TEORI RELATIVITAS DAN KOSMOLOGI

Transkripsi

1 TEORI RELATIVITAS DAN KOSMOLOGI Dr. Eng. Rinto Anugraha NQZ Jurusan Fisika FMIPA UGM

2 PRAKATA Bismillahirrahmanirrahim Alhamdulillah, akhirnya buku Teori Relativitas dan Kosmologi ini dapat kami selesaikan. Buku ini disusun untuk digunakan sebagai bahan perkuliahan mata kuliah Teori Relativitas di Jurusan Fisika FMIPA UGM. Isi buku ini sedapat mungkin disesuaikan dengan silabus mata kuliah yang terdapat dalam Buku Panduan FMIPA UGM. Penyajian buku ini dimulai dari Teori Relativitas Khusus, serta beberapa penerapannya, baik pada bidang Elektrodinamika, maupun dinamika partikel relativistik. Selanjutnya ditelaah Teori Relativitas Umum yang diawali dari analisis matematika tensor. Setelah merumuskan persamaan gravitasi Einstein, disajikan beberapa penerapan Teori Relativitas Umum, seperti pada lubang hitam, presesi orbit planet, pergeseran ahaya bintang, kosmologi dan lain-lain. Khusus pembahasan kosmologi disediakan dua bab, yaitu pada Bab V dan VI. Pada Bab penutup, ditelaah dinamika gerak partikel dan foton baik dalam lubang hitam maupun di jagad raya. Meski telah disiapkan ukup lama, kami menyadari bahwa buku ini masih memiliki banyak kekurangan. Diantaranya, tidak terdapat soal-soal latihan. Barangkali pula di sana sini masih terdapat salah tulis dan ketik. Karena itu kami dengan tangan terbuka sangat mengharap masukan positif dari para pembaa, dalam rangka penyempurnaan buku ini. Akhirnya kami berharap, semoga buku ini dapat bermanfaat bagi pengembangan fisika di masa depan. Yogyakarta, Mei Dr. Eng. Rinto Anugraha NQZ

3 DAFTAR ISI BAB I TEORI RELATIVITAS KHUSUS. Pendekatan Energetika dan Penjabaran Kaedah Transformasi Lorentz. Transformasi Lorentz untuk besaran ( E, p ) 9.3 Metode lain penurunan bentuk eksplisit besaran-besaran fisis relativistik 5.4 Transformasi Lorentz Vektor-4 melalui Transformasi Koordinat Kaedah Transformasi untuk Vektor 8.6 Ruang-Waktu Minkowski dan Kaedah Transformasi Lorentz 9.7 Transformasi Lorentz untuk besaran-besaran elektrodinamika 5 Soal-Soal Latihan Bab I 3 BAB II PENERAPAN TEORI RELATIVITAS KHUSUS 33. Paradoks Kembar 33. Tinjauan Gerakan Partikel relativistik yang dikenai Gaya Konstan dan Medan Gravitasi Seragam 38.. Gerakan Partikel oleh Gaya Konstan 38.. Gerakan Partikel dalam Medan Gravitasi Seragam 4.3 Efek Compton 5 Soal-Soal Latihan Bab II 58 BAB III ANALISIS TENSOR DAN TEORI RELATIVITAS UMUM 6 3. Analisis Ruang Riemann 6 3. Operasi pada Tensor Ruang Datar dan Lengkung Tensor Metrik Turunan Kovarian Tensor Riemann-Christoffel, Rii dan Einstein Persamaan Geodesik Teori Relativitas Umum Hukum Gravitasi Einstein 8 Soal-Soal Latihan Bab III 86 BAB IV PENERAPAN TEORI RELATIVITAS UMUM Penyelesaian Shwarzshild Presesi Orbit Planet 4.3 Pembelokan ahaya bintang di sekitar massa massif Gelombang gravitasi Lubang hitam Shwarzshild dan Kruskal-Szekeres 4.6 Struktur bintang 5 Soal-Soal Latihan Bab IV 9

4 BAB V KOSMOLOGI : SEJARAH JAGAD RAYA 5. Pendahuluan 5. Asas Kosmologi Geometri Bolahiper Metrik Robertson-Walker Pergeseran merah galaksi Ekspansi Jagad Raya Sejarah Suhu Jagad Raya menurut Big Bang Radiasi Kosmik Latar Belakang Gelombang Mikro 39 Soal-Soal Latihan Bab V 45 BAB VI KOSMOLOGI : DINAMIKA JAGAD RAYA Dinamika Jagad Raya Rapat Energi dan Tekanan Jagad Raya Masa Dominasi Materi Horison Partikel dan Horison Peristiwa Masa Dominasi Radiasi Data Fisis Jagad Raya Masa Depan Jagad Raya 73 Soal-Soal Latihan Bab VI 75 BAB VII DINAMIKA GERAK PARTIKEL DAN FOTON Persamaan Gravitasi Einstein Persamaan Geodesik Dinamika Gerak Partikel dalam Medan Shwarzshild Dinamika Gerak Foton dalam Bidang Datar Medan Shwarzshild Dinamika Gerak Foton seara Radial dalam Medan Shwarzshild Dinamika Gerak Partikel dan Foton dalam Jagad Raya bermetrik Robertson-Walker Solusi Persamaan Eisntein untuk Jagad Raya Dinamika Gerak Partikel dalam Jagad Raya Dinamika Gerak Foton dalam Jagad Raya Dinamika Metrik de Sitter Dinamika Gerak Foton dalam Metrik de Sitter 7. Dinamika Gerak Partikel dalam Metrik de Sitter 7.3 Metrik dan Jagad Raya de Sitter Dinamika Gerak Foton dalam Jagad Raya de Sitter 5 Soal-Soal Latihan Bab VII 7 Daftar Pustaka 3

5 Teori Relativitas Khusus BAB I TEORI RELATIVITAS KHUSUS Fisika adalah ilmu yang berupaya seara ilmiah menelaah gejala alam mulai dari skala mikro (partikel elementer) hingga skala makro (jagad raya), serta mulai dari kelajuan rendah hingga kelajuan maksimum. Teori relativitas merupakan salah satu tulang punggung fisika modern. Sumbangannya terutama dalam bentuk penataan dan pelurusan konsep konsep dasar dalam fisika, khususnya yang berkaitan dengan ruang waktu, momentum energi sebagai aspek kinematika semua gejala alam, yang selanjutnya mengangkat ahaya sebagai pembawa isyarat berkelajuan maksimum. Sumbangan teori relativitas, dalam hal ini adalah teori relativitas khusus adalah mampu menampilkan persamaan Maxwell, yang merupakan persamaan dasar dalam elektrodinamika, dalam bentuk yang kovarian. Konsekuensi teori relativitas khusus adalah kelajuan gelombang elektromagnet dalan ruang vakum sama dengan (laju ahaya di ruang hampa). Beberapa perobaan menunjukkan bahwa dalam elektromagnetik, tidak ada kerangka istimewa. Dalam kerangka inersial, kelajuan ahaya sama dengan, atau dengan kata lain, merupakan suatu besaran invarian. Selain itu sistem persamaan Maxwell berlaku dalam smua kerangka inersial, yang oleh karena itu konsep ruang waktu dan momentum energi yang mutlak harus diganti. Ada tiga asas yang melandasi teori relativitas khusus, yaitu : Asas ke nol (Asas perpadanan / korespondensi) : untuk setiap gerakan berkelajuan rendah (momentum rendah), konsep konsep dan hukum hukum relativistik yang munul harus sesuai dengan konsep konsep yang telah ada dalam teori Newton. Asas pertama : Semua hukum alam bersifat tetap bentuknya (kovarian) terhadap perpindahan peninjauan dari kerangka inersial satu menuju kerangka inersial yang lain.

6 Teori Relativitas Khusus Asas kedua : Laju maksimal yang dapat dimiliki oleh isyarat tidak bergantung (invarian) dari kerangka auan inersial yang digunakan. Nilai kelajuan maksimal ini merupakan salah satu tetapan alam yang sangat penting dalam fisika dan memegang peranan utama dalam penelusuran konsep ruang waktu serta momentum energi. Nilainya sebagaimana yang ditetapkan oleh Badan Umum Internasional mengenai Berat dan Ukuran adalah m/s. Hal ini berarti satu meter adalah jarak yang ditempuh oleh ahaya dalam ruang vakum selama selang waktu / detik. Terdapat dua pendekatan yang digunakan untuk menelusuri kaedah transformasi antara besaran besaran fisis (transformasi Lorentz) dari kerangka inersial yang satu (K) menuju kerangka inersial yang lain ( K ~ ) yang bergerak dengan keepatan konstan V terhadap K. Pendekatan pertama yang digunakan bersifat konvensional yaitu dengan memilih ruang dan waktu sebagai variabel awal yang digunakan dalam merumuskan kaedah transformasi Lorentz. Dengan pendekatan ini, kaedah transformasi untuk besaran momentum dan energi baru ditelusuri kemudian. Pendekatan kedua bersifat pendekatan energetika, yaitu dengan memilih momentum energi sebagai variabel awal, yang selanjutnya transformasi untuk besaran ruang dan waktu baru ditampilkan kemudian. Menurut Muslim (997), pendekatan ini tampil lebih ringkas dan lebih sesuai apabila diterapkan untuk proses mikroskopik pada zarah elementer, mengingat data data pada proses hamburan dan spektroskopi biasanya melibatkan besaran momentum dan energi. Berikut ini akan dijabarkan perumusan kaedah transformasi Lorentz melalui pendekatan energetika (momentum energi), mengau pada Muslim (997).. Pendekatan Energetika dan Penjabaran Kaedah Transformasi Lorentz Menurut asas korespondensi, perumusan hukum Newton kedua yang berbentuk dp F dan de F. dr dw (.) dt

7 3 Teori Relativitas Khusus dapat pula berlaku dalam energetika relativistik (untuk momentum dan energi relativistik), dengan modifikasi definisi bagi momentum p. Dalam hal ini, F adalah gaya luar yang melakukan kerja dw pada zarah dalam selang waktu dt, dengan akibat terjadinya perubahan momentum sebesar d p dan energi sebesar de sewaktu zarah tersebut melakukan pergeseran sejauh d r. Perubahan tenaga tersebut dapat dituliskan sebagai dp dr de. dr d p. v. dp. (.) dt dt Pada saat zarah dalam keadaan rehat ( v ), energi zarah bernilai E yang dinamakan dengan energi rehat. Selanjutnya jika zarah bergerak ( v ), energi zarah tersebut akan bertambah dengan energi kinetik sebesar total E yang dirumuskan sebagai E k menjadi energi E E E k. (.3) Jika zarah tersebut bergerak lurus maka v // p sehingga de v dp. (.4) Untuk foton dengan v konstan dan invarian (asas kedua teori relativitas), maka diperoleh energi foton sebesar de dp p E konstan. (.5) Mengingat tidak ada foton dengan keepatan nol, maka disimpulkan bahwa tetapan konstan tersebut sama dengan nol. Jadi diperoleh E p untuk v. (.6) Selanjutnya untuk zarah bermassa dengan v atau p atau E k sembarang, bentuk kuadrat momentum E E E yang berbentuk k p dapat diuraikan ke dalam suatu deret Taylor dalam k k Untuk zarah rehat (v ), nilai p maupun p a a E a E... (.7) E k, sehingga a. Dari sini, perilaku zarah untuk keepatan rendah diberikan oleh koefisien a. Untuk

8 4 Teori Relativitas Khusus zarah berkelajuan tinggi, E k tinggi sehingga nilai E k E, mengingat untuk daerah ini E dapat diabaikan. Dari kondisi ini diperoleh a /, sedangkan untuk a 3 dan seterusnya sama dengan nol. Adapun untuk kelajuan rendah, tentu saja a. Jadi untuk sembarang daerah kelajuan / energi kinetik, berlaku kaitan dispersi untuk zarah bebas yang berbentuk p p. p a E E / k k untuk v. (.8) Apabila ungkapan di atas diambil turunannya, serta dengan mengingat bahwa diperoleh atau yang harus de k d( E E ) de (.9) p. dp ( a Ek / ) de (.) p de. dp a E / (.) v. d p. Dari sini diperoleh kesamaan p v Pangkat dua persamaan di atas adalah ( ) a E / k k. (.) p yang harus bernilai sama dengan a Ek Ek v a 4 4 (.3) k p a E E /. (.4) k Dua persamaan terakhir di atas dapat dituliskan dengan mengumpulkan berpangkat sama sebagai E k yang v E v k a E a k 4 v. (.5) Dengan mengalikan persamaan di atas dengan ( v /, diperoleh ) a v Ek a Ek (.6) 4( v / )

9 5 Teori Relativitas Khusus yang ternyata sama dengan p. Dengan demikian Untuk kelajuan rendah, berlaku rumus Newton : dan sehingga atau av p. (.7) v / p mv (.8) v / (.9) a mv v a m. (.) Dengan mengisikan hasil ini ke dalam pers. (.7) diperoleh vektor momentum relativistik sebagai dengan p mv / v γ mv (.) γ. (.) v / Selanjutnya dengan mengisikan nilai a m ke dalam pers. (.) diperoleh γ mv v( m E / ) (.3) atau k E k m ( γ ). (.4) Mengingat energi kinetik partikel adalah energi relativistik partikel dikurangi dengan energi rehatnya, atau yang dituliskan sebagai E k E (.5) dengan E energi relativistik partikel dan E energi rehat partikel. Selanjutnya dapat dilakukan identifikasi berikut : E

10 6 Teori Relativitas Khusus dan m E γ m (.6) v / E m (.7) Untuk limit non relativistik, bentuk / γ ( v / ) ( v / ) v / (.8) sehingga tenaga kinetik nonrelativistik menjadi yang bersesuaian dengan teori Newton. Kuadrat energi relativistik partikel bernilai 4 E k m ( v / ) mv (.9) 4 ( m m v m v ) m E v / v / 4 ( v m ( v / / ) ) mv v / m 4 p (.3) sehingga Hubungan antara E p m (.3) p, v dan E dapat dituliskan dalam bentuk Ev p γ mv γm v /. (.3) 4 Dari persamaan (.3), dapat dibuat ilustrasi yang menggambarkan hubungan tersebut dalam segitiga siku-siku, seperi yang terdapat pada Gambar.. E m p Gambar. Segitiga siku-siku antara E, p dan m

11 7 Teori Relativitas Khusus Contoh soal : Tentukan keepatan sebuah partikel dalam atau laju ahaya dalam ruang hampa agar 6 a. rumus Newton p mv dapat digunakan dengan kesalahan. b. rumus E k mv dapat digunakan dengan kesalahan yang sama.. rumus p mv hanya memberikan setengah dari nilai momentum yang sebenarnya dimiliki partikel tersebut. d. rumus E k mv hanya memberikan nilai setengah dari yang sebenarnya dimiliki oleh partikel tersebut. e. Tenaga kinetik partikel sama dengan tenaga rehatnya. Jawaban : a. Jika rumus momentum / / p mv( v / ) mv( β ) seperti yang terdapat pada persamaan (.) diuraikan menggunakan deret, diperoleh 3 4 p mv( β β...). 8 Dengan demikian rumus Newton yang hanya memuat suku pertama deret di atas dapat digunakan dengan kesalahan 6, jika atau β 6 v 3 5,4 4,4 m/s. Keepatan ini ukup tinggi (lebih dari kali keepatan bunyi di udara). b. Tenaga kinetik partikel seperti dirumuskan pada persamaan (.4) adalah E k / m [( β ) ] yang jika diuraikan ke dalam deret menjadi 3 E k mv ( β...). 4

12 8 Teori Relativitas Khusus Jadi supaya rumus tenaga kinetik klasik masih dapat digunakan dengan tingkat kesalahan tersebut, maka atau 3 4 β 6 3 v,5. Nilai ini sedikit lebih keil dari nilai pada (a).. Untuk pertanyaan tersebut mv( v / mv yang berarti v 3. d. Untuk pertanyaan tersebut / ) yang berarti mv / m [( v / ) ] / β ( β ). Bentuk ini dapat dituliskan dalam bentuk ( β β )( β ) β β β sehingga 4 β ( β β ). Bentuk persamaan kuadrat dalam β di atas memiliki akar positif sehingga β ( 5 ) 8 v,79,36 m/s. e. Untuk / E k m [( ) ] m β maka

13 9 Teori Relativitas Khusus sehingga atau ( β ) / β 8 v,988 m/s.. Transformasi Lorentz untuk besaran ( E, p ) Ditinjau transformasi Lorentz antara kerangka K dan kerangka K ~ yang bergerak terhadap K dengan keepatan V, yang seara linear menghubungkan ~ perangkat besaran E, p, p, p ) dan E, ~ p, ~ p, ~ p ) serta sebagai bentuk ( x y z ( x y z pengkhususan dipilih transformasi yang hanya ditinjau ke arah salah satu sumbu koordinat saja, dalam hal ini dipilih sumbu x. Bentuk transformasi Lorentz tersebut adalah (Muslim, 985) ~ E Γ' ( E bp ); ~ p Γ( p ae); ~ p p dan ~ p p. (.33) x x x Jadi pada bentuk di atas, komponen momentum ke arah sumbu y dan z tidak mengalami perubahan, sehingga transformasi hanya melibatkan pasangan E, p ). Untuk menari parameter parameter transformasi yaitu y y z z ( x Γ,Γ', a dan b, akan ditinjau dua kasus khusus yaitu kasus partikel bermassa rehat m yang rehat masing masing di K dan K ~. Ilustrasi tentang kerangka K dan K ~ terdapat pada Gambar.. z~ z O V O ~ y ~ y x x ~ Gambar.. Kerangka K dan K ~

14 Teori Relativitas Khusus Saat partikel rehat di K ~, yang berarti ~ p ~ p ~ p (.34) x y z maka memberikan serta p p (.35) y z p x ae (.36) atau Padahal hubungan antara sehingga diperoleh kesimpulan p x ae. (.37) p, v dan E adalah Ev p (.38) v a. (.39) Mengingat partikel tersebut rehat di K ~, itu berarti partikel tersebut bergerak dengan keepatan v V V n di K. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa x Selanjutnya saat partikel rehat di K, yang berarti V a. (.4) p p p, (.4) x y z yang dari transformasi Lorentz memberikan ~ p ~ p (.43) serta y z ~ V p x ΓaE Γm ΓVm. (.44) Partikel tersebut berarti bersama sama dengan kerangka K bergerak terhadap K ~ dengan keepatan v V V n. Dengan demikian momentum partikel di K ~ bernilai x

15 Teori Relativitas Khusus sehingga diperoleh p x mv (.45) V / Γ. (.46) V / Kemudian dihitung nilai energi E ~ di K ~ menurut sehingga diperoleh ~ m E Γ' ( m ) (.47) V / Γ' V / Γ. (.48) Untuk menentukan tetapan b, ditinjau kembali partikel yang rehat di K ~, sehingga transformasi Lorentz untuk energi E ~ di K ~ menghasilkan atau yang berarti bahwa ~ E m Γ' ( Γm bγmv ) (.49) ( V / ) mv m bmv m m (.5) Γ b V. (.5) Dengan demikian transformasi Lorentz antara kerangka K dan kerangka K ~ yang bergerak dengan keepatan V ke arah sumbu x untuk perangkat besaran E, p, p, p ) dan E ~, ~ p, ~ p, ~ p ) adalah ( x y z substitusi : ( x y z ~ E Vpx E ; (.5) V / ~ p x y px VE / ; (.53) V / ~ p p ; ~ p p. (.54) y Selanjutnya dilakukan perluasan jika arah V sembarang. Dengan melakukan z z

16 Teori Relativitas Khusus p x p // ; (.55) py dan pz p ; (.56) p V px V p// V (.57) diperoleh ~ E E p V V / ; (.58) ~ p// VE / p// ; V / (.59) p ~ p (.6) Karena K bergerak terhadap K ~ dengan keepatan V, maka transformasi balik untuk bentuk di atas adalah E ~ ~ E p V V / ; (.6) ~ p// VE ~ / p// ; V / (.6) p p ~ (.63) Ditinjau sebuah partikel bermassa m yang bergerak di K dengan keepatan v dan di K ~ dengan keepatan ~ v. Kaedah transformasi untuk energi E ~ di kerangka K ~ memberikan ~ E m v' / V / (.64) Jika pada persamaan di atas diisikan v, maka v juga sama dengan. Hal ini berarti keepatan ahaya di semua kerangka auan inersial bernilai tetap (invarian) yang sama dengan. m v / mv V v yang dengan membalik pembilang dan penyebut persamaan di atas, kemudian menyederhanakannya diperoleh v / v' / V / v V. (.65) / /

17 3 Teori Relativitas Khusus atau Akibat lain dari persamaan di atas adalah dengan menuliskannya sebagai ' Γ v V / (.66) γ γ ' γ ( v V Γ / γ sehingga ) (.67) Sementara itu dari pers. (.63) untuk komponen momentum tegaklurus diperoleh ~ v v γ ' m γm (.68) yang menghasilkan kaedah keepatan tegaklurus sebagai ~ v v. (.69) Γ( v V / ) Sedangkan untuk komponen momentum yang sejajar, diperoleh ~ γ mv Γ( γmv Vγm / ) Γγm( v ) (.7) sehingga ' // // // V ~ v // v V. (.7) v V / Dengan menggunakan kaedah penjumlahan keepatan di atas, dapat diturunkan transformasi koordinat (, r ~ t ) dan ( ~ t, r ) menurut resep v d r / dt (.7) dan ~ d ~ v r / dt ~. (.73) Untuk transformasi keepatan tegaklurus, diperoleh d ~ dr ~ r. (.74) dt Γ dt ( v V / ) Dengan berlakunya simetri gerak pada panjang yang tegaklurus V, untuk vektor koordinat yang tegaklurus diperoleh dan sekaligus juga r ~ r (.75) r r d ~ d, (.76)

