Graf Berarah (Digraf)

Transkripsi

1 Grf Berrh (Digrf) Di dlm situsi yng dinmis, seperti pd komputer digitl tupun pd sistem lirn (flow system), konsep grf errh leih sering digunkn dindingkn dengn konsep grf tk errh. Apil rus sutu grf errh mempunyi sutu oot, grf errh terseut dinmkn sutu jringn tu network. Beerp Pengertin dlm grf errh : Derjt ke lur (out degree) sutu simpul dlh nykny rus yng muli / kelur dri simpul terseut. Derjt ke dlm (in degree) sutu simpul dlh nykny rus yng erkhir / msuk ke simpul terseut. Simpul erderjt ke dlm = 0 diseut sumer (source), sedngkn simpul erderjt ke lur = 0 diseut mur (sink). Pengertin Wlk, Tril, Pth (Jlur) dn Sirkuit (Cycle) erlku pul pd grf errh, dimn hrus sesui dengn rh rus. Klu tidk sesui dengn rh rus-ny, mk diseut segi semi wlk, semi pth tu semi tril.

2 Pd grf errh terdpt 3 pengertin keterhuungn, ykni : Terhuung lemh, jik terdpt sutu semi pth ntr setip 2 simpul dri D. Terhuung unilterl, jik ntr setip 2 simpul u dn dri D, terdpt jlur dri u ke tu dri ke u. Terhuung kut, jik ntr setip 2 simpul u dn dri D, terdpt jlur dri u ke dn dri ke u. Contoh : RELASI DAN MATRIKS Pndng D(V,A) sutu grf errh tnp rus sejjr, mk A dlh himpunn gin dri V x V (produk Crtesis himpunn), jdi merupkn Relsi pd V. Selikny il R dlh Relsi pd sutu himpunn V, mk D(V,R) merupkn grf errh tnp rus sejjr. Jdi konsep Relsi dn konsep grf errh tnp rus sejjr dlh stu dn sm. Mislkn D(V,A) sutu grf errh dengn simpul 1, 2,, m. Mtriks M erukurn (mxm) merupkn mtriks (mtriks djcency) dri D, dengn mendefinisikn segi erikut : M = (M ij ), dengn m ij nykny rus yng muli di i dn erkhir di j Logik dn Algoritm 2

3 Bil D tidk mengndung rus ergnd, mk elemen M dlh 0 dn 1. Klu Grf errh mengndung rus ergnd, elemen M merupkn ilngn ult non negtif. Jdi sutu mtriks erukurn (mxm) yng elemenny ilngn ult non negtif menytkn secr tunggl sutu grf errh dengn m simpul. Contoh : Teorem : M dlh Mtriks dri sutu grf errh D, mk elemen ris ke i kolom ke j dri Mtriks M n menytkn nykny wlk dengn pnjng n dri simpul i ke simpul j. ALGORITMA JALUR TERPENDEK Pndng D sutu Grf errh yng hingg dengn tip-tip rus mempunyi oot. Jdi D merupkn sutu Network. Kit hendk menentukn Jlur Terpendek ntr simpul u dn. Mislkn D tidk mengndung sirkuit. Segi contoh, gmr erikut merupkn sutu Network. Kit hendk menghitung Jlur terpendek dri simpul u ke. Logik dn Algoritm 3

4 Simpul u diseut Sumer (Source). Simpul diseut Mur (Sink). Untuk menentukn Jlur Terpendek terseut, cr erikut dpt digunkn : But tel jrk : u x y z c y = 2 zy = 2 = 3 c = 3 x = 3 yc = 1 zc = 5 = 3 Kit muli dengn simpul u segi simpul wl. Beri hrg = 0. Amil simpul dengn jrk terdekt dri u (dlm hl ini z = 2), kemudin lingkri uz. Semu rus lin yng erkhir di z kit hpus (dlm hl ini tidk d rus lin yng erkhir di z. Beri nili = 2 di elkng z. Simpul yng telh dieri hrg ditndi dengn *. x y c y = 2 = 3 c = 3 x = 3 yc = 1 = 3 Dri simpul u dn z (yng telh ditndi *), dicri simpul lin yng jrkny terdekt dihitung dri u. Jdi hrus diperhitungkn nili yng tertulis di simpul (0 untuk u dn 2 untuk z). Disini dn uzy = = 4 merupkn nili miniml. Boleh dipilih slh stu, mislny uzy. Beri nili = 4 pd y. Lingkri zy dn hpus rus yng lin yng menuju y, yitu uy dn xy. x y c y = 2 = 3 c = 3 x = 3 yc = 1 = 3 Logik dn Algoritm 4

5 Demikin proses dilnjutkn erturut-turut : x c y = 2(6) = 3 c = 3 x = 3 yc = 1(5) = 3 x*(4) c y = 2(6) = 3 c = 3 x = 3(7) yc = 1(5) = 3 x*(4) c*(5) y = 2(6) = 3 c = 3(8) x = 3(7) yc = 1(5) = 3 x*(4) *(6) c*(5) y = 2(6) = 3(9) c = 3(8) x = 3(7) yc = 1(5) = 3 x*(4) *(7) *(6) c*(5) y = 2(6) = 3(9) c = 3(8) x = 3(7) yc = 1(5) = 3(10) Logik dn Algoritm 5

6 x*(4) *(7) *(6) c*(5) *(8) y = 2(6) = 3(9) c = 3(8) x = 3(7) yc = 1(5) = 3(10) Diperoleh jlur miniml dri simpul u ke simpul yng pnjngny = 8 dengn urutn c y z u Algoritm dits dpt pul dikenkn untuk Grf tidk errh. PROBLEMA ALIRAN MAKSIMAL Tujun dri Prolem Alirn Mksiml dlh : Mengtur jdwl pengirimn rng gr jumlh rng yng dikirimkn dri sutu simpul ke simpul lin (yng tertentu) dlh mksimum. Simpul yng mengirimkn (simpul wl) diseut Sumer (Source). Simpul yng menerim kirimn (simpul khir) diseut Mur (Sink). Antr Sumer dn Mur terdpt pul simpul lin yng diseut Simpul Perntr. Dlm hl ini ditetpkn hw simpul perntr tidk dpt menyimpn rng. Perhrikn Grf dits. Simpul dlh Sumer. Simpul d dlh Mur. Sedngkn simpul dn c dlh Simpul Perntr. Angk pd msing-msing rus menytkn kpsits rus terseut. Logik dn Algoritm - 6

7 Jdi, mislkn dri dpt dikirimkn 10 uh/unit rng ke, sedngkn dri tidk dpt dikirimkn rng ke. Untuk menyelesikn prolem lirn mksiml dits, dpt kit gunkn sutu lgoritm. Algoritm Prolem Alirn Mksiml dlh segi erikut : 1) Cri sutu jlur dri Sumer ke Mur yng dpt memw lirn rng yng positif. Klu tk d, lngsung ke lngkh (4). Tentukn lirn mksiml jlur terseut. Contoh : Pd prolem dits dpt dimil jlur d. Alirn mksimum jlur terseut dlh 8. 2) Pd grf erikutny kpsits rus pd jlur kit kurngi dengn lirn mksimum, dn kpsits rus yng erlwnn ertmh dengn lirn mksimum terseut. Contoh : Pd contoh kit, kpsits rus d menjdi 8-8 = 0 Dn kpsits rus d menjdi = 8 3) Kemli ke lngkh (1). 4) Alirn Mksimum dlh jumlh semu rng yng diterim oleh Mur. Berikut ini dlh penyelesin prolem di ts : Jlur d, lirn mksiml = 8 Logik dn Algoritm 7

8 Jlur cd, lirn mksiml = 4 Jlur cd, lirn mksiml = 9 Jlur cd, lirn mksiml = 1 Tk d lgi Jlur dri Sumer ke Mur yng dpt memw lirn positif. Jdi diperoleh lirn mksiml dri jringn dlh 22. Logik dn Algoritm 8

9 MESIN STATE HINGGA Mesin Stte Hingg merupkn sutu struktur strk yng didefinisikn terdiri ts : (1) Himpunn hingg A, erisi simol input (2) Himpunn hingg S, erisi internl stte (3) Himpunn hingg Z, erisi simol output (4) Seuh fungsi f : S x A S, diseut fungsi next-stte (5) Seuuh fungsi g : S x A Z diseut fungsi output M ( A, S, Z, f, g) M (A, S, Z, q0, f, g) INPUT OUTPUT : : Unti Unti Contoh : (1) A (2) S M ( A, S, Z, f, g) dengn : = (,) = (q0, q1, q2) (3) Z (4) f = : ( x, y, z) S x A S, yng didefinisikn segi : f (qo, ) = q1 f (q1, ) = q2 f (q2, ) = qo f (q0, ) = q2 f (q1, ) = q1 f (q2, ) = q1 (5) g : S x A Z, yng didefinisikn segi : g (q0, ) = x g (q1, ) = x g (q2, ) = z g (q0, ) = y g (q1, ) = z g (q2, ) = y Logik dn Algoritm 9

10 AUTOMATA HINGGA Automt Hingg merupkn sutu struktur strk yng didefinisikn terdiri ts : (1) Himpunn hingg A, erisi simul input (2) (3) (4) (5) Himpunn hingg S, erisi internl stte Himpunn T (dimn T S), elemenny diseut stte penerim Stte wl (isny q0), nggot S Fungsi next-stte f : S x A S M (A, S, T, qo, f) INPUT OUTPUT : Unti : Diterim tu ditolk Contoh : M (A, S, T, qo, f) dengn : (1) (2) (3) (4) (5) A =, S = q0, q1, q2 T = qo, q1 Stte wl = q0 Fungsi next-stte f : S x A S, yng didefinisikn segi tel erikut : f q0 q1 q2 q0 q0 q2 q1 q2 q2 Logik dn Algoritm 10

11 LATIHAN 1. Tentukn jlur terpendek dri G ke H! 2. Selesiknlh prolem lirn mksiml dri grph erikut. Simpul x merupkn sumer dn y merupkn mur! Logik dn Algoritm 11