Penerapan Pohon dan Algoritma Heuristic dalam Menyelesaikan Sliding Puzzle

Transkripsi

1 Pnrpn Pohon n Algoritm Huristic lm Mnylsikn Sliing Puzzl Rzn Achm ( ) Progrm Stui Inormtik Institut Tknologi Bnung Jln Gnsh 10 Bnung mil : rznchm@yhoo.com; i18104@stunts.i.it.c.i ABSTRAK Sliing puzzl mrupkn slh stu jnis prminn puzzl yng cukup trknl n nyk isnngi olh orng krn lm mminknny cukup mmrs otk. Untuk mnylsikn sliing puzzl trpt nyk cr slh stuny ngn mnggunkn prinsip pohon ivrisikn ngn lgoritm huristic. P mklh ini kn ijlskn mngni pross yng ilkukn untuk mnylsikn sliing puzzl. Bsisny yitu mnggunkn pohon nmun prlu pnunjng yitu lgoritm huristic gr lih cpt untuk mnmukn solusi. Smu kmungkin prgsrn puzzl itr isimpul pohon. Scr umum pross mmprolh solusi yitu mnntukn nili huristic smu un yng, mmilih un yng mmiliki nili huristic pling kcil untuk kmuin itntukn nk-nkny. Ank-nk yng ru trntuk mrupkn un ru. Slnjutny tntukn lgi nili huristic un kmuin mmilih yng trkcil untuk itntukn lgi nk-nkny. Pross ini ilkukn trus mnrus hingg iptkn un yng mmiliki nili huristic = 0. Pncrin solusi kn lih cpt slsi jik mmki prinsip pohon isrti ngn lgoritm huristic rip hny mnggunkn prinsip pohon sj. Gmr 1.1 Sliing Puzzl Kt kunci: Sliing Puzzl, Pohon, Algoritm Huristic.. 1. PENDAHULUAN Sliing puzzl mrupkn slh stu jnis prminn puzzl yng cukup mmrs otk untuk mnylsiknny. Pmin itntng untuk rpikir krti gimn untuk mmut smu gin puzzl trltk p posisi snrny. Cr mminknny cukup muh, pmin hny mnggsr puzzl stu mi stu smpi khirny smu puzzl trltk p posisi snrny. Prminn ini trliht cukup srhn nmun untuk mnmptkn smu puzzl p tmpt snrny lh knl sr. Pmin hrus mngrhkn sgl kmmpun otkny untuk mmut puzzl trsut trltk p posisi snrny. Gmr 1.2 Gmr Snrny Contoh sliing puzzl yitu trpt p gmr 1.1 Pmin imint untuk mnylsikn puzzl trsut ssui p gmr 1.2. Pmin imint untuk mnggsr puzzl stu mi stu hingg trntuk gmr sprti p gmr 1.2. Mmng, prminn ini trliht sngt srhn. Ttpi, untuk mnylsiknny iutuhkn logik srt nlisis yng kut. Sngt nyk kmungkinn prgsrn yng ilkukn untuk mnylsikn puzzl ini. Hl ini yng mmut puzzl ini sush untuk islsikn. Brhuung krn sliing puzzl p gmr 1.1 hny rukurn 3 X 3, cukup muh untuk mnylsikn sliing puzzl ini. Bgimn ngn sliing puzzl yng rukurn 4 X 4,

2 5 X 5 n strusny? Tntu tingkt ksushnny smkin tinggi krn kominsi prgsrnny pun smkin nyk. Prtnyn yng mungkin muncul yitu kh cr untuk mmuhkn lm pnylsin sliing puzzl ini? Jwnny tntu. Bhkn nyk vrisi cr yng igunkn untuk mnylsikn sliing puzzl ini. Vrisi cr trsut trgntung kmmpun nlisis srt krtiits pmin. Slh stu cr yng yitu ngn mnggunkn ntun pohon m-ry. Prlu ikthui hw pnrpn prinsip pohon mmng sngt nyk igunkn lm mmchkn mslh lm ing inormtik. Hmpir smu ing lm inormtik mmki topologi pohon untuk mnylsikn sutu mslh. Dlm uni prminn pun pohon nyk igunkn untuk mnylsikn prminn smpi tunts. Slin lm hl prminn puzzl, pohon jug igunkn untuk mnylsikn prmin suoku, ctur n ln-lin. Ssui knytn, pohon mmiliki kr, cng srt un. P pnylsin sliing puzzl ini, kn igunkn struktur pohon yng mmiliki kr, cng n un. Konisi wl puzzl iltkkn p kr. Smu kmungkinn prgsn puzzl itulis k nk ri kr trsut (cng). Diut lgi nk untuk nk ri kr slumny. Kmungkinn prgsrn ituliskn lgi isini hingg smu puzzl r p posisi snrny. Solusi ri puzzl ini isut un. Pnjlsn lih rinci trpt p - slnjutny. Bhkn trpt cr lin yng ikominsikn ngn prinsip pohon untuk mnylsikn sliing puzzl ini slh stuny ngn mmvrisikn ngn lgoritm huristic. 