Vektor di R 2 dan R 3

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Vektor di R 2 dan R 3"

Erlin Tan
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl point) vektor nol, yitu vektor yng pnjngny nol, dengn rh sebrng yng menyesuikn dengn opersi yng mengikutiny b c dn b disebut sm, wlupun dn b tidk mempunyi titik wl dn titik khir yng sm, kren pnjng dn rhny sm Visulissi Vektor R dn R y z =(, ) =(,, ) (0, 0, 0) y x (0, 0) x Vektor yng titik wlny di titik sl {(0,0) untuk vektor di bidng dn (0, 0, 0) untuk vektor di rung} disebut vektor posisi.

2 Penjumlhn dn Perklin dgn Sklr b + b - b Opersi Aritmtik secr Anlitis Untuk =(, ) dn b=(b,b ), berlku:. =b, berrti =b dn =b. +b=( +b, +b ) (entri yng seletk dijumlhkn). k=(k, k ) (setip entri diklikn dengn k) 4. - b=+(-b)=+(-)b=( -b, -b ) Untuk =(,, ) dn b=(b, b, b ), berlku:. =b, berrti =b, =b dn =b. +b=( +b, +b, +b ) (entri yng seletk dijumlhkn). k=(k, k, k ) (setip entri diklikn dengn k) 4. - b=+(-b)=+(-)b=( -b, -b, -b ) Sift Opersi Vektor Jik u, v, w R tu R dn k, l sklr (bilngn riil), berlku:. u + v = v + u (sift komuttif). (u + v) + w = v + (u + w) (sift sositif). o + u = u + o = u (identits penjumlhn) 4. u + u = u + (-u) =o (invers penjumlhn) 5. k(u + v) = ku + kv 6. (k + l)u = ku + lu 7. (kl)u=k(lu) 8. u=u Kedelpn sift ini nntiny kn ditrik sebgi ksiom untuk mendefinisikn p yng disebut Rung Vektor.

3 Cr Penulisn Vektor = u u = u u =(, ) =( u, u, u ) vektor yng titik wlny P =(x, y, z ), dn titik khirny di P =(x, y, z ) P P = ( x x, y y, z z) Pnjng dn Jrk Pnjng vektor =(,, ) disebut norm: = + + Jrk ntr titik P dn P : d(p, P )= PP = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) Tntngn. Hitung jrk ntr P (,, 4) dn P (-,, -).. Jik =(,, -), b=( /, -4, 5), c=(5, -, ), hitunglh:. +b b. + -b+c c c d. b + 4c. Tentukn semu sklr k sehingg kv =, jik v=(-,, 5) 4. Tentukn vektor yng berlwnn rh dengn v=(,, -), yng normny: 5. Jik u=(,, ), v=(, -, ), dn w=(,, -), tentukn vektor x yng memenuhi u v+x =7x+w 6. Jik u=(,, ), v=(, -, ), dn w=(,, -), tentukn sklr-sklr x, x, dn x, sehingg dipenuhi persmn vektor: x u+x v+x w=(6, 4, -)

4 Hsil Kli Titik Jik u dn v vektor di bidng tu di rung, hsil kli titik ntr u dn v didefinisikn: u v cos θ, jik u o dn v o u v = 0, jik u = o tu v = o dimn θ sudut ntr u dn v Dengn menggunkn turn cosinus didpt bentuk lin hsil kli titik, yitu: u v = x x + y y + zz Akibt Hsil Kli Titik. Kren sudut ntr dn dlh 0, mk norm/ pnjng sutu vektor dpt dinytkn, sebgi berikut: =( ) /. Jik u dn v keduny bukn vektor o, dn θ sudut ntr u dn v, mk dri nili hsil kli titik dpt ditentukn kondisi sudut ntr du vektor tersebut:. θ lncip, jik u v > 0 b. θ tumpul, jik u v < 0 c. θ=π/, jik u v = 0 {u dn v tegk lurus/ ortogonl} Sift-sift Hsil Kli Titik Jik u, v, dn w vektor di R tu R, k sklr, berlku:. u v = v u (komuttif). u (v + w)=u v + u w (distributif). k(u v)=(ku) v = u (kv) 4. u u >0, jik u o, dn u u=0, jik u=o Keempt sift ini kn ditrik menjdi ksiom untuk mendefinisikn Hsil Kli Dlm 4

