Penerapan Strategy Greedy Untuk Membangun Pohon Merentang Minimum

Transkripsi

1 Pnrpn Strtgy Gry Untuk Mmngun Pohon Mrntng Minimum Byu Aity Prhn Progrm Stui Tknik Inormtik Institut Tknologi Bnung Kmpus ITB Jl.Gnsh No.10 Bnung -mil: ABSTRAK Tori gr rkmng n nyk i pliksikn p khiupn shri-hri mnusi hingg st ini. Slh stu ng ri tori gr yng nyk ikmngkn st ini lh pnggunn tori pohon. Konsp pohon inggp sgi slh stu konsp yng pling populr st ini n nyk igunkn untuk mnylsikn rp mslh yng itmui mnusi lm khiupn shrihriny. Konsp pohon pt igunkn ktik hnk irntngkn jringn kl listrik yng mnghuungkn sjumlh loksi ngn pnjng kl yng igunkn spnk-pnkny mungkin, mliht pnglompokn t yng trsr p sutu rung, tupun p prnnn jringn trnsportsi/istriusi rng. Ktig pliksi yng isutkn ti mrupkn ontoh pliksi konsp pohon yitu ngn mnntukn sutu pohon mrntng minimum. St ini trpt rp lgoritm untuk mnntukn sutu pohon mrntng minimum, nmun p mklh ini hny kn mmhs u lgoritm yng ukup trknl untuk mnylsikn prmslhn ini yitu lgoritm prim n lgoritm kruskl. Ku lgoritm ini smsm mnrpkn strtgi gry lm pnrin solusi optimumny, lm hl ini pohon kn ingun sr rthp, sisi mi sisi. Kt kuni: Kt kuni 1, Kt kuni 2,..., Kt kuni 5. optiml, ttpi sr gris sr lgoritm gry pt mnylsikn prsoln optimsi ngn ik. Slh stu ontoh mslh optimsi trpt p prsoln pohon mrntng minimum. Pohon rntng minimum lh pohon rntng ri gr smikin shingg smu pohon rntng lin mmiliki oot lih sr tu sm ngn pohon rntng minimum (wikipi.org). Prsoln pohon rntng minimum tlh nyk ijikn sr untuk mnylsikn prmslhn p khiupn shri-hri mnusi, sprti ktik hnk irntngkn jringn kl listrik yng mnghuungkn sjumlh loksi ngn pnjng kl yng igunkn spnk-pnkny mungkin, mliht pnglompokn t yng trsr p sutu rung, tupun p prnnn jringn trnsportsi/istriusi rng sprti mmngun jlur krt pi yng mnghuungkn sjumlh kot sprti yng igmrkn olh gr p Gmr h g 5 1 g h 1. PENDAHULUAN Dsr lgoritm gry lh mmngu sutu himpunn solusi sr its solusi kil. Algoritm gry hny mngmil solusi yng trik yng mrk tmukn p st itu tnp mmprhtikn konskunsi linny. Algoritm gry sngt trknl untuk mnylsikn rp mslh optimsi mskipun trnyt solusi yng itmukn mrupkn suh solusi Gmr 1. ) Gr yng mnytkn jlur krt pi. Boot p sisi mnytkn pnjng rl (pr Km); ) Pohon Mrntng minimum yng mmpunyi jrk minimum Apil kit ingin mnggungkn rp kot ngn jlur krt pi mk i prlukn iy yng ukup sr, olh krn itu lm mnntukn jlur krt pi, prlu itntukn jlur yng pling isin n konomis ngn mmntuk sutu himpunn solusi yng pling optiml n p ksus ini kit pt mnggunkn mto pohon mrntng minimum. Dlm mmngun

