Penerapan Graf dan Pohon dalam Sistem Pertandingan Olahraga

Transkripsi

1 Pnrpn Gr n Pohon lm Sistm Prtningn Olhrg Fhmi Dumi Progrm Stui Tknik Inormtik Skolh Tknik Elktro n Inormtik Institut Tknologi Bnung, Jl. Gnsh 10 Bnung 40132, Inonsi @st.sti.it..i Astrk Mklh ini mmhs tntng rp sistm prtningn olhrg ngn rprsntsi gr tu pohon. Stip sistm prtningn kn itntukn nykny jumlh prtningn yng trji ssui tori gr n pohon shingg pt mmprkirkn lmny suh turnmn ilksnkn tu mmilih sistm prtningn yng ook turnmn trsut yng issuikn ngn ktor linny. Kt Kuni Gr, pohon, sistm gugur, sistm komptisi. I. PENDAHULUAN Sutu turnmn olhrg isny mmiliki sistm prtningnny sniri. Turnmn yng ik hrus mmiliki sistm prtningn yng ook ngn mmprtimngkn ktor-ktor yng mmngruhiny sprti nykny pmin (jik prorngn) tu tim yng mngikuti turnmn, nykny tmpt yng igunkn, n wktu yng iloksikn untuk turnmn trsut. Sorng vnt orgnizr suh turnmn hrus mmikirkn hl-hl trsut shingg mmutuhkn inormsi nykny prtningn yng kn trji lm turnmn trsut. P mklh ini pnulis rush untuk mmut rprsntsi gr tu pohon ri rp sistm prtningn, mngnlisisny, n mnntukn nykny prtningn yng trji srt wktu yng iutuhkn p sistm prtningn trsut. A. Gr II. DASAR TEORI Mnurut uku Mtmtik Diskrit [1], sr mtmtis, gr iinisikn sgi rikut. Gr G iinisikn sgi psngn himpunn (V, E), yng lm hl ini: V = himpunn tik kosong ri simpul-simpul ( vrtis tu no) = {v 1, v 2,, v n}; n E = himpunn sisi (gs tu rs) yng mnghuungkn spsng simpul = { 1, 2,, n}; tu pt itulis singkt ngn notsi G = (V,E). Gr pt iklompokkn mnji rp jnis rsrkn suut pnng pnglompokknny. Brsrkn tikny glng tu sisi gn p sutu gr, gr igi mnji 2 jnis, yitu : 1. Gr srhn Gr ini tik mngnung glng mupun sisign. 2. Gr tk-srhn Gr ini mngnung sisi-gn yng isut gr gn ( multigrph) tu glng yng isut gr smu (psuogrph). () () () [9] Gmr 2.1 () gr srhn, () gr gn, n () gr smu Brsrkn orintsi p sisi, gr igi mnji 2 jnis: 1. Gr tk-rrh (unirt grph) Sisi ri gr ini tik mmpunyi rh. Ji, sisi(u,v) = sisi(v,u) lh sisi yng sm 2. Gr rrh (irt grph tu igrph) Stip sisi ri gr ini irikn orintsi rh. Sisi p gr ini is isut usur. Busur(u,v) r ngn usur(v,u). Untuk usur(u,v), u inmkn simpul sl ( initil vrtx) n v inmkn simpul trminl (trminl vrtx). () () [9] Gmr 2.2 () gr rrh n () gr-gn rrh

2 Brikut rp trminologi sr p gr. 1. Brttngg (jnt) Du uh simpul p gr tk-rrh iktkn rtntngg il kuny trhuung lngsung ngn sisi. P Gmr 2.1 (), simpul 1 rttngg ngn 2 n 3 nmun tik ngn Brsisin (inint) Untuk smrng sisi = (u,v), sisi iktkn rsisin ngn simpul u n simpul v. P Gmr 2.1 (), 5 rsisin ngn simpul 2 n simpul Drjt (gr) Jumlh sisi yng rsisin ngn sutu simpul lh rjt simpul trsut p gr. 4. Lintsn (pth) Lintsn yng pnjngny n ri simpul wl v 0 k simpul tujun v n lh risn rslng-sling simpul-simpul n sisi-sisi yng rntuk v 0, 1,v 1, 2,v 2,,v n-1, n,v n smikin shingg 1 =(v 0,v 1), 2 =(v 1,v 2),, n(v n-1,v n) lh sisi-sisi ri gr G. 5. Sirkuit (iruit) Sirkuit