5 Proyeksi Ortogonl u w w θ Terliht w sejjr dengn, sedngkn w tegk lurus terhdp, dn dipenuhilh hubungn: w + w = w + (u w )=u Vektor w disebut proyeksi ortogonl (tegk lurus) u pd, dn dilmbngkn sebgi: proy u Sedngkn vektor w disebut komponen vektor u yng ortogonl (tegk lurus) terhdp, yng ditentukn sebgi berikut: w = u w =u -proy u Proyeksi Ortogonl (lnjut) proy proy u u u u = u cosθ = u = u u u = = Jik u=(, -, 7), dn v=(-4,, ) tentukn: proy v u dn komponen u yng tegk lurus v proy u u v 4,, 4,, 4,, v = v = = = v v ( ) ( ) ( ) Sedngkn komponen u yng tegk lurus v dlh: (, -,7) (-4/7, /7, /7) = (8/7, -/7, 47/7) w u θ w Hsil Kli Silng Hsil kli silng ntr u=(u, u, u ), dn v=(v, v, v ) dlh: iˆ ˆj kˆ u u u u u u u v = u u u =, -, v v v v v v v v v dimn iˆ = (,0,0 ), ˆj = ( 0,,0 ), kˆ = ( 0,0,) merupkn vektor-vektor stun di R Hny berlku di R sj 5

6 Contoh Tentukn uxv, jik u=(, -, ) dn v=(-, 0, ) Jwb: uxv =(-4, -, -) (uxv) u = (-4, -, -) (, -, ) =(-4) + (-)(-)+(-) = = 0, berrti (uxv) tegk lurus dengn u (uxv) v = (-4, -, -) (-, 0, )=(-4)(-) + (-)0 + (-) = = 0, berrti (uxv) tegk lurus dengn v Sift Hsil Kli Silng Jik u, v, w R, k sklr, berlku:. (u x v) u = 0 {vektor u x v tegk lurus pd vektor u}. (u x v) v = 0 {vektor u x v tegk lurus pd vektor v}. u x v = u v (u v) {identits Lgrnge} 4. u x v = - (v x u) {tidk komuttif} 5. u x u = o {nol terhdp diri sendiri} 6. u x (v + w) = u x v + u x w {distributif} 7. (u + v) x w = u x w + v x w {distributif} 8. k(u x v)= (ku) x v = u x (kv) 9. u x o = o x u = o Identits Lgrnge u x v = u v (u v) dn u v= u v cosθ u x v = u v ( u v cosθ) u x v = u v ( cos θ) u x v = u v sinθ {yng negtif tidk dipki, kren norm sellu positif} v v sinθ θ u {lus jjrn genjng yng dibentuk oleh u dn v} 6

7 Contoh Tentukn lus segitig yng mempunyi titik-titik sudut: P (,, -), P (4,, ), dn P (0,, ) P (0,, ) P (4,, ) P (,, -) P P = (,, -) P P = (4, 0, ) P P P P = (-, 0, 4) Lus segitig = PP PP = = 7 stun lus Tntngn. Tentukn cosinus sudut ntr vektor u=(, 0, ) dn v=(-,, -). Tentukn k, sehingg vektor u=(k, 0, ) dn v=(-k,, ) sling tegk lurus. Tnp menghitung cosinus sudut ntr u=(,, ) dn v=(-,, -), tentukn pkh sudutny tumpul, lncip tukh π/ 4. Tentukn proy u v, jik u=(, 0, -) dn v=(-,, ) dn tentukn komponen v yng ortogonl pd u 5. Crilh du vektor yng norm-ny dn ortogonl pd (, -) 6. Mislkn u=(, 0, ), v=(-,, -), dn w=(,, -). Hitunglh: u v; u (v w); (u v) w; u (v + w); (u v) -w; (u + v) w 7. Tentukn vektor yng ortogonl pd u=(, 0, ) dn sekligus pd v=(-,, -) 8. Tentukn lus segitig yng titik sudutny P(7, -, ), P(, 0, ) dn P(, -, ). 7

dokumen-dokumen yang mirip

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti