GRAF TERAPAN. Diktat Kuliah UNIVERSITAS PAMULANG. ( Digunakan untuk kalangan sendiri ) Ari Mulyoto, S.Pd, M.Si.

Transkripsi

1 Diktt Kulih GRAF TERAPAN ( Digunkn untuk klngn sniri ) Ari Mulyoto, S.P, M.Si. JURUSAN TEKNIK REKAYASA PERANGKAT LUNAK UNIVERSITAS PAMULANG i

2 DAFTAR ISI hlmn DAFTAR ISI i PENDAHULUAN B GRAF 2 A. DEFINISI GRAF 2 B. JENIS-JENIS GRAF 2 C. TERMINOLOGI GRAF D. BEBERAPA GRAF SEDERHANA KHUSUS 7 E. REPRESENTASI GRAF 2 F. LINTASAN DAN SIRKUIT EULER G. LINTASAN DAN SIRKUIT HAMILTON 6 B 2 APLIKASI GRAF A. LINTASAN TERPENDEK 2 B. ALGORITMA DIJKSTRA 2 C. PERSOALAN PERJALANAN PEDAGANG 22 B 2 POHON 25 A. DEFINISI POHON 25 B. TERMINOLOGI PADA POHON BERAKAR DAFTAR PUSTAKA i

3 PENDAHULUAN Gmr.. Mslh Jmtn Kőnigsrg. Grf igunkn untuk mrprsntsikn ojk-ojk iskrit n huungn ntr ojkojk trsut. Istilh grf prtm kli munul p thun 76 yng ikji olh ilmuwn Swiss yng rnm Lonr Eulr. Di mngmukkn prmslhn yng iknl ngn Mslh Jmtn Kőnigsrg. Dptkh ssorng mllui 7 jmtn trsut tpt stu kli n kmli k tmpt smul? (sprti p Gmr.). Brikut lh skts yng mrprsntsikn ilustrsi jmtn Königsrg. Himpunn titik yitu {A, B, C, D} mrprsntsikn sgi rtn, n gris yng mnghuungkn titik-titik trsut lh sgi jmtn. C A D B Gmr.2. Skts rprsntsi Jmtn Kőnigsrg. Jwn prtnyn Eulr lh tik mungkin. Agr is mllui stip jmtn tpt skli n kmli lgi k tmpt smul mk jumlh jmtn yng mnghuungkn stip rtn hrus gnp. Grf mrupkn struktur iskrit yng triri himpunn sjumlh rhingg oyk yng isut simpul (vrtis, vrtx) n himpunn sisi (gs) yng mnghuungkn simpulsimpul trsut.

4 B. TEORI GRAF A. DEFINISI GRAF Notsi suh grf lh G = (V, E), imn : V mrupkn himpunn tk kosong ri simpul-simpul (vrtis/vrtx), mislkn V = { v, v 2,..., v n } E mrupkn himpunn sisi sisi (gs) yng mnghuungkn spsng simpul, mislkn E = {, 2,..., n } G G Gmr.. Grf Srhn n Grf Tik Srhn Contoh 5.. P Gmr 5., G lh grf ngn V = {, 2,, } E = { (, 2), (, ), (2, ), (2, ), (, ) } G 2 lh grf ngn V = {, 2,, } E = { (, 2), (2, ), (, ), (, ), (2, ), (, ), (, ), (, ) } = {, 2,,, 5, 6, 7, 8 } P G 2, sisi n sisi = (, ) inmkn sisi-gn (multipl gs tu prll gs) krn ku sisi ini mnghuungi u uh simpul yng sm, yitu simpul n simpul, n sisi 8 = (, ) inmkn glng tu klng (loop) krn i rwl n rkhir p simpul yng sm. B. JENIS-JENIS GRAF Brsrkn tikny glng tu sisi gn p sutu grf, mk grf igolongkn mnji u jnis:. Grf Srhn (simpl grph). Grf yng tik mngnung glng mupun sisi-gn inmkn grf srhn. G p Gmr.. lh ontoh grf srhn 2