lh lintsn yng rwl n rkhir p simpul yng sm. Gr mmiliki rp jnis gr srhn khusus, slh stuny lh gr lngkp. Gr lngkp lh gr srhn yng stip simpulny mmpunyi sisi k smu simpul linny. Brikut ontoh gr lngkp. [9] Gmr 2.3 Contoh gr lngkp ngn 1 simpul hingg 6 simpul Jik slh stu simpulny iprlkukn sgi kr (root) n sisi-sisiny iri rh mk pohon ini inmkn pohon rkr (root tr). () () [10] Gmr 2.5 () pohon rkr, () sgi prjnjin, tn pnh sisi pt iung Pohon rkr mmiliki rp trminologi sr, yitu: 1. Dun (l) Dun lh simpul yng rrjt nol (tu tik mmpunyi nk). P Gmr 2.5, simpul h,i,j,,, n g lh un. 2. Simpul lm (intrnl nos) Simpul lm lh simpul yng mmpunyi nk. P Gmr 2.5, simpul,, n lh simpul lm. Pohon rkr yng stip simpul ngny mmpunyi pling nyk n uh nk isut pohon n- ry. Jik n = 2, pohon ini isut pohon inr (inry tr). Pohon n-ry iktkn trtur tu pnuh jik stip simpul ngny mmpunyi tpt n uh nk. B. Pohon Mnurut uku Mtmtik Diskrit [1], pohon lh gr tk-rrh trhuung yng tik mngnung sirkuit. Gr tk-rrh trhuung lh gr tkrrh yng stip psng simpulny trpt lintsn, mislkn ri v 0 k v 1 hrus lintsn, yng jug lintsn ri v 1 k v 0, gitu jug ngn stip simpul linny. [10] Gmr 2.6 Pohon inr pnuh (pohon n-ry ngn n = 2) pohon pohon ukn pohon ukn pohon [10] Gmr 2.4 Contoh gr pohon n ukn pohon III. PENERAPAN GRAF DAN POHON DALAM SISTEM PERTANDINGAN OLAHRAGA Sistm prtningn olhrg srny 2 mm yitu sistm gugur n sistm komptisi. Sistm prtningn ini pt kit rprsntsikn ngn gr tu pohon.

3 A. Sistm Gugur Sistm gugur lh sistm prtningn yng mlitkn sluruh psrt prtningn i wl turnmn. Psrt yng klh lngsung klur ri turnmn shingg p putrn rikutny, nyk psrt rkurng stnghny, smpi mnyiskn stu prtningn yng mnntukn jurny. Brikut gn sistm gugur ngn rprsntsi pohon. Sistm gugur ini igunkn jik jumlh psrt kurng ri 2 x, tu lih kt ngn 2 x i tsny. Mislny 7 tim lih kt ngn 8 rip 4 tu 13 tim lih kt ngn 16 rip 8. Brikut ontoh gnny. Gmr 3.2 Sistm gugur ngn jumlh psrt 7 Gmr 3.1 Pohon prtningn turnmn ngn sistm gugur Rprsntsi pohon yng igunkn lh pohon inr (inry tr) ngn 2 tim yng rtning sgi simpul un n pmnng prtningn sgi kr pohon trsut. Untuk mnghitung nykny prtningn yng trji, mnurut uku Mtmtik Diskrit [1], kit mislkn JP lh nykny simpul lm tu prtningn yng trji n n lh nykny simpul un tu nykny psrt i lm pohon inr trtur. Tl 3.1 Rprsntsi Pohon p Sistm Gugur Pohon Akr pohon Simpul un Simpul lm Sistm Gugur Jur turnmn Psrt turnmn Kjin prtningn Krn i lm sistm gugur stip prtningn mnggugurkn sorng pmin n i khir prtningn yng iminkn smu psrt tlh gugur kuli sng jur, mk nykny prtningn yng trji stu lih sikit rip jumlh pmin. Ji, iprolh huungn: Jumlh prtningn yng norml kn rkurng snyk jumlh kjin y. Untuk mnghitung nykny jumlh kjin y, mk kit tinggl mnghitung kurngny jumlh psrt untuk mnpi sistm gugur norml. Untuk mnghitung jumlh prtningn sm ngn sistm gugur norml yitu mnggunkn prsmn (1). Contoh ksus : mislkn turnmn triri ri 27 psrt, mk jumlh