18 4 Teori Relativitas Khusus ~ dt dt Γ( v V / ) Γ( dt dr V / ). (.77) ~ Untuk syarat awal : t t dan r, integrasi persamaan di atas memberikan hasil transformasi waktu koordinat : ~ t ( t r V Γ / ). (.78) Sementara itu dari kaedah transformasi keepatan yang sejajar, bentuknya dapat ditulis sebagai atau d ~ r dt ~ dr// dr// Vdt (.79) Γdt ( v V / ) dt ( v V / ) ~ // ~ dr Γ( dr V ). (.8) // // dt Dengan menerapkan syarat awal ~ ~ t t dan r r maka pengintegralan persamaan di atas memberikan ~ r Γ( r V ). (.8) // // // // t Gabungan antara pers. (.75) dan (.8) menghasilkan ~ r r ( Γ )( r V) V / V ΓVt Contoh Soal :, (.8) Sebuah pesawat antariksa dilihat dari bumi sedang bergerak ke arah timur dengan keepatan,6 iˆ dan dalam waktu lima detik akan bertabrakan dengan sebuah v p komet yang sedang bergerak ke arah barat dengan keepatan v k,8 iˆ. a. Dilihat dari pesawat antariksa, berapakah keepatan komet mendekatinya? b. Menurut pilot pesawat antariksa tersebut, berapa waktu yang tersedia untuk menghindari tabrakan tersebut? Jawaban : a. Ditinjau dari pesawat antariksa yang bergerak dengan keepatan V v p terhadap bumi (kerangka K), keepatan komet mendekati pesawat tersebut dapat diari dengan perumusan

19 5 Teori Relativitas Khusus v// k V v iˆ,8,6 ' k,946 iˆ //. v// V / (,8)(,6) / Jadi keepatan komet tersebut menurut pilot pesawat adalah mendekati pesawat tersebut.,946 b. Dengan menggunakan dilatasi waktu, dapat ditentukan waktu yang tersedia bagi pilot tersebut untuk menghindari tabrakan. Karena faktor dilatasi waktu adalah / Γ (,6 ),5 maka t 5 t ' detik 4 detik. Γ,5.3 Metode lain penurunan bentuk eksplisit besaran besaran fisis relativistik Metrik ruang waktu datar empat dimensi (metrik Minkowski) yang digunakan dalam teori relativitas khusus munul dari bentuk invarian metrik ν ds η dx dx dt dx dy dz dt dr (.83) ν dengan vektor koordinat 4 kontravarian dirumuskan x ( x, x m ) ( x, x, x, x 3 ) ( t, x, y, z) ( t, r ) (.84) Pada metrik pers. (.83), komponen tensor metrik rank kovarian adalah dan η η η η (.85) 33 η ν untuk ν. (.86) Sementara itu pasangan komponen tensor metrik rank kontravarian adalah dan 33 η η η η (.87) ν η untuk ν (.88) Kaitan antara waktu pribadi τ dengan elemen garis s adalah ds dτ (.89)

20 6 Teori Relativitas Khusus sehingga pers. (.83) menjadi Cartesan dt ( dx dy dz ) d τ (.9) Diperkenalkan vektor keepatan 3 v yang memiliki komponen komponen v dx dy dz, vy, vz (.9) dt dt dt x Dengan substitusi komponen komponen keepatan 3 di atas, pers. (.9) dapat dituliskan menjadi atau [ ] ( dx / dt) ( dy / dt) ( dz / dt) dt v dτ dt (.9) dengan / dt d τ v dt, (.93) γ γ v. (.94) / Didefinisikan vektor keepatan 4 kontravarian V yang memiliki komponen V dx dx dt d γ ( t, r) γ (, v) (.95) dτ dt dτ dt sedangkan komponen vektor keepatan 4 kovarian V dapat diari dari V dengan menggunakan tensor metrik kovarian pers. (.85) (.86) : ν V η V γ (, v ν ). (.96) Sementara untuk vektor keepatan 4 kontravarian adalah dengan energi : P γm E mv mγ p (, v), γmv, P, komponen komponennya (.97) E γm (.98)

21 7 Teori Relativitas Khusus dan momentum 3 : p γmv. (.99) Hasil pers. (.98) dan (.99) berturut-turut sama dengan pers. (.6) dan (.). Sedangkan vektor momentum 4 kovarian P adalah Adapun vektor gaya 4 kontravarian F ν P P ( E /, p η ν ) (.) F memiliki komponen komponen dp dp dt de γ, f dτ dt dτ dt (.) dengan gaya 3 f didefinisikan sebagai dp f (.) dt Sementara itu vektor gaya 4 kovarian F dirumuskan sebagai ν de F ην F γ, f. (.3) dt Perkalian dalam (inner produt) antara dua vektor kovarian dan kontravarian akan menghasilkan suatu skalar, seperti misalnya v V V (, ) (, ) γ v γ v γ γ v γ (.4) dan P P ( E /, p)( E /, p) p ( E / ) Dari turunan pers. (.4) di atas diperoleh ( mv V ) F V V F m (.5) d de de γ, f γ (, v ) γ (, v ) γ, f dτ dt dt de γ f v (.6) dt sehingga diperoleh de dt f v (.7)

22 8 Teori Relativitas Khusus Dengan hasil di atas, vektor gaya 4 kontravarian dan kovarian berturut turut dapat dituliskan menjadi dan F Dari pers. (.5) berlaku kaitan γ ( f v /, f ) ( f v /, f ) (.8) F γ (.9) 4 E p m. (.) Sementara dari pers. (.7) : de v f dt v dp. (.) Bentuk di atas sama dengan pers. (.).4 Transformasi Lorentz Vektor 4 melalui Transformasi Koordinat 4 Berikut ini akan dijabarkan kaedah alih bentuk Lorentz untuk komponen vektor 4, baik dalam bentuk kovarian maupun kontravarian melalui transformasi koordinat 4 (.3 dimensi ruang dan dimensi waktu) di ruang waktu Minkowski. Mula mula diberikan aturan transformasi koordinat untuk vektor dalam ruang sembarang berdimensi N. Selanjutnya diberikan deskripsi ruang waktu Minkowski yang menjadi wahana teori relativitas khusus Einstein. Diberikan kaitan transformasi koordinat di dalam ruang waktu tersebut bagi dua kerangka inersial yang salah satunya bergerak dengan keepatan konstan V terhadap lainnya. Dengan kaitan tersebut selanjutnya melalui kaedah transformasi untuk vektor, nilai nilai komponen beberapa vektor 4 dihitung dan diperoleh relasi yang mengaitkan besaran besaran pada kedua kerangka tersebut. Vektor 4 yang dipilih di sini berkaitan berkaitan dengan masalah dalam dinamika relativistik dan elektrodinamika, seperti vektor keepatan 4, vektor momentum 4, vektor gaya 4, vektor potensial 4 dan vektor kerapatan 4..5 Kaedah Transformasi untuk Vektor Ditinjau suatu ruang berdimensi N dengan koordinat

23 9 Teori Relativitas Khusus Jika dilakukan transformasi ke koordinat N N x ( x, x,..., x ). (.) N x~ ( ~ x ~, x,..., ~ x N ) (.3) di dalam ruang tersebut, kaedah transformasi yang mengubungkan vektor ν kontravarian A dan A ~ serta antara vektor kovarian A ν dan A ~ berturut turut adalah (Lawden, 98) dengan inversi ~ A ~ x x ν A ν (.4) serta A ν ν x ~ A ~, (.5) x dengan inversi ~ A A ν x A ν ~ (.6) x ~ x. (.7) x ~ A ν Di sini telah digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein, yaitu jika terdapat indeks berulang, maka penjumlahan harus dilakukan meliputi jangkuan indeks tersebut. Apabila penjumlahan tak ingin dilakukan, maka hal tersebut harus diungkapkan seara eksplisit..6 Ruang Waktu Minkowski dan Kaedah Transformasi Lorentz Metrik ruang waktu Minkowski dengan koordinat x ( x dapat mengambil bentuk dengan, x, x, x 3 ) (t, x, y, z) ( t, r ) (.8) ν ds g dx dx dt dx dy dz dt dr ν (.9) g ν η ν η δ, η, η η ) (.) ( mn mn m m

24 Teori Relativitas Khusus Ditinjau dua kerangka inersial yakni kerangka K dengan koordinat x dan kerangka K ~ dengan koordinat x~ yang bergerak dengan keepatan konstan V terhadap kerangka K ke arah r // r.v V (.) V Kaitan Lorentz antara koordinat 4 di dalam ruang waktu Minkowski adalah (Zahara dkk, 997) dengan ~ r // (r // Γ V t) (.) r ~ r (.3) ~ t Γ( t r. V / ) (.4) Kalau komponen ruang di atas ingin digabungkan, hasilnya ~ r ~ ~ ( Γ )( r.v) Γt r // r r V V V Γ. (.5) V / yang jika diuraikan ke dalam komponen komponennya menjadi (.6) atau j i i i ( Γ ) x V j i V ni x ni V ni x ~ Γ x ni (.7) V i ~ ( ) V V i i i Γ j j ΓV x δ j x x (.8) V Sedangkan penguraian untuk komponen waktu adalah ~ Vi i t Γ( t x ) (.9) atau Vi Γ( x x ). (.3) ~ i x

25 Teori Relativitas Khusus Dari pers. (.8) dan (.3), jika dilakukan derivatif parsial koordinat K ~ terhadap K, diperoleh ~ x x i j i ( Γ ) V V j δ j (.3) V ~ x x i ΓV i i (.3) ~ x ΓVi (.33) i x x ~ x Ditinjau suatu vektor 4 kontravarian di ruang K (, ) (, S S S S m S ) dan vektor 4 kontravarian di ruang K ~ Γ. (.34) (.35) ~ ~ ~ ~ ( S, S ) ( S, S m ). (.36) ~ S Dengan menggunakan kaedah transformasi untuk komponen vektor kontravarian, diperoleh : dan ~ ~ x ν x x S n S S S ν n x ~ ~ x ~ x ΓS m m m ~ m x ν x x n S S S S ν n x ~ x ( Γ ) S V V V m S ~ x m ΓV n S n Γ S ΓV m S n δ S V ( Γ ) V m V m V (.37) n S ΓS m V (.38) yang jika dinyatakan dalam notasi vektor menjadi ~ ( Γ ) S V ΓS S S V V. (.39) V Mengingat bentuk kaedah untuk komponen vektor S yang sejajar V adalah ( S V) V / V S, (.4) // n

26 Teori Relativitas Khusus ~ S ΓS S// V // S// ( Γ ) ( S ( S / ) V) Γ. (.4) // Sementara itu kaedah untuk komponen vektor S yang tegaklurus V adalah S ~ S. (.4) sehingga Selanjutnya ditinjau vektor keepatan 4 kontravarian : V ( γ, γ v ) (.43) S γ (.44) dan S γ v. (.45) Dengan menggunakan hasil pers. (.37), untuk komponen ke nol, diperoleh v V ~ γ γ Γ γ (.46) yang memberikan hasil ~ γ γ Γ v V. (.47) Persamaan di atas menghubungkan faktor dilatasi partikel yang bergerak di kedua kerangka. Sedangkan dengan menggunakan pers. (.39) untuk komponen vektor, diperoleh ~ ~ ( Γ ) γ v V Γγ γ v γ v V V (.48) V yang jika disederhanakan menjadi ( Γ ) v V v V ΓV ~ v V v V Γ (.49) Persamaan di atas menghubungkan vektor keepatan 3 di kedua kerangka auan. Kaedah untuk v // adalah

27 3 Teori Relativitas Khusus Sedangkan untuk v adalah ~ v ~ v v V v V // // (.5) v v V Γ (.5) Berikutnya ditinjau vektor momentum 4 kontravarian yang memiliki komponen : sehingga P ( E /, p ) (.5) dan S E / (.53) S p. (.54) Kaedah transformasi Lorentz untuk energi adalah E ~ p V / Γ E / (.55) atau ~ p V E Γ E. (.56) ( ) Bentuk (.56) di atas sama dengan pers. (.58). Adapun kaedah transformasi Lorentz untuk vektor momentum 3 adalah ~ ( Γ ) p V ΓE p p V V. (.57) V Untuk komponen vektor momentum 3 sejajar dan tegaklurus, kaedahnya adalah p ( p ( E / ) V) ΓE p// ( Γ ) p// V Γ // (.58) ~ // dan p ~ p (.59) Bentuk (.58) dan (.59) di atas sama dengan bentuk pers. (.59) dan (.6). Selanjutnya ditinjau vektor gaya 4 kontravarian :

28 4 Teori Relativitas Khusus ( ) f v f /, F γ (.6) sehingga S v f γ (.6) dan f S γ. (.6) Diperoleh V v f V V f f f ) ( ~ ~ V Γ Γ γ γ γ γ (.63) yang dengan menggunakan pers. (.39), bentuk di atas dapat dituliskan menjadi Γ Γ Γ ) ( ~ V V v V v f V V f f f. (.64) Kaedah f untuk komponen sejajar dan tegaklurus berturut turut adalah Γ Γ Γ // // // // ) ( ~ V v V v f f V v V v f f f f. (.65) dan Γ ~ V v f f. (.66) Selanjutnya jika ditinjau kasus khusus dengan V v, atau partikel rehat di K ~, yang berarti bahwa : Γ V V, (.67) // // ) ( V V f f V V V f, (.68) sehingga

29 5 Teori Relativitas Khusus dan ~ f // V f // f V ~ f // (.69) f Γ f. (.7) ΓΓ Jadi untuk kerangka rehat partikel di K ~, kaedah transformasi Lorentz untuk vektor gaya 3 adalah ~ f ~ ~ f f f Γf // //. (.7).7 Transformasi Lorentz untuk besaran besaran elektrodinamika Diketahui ρ dan v berturut turut adalah rapat muatan dan keepatan aliran relatif terhadap suatu kerangka inersial K. Rapat arus j dirumuskan sebagai j ρv. (.7) Persamaan kontinuitas muatan dirumuskan sebagai ρ. j t (.73) Dalam elektrodinamika dikenal skalar potensial listrik φ dan vektor potensial listrik 3 A yang mana gabungan keduanya bersama sama membentuk suatu vektor potensial 4 A dengan komponen A (, ) ( /, A m A A φ ) (.74) Mengikuti sistem satuan SI, terdapat perumusan perumusan berikut φ t A t A. A j (.75) (.76) φ φ ρ (.77) t

30 6 Teori Relativitas Khusus Gabungan dua persamaan di atas menghasilkan A j (.78) dengan vektor kerapatan 4 j didefinisikan sebagai j ( j, j) ( ρ, j). (.79) Operator skalar 4 didefinisikan sebagai (.8) t t x y z Operator turunan koordinat 4 kovarian dan kontravarian masing-masing dirumuskan sebagai,, m x x x t (.8) ν η ν, t (.8) Bentuk syarat Lorentz pers. (.75) dapat dituliskan sebagai A (.83) sedangkan bentuk persamaan kontinuitas muatan (pers. (.73)) dapat dituliskan menjadi j (.84) atau serta Kaedah transformasi Lorentz untuk komponen vektor kerapatan 4 adalah j V ρ Γ ρ (.85) ~ j V ρ Γ ρ (.86) ~ ( Γ ) j V j j V ΓρV, (.87) V ~ j Γ j ρv, (.88) // // ( )

31 7 Teori Relativitas Khusus dan ~ j j. (.89) Sementara itu kaedah transformasi Lorentz untuk komponen vektor potensial 4 adalah atau serta dan ~ φ φ A V Γ (.9) ( A V ) ~ φ Γ φ, (.9) ~ ( Γ ) A V Γφ A A V V, (.9) V ~ A // φ Γ A// V, (.93) A ~ A. (.94) Jika kita ingin menari transformasi balik dari kerangka K ~ ke kerangka K, hal itu dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan substitusi V V. Dengan substitusi ini, diperoleh kaedah transformasi Lorentz besaran-besaran berikut ini : Vektor keepatan 3 : ~ ~ ( Γ ) v V v V ΓV v V ~ v V Γ (.95) ~ v// V v// ~ v V (.96) ~ v v ~ (.97) v V Γ

32 8 Teori Relativitas Khusus Energi : ( ) V p Γ ~ ~ E E (.98) Vektor momentum 3 : V V V p p p ~ ~ ) ( ~ E V Γ Γ (.99) Γ V p p // // ~ ~ E (.) p p ~ (.) Vektor gaya 3 : Γ Γ Γ ~ ~ ~ ~ ) ( ~ V V v V v f V V f f f (.) // // ~ ~ ~ ~ V v V v f f f (.3) Γ ~ ~ V v f f. (.4) Rapat muatan Γ ~ ~ V j ρ ρ (.5) Vektor rapat arus V V j j j ~ ) ( ~ V Γ V Γρ ~ (.6) Γ V j j ρ ~ ~ // // (.7) j j ~. (.8) Skalar potensial listrik : Γ V A ~ ~ φ φ (.9)

33 9 Teori Relativitas Khusus Vektor potensial 3 listrik : ~ ~ A V ~ ( Γ ) Γφ A A V V V (.) ~ ~ φ A Γ // A// V (.) A A ~. (.) Dari telaah di atas, tampak bahwa teori relativitas khusus berperan besar dalam menata dan meluruskan besaran-besaran fisika yang mendasar, seperti besaran panjang, waktu, keepatan, momentum, energi dan sebagainya. Selanjutnya juga telah dikaji proses penurunan kaedah transformasi Lorentz besaran-besaran di atas yang menunjukkan bahwa hukum fisika memiliki bentuk yang tetap di dalam semua kerangka auan inersial.

34 3 Teori Relativitas Khusus Soal-Soal Latihan Bab I. Sebuah pesawat bergerak ke arah timur dengan laju,8 diukur menurut menara yang diam. Pesawat tersebut melepaskan peluru dengan laju,6 terhadap pesawat. Carilah masing-masing laju dan arah gerak peluru terhadap menara jika arah peluru terhadap pesawat adalah (a) timur (b) utara () barat (d) timur laut.. Sebuah partikel bermassa m bergerak terhadap kerangka I dengan keepatan v ( / 5)(ˆ i ˆj kˆ). Jika terdapat kerangka II yang bergerak terhadap kerangka I dengan keepatan V ( / 5)(ˆ i ˆj kˆ ), arilah : (a) (b) momentum dan tenaga kinetik dan tenaga total partikel menurut kerangka I. keepatan, momentum, tenaga kinetik dan tenaga total partikel menurut kerangka II. 3. Dua buah partikel bergerak sepanjang sumbu Z kerangka K masing-masing dengan keepatan v dan v dengan v > v. Agar ditinjau dari K, kedua partikel tersebut mempunyai keepatan yang berlawanan, tunjukkan bahwa keepatan gerak kerangka K ke arah sumbu Z terhadap K besarnya adalah vv ( v )( v v v ). 4. Sebuah elektron dalam suatu akselerator tenaga tinggi bergerak dengan kelajuan,5. Carilah kerja yang harus dilakukan terhadap elektron untuk menaikkan kelajuannya menjadi (a),75

35 3 Teori Relativitas Khusus (b) (),99 Untuk kedua nilai kelajuan tersebut, tentukan faktor peningkatan tenaga kinetik maupun momentum elektron. 5. Sebuah inti radioaktif bergerak dengan keepatan v,6 iˆ terhadap kerangka K (lab), sewaktu ia memanarkan partikel beta dengan keepatan v,75 ˆ β j terhadap inti tersebut (kerangka K ). (a) Tentukan besar dan arah keepatan partikel beta menurut kerangka K. (b) Jika partikel beta tersebut tetap dipanarkan dengan kelajuan,75 di K, namun arahnya dilihat dari K sejajar dengan sumbu y, tentukan arah panaran diamati dari inti dan kelajuan partikel beta diamati di K. 6. Di kerangka K, dua partikel A dan B bergerak masing-masing dengan keepatan v A v A î dan v B v B î ( vb > va > ). Jika terdapat kerangka K ~ yang bergerak terhadap K dengan keepatan V V î (diketahui v B > V > v A > ) : (a) Tentukan keepatan A dan B menurut K ~ ~, yaitu v A dan ~ v B. (b) Jika menurut pengamat yang rehat di K ~, keepatan A dan B sama besar namun berlawanan arah, tunjukkan bahwa V ( vavb) ( va )( vb). va vb 7. Di kerangka K, sebuah partikel bergerak dengan keepatan u. Di K tersebut juga terdapat medan E dan B. Bagaimanakah ara menentukan gaya Lorentz pada partikel tersebut di kerangka K, dimana K bergerak dengan keepatan V terhadap K? Jika gaya Lorentz di K tersebut telah diperoleh, bagaimana ara menguji bahwa nilai yang diperoleh itu benar?

36 3 Teori Relativitas Khusus 8. Diketahui vektor 4 kontravarian : X γ ( Y /, Z ) dengan γ ( u / ), u vektor keepatan 3 dan laju ahaya di ruang hampa. (a) tuliskan kaedah tranformasi Lorentz untuk besaran Y dan Z. (Petunjuk : jangan lupa relasi antara γ dengan γ ) (b) Jika terdapat hubungan : Y k dan Z k u / dengan k suatu invarian Lorentz, arilah invarian Lorentz yang dapat diperoleh dari vektor 4 tersebut, serta berapakah nilainya? 9. Jelaskan bahwa gaya Lorentz yang dirasakan oleh sebuah partikel di kerangka K menjadi gaya Coulomb di kerangka diam K. Bagaimana dengan sebaliknya, gaya Coulomb di K menjadi gaya Lorentz di K?. Di kerangka K, sebuah partikel bermassa rehat m bermuatan q bergerak dengan keepatan konstan u. Di K tersebut terdapat medan listrik E dan medan imbas magnet B. Jika kerangka K bergerak terhadap kerangka K dengan keepatan konstan V : (a) Tentukan energi, energi kinetik dan momentum partikel di K maupun di K. (b) Carilah keepatan partikel, medan listrik dan medan imbas magnet di K. () Nyatakan gaya Lorentz yang bekerja pada partikel di K maupun K. (d) Tuliskan tiga invarian Lorentz yang melibatkan besaran-besaran di atas.

