didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b"

Devi Sugiarto
7 tahun lalu
Tontonan:

1 1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli, yitu 1,, 3,... Dengn menggunkn ilngn sli kit dpt menghitung nykny uku yng kit miliki, kendrn yng mellui sutu jln, orng-orng yng erd dlm sutu rung dn lin-linny. Himpunn semu ilngn sli is dinotsikn dengn N. Jdi N = {1,, 3, 4, } Jik di dlm himpunn semu ilngn sli kit tmhkn semu negtifny dn nol, mk diperoleh ilngn-ilngn ult, yitu, 3,, 1, 0, 1,, 3, Himpunn semu ilngn ult is disimolkn dengn Z. Jdi Z = {, 3,, 1, 0, 1,, 3, } Selnjutny untuk mengukur esrn-esrn seperti pnjng, ert dn rus listrik mk ilngn ult tidk memdi. Dlm hl ini ilngn ult tidk dpt memerikn ketelitin yng cukup. Untuk keperlun ini mk dpt digunkn ilngn-ilngn rsionl, seperti,,, dn. Bilngn rsionl 4 8 didefinisikn segi ilngn yng dpt ditulis dengn dengn dn keduny ilngn ult dn 0. Dengn demikin ilngn-ilngn ult termsuk ilngn rsionl jug. Bilngn ult 3 merupkn ilngn rsionl se 3 dpt ditulis segi 6. Himpunn semu ilngn rsionl is dinotsikn dengn Q. Jdi Q = { Z, Z, 0} Bilngn rsionl yng dpt menjdi ukurn dengn ketelitin yng cukup ternyt msih tidk dpt menjdi ukurn semu esrn mislny pnjng sisi miring segitig siku-siku erikut. 1

2 1 1 Gmr 1 Dengn menggunkn ilngn irrsionl mk hl terseut di ts tidk menjdi mslh. Pnjng sisi miring segitig siku-siku terseut dlh. Bilngn irrsionl yng lin ntr lin 3,, 3 7, e dn π. Sekumpuln ilngn rsionl dn irrsionl esert negtifny dn nol ilngn-ilngn rel (ilngn nyt). Himpunn semu ilngn rel dinotsikn dengn R. Huungn keempt himpunn N, Z, Q, dn R dpt dinytkn dengn N Z Q R dn digmrkn dengn digrm venn erikut. R Q Z N Gmr Msih terdpt sistem ilngn yng leih lus dri system ilngn rel yitu ilngn yng secr umum dpt dinytkn dlm entuk + 1 dengn dn keduny ilngn ult, tu + i dengn i = 1. Bilngn demikin dinmkn ilngn kompleks dn himpunn semu ilngn kompleks dinotsikn dengn C.

3 Dlm uku ini ilngn kompleks tidk diicrkn leih lnjut. Jdi, pil dlm uku ini diseutkn sutu ilngn tnp keterngn ppun dimksudkn dlh ilngn rel. 1. Opersi Bilngn Pd R telh dikenl opersi penjumlhn dn perklin. Mislkn dn y ilngn rel mk penjumlhn dn y ditulis + y dn perklin dn y ditulis. y tu secr singkt ditulis y. Sift-sift opersi penjumlhn dn perklin pd R dlh segi erikut. 1) Hukum komuttif: + y = y + dn y = y. ) Hukum sositif: + (y + z) = ( + y) + z dn (yz) = (y)z. 3) Hukum distriutif: (y + z) = y + z. 4) Elemen-elemen identits: Terhdp penjumlhn: 0 se + 0 =. Terhdp perklin: 1 se.1 =. ) Invers (likn): Setip ilngn rel mempunyi invers ditif (diseut jug negtif) yng memenuhi + = 0 dn setip ilngn rel yng tidk nol mempunyi invers multipliktif (diseut jug likn) yitu 1 yng memenuhi. 1 = 1. Pengurngn dn pemgin didefinisikn dengn y = + ( y) dn =. y 1 y 1.3 Urutn Bilngn-ilngn rel ukn nol diedkn menjdi du himpunn terpish yitu ilngn-ilngn rel positif dn ilngn-ilngn rel negtif. Berdsrkn fkt ini diperkenlkn relsi urutn < (dic kurng dri ) yng didefinisikn dengn: < y jik dn hny jik y positif. < y mempunyi rti yng sm dengn y >. 3