5 2. Grf Tk-Srhn (Unsimpl-Grph). Grf yng mngnung sisi gn tu glng inmkn grf tk-srhn (unsimpl grph). G 2 p Gmr.. lh ontoh grf tk-srhn Brsrkn orintsi rh p sisi, mk sr umum grf ikn ts 2 jnis:. Grf Tk-Brrh (Unirt Grph) Grf yng sisiny tik mmpunyi orintsi rh isut grf tk-rrh. Du uh grf p Gmr.. lh grf tk-rrh. 2. Grf Brrh (Dirt Grph Atu Digrph) Grf yng stip sisiny irikn orintsi rh isut sgi grf rrh. Du uh grf p Gmr.2. lh grf rrh. 2 2 Gmr.2. Grf Brrh C. TERMINOLOGI GRAF G G2 G 2 Gmr.. Trminologi Grf. Kttnggn (Ajnt) Du uh simpul (vrtx) iktkn rttngg il kuny trhuung lngsung olh sisi. P grf G : simpul rttngg ngn simpul 2 n, simpul tik rttngg ngn simpul.

6 2. Brsisin (Ininy) Untuk smrng sisi = (v i, v j ) iktkn rsisin ngn simpul v j, tu rsisin ngn simpul v i P grf G 2 : 2 rsisin ngn simpul n simpul 2 rsisin ngn simpul n simpul, ttpi tik rsisin ngn simpul.. Simpul Trpnil (Isolt Vrtx) Simpul trpnil ilh simpul yng tik mmpunyi sisi yng rsisin ngnny. Tinju grf G : simpul 5 lh simpul trpnil.. Grf Kosong (null grph tu mpty grph) Grf kosong lh grf yng himpunn sisiny mrupkn himpunn kosong (N n ). Dngn kt lin grf kosong lh grf yng tik mmiliki sisi. 2 Gmr... Grf kosong N 5. Drjt (Dgr) Drjt sutu simpul lh jumlh sisi yng rsisin ngn simpul trsut. Notsi: (v) Tinju grf G : () = () = 2 (2) = () = Tinju grf G : (5) = simpul trpnil () = simpul nting-nting (pnnt vrtx) Tinju grf G 2 : () = () = rsisin ngn sisi gn rsisin ngn sisi glng (loop) P grf rrh, in (v) = rjt-msuk (in-gr) = jumlh usur yng msuk k simpul v out (v) = rjt-klur (out-gr) = jumlh usur yng klur ri simpul v

7 (v) = in (v) + out (v) Gmr.5. Drjt simpul grf rrh P Gmr.5 : (P) = n (P) = mk (P) = in out (Q) = n (Q) = mk (Q) = 5 in out (R) = n (R) = mk (R) = 2 in out (S) = n (S) = 2 mk (S) = in out Lmm Jt Tngn : Jumlh rjt smu simpul p sutu grf lh gnp, yitu u kli jumlh sisi p grf trsut. Dngn kt lin, jik G = (V, E), mk : ( v) 2 E vv Tinju grf G : () + (2) + () + () = = = 2 jumlh sisi = 2 5 Tinju grf G 2 : () + (2) + () = + + = = 2 jumlh sisi = 2 5 Tinju grf G : () + (2) + () + () + (5) = = 8 = 2 jumlh sisi = 2 5

8 Contoh 5.2. Dikthui grf ngn lim uh simpul. Dptkh kit mnggmr grf trsut jik rjt msing-msing simpul lh: () 2,,,, 2 () 2,,,, Pnylsin: () tik pt, krn jumlh rjt smu simpulny gnjil ( = 9). () pt, krn jumlh rjt smu simpulny gnp ( = 6). 6. Lintsn (Pth) Lintsn yng pnjngny n ri simpul wl v k simpul tujun v n i lm grf G ilh risn rslng-sling simpul-simpul n sisi-sisi yng rntuk v,, v, 2, v 2,..., v n, n, v n smikin shingg = (v, v ), 2 = (v, v 2 ),..., n = (v n-, v n ) lh sisi-sisi ri grf G. Lintsn, 2,, p G lh lintsn ngn risn sisi (,2), (2,), (,). Pnjng lintsn lh jumlh sisi lm lintsn trsut. Lintsn, 2,, p G mmiliki pnjng. 7. Siklus (Cyl) tu Sirkuit (Ciruit) Lintsn yng rwl n rkhir p simpul yng sm isut sirkuit tu siklus. P grf G : Lintsn, 2,, lh suh sirkuit. Pnjng sirkuit lh jumlh sisi lm sirkuit trsut. Sirkuit, 2,, p G mmiliki pnjng. 8. Trhuung (Connt) Du uh simpul v n simpul v 2 isut trhuung jik trpt lintsn ri v k v 2. G isut grf trhuung (onnt grph) jik untuk stip psng simpul v i n v j lm himpunn V trpt lintsn ri v i k v j. Jik tik, mk G isut grf tktrhuung (isonnt grph). 6