37 33 Penerapan Teori Relativitas Khusus BAB II PENERAPAN TEORI RELATIVITAS KHUSUS Teori Relativitas Khusus sebagai salah salah satu pilar fisika modern memiliki beberapa kegunaan dalam menelaah seara lebih kompak dan terpadu berbagai gejala alam. Berikut ini akan disajikan beberapa penerapan teori relativitas khusus pada beberapa fenomena, diantaranya adalah persoalan paradoks kembar, gerak partikel relativistik dalam medan gaya konstan dan medan gravitasi seragam, efek hamburan Compton dan sebagainya.. Paradoks Kembar (Twin Paradox) Paradoks kembar (atau paradoks jam) adalah satu persoalan yang ukup membingungkan dalam relativitas khusus. Kasus paradoks kembar dapat dinyatakan sebagai berikut : Misalkan kita punya dua orang kembar : John dan Mary. John diputuskan tetap tinggal di bumi, sementara Mary menjadi astronot yang akan mengadakan perjalan ruang angkasa menuju sebuah bintang. Mary mengendarai pesawat ruang angkasa dan terbang menuju bintang tersebut dengan keepatan V (diasumsikan agar nampak efek relativitas, nilai V dalam orde ) dan sesudah sesaat tiba di bintang, Mary kembali ke bumi dan bertemu dengan John dengan keepatan yang sama. Lihat Gambar. Bumi Bintang Gambar. Perjalanan pulang pergi bumi-bintang Teori relativitas khusus menyatakan bahwa jika Mary bergerak terhadap John, maka selang waktu dalam kerangka inersial Mary mengalami dilatasi sebesar γ yang dirumuskan / γ V. (.)

38 34 Penerapan Teori Relativitas Khusus Jadi pada akhir perjalanan Mary, dia lebih muda daripada John. Paradoks munul dari kenyataan bahwa (dengan mengabaikan selang waktu saat Mary bergerak diperepat dan diperlambat), Mary berada dalam kerangka inersial, dan selanjutnya dari prinsip relativitas, Mary dapat mengklaim bahwa Johnlah yang bergerak, bukan dia. Kalau demikian selang waktu John seharusnya yang mengalami dilatasi, bukan Mary, sehingga saat Mary kembali, ia menjumpai saudara kembarnya itu lebih muda daripadanya. Manakah yang benar? Untuk menyederhanakan kasus ini, diasumsikan perjalanan Mary terjadi saat ia lahir (yang juga berarti saat John lahir). Pada saat itu, berarti waktu lokal T dan posisi X. Selanjutnya akan dibandingkan jarak bumi bintang menurut kedua orang tersebut. Jarak antara bumi dan bintang diukur oleh pengamat yang stasioner di bumi (John) adalah adalah D J. Jarak bumi bintang yang diukur oleh Mary D /γ. (.) M D J Perumusan ini disebabkan oleh adanya kontraksi Lorentz. Indeks J dan M berturutturut menunjukkan pengukuran menurut John dan Mary. Akan diukur umur relatif John dan Mary. Caranya, pertama dengan melakukan penghitungan dalam kerangka John dan selanjutnya penghitungan dikerjakan dalam kerangka Mary. Nanti akan ditunjukkan bahwa dua penghitungan tersebut akan memperoleh hasil yang sama. Kesamaan ini menunjukkan tidak adanya perbedaan antara dua kerangka inersial yang ditinjau. Sekarang penghitungan dilakukan dalam kerangka John. Mary menempuh perjalanan total (menuju bintang dan kembali ke bumi) sejauh DJ dengan keepatan V ( V saat kembali). Perjalanan bumi bintang bolak-baik ini memakan waktu D J / V. Transformasi Lorentz untuk waktu memberikan hubungan antara waktu yang ditunjukkan oleh jam milik John ( T J ) dan waktu yang ditunjukkan oleh Mary ( T M ) sebagai T M VX J γ [ TJ ] (.3)

39 35 Penerapan Teori Relativitas Khusus dengan X J adalah jarak antara mereka. Selama perjalanan Mary menuju ke bintang, berlaku persamaan X J V T J. (.4) Substitusi persamaan di atas ke dalam pers. (.3), diperoleh T M T J γ [ TJ ( V / ) TJ ] γ [ ( V / )] TJ. (.5) γ Dalam bentuk penulisan selang waktu, TJ TM. (.6) γ Persamaan ini menunjukkan bahwa jam Mary bergerak lebih lambat daripada jam milik John dengan faktor / γ. Di sini perlu diingat bahwa γ. (.7) Dengan ara yang sama dapat ditunjukkan pula bahwa hal tersebut berlaku pula untuk perjalanan Mary pulang ke bumi. Saat kembali ke bumi dengan keepatan yang sama, jam milik Mary juga bergerak lebih lambat dari jam milik John dengan faktor yang sama : adalah sedangkan umur Mary adalah / γ. Maka selama perjalanan total, umur John A J DJ, (.8) V DJ AM V γ. (.9) Tampak bahwa umur John lebih besar daripada umur Mary, atau dengan kata lain dalam kerangka John, saat Mary kembali ke bumi, John lebih tua. Selisih umur mereka adalah A J A M D γ V Mary sebagai J. (.) Bagaimanakah penghitungan dalam kerangka Mary? Seluruh besaran yang tadinya dihitung pada kerangka John, sekarang diukur oleh Mary. Transformasi Lorentz memberikan hubungan antara waktu milik jam John dan waktu milik jam

40 36 Penerapan Teori Relativitas Khusus VX M TJ γ TM. (.) Dan dengan penurunan selanjutnya dapat ditunjukkan kaitan untuk selang waktu masing-masing jam sebagai TM TJ (.) γ yang berarti jam milik John bergerak lebih lambat daripada jam milik Mary dengan faktor /γ. Sekilas nampak adanya paradoks atau kontradiksi dengan ungkapan sebelumnya yang menyatakan bahwa jam Mary bergerak lebih lambat daripada John. Namun demikian yang sebenarnya tidak demikian, karena hal ini disebabkan relativitas khusus menyatakan bahwa kita tidak dapat menghubungkan waktu yang ditunjukkan oleh jam pada tempat yang berbeda (yang dalam hal ini umur orang kembar yang terpisah) sampai kemudian kedua orang tersebut bertemu kembali. Ketika mereka berdua bertemu kembali, baru tampaklah siapa yang lebih tua atau lebih muda dengan ara membandingkan selang waktu yang ditunjukkan oleh jam masing-masing. Menurut Mary, perjalanannya memakan waktu perjalanan, umur Mary adalah A M D M / V, sehingga selama DM. (.3) γ Perlu diingat bahwa telah diasumsikan bahwa waktu untuk memperepat dan memperlambat roket telah diabaikan. Karena jam John bergerak lebih lambat dengan faktor /γ, John berumur DM AJ. (.4) V γ Jika dilatasi waktu menjadi satu-satunya faktor dalam penghitungan, Mary dapat mengklaim bahwa dirinya berusia lebih tua dari John dengan selisih umur mereka adalah A M A J D γ V M D J (.5) γ V γ

41 37 Penerapan Teori Relativitas Khusus dan dijumpai adanya ketidakookan dengan hasil sebelumnya. Bagaimana aranya memeahkan masalah ini? Di sini terdapat faktor lain yang dapat menyelesaikan ketidakookan tersebut. Ketika Mary sampai ke bintang dan kemudian kembali, dia mengubah kerangka inersialnya. Sebelum Mary tiba di bintang, hubungan antara jam John dan jam Mary yang diukur oleh Mary adalah VDM TJ γ TM. (.6) Sesaat setelah ia meninggalkan bintang menuju bumi, relasi antara jam keduanya adalah VDM TJ γ TM. (.7) Dua persamaan terakhir di atas menunjukkan adanya kontradiksi dalam waktu / jam milik John yang diukur oleh Mary, sesaat setelah Mary berganti keadaan (dari menuju bintang menjadi meninggalkan bintang. Selisih pengukuran waktu milik John ini menurut Mary adalah VD γ M VD J. (.8) Selisih ini terjadi akibat terjadinya perubahan kerangka inersial Mary. Dengan demikian dalam kerangka Mary, selisih antara umur John dengan Mary adalah selisih umur yang telah dihitung pada pers. (.5) ditambah dengan selisih umur mereka akibat terjadinya perubahan kerangka inersial Mary. Akhirnya selisih umur Mary dengan John adalah Karena maka DJ AJ AM γ V γ γ VD J V D V V D J γ. (.9) Vγ J (.) A J DJ DJ D AM J. (.) V Vγ γ V

42 38 Penerapan Teori Relativitas Khusus Ternyata dalam kerangka Mary, selisih umur antara John dan Mary juga sama seperti yang telah dihitung pada kerangka John. Dari dua penghitungan tersebut ditunjukkan bahwa setelah kembali ke bumi, Mary yang menempuh perjalanan berusia lebih muda daripada saudara kembarnya, John.. Tinjauan Gerakan Partikel Relativistik yang dikenai Gaya Konstan dan Medan Gravitasi Seragam Salah satu latihan yang ukup mudah dalam persoalan mekanika klasik elementer adalah menyelesaikan problem gerakan sebuah partikel dalam dua dimensi yang dikenai suatu gaya konstan. Untuk gerakan nonrelativistik, gaya yang bekerja pada partikel dalam medan gravitasi seragam (uniform) bersifat konstan, dan persamaan trayektori / lintasan partikel tersebut berbentuk parabola. Dalam tinjauan teori relativitas khusus, gaya gravitasi yang berkaitan dengan medan gravitasi seragam tidaklah bersifat konstan, namun merupakan fungsi keepatan partikel yang diperoleh dengan menetapkan massa gravitasi sama dengan massa inersial. Berikut ini akan diari penyelesaian eksak untuk gerakan pada kasus tersebut dan juga gerakan dengan gaya konstan... Gerakan partikel oleh gaya konstan Pertama kali akan diari penyelesaian untuk gerakan dibawah pengaruh gaya konstan. Sebuah partikel dengan massa rehat m ditembakkan dari titik O dengan keepatan awal V pada bidang X Y yang membuat sudut θ dengan sumbu X. Sebuah gaya konstan F bekerja pada partikel dengan arah sejajar pada sumbu Y negatif. Didefinisikan Persamaan gerakan partikel tersebut adalah F g. (.) m atau d p mg dt (.3)

43 39 Penerapan Teori Relativitas Khusus dengan d dt ( m β) mg γ (.4) V β dan γ. (.5) β Dengan mengintegralkan pers. (.4) diperoleh gt βγ βγ (.6) dengan V β dan γ. (.7) β Pers. (.6) dapat dituliskan dalam komponen-komponen ke sumbu X dan Y sebagai dan dengan Dengan mengingat bahwa β x γ βγ osθ (.8) β y γ βγ sinθ σ (.9) gt σ. (.3) γ, (.3) β x β y penyelesaian untuk adalah dan β, β dan γ dapat dinyatakan sebagai fungsi σ yang nilainya x y β β β γ osθ x (.3) γ (βγ sinθ ) σ σ β γ sinθ σ y (.33) γ (βγ sinθ ) σ σ

44 4 Penerapan Teori Relativitas Khusus βγ sinθ ) γ γ ( σ σ. (.34) Dengan mengintegralkan pers. (.3) dan (.33) diperoleh dan βγ osθ γ (βγ sinθ ) σ σ σ βγ sinθ x ln (.35) g γ ( β sinθ ) ( γ γ ( βγ sinθ ) σ σ ) y. (.36) g Dalam limit nonrelativistik, β << dan σ << (.37) sehingga pers. (.35) dan (.36) tereduksi ke bentuk dan x β osθ σ v osθ t (.38) g y β sinθ σ σ v sinθ t gt. (.39) g g Juga untuk gerakan nonrelativistik berlaku korespondensi β x β osθ konstan. (.4) Untuk θ π /, pers. (.34), (.33) dan (.36) tereduksi menjadi β βγ σ σ γ γ (.4) β γ σ y (.4) γ βγ σ σ dan ( γ γ βγ σ σ ) y (.43) g yang merupakan solusi untuk gerakan relativistik satu dimensi. Posisi tinggi maksimum partikel pada sumbu y positif dengan mengisikan y m dapat diperoleh β (.44) y ke dalam pers. (.33) sehingga

45 4 Penerapan Teori Relativitas Khusus Substitusi hasil ini ke pers. (.36) dihasilkan Untuk θ π /, berarti σ β γ sinθ. (.45) ( β sin θ ) y max γ. (.46) g y max ( γ ) (.47) g yang dalam limit non relativistik akan tereduksi menjadi v ymax g. (.48) Hasil di atas sama dengan hasil tinggi maksimum partikel yang ditembakkan tegak lurus ke atas dengan keepatan awal v dalam medan gravitasi g. Sementara itu jarak maksimum pada arah x positif, dalam hal ini y sehingga dari pers. (.36) diperoleh Substitusi ke dalam pers. (.35) diperoleh Dari persamaan di atas, tampak bahwa σ β γ sinθ. (.49) βγ osθ β sinθ x max ln. (.5) g β sinθ x max merupakan fungsi β dan θ. Nilai maksimum x max untuk β tertentu dapat diari dengan menurunkan persamaan di atas ke θ kemudian hasilnya diisikan sama dengan nol. Hasilnya nilai θ max yang menyebabkan x max diberikan oleh persamaan berikut sinθ max β sinθ ln β sinθ max max β( sin θ β sin θ max max ). (.5) Ternyata nilai θ max yang menyebabkan x max masih merupakan fungsi keepatan zarah β. Limit non relativistik untuk y max dan x max adalah y max v sin θ (.5) g dan

46 4 Penerapan Teori Relativitas Khusus v sin θ xmax. (.53) g.. Gerakan Partikel dalam Medan Gravitasi Seragam Persamaan keadaan untuk keadaan ini adalah Dengan memilih d dt ( mβ) γmg maka komponen-komponen pers. (.54) adalah dan d dt γ. (.54) d dt Integrasi pers. (.56) menghasilkan Dengan mengingat bahwa diperoleh g g ˆj (.55) ( mβ ) γ (.56) ( γmβ y ) γmg x. (.57) β x γ βγ osθ. (.58) γ, (.59) β x β y dengan γ dγ γ γ α σ ln γ γ α γ γ α (.6) α γ ( β sin θ ). (.6) Kemudian dari pers. (.6) : γ β sinθ σ γ e ( β sinθ ). (.6) σ e Dari pers. (.58) :

47 43 Penerapan Teori Relativitas Khusus Akhirnya dari pers. (.59) diperoleh β osθ β x. (.63) e σ σ σ [ e ( β sinθ ) ( β sinθ )] e ( β sinθ ) e ( β sinθ ) β y. (.64) σ σ e ( β sinθ ) e ( β sinθ ) Gerakan partikel dapat ditelusuri dengan mengintegralkan pers. (.63) dan (.64) yang hasilnya adalah σ x g β osθ tan β sin θ e σ β sinθ tan β sinθ β sinθ, (.65) β sinθ dan σ σ e ( β sin ) ( sin ) θ e β θ y ln. (.66) g Seperti halnya pada telaah di atas, untuk β dan σ keil, pers. (.63) (.66) tereduksi ke bentuk limit non relativistik berikut : v x osθ (.67) v v y v sinθ gt (.68) dan x v osθ t (.69) y v sin θ t gt. (.7) Untuk θ π /, diperoleh solusi untuk persolan gerak jatuh bebas seara relativistik sebagai γ γ σ σ [ ( β ) e ( )] e (.7) β dan σ e ( β) e ( β) β y (.7) σ σ e ( β ) e ( β ) σ x (.73)

48 44 Penerapan Teori Relativitas Khusus dan σ σ e ( β ) ( ) e β y ln. (.74) g Dalam limit non relativistik, pers. (.7) dan (.74) tereduksi ke v y v gt (.75) y vt gt. (.76) Tinggi maksimum y max dapat diperoleh dengan mengisikan ke dalam pers. (.7) dan untuk σ diperoleh β (.77) y β sinθ σ ln. (.78) β sinθ Substitusi nilai ini ke pers. (.74), dihasilkan tinggi maksimum y max ln( β sin θ ) (.79) g Untuk θ π /, persamaan di atas menjadi yang dalam limit non relativistik tereduksi menjadi y max ln( γ ) (.8) g v ymax g. (.8) Jangkauan partikel maksimum pada arah sumbu x atau x max dapat diperoleh dengan mengisikan y (.8) ke dalam pers. (.66) dan untuk nilai σ yang bersangkutan diperoleh β sinθ σ ln. (.83) β sinθ Substitusi hasil ini ke pers. (.65) dihasilkan jangkauan maksimum

49 45 Penerapan Teori Relativitas Khusus β osθ β sinθ β sinθ x max tan tan (.84) g β sin θ β sinθ β sinθ Kembali di sini x max adalah fungsi β dan θ. Untuk nilai β tertentu, nilai x max dapat diperoleh sehingga untuk kondisi tersebut nilai sudut proyeksi θ max adalah solusi persamaan berikut : sinθ max tan β θ tan β sinθ sin β γ os β sinθ β sinθ θ max β sin θ max (.85) Adapun limit non relativistik untuk y max dan x max adalah dan y max v sin θ (.86) g v sin θ xmax. (.87) g Selanjutnya ditinjau gerak sebuah partikel pada dua dimensi (x, y) yang memiliki momentum awal p dalam arah sumbu x yang dikenai gaya konstan f sepanjang sumbu y. Akan diari bagaimanakah trayektori partikel tersebut seara relativistik. Dimulai dari persamaan gerak zarah dp F dt untuk mana komponen-komponen gaya F adalah dan F F x (.88) dp x (.89) dt dpy f. (.9) dt y Penyelesaian dua persamaan terakhir di atas memberikan dan p x p (.9)

50 46 Penerapan Teori Relativitas Khusus f t (.9) Kuadrat momentum dan energinya masing-masing diberikan oleh p y p x py p p f t (.93) dan 4 E p m f t p m. (.94) Untuk mengolah kedua hasil di atas lebih lanjut, hubungan antara momentum, energi dan keepatan relativistik dapat dituliskan sebagai p γ mv ( γm / ) v Ev / (.95) atau sehingga jika diambil komponen-komponennya adalah 4 v p (.96) E dan v dx p x dt f t p (.97) 4 m sehingga v dy F t y dt F t p Pada pers. (.97) dilakukan substitusi. (.98) 4 m 4 ft p m sinh u (.99) f dan Jadi t p m 4 4 ( p m )( sinh u) ( p m 4 4 ) osh u (.) p m dt osh u du. (.) f p p m p dx osh u du du (.) 4 osh u p m f f yang dengan mengintegralkan persamaan terakhir di atas diperoleh 4

51 47 Penerapan Teori Relativitas Khusus Untuk syarat batas, p x u C. f (.3) x ( t ) (.4) serta mengingat bahwa untuk t maka u sehingga diperoleh C : yang memberikan hubungan antara t dan x seara Selanjutnya dengan mengingat f u x (.5) p 4 p m f x t sinh. (.6) f p dy dx dy / dt dx / dt v v y x f p t p 4 p m f x sinh p (.7) sehingga Untuk syarat batas 4 p m f x y ( x) osh C f p. (.8) y ( x ) (.9) maka sehingga 4 p m C (.) f 4 p m f x y ( x) osh (.) f p Jadi persamaan trayektori partikel tersebut berbentuk kurva osinus hiperbolik yang melalui titik (, ). Adapun jika ingin diari kaitan y sebagai fungsi t, dapat digunakan identitas dalam trigonometri hiperbolik : osh u sinh u (.)

52 Penerapan Teori Relativitas Khusus 48 sehingga dengan menggunakan pers. (.), bentuk pers. (.) dapat ditulis menjadi ) ( 4 4 m p t f f m p t y m p t f m p f m p ( ) 4 4 m p t f m p f. (.3) Sedangkan inversi pers. (.6) adalah 4 sinh m p t f f p x (.4) Untuk kondisi tak relativistik, pada hubungan t sebagai fungsi x, nilai << p x f (.5) sehingga dengan menggunakan deret Malaurin untuk u << : ( ) u u u u u u e e u u u ) ( sinh (.6) serta mengingat m p m (.7) maka p m x p x f f m t (.8) atau t v t m p t x ) ( (.9) dengan v adalah keepatan awal partikel pada arah sumbu x. Gerak yang diberikan oleh persamaan di atas melukiskan gerak lurus beraturan (GLB) yang tak memiliki perepatan.

53 49 Penerapan Teori Relativitas Khusus Sementara itu hubungan tak relativistik antara y dan t diperoleh dengan menuliskan pers. (.3) untuk dalam bentuk 4 m p << dan 4 f t << m (.) y (t) 4 [ ] / [ ] 4 / m ( p f t ) / m m p / m f f 4 4 ( m [ ( p f t ) / m ] m [ p / m ] ) f m t at (.) dengan a adalah perepatan ke arah sumbu y yang besarnya sama dengan gaya ke arah sumbu y dibagi massa partikel. Gerak yang diberikan oleh persamaan di atas melukiskan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) dengan perepatan a searah sumbu y. Dari dua persamaan di atas, hubungan non-relativistik antara y dan x dapat dituliskan sebagai x fm a y x. (.) p v Hubungan di atas dapat pula diari dari rumus (.) yang untuk gerak nonrelativistik berlaku sehingga dengan mengingat untuk u << : f x p << (.3) e osh u u e u u u u... u... u (.4) sehingga pers. (.) menjadi m f x fm y ( x) x f p (.5) p Gerak yang diberikan pada persamaan di atas melukiskan gerak parabola.