2 pohon mrntng minimum trsut trpt u lgoritm yng ukup trknl yitu lgoritm prim n lgoritm kruskl. P mklh ini pnulis mno mnggmrkn prningn ku lgoritm yng sm-sm mnrpkn strtgi Gry. 2. DASAR TEORI Mnurut ttn sjrh, p kir-kir thun 1736 tori gr prtm kli igunkn untuk mnngni mslh jmtn Konigsrg (pt iliht p gmr 2.1), jmtn yng mngguungkn pulu Knipho yng iklilingi olh sungi Prgl ngn rtn linny. C Siring ngn nykny pliksi yng pt ikmngkn ri tori gr mk smkin nyk jug tori yng munul yng jug rkitn ngn tori gr. Slh stuny lh konsp pohon. Konsp pohon sniri suh lm igunkn yitu p skitr thun 1857 ktik mtmtikwn sl Inggris, Arthur Cyly, mno mnghitung jumlh snyw kimi. Konsp ini mnji sngt populr n pnting st ini krn mmpu mnngni nyk pliksi prmslhn yng rhuungn ngn Tori Gr. P konsp pohon, trpt rp jnis mol rprsntsi pohon yng pt igunkn untuk pnrin sutu solusi ri suh prmslhn trkit ngn tori gr. Slh stu ntukny lh pohon mrntng tu yng lih iknl ngn Spnning Tr. Jik Spnning Tr itrpkn p prsoln yng mngnung unsur pnrin oot yng minimum mk inmkn Minimum Spnning Tr (MST). Bnyk skli rgi mslh yng pt islsikn ngn mmolkn mslh trsut k lm Gr kmuin islsikn ngn mnntukn pohon mrntng minimumny, sprti p ontoh ksus jlur krt pi. A rp lgoritm yng igunkn untuk pmngunn MST. P mklh ini hny kn igunkn lgoritm Prim n Kruskl yng mrupkn wkil lgoritm yng mnrpkn strtgi gry. A B D 2.1 Pohon (Tr) Pohon lh gr tk-rrh trhuung n tik mngnung sirkuit. Gmr 2.1. ) Jmtn Konigsrg; n ) gr yng mrprsntsikn jmtn Konigsrg Gr sniri iinisikn sgi psngn himpunn tik kosong ri simpul-simpul (vrtis tu no) n himpunn sisi (gs tu rs) yng mnghuungkn spsng simpul [Munir,2005,hlVIII-2]. Tori gr yng il iliht ri usiny pt iktkn tori tu trnyt mmiliki pliksi yng sngt sring kit tmui lm khiupn mnusi shri-hri. Slh stu yng pling sring kit tmui lh pt. Pt yng mrupkn rprsntsi visul ri tori gr pt ikmngkn mnji rp pliksi linny sprti pliksi jlur krt pi yng tlh isutkn slumny, slin itu pt jug ikmngkn mnji pt jringn komuniksi LAN, n msih nyk lgi pliksi lin yng pt ikmngkn ri rprsntsi visul gr. Gmr 2.2. Contoh Pohon Sit yng trpnting p pohon lh trhuung n tik mngnung sirkuit. Pohon inotsikn sm ngn : T = ( V,E )

3 Ktrngn : T : Tr V : Vrtis tu no tu vrtx tu simpul, V mrupkn himpunn tik kosong. V = {v1,v2,,vn} E : Egs tu Ars tu sisi yng mnghuungkn simpul E = {1,2,,n} 2.2 Pohon Mrntng (Spnning Tr) Mislkn G = ( V,E ) lh gr tk-rrh trhuung yng ukn pohon, rtiny i G trpt sirkuit. G pt iuh mnji pohon T = ( V,E ) ngn r mmutuskn sirkuit-sirkuit yng. Crny yitu ngn mmutuskn slh stu sisi p sirkuit hingg tik sirkuit p G. Jik i G tik lgi sirkuit mk pohon T ini isut ngn pohon mrntng. Disut mrntng krn smu simpul p pohon T sm ngn simpul p gr G.[1] Ktrngn : - T1 n T2 mrupkn pohon mrntng ri gr G - Pohon mrntng T1 intuk ngn r mnghpus sisi {(,),(,),(,),(,),(,)} ri gr G. - Pohon mrntng T1 intuk ngn r mnghpus sisi {(,),(,),(,),(,),(,)} ri gr G. 2.3 Pohon Mrntng Minimum (Minimum Spnning Tr) Jik G p gmr 2 mrupkn gr root, mk oot pohon mrntng T1 tu T2 iinisikn sgi jumlh oot smu sisi i T1 tu T2. Dintr pohon mrntng yng p G, yng plin pnting lh pohon mrntng ngn oot minimum. Pohon mrntng ngn oot minimum ini isut ngn pohon mrntng minimum tu Minimum Spnning Tr (MST). Contoh pliksi MST yng sring igunkn lh pmoln proyk pmngunn jln ry mnggunkn gr. MST igunkn untuk mmilih jlur ngn oot trkil yng kn mminimlkn iy pmngunn jln. Gmr 2.4. G lh Gr Broot, T1 n T2 lh Pohon Mrntng Broot ri Gr G Gmr 2.3. G lh Gr, T1 n T2 lh Pohon Mrntng ri Gr G