9 Contoh grf tk-trhuung: Gmr.6.. Grf tk trhuung. 9. Grf Broot (Wight Grph) Grf root lh grf yng stip sisiny iri suh hrg (oot) Gmr.7. Grf root. D. BEBERAPA GRAF SEDERHANA KHUSUS. Grf Lngkp (Complt Grph) Grf lngkp ilh grf srhn yng stip simpulny mmpunyi sisi k smu simpul linny. Grf lngkp ngn n uh simpul ilmngkn ngn K n. Jumlh sisi p grf lngkp yng triri ri n uh simpul lh n(n )/2. K K 2 K K K 5 K 6 Gmr.8. Grf lngkp. 7

10 . Grf Lingkrn (Cyl Grft) Grf lingkrn lh grf srhn yng stip simpulny rrjt u. Grf lingkrn ngn n simpul ilmngkn ngn C n. Gmr.9. Grf lingkrn.. Grf Trtur (Rgulr Grphs) Grf yng stip simpulny mmpunyi rjt yng sm isut grf trtur. Apil rjt stip simpul lh r, mk grf trsut isut sgi grf trtur rjt r. Jumlh sisi p grf trtur lh nr/2. Gmr.. Grf trtur.. Grf Biprtit (Biprtit Grph) Grf G yng himpunn simpulny pt ipish mnji u himpunn gin V n V 2, smikin shingg stip sisi p G mnghuungkn suh simpul i V k suh simpul i V 2 isut grf iprtit n inytkn sgi G(V, V 2 ). V V 2 Gmr.. Grf iprtit. Grf G n G 2 rikut lh grf iprtit, krn simpul-simpuny pt igi mnji V = {,, } n V 2 = {,, f, g} 8

11 H 2 H W G E G G 2 grf prsoln utilits, topologi intng Gmr.2 : Grf iprtit lin.. Grf Isomorfik (Isomorphi Grph) Du uh grf yng sm ttpi sr gomtri r isut grf yng sling isomorfik. Du uh grf, G n G 2 iktkn isomorfik jik trpt korsponnsi stu-stu ntr simpul-simpul kuny n ntr sisi-sisi kuy smikin shingg huungn krsisin ttp trjg. Dngn kt lin, mislkn sisi rsisin ngn simpul u n v i G, mk sisi yng rkorsponn i G 2 hrus rsisin ngn simpul u n v yng i G 2. Du uh grf yng isomorfik lh grf yng sm, kuli pnmn simpul n sisiny sj yng r. Ini nr krn suh grf pt igmrkn lm nyk r. v w 2 x y () G () G 2 () G Gmr. : G isomorfik ngn G 2, ttpi G tik isomorfik ngn G z v w x y () G () G 2 Gmr.. Grf () n grf () isomorfik 9

12 z v w y x A G = A G2 = z v w y x () () Gmr.5. () Du uh grf isomorfik, () tig uh grf isomorfik Dri finisi grf isomorfik pt ikmukkn hw u uh grf isomorfik mmnuhi ktig syrt rikut [DEO7]:. Mmpunyi jumlh simpul yng sm. 2. Mmpunyi jumlh sisi yng sm. Mmpunyi jumlh simpul yng sm rrjt trtntu Nmun, ktig syrt ini trnyt lum ukup mnjmin. Pmriksn sr visul prlu ilkukn. () () Gmr.6. Du uh grf tik isomorfik, x u v w y

13 f. Grf Plnr (Plnr Grph) n Grf Bing (Pln Grph) Grf yng pt igmrkn p ing tr ngn sisi-sisi tik sling mmotong isut sgi grf plnr, jik tik, i isut grf tk-plnr. Gmr.7. K lh grf plnr Gmr.8. K 5 ukn grf plnr Grf plnr yng igmrkn ngn sisi-sisi yng tik sling rpotongn isut grf ing (pln grph). () () () Gmr.9. Tig uh grf plnr. Grf () n () lh grf ing Sisi-sisi p grf plnr mmgi ing mnji rp wilyh (rgion) tu muk (f). Jumlh wilyh p grf plnr pt ihitung ngn muh.