kjin y lh 5 kli krn 27 mnkti 32 = 2 5 rip 16 = 2 4, sngkn jumlh prtningn lh JP = 27 1 = 26 kli. 3. Sistm gugur ngn pnyisihn Sistm gugur ini igunkn jik jumlh psrt lih ri 2 x, tu lih kt ngn 2 x i whny, mislny 6 tim lih kt ngn 4 rip 8 tu 11 tim lih kt ngn 8 rip 16. Brikut ontoh gnny. Brikut ontoh gnny. JP = n 1 (1) P Gmr 3.1 nykny prtningn yng trji ngn n = 8 lh JP = 8-1 = 7 kli. A 4 mm sistm gugur yitu: 1. Sistm gugur norml Sistm gugur ini sm sprti p Gmr 3.1 yitu jumlh psrt tpt snyk 2 x. 2. Sistm gugur ngn y Gmr 3.3 Sistm gugur ngn jumlh psrt 9 Jumlh prtningn yng norml kn rtmh snyk slisih ri n ngn 2 x yng mnkti. Untuk mnghitung jumlh prtningn, sm

4 ngn sistm gugur norml mnggunkn prsmn (1). 4. Sistm gugur ngn s Sistm gugur ini intik ngn sistm gugur norml, nmun rp tim itmptkn tnp pngunin mislny jur rthn hrus r klompok ngn tim tun rumh untuk mnjmin gr psrt yng lolos k rikutny krn mmng rprstsi, ukn krn kruntungn. Sistm ini tik irprsntsikn krn mirip sistm gugur norml, hny r st pngunin psrt. Bil turnmn ikn ngn prturn hom wy mk jumlh prtningnny mnji u kliny ri ktig prsmn i ts yitu: 1. Finl ngn 1 kli tning JP khir = (JP wl x 2) 1 (2) 2. Finl ngn 2 kli tning JP khir = (JP wl x 2) (3) B. Sistm Komptisi Sistm komptisi lh sistm prtningn yng mmrikn ksmptn kp stip psrtny untuk rtning mlwn sluruh psrt lm turnmn trsut. Sistm komptisi yng is igunkn lh sistm stngh komptisi ( roun-roin) n sistm komptisi pnuh (oul roun-roin). 1. Sistm stngh komptisi (roun-roin) Sistm komptisi ini mmprtmukn stip timny ngn smu tim snyk stu kli. Brikut rprsntsi gr ri sistm ini. Gmr 3.4 Sistm stngh komptisi ngn rprsntsi gr Rprsntsi gr yng igunkn lh gr lngkp ngn simpul sgi psrt turnmn n usur mnytkn prtningn. Mislkn usur(tim A,Tim B) mnytkn Tim A mlwn Tim B. Untuk mnghitung nykny prtningn yng trji pt ilkukn ngn r mnghitung nykny usur p gr trsut. Mislkn n lh nykny simpul. Untuk 1 uh simpul trpt ( n - 1) usur shingg untuk n usur trpt n (n - 1) usur. Nmun stip usur kn trhitung snyk 2 kli shingg rumus untuk mnri nykny prtningn lm sistm komptisi ini lh JP = n (n - 1) / 2 (4) P Gmr 3.4 nykny prtningn yng trji lh JP = 5 (5 1) / 2 = 10 kli. 2. Sistm komptisi pnuh (oul roun-roin) Sistm komptisi ini mmprtmukn stip timny ngn smu tim snyk u kli ngn prturn hom wy. Brikut rprsntsi gr ri sistm ini. Gmr 3.4 Sistm komptisi pnuh ngn rprsntsi gr Rprsntsi gr yng igunkn lh grgn rrh ngn simpul sgi psrt turnmn n usur mnytkn prtningn. Mislkn usur(tim A,Tim B) mnytkn Tim A tnng mlwn Tim B i knng tim B. Slikny usur(tim B,Tim A) mnytkn Tim B rtnng mlwn Tim A i knng tim A. Bnykny prtningn p sistm komptisi ini lh 2 kliny ri sistm stngh komptisi yitu JP = n (n - 1) (5) Contoh ksus: P Prmir Lgu (Lig spk ol Inggris) trpt 20 tim lm turnmn trsut ngn sistm komptisi pnuh. Bnykny prtningn yng trji lm 2 musim lh JP = 20 (20 1) x 2 = 720 kli. C. Sistm Gungn Sistm prtningn ini mnggungkn ntr sistm gugur ngn sistm komptisi. Bisny sistm komptisi hulu yng igunkn p putrn prtm n putrn slnjutny mnggunkn sistm gugur. Contohny p turnmn spk ol rgngsi s-erop yitu Lig Chmpions. Stlh thp kuliiksi, tim yng rhsil lolos kn msuk s grup ngn sistm