4 3. PEMBAHASAN 3.1 Strtgi Gry Strtgi Gry mrupkn mto yng pling populr untuk mmhkn prsoln optimsi. Algoritm gry mmntuk solusi lngkh pr lngkh yitu : - Trpt nyk pilihn yng prlu iksplorsi p stip lngkh solusi. Olh krn itu, p stip lngkh hrus iut kputusn yng trik lm mnntukn pilihn. Kputusn yng tlh imil p sutu lngkh tik pt iuh lgi p lngkh slnjutny. - Pnktn yng igunkn i lm lgoritm gry lh mmut pilihn - Yng trliht mmrikn prolhn trik, yitu ngn mmut pilihn optimum lokl (lol optimum) p stip lngkh n ihrpkn kn mnptkn solusi optimum glol (glol optimum) 3.2 Algoritm Prim Algoritm imuli ri sutu vrtks wl trtntu: is itntukn olh pmnggil tu ipilih srng olh lgoritm. Mislny vrtks wl trsut lh v. P stip itrsi trpt konisi imn himpunn vrtks V trgi u lm: W yitu himpunn vrtks yng suh ivlusi sgi no i lm pohon, srt (V-W) yitu himpunn vrtks yng lum ivlusi. Di wl lgoritm W iinisilissi risi vrtks wl v. Slnjutny, i lm itrsiny: o P stip jny ri tip vrtks lm W ngn vrtks lm (V-W) iri sisi ngn pnjng miniml. o stlh iprolh, sisi trsut itni sgi sisi yng mmntuk tr n vrtks jnt sisi trsut lm (V- W) ipinhkn k W (mnji nggot W). o Jik sisi trsut tik mk pross slsi. Strtgi gry yng igunkn lh: rsisin ngn simpul-simpul i T ttpi tik mmntuk sirkuit i T. 3.3 Algoritm Kruskl P lgoritm Kruskl, sisi-sisi gr iurut trlih hulu rsrkn ootny yng mnik (ri kil k sr). P kn wl, sisi-sisi yng suh iurut rsrkn oot trsut mmntuk sutu hutn (orst), msing-msing pohon i lm hutn trsut hny triri ri stu simpul sj. Hutn trsut inmkn hutn mrntng. Stip pohon i lm hutn isut jug komponn ri poho mrntng. Muli ri sisi ngn oot trkil hingg trsr lkukn lm itrsi: o o o jik sisi ts. mnghuungkn u vrtks lm stu sust (rrti mmntuk siklik) mk skip sisi trsut n priks sisi rikutny jik tik (rrti mmntuk siklik) mk ku sust ri vrtks-vrtks yng rsngkutn igungkn mnji stu sust yng lih sr. Itrsi kn rlngsung hingg smu sisi trpross. Strtgi gry yng igunkn lh: P stip lngkh, pilih sisi ri gr G yng mmpunyi oot minimum ttpi tik mmntuk sirkuit i T. 4. ANALISA Anlis kn ilkukn p lgoritm Prim n lgoritm Kruskl yng mmprlihtkn strtgi gry untuk itrpkn p sutu ksus gr. 4.1 Anlis Algoritm Prim Algoritm Prim mnggunkn strtgi Gry yitu p stu lngkh i hny kn mmilih stu yng trik n tik mungkin mngulng lngkh yng slumny hingg khir ri lgoritm. Strtgi Gry yng igunkn lh p stip lngkh, pilih sisi ri gr G(V,E) yng mmpunyi oot trkil n rsisin ngn simpul-simpul i T ttpi tik mmntuk sirkuit i T. P stip lngkh, pilih sisi n gr G(V,E) yng mmpunyi oot trkil n