4 Sift-sift urutn: 1) Trikotomi: Jik dn y ilngn-ilngn rel mk psti erlku slh stu di ntr yng erikut: < y tu = y tu > y. ) Trnsitif: jik < y dn y < z mk < z. 3) Penmhn: < y + z < y + z 4) Perklin: Jik z positif mk < y z < yz Jik z negtif mk < y z > yz Relsi urutn (dic kurng dri tu sm dengn ) didefinisikn dengn: y jik dn hny jik y positif tu nol. Sift-sift ini dlh: 1) Trnsitif: jik y dn y z mk z. ) Penmhn: y + z y + z 3) Perklin: Jik z positif mk y z yz Jik z negtif mk y z yz 1.4. Pertidksmn Pertidksmn merupkn klimt teruk yng menggunkn relsi <, >, tu. Penyelesin sutu pertidksmn dlh semu ilngn yng memenuhi pertidksmn terseut yng isny merupkn intervl tu gungn intervlintervl. Mengeni intervl dpt dijelskn segi erikut. Intervl teruk (,) dlh himpunn semu ilngn rel yng leih esr dri dn kurng dri. Jdi (,) = { < < }. Sedngkn intervl tertutup [,] dlh himpunn semu ilngn rel yng leih esr tu sm dengn dn kurng tu sm dengn. Jdi [,] = { }. Beerp intervl ditunjukkn dlm dftr erikut. 4

5 Penulisn Intervl Penulisn Himpunn Dlm Gris Bilngn (, ) { < < } [, ] { } [, ) { < } (, ] { < } (, ) { < } (, ] { } (, ) { > } [, ) { } (, ) R Contoh Pertidksmn 1) 7 < 4 ) + 6 < 4 3) 6 < 0 4) 3 > 0 ) 1 Contoh 1 Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn 7 < 4. Penyelesin: 7 < 4 < 4 + < > Hp: intervl (, ) = { > }

6 Contoh Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn + 6 < 4. Penyelesin: + 6 < 4 11 < < 1 Hp: intervl [, 1) = { < 1} 11 Contoh 3 Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn 6 < 0. Penyelesin: 6 < 0 ( 3)( + ) < Hp: intervl (, 3) = { < < 3} 3 Contoh 4 Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn 3 > 0 Penyelesin: 3 > 0 ( 1)(3 + ) > Hp: intervl (, ) (1, ) = { < 1 3 tu > 1} 3 Contoh Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn 1 Penyelesin: ( ) 0 6

7 3 0 ( 3)( ) 0 dengn syrt (mengp?) Hp: intervl (, 3] = { < 3} 3 1. Nili Mutlk Konsep nili mutlk sngt diperlukn untuk mempeljri klkulus. Oleh kren pemc yng ingin memhmi etul konsep-konsep dlm klkulus disrnkn mempunyi ketrmpiln dlm ekerj menggunkn nili mutlk. Definisi: Nili mutlk ilngn rel, ditulis didefinisikn dengn = jik 0 jik < 0 Misl: =, = ( ) =, 0 = 0 Sift-sift nili mutlk 1) = ) = 3) + + (ketidksmn segitig) 4) Pertidksmn yng memut nili mutlk Untuk menyelesikn pertidksmn yng memut nili mutlk dpt digunkn teorem erikut. 7

8 Teorem: 1. < < <. > < tu >. Secr fisis dpt menytkn jrk ke 0, sehingg yng memenuhi < menytkn yng jrkny ke 0 kurng dri. Secr fisis c dpt menytkn jrk ke c, sehingg yng memenuhi c < menytkn yng jrkny ke c kurng dri c Contoh 1 Tentukn penyelesin < 3. Penyelesin: Nili yng memenuhi 3 < < 3 merupkn penyelesin pertidksmn < 3. Gmrkn penyelesin pertidksmn terseut pd gris ilngn. Contoh Tentukn penyelesin pertidksmn < 3. Penyelesin: < 3 3 < < < < < < Jdi, penyelesinny dlh yng memenuhi 1 < <. Gmrkn pd gris ilngn penyelesin pertidksmn ini. 8

9 Contoh 3 Tentukn penyelesin pertidksmn 3 1. Penyelesin: tu tu tu Jdi, penyelesinny dlh yng memenuhi 3 4 tu. Gmrkn pd gris ilngn penyelesin pertidksmn ini. Contoh 4 Andikn ε (epsilon) dlh ilngn positif. ε Tunjukkn hw < 10 < ε. Penyelesin: ε < < ε < ε ( ) 10 < ε < ε Contoh Andikn ε (epsilon) dlh ilngn positif, crilh ilngn positif δ sedemikin sehingg 3 < δ 6 18 < ε Penyelesin: 6 18 < ε 6( 3) < ε 6 3 < ε 6 3) < ε ε 3 < 6 Oleh kren itu dpt dipilih δ = 6 ε. 9

10 Secr mundur dpt diliht hw 3 < δ 6 18 < ε. Terkit dengn ilngn kr pngkt du dpt dinytkn hw = SOAL 1 Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn erikut dn gmrkn himpunn penyelesinny pd gris ilngn < ( + )( 1)(3 + 7) < < ( + )( + ) ( 1) > < > < + 3 < < < 4 9 < < < + 1 < < > > > > > 6. 10

11 Buktikn hw impliksi yng ditunjukkn dlh enr < 0, 1 <,. ε 3. < 6 1 < ε. 6 ε < + 8 < ε. Dlm sol erikut, jik ε ilngn positif, crilh ilngn positif δ sedemikin sehingg impliksi yng dierikn enr. 34. < δ 3 1 < ε 3. < δ ( 4 ) 3 < ε 11

dokumen-dokumen yang mirip

SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi