6. Himpunan Fungsi Ortogonal

Transkripsi

1 6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn bhw (S f N ) konvergen ke f, ykni N lim c n e inθ = f(θ) N n= N hmpir di mn-mn. Dlm hl ini kit dpt merekonstruksi f dri koefisien-koefisien Fourier-ny mellui f(θ) = c n e inθ. Nmun, secr umum, deret Fourier f tidk sellu sm persis dengn fungsi f semul. Bhkn, dlm ksus ekstrim, deret Fourier f dpt divergen di mn-mn, sebgimn ditunjukkn oleh Kolmogorov (926). Fungsi yng mulus bgin demi bgin pd [ π, π] tentuny terintegrlkn pd [ π, π]. Keterintegrln f pd [ π, π] merupkn premis yng disumsikn pd wl pembhsn deret Fourier. Tetpi, fkt di ts mengindiksikn bhw mestiny d hl lin selin keterintegrln f pd [ π, π] yng menjmin deret Fourier f konvergen ke f. 6. Himpunn Fungsi Ortogonl Deret Fourier dibentuk dri sutu kelurg fungsi ortogonl di sutu rung fungsi yng dilengkpi dengn hsilkli dlm tertentu. Di rung vektor X yng dilengkpi dengn hsilkli, dn norm, vektor u X disebut vektor norml jik u =. Vektor v dpt dinormlkn dengn membginy dengn v : jik u := v v, mk u =. Himpunn vektor u,..., u n } disebut himpunn ortonorml jik u i = untuk tip i =,..., n dn u i, u j = untuk i j; ykni jik u i, u j = δ ij, i, j =,..., n. 24

2 [Jik v i untuk tip i =,..., n dn v i, v j = untuk i j, mk v,..., v j } disebut himpunn ortogonl.] Jik u,..., u k } ortonorml di C k dn v = α u + + α k u k, mk α i = v, u i untuk tip i =,..., k. Seblikny, mislkn v C k. Jik kit definisikn α i = v, u i untuk i =,..., n dn tulis v = α u + + α k u k, mk w = v v u i, kren w, u i = v, u i v, u i =, untuk tip i =,..., n. Akibtny w =, kren bil tidk, mk u,..., u k, w} merupkn himpunn ortogonl dengn k + nggot di C k. Teorem. Mislkn u,..., u k } himpunn ortonorml k vektor di C k. Mk, untuk setip v C k, berlku v = v, u u + + v, u k u k. Lebih juh, v 2 = v, u v, u k Rung P C(, b) sebgi Rung Hsilkli Dlm Mri kit tinju rung P C(, b), yitu rung fungsi kontinu bgin demi bgin pd [, b]. Ingt bhw f diktkn kontinu bgin demi bgin pd [, b] pbil f kontinu pd [, b] keculi di sejumlh terhingg titik x,..., x k, dn di titik-titik tersebut limit kiri dn limit knn f d. Fungsi f di P C(, b) tidk hny terintegrlkn tetpi jug kudrtny terintegrlkn, ykni f 2 terintegrlkn, pd (, b). Pd P C(, b) kit dpt mendefinisikn hsilkli dlm f, g := f(x)g(x) dx dn norm [ /2 b f := f(x) dx] 2. Ketksmn Cuchy-Schwrz, ketksmn segitig, dn Teorem Pythgors berlku di P C(, b) dengn, dn di ts. 25