2. POHON 2.1 Dinisi Pohon Pohon lh gr tik rrh yng tik mngnung sikuit. A u sit pnting p pohon yitu trhuung n tik mngnung sirkuit. P gmr 2.1, hny G1 m G2 yng pohon, sngkn G3 n G4 ukn pohon. G3 ukn pohon krn i mngnung sirkuit,,, sngkn G4 ukn pohon krn i tik trhuung (n jngn trtipu ngn prsilngn u uh sisi - lm hl ini sisi (,) n sisi (,)- krn titik silngny ukn mnytkn simpul). c G 1 G 2 c G 3 G 4 Gmr 2.1 G 1 n G 2 lh pohon, sngkn G 3 n G 4 ukn pohon. 2.2 Sit-sit Pohon Sit-sit pohon inytkn ngn torm 2.1 iwh ini. TEOREMA 2.1. Mislkn G = (V, E) lh gr tik rrh srhn n jumlh simpulny n. Mk, smu prnytn i wh ini lh kivln : 1. G lh pohon. 2. Stip psng simpul i lm G trhuung ngn lintsn tunggl. 3. G trhuung n mmiliki m = n 1 uh sisi. 4. G tij mngnung sirkuit n mmiliki m = n -1 uh sisi. 5. G tik mngnung sirkuit n pnmhn stu sisi p gr kn mmut hny stu sirkuit. 6. G trhuung n smu sisiny lh jmtn (jmtn lh sisi yng il ihpus mnykn gr trpch u komponn). 2.3 Pohon Brkr n Trminologiny P knykn pliksi pohon, simpul trtntu iprlkukn sgi kr (root). Skli suh simpul ittpkn sgi kr, mk simpul-simpul linny pt icpi ri kr ngn mmri rh p sisi pohon yng mngikutiny. Akr mmpunyi rjt-msuk sm ngn nol n simpul-simpul linny rrjt-msuk sm ngn stu. Simpul yng mmpunyi rjt-klur sm ngn nol isut un tu simpul trminl. Simpul yng mmpunyi rjt-klur tik sm ngn nol isut simpul lm tu simpul cng. Stip simpul i pohon pt icpi ri kr ngn suh lintsn tunggl (unik). Ank (chil tu chilrn) n Orngtu (prnt) Miskn Xx lh suh simpul i lm pohon rkr. Simpul y iktkn nk ri simpul x jik sisi simpul x k y. Dlm hl mikin, x isut orngtu(prnt). P Gmr 2.2,c, n lh c

3 nk-nk simpul, n lh orngtu ri nk-nk itu. E n lh nk-nk simpul, n lh orngtu ri n. G lh nk simpul, n lh orngtu g. Simpul h,i,j,l n m tik mmpunyi nk. Simpul Dlm (intrnl nos) Simpul yng mmpunyi nk isut simpul lm. Simpul,, g, n k p Gmr 2.2 lh simpul lm. Ars (lvl) tu Tingkt Akr mmpunyi rs = 0, sngkn rs simpul linny = 1 + pnjng lintsn ri kr k simpul trsut. Brp litltur mmuli nomor rs ri 0, litrtur linny ri 1. Sgi konvnsi, kit mmuli pnomorn rs ri 0. Tinggi (hight) tu klmn (pth) Ars mksimum ri sutu pohon isut tinggi tu klmn pohon trsut. Atu, pt jug iktkn, tinggi pohon lh pnjng mksimum lintsn ri kr k un. Pohon p gmr 2.2 mmpunyi tinggi 4. Gmr 2.2 Pohon Brkr Lintsn (pth) Lintsn ri simpul v1 k simpul vk lh runtunn simpul-simpul v1, v2,.., vk smikin shingg vi lh orng tu ri vi+1 untuk 1<= i <=k. Dri pohon p Gmr 2.2, lintsn ri k j lh,,, j, Pnjng lintsn lh jumlh sisi yng illui, yitu k-1. Pnjng lintsn ri k j lh 3. Kturunn (scnnt) n Lluhur (ncstor) Jik trpt lintsn ri simpul x k simpul y i lm pohon, mk x lh lluhur ri simpul