Bab 3. Teori Graf. Tujuan Instruksional Umum

Transkripsi

1 B 3 Tori Grf Tori grf mrupkn pokok hsn mtmtik yng tlh tu usiny (tori ini munul prtm skli pd thun 736) nmun msih dipljri hingg st ini, ini diskn pnrpn tori ini dlm pmrogrmn komputr. Slin dlm pmrogrmn komputr tori grf jug ditrpkn dlm ilmi kimi, oprsi pnlitin, tknik lktro, linguistik, dn konomi. Grf digunkn untuk mrprsntsikn ojk-ojk diskrit dn huungn ntr ojk-ojk trsut. Brp ontoh grf yng sring dijumpi dlm khidupn shri-hri ntr lin: struktur orgnissi, gn lir pngmiln mt kulih, pt, rngkin listrik, dn lin-lin. Pt yng mrupkn ontoh grf yng sring kit prhtikn dpt mnolong kit untuk mliht huungn jln ry yng mnghuungkn kot-kot dlm pt itu, jug dpt diliht jrk (dlm skl) jln-jln itu. Shingg dngn mliht pt kit dpt mnntukn rut prjlnn mn yng hrus kit ikuti gr lih pt smpi k tujun. Tujun Instruksionl Umum

2 Agr mhsisw mmhmi tori grf dn pnrpnny dlm mrprsntsikn ojk-ojk diskrit dn dlm huungnny pmrogrmn, mislny dngn lgoritm lintsn trpndk. Tujun Instruksionl Khusus Stlh mmpljri topik-topik hsn dlm ini, mhsisw dihrpkn mmpu:. Mmdkn dirtd dn undirtd grf.. Mmhmi istilh-istilh dlm grf sprti, dg, vrtks, pth, grf rrh, grf tidk rrh. 3. Mmhmi pliksi siklus Hmilton untuk mmhkn mslh th trvling sls prson. 4. Mnntukn siklus Eulr dn siklus Hmilton dri sutu grf. 5. Mnrpkn lgoritm Dijkstr untuk mmhkn mslh lintsn trpndk dlm ksus th trvlling sls prson. 6. Mnuliskn rprsntsi mtriks mnurut djny mtriks dn inidn mtriks. 7. Mnntukn du grf yng dirikn isomorfis dn idntik. 8. Mmhmi pliksi grf dlm pmogrmn komputr. Topik-topik hsn 3.. Pndhulun 3.. Grf tk-rrh dn rrh 3.3. Lintsn dn siklus 3.4. Siklus Hmilton dn mslh trvlling slsprson Algoritm lintsn trpndk Rprsntsi grf 3.7. Kisomorfisn grf 3.8. Grf idng Bilngn Erdos Ringksn B

3 Sol-sol Ltihn 3.. Pndhulun Prhtikn gmr 3. di wh ini. Gmr 3. mnunjukkn pt loksi (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J) kot dlm sutu propinsi di ngr trtntu. A C B D E F I G H J Gmr 3.. Pt kot A, B, C,, I dlm sutu drh. Pt di ts dpt digmr ulng sgi suh grf sprti gmr 3. rikut: B A C E 7 8 J D 9 99 F H I 3 G 4 3. Gmr 3.. Grf yng mwkili pt pd gmr

4 Dlm grf trdpt titik-titik yng dihuungkn olh grisgris. Titik-titik ini disut vrtks (simpul), sdngkn gris-gris ini disut dgs (sisi). Ll dri vrtks dlh A, B, C,, J. Vrtks-vrtks (kot) ini dpt jug disimolkn dngn A=v, B=v, C=v,, J=v 9 Sdngkn ll dri dgs dlh,,, 3. Jik kit mngdkn prjlnn dri kot A hingg k J, dngn lintsn trtntu, mk kit mngmil lintsn (pth) lngkp. Dfinisi Grf: Sr sdrhn suh grf dlh mrupkn kumpuln dri vrtks-vrtks, rsm-sm dngn rp dg yng mnghuungkn vrtks-vrtks itu. Suh grf dlh suh ojk G=(V,E), dimn V dlh suh himpunn trts dn E dlh kumpuln dri sust dri V. Elmn-lmn dri V disut vrtks dn lmn-lmn dri E disut dgs. Du vrtks v,w V disut rdktn (djnt) jik (v,w) E; dngn kt lin, jik v dn w dihuungkn dngn suh dg. 3. Grf tk-rrh dn rrh Grf tk rrh. Suh grf tk-rrh G (dirtd grph) trdiri dri himpunn vrtks V (simpul) dn himpunn dgs E sdmikin hingg msing-msing dgs E rhuungn dngn psngn tk rurutn dngn vrtks. Jik d dg trtntu mnghuungkn vrtks v dn w, kit mnulis =(v,w) tu =(w,v). Dlm kontks ini (v,w) mnytkn suh dg ntr v dn w dlm grf tkrrh dn ukn psngn trtur. Grf rrh. Suh grf rrh G (dirtd grph) trdiri dri himpunn vrtks V (simpul) dn himpunn dgs E sdmikin hingg msing-msing dgs E rhuungn dngn psngn rurutn dngn vrtks. Jik d dg trtntu