54 5 Penerapan Teori Relativitas Khusus Berikutnya ditinjau sebuah partikel yang bergerak diperepat dari keadaan rehat dengan perepatan tetap a dalam kerangka rehatnya ke keepatan v m di K. Untuk lintasan partikel yang lurus, akan diari waktu yang diperlukan oleh partikel tersebut untuk menapai keepatan v m, baik yang diukur di kerangka K, maupun di kerangka rehat partikel tersebut K. Kaedah transformasi perepatan a ' di kerangka K dengan perepatan a di kerangka K dirumuskan sebagai (Muslim, 985) a ( Γ )( n a) n V ( a v) / a' 3 Γ ( V v / ) (.6) dengan V V n keepatan kerangka K terhadap K, v keepatan partikel di / kerangka K dan Γ ( V / ) dan Jika dipilih K K kerangka rehat partikel maka V v (.7) / Γ γ ( v / ) (.8) dan untuk gerakan zarah yang lurus maka v // n // a, sehingga a' a ( γ ) a a a 3 γ ( v v / ) ( v / ) 3 / (.9) Selain itu mengingat Jadi : dt dt' dt dt t / γ ( v / ) ( v / ) t t dt v( t) v dt dv dv v( t) v dv a. (.3) a v( t) dv 3 / ( v / ) v a v / v (.3) sehingga waktu yang diperlukan partikel untuk menapai keepatan v m di kerangka K adalah

55 5 Penerapan Teori Relativitas Khusus Sementara itu t m vm. (.3) a vm / t t t v( t) t v / dt a t t v dv v / a v( t) dv v / v / a v v ln. (.33) v Jadi waktu yang diperlukan untuk menapai keepatan partikel kerangka K adalah v m menurut t v m m ln. (.34) a vm.3 Efek Compton Dalam perobaannya pada tahun 97, Compton telah menemukan bahwa sinar X (sebagai salah satu bentuk gelombang elektromagnetik) yang dihamburkan oleh suatu bahan akan menyebabkan frekuensinya, sekaligus juga panjang gelombangnya berubah. Jika mula-mula sebuah foton awal dengan panjang gelombang λ maka foton tersebut akan dihamburkan oleh bahan yang dikenai foton tersebut dengan panjang gelombang λ dan membentuk sudut θ terhadap arah datang foton. Bagaimanakah hubungan antara tiga besaran tersebut dan juga massa elektron sebagai partikel yang menghamburkan foton tersebut? Berikut akan diturunkan perumusan efek Compton. Lihat gambar. di bawah ini. λ e θ φ λ ' e Gambar.. Hamburan Compton

56 5 Penerapan Teori Relativitas Khusus Mula-mula foton awal dengan frekuensi ν atau panjang gelombang λ. Energi dan momentum awal foton berturut-turut sama dengan hν dan hν/. Setelah dihamburkan, frekuensinya menjadi ν atau panjang gelombangnya λ. Energi dan momentum akhir foton tersebut berturut-turut adalah hν dan hν /. Adapun untuk elektron bermassa m, mula-mula dalam keadaan rehat sehingga energi dan momentum awalnya berturut-turut adalah m dan. Setelah ditumbuk foton, elektron tersebut memiliki momentum akhir p dan energi 4 p m. Pada peristiwa ini digunakan hukum kekekalan momentum yang menyatakan bahwa momentum awal sama dengan momentum akhir, jika dituliskan dalam komponen-komponennya menjadi : Komponen x : hν hν ' osθ p osφ (.35) Komponen y : hν ' sinθ p sinφ (.36) Sedangkan hukum kekekalan energi menyatakan bahwa energi awal sama dengan energi akhir, maka h ν hν ' K (.37) dengan K adalah tenaga kinetik elektron setelah ditumbuk foton. Pers. (.35) dan (.36) dapat dituliskan menjadi p osφ hν hν ' osθ (.38) dan p sinφ hν ' sinθ (.39) Dengan menguadratkan dua persamaan di atas, kemudian menjumlahkannya, diperoleh ( p) ( hν ) ( hν ') h νν ' osθ (.4) Adapun elektron yang terpental berlaku dan E m K (.4) sehingga E ( p) ( m ) (.4)

57 53 Penerapan Teori Relativitas Khusus Dari pers. (.37) : ( p ) K Km. (.43) sehingga dengan mengisikan (.44) ke (.43) diperoleh K hν hν ' (.44) ( p) ( hν ) ( hν ') h νν ' ( hν hν ') m (.45) Dengan membandingkan (.4) dan (.45) dihasilkan bentuk h νν ' osθ h νν ' ( hν hν ') m (.46) yang jika masing-masing ruas dibagi dengan pengaturan ruas, akhirnya diperoleh λ' λ h m h νν ' m yang kemudian dilakukan ( osθ ). (.47) Rumus di atas diturunkan dengan menggunakan dua asas yaitu asas kekekalan momentum dan kekekalan energi. Padahal keduanya dapat disatukan dalam vektor momentum 4. Karena itu perumusan efek Compton dapat pula diturunkan dengan menggunakan notasi kovarian vektor momentum 4. Ditinjau sebuah foton γ dengan frekuensi awal ν atau frekeuensi sudut ω. Energi foton γ tersebut adalah E h ν sedang vektor momentum 3 foton adalah p ħ k dengan k ω / adalah vektor bilangan gelombang dan ω adalah vektor frekuensi sudut. Momentum 4 kovarian foton awal tersebut adalah γ P ( E /, p ) ( hν /, ħ k). (.48) γ γ Dengan menggunakan komponen tensor metrik (,,, ) maka bentuk momentum 4 kontravarian foton awal tersebut adalah ( /, k γ P hν ħ ). (.49) Sedangkan momentum 4 kovarian dan kontravarian foton akhir γ tersebut berturut-turut adalah E /, p ) ( hν ' /, ħ k' ). (.5) γ ' ( γ ' γ ' P dan P γ ' ( hν ' /, ħk '). (.5)

58 Penerapan Teori Relativitas Khusus 54 Untuk elektron awal e yang berada dalam keadaan rehat, momentum 4 awal kovarian dan kontravarian berturut-turut adalah e P ), ( ), / ( p m E e e (.5) dan ), ( m P e. (.53) Sedangkan momentum 4 elektron akhir ' e kovarian dan kontravarian berturut-turut adalah e' P ), ( ), / ( ' ' p p p m E e e (.54) dan ), ( ' p p m P e. (.55) Hukum kekekalan momentum 4 kovarian dan kontravarian untuk peristiwa hamburan ini dapat dituliskan sebagai ' e' e P P P P γ γ (.56) dan ' e' e P P P P γ γ (.57) Dua persamaan di atas dapat ditulis menjadi ' e' e P P P P γ γ (.58) dan ' e' e P P P P γ γ (.59) Dengan mengalikan masing-masing ruas persamaan di atas dengan diperoleh ' ' ' ' ' ' ' ' e e e e e e e e P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ (.6) Mengingat ) ( ) ( ) / ( λ π λ ν γ γ ħ ħ h h P P k, (.6) e P P γ λ ν hm m h (.6)

59 55 Penerapan Teori Relativitas Khusus γ γ ' hν hν ' νν ' kk'osθ h P P ħ k k ' h ( osθ ) (π ) λλ' (.63) γ hν hm P e P m λ (.64) e e P P ( m)( m) m, (.65) maka γ ' hν ' hm P e P m (.66) λ' γ ' γ hν ' hν νν ' kk'osθ h P P ħ k k ' h ( osθ ) (π ) (.67) λλ' γ ' e P P hν ' hm m (.68) λ' γ ' γ ' h ħ (π ) P P ( hν ' / ) ( ħ k '), λ' λ' (.69) e' e' P P ( p m ) p m, (.7) hm h ( os θ ) λ λλ' hm m λ hm h ( os θ ) λ' λλ' hm λ' m atau h hm ( osθ ). (.7) λ λ' λλ' Dengan mengalikan masing-masing ruas di atas dengan perumusan efek Compton λ' λ h m λλ ' hm, diperoleh ( osθ ). (.7) Selanjutnya akan dihitung berapakah tenaga kinetik elektron yang terpental oleh tumbukan foton tersebut. Sebelum tumbukan energi foton dan elektron berturut-turut adalah h E γ (.73) λ

60 56 Penerapan Teori Relativitas Khusus dan Setelah terjadi tumbukan, energi foton adalah E γ ' E e m. (.74) h h λ' λ ( h / m)( osθ ) (.75) Menggunakan asas kekekalan energi, energi elektron setelah tumbukan adalah E e' E E E γ e γ ' h m λ h (. (.76) λ λ osθ ) Dari nilai energi tersebut, tenaga kinetik elektron yang terpental tersebut adalah energi elektron dikurangi energi rehatnya yang bernilai T e ' h λ ( λ / λ)( osθ ) λ( osθ ) h. (.77) λ λ λ ( osθ ) Hubungan antara sudut pentalan foton (θ ) dengan sudut pentalan elektron (φ ) dan panjang gelombang foton datang (λ) dapat ditelusuri dengan dengan menggunakan hukum kekekalan momentum. Untuk komponen ke arah y, h sinθ p e' sinφ. (.78) λ' Momentum elektron setelah tumbukan dirumuskan sebagai p e' E e' m 4 m h h ( os ) λ λ λ θ m 4 m h λ( osθ ) λ ( os ) λ λ θ m 4 hλ ( osθ ) m λ m λλ ( osθ ) hλ ( osθ ) λ [ λ λ ( osθ )] sehingga dengan mengisikan hasil di atas ke pers. (.78) diperoleh sinφ h sinθ ( hλ ( osθ ))( m λ λ (m λ h)( os )) θ Mengingat identitas trigonometri berikut : (.79) (.8)

61 57 Penerapan Teori Relativitas Khusus θ θ sinθ sin os dan maka akhirnya diperoleh θ osθ sin (.8) os( θ / ) sinφ. (.8) ( λ / h )( mλ λ ( h mλ)sin ( / ) ) θ

62 58 Penerapan Teori Relativitas Khusus Soal-Soal Latihan BAB II. Pada kasus paradoks kembar, John tinggal di bumi selama 3 tahun sedangkan Mary menempuh perjalanan menuju sebuah bintang yang berjarak tahun ahaya dengan keepatan,75 pulang pergi. (a) Berapakah selisih umur keduanya ketika Mary pulang ke bumi? (b) Berapakah jarak yang ditempuh menurut Mary?. Sebuah partike yang memiliki momentum awal p dalam arah sumbu Y dikenai gaya konstan F sepanjang arah sumbu X. Tentukan trayektori partikel seara relativistik. Bandingkan hasilnya dengan yang diperoleh seara klasik (mekanika Newton). 3. Sebuah partikel bermassa m bergerak sepanjang sumbu X di bawah pengaruh gaya F m a /( a x). Pada saat t, partikel tersebut rehat di titik O. Tunjukkan bahwa waktu yang diperlukan partikel ini untuk bergerak dari O ke titik x (< a) diberikan oleh x x 3a t. a 3 4. Sebuah partikel bermassa m bergerak dengan keepatan v sepanjang suatu garis lurus di bawah pengaruh gaya gesekan sebesar mv/k yang menentang gerakannya. K adalah tetapan gaya yang dimensi waktu. Tunjukkan bahwa selang waktu yang diperlukan gaya untuk mengubah kelajuan zarah dari 4/5 menjadi 3/5 adalah k [ln( 3/ ) 5 /]. 5. Sebuah partikel dengan massa m bergerak sepanjang sumbu X di bawah pengaruh gaya tarikan ke titik asal O sebesar F m x / x. Mula-mula

63 59 Penerapan Teori Relativitas Khusus partikel tersebut rehat di x x. Tunjukkan bahwa gerakan partikel berupa getaran selaras sederhana dengan periode T π x /. 6. Tunjukkan bahwa kelajuan relatif v dua benda yang masing-masing memiliki vektor keepatan v dan v terhadap kerangka K, bernilai Tunjukkan bahwa jika ( v v) ( v v) / v. ( v. v / ) v maka v juga sama dengan. 7. Tunjukkan bahwa sebuah benda yang bergerak lurus di bawah pengaruh gaya konstan dan gaya gesekan F g kv yang sebanding dengan pangkat dua keepatan, mempunyai keepatan pada saat t sebesar ( v ) exp( / ) ( ) exp( / ) ( ) v kv t m v v kv t m v t v L L L L L dengan v dan v L ( v vl ) exp( kvlt / m) ( v vl ) exp( kvlt / m) berturut-turut adalah keepatan awal dan keepatan tertinggi benda. 8. Sebuah pesawat ruang angkasa bermassa m dan motor roketnya dimatikan, melunur dengan keepatan tinggi v melintasi daerah antar bintang dan menyebabkan gesekan yang menurut pengukuran awak pesawat dengan gaya gesekan sebesar α mv. Gunakan kaitan F dx v dp serta p γmv untuk menunjukkan bahwa jarak yang ditempuh pesawat sewaktu keepatannya berubah dari v ke v adalah dengan dan γ γ x ln ln α γ γ γ γ γ / ( v / ) / ( v / ) γ. Tentukan pula nilai x jika v.

64 6 Penerapan Teori Relativitas Khusus 9. Pada hamburan Compton, tentukan hubungan antara sudut hamburan dengan panjang gelombang foton sebelum tumbukan, dimana energi foton setelah hamburan menjadi berkurang setengahnya.

65 6 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum BAB III ANALISIS TENSOR DAN TEORI RELATIVITAS UMUM Untuk setiap sistem fisis, setiap hukum yang menghubungkan besaran fisis tidak akan bergantung kepada pemilihan sistem koordinat. Hal ini berarti, persamaan gerak sistem (baik zarah maupun medan) akan memiliki bentuk yang tetap (tidak berubah) di dalam semua sistem koordinat. Persamaan yang tidak berubah bentuknya terhadap transformasi koordinat dikatakan memiliki sifat kovarian terhadap transformasi tersebut. Sifat inilah yang menyebabkan tensor banyak digunakan untuk menelaah suatu sistem fisis. Tensor adalah besaran yang merupakan perluasan dari vektor, seperti halnya vektor merupakan perluasan dari besaran skalar. Tensor memiliki komponenkomponen seperti halnya vektor. Besaran vektor sangat penting di dalam fisikan karena ia menyatakan objek dengan kaedah-kaedah yang tetap sama meskipun kerangka auan yang dipilih berubah-ubah. Perubahan kerangka auan memang menyebabkan nilai komponen tensor berubah pula, namun kaedah-kaedah yang berlaku bagi komponen tensor tetap tidak berubah. Teori Relativitas Umum adalah salah satu teori fisika modern yang ukup besar peranannya dalam menerangkan struktur ruang-waktu dan jagad raya. Teori ini adalah teori yang indah, memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam yang ukup menarik, namun memiliki persyaratan matematik berupa analisis tensor. Karena itulah dalam hand out ini akan disajikan analisis tensor sebagai jembatan untuk memahami teori relativitas umum. 3. Analisis Ruang Riemann Pada pasal ini akan diuraikan landasan formalisme matematik hukum gravitasi Einstein. Dimulai dari penjelasan tentang skalar, vektor, dan tensor, dilanjutkan dengan analisis ruang Riemann, hingga pada penurunan rumus-rumus tensor.

66 6 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum 3.. Skalar, Vektor dan Tensor Ditinjau sebuah ruang berdimensi N dengan sistem koordinat N K ( x, x,..., x ) (3.) Sistem koordinat dalam ruang tersebut dapat ditransformasi menjadi N K ( x, x,..., x ) (3.) Akan ditinjau tiga perangkat besaran yang memiliki sifat tertentu pada perubahan sistem koordinat tersebut, yaitu skalar, vektor dan tensor. Misalkan ada sebuah perangkat besaran fisis yang memiliki nilai V di K dan nilai V di K. Jika V V (3.3) yaitu V bersifat invarian, maka besaran tersebut dinamakan skalar. Contoh besaran skalar adalah laju ahaya di ruang-waktu datar vakum dan muatan listrik. Misalkan terdapat seperangkat N besaran A (,,, N ) yang nilainya ditentukan oleh N bilangan. Di K, besaran tersebut memiliki komponen sedangkan di K dinyatakan sebagai Jika terdapat hubungan N ( A, A,..., A ) (3.4) N ( A, A,..., A ). (3.5) A ν N ν N x A x ν x A (3.6) N maka perangkat A ( A, A,..., A ) adalah vektor kontravarian di K. Lambang menyatakan / x. Analog dengan di atas, jika di K perangkat A memiliki komponen sedangkan di K komponennya berbentuk ( N A, A,..., A ), (3.7) serta berlaku hubungan ( N A, A,..., A ) (3.8)

67 63 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum N x Aν A ν x A (3.9) N ν x maka A disebut komponen kovarian di K. Lambang menyatakan / x. Dari pengertian di atas, vektor adalah besaran yang lambang komponennya memiliki satu indeks. Jika indeksnya terletak di atas (bawah) dinamakan vektor kontravarian (kovarian). Tensor merupakan perluasan vektor. Indeks tensor lebih besar dari satu. Banyaknya indeks disebut rank r dengan jumlah komponen r N. Tensor ν B, C αβγ berturut-turut dinamkana tensor rank kontravarian dan tensor rank 3 kovarian. Karena jumlah rank tensor lebih dari satu maka dimungkinkan terdapat indeks yang terletak di atas dan di bawah. Tensor seperti ini dinamakan tensor ampuran (mixed tensor) Sebagai ontoh D αβ dinamakan tensor rank 3 ampuran. Selain itu dapat pula dikatakan bahwa vektor dan skalar tak lain merupakan tensor rank dan rank. Persamaan transformasi untuk tensor kontravarian serupa dengan bentuk produk (3.) yaitu B ν N x α β α, β x x Pers. (3.), (3.) dan (3.) dapat dikembangkan untuk tensor dengan peringkat yang lebih tinggi. Selanjutnya untuk mempersingkat penulisan akan digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein meliputi indeks berulang yang menyatakan bahwa jika di x ν B αβ. (3.) Demikian pula kaedah transformasi persamaan tensor kontravarian mengikuti produk pers. (3.) yaitu B N α β x x ν B ν αβ α, β x x Sedangkan untuk tensor ampuran berlaku kaedah ν B N x x β α ν α, β x x B α β. (3.). (3.)

68 64 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum dalam sebuah bentuk terdapat sepasang indeks yang sama dengan salah satu terletak di atas dan yang lainnya di bawah, maka penjumlahan harus dilakukan terhadap bentuk tersebut meliputi jangkauan indeks berulang tersebut. Jadi dari pers. (3.) sampai dengan (3.), tanda Σ tidak perlu dituliskan. Namun jika bentuk yang memuat indeks berulang tersebut tidak ingin dijumlahkan, hal tersebut harus ditegaskan seara eksplisit. 3. Operasi pada Tensor Operasi yang berlaku pada tensor adalah :. Kombinasi linear Berlaku jika tensor-tensor tersebut memiliki jenis yang sama seperti αβ αβ αβ aa bb C. (3.3) Adapun bentuk αβ ν α aa bb tidak didefinisikan.. Perkalian luar Terhadap dua tensor atau lebih yang memiliki indeks yang berbeda, dapat dilakukan perkalian luar seperti β α ν β αν A B C. (3.4) 3. Kontraksi Proses menyamakan sepasang atau lebih pasangan indeks kovarian dan kontravarian, seperti β αν kontraksi ( α, β ) β βν C C C ν (3.5) disebut kontraksi meliputi indeks ( α, β ). Proses kontraksi menurunkan rank tensor sebanyak. 4. Perkalian dalam Proses ini dilakukan terhadap tensor sehingga faktor-faktornya memiliki sepasang indeks sekutu atau lebih seperti 5. Hukum pembagian β α α γ β γ A B C. (3.6)

69 65 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Ditinjau kasus berikut. Misalkan C A B merupakan suatu skalar untuk sembarang vektor kontravarian A, maka B pasti merupakan suatu vektor kovarian. Sebaliknya jika C merupakan suatu skalar untuk sembarang vektor kovarian B maka dapat diperluas untuk tensor. A pasti merupakan suatu vektor kontravarian. Hal ini 3.3 Ruang Datar dan Lengkung Ditinjau dua buah titik yang berdekatan dalam ruang tiga dimensi yang dinyatakan dengan koordinat Cartesan. Kedua titik itu masing-masing A (x, y, z) dan B (x dx, y dy, z dz). Kuadrat jarak antara keduanya adalah ds dx dy dz. (3.7) Jika dilakukan perpindahan ke koordinat silinder melalui transformasi x ρ osφ, y ρ sinφ, z z (3.8) maka jaraknya menjadi ds dρ ρ dφ dz. (3.9) Melalui transformasi inversi ρ y x y, φ artan, z z x (3.) pers. (3.9) dapat diubah kembali menjadi pers. (3.7). Ruang tiga dimensi dimana bentuk ds dapat dikembalikan ke bentuk dx dy dz dinamakan ruang datar atau ruang Eulid. Jika tidak dapat diari suatu sistem koordinat ( x, y, z) yang memenuhi pers. (3.7) maka ruang tersebut dinamakan ruang lengkung atau ruang Riemann. Bentuk ds untuk ruang datar satu dan dua dimensi berturut-turut adalah dx dan dx dy. Contoh ruang datar untuk dimensi tersebut masing-masing adalah garis lurus dan bidang datar. Sedangkan ontoh ruang lengkung dua dimensi adalah permukaan bola, ellipsoida, paraboloida, permukaan sadel kuda dan lain-lain.

70 66 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Contoh ruang datar empat dimensi (3 dimensi ruang berkoordinat x, y, z dan satu dimensi waktu berkoordinat t) dengan invarian kuadrat elemen garis adalah ruang-waktu Minkowski yang memiliki bentuk ds adalah ds dt dx dy dz. (3.) Adapun ontoh ruang waktu lengkung empat dimensi adalah apa yang dinamakan dengan ruang bermetrik Shwarzshild untuk mana kuadrat elemen garisnya berbentuk ds rs rs dt dr r ( dθ sin θ dφ ). (3.) r r Beberapa konsekuensi kelengkungan ruang yang membedakan antara ruang Riemann (ruang lengkung) dengan ruang Eulid (ruang datar) adalah. Jumlah sudut dalam segitiga dengan sisi-sisi segitiga merupakan penghubung terpendek antara titik sudutnya tidak sama dengan 8.. Perbandingan antara keliling dengan diameter lingkaran π. 3. Garis penghubung terpendek antara dua titik tidak berbentuk garis lurus melainkan garis lengkung. 4. Dua garis yang sejajar lokal dapat berpotongan. 5. Penggambaran ruang lengkung di dalam ruang datar memerlukan satu dimensi tambahan. Karena itu jika ingin digambar, misalnya permukaan bola (3. dimensi), diperlukan ruang datar 3 dimensi. Ilustrasi antara ruang datar dan ruang lengkung dua dimensi terdapat pada Gambar 3.. Gambar 3. Ruang datar (kiri) dan ruang lengkung dua dimensi (kanan)

71 67 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum 3.4 Tensor Metrik Ditinjau dua buah titik x dan x dx di dalam ruang sembarang berdimensi N. Kuadrat jarak antara kedua titik tersebut dinyatakan oleh ds g ν ν dx dx (3.3) dengan, ν,,, N dan g det g ν g g N g g N NN (3.4) ds disebut kuadrat elemen jarak dan g ν adalah tensor metrik kovarian. Hubungan antara tensor metrik kerangka K adalah g αβ dalam kerangka K dan g ν dalam Pers. (3.3) dapat diubah bentuknya menjadi Dengan mengambil maka g αβ ν x x g α β ν (3.5) x x ν ( g g ) ( g g ) dx ds ) (3.6) ν ν ν ν dx ν ν gν dx dx sehingga g ν efektif merupakan suatu tensor simetri. ( g ) (3.7) Jika x x (t) dengan t adalah suatu parameter maka ds sehingga jarak antara kedua titik adalah s t t g ν g ν (3.8) ν dx dx gν dt (3.9) dt dt / ν dx dx gν dt. (3.3) dt dt

72 68 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Perkalian dalam antara tensor metrik kontravarian ν g dan tensor metrik kovarian g ν menghasilkan α a, α ν g g ν δ ν (3.3), α ν α dengan δ ν adalah delta Kroneker. Jadi untuk mendapatkan tensor metrik metrik kontravarian ν g dapat digunakan rumus dengan ν kofaktor gν g (3.3) g ν kofaktor gν ( ) minor gν. (3.33) Kaitan antara melalui persamaan dan A dengan A ν di suatu kerangka K tertentu dihubungkan ν A g A (3.34) ν ν ν A g A. (3.35) Perumusan di atas dapat diperluas untuk tensor, seperti jika akan ditentukan suatu besaran skalar B dari tensor kontravarian rank ν B maka berlaku persamaan B g ν ν B (3.36) 3.5 Turunan Kovarian Ditinjau persamaan transformasi untuk vektor berikut Dengan menurunkan A terhadap A lambang Christoffel sebagai berikut : x ν A. (3.37) ν x α x, diperoleh ν A ( x ) A ( x )( A ) (3.38) α ν α yang bukan merupakan tensor. Karena itu perlu diari ara untuk membentuk tensor dengan menggunakan turunan parsial tersebut. Untuk itu didefinisikan ν α ν

73 69 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum. Lambang Christoffel jenis pertama yang dinyatakan sebagai ( g g ) [ ν, β ] g. (3.39) νβ. Lambang Christoffel jenis kedua yang dinyatakan oleh persamaan α α αβ Γ ν g [ ν, β ]. (3.4) ν Kedua lambang Christoffel tersebut bukan merupakan tensor. Kedua lambang Christoffel tersebut digunakan untuk mendefinisikan ν β β ν turunan kovarian. Turunan kovarian suatu vektor kontravarian sebagai A didefinisikan α ν ν A Γαν A Sedangkan turunan kovarian vektor kovarian A adalah A; (3.4) A α ν ν A Γν Aα ; (3.4) Dapat ditunjukkan bahwa ν ; A dan A ν merupakan tensor. Generalisasi proses ; penurunan kovarian pers. (3.4) dan (3.4) untuk tensor dengan rank yang lebih tinggi adalah sebagai berikut.. Tensor kontravarian rank n... n... n α... n n... n ν ν A Γνα A Γνα A A (3.43) ;.... Tensor kovarian rank n α α... ; ν ν A... Γ ν A α Γ ν A n n n n... n A. (3.44) 3. Tensor ampuran rank m kontravarian dan rank n kovarian... m... m β... m m... m β ν ν... ν ; ν ν Aν ν... ν Γβα Aν ν... ν... Γβα Aν ν... ν A n n n β... m β... m Γν α Aβν... ν... Γ A n ν nα ν ν... ν n β (3.45) n α α 3.6 Tensor Riemann-Christoffel, Rii dan Einstein Dari pers. (3.44) A η ν ν A Γν Aη ; (3.46) dan dengan menurunkan kovarian sekali lagi diperoleh

74 7 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum A β β ( A ; ν ) Γα Aβ ; ν Γαν β ; να α A ; Jika pers. (3.46) disubstitusikan ke (3.47) dihasilkan A (3.47) η β η β η ( A Γ A ) Γ ( A Γ A ) Γ ( A Γ ) να α ν ν η α ν β βν η αν β β Aη ; (3.48) Dengan menukar indeks dan α diperoleh A η β η β η ( A Γ A ) Γ ( A Γ A ) Γ ( A Γ ) αν ν α ν η ν α β βα η να β β Aη ; (3.49) Jika pers. (3.49) dikurangi pers. (3.48) akan dihasilkan A η η η β η β ( αγν ν Γα ΓβαΓν Γβν Γα ) η αν A ; να A ; (3.5) Karena A adalah tensor kovarian rank 3 dan A η adalah tensor rank ; αν A ; να sembarang kovarian maka ungkapan yang terdapat dalam kurung pada persamaan di atas haruslah merupakan suatu tensor ampuran rank kontravarian dan rank 3 kovarian. Hal ini dapat dibuktikan melalui hukum pembagian. Dengan demikian pers. (3.5) dapat dituliskan menjadi dengan A R αν A η (3.5) ; αν A ; να η R αν adala tensor Riemann-Christoffel yang dirumuskan sebagai η R αν η αγν η ν Γα η η βα β ν η βν β α Γ Γ Γ Γ (3.5) Pada ruang Eulid selalu dapat dipilih suatu sistem koordinat dengan ν η ν sehingga semua nilai lambang Christoffel lenyap. Nilai lenyap. Jadi nilai tensor Riemann-Christoffel lenyap di ruang datar. Tensor kelengkungan tensor metrik η R αν juga R βαν dapat ditentukan dengan perkalian dalam antara g βη dengan tensor Riemann-Cristoffel R βαν gβη η αν η R αν menurut persamaan R. (3.53) Kontraksi η αν R teradap indeks ( η, ν ) menghasilkan tensor Rii R α η αν ν αν R R R α ν αγν ν ν Γα ν βα β ν ν βν β α Γ Γ Γ Γ (3.54) Skalar kelengkungan R diperoleh melalui perkalian dalam antara α g dengan R α yang dituliskan sebagai

75 7 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum sebagai R g α R α (3.55) Tensor Einstein yang digunakan dalam teori relativitas umum didefinisikan G ν ν ν R g R (3.56) Jika tetapan kosmologi Λ diikutsertakan, persamaan tensor Einstein menjadi G ν Rν gν R Λg ν (3.57) 3.7 Persamaan Geodesik Ditinjau dalam ruang dua titik antara kedua titik tersebut adalah x dan x dx. Menurut pers. (3.3), jarak s t ν dx dx gν dt F dt (3.58) dt dt t / t t dipenuhi jika Syarat stasioner bagi jarak kedua titik itu agar s bernilai ekstrem akan t δ s δ F dt. (3.59) dengan δ s adalah variasi dari s. Bentuk (3.59) merupakan integral aksi fungsi Lagrange Lagrange berikut t F dan persamaan lintasan t. Dengan menggunakan persamaan Euler- maka d dt F F xɺ x (3.6) d dt F F F xɺ F x d F F F df (3.6) F dt xɺ x F xɺ dt Di sini t dapat diambil sama dengan jarak s sepanjang kurva lintasan. Untuk kasus ini karena s parameter sembarang maka df ds dx dx dx, xɺ, F gν (3.6) ds ds ds ν

76 7 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum sehingga diperoleh dan Pers. (3.6) menjadi d ds F x ɺ F x ν d x gν ds F xɺ F x ν g ν xɺ g x (3.63) α β gαβ xɺ xɺ. (3.64) x ν η η dx ds ν dx ds g x αβ α dx ds β dx ds (3.65) Dengan menggunakan lambang Christoffel jenis pertama serta mengalikannya dengan η g, persamaan di atas pada akirnya dapat dituliskan menjadi d ds x η Γ η αβ α dx ds β dx ds. (3.66) Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan geodesik. Persamaan ini digunakan untuk menelaah gerakan jatuh bebas partikel dalam ruang bermetrik tertentu. Lintasan partikel dalam ruang lengkung dari titik A ke B diilustrasikan pada Gambar 3.. Gambar 3. Lintasan lengkung dalam ruang lengkung 3.8 Teori Relativitas Umum Sebelum teori Relativitas Umum (TRU) diperkenalkan oleh Einstein pada tahun 95, orang mengenal sedikitnya tiga hukum gerak yaitu mekanika Newton, relativitas khusus dan gravitasi newton. Mekanika Newton sangat berhasil di dalam menerangkan sifat gerak benda berkelajuan rendah. Namun mekanikan ini gagal untuk benda yang kelanjuannya mendekati laju ahaya. Di samping itu,

77 73 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum transformasi Galilei gagal apabila diterapkan pada hukum-hukum seperti persamaan Maxwell yang sifatnya menjadi tidak kovarian di dalam kerangka inersial. Kekurangan ini ditutupi oleh Einstein dengan mengemukakan Teori Relativitas Khusus (TRK). Teori ini dibangun di atas dua asas, yaitu :. Semua hukum fisika memiliki bentuk yang tetap (kovarian) di dalam sebarang kerangka inersial.. Kelajuan ahaya di dalam ruang hampa bernilai tetap (invarian) dan tidak bergantung pada gerak sumber maupun pengamat. Asas kedua di atas merupakan tulang punggung TRK Einstein. Tanpa adanya pernyataan kedua tersebut, tidak ada TRK Einstein, yang ada hanyalah teori relativitas klasik (Newton-Galilei). Teori Relativitas Khusus Einstein berhasil menerangkan fenomena benda saat melaju mendekati laju ahaya. Di samping itu TRK berhasil merumuskan kekovarianan persamaan Maxwell di sebarang kerangka inersial dengan menggunakan transformasi Lorentz sebagai pengganti transformasi Galilei. Teori ini juga lebih lengkap daripada mekanika Newton, karena untuk gerak dengan kelajuan rendah, mekanika relativistik tereduksi menjadi mekanika Newton. Salah satu implikasi teori ini adalah ungkapan tidak ada benda atau sinyal yang dapat bergerak lebih epat daripada ahaya. Hukum yang ketiga adalah gravitasi Newton. Hukum ini berlaku pada medan gravitasi lemah. Besarnya gaya gravitasi antara dua benda masing-masing bermassa m dan m yang dipisah oleh jarak sejauh r adalah 3 F ( Gm m )( r / ) (3.67) r dengan G adalah tetapan gravitasi universal. Tanda minus pada persamaan di atas menunjukkan bahwa gaya gravitasi bersifat tarik-menarik. Hukum gravitasi Newton berhasil menerangkan fenomena gerak bendabenda langit yang dipengaruhi oleh interaksi gravitasi antar benda-benda tersebut dengan ketelitian tinggi. Namun sayangnya, hukum ini tidak konsisten dengan TRK. Jika sebuah benda digerakkan maka gaya gravitasi benda tersebut terhadap benda lain akan berubah dalam sekejap, atau terjadi aksi spontan. Dengan kata

78 74 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum lain, efek gravitasi haruslah merambat dengan kelajuan takhingga, sesuatu yang bertentangan dengan TRK. Einstein berkali-kali menoba merumuskan teori gravitasi yang konsisten / kompatibel dengan Teori Relativitas Khusus. Upayanya di tahun 95 menghasilkan Teori Relativitas Umum (TRU). Ia mengemukakan saran yang ukup revolusioner bahwa gravitasi bukanlah seperti gaya-gaya yang lain, namun gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi di dalam ruang-waktu tersebut. Teori Relativitas Umum ini dibangun di atas dua asas, yaitu pertama, asas kesetaraan (priniple of equivalene) dan kedua, kovariansi umum (general ovariane) (Krane, 99 ; Weinberg, 97). Untuk menjelaskan asas kesetaraan ini perlu diberikan penggambaran sebagai berikut (Krane, 99). Misalnya seorang astronot berada di dalam roket yang masih berada pada landasannya di permukaan bumi. Sebuah benda yang dilepaskan teramati jatuh ke bawah dengan perepatan g 9,8 m/s (Gambar 3.3a). Kemudian diandaikan roket tersebut berada di ruang angkasa dengan medan gravitasi amat keil sehingga dapat diabaikan. Mesin pelunur kemudian dinyalakan sehingga memberikan perepatan yang dikendalikan tepat sebesar g 9,8 m/s. Sekali lagi benda tersebut dilepaskan. Maka benda tersebut akan melunur ke bawah dengan perepatan a 9,8 m/s (Gambar 3.3b). Kedua perobaan yang bersifat angan-angan tersebut memberikan hasil sama. Einstein menggunakan hasil perobaan angan-angan itu untuk mengemukakan asas kesetaraan yang berbunyi, Tidak ada perobaan yang dapat dilakukan dalam daerah keil (lokal) yang dapat membedakan medan gravitasi dengan sistem diperepat yang setara. Pernyataan daerah keil ini perlu disebutkan karena alasan berikut. Seandainya kita melepaskan dua benda yang terpisah sejauh jarak keil r, maka di dekat permukaan bumi setiap benda bergerak sepanjang lintasan jari-jari menuju pusat bumi sehingga kedua benda tersebut makin lama makin dekat. Namun jika lebar roket ukup keil, perbedaannya tidak akan teramati. Hal ini persis seperti perobaan di dalam roket yang melunur di ruang angkasa yang dilepaskan dengan perepatan tertentu (Krane, 99).

79 75 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Gambar 3.3. (a) Roket berada di permukaan bumi dengan perepatan gravitasi 9,8 m/s (b) Roket bergerak diperepat ke atas sebesar 9,9 m/s di ruang angkasa dengan medan gravitasi yang dapat diabaikan Salah satu implikasi asas kesetaraan adalah kesamaan massa inersia dan massa gravitasi (Wospakrik, 987). Sifat ini memungkinkan kita untuk menghilangkan efek gravitasi yang munul dengan menggunakan kerangka auan diperepat yang sesuai. Sebenarnya hal ini sebagai konsekuensi dari medan gravitasi yaitu semua benda yang berada di dalamnya akan merasakan perepatan yang sama serta tidak bergantung dari ukuran maupun massanya. Misalnya sebuah benda yang bermassa m jatuh di dalam medan gravitasi dengan perepatan gravitasi sebesar g. Dengan memilih koordinat (y, t), menurut mekanika Newton, persamaan gerak benda tersebut adalah Melalui persamaan transformasi : m d y I dt m G g. (3.68) pada koordinat ( y ', t' ) maka pers. (3.68) menjadi y' y gt dan t ' t (3.69)

80 76 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Karena massa inersial d y' mi mi g m dt' m I sama dengan massa gravitasi G g m G maka (3.7) d y' m (3.7) dt' Dengan demikian kita dapat memilih kerangka auan inersial ( y ', t' ) untuk menghilangkan efek gravitasi pada kerangka (y, t). Atau dengan kata lain, kerangka (y, t) adalah kerangka diperepat dengan perepatan sebesar g terhadap kerangka inersial ( y ', t' ) pada daerah tanpa medan gravitasi. Contoh penerapan persamaan di atas adalah bahwa sebuah sistem pengamatan jatuh bebas dalam medan gravitasi bumi seperti misalnya sebuah elevator yang kabel gantungnya putus adalah kerangka inersial lokal. Seorang pengamat dalam elevator tersebut dapat melepaskan sebuah benda dari keadaan rehat (dalam kerangka pengamat) dan akan mendapati bahwa benda tersebut tetap rehat. Kesimpulannya adalah hukum gerak pada kerangka inersial dalam daerah tanpa medan gravitasi sama dengan hukum gerak pada kerangka jatuh bebas di dalam medan gravitasi. Sebenarnya medan gravitasi nyata tidaklah sepenuhnya sama dengan medan gravitasi yang setara dengan kerangka diperepat. Pada tempat yang jauh dari sumber, medan gravitasi nyata selalu lenyap, sementara medan gravitasi yang setara dengan suatu kerangka diperepat selalu memiliki nilai tertentu. Sebaliknya medan gravitasi yang setara dengan kerangka diperepat akan segera lenyap begitu perepatan kerangka dilenyapkan. Sedangkan medan gravitasi nyata tidak dapat dihilangkan oleh pemilihan kerangka auan manapun. Berkait dengan elevator yang jatuh bebas tersebut sebenarnya terdaat takhingga banyakbya kerangka auan inersial. Kemudian kita dapat menggunakan transformasi Lorentz untuk mengaitkan kerangka-kerangka inersial tersebut. Dengan kata lain, hukum alam yang berlaku pada kerangka inersial menurut asas kovariansi TRK, harus pula berlaku pada kerangka tak-inersial (seperti kerangka jatuh bebas dalam medan gravitasi). Inilah yang dimaksud dengan asas kovariansi umum yang berbunyi, Hukum alam harus memiliki bentuk yang tetap terhadap sebarang pemilihan transformasi koordinat.

81 77 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Implikasi penerapan asas ini akan menuntun kita kepada beberapa ramalan yang mengbah ara pandang kita tentang ruang-waktu (Krane, 99). Andaikata seberkas ahaya ditembakkan menembus roket dari sebuah sumber yang rehat dalam ruang dengan medan gravitasi yang dapat diabaikan (Gambar 3.4a). Jika roket dalam keadaan rehat terhadap sumber, lintasan berkas ahaya dalam roket menurut pengamat di dalam roket akan berbentuk garis lurus. Kemudian roket tersebut bergerak dengan laju tetap terhadap sumber dengan arah tegak lurus pada arah rambat ahaya (Gambar 3.4b). Pengamat di dalam roket tersebut akan melihat lintasan ahaya di dalam roket berupa garis lurus miring yang membentuk sudut v/ (v << ) terhadap arah horisontal. Jika roket tersebut mengalami perepatan, maka v akan selalu berubah sehingga v/ juga selalu berubah (Gambar 3.4). Pengamat dalam roket tersebut akan melihat berkas ahaya melintasi suatu lintasan lengkung. Jika asas kesetaraan benar, perilaku berkas ahaya dalam roket yang diperepat haruslah sama seperti dalam medan gravitasi. Berarti, berkas ahaya harus pula menempuh lintasan lengkung dalam medan gravitasi. Gambar 3.4 (a) Roket dalam keadaan rehat terhadap sumber ahaya (b) Roket bergerak dengan laju v konstan () Roket bergerak diperepat dengan perepatan a konstan Berkas ahaya memiliki tempat khusus dalam pemahaman kita tentang ruang-waktu karena ahaya harus melintasi lintasan terpendek dan selangsung mungkin antara dua titik dalam ruang. Jika tidak demikian, ada kemungkinan

82 78 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum terdapat benda lain yang menempuh kedua titik tadi dalam selang waktu yang lebih singkat, yang dengan demikian lebih epat dari ahaya, dan hal ini bertentangan dengan relativitas khusus. Jika berkas ahaya menempuh lintasan lengkung sebagai lintasan terpendek antara dua titik dalam ruang, maka ruang itu tentulah lengkung, serta penyebab kelengkungannya adalah medan gravitasi. Karena medan gravitasi ditimbulkan oleh materi, diperoleh kesimpulan bahwa kelengkungan ruang-waktu terjadi karena adanya penyebaran materi di dalam ruang-waktu tersebut. Jika materi tersebut dilenyapkan, ruang-waktu menjadi datar. Lintasan terpendek yang menghubungkan dua buah titik dalam geometri lengkung disebut geodesik. Dalam ruang datar, lintasan geodesiknya adalh garis lurus, sedangkan pada permukaan bola, lintasannya berupa busur lingkaran besar. Penegertian tersebut akan lebih mudah dipahami dengan ontoh berikut. Sebuah batu di atas bumi akan jatuh karena adanya tarikan gravitasi. Menurut Newton, batu tersebut akan bergerak menuju pusat bumi. Tetapi, apakah benda tersebut mengetahui letak pusat bumi? Ini merupakan masalah mendasar dari gerakan benda oleh pengaruh gravitasi. Apa yang diterangkan menurut teori Newton bersifat spekulatif, batu tersebut dianggap mengetahui kemana arah yang hendak dituju. Sementara menurut Einstein, batu tersebut sama sekali tidak mengetahui dimana pusat bumi, namun ia hanya mengikuti garis kelengkungan setempat dari ruang-waktu. Garis itu ada dimana-mana seperti halnya garis gaya medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan listrik (Krane, 99). Dengan konsep yang baru, teori relativitas umum benar-benar memberikan pandangan yang baru sama sekali mengenai ruang waktu. Konsep bahwa ruangwaktu dapat melengkung jika di dalamnya terdapat materi massif memberikan beberapa implikasi baru. Diantaranya, jika ahaya bintang melewati sebuah benda langit massif seperti matahari, maka ramalan teori relativitas umum adalah ahaya bintang tersebut akan dibelokkan di sekitar matahari tersebut. Membeloknya ahaya bintang tersebut bukan disebabkan oleh tertariknya ahaya bintang karena pengaruh gaya gravitasi bumi, melainkan ruang-waktu di sekitar matahari tersebut

83 79 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum melengkung. Jika bukan konsep teori relativitas umum yang digunakan, tetapi konsep teori relativitas khusus dan gravitasi Newton, yang dalam hal ini ahaya bintang dianggap memiliki massa yang sebanding dengan energinya, memang penghitungan menunjukkan adanya pembelokan, namun sayangnya nilai ramalannya hanya setengah dari ramalan teori relativitas umum. Pengamatan astronomi menunjukkan bahwa ternyata ramalan teori relativitas umumlah yang lebih sesuai. Ramalan teori relativitas umum yang lain, bahwa orbit planet mengelilingi matahari mengalami presesi. Lagi-lagi ramalan tersebut dibuktikan oleh pengamatan. Selain itu teori relativitas umum juga menyajikan gagasan adanya gelombang gravitasi (gravitational waves) yang munul akibat terjadinya pergerakan materi massif di dalam ruang-waktu. Cukup banyak orang yang menoba mengamati adanya gelombang gravitasi di jagad raya ini. Salah satu implikasi yang ukup spektakuler adalah munulnya gagasan lubang hitam (blak hole) yang dibatasi oleh event horizon dimana segala peristiwa yang terjadi di dalam event horizon tidak dapat diamati dari luar. Lubang hitam adalah sebuah konsep matematik yang munul dari solusi persamaan gravitasi Einstein dengan memiliki sifat-sifat fisis tertentu. Karena itulah orang berupaya untuk menari, adakah lubang hitam di jagad raya ini. Perkembangan lebih lanjut mengenai telaah lubang hitam diantaranya adalah kajian tentang lubang putih (white hole). White hole adalah solusi lain dari persamaan gravitasi Einstein, dimana sifat-sifatnya berlawanan dengan sifat-sifat lubang hitam. Kalau pada lubang hitam, mater-materi di sekitarnya akan ditarik masuk ke dalam, maka pada konsep lubang putih, materi-materi akan dilontarkan keluar. Orang kemudian meniptakan gagasan bahwa lubang hitam dan lubang putih disatukan melalui suatu kerongkongan (throat). Materi yang diserap oleh lubang hitam akan dikeluarkan melalui lubang putih. Gabungan lubang hitam dengan lubang putih tersebut dikenal dengan nama lubang ulat (worm hole). Implikasi selanjutnya menghasilkan gagasan tentang time mahine dan time travel yang dilakukan dengan wahana lubang ulat.