14 R 2 R R R 6 R 5 R Gmr.2. Grf plnr yng triri ts 6 wilyh Brp hl tntng grf plnr G(V, E), ntr lin : (Formul Eulr) Mislkn G mrupkn grf plnr trhuung ngn uh sisi n v uh simpul, n r mrupkn jumlh rh p grf plnr trsut mk r = v + 2. Jik G mrupkn grf plnr trhuung ngn uh sisi n v uh simpul (v ) mk v 6 (ktksmn Eulr). Jik G mrupkn grf plnr trhuung ngn uh sisi n v uh simpul (v ) n tik mmut sirkuit ngn pnjng mk 2v. E. REPRESENTASI GRAF Bil grf kn ipross ngn progrm omputr, mk grf hrus irprsntsikn ilm mmori. A tig mm rprsntsi grf yng is igunkn, yitu ngn mtriks kttnggn, mtriks rsisin, tu ngn snri kttnggn. Mtriks pt igunkn untuk mnytkn sutu grf. Nmun ksulitn utm mrprsntsikn grf lm mtriks lh ktrtsn mtriks untuk mnkup smu informsi yng lm grf.. Mtriks Huung (Ajny Mtrix) Mtriks kttnggn lh rprsntsi grf yng pling umum igunkn. Mtriks Huung (Ajny Mtrix) igunkn untuk mrprsntsikn grf ngn r mnytknny lm jumlh gris yng mnghuungkn titik-titikny. Bnykny ris n kolom mtriks huung sm ngn jumlh titik-titik p grf. Krn nykny ris n kolom mtriks huung sm ngn jumlh titik-titik p grf, mk jls hw mtriks huung sllu mrupkn mtriks yng simtris/prsgi (roro n x n). 2

15 Contoh : 2 2 Grf G Gmr.2. Grf G n jny mtriks grf G Contoh 2: A G = Gmr.22. Grf G 2 n jny mtriks grf G 2 Disini trpt n! r pngurutn nomor simpul, yng rrti n! mtriks kttnggn yng r untuk grf ngn n simpul.

16 2. Mtriks Binr Mtriks inr mrupkn rprsntsi grf imn stip lmn lm mtriks mnytkn ktrhuungn ntr titik lm grf ngn sisi-sisi yng trhuung p titik trsut. Mtriks inr mrupkn mtriks zro-on (/) roro m x n imn nykny ris mnykn nykny titik, n nyk kolom mnytkn nykny sisi-sisi p grf Gmr.22. Grf G 2 n mtriks inr ri grf G 2 F. LINTASAN DAN SIRKUIT EULER Lintsn Eulr ilh lintsn yng mllui msing-msing sisi i lm grf tpt stu kli. Sirkuit Eulr ilh sirkuit yng mlwti msing-msing sisi tpt stu kli. Grf yng mmpunyi sirkuit Eulr isut grf Eulr (Eulrin grph). Grf yng mmpunyi lintsn Eulr inmkn jug grf smi-eulr (smi-eulrin grph). Contoh.. Lintsn Eulr p grf Gmr.2 () :,, 2,,, Lintsn Eulr p grf Gmr.2 () :, 2,, 6, 2,, 6, 5,, Sirkuit Eulr p grf Gmr.2 () :, 2,,, 7,, 5, 7, 6, 5, 2, 6, Sirkuit Eulr p grf Gmr.2 () :,, f,,,,,,,, f,, Grf () n (f) tik mmpunyi lintsn mupun sirkuit Eulr Torm.. Grf tik rrh mmiliki lintsn Eulr jik n hny jik trhuung n mmiliki u uh simpul rrjt gnjil tu tik simpul rrjt gnjil sm skli. Torm.2. Grf tik rrh G lh grf Eulr (mmiliki sirkuit Eulr) jik n hny jik stip simpul rrjt gnp.

17 2 2 () () () () () 2 (f) 5 Gmr.2. () n () grf smi-eulr, () n () grf Eulr () n (f) ukn grf smi-eulr tu grf Eulr (Cttlh hw grf yng mmiliki sirkuit Eulr psti mmpunyi lintsn Eulr, ttpi tik slikny) Torm.. f Grf rrh G mmiliki sirkuit Eulr jik n hny jik G trhuung n stip simpul mmiliki rjt-msuk n rjt-klur sm. G mmiliki lintsn Eulr jik n hny jik G trhuung n stip simpul mmiliki rjt-msuk n rjt-klur sm kuli u simpul, yng prtm mmiliki rjt-klur stu lih sr rjt-msuk, n yng ku mmiliki rjt-msuk stu lih sr ri rjt-klur. f g () () () Gmr.2. () Grf rrh Eulr (, g,,, g,,, f, ) () Grf rrh smi-eulr (,,,,, ) () Grf rrh ukn Eulr mupun smi-eulr 5

18 Gmr.25. Grf Buln sit Muhmm G. LINTASAN DAN SIRKUIT HAMILTON Lintsn Hmilton ilh lintsn yng mllui tip simpul i lm grf tpt stu kli. Sirkuit Hmilton ilh sirkuit yng mllui tip simpul i lm grf tpt stu kli, kuli simpul sl (skligus simpul khir) yng illui u kli. Grf yng mmiliki sirkuit Hmilton inmkn grf Hmilton, sngkn grf yng hny mmiliki lintsn Hmilton isut grf smi-hmilton () () () Gmr.26. () grf yng mmiliki lintsn Hmilton (misl:, 2,, ) () grf yng mmiliki sirkuit Hmilton (, 2,,, ) () grf yng tik mmiliki lintsn mupun sirkuit Hmilton () () Gmr.25. () Dohron Hmilton, n () grf yng mngnung sirkuit Hmilton 6

19 TEOREMA.. Syrt ukup (ji ukn syrt prlu) supy grf srhn G ngn n ( ) uh simpul lh grf Hmilton ilh il rjt tip simpul pling sikit n/2 (yitu, (v) n/2 untuk stip simpul v i G). TEOREMA.5. Stip grf lngkp lh grf Hmilton. TEOREMA.6. Di lm grf lngkp G ngn n uh simpul (n ), trpt (n - )!/2 uh sirkuit Hmilton. TEOREMA.7. Di lm grf lngkp G ngn n uh simpul (n n n gnjil), trpt (n - )/2 uh sirkuit Hmilton yng sling lps (tik sisi yng ririsn). Jik n gnp n n, mk i lm G trpt (n - 2)/2 uh sirkuit Hmilton yng sling lps. Contoh.. (Prsoln pngturn tmpt uuk). Smiln nggot suh klu rtmu tip hri untuk mkn sing p suh mj unr. Mrk mmutuskn uuk smikin shingg stip nggot mmpunyi ttngg uuk r p stip mkn sing. Brp hri pngturn trsut pt ilksnkn? Jumlh pngturn tmpt uuk yng r lh (9 - )/2 = Gmr.26. Grf yng mrprsntsikn prsoln pngturn tmpt uuk. 7

20 Brp grf pt mngnung sirkuit Eulr n sirkuit Hmilton skligus, mngnung sirkuit Eulr ttpi tik mngnung sirkuit Hmilton, mngnung sirkuit Eulr n lintsn Hmilton, mngnung lintsn Eulr mupun lintsn Hmilton, tik mngnung lintsn Eulr nmun mngnung sirkuit Hmilton, n sginy. Grf p Gmr.27.() mngnung sirkuit Hmilton munpun sirkuit Eulr, sngkn grf p Gmr.27.() mngnung sirkuit Hmilton n lintsn Eulr (priks!) () () Gmr.27. () Grf Hmilton skligus grf Eulr () Grf Hmilton skligus grf smi-eulr 8

21 LATIHAN. Gmrkn (il pt) grf ngn lim simpul yng msing-msing simpul rrjt rikut :.,,,, 2.,,,,., 2,,, 5 2. Tntukn mn intr grf-grf rikut yng mmiliki sirkuit Eulr n tu sirkuit Hmilton!.... 9