5 3 mnghuungkn vrtks v dn w, kit mnulis =(v,w). Pd gmr 3.3 rikut ditunjukkn grf rrh. Grf ini mrupkn gmr yng sm dngn grf pd gmr 3., kuli dngn dny pnh yng mmdkn grf rrh dngn grf tk-rrh. B A C E 7 8 J D 9 99 F H I 3 G 4 Gmr 3.3. Grf rrh. Cr mnuliskn grf. Jik G dlh suh grf (dirtd tu undirtd grph) rhuungn dngn vrtks V dn dgs E kit dpt mnulis grf trsut sgi G=(V,E) Contoh 3.. Prhtikn grf pd gmr 3.. Nytkn smu dgs dlm vrtks, dn himpunn E dn V dn nytkn grf trsut sgi grf G. Jw: = (v,v )= (v,v ) = (v,v )= (v,v ) 3 = (v,v 4 )= (v 4,v ) 4 = (v,v 3 )= (v 3,v ) 5 = (v,v 3 )= (v 3,v ) 6 = (v,v 9 )= (v 9,v ) 7 = (v 4,v 3 )= (v 3,v 4 ) 8 = (v 9,v 3 )= (v 3,v 9 ) 9 = (v 4,v 5 )= (v 5,v 4 ) = (v 4,v 6 )= (v 6,v 4 ) = (v 3,v 6 )= (v 6,v 3 ) = (v 7,v 9 )= (v 9,v 7 ) 3 = (v 5,v 8 )= (v 7,v 5 ) 4 = (v 6,v 8 )= (v 8,v 6 ) 5 = (v 7,v 6 )= (v 6,v 7 ) E = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9,,,, 3, 4, 5 } V = {v,v,v,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7,v 8,v 9 }

6 4 G=({v,v,v,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7,v 8,v 9 }, {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9,,,, 3, 4, 5 }) Contoh 3.. Prhtikn grf pd gmr 3.3. Nytkn smu dgs dlm vrtks. Jw. = (v,v ) = (v,v ) 3 = (v,v 4 ) 4 = (v,v 3 ) 5 = (v,v 3 ) 6 = (v,v 9 ) 7 = (v 4,v 3 ) 8 = (v 3,v 9 ) 9 = (v 4,v 5 ) = (v 4,v 6 ) = (v 3,v 6 ) = (v 9,v 7 ) 3 = (v 6,v 8 ) 4 = (v 8,v 6 ) 5 = (v 7,v 6 ) Jik dn kduny rhuungn dngn psngn vrtks (v,v ), mk vrtks dn disut dg prll (sjjr). Suh dg yng rwl dn rkhir di vrtks v, =(v,v), mk vrtks disut loop. Jik d tidk d stupun dg yng diuhungkn dngn suh vrtks v mk vrtks v disut vrtks trisolsi (isoltd vrtx). Suh grf yng tidk mmiliki dg prll mupun loop, disut grf sdrhn (simpl grph). Suh grf dimn smu dgny mrupkn suh ngk yng mnytkn nili (pnjng) dri dg itu disut wightd grph (grf rnili). Pnjng sutu lintsn dpt dihitung yitu mrupkn jumlh dri smu dg yng dillui. Contoh 3.3. Liht grf rikut ini. Dri sgl kmungkinn lintsn dri k tntukn pnjng lintsnny.

7 d 4 5 Gmr 3.4. Grf untuk ontoh sol 3.3. Ad 6 kmungkinn lintsn yng ditlkn pd tl rikut. Mislny untuk lintsn prtm: (,)+(,)+(,d)+(d,) = =. Lintsn,,,d,,,d,,,,,d,,,d,,,d,,,,d,,, Pnjng Contoh sol 3.3 mrupkn slh stu pnrpn suh grf yitu untuk mnntukn lintsn trpndk. Dlm tori grf mslh ini disut sgi th trvlling slsprson prolm. Sorng sls yng ingin mnjul produkny kpd plnggn di sjumlh kot, mk di kn mmntuk suh grf untuk smu kot-kot yng kn dikunjungi. Dri sgl kmungkinn rut yng kn dillui, dn dngn mmprtimngkn pnjng jln dri msing-msing rut yng kn dillui itu, mk di hrus mmutuskn rut mn yng hrus dillui gr prjlnnny fisin (lintsn yng dillui dlh jrk trpndk).

8 6 Contoh 3.4: Kmiripn Grf Contoh rikut rhuungn dngn mslh mnglompokkn ojk-ojk k dlm klompok-klompok didsrkn ts sift-sift ojk itu. Mislny sutu mslh kn dikrjkn dngn hs BASIC. Orng rd kn mnuliskn progrm yng rd untuk mnylsikn hl yng sm. Prdn yng dilkukn is jdi dlm hl jumlh ris progrm itu, jug jumlh printh GOTO yng digunkn dn jumlh pnggiln surutin. Mislkn d 5 progrmr mnghsilkn 5 progrm yng dirikn pd tl rikut: Progrm Jumlh ris Jumlh printh GOTO 5 34 Jumlh surutin Progrm k- hingg k-5 mrupkn vrtks v,v,v 3,v 4 dn v 5. Vrtks v rhuungn ktig sift-sift jumlh ris (p ), jumlh GOTO (p ) dn jumlh surutin(p 3 ). Sdngkn untuk vrtks w sift-sift itu disimolkn dngn q,q, dn q 3. Nili dg untuk vrtks v dn w, s(v,w), didfinisikn sgi s(v,w) = p -q + p -q + p 3 -q 3. Nili dri s(v,w) mnytkn tingkt kmiripn dri du progrm. Jik nili s kil mk du progrm disut mirip, sdngkn klu nili s sr mk du progrm ts tidk mirip. Dri dfinisi ini dpt dihitung nili dri msing-msing dg s: s(v,v ) = 36 s(v,v 3 ) = 4 s(v,v 4 ) = 4 s(v,v 5 ) = 3 s(v,v 3 ) = 38 s(v,v 4 ) = 76 s(v,v 5 ) = 48 s(v 3,v 4 ) = 54 s(v 3,v 5 ) = s(v 4,v 5 ) = 46

9 7 Bil kritri nili kmiripn itu mislny ditntukn s=5 (rt-rt dri s(v 3,v 5 ) = dn s(v,v 5 )=3), mk progrmprogrm yng mirip dlh v,v 3 dn v 5. sdngkn progrm dn 4 tidk mirip dngn progrm yng lin. Grf lngkp. Grf lngkp dngn n vrtks, dinytkn sgi K n, dlh grf sdrhn dimn d dg dintr tip-tip psngn vrtks. Contoh 3.5. Grf rikut dlh grf lngkp K 4. Gmr 3.5. Grf lngkp K 4. Grf iprtisi. Suh grf G=(V,E) dlh grf iprtisi jik himpunn vrtks V dpt diprtisi mnjdi du su-himpunn V dn V sdmikin hingg msing-msing dg E d pd stip vrtks dlm V dn V. Grf iprtisi lngkp dngn m dn n vrtks, disimolkn K m,n dlh grf sdrhn dimn vrtksny dpt diprtisi mnjdi du vrtks V dngn m vrtks dn V dngn n vrtks dimn d dg pd stip psngn vrtks. Contoh 3.6.

10 8 Grf () rikut dlh grf iprtisi dimn V ={ v,v,v 3 } dn V =(v 4,v 5 ), sdngkn gmr () mrupkn grf iprtisi lngkp K,4. v 3 v v v 3 v 4 v 5 v v 4 v v 5 v 6 () () Gmr 3.6. Grf iprtisi tidk lngkp () dn iprtisi lngkp (). 3.3 Lintsn dn siklus Mislkn v dn v v dlh vrtks-vrtks dlm suh grf. Suh lintsn dri v v k v v n dngn pnjng n dlh suh drtn dngn n+ vrtks dn n dg muli dri vrtks v dn rkhir di v n, (v,, v,,, v n-, n,v n ), dimn dg i d pd vrtks v i- dn v i untuk i=,,,n. Contoh 3.7. Tntukn suh lintsn dngn pnjng 4 dri vrtks k vrtks.

11 6 7 B 3. Tori Grf Gmr 3.7. Grf untuk ontoh sol 3.7. Lintsn dngn pnjng 4 dlh (,,,,3, 3,4, 4,). Suh grf dlh trhuung jik pd stip vrtks yng dirikn, v dn w, d lintsn dri v k w. Contohny grf pd ontoh sol 3.7 dlh grf trhuung krn d lintsn dri v k w yng dirikn. Sugrf. Mislkn G=(V,E) dlh suh grf. (V,E ) dlh sugrf dri G jik:. V V dn E E.. Untuk stip dg E, jik mnghuungkn v dn w, mk v,w V. Lintsn sdrhn dn siklus. Mislkn v dn w d dlm grf G. Suh lintsn sdrhn dri v k w dlh suh lintsn tnp d vrtks yng rulng. Suh siklus (sirkuit) dlh suh lintsn dngn pnjng ukn nol dri v k v tnp d dg yng rulng. Suh siklus sdrhn dlh suh siklus dri v k v dimn, kuli vrtks wl dn trkhir, tidk d vrtks yng rulng.

12 Contoh 3.8. Prhtikn grf pd gmr 3.7. Tntukn yng mn mrupkn lintsn sdrhn, siklus dn siklus sdrhn? Jw. Tl rikut ini mringkskn lintsn yng mrupkn lintsn sdrhn, siklus dn siklus sdrhn. Lintsn (6,5,,4,3,,) (6,5,,4) (,6,5,,4,3,) (5,6,,5) (7,6) Lintsn sdrhn? Tidk Y Tidk Tidk Y Siklus? Tidk Tidk Y Y Tidk Siklus sdrh n Tidk Tidk Tidk Y Tidk Mslh Jmtn Königsrg. Mslh jmtn Königsrg dlh mslh yng prtm kli mnggunkn grf pd thun 736 yng dikmukn olh Lonhrd Eulr. Di kot Königsrg (skrng Kliningrd Rusi) d du pulu kil dlm di dlm sungi Prgl yng dihuungkn suh jmtn dn d mpt jmtn linny mnghuungkn k du pulu dngn drtn, sprti ditunjukkn olh gmr 3.8 rikut. Dimn di smping gmr trsut dirikn grf yng rhuungn.