y, n y lh kturunn simpul x. P Gmr 2.2, lh lluhur simpul h, n ngn mikin h lh kuturn. Sur knung (siling) Simpul yng rorngtu sm lh sur knung stu sm lin. P gmr 2.2, lh sur knung. Ttpi, g ukn sur knung, krn orngtu mrk r. Drjt (gr) A prn inisi rjt p pohon rkr ngn inisi rjt p gr (trmsuk pohon tik rkr). Drjt suh simpul p pohon rkr lh jumlh uppohon (tu jumlh nk) p simpul trsut. P gmr 2.2, rjt lh 3, rjt lh 2, rjt lh stu n rjt c lh 0. Ji, rjt yng imksukn i sini lh rjt-klur. Dun (l) Simpul yng rrjt nol tu tik mmpunyi nk isut un. Simpul h, i, j,, c, n m lh un. Pohon rkr yng stip simpul cngny mmpunyi pling nyk m uh nk isut pohon m- ry. Jik m=2, pohin isut pohon inr (inry tr). Pohon m-ry iktkn pohon pnuh (ull) tu pohon trtur jik smu simpul cngny mmpunyi tpt m uh nk. Pohon m-ry nyk igunkn irgi ilmu mupun lm khiupn shri-hri. Dlm trpnny, pohon m-ry igunkn sgi mol yng mrprsntsikn sutu struktur. Du contoh pnggunn pohon m-ry yitu pnurunn klimt (lm ing hs) n irktori rsip i lm komputr. Contoh pnggunn pohon m-ry linny lh struktur orgnissi, silsilh klurg (lm ing gntik), struktur tu tr isi ilm uku, gn prtningn ntr rp tim spkol n sginy. Jumlh Dun p Pohon m-ry Pnuh Pohon m-ry pnuh lh pohon yng stip simpulny tpt mmpunyi m jumlh nk. P pohon m-ry pnuh ngn tinggi h, jumlh un lh m h. Prhtikn jik T uk pohon m-ry pnuh, mk jumlh un <= m h. Jumlh Sluruh Simpul p Pohon m-ry Pnuh P pohon m-ry pnuh ngn tinggi h, rs 0 jumlh simpul = m 0 = 1 rs 1 jumlh simpul = m 1 = m rs 2 jumlh simpul = m 2... rs h jumlh simpul = m h mk jumlh sluruh simpul lh S = m 0 + m 1 + m m h = m h+1-1 m 1

4 3. ANALISIS PENERAPAN POHON DALAM MENYELESAIKAN SLIDING PUZZLE Ssui p pnhulun, solusi yng itwrkn untuk mnylsikn sliing puzzl ini ilh ngn mnggunkn prinsip pohon. P slumny, tlh kit kthui hw nyk ntuk pohon yng pt iut. Untuk prmslhn sliing puzzl kn igunkn pohon m-ry yitu pohon yng mmliki nk pling nyk sjumlh m. Gmr 1.1 mrupkn gmr sliing puzzl. Ktuln puzzl yng islsikn rup ppn tomol sutu lt lktronik ji cukup muh mngthui posisi puzzl yng snrny. Bgimn jik gmr sliing puzzl itu rup pmnngn? Atu rup oto gung-gung tinggi yng mmiliki nyk kc? Tntu kn trs sulit gi kit jik ojk sliing puzzl rup gmr sprti itu. Untuk mngtsi hl-hl sprti ini, slum ojkojk trtntu intuk mnji sliing puzzl, trlih hulu tip gin puzzl iri nomor. Stlh smu gin iri nomor, ru kit mngck puzzl trsut. Cr its sngt rgun jik kit ingin mmut suh gm sliing puzzl. Trlih hulu kit tntu mllukn pmrin nomor kp tip gin ojk gmr slum gmr trsut intuk mnji sliing puzzl kmuin ick. Hl ini ilkukn supy kit pt mngnli posisi sliing puzzl mllui nomor sj. Ini trs gmpng iningkn kit msti mngingt posisi mllui gmr. Skrng prhtikn gmr 3.1. Gmr 3.1 mrupkn sliing puzzl yng tlh ji. Pnulis sngj mmhs prsoln sliing puzzl lm ntuk ngk ri p gmr krn sprti yng tlh iktkn slumny hw ini hny untuk mmprmuh pmhsn n pmc kn lih muh untuk mngrti Gmr 3.1 Sliing Puzzl yng tlh ji Gmr 3.2 Sliing Puzzl yng lum ji. Pnulis kn mlkukn pngckn p Sliing Puzzl p Gmr 3.1. Hsil pngckn pt iliht p gmr 3.2. Snrny, sliing puzzl its