22 B. 2 APLIKASI GRAF A. LINTASAN TERPENDEK ( Shortst Pth ) Mislkn G mrupkn grf root (wight grph), yitu stip sisi ri grf G mmiliki oot trtntu, sprti p ilustrsi iwh ini : Gmr 2.. Grf root Hl yng isny ilkukn lh mnntukn lintsn trpnk p grf trsut. Dngn kt lin, mnntukn lintsn yng mmiliki totl oot minimum. Contoh 2. :. Mnntukn jrk trpnk/wktu tmpuh trsingkt/ongkos trmurh ntr u uh kot 2. Mnntukn wktu trsingkt pngirimn psn (mssg) ntr u uh trminl p jringn komputr. Brp jnis prsoln lintsn trpnk, ntr lin:. Lintsn trpnk ntr u uh simpul trtntu.. Lintsn trpnk ntr smu psngn simpul.. Lintsn trpnk ri simpul trtntu k smu simpul yng lin.. Lintsn trpnk ntr u uh simpul yng mllui rp simpul trtntu. B. ALGORITMA LINTASAN TERPENDEK DIJKSTRA Algoritm Dijkstr mrupkn sutu lgoritm yng igunkn untuk mnntukn lintsn trpnk ri sutu simpul k smu simpul lin. Untuk mmprmuh lm pmhmn Algoritm Dijkstr, rikut ini lh grf imn simpul-simpulny mrprsntsikn kot-kot i Amrik Srikt n sisi ri grf trsut mrprsntsikn jrk ntr u kot (lm kilomtr). 2

23 Contoh 2.2 : Gmr 2.2. Grf Kot-kot i Amrik Dngn mnggunkn Algoritm Dijkstr kn itntukn jrk trpnk ri kot Boston k kot-kot yng linny Ji, lintsn trpnk ri: 5 k 6 lh 5, 6 ngn jrk = 25 km 5 k 7 lh 5, 6, 7 ngn jrk = 5 km 5 k lh 5, 6, ngn jrk = 25 km 5 k 8 lh 5, 6, 8 ngn jrk = 65 km 5 k lh 5, 6,, ngn jrk = 25 km 5 k 2 lh 5, 6,,, 2 ngn jrk = 25 km 5 k lh 5, 6, 8, ngn jrk = 5 km 2

24 C. PERSOALAN PERJALANAN PEDAGANG ( Trvlling Slsprson Prolm ) Sprti hlny ontoh p (), mislkn irikn sjumlh kot n jrk ntr kot. Tntukn sirkuit trpnk yng hrus illui olh sorng pgng il pgng itu rngkt ri suh kot sl n i hrus mnyingghi stip kot tpt stu kli n kmli lgi k kot sl krngktn. Ini mrupkn mslh mnntukn sirkuit Hmilton yng mmiliki oot minimum. Jumlh sirkuit Hmilton i lm grf lngkp ngn n simpul: (n - )!/2. Contoh 2. (Munir, 2) : Jumlh sirkuit Hmilton i lm grf lngkp ngn n simpul: (n - )!/2 Grf i ts mmiliki ( )!/2 = sirkuit Hmilton, yitu: I = (,,,, ) tu (,,,, ) ==> pnjng = = 5 I 2 = (,,,, ) tu (,,,, ) ==> pnjng = = I = (,,,, ) tu (,,,, ) ==> pnjng = = 2 Ji, sirkuit Hmilton trpnk lh I = (,,,, ) tu (,,,, ) ngn pnjng sirkuit = = 2. 22

25 LATIHAN. Untuk stip grf i wh ini, gunkn lgoritm Djikstr untuk mnmukn lintsn trpnk ri u k stip simpul linny. An ihruskn untuk mnggmrkn grf pr thp, shingg msing-msing plln pt igmrkn ngn jls. 2. Suh pkt risi rng-rng sli i Los Angls pt ikirimkn k Boston mllui rp rut r, yng itunjukkn i wh ini. Boot tip usur mnytkn iy trnsportsi tu pngirimn pkt ntr kot yng rhuungn. Gunkn lgoritm Djikstr untuk mnmukn rut trpnk yng pt mminimumkn iy ri Los Angls k Boston! 2

