnmhnny k dlm T tidk mnykn trntukny yl nd nd. Suh rootd tr dlh suh tr dngn himpunn vrtks V shingg suh vrtks v Î V ditndi sgi kr (root) dri tr trsut. Untuk srng vrtks u pd tr, trdpt pth dri v k u. Pnjng pth ini disut tingktn (lvl) vrtks u. Vrtks pd lvl 1, mnunjukkn vrtks trsut djnt k root, disut sgi dsndnt (kturunn/nk) dri root. Slnjutny, dsndnt dri root dpt dinggp sgi root gi sutr yng diprolh dngn mnghpus root dri tr. Pnjng dri pth yng trpnjng dri root disut tingktn (lvl) dri root. Jik stip 8 vrtks pd rootd tr mmpunyi du sutr, mk tr yng sprti ini disut dngn inry tr. Rootd tr isny digmrkn dngn root di tsny dn sutr truk k wh k rh dun (lv), yng mrupkn vrtks trjuh dri root. Lv hrus rdgr 1. ontoh 4 Trdpt suh prminn sdrhn sgi rikut: Ssorng mmikirkn suh ngk ntr 1 smpi 1. nd hrus mnk ngk dngn nr. nd rtny, pkh ngkny x? kmudin orng trsut mnjw dngn Y, Lih kil dri x, tu Lih sr dri x. Tunjukkn hw nd mmpu mnk ngk trsut tidk lih dri kli tkn. Pnylsin: Ptunjukny dlh dngn sllu mnk ngk yng mnjdi titik tngh dri jngkun ngk yng trsis. Kmudin, jik tkn slh kn mngurngi spruh ngk, hingg khirny kn trsis stu ngk. Gmr 1 mmprlihtkn gimn pross tkn rlngsung, muli dri 1. stip vrtks dlh titik yng mmutuskn nili nr tu slh, jik slh mk nili trsut rd di slh stu sutr dri du sutr. Sutr pd sisi kiri risi nili yng lih kil, dn sutr pd sisi knn risi nili yng lih sr. Tr yng trntuk hny mpt lvl, mk diprlukn tidk lih dri kli tkn Jurnl SINTIKOM Gmr 1. Tr pd ontoh 4

9 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm. Rootd Tr dlm Pmntukn Foldr Sutu pohon diktkn N-ry jik stip simpul ngny mmpunyi pling nyk n- uh nk. Krn itu pohon dngn hny rup suh simpul dpt kit sut jug sgi pohon N-ry nmun tnp nk. Kit dpt mngimplmntsikn pohon dngn notsi himpunn sgi rikut: T = {, Ø, Ø, Ø } T = {, {, Ø, Ø, Ø}, Ø, Ø} Ø = null T mnytkn pohon dngn stu uh kr () dn simpul dngn nk null. T mnytkn pohon dngn du uh simpul ( dn ). Nili null mnytkn hw pohon trsut kosong tu tidk mmpunyi nk. Null jug dpt rrti dun. Rprsntsi pohon dri notsi himpunn trsut dlh pd Gmr 17 rikut. Gmr 17. Rprsntsi Pohon inr Pohon inr (inry Tr) dlh pohon n-ry dngn n =. Stip simpul di dlm pohon inr mmpunyi pling nyk uh nk. idkn ntr nk kiri (lft hild) dn nk knn (right hild). Krn d prdn urutn nk, mk pohon inr dlh pohon trurut. G. PEMHSN 1. Implmntsi Pd Struktur t Rprsntsi intrnl yng dipki dlm struktur dt grph ini mrupkn implmntsi dri rprsntsi snri kttnggn dngn mnggunkn suh hshmp. Simpul disimpn sgi kuni dlm suh Mp strutur (struktur pmtn) dngn tujun gr mmprmudh pnrin suh simpul. Struktur pmtn ini slnjutny disut sgi djny mp. Sisi yng rwl dri stip simpul disimpn sgi snri simpul yng rhuungn. Snri ini disimpn sgi nili yng mmiliki kitn dngn kuni yng ssui dlm djny mp. Sgi ontoh digunkn grph pd gmr, dngn djny mp pd Gmr 18. Rprsntsi dri grph di ts kn trdiri dri suh pmtn dngn msukn sgi rikut: Ky : Vlu : [, d, ] djny Mp K Vlu d d Gmr 18. djny Mp 1 Jurnl SINTIKOM

10 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm. Implmntsi Pd MST Implmntsi grph dlm mnntukn minimum spnning tr (MST) dipprkn pd ontoh rikut. ontoh Gunkn lgoritm di ts untuk mnri MST pd grph rikut E F Pnylsin: Lngkh prtm pd lgoritm dlh mmilih suh dg yng mmiliki root pling kil. Pd ksus ini, trdpt du dg yng mmiliki oot =, yitu {, } dn {, }. Kit s mmilih stu dintrny. Pross mmntuk tr diprlihtkn pd Gmr 0. pd stip gmr, dg yng msuk k dlm T digmrkn sgi gris tl, dn dg yng rd di dlm E ' digmr sgi gris putus-putus. Stlh mnmhkn dg klim, E ' = Æ, yng mnykn rhntiny prulngn. Gmr 19. Grph untuk ontoh E F E F E F 0 E F E F Gmr 0. MST dri grph ontoh Jurnl SINTIKOM

11 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm. Implmntsi lm Pmntukn Foldr Pross pmutn foldr pd pliksi dsktop dri sutu sistm oprsi sngtlh mudh. Mislny pd sistm oprsi Windows, Pnggun tinggl mngklik knn kmudin pilih nw foldr. Stlh mmilih nw foldr mk kn trntuk fil ru dngn nm dfult Nw Foldr. Foldr trsut dpt kit ri nm ssuk hti. Kit jug dpt mmut foldr ru di dlm foldr yng tlh kit ut. Sndiny nm foldr yng sudh dinmkn tdi kit nggp sgi kr skligus Orngtu dri sutu pohon. Mk foldr-foldr lin yng d di dlm kr kit nggp sgi Su-Pohon dri kr trsut. r krj dri struktur pohon ini dlh Stip pmutn foldr ru mk pd stu kr (foldr1) yng sm, kn mmngkitkn tu mmut supohon rikutny (foldr, foldr, foldr4,,foldr-n). Slnjutny pil supohon trsut ukn dun tu tidk mmiliki nk liny mk foldr tdi tidk kn mmngkitkn kmli nknkny. Gmr 1. Pohon pmntuk foldr Pd Gmr 1 trliht jls hw stip foldr yng diut olh foldr slumny kn mmntuk Supohon. Sr rkursif Supohon kn trus trntuk snyk foldr yng kn diut. Kmmpun ini kn mmut pmutn foldr tu supohon kn mnjdi tidk trts. Pnggun dpt mmut foldr rp pun nykny dn dimn pun tmptny. Slin dngn r di ts, rp sistm oprsi lin d yng mnrpkn ommndlin dlm mmut foldr-ny (mislny minix). Sr konsp, turn dn struktur yng digunkn sm dngn slumny. H. SIMPULN Mklh ini tlh mnunjukn gimn konsp grph diimplmntsi dlm ilmu komputr. Stlh mllui pmhsn, dpt dimil ksimpuln sgi rikut: 1. Tori Grph mrupkn slh stu ng dri idng Mtmtik iskrit yng mmpunyi nyk trpn di rgi idng.. Struktur dt grph dn Minimum Spnning Tr mrupkn ntuk implmntsi dri tori grph yng mnkup dfinisi, dn hukum-hukum yng mnyrtiny.. Struktur dt grph mnggunkn rprsntsi intrnl snri kttnggn dngn lsn fisinsi pnggunn untuk komputsi, krn pnggunn mtriks kttnggn kurng fisisn dn ndrung oros untuk ksus jumlh sisi sdikit sdngkn mtriks kttnggn yng dintuk rup mtriks jrng (sprs) 4. Struktur pohon sngt ssui untuk pmutn foldr pd pliksi dsktop pd sutu sistm oprsi krn strukturny yng rkursif. I. FTR PUSTK kr, Rogr Linr lgr. US: Rinton Prss. ogrt, Knnth P., dn Stin, liff. 00. isrt Mth in omputr Sin. pt. Of omputr Mthmtis nd pt. Of omputr Sin. rtmouth ollg. Jurnl SINTIKOM

12 in Wirdsri: Tori Grph dn Implmntsiny dlm istl, Rinhrd Grph Thory. Nw York: Springr-Vrlg. Horn, R., dn Johnson, Mtrix nlysis. mridg Univrsity Prss. Kw, utr K. 00. Introdution to Mtrix lgr. Univrsity of South Florid. Munir, Rinldi. 00. iktt Kulih IF1. Mtmtik iskrit Edisi Kmpt. ndung: Pnrit IT. Nol,., dn nil, J pplid Linr lgr. US: Prnti Hll. Skvrius, Romulds., dn Roinson, Willim isrt Mthmtis with omputr Sin pplitions. liforni: Th njmin/ummings Pulishing ompny, In. 4 Jurnl SINTIKOM