13 A A B C B C sungi prgl D D Gmr 3.8. Jmtn Könisrg dn rprsntsi grfny. Siklus Eulr Jik suh grf G mmiliki suh siklus Eulr, mk G dlh grf trhuung dn stip vrtks mmiliki drjt gnp. Dngn kt lin jik G dlh grf trhuung dn stip vrtksny rdrjt gnp, mk G mmiliki siklus Eulr. Jik G dlh suh grf dngn m dg dn vrtis {v,v,,v n }, mk n i= δ(v ) = m i Dngn kt lin, jumlh drjt dri smu vrtks dlm grf itu dlh gnp. Bil kit mliht grf di knn gmr 6.8, dpt diliht hw smu vrtks (A, B, C dn D) rdrjt gnjil, dimn δ (A) = 3, δ (B) = 5, δ (C) = 3, δ (D) = 3. Shingg grf trsut tidk mmiliki siklus Eulr. Pmrin istilh siklus Eulr, untuk mnghormti Lonhrd Eulr yng prtm skli mnulis dn mnjlskn grf rhuungn dngn jmtn Königsrg. Contoh 3.9.

14 Mislkn G dlh grf pd gmr 3.8, prikslh pkh G mmiliki suh siklus Eulr? Jik d sutkn slh stuny. v v v 3 v 5 v 4 v 6 v 7 Gmr 3.8. Grf untuk ontoh sol 3.9. Kit mliht hw δ (v )=δ (v )=δ (v 3 )=δ (v 5 )= 4, dn δ (v 4 ) = 6, δ (v 6 )=δ (v 7 ) =. Krn smu vrtks rdrjt gnp mk dri dfinisi, grf pd gmr 3.8 mmiliki siklus Eulr, yitu: (v 6,v 4,v 7,v 5,v,v 3,v 4,v,v, v 5,v 4,v,v 3,v 6 ). Suh grf mmpunyi suh lintsn tnp pngulngn dg dri v k w (v w) yng risi smu dg dn vrtks jik dn hny jik grf itu trhuung dn v dn w dlh smu vrtks yng mmiliki drjt gnjil. Jik suh grf G risi suh siklus dri v k v, mk G risi suh siklus sdrhn dri v k v.

15 3 3.4 Siklus Hmilton Mslh siklus Hmilton ini prtm-tm dikmukkn olh Willim R. Hmilton skitr prtnghn 8 rup suh tk-tki tntng dodkhdron sprti gmr 3.9 rikut. () () () Gmr 3.9. () Dodkhdron, () Grf mnytkn (), () Siklus Hmilton. Untuk mnghormti Hmilton, siklus dlm suh grf G yng risi msing-msing vrtks dlm G tpt stu kli, kuli vrtks yng mrupkn wl sikllus yng jug mrupkn khir siklus, disut siklus Hmilton. Mslh th trvlling slsprson rhuungn dngn mslh mndptkn suh siklus Hmilton dlm suh grf. Mslhny dlh, il dirikn suh grf rnili, mk kn ditntukn siklus Hmilton dngn pnjng lintsn minimum. Mslh mndpt siklus Hmilton dlm suh grf klihtnny mirip dngn mslh mnntukn siklus Eulr dlm suh grf. Pd siklus Eulr, stip dg dilwti stu kli sj, smntr pd siklus Hmilton yng dikunjungi stu kli sj dlh vrtks, shingg snrny mslh kdu siklus ini rd. Contoh 3..

16 4 Tntukn siklus Hmilton pd grf rikut. f d g Gmr 3.. Grf untuk ontoh sol 3. Jw. Siklus Hmilton untuk grf di ts dlh (,,,d,,f,g,). Contoh 3.. Tunjukkn hw grf pd gmr 3. rikut tidk mmiliki suh siklus Hmilton. v v 4 v 3 v v 5 Gmr 3.: Grf untuk ontoh sol 3. Krn d lim vrtks mk suh siklus Hmilton hrus mmiliki lim dg. Ttpi krn pd grf di ts siklus yng kn dintuk hrus mlwti vrtks du kli hingg kmli vrtks smul mk tidk d siklus Hmilton pd grf trsut. Mislny kit muli dri v, shingg hrus kmli k v, mk siklus yng mungkin diut dlh (v,v,v 3,v 4 ) klu mu mlwti v 5 dn hrus kmli k v mk v hrus dilwti kli. Nmun klu lngsung k v dri v 4, mk v 5 tidk kn dilwti, shingg tidk d siklus Hmilton dlm grf trsut. Ad siklus Hmilton pd grf trsut, mk hrus d dg yng mnghuungkn vrtks v dn v 5.

17 5 Contoh 3.. Tunjukkn pkh grf rikut mmiliki siklus Hmilton tu tidk. d f g h i j l k Gmr 3.: Grf untuk ontoh sol 3. m Mislkn grf trsut mmiliki siklus Hmilton, mk dg (,), (,g), (,) dn (,k) hrus dillui, krn msingmsing vrtks dlm siklus Hmilton mmiliki drjt. Shingg dg (,d) dn (,f) tidk gin dri siklus. Mk dg (g,d), (d,), (,f) dn (f,k) hrus gin dri siklus. Dngn milht grf di ts dpt diykini hw grf trsut tidk mmiliki siklus Hmilton. Contoh 3.3: Kod Gry dn Siklus Hmilton Mislkn G mnytkn risn,. Kit mndfinisikn G n dlm hl G n- dngn turn-turn rikut: R ). Mislkn G n mnytkn risn G n- yng ditulis trlik.

18 6 ' ). Mislkn Gn mnytkn risn yng diprolh dngn mnmhkn imuhn pd msing-msing nggot Gn dngn. Gn ). Mislkn " mnytkn risn yng diprolh dngn mnmhkn imuhn pd msing-msing G dngn. R n d). Mislkn G n dlh risn risi ". Gn ' n G diikuti olh Mk G n dlh kod Gry untuk stip intgr n. Mk dri dfinisi di ts dpt dintuk kod gry G 3 dimuli dngn G. G R G ' G G G G R G ' G G

19 7 3.5 Algoritm lintsn trpndk Grf dngn oot dlh suh grf dimn nili dri dgs dirikn dn hw pnjng dlm suh grf root dlh jumlh dri oot dg dlm lintsn itu. Mislkn w(i,j) dlh oot dri dg(i,j). Kit ingin mnntukn lintsn trpndk ntr du vrtks yng dirikn. Brikut ini dituliskn lgoritm yng mnntukn lintsn trpndk. Algoritm ini dikmngkn olh E.W. Dikstr, sorng hli pmrogrmn rkngsn Blnd.

20 8 Contoh 3.4. Prhtikn grf rikut pd gmr 3.3(). Tntukn lintsn trpndk dri A k D untuk grf trsut. Vrtks yng tidk dilingkri dn mmiliki ll smntr. Vrtks yng dilingkri mmiliki ll prmnn.

21 9

22

23 Gmr 3.3: Grf-grf untuk Lngkh-lngkh Dngn Mnggunkn Algoritm Dijkstr 3.6 Rprsntsi grf Grf pd umumny dinytkn dngn mnggmrny. Brikut ini dijlskn r mrprsntsikn grf dngn r forml gr lih dpt diolh dngn komputr. Ad 3 mtod yng dihs yitu r mtriks rdktn (vrtks dngn vrtks) dn mtriks insidn (vrtks dngn dg). Mtriks rdktn. Contoh 3.5. Dirikn mtriks pd gmr 3.4 rikut. Butlh mtriks vrtks dngn vrtks. d

24 Gmr 3.4 : Grf untuk ontoh sol 3.5. Mtriks untuk grf di ts dlh: d d Prhtikn hw dngn mnjumlhkn smu ngk pd ris kit dpt mnntukn drjt dri msing-msing vrtks. Mislny drjt dri vrtks dlh dn drjt vrtks dlh 4. Prhtikn jug hw rprsntsi grf dngn r ini mmungkinkn suh loop dpt dirprsntsikn, kn ttpi tidk dpt dirprsntsikn dg sjjr/prll. Ttpi jik kit mmodifiksi dfinisi dri mtriks rdktn ini shingg diprolhkn mnggunkn smrng ilngn ult ukn ngtif sgi msukn mk kit dpt mrprsntsikn dg sjjr. Mtriks rdktn uknlh r yng sngt fisin untuk mrprsntsikn suh grf. Krn mtriks mnjdi simtris spnjng digonl utmny, shingg informsi kuli pd digonl utm, munul du kli. Contoh 3.6. Tuliskn mtriks rdktn untuk grf rikut:

25 Gmr 3.5: Grf untuk ontoh sol 3.6 Mtriks untuk grf di ts dlh: d d Jik A dlh mtriks rdktn dri suh grf, mk pngkt dri A: A, A, A 3, mnytkn jumlh lintsn dngn rgi pnjng. Jlsny, jik vrtks dri grf G diri ll,,3,, mk lmn k-ij dlm mtriks A n sm dngn jumlh lintsn dri i k j dngn pnjng n. Sgi ontoh, dri mislkn mtriks di ts dlh A, mk: = x A d 3