26 . 2

27 B. P O H O N A. DEFINISI POHON Pohon (tr) mrupkn slh stu ntuk khusus ri struktur sutu grf. Mislkn A mrupkn suh himpunn rhingg simpul (vrtx) p sutu grf G yng trhuung. Untuk stip psngn simpul i A pt itntukn sutu lintsn yng mnghuungkn psngn simpul trsut. Sutu grf trhuung yng stip psngn simpulny hny pt ihuungkn olh sutu lintsn trtntu, mk grf trsut inmkn pohon (tr). Dngn kt lin, pohon (tr) mrupkn grf tk-rrh yng trhuung n tik mmiliki sirkuit. Gmr.. G n G 2 lh pohon, sngkn G n G ukn pohon Hutn (forst) mrupkn kumpuln pohon yng sling lps. Dngn kt lin, hutn mrupkn grf tik trhuung yng tik mngnung sirkuit. Stip komponn i lm grf trhuung trsut lh pohon. P gmr 2., G mrupkn slh stu ontoh hutn, yitu hutn yng triri ri u pohon. Sift-sift Pohon G G 2 G G Torm.. Mislkn G = (V, E) lh grf tk-rrh srhn n jumlh simpulny n. Mk, smu prnytn i wh ini lh kivln:. G lh pohon. 2. Stip psng simpul i lm G trhuung ngn lintsn tunggl.. G trhuung n mmiliki m = n uh sisi.. G tik mngnung sirkuit n mmiliki m = n uh sisi. 5. G tik mngnung sirkuit n pnmhn stu sisi p grf hny kn mmut stu sirkuit. 6. G trhuung n smu sisiny lh jmtn. 25

28 . Pohon Mrntng Minimum (Minimum Spnning Tr) Spnning Tr ri sutu grf trhuung mrupkn sugrf mrntng yng rup pohon. Pohon mrntng iprolh ngn r mnghilngkn sirkuit i lm grf trsut. Contoh spnning tr ri sutu grf trhuung (Munir, 2) : G T T 2 T T Gmr.2. Spnning Tr Prhtikn grf i ts : Trliht hw T, T 2, T, T mrupkn spnning tr ri grf G. Prlu iprhtikn hw stip grf trhuung root pling sikit mmpunyi stu uh spnning tr. Pohon rntng yng mmiliki oot minimum inmkn pohon mrntng minimum (minimum spnning tr). Dlm khiupn nyt, slh stu ontoh pliksi spnning tr lh mnntukn rngkin jln ngn jrk totl sminimum mungkin yng mnghuungkn smu kot shingg stip kot ttp trhuung stu sm lin. Dlm mnntukn sutu minimum spnning tr ri sutu grf trhuung, kit pt mnntuknny ngn mngunkn u r yitu lgoritm Prim n lgoritm Kruskl. Algoritm Prim mmiliki lngkh-lngkh sgi rikut :. Pilih sisi ri grf G yng root minimum, msukkn k lm T. 2. Pilih sisi (u, v) lm G yng mmpunyi oot minimum n rsisin ngn simpul i T, ngn syrt sisi trsut tik mmntuk sirkuit i T. Msukkn (u, v) k lm T.. Ulngi lngkh 2 snyk n 2 kli. Jumlh lngkh sluruhny lm lgoritm Prim lh snyk jumlh sisi i lm spnning tr ngn n uh simpul, yitu (n ) uh. 26

29 Contoh.: Tntukn minimum spnning tr ri grf iwh ini : Jw : Pilih sisi fg shingg kit mmpunyi T ({f, g}, fg) Lngkh slnjutny pt ipilih sisi f krn sisi trsut root minimum yng rsisin ngn simpul f. Slnjutny pilih sisi tu gh krn sisi trsut root minimum yng rsisin ngn simpul p T, yitu n g. Jik pross ini ilnjutkn trus mk kn iprolh minimum spnning tr sprti iwh ini : Trliht hw spnning tr trsut mmpunyi totl oot : = 2. Lngkh-lngkh lm lgoritm Kruskl gk r ngn lgoritm Prim. P lgoritm Kruskl, smu sisi ngn oot yng miniml imsukn klm T sr rurutn. 27

30 Lngkh-lngkh lm mnntukn minimum spnning tr ngn lgoritm Kruskl lh sgi rikut : Lngkh I : T rntuk sprti pohon rikut Lngkh II : mmsukn sisi-sisi yng root klm T shingg rntuk Lngkh III : mmsukn sisi-sisi yng root klm shingg khirny iprolh minimum spnning tr rikut :.2 Pohon Brkr P sutu pohon, yng sisi-sisiny iri rh shingg mnyrupi grf rrh, mk simpul yng trhuung ngn smu simpul p pohon trsut inmkn kr. Sutu pohon yng stu uh simpulny iprlkukn sgi kr mk pohon trsut inmkn pohon rkr (root tr). Simpul yng rlku sgi kr mmpunyi rjt msuk sm ngn nol. Smntr itu, simpul yng lin p pohon itu mmiliki rjt msuk sm ngn stu. P sutu pohon rkr, Simpul yng mmiliki rjt klur sm ngn nol inmkn un. 28

31 f g f g h i j h i j P pohon rkr its : mrupkn kr, f, g, h, i, n j mrupkn un Gmr. : Pohon Brkr (Munir, 2) f g f h g h g h f Gmr. : Pohon n u uh pohon rkr yng ihsilkn ri pmilihn u simpul r sgi kr 29

32 B. TERMINOLOGI PADA POHON BERAKAR Prhtikn grf pohon rkr rikut : Gmr.5. Pohon rkr untuk trminologi.. Ank (hil tu hilrn) n Orngtu (prnt),, n lh nk-nk simpul, lh orngtu ri nk-nk itu. Lintsn (pth) Lintsn ri k h lh,,, h. ngn pnjng lintsnny lh. f lh sur knung, ttpi, g ukn sur knung, krn orngtu mrk r.. Sutr. Drjt (gr) Drjt suh simpul lh jumlh nk p simpul trsut.

33 Contoh : Simpul yng rrjt lh simpul, f, h, I, j, l, n m. Simpul yng rrjt lh simpul n g. Simpul yng rrjt 2 lh simpul n k. Simpul yng rrjt lh simpul n. Ji, rjt yng imksukn i sini lh rjt-klur. Drjt mksimum ri smu simpul mrupkn rjt pohon itu sniri. Pohon i ts rrjt. Dun (lf) Simpul yng rrjt nol (tu tik mmpunyi nk) isut un. Simpul h, i, j, f,, l, n m lh un.. Simpul Dlm (intrnl nos) Simpul yng mmpunyi nk isut simpul lm. Simpul,,, g, n k lh simpul lm. f. Ars (lvl) tu Tingkt g. Tinggi (hight) tu Klmn (pth) Ars mksimum ri sutu pohon isut tinggi tu klmn pohon trsut. Pohon i ts mmpunyi tinggi. Pohon rkr yng urutn nk-nkny pnting (iprhtikn) inmkn pohon trurut (orr tr). Sngkn pohon rkr yng stip simpul ngny mmpunyi pling nyk n uh nk isut pohon n-ry. Jik n = 2, pohonnny isut pohon inr (inry tr).

34 Brikut lh rp ontoh pohon inr :. Pohon Eksprsi Eksprsi ritmtik ( )*( + ) pt inytkn lm sutu pohon inr, imn puh sgi un n oprtor ritmtik sgi simpul lm n kr. * + 2. Pohon kputusn (Munir, 2) 2

35 C. LATIHAN. But skts grf inr (pohon ksprsi) yng mrprsntsikn kprsi :. p / (q r )*(s + t). (p + q) / r (s + t * u) 2. Tntukn hsil ri pohon ksprsi p sol no. lm ntuk prorr, inorr, n postorr!. P grf iwh ini, himpunn simpul mnfinisikn himpunn s p sutu kmtn. Dlm rngk pmutn jln ntr s iutlh nggrn pmiyn sprti trtulis sgi oot (lm stun jut rupih) stip sisi. Tntukn iy minimum yng hrus isipkn lm pmngunn jln ntr s trsut shingg stip s p kmtn trsut trhuung (ingt finisi trhuung p sutu grf).

36 DAFTAR PUSTAKA Munir, Rinli. Mtmtik Diskrit. Bnung: Informtik, 25. Sing, Jong Jk. Mtmtik Diskrit n Apliksiny p Ilmu komputr. Yogykrt: Ani Offst, 2. Wiisono, Smul. Mtmtik Diskrit. Yogykrt: Grh Ilmu, 28.