BAB VIII INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MAPLE. integral lipat satu merupakan materi pendukung untuk pembahasan dalam materi

Transkripsi

1 BAB VIII INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MAPLE A. Pengntr Konsep integrl tentu untuk fungsi engn stu peuh pt iperlus menji untuk fungsi engn nyk peuh.integrl fungsi stu peuh selnjutny kn inmkn integrl lipt stu, untuk memeknny engn integrl lipt yitu integrl untuk fungsi engn nyk peuh. Apliksi fisis n ilmu ukur untuk integrl lipt stu merupkn mteri penukung untuk pemhsn lm mteri integrl lipt u. P mteri integrl lipt stu, fungsi yng ipki itsi, yitu fungsi terseut itsi p selng tutup i R 1. Untuk integrl lipt u ri fungsi engn u peuh pemtsnny lh hw fungsi u peuh terseut terefinisi p sutu erh tertutup i R. Yng imksu erh tertutup isini lh erh esert engn ts-tsny. Apil iktkn erh, mk yng imksu lh erh tertutup. Dlm tulisn ini kn isjikn mteri integrl lipt u esert ontoh solny yng kn iselesikn engn r mnul n pengpliksinny lm mple. B. Integrl Lipt Du ts Persegi Pnjng utu permukn i R 3 memiliki persmn z = f(x,. Mislkn erh p ing x-y yng erup sutu erh persegi pnjng. Derh persegi pnjng tertutup ser umum pt inytkn segi erikut. = { (x, x, y } imn,,, Є R 5 Jurusn Peniikn Mtemtik UMPAR

2 B 8. Integrl Lipt Du 51 Z Y x i Y y j X X Mislkn intervl tertutup [,] iprtisi menji m intervl engn titik-titik prtisiny = x <x 1 < x < <x m =, emikin jug intervl tertutup [,] iprtisi menji t intervl engn titik-tik prtisiny = y <y 1 <y < <y t =. Dengn r seperti itu mk erh tertutup terprtisi menji senyk n = m x t gin erh persegi pnjng keil. Nmkn gin persegi pnjng keil terseut engn 1,, 3,, n. Mislkn gin persegi pnjng k mempunyi pnjng x i n ler y j. Mk lus erh k terseut lh Ak = x i y j. elnjutny untuk setip k = 1,,3,..,n p erh k imil seuh titik (x k, y k) n ikonstruksi jumlh Riemnn lm entuk eret seperti erikut: n k 1 f(x k, y k ) A k. Mislkn lh lus teresr ri prtisi-prtisiny, engn kt lin = Mks { A k } Dlm ksus, mk jumlh Riemnn its menji Jurusn Peniikn Mtemtik UMPAR

3 B 8. Integrl Lipt Du 5 lim n k 1 f(x k,y k ) A k elnjutny jik limit itu mk nili limit ini iseut nili integrl lipt n inotsikn engn: f(x,a = f(x,xy Dengn meliht hw Ak = ( x k y k ) = ( y k x k ), yng errti A = (x = (yx), mk iperoleh pul f(x,a = f(x,yx Beerp ttn tentng nili integrl lipt 1. Notsi A = ( x = ( y x) ser geometris merupkn lus erh, sehingg sellu ernili positif. Apil f(x, ernili posositif p semu erh integrsi, mk nili integrl lipt f(x,a psti positif. 3. Apil f(x, ernili negtive p semu erh integrsi mk nili integrl lipt 4. Nili Contoh: Hitung : x 3 x 1 f(x,a ernili negtive f(x,a mungkin jug nol. 3 ( y Penyelesin: P integrl seelh lm y erup konstnt, sehingg 1 ( 3 x x = x 3yx 1 = 4 + 6y (1 + 3 = 3 + 3y Jurusn Peniikn Mtemtik UMPAR

4 B 8. Integrl Lipt Du Akitny, (x 3) xy 3 3y Apliksi lm Mple y y y = > 3 1 ( x C 3 x Atu Int (Int ( $ x C 3 $ y, x = 1.. ), y =..3 )= int (int ( $ x C 3 $ y, x = 1.. ), y =..3 ); x C 3 y x y = 45 C. Integrl Lipt Du ts Derh Bukn Persegi Pnjng Integrl lipt u engn erh integrsi erup erh persegi pnjng pt ipnng segi integrl stu vrile yng ilkukn u kli. Demikin jug hlny untuk erh integrsi selin persegi pnjng, kit terkng hrus hrus menguh urutn pengintegrlnny terleih hulu untuk mempermuh perhitungn. Mislkn erh integrsi = {(x, x, Ø 1 (x) y Ø (x)} Bts erh integrsi lh ts untuk x erup konstnt sengkn ts untu y erup fungsi lm x. Perhtikn gmr erikut, jik x igerkkn ri ke mk nili y ergerk ri fungsi wh Ø 1 (x) ke fungsi ts Ø (x). Jurusn Peniikn Mtemtik UMPAR

5 B 8. Integrl Lipt Du 54 Y y = Ø 1 (x) y = Ø (x) X Dengn memperhtikn konstruksi jumlh Riemnn terhp integrl p erh persegi pnjng, mk integrl lipt p erh umum its menji: f(x,a = ( x) 1 ( x) yx ekrng, jik erh integrsiny = {(x, y, Ф 1 ( x Ф ( }, mk ts erh integrsi lh untuk y erup konstnt sengkn untuk x erup fungsi lm y. Perhtikn hw pil nili y igerkkn ri ke mk peuh x ergerk ri kurv kiri kekurv knn. er umum erh semm ini igmrkn segi erikut; Y x= Ф 1 ( x= Ф ( X Dengn emikin untuk ksus erh integrsi seperti ini integrl liptny menji: s A ( 1( Contoh: Hitunglh xy 3(4-x-A, imn = {(x, y, x 4-y} Jurusn Peniikn Mtemtik UMPAR

6 B 8. Integrl Lipt Du 55 Penyelesin: 4 3(4-x-A = y 3(4 x xy = 4 y 3x 1x 6xy y Apliksi engn Mple = = 16 3(4 1(4 6(4 y y 4K $ y 3$ (4K xk $ x tu Int (Int (3 $ (4K xk $, x =..4 K $, y =..) = int (int (3 $ (4K xk $, x =..4 K $, y =.. ) 16 4 K y 1 K 3 x K 6 y x y = 16 D. Kesimpuln Integrl lipt u merupkn integrl ri fungsi engn u peuh, engn tsn hw fungsi u peuh terseut terefinisi p sutu erh tertutup i R. er umum, rumus integrl lipt u ts erh persegi pnjng lh f(x,a = f(x,xy Rumus integrl lipt u ts erh ukn persegi pnjng lh f(x,a = ( x) 1 ( x) yx Jurusn Peniikn Mtemtik UMPAR