84 8 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Implikasi teori relativitas umum yang lain adalah mengenai jagad raya. Solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek jagad raya memberikan hasil-hasil yang sama sekali tak terduga dari pandangan orang sebelumnya. Diantaranya ternyata jagad raya bersifat dinamik, ia mengalami pengembangan (dan mungkin saja mengalami pengerutan). Jika jagad raya mengalami pengembangan / ekspansi, tentunya pada masa lalu ia berukuran lebih keil dari sebelumnya. Jikaterus ditarik ke belakang, ada saat dimana jagad raya berukuran sangat keil, bersuhu amat tinggi dengan rapat energi amat tinggi. Analisis ini jika digabungkan dengan faktafakta dalam fisika partikel tentulah amat menantang. Menarik untuk dikaji, bagaimana jagad raya pada masa lalu sebagai media untuk melakukan peniptaan dan pemusnahan partikel yang biasanya dikaji dalam fisika partikel. Hal menarik lain adalah bagaimana masa depan jagad raya di masa depan. 3.9 Hukum Gravitasi Einstein Sebuah kenyataan yang menolok : hukum Gravitasi Newton memiliki bentuk yang mirip dengan hukum Coulomb dalam listrik. Dalam hukum Coulomb, terdapat persamaan potensial listrik φ 4πkρ ( r ) (3.7) dengan φ adalah skalar potensial listrik, k adalah tetapan dan ρ (r ) adalah rapat muatan sumber. Analog dengan persamaan di atas, persamaan potensial medan gravitasi Newton berbentuk φ 4πGρ ( r ) (3.73) dengan G adalah tetapan gravitasi universal dan ρ (r ) adalah rapat massa sumber medan gravitasi. Kedua persamaan di atas termasuk jenis persamaan Poisson. Dengan digunakannya geometri Riemman, pers. (3.73) harus diubah dan diperluas. Potensial gravitasi diperluas menjadi kelengkungan ruang-waktu yang tertuang dalam tensor Einstein, yaitu G ν ν ν R g R. (3.74) Jika tetapan kosmologi Λ ingin diikutsertakan, persamaan tensor Einstein menjadi G ν Rν gν R Λgν. (3.75)

85 8 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Adapun rapat massa yang menimbulkan potensial medan gravitasi diperluas menjadi tensor energi momentum T ν dengan rapat massa energi termasuk salah satu komponen di dalamnya. Melihat bentuk pers. (3.73) yang menyatakan bahwa potensial medan gravitasi sebanding dengan rapat massa sumber medan, maka dapat dilakukan perluasan bahwa kelengkungan ruang waktu sebanding pula dengan tensor energi momentum yang dirumuskan sebagai R ν gν R κtν. (3.76) Persamaan di atas menampilkan hukum gravitasi Einstein dengan κ berupa suatu tetapan positif yang ada hubungannya dengan G. Dua bentuk variasi persamaan tersebut adalah dan ν R R ν ν ν δ R κt (3.77) ν ν g R κt. (3.78) Seara berturut-turut, kedua persamaan terakhir di atas disajikan dalam bentuk persamaan tensor ampuran dan kontravarian. Jika dilakukan kontraksi terhadap pers. (3.77), diperoleh sehingga hukum gravitasi Einstein dapat dibawa ke bentuk R κt (3.79) Rν κ ( gν T Tν ). (3.8) Jika tetapan kosmologi diikutsertakan, bentuk persamaan gravitasi Einstein yang termodifikasi adalah R ν gν R Λgν κtν. (3.8) Salah satu keunggulan teori relativitas umum adalah teori yang kovarian ini akan tereduksi menjadi hukum gravitasi Newton pada medan gravitasi lemah. Sifat ini dikenal sebagai asas korespondensi. Dalam ruang-waktu yang berisi medan gravitasi, geometri yang digunakan adalah geometri Riemann, sedangkan dalam ruang-waktu tanpa medan gravitasi, geometri yang digunakan adalah geometri

86 8 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Eulid. Pada ruang Eulid, metrik ruang-waktu diberikan oleh metrik Minkowski yang dirumuskan sebagai ν ds η dx dx dt dx dy dz. (3.8) ν Karena itu dalam medan gravitasi lemah, metrik ruang-waktu yang digunakan tidak berbeda jauh dari metrik di atas. Tensor metrik g ν dalam medan gravitasi lemah dapat didekati dengan bentuk ν ην hν g (3.83) dengan η ν adalah tensor metrik Minkowski dan h ν keil ( << ). Ditinjau sebuah partikel yang bergerak dalam medan gravitasi lemah, dengan tensor metrik diberikan oleh persamaan di atas. Partikel tersebut dalam ruangwaktu menempuh lintasan yang dinamakan sebagai lintasan geodesik. Persamaan geodesik lintasan tersebut dirumuskan sebagai Melalui kaitan persamaan di atas menjadi d ds x Γ αβ α dx ds β dx ds. (3.84) ds dτ (3.85) d x dτ Γ αβ Dengan mengisikan α β diperoleh α β dx dx dτ dτ (3.86) d x dτ Γ dt dτ. (3.87) Karena medan tersebut bersifat stasioner, seluruh turunan g ν terhadap lenyap, sehingga ν g h ν Γ. (3.88) Dengan demikian persamaan (3.87) di atas dapat dipeahkan menjadi dua persamaan berikut : d x dt h (3.89) dτ dτ

87 83 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum dan Pers. (3.9) menyatakan bahwa d t. (3.9) dτ dt / dτ bernilai konstan. Dengan membagi kedua ruas pers. (3.89) dengan ( dt / dτ ), diperoleh perepatan gerak benda d x h dt. (3.9) Di sisi lain, jika φ adalah potensial gravitasi Newton pada jarak r dari titik massa M yang besarnya maka perepatan benda itu sama dengan diperoleh hasil GM φ (3.9) r φ. Dihubungkan dengan pers. (3.9), h φ tetapan. (3.93) Pada tempat yang jauh dari sumber medan gravitasi, sistem koordinatnya menjadi sistem koordinat Minkowski, sehingga h lenyap. Demikian pula dengan φ sebagaimana pers. (3.9) sehingga tetapan di atas bernilai nol. Akhirnya diperoleh g ( ) (3.94) φ sedangkan pasangan kontravariannya adalah g ( φ ). (3.95) Selanjutnya hukum gravitasi Einstein akan direduksi ke hukum gravitasi Newton pada kasus normal dimana intensitas medan gravitasi bernilai lemah dan distribusi materi bersifat statik. Pereduksian ini akan menghasilkan hubungan antara κ (gravitasi Einstein) dan G (gravitasi Newton). Ditinjau bentuk tensor Riemann-Christoffel dalam medan lemah. Tensor metrik diberikan oleh pers. (3.83). Nilai lambang Christoffel jenis kedua adalah Γ α ν αβ g β gνβ g ν αβ hβ hνβ h g ν ν β x x x η. (3.96) ν β x x x

88 84 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Jika nilai perkalian h ν diabaikan, nilai tensor Rii untuk bernilai R ν ν Γ ν ν Γ x h x h x νβ h β νβ ν η ν β νβ ν η x νβ ( h h h h ) η νβ ν β β ν ν β h x hβ β β h x. (3.97) Jika distribusi materi bersifat statis maka h ν bukan fungsi t atau sehingga pers. (3.97) menjadi h ν (3.98) R dengan 33 ( η η 3 3 ) νβ η h ν β η h h (3.99). (3.) x y z Dengan menggunakan pers. (3.73) dan (3.93), pers. (3.99) menjadi R φ 4πGρ. (3.) Tensor energi-momentum fluida sempurna dirumuskan sebagai T ν ν ( ρ p) V Vν g p (3.) Karena distribusi materi bersifat statik (dapat dianggap sebagai kumpulan debu / dust ) materi tersebut tidak memiliki tekanan internal p sehingga pers. (3.) tereduksi ke bentuk Selain itu vektor keepatan 4 adalah T. (3.3) ν ρv Vν V (, ) (3.4) sehingga seluruh komponen T ν lenyap keuali T ρ. Skalar T dapat dihitung dengan perkalian dalam antara tensor metrik kontravarian dengan tensor energimomentum kovarian untuk dust sebagai ν ρ T g Tν g T. (3.5) φ

89 85 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Dengan menggunakan pers. (3.8), nilai R adalah ρ ( g T ) κ. ( φ ). R κ T ρ κρ (3.6) φ Dihubungkan dengan pers. (3.), akhirnya diperoleh sehingga persamaan gravitasi Einstein (3.76) menjadi κ 8πG (3.7) R 8 (3.8) ν gν R πgt ν Adapun persamaan gravitasi Einstein dengan hadirnya tetapan kosmologi dirumuskan sebagai R 8. (3.9) ν gν R gν Λ πgt ν

90 86 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Soal-Soal Latihan BAB III. Uraikan perbandingan antara Teori Relativitas Khusus dan Umum Einstein.. Dalam kerangka K berdimensi dua dengan koordinat x x sebuah tensor αβ T memiliki komponen T T dan T T. Jika pada kerangka K ~ yang berkoordinat tensor tersebut adalah (a) (b) () ~ x ~ x x y dan x ~ y x y ν T ~ maka Tuliskan kaedah transformasi antara Carilah seluruh nilai komponen Jika metrik di K adalah ~, ν T ~. αβ T dan ν T ~. dan x y, ds dx dy, tuliskan tensor metrik di K, kemudian arilah seluruh komponen T αβ. (d) arilah metrik dan tensor metrik di K ~, tuliskan kaedah transformasi antara T αβ dengan T ~ ν, serta tentukan seluruh komponen T ~ ν. 3. Metrik permukaan bola dua dimensi berjari-jari dengan koordinat x ( θ, φ) dirumuskan sebagai ds dθ sin dφ. Tunjukkan bahwa R R. Gunakan persamaan geodesik untuk menentukan lintasan terpendek antara titik ( θ, φ) dan ( θ, φ ). 4. Metrik ruang-waktu dalam suatu daerah ruang kosong tertentu diberikan oleh

91 87 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum ds α β e ( dx dy dz ) e dt dengan α, β adalah hanya fungsi z. Tunjukkan bahwa persamaan gravitasi Einstein memberikan α '' α' α' β ', 4α '' β '' β ' α ' β ', β '' β ' α' β '. Tanda menunjukkan turunan ke z. Tunjukkan bahwa dan dengan A, B dan k tetapan. α e A k 4 ( z) e β B( k z) 5. Tunjukkan bahwa persamaan Einstein dapat dituliskan dalam bentuk ν ν ( ν ν R Λg κ Tg T ). 6. Di dalam suatu bola airan homogen bergravitasi statik, rapat massa pribadi adalah ρ (tetapan) dan tekanan p. Komponen tensor energi momentum lenyap keuali untuk 3 3, T T T p T 4 4 ρ. Diasumsikan bahwa metrik medan gravitasi di dalam bola tersebut diberikan oleh persamaan ds a dr r ( dθ sin θ dφ ) b dt dengan a expα dan b exp β. Tunjukkan bahwa solusi persamaan Einstein memberikan d dr [ r( exp( ))] r, α κ ρ

92 88 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum dβ expα κrp expα, dr r d β dβ dα dβ dα κ ( p ρ) expα. dr dr dr dr r dr Asumsikan α untuk r dan p untuk r a (permukaan bola), kemudian tunjukkan bahwa dengan dan exp( α ) q r q κ ρ / 3 qr qa p ρ. 3 qa qr 7. Sebuah atom yang stasioner pada suatu jarak koordinat Shwarzshild r dari pusat ), memanarkan ahaya berfrekuensi ν yang diamati oleh seorang pengamat stasioner pada koordinat R (> r) dari pusat O. Tunjukkan bahwa frekuensi yang diamati adalah ν δν dengan δν /ν m r R sampai dengan orde pertama dalam m. 8. Diketahui A ij adalah suatu tensor kovarian. Jika B ij juga suatu tensor kovarian. B ij A ji, tunjukkan bahwa 9. Di kerangka K dengan koordinat x ( s, t) dengan komponen A dan A. terdapat suatu vektor A

93 89 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Terdapat kerangka K dengan koordinat x ' ( u, v) antara koordinat-koordinat tersebut adalah u s t dan v s t. dimana hubungan Jika di K terdapat vektor A ', arilah komponen vektor tersebut.. Jika A i adalah sebuah vektor kovarian, tunjukkan bahwa B ij i j A / x A / x j i tertansformasi seperti sebuah tensor kovarian.. Dengan mendiferensialkan persamaan ij g g jk δ i k terhadap i x, tunjukkan bahwa berlaku hubungan g x im serta tunjukkan pula berlakunya g x im l l g ij g mk g m g j l ij mj g x jk l, i. j l. Jika θ dan φ adalah sudut azimut dan sudut polar pada permukaan lingkaran dengan jari-jari, diperoleh metrik ds dθ sin θ dφ untuk permukaan tersebut. Tunjukkan bahwa lambang Christoffel yang tak lenyap adalah dan θ sinθ osθ φ φ φ φ otθ. θ φ φ θ

94 9 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum Tunjukkan bahwa komponen tensor Rii diberikan oleh R θφ R φθ, R θθ, R φφ sin θ. Tunjukkan pula bahwa skalar kelengkungan diberikan oleh R. 3. ( x, y) adalah koordinat Kartesan dan ( r, θ ) adalah koordinat polar pada sebuah bidang Eulidean. A ij adalah sebuah medan tensor simetrik yang didefinisikan di dalam bidang tersebut melalui komponen-komponennya yaitu A A, A A x / y y x. xx yy xy yx / Tunjukkan bahwa komponen kutub kontravarian dari medan tensor tersebut dinyatakan dalam variabel r dan θ adalah rr rθ θ r A, A A ( ot θ ) / r, θθ A / r. 4. x, y, z adalah koordinat Kartesan datar dalam ruang tiga dimensi. Persamaan parametrik untuk parabolida hiperbolik diberikan dalam bentuk x u v, y u v, z uv. Sebuah medan tensor kovarian pada permukaan parabolida hiperbolik tersebut memiliki komponen A uu u, Auv Avu uv, A vv v. Tunjukkan bahwa komponen kontravarian medan tensor tersebut bernilai seperempat dari komponen kovarian masing-masing. 5. x, y adalah koordinat Kartesan datar pada bidang Eulidean. u, v adalah koordinat kurvilinear yang didefinisikan oleh x a osh u os v, y a sinh u sin v. Sebuah vektor kovarian memiliki komponen A x, A y pada titik ( x, y) dan komponen kurvilinear A x A u, A v. Tunjukkan bahwa ( Au sinh u os v Av osh u sin v). a(osh u os v)

95 9 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum 6. x, y adalah koordinat Kartesan datar pada bidang Eulidean. Koordinat kuvilinear u, v didefinisikan melalui persamaan transformasi u ( x ) y, v xy. Tunjukkan bahwa metrik dalam kerangka uv adalah ds du dv. u v Sebuah vektor kovarian memiliki komponen Kartesan ( A x, Ay ) dan komponen kurvilinear ( A u, Av ). Tunjukkan bahwa A serta arilah perumusan untuk xax yay u x y A v. 7. Pada permukaan bola beruji satu dengan θ dan φ adalah koordinat azimut dan kutub, tunjukkan bahwa geodesik permukaan bola memiliki bentuk dengan tanθ tanα sin( φ β ) α, β adalah tetapan sembarang. 8. Diberikan ruang-waktu yang memiliki metrik ds dx dy θ e dz φ e dt dengan θ, φ adalah fungsi z saja. Tunjukkan bahwa tensor Riemann- Christoffel lenyap, jika dan hanya jika d φ dφ dθ dφ. dz dz dz dz Jika φ θ, tunjukkan bahwa ruang waktu tersebut bersifat datar jika dengan a dan b tetapan. φ ln( a ) bz,

96 Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum 9 9. Jika ruang waktu memiliki metrik ) ( dt e d e r dz dr e ds ρ ρ λ φ dengan ρ λ, adalah fungsi r dan z saja, tunjukkan bahwa persamaan medan gravitasi Einstein dalam ruang kosong ij R mempersyaratkan bahwa λ dan ρ memenuhi persamaan z r r r r ρ ρ ρ λ, z r r z z ρ ρ ρ λ, r r z r ρ ρ ρ, z r z r z r ρ ρ ρ ρ λ λ.. Suatu ruang dua dimensi memiliki metrik ) ( ) ( dx g dx g ds dengan g dan g merupakan fungsi x dan x. Carilah nilai,,, R R R R. Jika g ij Rij R, tunjukkan bahwa R ij Rg ij.

97 93 Penerapan Teori Relativitas Umum BAB IV PENERAPAN TEORI RELATIVITAS UMUM Telah diturunkan persamaan gravitasi Einstein dengan pengabaian tetapan kosmologi yang dirumuskan sebagai 4 ν g ν R (8πG / T ν R ) (4.) Selanjutnya persamaan tersebut akan diterapkan untuk menelaah beberapa gejala alam. Pertama kali akan diturunkan solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek statik bermassa M yang diletakkan pada pusat koordinat dengan pemilihan koordinat empat dimensi berupa 3 dimensi koordinat ruang polar ( r, θ, φ) dan satu dimensi koordinat waktu (t). yang nantinya dikenal solusi Shwarzshild. 4. Penyelesaian Shwarzshild Berikut ini akan diturunkan metrik yang mendeskripsikan medan gravitasi isotropik statik. Agar lebih mudah diperoleh, metrik ruang waktu 4 dimensi (3 dimensi ruang dan dimensi waktu) akan dirumuskan dalam wakilan koordinat bola. Dalam koordinat bola, 3 koordinatnya adalah 3 x m ( x, x, x ) ( r, θ, φ). (4.) Metrik ruang waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh ds dt dr r ( dθ sin θ dφ ). (4.3) Mengikuti penulisan Weinberg (97), nilai sementara diisikan sama dengan sehingga metrik di atas menjadi ds dt dr r ( dθ sin θ dφ ) (4.4) Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini untuk komponen g rr hanya merupakan fungsi radial r. Bentuk metriknya menjadi g tt dan ds B( r) dt A( r) dr r ( dθ sin θ dφ ) (4.5)

98 94 Penerapan Teori Relativitas Umum dimana metrik di atas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan gravitasi dilenyapkan. Dari metrik di atas, komponen tensor metrik kovarian yang tak lenyap adalah g tt rr θθ φφ B( r), g A( r), g r, g r sin θ (4.6) dengan fungsi A (r) dan B (r) ingin diari untuk dapat menyelesaikan persamaan medan gravitasi. Mengingat g ν bersifat diagonal, komponen tensor metrik kontravarian bernilai g tt rr θθ φφ, g, g, g. (4.7) B( r) A( r) r r sin θ Selanjutnya determinan matriks yang menyajikan komponen tensor metrik adalah g yang bernilai sehingga elemen volume invarian adalah g A( r) B( r) r 4 sin θ (4.8) dv g dr dθ dφ A( r) B( r) r sinθ dr dθ dφ. (4.9) Hubungan affine (affine onnetion) atau lambang Christoffel dapat dihitung dengan menggunakan formula Γ λ ν λρ g ρ gνρ g ν g. (4.) ν ρ x x x Dengan rumus di atas dan metrik yang diberikan oleh pers. (4.6) dan (4.7), komponen-komponen lambang Christoffel yang tak lenyap bernilai Γ r da( r) rr, A( r) dr (4.) r r Γ θθ, (4.) A(r) r r sin θ Γ φφ, (4.3) A( r) r db( r) Γ tt, (4.4) A( r) dr θ θ φ φ Γr θ Γθ r Γφ r Γrφ, (4.5) r

99 95 Penerapan Teori Relativitas Umum θ φφ Γ sinθ osθ, (4.6) φ φ φθ θφ Γ Γ otθ, (4.7) dan t t db( r) Γ tr Γrt. (4.8) B( r) dr Lebih lanjut, dibutuhkan besaran tensor Rii yang dirumuskan sebagai λ λ Γλ Γκ η λ η η κ Γ κ λ λγκη Γκ Γλη R. (4.9) x x Dari lambang-lambang Christoffel di atas, komponen-komponen tensor Rii diberikan sebagai R rr B' '( r) B' ( r) A' ( r) B' ( r) A' ( r), (4.) B( r) 4 B( r) A( r) B( r) r A( r) r A' ( r) B' ( r) R θθ, (4.) A( r) A( r) B( r) A( r) R R sin θ, (4.) φφ θθ dan R tt B' '( r) B' ( r) A' ( r) B' ( r) B' ( r), (4.3) A( r) 4 A( r) A( r) B( r) r A( r) R ν untuk ν. (4.4) Pada persamaan persamaan di atas, tanda aksen berarti turunan / derivatif ke r. Dari hasil di atas, komponen R rθ, R, R, R dan R lenyap, serta rφ tθ tφ θφ R R sin θ yang menunjukkan konsekuensi dari invariansi terhadap φφ θθ transformasi rotasi pada metrik tersebut. Sementara itu R rt lenyap akibat konsekuensi adanya invariansi bentuk metrik ketika dilakukan transformasi pembalikan waktu t t. Selanjutnya persamaan medan gravitasi Einstein akan diterapkan untuk metrik isotropik statik tersebut. Persamaan medan gravitasi Einstein untuk ruang kosong tersebut berbentuk

100 96 Penerapan Teori Relativitas Umum Dari pers. (4.) dan (4.3), hubungan antara Rrr A Rtt B R ν. (4.5) R rr dan R tt dapat ditulis menjadi A' B'. (4.6) ra A B Dengan menerapkan pers. (4.5), persamaan di atas menjadi atau A ' B' (4.7) A B A ( r) B( r) konstan. (4.8) Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk r, bentuk metrik isotropik statik tersebut harus kembali ke bentuk metrik Minkowski dalam koordinat bola, yang berarti lim A ( r) lim B( r). r r (4.9) Dengan syarat batas ini hubungan antara A (r) dan B (r) dapat dituliskan seara lebih eksplisit dalam bentuk A ( r). (4.3) B( r) Adapun komponen tensor Rii yang lain pada pers. (4.) (4.) dapat dituliskan menjadi R θθ B' ( r) r B( r) (4.3) dan R B' ' B' Rθθ ' rr B rb (4.3) rb yang dengan mengingat bahwa R maka θθ d rb ' B ( rb). (4.33) dr Solusi persamaan diferensial di atas adalah rb ( r) r tetapan. (4.34) Untuk menentukan nilai tetapan integrasi di atas, kita ingat bahwa untuk jarak yang ukup jauh dari pusat massa M yang terletak di pusat koordinat O,