5 komptisi pnuh. Tim yng lolos snyk 32 kn imsukkn k 8 grup yng 1 grupny triri ri 4 tim. Stlh s grup slsi, imil 2 tim ri tip grup yitu jur n runnr-up grup untuk msuk k s knok-out. Di s ini sistm yng igunkn lh sistm gugur norml hom wy ngn inl 1 kli tning. Bnykny prtningn yng trji i Lig Chmpions ini p s grup n s knok-out lh sgi rikut. Jumlh prtningn s grup: Dngn mnggunkn prsmn (5) mk 8 x n (n - 1) = 8 x 4(4-1) = 32 x 3 = 96 prtningn Jumlh prtningn s knok-out: Dngn mnggunkn prsmn (1) n (3) mk 2 x (n - 1) - 1 = 2 x (2 x 8-1) - 1 = 2 x 15 1 = 29 prtningn Ji, nykny prtningn yng trji i Lig Chmpions p s grup n s knok-out lh = 125 prtningn. D. Huungn Jumlh Prtningn, Wktu n Tmpt lm Suh Turnmn Dngn mngthui nykny prtningn yng kn trji lm sutu komptisi, kit pt mnghitung lmny wktu yng iutuhkn lm suh turnmn. Untuk mnghitung wktu yng iutuhkn, kit pt mngklikn wktu yng iutuhkn lm 1 kli prtningn mislny t stun wktu ngn klim prsmn slumny. P ksus Lig Chmpions i ts jik stu prtningn spk ol rlngsung slm 2 jm, wktu yng iutuhkn lh 125 x 2 jm tu 250 jm. Jik lm stu hri trji 4 prtningn, turnmn kn rlngsung kurng lih slm 63 hri. Nmun knytnny Lig Chmpions tik rlngsung slm itu. Hl ini ikrnkn ktor linny yitu tmpt rtning. Bnykny tmpt pt mmut wktu suh turnmn smkin isin krn lm ursi 1 prtningn is trji rp prtningn snyk tmpt yng igunkn untuk rtning. Ji nykny tmpt rning trlik ngn lmny wktu yng iutuhkn lm suh turnmn. Nmun hl ini tik kn trus rlngsung jik jumlh psrt yng rthn lih sikit ri tmpt yng trsi. Dri rprsntsi trsut pt iri jumlh prtningn yng trji lm sutu sistm ngn rumus p mklh ini. Jumlh prtningn ini pt ihuungkn ngn wktu yng iutuhkn sutu turnmn n jumlh tmpt prtningn. Wktu yng iutuhkn kn lih sntr jik jumlh tmpt lih nyk, gitu pul slikny, shingg wktu yng iutuhkn rning trlik ngn jumlh tmpt prtningn. DAFTAR PUSTAKA [1] Munir, Rinli. Diktt Kulih IF 2120 Mtmtik Diskrit. Bnung : Pnrit Tknik Inormtik Institut Tknologi Bnung B 8-9. [2] ikss tnggl 14 Dsmr 2013 pukul [3] ikss tnggl 14 Dsmr 2013 pukul [4] ikss tnggl 14 Dsmr 2013 pukul [5] ikss tnggl 14 Dsmr 2013 pukul [6] ikss tnggl 14 Dsmr 2013 pukul [7] ikss tnggl 15 Dsmr 2013 pukul [8] ikss tnggl 15 Dsmr 2013 pukul [9] Sli Kulih Mtmtik Diskrit Gr (2013) ikss tnggl 16 Dsmr 2013 pukul [10] Sli Kulih Mtmtik Diskrit Pohon (2013) ikss tnggl 16 Dsmr 2013 pukul PERNYATAAN Dngn ini sy mnytkn hw mklh yng sy tulis ini lh tulisn sy sniri, ukn surn, tu trjmhn ri mklh orng lin, n ukn plgisi. Bnung, 17 Dsmr 2013 Fhmi Dumi IV. KESIMPULAN Sistm prtningn olhrg pt irprsntsikn ngn gr tu pohon. Sistm gugur pt irprsntsikn ngn pohon inr n sistm komptisi pt irprsntsikn ngn gr lngkp.