tik rumit untuk islsikn. An is mnk-nk lngkh untuk mmut sliing puzzl p gmr 3.2 mnji sprti p gmr 3.1. Pnulis sngj mngmil contoh yng srhn untuk mlkukn pnrpn pohon p pnylsin sliing puzzl ini gr lih muh untuk mmhsny. Tlh isutkn slumny hw pnylsin sliing puzzl ini mnggunkn pohon m-ry. P sliing puzzl ini, kn igunkn pohon 4-ry krn mksiml kmungkinn rh p sliing puzzl hnylh mpt yitu ts, knn, wh n kiri. Prtm-tm, Gmr 3.2 ijikn sgi kr p pohon. Untuk prmuln trpt tig mcm grk puzzl yng is ilkukn. Prtm, ngk 3 is igsr k slh kiri. Ku, ngk 1 is igsr kslh knn. Dn ktig, ngk 2 is igsr k ts. Brrti, Gmr 3.2 kn mmiliki tig nk. Stlh trntuk tig nk tu tig simpul ru, tig simpul ru ini msing-msing jug kn mmiliki nk ssui ngn jumlh kmungkinn prgrkn. Hl ini kn trus ilkukn smpi itmukn sususn puzzl sprti p gmr 3.1. Gmr 3.3 Pohon yng risi kmungkinn prgrkn sliing puzzl. Gmr 3.3 mrupkn susunn kmungkin prgrkn sliing puzzl. Tlh ihs slumny hw simpul p lvl 0 kn mmiliki tig nk. Kmuin tig nk ini kn mmiliki nk lgi n strusny ilkukn sprti hingg konisi puzzl yng iinginkn itmukn. Prhtikn tig simpul p lvl stu. Tig simpul ini mrupkn nk ri simpul yng r p lvl nol. Skrng kn ivlusi nk yng ihsilkn p simpul prtm i lvl stu. Simpul prtm p lvl stu p gmr 3.3 mmiliki u nk. Prhtikn hw yng nh p hl ini. Smstiny simpul prtm p lvl stu trsut mmiliki tig nk. Kmungkinn prgsrnny yitu ngk 4 igsr k knn, ngk 5 igsr k kiri, tu ngk 2 igsr kwh. P gmr 3.3, tik trpt ngk 2 yng igsr k wh. Jik hl ini lkukn mk kn mnykn nkny kn sm ngn orngtuny. Hl ini tik iprolhkn krn mmut lm wktu vlusi. Konisi ini jug rlku p simpul-simpul yng lin. Ji wjr jik nk yng ihsilkn lh u, ukn tig.

5 Pohon p gmr 3.3 tik mnmpung smu kmungkinn prgsrn puzzl hkn tik un pun yng mmiliki sosuli. Prlu iprhtikn hw solusi ri sliing puzzl ini psti rup suh un krn pmriksn kn rhnti jik konisi puzzl tlh ji. Pnulis sngj tik mlkukn vlusi p pohon hingg itmukn konisi puzzl yng ssui. Alsnny lh trllu nyk kmungkinn prgrkn yng kn ivlusi shingg kn mmutuhkn wktu yng lm untuk mnmukn solusiny. Tlh ikthui slumny hw stip simpul kn ivlusi tu icri smu kmungkinn prgsrnny. Nh, hl ini yng mmut kn sngt nyk kmungkinn posisi puzzl. Prlu cr shingg tik prlu untuk mngvlusi smu simpul. Slh tujun untuk mnmukn cr ini yitu mmprcpt wktu pncrin solusi srt mnghmt mmori tu nykny simpul yng trntuk. Slh stu ltrnti cr yitu mmvrisikn prinsip pohon ngn lgoritm huristic. Slumny kn ijlskn mngni lgoritm huristik. Algoritm huristic lh lgoritm yng stip lngkh pnylsinny sllu mnco mnghitung jrk iriny ngn gol yng kn icpi, shingg lgoritm trsut pt mmutuskn lngkh slnjutny yng hrus itmpuh. Contoh srhn ri lgoritm ini lh sorng gn lm mncri jlur trpnk ri kot sl k kot tujun. Jik intr kot tujun n sl trpt rp kot mislny :,,c, n sprti p gmr rikut: Gmr 3.4 Grph ri Kot Asl k Kot Tujun. Tik yng nh ngn grph yng mrprsntsikn pt its. Prnny p huristic lh ny jrk lngsung ntr tip kot ngn kot tujun sgi rikut : sl-tujun = 40, -tujun = 35, -tujun = 31, c-tujun =25, -tujun =15, -tujun =14. Llu sng gn kn mngvlusi huristic ipnny yitu n (liht gmr 