101 97 Penerapan Teori Relativitas Umum komponen g tt B harus bernilai mendekati ( U ) dengan U adalah potensial Newtonian benda bermassa M pada jarak r yang bernilai U GM / r. Jadi nilai tetapan integrasi di atas adalah GM, sehingga dan GM B( r) (4.35) r GM A ( r). (4.36) r Akhirnya bentuk metrik isotropik statik untuk ruang waktu 4 dimensi berkoordinat bola adalah GM GM ds dt dr r ( dθ sin θ dφ ). (4.37) r r Bentuk metrik ini pertama kali diturunkan oleh K. Shwarzshild pada tahun 96. Karena itu, metrik ini sering disebut metrik Shwarzshild. Bentuk metrik tersebut masih mengisikan nilai. Apabila nilai diisikan, bentuk metrik Shwarzshild menjadi Bentuk GM GM ds dt dr r ( dθ sin θ dφ ). (4.38) r r GM / sering disingkat menjadi m (bersatuan panjang), sehingga metrik di atas menjadi m m ds dt dr r ( dθ sin θ dφ ) r r (4.39) Metrik Shwarzshild ini bersifat simetri bola dan merepresentasikan medan gravitasi di luar suatu partikel bersimetri bola dengan pusat partikel terletak pada pusat koordinat bola ( r, θ, φ). Dari pers. (4.39) tampak bahwa metrik tersebut tidak valid untuk GM r m (4.4) Jarak tersebut dinamakan radius Shwarzshild. Dalam satuan SI, 3 8 dan untuk bumi, GM 3,99 4, sehingga radius Shwarzshild untuk partikel

102 98 Penerapan Teori Relativitas Umum bumi adalah sekitar 9 mm, karena itu tidak ada persoalan jika metrik ini diterapkan untuk bumi. Namun ada keadaan tertentu jika radius Shwarzshild ukup besar, untuk mana hal ini terjadi jika M bernilai ukup besar, sementara ruji partikel tersebut ukup keil, hal mana yang dapat terjadi pada lubang hitam (blak holes). Penggambaran radius Shwarzshild dalam lubang hitam dapat dilihat pada Gambar 4.. Gambar 4. lubang hitam Shwarzshild bermassa M beradius r S Metrik Shwarzshild dapat dinyatakan dalam bentuk isotropik, yaitu dengan mengenalkan variabel koordinat radial baru : atau transformasi baliknya adalah ( r m r mr ) ρ (4.4) m r ρ. (4.4) ρ Substitusi bentuk di atas ke dalam metrik Shwarzshild akan memberikan dan ( dρ ρ ( dθ sin φ dθ )) 4 m / r m ds dt m / r r Dapat pula dibentuk koordinat harmonik. (4.43) X R sinθ osφ (4.44) X R sinθ sinφ (4.45) X 3 R osθ (4.46) t t (4.47)

103 99 Penerapan Teori Relativitas Umum dengan R r m (4.48) yang menghasilkan metrik ds m / R m m / R m dt dx ( X dx) (4.49) 4 m / R R m / R R dengan R X. (4.5) Metrik Shwarzshild dapat juga dinyatakan dalam bentuk koordinat kuasi- Minkowski dengan mendefinisikan x r sinθ osφ (4.5) x r sinθ sinφ (4.5) 3 x r osθ (4.53) dan t t (4.54) sehingga diperoleh ds m m ( x dx) dt dx Adapun jika dilakukan transformasi r r r. (4.55) dan 3 / u v r (4.56) 3a v t a r a ln r a r a (4.57) dihasilkan metrik 4 4 / 3 ds dv du ( u v) ( dθ sin θ dφ ) (4.58) / 3 9 ( u v) dengan dan a m (4.59)

104 Penerapan Teori Relativitas Umum 3 9a. (4.6) 4 4. Presesi Orbit Planet Ditinjau partikel-partikel berupa planet-planet yang bergerak mengelilingi matahari. Di sini dipilih koordinat bola dengan matahari diletakkan pada pusat koordinat. Materi matahari tersebut menyebabkan ruang-waktu di sekitarnya menjadi ruang-waktu bermetrik Shwarzshild. Tentu saja massa planet yang mengelilingi matahari memberikan sumbangan perubahan metrik, namun mengingat massa total planet jauh lebih keil daripada massa matahari, sumbangan tersebut dapat diabaikan. Dengan demikian sistem yang ditinjau adalah partikel planet bergerak mengelilingi matahari dengan menempuh lintasan geodesik. Metrik Shwarzshild dapat diubah bentuknya menjadi m dr ( sin d τ dt r dθ θ dφ ) (4.6) r m / r dengan koordinat-4 tetap berbentuk x m ( x, x ) ( t, r, θ, φ). (4.6) Dengan menggunakan persamaan geodesik berikut (Lawden, 98) β ν d dx gν dx dx gαβ, (4.63) α dτ dτ x dτ dτ diperoleh set persamaan geodesik sebagai berikut d r dr m dr dθ dφ m dt sin r r θ dτ r m dτ ( r m) dτ dτ dτ r dτ (4.64) dan d r dτ dθ r dτ dφ sinθ osθ dτ d sin dφ r θ dτ dτ (4.65) (4.66)

105 Penerapan Teori Relativitas Umum d r m dt. (4.67) dτ r dτ Bentuk metrik Shwarzshild (4.6) dapat dituliskan menjadi r dr r m dτ r dθ dτ sin dφ θ dτ ( r m) dt r dτ. (4.68) Selanjutnya dipilih koordinat bola sedemikian sehingga planet tersebut bergerak pada bidang planar atau Maka θ π /. (4.69) dθ dτ dan dari integrasi pers. (4.66) dan (4.67) serta mengisikan θ π /, diperoleh dan dengan h dan k adalah tetapan integrasi. Substitusi d φ dτ h r dt kr dτ r m (4.7) (4.7) (4.7) d θ / dτ dan dt / dτ dari dua persamaan terakhir di atas, serta mengisikan θ π / ke pers. (4.68), selanjutnya dihasilkan dr dτ h r Selanjutnya dengan mengeliminasi didapat persamaan orbit planet dalam bentuk Dengan substitusi h r dr dφ bentuk di atas berubah menjadi 3 m ( r m) ( k ) r h r. (4.73) d τ dari persamaan di atas dan pers. (4.7) ( k m ) r mh 3 r (4.74) u, (4.75) r

106 Penerapan Teori Relativitas Umum du dφ u h m ( k ) u mu h 3. (4.76) Dengan menurunkan persamaan terakhir di atas ke φ, akhirnya dihasilkan persamaan orbit planet mengelilingi matahari bermassa M dalam bentuk d u m u dφ h 3mu. (4.77) Sementara itu dalam mekanika klasik, persamaan orbit planet menurut mekanika Newton adalah d u GM u dφ h (4.78) dengan M adalah massa matahari dan h adalah momentum sudut konstan persatuan massa partikel planet yang dirumuskan sebagai dφ r h. (4.79) dt Jika variabel waktu t dalam mekanika klasik bersesuaian dengan swawaktu (proper time)τ dalam teori relativitas, pers. (4.7) dan (4.79) menjadi identik dan pemilihan nilai h yang terdapat dalam pers. (4.7) dapat diterima. Selanjutnya juga diperoleh GM m (4.8) hal mana yang juga telah diperoleh sebelumnya dari pers. (4). Pers. (4.77) yang diperoleh seara relativistik ternyata bersesuaian dengan hasil dari mekanika klasik [pers. (4.78)] dengan adanya suku tambahan sebesar 3mu. Perbandingan antara suku tambahan ini yang sebesar 3mu dengan bentuk awal dalam mekanika klasik yang sebesar / h m adalah 3h 3 r ɺ φ. (4.8) Faktor φ ɺ r adalah komponen transversal keepatan planet, dan untuk planet-planet yang terdapat dalam tata surya, nilai terbesar dimiliki oleh planet Merkurius, yaitu sebesar 4 4,8 m/s. Mengingat 8 3 m/s, nilai perbandingan di atas

107 3 Penerapan Teori Relativitas Umum untuk planet Merkurius adalah 8 7,7. Nilai ini sangat keil, namun efek ini bersifat akumulatif sehingga untuk rentang waktu yang ukup panjang, perubahan nilai dapat diamati seara signifikan. Penyelesaian untuk persamaan klasik (4.78) adalah u { eos( φ ω) } (4.8) h dengan e eksentrisitas orbit dan ω longitude perihelion. Dari solusi klasik tersebut, suku tambahan relativistik bernilai Pers. (4.77) dapat dituliskan menjadi 3m 3mu { eos( φ ω) }. (4.83) 4 h d u 3m u e 4 dφ h h { os( φ ω) }. (4.84) Dengan adanya suku tambahan yang telah diisikan di atas, diperoleh penyelesaian yaitu penyelesaian mula-mula yang berbentuk pers. (4.83) ditambah dengan penyelesaian khusus yang berbentuk [ e e os( φ ω) eφ sin( φ ω) ] 3m 4 6 h. (4.85) Dengan menjumlahkan penyelesaian di atas ke dalam penyelesaian pers. (4.8) akan diperoleh 3m e u os( φ ω) φ sin( φ ω) e h h h [ e os( φ ω δω )] (4.86) dengan 3mφ δω (4.87) h untuk mana suku berorde O ( δω ) telah diabaikan. Persamaan di atas mengindikasikan bahwa longitude perihelion seharusnya seara ajeg meningkat dengan besarnya pertambahan sebesar

108 4 Penerapan Teori Relativitas Umum dengan 3m 3 3 δω φ φ φ (4.88) h h l h l (4.89) adalah semi latus retum orbit. Dengan mengambil satuan SI :,33 untuk matahari, 8 3 dan l 5,79 untuk Merkurius, maka nilai prediksi presesi orbit perihelion planet Merkurius selama seratus tahun (satu abad) adalah derajat 36 Prediksi ini ternyata bersesuaian dengan hasil eksperimen yang telah dilakukan oleh Clemene pada tahun 943 (Weinberg, 97). Clemene menemukan bahwa presesi planet Merkurius dalam jangka waktu abad sebesar ( 43, ±,45)' '. Ilustrasi presesi orbit planet yang bersifat kumulatif ini disajikan pada Gambar 4... Gambar 4. Presesi Orbit Planet Sebenarnya nilai presesi orbit planet Merkurius yang diamati dalam eksperimen jauh lebih besar itu. Nilai menurut eksperimen adalah φ (56,73,4) '' (4.9) eksp ± Sedangkan teori Newton memberikan presesi Merkurius sebesar φ (5557,6,)' ' (4.9) Newton ± yang mana angka menurut prediksi teori newton tersebut meliputi 55 '' yang berasal dari rotasi bumi berdasarkan sistem kerangka koordinat astronomik, dan

109 5 Penerapan Teori Relativitas Umum sekitar 53 '' karena gangguan gravitasi yang dihitung oleh teori gangguan Newtonian dari gerakan planet lain, seperti Venus, bumi dan Jupiter. Selisih antara hasil eksperimen dengan prediksi Newtonian itulah yang murni akibat digunakannya relativitas umum. Adapun data perbandingan presesi beberapa planet antara prediksi relativitas umum dengan hasil eksperimen diberikan pada tabel di bawah ini (Weinberg, 97) No Planet Tabel 4. Perbandingan presesi beberapa planet antara relativitas umum dengan hasil eksperimen Sudut Presesi tiap revolusi (detik) Jumlah revolusi / abad Prediksi TRU (detik/abad) eksperimen (detik/abad) Merkurius, ,3 43, ±,45 Venus, ,6 8,4 ± 4,8 3 Bumi,38 3,8 5, ±, 4 Iarus,5 89,3 9,8 ±,8 Dengan membandingkan antara prediksi teori relativitas umum dengan hasil eksperimen nampak adanya keookan yang ukup baik. Hasil ini mendukung kebenaran teori relativitas umum dalam menelaah gejala jagad raya akibat adanya interaksi gravitasi antar partikel massif. 4.3 Pembelokan ahaya bintang di sekitar massa massif Cahaya melintasi ruang-waktu melalui lintasan geodesik. Untuk ahaya, elemen garis yang ditempuh olehnya sama dengan nol atau ds. (4.9) Dari nolnya kuadrat elemen garis, swawaktunya juga nol. Karena itu persamaan metrik Shwarzshild dengan dituliskan dengan substitusi τ λ yang merupakan parameter sembarang sebagai r r m dr d λ r dθ dλ sin dφ θ dλ r dt ( r m) dλ. (4.93)

110 6 Penerapan Teori Relativitas Umum Tanpa kehilangan peninjauan seara umum, diisikan θ π / sehingga berkas ahaya ditinjau dalam bidang ekuator, dan dengan penurunan yang sama seperti halnya pada presesi gerak planet, diperoleh persamaan diferensial dengan d u u 3mu dφ (4.94) u. (4.95) r Pada pendekatan pertama untuk solusi pers. (4.94), suku kanan diabaikan terlebih dahulu. Bentuk penyelesaiannya adalah u os( φ α) (4.96) R dengan R adalah tetapan integrasi. Ini adalah persamaan polar untuk garis lurus, dimana jarak tegak lurus dari pusat atraksi adalah R. mengisikan Tanpa kehilangan generalisasi, nilai α diisikan sama dengan nol. Dengan osφ u (4.97) R pada ruas kanan pers. (4.94), bentuk persamaan tersebut menjadi d u 3m u os φ. (4.98) dφ R Penyelesaian dalam penghampiran kedua dalam bentuk persamaan polar sinar ahaya adalah Pada akhir sinar, nilai sehingga Dengan asumsi m u osφ ( os φ). (4.99) R R u (4.) m os m φ osφ. (4.) R R

111 7 Penerapan Teori Relativitas Umum m <<, (4.) R persamaan kuadrat tersebut memiliki akar yang keil dan akar yang besar. Untuk akar yang keil, penghampiran nilainya adalah sehingga m osφ (4.3) R π m φ ± (4.4) R pada keadaan awal dan akhir lintasan ahaya. Maka nilai sudut pembelokan ahaya bintang yang melintasi massa massif yang diletakkan di pusat koordinat yang menimbulkan medan Shwarzshild adalah 4m. (4.5) R Untuk ahaya yang melintas dekat matahari : R jari-jari matahari 6,95 8 m dan m,5 3 m, sehingga nilai prediksi pembelokan adalah 4m R 8,6 6,77 radian,77'' 36 derajat. (4.6) Ilustrasi pembelokan ahaya bintang di sekitar massa massif terdapat pada Gambar 4.3. matahari θ Gambar 4.3 Pembelokan ahaya bintang di sekitar matahari Prediksi ini juga seara umum bersesuaian dengan hasil eksperimen. Pengamatan pertama kali dilakukan pada tahun 99, saat beberapa team ekspedisi berangkat ke Sobral, Brazil dan Prinipe, Teluk Guinea untuk

112 8 Penerapan Teori Relativitas Umum mengamati adanya pembelokan ahaya bintang saat terjadi gerhana matahari. Mengapa harus dilakukan pada saat terjadi gerhana matahari? Cara erdik ini diusulkan oleh Einstein ketika mengajukan hipotesis adanya pembelokan ahaya bintang saat ahaya tersebut melewati dekat matahari. Menurutnya, pada siang hari, ahaya bintang tertutup oleh sinar matahari. Namun saat gerhana, ahaya bintang tersebut dapat nampak. Dengan membandingkan antara posisi bintang tersebut saat matahari lewat dekat ahaya bintang tersebut, dengan saat matahari tidak berada di dekat ahaya bintang tersebut, dapat dibandingkan apakah terjadi pergeseran posisi bintang. Pada pengamatan di tahun 99 tersebut setelah mempelajari sejumlah posisi bintang, akhirnya diperoleh kesimpulan bahwa ahaya bintang yang lewat dekat matahari telah membelok dengan sudut sebesar,98 ±,6 detik dan,6 ±,4 detik. Nilai pengamatan pertama ini ukup dekat dengan ramalan teori relativitas umum sebesar,75 detik. Tabel 4. Pengamatan pembelokan ahaya bintang pada beberapa peristiwa gerhana No Tanggal gerhana Tempat pengamatan 9 Mei 99 Jumlah bintang yang diamati Sudut pembelokan (detik) Sobral, Brazil 7,98 ±,6 Prinipe, Teluk Guinea 5,6 ±,4 Australia 4,77 ±,4 September 9 Australia 8,4 s.d.,6 Australia 6 85,7 ±,5 Australia 45,8 ±, 3 9 Mei 99 Sumatra 7 8,4 ±, 4 9 Juni 936 Rusia 6 9,73 ±,3 Jepang 8,8 s.d.,3 5 Mei 947 Brazil 5, ±,7 6 5 Februari 95 Sudan 9,7 ±, Sejak tahun 99 telah dilakukan pengamatan kira-kira terhadap 38 bintang sepanjang gerhana matahari yang terjadi pada tahun 9, 99, 936, 947 dan 95. Data hasil eksperimen tersebut disajikan pada Tabel 4.. Nilai

113 9 Penerapan Teori Relativitas Umum pengamatan tersebut bervariasi dari,3 hingga,7 detik, namun paling banyak di antara,7 hingga detik. Eksperimen terbaru pada hasil tersebut adalah,7 ±, detik, yang ukup baik kesesuaiannya dengan prediksi teori relativitas umum. Hasil eksperimen ini semakin menguatkan kebenaran teori relativitas umum, setelah bukti pertama di atas, yaitu prediksi presisi sudut orbit planet yang berevolusi memutari matahari. 4.4 Gelombang gravitasi Untuk menelaah gelombang gravitasi, diasumsikan bahwa medan gravitasi bersifat lemah, sehingga koordinat metrik diberikan sebagai x bersifat quasi Minkowski. Karena tensor g (4.7) ν δ ν hν dengan h ν < < dan suku derajat dua atau lebih tinggi dari h ν atau derivatifnya dapat diabaikan. Ditinjau kerangka koordinat tersebut bersifat harmonik sehingga tensor metrik memenuhi persamaan ν Γ α ν Untuk orde pertama, pers. (4.8) tereduksi ke bentuk g. (4.8) [, α] hα h α Dengan diturunkan, bentuk di atas menjadi,,. (4.9) h. (4.) α, ν h, να Dengan menukar indeks ν dan α, kemudian menambahkan persamaan baru tersebut ke pers. (4.), diperoleh h h. (4.) ν, α α, ν h, να Bentuk tensor Rii untuk tensor metrik (4.7) adalah h ν x x hνα ν α να α α ν R x x h x x h x x (4.) Dengan menggunakan hasil (4.), pers. (4.) tereduksi ke bentuk

114 Penerapan Teori Relativitas Umum R (4.3) να h να, sehingga skalar kelengkungan R bernilai dengan να R g R. (4.4) να Selanjutnya tensor Einstein diberikan oleh h νν, R (4.5) να gνα R hνα, δ 4 να h ββ, h ' να, h' να hνα δναh ββ. (4.6) Akhirnya persamaan gravitasi Einstein dapat dinyatakan dalam bentuk h', κt. να να (4.7) Dalam ruang hampa, tensor energi-momentum lenyap, sehingga pers. (4.7) tereduksi ke bentuk h ' να, ' h να. (4.8) x y z t Pers. (4.8) di atas merupakan persamaan gelombang yang menunjukkan bahwa gelombang gravitasi merambat dalam ruang hampa dengan laju sama dengan laju ahaya. Selanjutnya ditinjau solusi untuk pers. (4.8) di atas dalam bentuk persamaan gelombang datar : h' bentuk di atas memenuhi pers. (4.8) jika λ * λ ν ν λ ν λ x e exp( ik x ) e exp( ik ). (4.9) k k (4.) dimana hubungan antara vektor kontravarian ν k dan vektor kovarian k dihubungkan oleh tensor metrik g ν sebagai Bentuk matriks e ν bersifat simetri : ν gν k k. (4.) e ν e ν (4.) yang sering pula disebut tensor polarisasi (polarization tensor)

115 Penerapan Teori Relativitas Umum 4.5 Lubang hitam Shwarzshild dan Kruskal Szekeres Geometri ruang waktu Shwarzshild yang diberikan oleh metrik m dr ds dt r ( dθ r sin dφ ) (4.3) r m / r tampak memiliki sifat singularitas saat menjadi lenyap dan r m, karena pada keadaan tersebut g tt g rr bernilai takhingga. Daerah tersebut sering disebut sebagai jari-jari Shwarzshild, permukaan Shwarzshild, horison Shwarzshild, bola Shwarzshild atau singularitas Shwarzshild. Pada daerah di sekitar r m, ada sifat yang berbeda untuk koordinat r dan t. Pada daerah r > m, pada t diretion atau / t bersifat bak waktu (timelike) karena g <, sedangkan r diretion atau / r adalah bak ruang (spaelike) tt karena g >. Sebaliknya pada daerah r < m, / t adalah bak ruang rr (spaelike) karena g > dan / r adalah bak waktu (timelike) karena g <. rr Dengan sifat di sekitar tt r m ini, Kruskal dan Szekeres melakukan transformasi koordinat yang menghubungkan antara koordinat r dan t dengan koordinat radial takberdimensi u dan koordinat waktu takberdimensi v yang dirumuskan sebagai u v r / m e r / m e r / 4m r / 4m osh( t / 4m) sinh( t / 4m) } untuk r > m (4.4) Dengan transformasi koordinat ini, metrik Shwarzshild berubah menjadi ds (3m 3 / r) e r / m ( dv du ) r ( dθ sin θ dφ ) (4.5) Metrik di atas dikatakan sebagai geometri Shwarzshild dalam koordinat Kruskal-Szekeres. Di sini, besaran r dapat dinyatakan dalam fungsi u dan v sebagai r / m ( r / m ) e u v. (4.6)