5 Prour Prim(input G : gr, output T : pohon) { Mmntuk pohon mrntng minimum T ri gr trhuung G. Msukn : gr-root trhuung G = (V,E), imn V = n Klurn : pohon rntng minimum T = (V,E ) } Dklrsi i, p, q, u, v : intgr Algoritm Cri sisi (p,q) ri E yng root trkil T <- {(p,q)} or i 1 to n-2 o Pilih sisi (u,v) ri E yng ootny trkil nmun rsisin ngn sutu simpul i lm T T <- T U {(u,v)} nor Anlis : Lngkh prtm p Algoritm Prim lh mnri sisi p himpunn E yng mnytkn sisi-sisi p gr G ngn oot trkil kmuin imsukn p himpun T. Stlh itu kn ilkukn prulngn/itrsi snyk n-2 untuk mnri sisi ngn oot trkil p himpunn E yng rsisin ngn simpul yng tlh imsukn p T. Hsil pnrin trsut kmuin igungkn tu itmhkn p himpunn T. P lgoritm Prim its tik pngkn sr ksplisit pkh sisi yng ipilih kn mmntuk sirkuit tu tik. Krn p lgoritm Prim sisi yng imsukkn k lm T hrus rsisin ngn suh simpul i T. Algoritm Prim jug tik mmpu mnntukn sisi mn yng kn ipilih jik mmpunyi oot yng sm mk sisi yng imsukkn hrus trurut ri kil k sr. Apkh mungkin sisi yng rsisin mmntuk sirkuit? Mungkin sj. Bgimn mngthui hw sisi trsut tik mmntuk sirkuit? Mnurut pnulis, untuk mngtsi hl trsut hrus iliht pkh titik ujung ri sisi trsut suh lm T tu lum. Jik suh mk tik olh mmilih sisi trsut krn psti kn mmntuk sirkuit. Apkh hl itu kn mmut lgoritm Prim hmpir sm ngn lgoritm Kruskl? Tntu sj r. Prnny ngn lgoritm Kruskl lh sisi yng imsukkn p lgoritm Prim hrus rsisin shingg kn mminimlkn wktu sngkn p lgoritm Kruskl smu sisi olh imsukkn sl tik mmntuk sirkuit. Algoritm Prim kn sllu rhsil mnmukn pohon mrntng minimum ttpi pohon mrntng yng ihsilkn tik sllu unik, mksuny mungkin kn lih ri 1 pohon yng ihsilkn ngn oot yng sm hny ntukny sj yng r. 4.2 Komplktivits Algoritm Prim Algoritm Prim mmpunyi komplksits wktu simptotik O(n²). Artiny jik imsukkn snyk n sisi kn mmrlukn wktu n², krn stip sisi kn mngk smu sisi yng rttngg ngnny. P lngkh prtm, lgoritm kn mnri snyk n uh sisi. P lngkh k-2, lgoritm kn mngk n uh sisi untuk imil sisi yng rsisin ngn oot trkil. Dmikin pul untuk lngkh k-3 n strusny. Mk jik n uh sisi yng iri, lgoritm kn mmrlukn wktu snyk : (n-1) x n = n² n, shingg komplksits ri lgoritm lh O(n²). Simpul n oot p gr irprsntsikn k lm mtriks. Untuk mnri sutu sisi, mk lgoritm Prim kn mnri ku rh yitu ris n kolom gr G kmuin kn iliht ootny. 4.3 Anlis Algoritm Kruskl untion Kruskl (input E : himpunn_sisi) ->himpunn_sisi {mnghsilkn pohon mrntng minimum. Asumsi : sisi-sisi i lm gr suh trurut mnik rsrkn ootny, ri oot kil k oot sr} Dklrsi T : himpunn_sisi : sisi Algoritm S <- {} whil (jumlh sisi i lm S<n - 1) n (E!={}) o <- sisi yng mmpunyi oot trkil i lm E E <- E -{} i T U ukn sirkuit thn S <- S U {} ni nwhil {T(V,S) pohon mrntng} or (E = {}) rturn S