26 = 3 3 d d Dri mtriks A di ts, prhtikn lmn ris prtm () dn kolom ktig (), yitu. Brrti d lintsn dngn pnjng (n=), yitu (,,) dn (,d,). Contoh lin vrtks k (ris, kolom ), lmnny dlh 3, mk trdpt 3 lintsn dngn pnjng, yitu (,,), (,,) dn (,,). Jik A dlh mtriks rdktn dri suh grf sdrhn, mk lmn k-ij dri A n sm dngn jumlh lintsn dngn pnjng n dri vrtks i k vrtks j, n=,,3, Dri ontoh di ts, jik mtriks dipngkt mpt (n=4), mk kn didpt: = = 3 3 x 3 3.A A A 4 = d d Elmn ris d dn kolom dlh 6, rrti hw d 6 lintsn dngn pnjng 4 dri d k, yitu: (d,,d,,), (d,,d,,), (d,,,,), (d,,,,), (d,,,,) dn (d,,,,). 4

27 5 Mtriks insidn (rsisin). Contoh 3.7. Dirikn grf rikut: v 3 v v 4 v 5 Gmr 3.6 : Grf untuk sol 3.6 Mtriks insidn untuk grf di ts dlh: d Mtriks insidn mmungkinkn kit mrprsntsikn dg dn loop. Prhtikn hw dlm grf tnp loop mk msing-msing kolom dg kn mmiliki du ngk dn jik jumlh dri ris trtntu mnytkn drjt dri vrtks yng dinytkn dlm ris itu. 3.7 Kisomorfisn grf Mislkn orng dimint untuk mnggmr grf pd krts, dngn instruksi: gmr dn rikn ll lim x

28 6 vrtks,,, d, dn. Huungkn dn, dn, dn d, d dn. Grf yng dihsilkn k du orng itu mungkin rd sprti pd gmr rikut. Kdu grf itu disut isomorfis. A x C y 3 y y D x 5 x 3 y 4 y 5 d x 4 E B Gmr 3.7: grf G dn G yng isormorfis. Grf G dn G disut isomorfis jik d fungsi pd, stustu (f) dri vrtks-vrtks grf G k vrtks-vrtks grf G dn fungsi pd, stu-stu (g) dri dgs grf G k dg grf G, shingg suh d pd v dn w dlm G jik dn hny jik g() d pd f(v) dn f(w) dlm G. Psngn fungsi f dn g disut kisomorfisn G dn G. Kisomorfisn pd grf gmr.7 untuk G dn G didfinisikn sgi f() = A, f() = B, f() = C, f(d) = D dn f() = E. g(x i ) = y i, dimn i =,,,5. Jik kit mndfinisikn suh rlsi R pd himpunn dri grf dngn turn G RG jik G dn G dlh isomorfis, R dlh rlsi kuivln. Msing-msing kls quivlnsi trdiri dri suh himpunn grf isomorifis yng mutul. Mislkn G dn G dlh grf sdrhn. Mk prnytn rikut dlh kuivln. () G dn G dlh isomorfis. () Ad fungsi f pd,stu-stu dri kumpuln vrtks G kpd kumpuln vrtks G yng mmnuhi: vrtksvrtks v dn w rttngg dlm G jik dn hny jik vrtks f(v) dn f(w) dlh rttngg dlm G. Grf sdrhn G dn G dlh isomorfis jik dn hny jik untuk rp vrtks yng rurutn, mtriks yng rdktn dlh sm.

29 Contoh 3.8. Liht gmr 3.7. Tntukn mtrik rttngg untuk grf G dn G. Jw. Mtriks rttngg untuk grf G : d d Mtriks rttngg untuk grf G : E D C B A E D C B A Kit mliht hw kdu mtriks dlh sm. Mslh yng mnrik dlh untuk mnntukn pkh du grf isomorfis tu ukn isomorfis. Slh stu r untuk mnunjukkn hw du grf G dn G ukn isomorfis. Tntukn sift dri G yng mn G tidk miliki, ttpi G kn miliki jik G dn G isomorfis. Sift sprti disut invrint. Jlsny, sift P dlh invrin, jik kpnpun G dn G dlh grf isomorfis: Jik G mmiliki sift P, G jug mmiliki sift P. Dri dfinisi, jik grf G dn G isomorfis mk d fungsi pd, stu-stu dri dgs (vrtks) G k dg (vrtks) G. Shingg jik G dn G isomorfis, mk G dn G mmiliki 7

30 8 jumlh dg dn vrtks yng sm. Shingg, jik dn n dlh ilngn ult ukn ngtif, sift mmiliki dg dn mmiliki n vrtks dlh invrin. Contoh 3.9. Grf G dn G rikut uknlh isomorfis, krn G mmiliki tujuh dg dn G mmiliki nm dg dn mmiliki 7 dg dlh suh invrin. G G Gmr 3.9: Grf G dn G yng ukn isomorfis. 3.8 Grf plnr Prhtikn gmr rikut ini, mislkn pd tig kot K, K dn K 3 kn dingun jln lngsung dri msing-msing kot k smu kot K 4 K 5, dn K 6. Apkh mungkin mmngun jln trsut tnp sling-silng? jwnny dlh tidk mungkin, sprti ditunjukkn dlm gmr 3.. Dlm hl ini jln lyng tidk dimungkinkn. K K K 3 K 4 K 5 K 6 Gmr 3. : Grf yng ukn plnr.