3 Teorem Pythgors. Jik f,..., f n } ortogonl, mk f + +f n 2 = f f n 2. Diberikn sutu himpunn ortonorml ϕ n } di P C(, b) dn f P C(, b) sembrng, kit ingin thu pkh f = n f, ϕ n ϕ n. Mengingt bhw P C(, b) berdimensi tk terhingg, pertnyn ini tidk dpt seger kit jwb. Jik ϕ n } terhingg, jels hl tersebut tidk mungkin terjdi. Jik ϕ n } tk terhingg, pkh cukup bnyk untuk merentng P C(, b)? Sebelum menjwb pertnyn ini secr rinci, mri kit tinju kelurg fungsi ϕ n (x) := e inx, n Z di rung P C( π, π). Perhtikn bhw ϕ m, ϕ n = π e imx e inx dx = π e i(m n)x dx = δ mn. π π Jdi ϕ n } merupkn himpunn ortonorml. Selnjutny, koefisien Fourier c n dri f P C( π, π) diberikn oleh rumus c n = π π f(x)e inx dx = f, ϕ n, n Z. Jdi, c n e inx = [ f, ϕ n ] [ϕn (x) ] = f, ϕ n ϕ n (x). Jdi deret Fourier f merupkn urin terhdp himpunn ortonorml ϕ n }. Demikin pul kit dpt memeriks bhw kelurg fungsi ψ n } dengn ψ (x) = π, ψ n (x) = 2 π cos nx, n =, 2, 3,... merupkn kelurg fungsi ortonorml di P C(, π). Selnjutny, koefisien cosinus Fourier n dri f P C(, π) yng diberikn oleh rumus n = 2 π π f(x) cos nx dx = 2 π f, ψ, untuk n =, 2 π f, ψ n, untuk n =, 2, 3,..., 26

4 memenuhi 2 + n cos nx = n= f, ψ n ψ n (x). Hl serup terjdi untuk deret sinus Fourier dn deret Fourier lengkp (versi rel). Kit sudh thu bhw deret Fourier ini konvergen ke f hmpir di mn-mn pbil f mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Pertnynny dlh: bgimn bil f P C( π, π)? 6.3 Kekonvergenn di Rung P C(, b) Brisn fungsi f n } di P C(, b) diktkn konvergen dlm norm ke f P C(, b) pbil f n f untuk n, ykni jik n= f n (x) f(x) 2 dx, untuk n. Perlu dictt bhw kekonvergenn dlm norm tidk menjmin kekonvergn titik demi titik. Sebgi contoh, mbil f n (x) =, jik x n,, jik x linny. Di sini f n 2 = n bil n. Jdi f n} konvergen ke f dlm norm. Tetpi f n () = untuk tip n N, sehingg f n } tidk konvergen ke titik demi titik. Seblikny, mislkn g n (x) = Mk, g n titik demi titik, tetpi n, jik < x < n,, jik x linny. bil n. g n 2 = g n (x) 2 = /n n 2 dx = n Teorem. Jik f n f secr sergm pd [, b], mk f n f dlm norm. Bukti. Diberikn ϵ > sembrng, kit pilih n N sedemikin sehingg untuk setip x [, b] dn n n berlku f n (x) f(x) < f n f 2 = ϵ b. Akibtny, f n (x) f(x) 2 dx ϵ 2. 27

5 Ini menunjukkn bhw f n } konvergen ke f dlm norm. [QED] Di stu sisi, dengn dny hsilkli dlm, dn norm =, /2, rung P C(, b) sekrng lebih terstruktur (secr geometri). Di sisi lin, rung ini menjdi tidk lengkp, ykni: terdpt brisn Cuchy f n } di P C(, b) yng tidk konvergen ke sutu fungsi f P C(, b). Sebgi contoh, tinju P C(, ) dn mbil brisn f n } dengn Jik m > n, mk sehingg x f n (x) = /4, jik x > n,, jik x. n f m (x) f n (x) = f m f n 2 = n m x /4, jik m < x < n,, jik x linny x 2 dx = 2 ( n m ), bil m, n. Jdi f n } merupkn brisn Cuchy; tetpi limitny (bik titik demi titik mupun dlm norm) dlh fungsi x f(x) = /4, jik x >,, jik x =, yng bukn nggot P C(, ) kren lim f(x) =. x + Llu p yng hrus dilkukn? Sebgimn lzimny, yng hrus dilkukn dlh melengkpi rung P C(, b), dengn menmbhkn limit-limit dri semu brisn Cuchy pd P C(, b). Hsilny dlh rung L 2 (, b) yng kn dibhs pd bb selnjutny., 6.4 Sol Ltihn. Buktikn bhw kelurg fungsi ϕ n } dengn ϕ n (x) := 2 π sin nx, n =, 2, 3,..., merupkn himpunn ortonorml di P C(, π), dn koefisien sinus Fourier b n = 2 π 2 f(x) sin nx dx = f, ϕ n, π π memenuhi b n sin nx = f, ϕ n ϕ n (x). n= n= 28