3.4), ipilih krn (huristic ) + jrk(sl-) = 44 lih kcil rip (huristic ) + jrk(sl-)=55. Stlh itu vlusi lgi huristic ipnny yitu c n, lkukn cr yng sm shingg kot tujun trcpi ngn lngkh: sl---tujun ngn cost totl = 49. Kkurngn ri huristic ini lh ktik mislny tik mmiliki kss lgi mnuju tujun, mk lgoritm ini mnglmi kggln. Slin itu lgoritm gry sniri tik sllu mnghsilkn hsil optiml. Dlm pnylsin sliing puzzl, huristic its ipriki ngn cr mnyimpn hsil pnjumlhn jrk + huristic k lm simpul pohon. () Gmr 3.4 Prningn Sliing Puzzl yng tlh ji n lum ji. Prhtikn gmr 3.4 its. Gmr 3.4 () mrupkn konisi wl puzzl tu konisi ji puzzl. Skrng kn icri nili huristic puzzl (). Posisi yng slh p puzzl () yitu ngk 2, 5, n 6. Jrk ngk 2 k posisi snrny lh 1 kotk. Jrk ngk 5 k posisi snrny lh 1 kotk. Jrk ngk 6 k posisi snrny lh 1 kotk. Ji, nili huristic puzzl () lh = 3. Algoritm untuk mnylsikn sliing puzzl yitu sgi rikut : 1. Tntukn huristic smu un p pohon. 2. Cri huristic pling kcil p smu un. 3. Evlusi un yng mmiliki huristic pling kcil yitu mnntukn nk-nkny. 4. Ulngi lngkh 1 smpi 3 hingg itmukn un yng huristic-ny sm ngn 0. Skrng prhtikn gmr 3.5. Awlny, pohon hny mmiliki stu un n skligus kr (simpul yng mmiliki i = 1). Ssui ngn lgoritm its, trlih hulu icri huristic smu un yng p pohon. Skrng, hny trpt stu un p pohon, yitu i = 1. Nili huristic i =1 lh 3, ssui hsil p gmr 3.4. Kmuin icri nili huristic yng pling kcil. Krn hny trpt stu un, mk i =1 skligus mnji un yng trpilih untuk ivlusi yitu mncri nk-nkny. Ank-nk ri i=1 yitu i=2, i=3, n i=4. Skrng trpt 3 un yitu i=2, i-3, n i=4. I=1 ukn un lgi krn tlh mmiliki nk. Skrng cri huristic smu un. Ssui ngn cr slumny, iprolh huristic i=2 yitu 2, i=3 yitu 4 n i=4 yitu 4. Huristic pling kcil trpt p i = 2.

6 Skrng i=2 kn ivlusi lgi krn mrupkn lmn un yng mmiliki nili huristic pling kcil. Stlh ivlusi, i=2 mmiliki nk yitu i = 5, i = 6, n i = 7. Elmn un p pohon skrng yitu, i =3, i = 4, i = 5, i =6 n i = 7. Nili-nili ri un ini pt iliht p gmr 3.5. Nili huristic pling kcil trpt p un i = 6. IV. KESIMPULAN Ksimpuln p mklh ini yitu : 1. Prsoln sliing puzzl pt islsikn ngn mnggunkn prinsip pohon srt lgoritm huristic. 2. Solusi sliing puzzl kn lih cpt iprolh jik igunkn prinsip pohon ngn vrisi lgoritm huristic iningkn hny mnggunkn pohon sj. V. REFERENSI [1] Munir, Rinli, Mtmtik Diskrit, Inormtik, [2] Akss : 09:40, 19 Dsmr Gmr 3.5 Solusi Sliing Puzzl ngn Mnggunkn Huristic. Hl yng sm ttp ilkukn yitu mlkukn vlusi p un yng mmiliki hristic pling kcil yitu i = 6. I=6 mmilki nk i = 8 n i = 9. I=8 mmiliki huristic = 2 n i = 9 mmiliki huristic = 0. Evlusi slsi ilkukn krn tlh itmukn un yng mmiliki huristic = 0. Cr pnylsin sliing puzzl ini yitu ri i=1 k i=2 k i=6 n k i=9. Jik lm ntuk prgsrn yitu 2 igsr k ts, 5 igsr k kiri, n 6 igsr k ts. Skrng is iningkn pnylsin sliing puzzl ngn hny mnggunkn pohon sj n mnggunkn pohon ngn vrisi lgoritm lin. Dngn vrisi lgoritm huristic kn lih kti mncri solusi krn tik smu simpul itntukn nkny ttpi hny simpul yng mmiliki huristic pling kcil sj yng itntukn nkny.