6 Anlis: Algoritm ini lih srhn jik iliht ri konspny nmun lih sulit lm implmntsiny. Iny lh mnptkn stu mi stu sisi muli ri yng root trkil untuk mmntuk tr; sutu sisi wlupun root kil tik kn imil jik mmntuk siklik ngn sisi yng suh trmsuk lm tr. Yng mnji mslh lm implmntsiny lh kprlun ny pmriksn konisi siklik trsut. Slh stu pmhnny lh ngn sustting yitu pmntukn sust-sust yng isjoint n sr rthp ilkukn pnggungn ts tip u sust yng rhuungn ngn sutu sisi ngn oot trpnk. Untuk mmriks pkh sisi mmntuk sirkuit p pohon yng tlh trntuk, kit pt mlkukn r rikut ini: 1. Simpul-simpul p pohon yng sm ilm hutn rntng iklompokkn k lm suh himpunn. Tip simpul ilm himpunn yng sm mmntuk pohon (yng mrupkn komponn pohon mrntng). 2. Bil sisi kn imsukkn k lm pohon, priks pkh simpul trltk ilm himpunn yng sm. Jik y, mk sisi trsut i tolk, ttpi jik tik, mk sisi itrim, llu intuklh himpunn yng ru. mnjlnkn oprsi O(E) p wktu O(E log V). Dngn mikin totl wktu simptotikny mnji O(E log E) = O(E log V). 5. STUDI KASUS 5.1 Stui Ksus Dngn Algoritm Prim Stui ksus ini mnggunkn gmr gr G p gmr 2.4. Llu kit kn liht, p hsil ri lgoritm Prim. Tl 1 Tl Pmntukn Pohon Mrntng Minimum ngn Algoritm Prim 4.4 Komplktivits Algoritm Kruskl Anggplh E lh jumlh sisi p gr G n V lh jumlh simpul. Algoritm kruskl mmiliki komplksits simptotik O(E log E), tu kuivln ngn O(E log V). Kuny inytkn quivln krn: - E pling nyk lh V 2 n log V 2 = 2 x logv is O(log V). - Apil kit mngikn simpul trpnil, V 2E, ji log V pt isustitusi ngn O(log E) Kit pt mnrim tsn krn : Prtm urutkn sisi rsrkn oot mnggunkn pngurutn prningn (omprison sort) ngn wktu O(E log E); hl ini mnykn lngkh mnghilngkn sisi ngn oot minimum ri S untuk ioprsikn p wktu konstn. Kmuin kit gunkn suh struktur t himpunn isjoint untuk mnjg simpul mn yng trpt p sutu komponn. Kit mmutuhkn oprsi snyk O(E), u uh oprsi pnrin, n mungkin suh pnggungn untuk stip sisi. Suh struktur t himpunn isjoint srhn sprti himpunn hutn isjoint ngn pnggungn rsrkn rngking pt

7 5.2 Stui Ksus Dngn Algoritm Kruskl Untuk mmningkn hsil pmntukn pohon mrntng minimum yng intuk ngn lgoritm kruskl n lgoritm prim mk p stui ksus ini igunkn gr yng sm ngn stui ksus slumny yitu ngn mnggunkn gr p gmr 2.4. Kit kn liht, p hsil ri lgoritm Kruskl. Tl 2 Tl Pmntukn Pohon Mrntng Minimum ngn Algoritm Kruskl Lngkh Sisi Boot Pohon Mrntng 0 1 (1,2) 10 2 (3,6) 15 minimum. Ku lgoritm trsut trmsuk lgoritm yng mnrpkn strtgi Gry krn p stip lngkh lgoritmny kn mnri solusi yng pling optiml shingg pt iktkn sllu mmnuhi lokl optiml ttpi lum tntu mnghsilkn glol optiml. Algoritm Prim psti mnghsilkn pohon mrntng minimum mskipun tik sllu unik. Sisi gr yng imsukkn untuk mnji knit sisi pohon mrntng minimum lh sisi yng rsisin ngn simpul slumny. Smntr itu lgoritm Kruskl mmngun pohon mrntng minimum ngn mngurutkn trlih hulu sisi ngn oot minimum hingg oot mksimum kmuin ilkukn pnyringn trhp sisi yng mmntuk sirkuit. 7. REFERENSI [1] Munir, Rinli Mtmtik Diskrit. Bnung. Pnrit ITB [2] Munir, Rinli Strtgi Algoritmik. Bnung. Pnrit ITB [3] wktu kss : 19 Mi [4] wktu kss : 19 Mi (4,6) 20 4 (2,6) 25 5 (1,4) 30 itolk 6 (3,5) KESIMPULAN Algoritm Prim n lgoritm Kruskl mrupkn ontoh lgoritm yng igunkn untuk mmhkn prmslhn yng rhuungn ngn gr ngn mmngun gr mnji pohon mrntng