31 9 Suh grf dlh plnr jik dpt digmrkn dlm idng itu tnp dgny rsilngn. Mslh grf plnr ini ditrpkn dlm idng lktronik, dimn klu ssorng ingin mndisin rngkin lktronik hrus diushkn sdmikin rup gr grisgris rngkin tidk sling rsilngn, shingg sorng hli disin rngkin lktronik mnghdpi mslh plnrits. Jik suh suh grf trhuung yng plnr diut dlm idng, idng digi kdlm drh yng disut muk (fs). Suh muk diirikn dngn suh lingkrn yng mmntuk tsnny. Contoh 3.. Prlihtkn hw grf rikut dlh plnr. D C 6 B 5 A 4 3 Gmr 3.: Suh grf yng plnr Muk A trikt kpd siklus (5,,3,4,5), dn muk C trikt kpd siklus (,,5,). Sdngkn muk lur D dinggp trikt kpd siklus (,,3,4,6,). Grf di ts mmiliki 4 muk (f=4), 8 dg (=8), dn 6 vrtks (v=6). Prhtikn hw rikut rikut rlku: f = v +. Adlh Eulr pd thun 75 yng mmuktikn knrn rumus di ts yng rlku untuk stip grf trhuung yng plnr.

32 3 Contoh 3.. Tunjukkn hw grf pd gmr 3. dn 3. tidk plnr. d Gmr 3.: Grf K 5 yng ukn plnr Pd gmr 3., =9 dn v=6. Krn stip siklus pling sdikit mmiliki 4 dg, mk stip muk trikt kpd pling sdikit 4 dg. Shingg jumlh dg yng trikt kpd muk dlh pling sdikit 4f, krn msing-msing dg milik dri pling nyk siklus trikt. Shingg 4f, dn 4 (-v+), mk 8 =.9 4(9-6+), tu 8, rrti kontrdiksi. Dngn rgumn yng sm kn dpt diuktikn hw grf pd gmr 3. tidk plnr. 3.9 Bilngn Erdos Stip hli mtmtik mmiliki suh ilngn Erdos. Stip hli mtmtik yng ngk kn diriny sndiri mngthui ilngn Erdosny. Id ilngn Erdos rsl dri nyk tmn dn kolg dri hli mtmtik trknl rkngsn Hungri (93-996), yng mnulis skitr 5 rtikl mtmtik rkulits tinggi. Bilngn Erdos dlh suh ukurn dri rs yng nk, dimn ilngn rdos yng tinggi mnytkn rs sngt tidk nk. Smu sht-sht Erdos stuju hw hny Erdos yng mmiliki kulifisi ilngn Erdos =. Bilngn Erdos dri hli mtmtik yng lin dlh pkh ilngn

33 3 intgr positif tu tidk trhingg. Krn Erdos tlh mmrikn kontriusi yng lih nyk dlm hl mtmtik diskrit disnding hli mtmtik linny, dlh tpt hw pnggunn ilngn Erdos didfinisikn dlm hl tori Grf. Mislkn suh grf G=(V,E), dimn V dlh himpunn trts dri smu hli mtmtik, skrng ini, mupun yng sudh mti. Untuk stip du hli mtmtik x,y V, mislkn (x,y) E jik dn hny jik x dn y mmiliki suh rtikl mtmtik dngn pnulis rgung (rsm) dngn yng lin, mungkin dngn hli mtmtik yng lin. Grf G dinytkn dlm fungsi wight w: E N. Krn Erdos tidk mnynngi smu ktidkdiln, fungsi wight ini didfinisikn dngn mnuliskn w({x,y})= untuk stip dg {x,y} E. Jik kit mliht pd grf ini sr hti-hti, mk tidk sulit untuk mrlissikn hw grf ini tidk trhuung. Brp hli mtmtik tidk mmiliki rtikl gungn dngn hli mtmtik yng lin, dn yng lin tidk prnh mnulis sm skli. Kmudin, nyk hli mtmtik yng rd dlm komponn rd dri grf risi ilngn rdos. Ahli mtmtik ini smuny mmiliki ilngn rdos. Dn strusny didfinisikn ilngn-ilngn Erdos dri smu hli mtmtik yng ukup runtung mmiliki komponn yng sm dri grf G sprti Erdos. Mislkn x Erdos dlh sorng hli mtmtik. Pnjng dri lintsn ini, yng psti suh ilngn intgr, ttpi knykn trtntu jumlhny, dimil sgi ilngn Erdos dri hli mtmtik x. Stip hli mtmtik yng tlh mnulis suh rtikl rsm dngn Pmn Pul, dngn sip Erdos trus diknl, mmiliki ilngn rdos. Stip hli mtmtik yng tlh mnulis suh rtikl rsm dngn sorng hli mtmtik yng lin yng tlh mnulis suh rtikl rsm dngn Erdos, ttpi di sndiri lum prnh mnulis rtikl rsm dngn Erdos, mmiliki ilngn rdos. Dn strusny.

34 3 Ringksn Suh grf tkrrh G trdiri dri kumpuln vrtks V(v,v,v 3,,v n ) tu nod dn kumpuln dgs E(,, 3,, n ) shingg msing-msing dg E rhuungn dngn suh psngn tkrturn vrtks. Suh grf rrh G trdiri dri kumpuln vrtks V dn kumpuln dgs E shingg dg E rsosisi dngn psngn rturn vrtks. Grf lngkp dngn n vrtks, K n, dlh grf sdrhn dngn n vrtks dimn d dg ntr stip psngn vrtks rd. Grf iprtit lngkp dngn vrtks m dn n, K n,m, dlh grf sdrhn yng kumpuln vrtksny diprtisi mnjdi V n dngn n vrtks, dn V m dngn m vrtks yng mn d dg ntr psngn vrtks v dn v dimn v d di V dn v d di V. Suh grf sdrhn dri v k w dlh suh lintsn tnp vrtks rulng. Suh siklus dlh suh lintsn dngn pnjng ukn nol dri v k w tnp dg rulng. suh siklus sdrhn dlh suh siklus dri v k v, kuli dri wl dn khir vrtks yng kduny sm kpd v, tnp pngulngn vrtks. Jik grf G mmiliki suh siklus Eulr, mk G dlh grf trhuung dn stip vrtks mmiliki drjt gnp. Drjt sutu vrtks dlh nykny dgs yng trhuung kpd vrtks ts. Dlm stip grf d sjumlh gnp vrtks yng rdrjt gnjil. Siklus Hmilton, tu th trvling sls prson, dlh siklus dimn dg tidk rulng, ttpi smu vrtks hrus dillui, kuli vrtks wl. Kuik-n mmiliki suh siklus Hmilton untuk stip ilngn intgr positif n.

35 33 Algoritm Djikstr dlh suh lgoritm untuk mnntukn lintsn trpndk pd th trvlling sls prson prolm. Algoritm ini mmiliki komplksits ord Θ (n ). Jik A dlh mtriks djny dri grf sdrhn, mk lmn k I dri A sm dngn jumlh lintsn dngn pnjng n dri vrtks I k vrtks j, n=,,. Grf sr khusus dipliksikn dlm mslh mnntukn lintsn trpndk (mnggunkn lgoritm Dijkstr) dn mnylsikn mslh th trvlling slsprson. Sol-sol Ltihn. Gmrkn grf K 3 dn K 5.. Tntukn rumus untuk mnntukn jumlh dg dlm K n. 3. Brikn suh grf iprtisi slin grf pd ontoh sol Gmrkn grf K,3 dn K 3,3. 5. Tntukn rumus untuk mnntukn jumlh dg dlm K m,n. 6. Tntukn iy pling kil yng diprlukn untuk mmngun jln yng mnghuungkn kot-kot sprti ditunjukkn grf rikut. Vrtk-vrtks dlm grf mnytkn kot-kot, sdngkn dg-dg mnytkn iy mmngun jln yng mnghuungkn kot itu.

36 34 6 f d 8 4 g 7. Tntukn pkh sol () hingg (i) grf rikut mmiliki (i) lintsn sdrhn, (ii) dn (iii) siklus sdrhn. d ). (,) ). (,d,,) ). (,d,,d,) d). (d,,,,d) ). (,,d,,,,d,,) f). (,,d,,,) g). (,d,,,) h). (d) i). (d,,) 8. Untuk msing-msing sol () s/d (j) rikut, gmrlh suh yng mmiliki sift-sift sprti dirikn tu jlskn mngp tidk d mungkin d grf trsut. ). Enm vrtks msing-msing rdrjt 3. ). Lim vrtks msing-msing rdrjt 3. ). Empt vrtks msing-msing rdrjt d). Enm vrtks; mpt dg ). Empt dg; mpt vrtks yng mmiliki drjt,,3,4. f). Empt vrtks mmiliki drjt,,3,4.

37 35 g). Grf sdrhn; nm vrtks yng mmiliki drjt,,3,4,5,5. h). Grf sdrhn; lim vrtks yng mmiliki drjt,3,3,4,4. i). Grf sdrhn; lim vrtks yng mmiliki drjt,,4,4,4. 9. Tntukn smu siklus sdrhn yng pd grf di wh ini.. Tntukn pkh grf rikut mmiliki siklus Eulr tu tidk. Jik d tunjukkn slh stuny. d g f d f g d f i j h i j g h k () (). Kpnkh suh grf lngkp K n risi suh siklus Eulr?. Kpnkh suh grf iprtit lngkp K m,n risi suh siklus Eulr? 3. Tntukn pkh prnytn rikut nr tu slh. Jik slh rikn ontoh yng mmnrknny:. Mislkn G dlh grf dn v dn w dlh vrtks yng rd. Jik d lintsn dri v k w, mk d lintsn sdrhn dri v k w.. Jik suh grf risi suh siklus yng risi smu dg, siklus itu dlh siklus Eulr.

38 36 4. Mislkn G dlh grf trhuung. Mislkn jug hw suh dg d dlm siklus. Tunjukkn hw jik diung G msih grf trhuung. 5. Tunjukkn hw d 5 spnning tr yng rd dri grf lngkp K 5.