116 Penerapan Teori Relativitas Umum Motivasi untuk melakukan transformasi koordinat Kruskal-Szekeres diawali dengan mengenalkan sistem koordinat yang berbeda, pertama kali dilakukan oleh Eddington (4.94) dan Finkelstein (4.958) (Misner dkk, 973). Mereka mengenalkan koordinat U ~ dan V ~ yang masing-masing melambangkan koordinat radial keluar (outgoing) dan masuk (ingoing) pada geodesik nol, yaitu untuk gerak foton jatuh bebas (freely falling photon). Untuk gerakan radial foton jatuh bebas dan ds (4.7) d θ dφ (4.8) sehingga metrik Shwarzshild menjadi ( ) m dr dt. (4.9) r m / r Untuk gerak foton keluar, dilakukan transformasi ~ U t r * (4.3) sedangkan untuk gerak foton masuk, persamaan transformasinya adalah ~ V t r * (4.3) Di sini r* diberikan sebagai r r * r m ln. (4.3) m Untuk gerakan radial foton keluar (outgoing), metrik Shwarzshild pada pers. (4.3) menjadi m ~ dv dv ~ dr. (4.33) r Persamaan di atas memiliki dua akar, yaitu ~ dv (4.34) dr dan ~ dv. (4.35) dr m / r

117 3 Penerapan Teori Relativitas Umum Sedangkan untuk gerak radial foton masuk (ingoing), bentuk metrik Shwarzshild menjadi Persamaan di atas memiliki dua akar yaitu ~ du dr dan m ~ du du ~ dr. (4.36) r (4.37) ~ du. (4.38) dr m / r Selanjutnya transisi dari koordinat Eddington Finkelstein ke Kruskal Szekeres dilakukan, pertama dengan menuliskan dari pers. (4.3) dan (4.3) sebagai dan sehingga metrik Shwarzshild berubah menjadi ~ ~ V U r * (4.39) ~ V U ~ t (4.4) m ~ ~ ds du dv r ( dθ sin θ dφ ). (4.4) r Dalam metrik di atas masih terdapatbentuk singularitas di m / r yang menunjukkan adanya r m. Kemudian disusun persamaan berikut ~ ~ V U r * r r exp exp exp. (4.4) m m m m Berikutnya dengan mendefinisikan ~ U r r t u~ exp exp exp 4m m 4m 4 m (4.43) dan ~ V r r t v~ exp exp exp, (4.44) 4m m 4m 4m

118 4 Penerapan Teori Relativitas Umum substitusi ini akan menghilangkan bentuk m / r dalam koefisien koordinat. Dalam wakilan koordinat yang baru, metrik Shwarzshild berbentuk 3 3m r exp ~ ~ ds du dv r ( dθ sin θ dφ ) r (4.45) m Tampak bahwa bentuk untuk m / r telah lenyap, sehingga metrik tersebut tetap valid r m. Terakhir dengan melakukan substitusi berikut, diperoleh metrik dalam koordinat Kruskal Szekeres, yaitu : dan u ( v ~ u~ ) r r t exp osh m 4m 4m (4.46) v sehingga diperoleh pula ( v ~ u~ ) r r t exp sinh m 4m 4m (4.47) dv du dv~ du~. (4.48) Akhirnya diperoleh metrik berkoordinat Kruskal Szekeres yang berbentuk ( du dv ) r ( dθ sin θ dφ ) 3 3m r ds exp r. (4.49) m Ilustrasi metrik berkoordinat Kruskal Szekeres disajikan pada Gambar 4.4. Gambar 4.4 Ilustrasi ruang waktu bermetrik Kruskal Szekeres

119 5 Penerapan Teori Relativitas Umum 4.6 Struktur Bintang Berikut ini akan ditelaah struktur bintang statik simetri bola beserta dinamika tekanan, rapat massa dan medan gravitasi. Dari metrik isotropik statik (nilai diisikan sama dengan ) yang berbentuk ds B( r) dt A( r) dr r ( dθ sin θ dφ ) (4.5) komponen tensor metrik kovarian adalah g rr A(r), g θθ r, g φφ r sin θ, g tt B(r) dan g untuk ν. (4.5) ν Diasumsikan tensor energi-momentum pada keadaan ini berbentuk tensor untuk fluida sempurna (perfet fluid) yang berbentuk dengan : p ρ tekanan pribadi (proper pressure), T ) (4.5) ν pgν ( p ρ U Uν rapat energi total pribadi (proper total energy density), dan U vektor keepatan 4, yang memenuhi persamaan Mengingat fluida dalam keadaan rehat, diambil nilai-nilai ν g U U. (4.53) ν U r U θ U (4.54) φ dan U t B( r). (4.55) tt g Diasumsikan bahwa sistem yang ditinjau tak gayut waktu t serta bersifat simetri bola yang membawa konsekuensi bahwa tekanan p dan rapat energi ρ hanya fungsi koordinat radial r. Dengan menggunakan nilai-nilai komponen tensor metrik, tensor energimomentum fluida sempurna ke dalam tensor Rii dan persamaan gravitasi Einstein, diperoleh persamaan-persamaan berikut :

120 6 Penerapan Teori Relativitas Umum dan B' ' B' A' B' A' R rr 4π G( ρ p) A (4.56) B 4B A B ra r A' B' Rθθ 4πG( ρ p) r (4.57) A A B A B'' B' A' B' B' R tt 4π G( ρ 3p) B. (4.58) A 4A A B ra Tanda aksen yang terdapat pada persamaan di atas menunjukkan d / dr. Sebagai tambahan analisis, persamaan yang menyatakan keseimbangan hidrostatik (hydrostati equilibrium) diberikan oleh (Weinberg, 97) B ' p'. (4.59) B p ρ Langkah pertama untuk menyelesaikan persamaan-persamaan di atas adalah menari nilai A (r), yaitu dengan membentuk persamaan berikut Rrr Rθθ Rtt A' 8πGρ. (4.6) A r B ra r Ar Persamaan di atas dapat dituliskan menjadi d dr r A 8πGρr. (4.6) Penyelesaian persamaan diferensial di atas dengan syarat A ( r ) berhingga diberikan dalam bentuk dengan GΜ( r) A ( r) (4.6) r r Μ( r) 4π ~ r ρ( ~ r ) dr ~. (4.63) r~ Untuk mengeliminasi A (r) dan B (r) dari pers. (4.57), digunakan pers. (4.59) dan (4.6) yang kemudian menjadi GΜ rp' GΜ 4πGρr 4πG( ρ p) r. (4.64) r ρ p r

121 7 Penerapan Teori Relativitas Umum Kita dapat menuliskan persamaan di atas dalam bentuk r p' ( r) G Μ ( r) ρ ( r) ( ) ( ). (4.65) ρ r Μ r r 3 p( r) 4πr p( r) GΜ( r) Ketika kita menghitung ρ ( r), Μ( r) dan p (r), dapat dengan segera diperoleh A (r) dari pers. (4.6). Selanjutnya untuk memperoleh B (r), pers. (4.65) dapat digunakan untuk menuliskan pers. (4.59) dalam bentuk Solusi untuk syarat batas B ( ) adalah B( r) exp r~ r 3 B' G ( Μ 4πr p). (4.66) B r GΜ / r ( Μ( ~ r ~ 3 ) 4 r p( ~ r )) G GΜ( ~ r ) π dr~ r r~ (4.67) Di luar bintang, p (r) dan ρ (r) lenyap, dan Μ (r) adalah tetapan yang bernilai Μ (R), sehingga pers. (4.6) dan (4.67) memberikan GΜ( r) B( r) untuk r R. (4.68) A( r) r Sekarang ditinjau keadaan dimana bintang memiliki rapat energi konstan : Dengan ρ konstan, pers. (4.64) dapat ditulis menjadi p' ( r) [ p( r) ρ ][ p( r) ρ / 3] ρ konstan. (4.69) 8πGρr 4π Gr 3. (4.7) Di permukaan bintang dengan r R, nilai tekanan pribadi (proper pressure) p haruslah lenyap atau sehingga syarat batas ini memberikan bentuk p ( r R) (4.7) p( r) ρ 3p( r) ρ 8πGρR 8πGρr / 3 / 3. (4.7) Untuk menari tekanan p, rapat energi ρ dinyatakan dalam massa bintang seara 3M ρ untuk r < R (4.73) 3 4πR

122 8 Penerapan Teori Relativitas Umum sehingga diperoleh tekanan bintang 3M p( r) 4πR 3 3 (GM / R) (GMr / R. (4.74) 3 (GMr / R 3 (GM / R) Komponen tensor metrik A (r) dapat dihitung menggunakan pers. (4.6) : GMr A ( r) 3 (4.75) R sedangkan komponen tensor metrik B (r) dapat dihitung dengan menggunakan pers. (4.74) ke dalam integral (4.67) yang memberikan GM GMr B ( r) 3. (4.76) 3 4 R R

123 9 Penerapan Teori Relativitas Umum Soal-Soal Latihan BAB IV. Bagaimanakah konsep gravitasi Newton dan Einstein terhadap kasus : sebuah massa M simetri bola ditempatkan di pusat koordinat.. Apakah metrik Shwarzshild menyimpan singularitas di dalamnya? Ketika dilakukan transformasi koordinat ke koordinat Kruskal Szekeres, apakah seluruh singularitas menjadi lenyap? Jelaskan. 3. Tunjukkan bahwa transformasi Kruskal Szekeres u r / m exp( r / 4m) osh( t / 4m), v r / m exp( r / 4m)sinh( t / 4m) mengubah metrik Shwarzshild ke bentuk 3 3m ( du dv ) ds r ( dθ sin θ dφ ) r exp( r / m) dengan r diberikan dalam bentuk u dan v oleh persamaan u v ( r / m ) exp( r / m). Tunjukkan bahwa persamaan lintasan foton yang bergerak radial adalah u ± v tetapan. 4. Tunjukkan bahwa transformasi 3/ u v r / 3a, v t a r a ln[( r a) /( r a)] dengan a m akan mengubah metrik Shwarzshild ke bentuk 4 du 4/3 ds ( u v) ( dθ sin θ dφ ) dv /3 9( u v) dengan 3 9a / 4.

124 Penerapan Teori Relativitas Umum 5. Tunjukkan bahwa dengan melakukan transformasi koordinat m r r' r' ke dalam metrik Shwarzshild diperoleh metrik dalam bentuk isotropik yaitu ds m m / r' ( dr' r' ( d θ sin θ d φ )) r' m / r' dt. 6. Pada metrik Shwarzshild : (a) Tentukan jari-jari dimana sebuah foton menempuh gerakan melingkar. (b) Tentukan periode orbit foton tersebut yang diukur oleh seorang pengamat tetap. 7. Buktikan persamaan (4.43). 8. Buktikan persamaan (4.49). 9. Buktikan persamaan (4.55).. Buktikan persamaan (4.58).. Buktikan bahwa jika peristiwa pembelokan ahaya bintang hanya dipandang sebagai tarikan foton relativistik oleh medan gravitasi Newton benda massif, maka sudut pembelokan ahaya bintang tersebut hanya bernilai setengah dari ramalan relativitas umum.. Carilah lintasan gerak foton pada metrik Kruskal Szekeres. 3. Buktikan persamaan (4.56) (4.58).

125 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya BAB V KOSMOLOGI : SEJARAH JAGAD RAYA 5. Pendahuluan Sebagaimana ditulis oleh Krane (99), setiap kemajuan baru di dalam pemahaman jagad raya ternyata semakin memperkeil peran kita di dalamnya. Walaupun demikian, setiap kemajuan ini selalu menimbulkan rasa kekaguman baru. Astronomi abad ke tujuh belas mengungkapkan fakta bahwa bumi bukanlah pusat tata surya melainkan salah satu dari beberapa planet yang mengitari matahari. Pada abad ke sembilan belas, para astronom mengarahkan teleskopnya ke bintang-bintang dan menggunakan peralatan spektroskopi yang dikembangkan untuk mengukur berbagai panjang gelombang ahaya bintang. Ditemukan fakta bahwa matahari kita ternyata hanya sebuah bintang biasa yang kedudukannya tidaklah istimewa dalam skala galaksi. Matahari kita ternyata adalah satu dari sekitar bintang dalam galaksi kita yang dikenal dengan nama galaksi Bima Sakti. Dari teleskop para astronom, terungkap pula beberapa objek aneh seperti gumpalan nebula redup yaitu sepotong ahaya lebar yang melebihi ukuran bintang. Beberapa nebula ini kemudian dapat disimpulkan sebagai kabut gas dalam galaksi, yang dapat menyatakan materi baru dari mana bintang dibentuk, atau sisa dari bintang yang mengakhiri hidupnya dengan ledakan dahsyat. Selain itu diperoleh pula nebula yang agak redup. Namun hal ini masih menimbulkan pertanyaan, bagaimana sebenarnya hakikat nebula yang agak redup ini. Kepastian tentang pertanyaan ini hanya dapat terpeahkan bila ahaya semua objek redup dapat dipisahkan menjadi bintang-bintang tunggal. Hal ini adalah persoalan eksperimental yang amat sulit, karena memerlukan penahayaan sebuah pelat foto sepanjang malam, pada saat mana para astronom bergulat dalam kedinginan malam di atas punak gunung untuk menjaga fokus teleskopnya tetap mengarah ke nebula, sebagai akibat rotasi bumi dan perubahan suhu yang menyebabkan perubahan ukuran teleskop. Pada tahun 9 an, Edwin Hubble

126 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya berhasil memisahkan ahaya berbagai bintang dalam galaksi tetangga kita, serta menyimpulkan ukuran, keemerlangan dan jaraknya dari kita. Semakin banyak nebula dan galaksi yang ditemukan, semakin pula kedudukan kita di jagad raya. Matahari kita tidak saja hanya satu dari sekitar bintang dalam galaksi Bima Sakti, melainkan mungkin galaksi Bima Sakti sendiri merupakan satu di antara galaksi yang ada di jagad raya. Pengamatan Hubble juga menghasilkan pernyataan yang menarik : setiap galaksi bergerak menjauhi kita (dan menjauhi yang lainnya) dengan kelajuan yang amat tinggi. Semakin jauh sebuah galaksi dari kita, semakin tinggi lajunya. Kesimpulan mengesankan ini akan menuntun kita ke model standar jagad raya beserta asal usulnya. Jika semua galaksi bergerak saling menjauhi, maka mereka sebelumnya tentulah berdekatan. Jika kita kembali ukup jauh ke masa lampau, semua materi tentulah berasal dari sebuah titik singularitas berkerapatan takhingga yang mengalami ledakan dahsyat. Peristiwa itu dikenal sebagai Big Bang (Ledakan Besar). Informasi yang lebih menghebohkan datang menyusul. Pada tahun 965, dua astronom yang bernama Arno Penzias dan Robert Wilson menemukan pijaran radiasi latar belakang gelombang mikro dari sisa-sisa ledakan besar yang mengisi seluruh jagad raya dan terus menghujami bumi, meskipun telah mengalami pendinginan selama kurang lebih 5 milyar tahun. Karya eksperimental yang telah dirintis oleh Hubble, Penzias dan Wilson merupakan landasan untuk berspekulasi mengenai asal mula, evolusi dan masa depan jagad raya. Semua teori ini termasuk dalam bidang kajian kosmologi yang berasaskan pada teori relativitas umum dengan paduan bidang astronomi, fisika partikel, fisika statistik, termodinamika dan elektrodinamika. (Krane, 99) Di dalam jagad raya paling tidak terdapat empat jenis interaksi dasar (mungkin dapat ditambah satu lagi yaitu interaksi maha lemah atau superweak). Keempat interaksi tersebut masing-masing adalah interaksi kuat, lemah, elektromagnetik dan gravitasi. Interaksi elektromagnetik (EM) bermediator foton dan berjangkauan jauh terjalin antara zarah zarah bermuatan listrik dan/atau bermomen magnet dan berlangsung seara makro dan mikro dalam atom inti dan

127 3 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya zarah elementer. Teori kuantum interaksi medan elektromagnetik dikenal dengan nama Elektrodinamika Kuantum (QED) dan merupakan teori interaksi yang paling akurat dan luas akupannya. Interaksi kuat yang berjangkauan pendek serta bersama sama dengan interaksi EM mempertahankan paritas, hanya munul dalam daerah kuantum serta berperan dalam interaksi antar nukleon dalam inti atom dan antar penyusun nukleon dan meson yaitu tiga jenis kuark (u, d dan s) dengan mediator partikel gluon bermassa. Teori interaksi kuat yang melibatkan zarah zarah hadron ini disebut Kromodinamika Kuantum (QCD). Interaksi lemah yang hanya munul pada daerah mikro, melibatkan zarah neutrino dan bekerja pada peluruhan beta inti, pion, muon dan sebagainya dengan mediator partikel bermassa W ± (bermuatan) dan Z (netral) serta melanggar kekekalan paritas. Teori untuk interaksi ini disebut Flavordinamika Kuantum (QFD). Interaksi yang paling lemah dari keempat interaksi dasar adalah interaksi gravitasi yang berperan dalam interaksi jangkauan jauh antar massa dan antar massa dengan foton dengan mediator graviton tak bermassa. Teori kuantum yang menjelaskan interaksi gravitasi antar partikel bermassa dikenal dengan nama Geometrodinamika Kuantum (QGD). Pada materi massif seperti bintang dan galaksi, muatan mereka praktis netral sehingga interaksi elektromagnetik tak bekerja pada struktur skala besar jagad raya. Pada pada skala ini, hanya interaksi gravitasi saja yang bekerja. Oleh karena itu hukum gravitasi Einstein yang didasarkan pada teori relativitas umum akan sanggup memberikan gambaran jagad raya seara komprehensif, baik seara kualitatif maupun kuantitatif. Teori Gravitasi Einstein sendiri mampu meramalkan beberapa fenomena di jagad raya dengan ketelitian tinggi. Teori ini adalah teori yang menyempurnakan teori gravitasi Newton. Beberapa fenomena di jagad raya yang terbuktikan ramalannya dengan ketelitian tinggi adalah :. pembelokan ahaya bintang. presesi orbit planet 3. pergeseran merah gravitasi 4. gema tunda waktu radar (Weinberg, 97; Krane 99).

128 4 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya Relativitas umum juga menyajikan beberapa ramalan menarik seperti adanya lubang hitam (blak holes), gelombang gravitasi (gravitational waves), singularitas ruang-waktu dan sebagainya. Meskipun teori ini memiliki daya pikat, keindahan estetis dan sementara ini lulus dalam tes eksperimental, jumlah tes tersebut sebenarnya masih tergolong langka. Nampaknya agak berlebihan jika jagad raya dapat ditelaah hanya dengan menggunakan teori ini. Namun akan diperoleh bahwa paling tidak seara kuantitatif, ramalan teori relativitas umum sesuai dengan beberapa pengamatan, seperti fenomena ekspansi jagad raya, ramalan sisa-sisa radiasi Big Bang dan sebagainya. Tidak digunakannya gravitasi Newton untuk menelaah interaksi gravitasi dalam jagad raya disebabkan oleh keterbatasan teori itu sendiri. Memang gravitasi Newton itu sendiri memberikan pemerian seara kuantitatif yang serupa dengan solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek jagad raya (Weinberg, 97). Namun teori Newton menganggap bahwa ruang di jagad raya bersifat Eulid (datar). Newton tidak mengenal istilah ruang lengkung. Padahal menurut Einstein, keberadaan medan gravitasi dalam ruang menyebabkan ruang di jagad raya menjadi lengkung, dengan geometri ruang bersifat Riemannian. Kelengkungan ruang untuk skala galaksi memang masih dapat diabaikan, namun untuk skala besar jagad raya, efek ini dapat dijumlahkan sehingga tak dapat diabaikan lagi. Oleh karena itu penelaahan keadaan fisis jagad raya dilakukan dengan menyelesaikan persamaan medan gravitasi Einstein untuk objek jagad raya. 5. Asas Kosmologi Dalam skala besar jagad raya, mulai dari jarak 7 parse, seluruh materi dapat dianggap sebagai fluida yang kontinu, homogen dan isotrop. Pernyataan ini membawa kepada kesimpulan bahwa tidak ada pengamat galaksi yang dipandang istimewa di jagad raya ini. Dengan kata lain, seluruh pengamat bergerak bersama galaksi dan melihat proses skala besar yang sama dalam evolusi jagad raya. Inilah yang dinamakan dengan asas kosmologi (osmologial priniple). Sedangkan teori keadaan ajeg (steady state theory) didasarkan pada asas kosmologi sempurna (perfet osmologial priniple) yang menyatakan bahwa seluruh pengamat

129 5 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya galaksi melihat struktur skala besar jagad raya yang sama untuk seluruh waktu. Berdasarkan fakta-fakta, ditemui bahwa yang lebih tepat adalah asas pertama, bukan asas kedua. 5.3 Geometri Bolahiper (Hypersphere geometry) Dalam ruang Eulid empat dimensi kuadrat elemen garis dirumuskan sebagai 3 4 x i ( x, x, x, x ) (5.) dl i j 3 ij dx dx dx ) ( dx ) ( dx ) η ( ( dx ) (5.) 4 Bentuk persamaan bolahiper (hypersphere) tiga dimensi dalam ruang empat dimensi menyerupai bentuk persamaan permukaan bola dua dimensi dalam ruang tiga dimensi. Persamaan bolahiper tersebut adalah 3 4 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) S (5.3) dengan S adalah ruji bolahiper. Jika persamaan di atas diturunkan maka bentuknya menjadi atau x dx x dx x dx x dx (5.4) Dengan memasukkan pers. (5.5) ke (5.) diperoleh dx x dx x dx x dx. (5.5) 4 x 3 3 i i dl ( dx ) ( ) 4 ( ) d x (5.6) i x i yang menyatakan bentuk umum persamaan kuadrat elemen garis pada bolahiper. Jika ruang Eulid tersebut dinyatakan dalam koordinat polar ( u, θ, φ) (5.7) melalui persamaan transformasi maka x u sinθ osφ, x u sinθ sinφ, x u osθ (5.8) 3 3 ( x ) ( x ) ( x ) ) / 3 u (5.9)

130 6 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya dan sehingga 4 S u (x ) (5.) dl u du du u ( dθ sin θ dφ ) (5.) S u du u ( dθ sin θ dφ ). (5.) ( u / S) Dengan substitusi diperoleh u Sr (5.3) Jika pada pers. (5.3), dr dl S r ( dθ sin θ dφ ). (5.4) r S diganti dengan S, pers. (5.4) menjadi dr dl S r ( dθ sin θ dφ ). (5.5) r Kedua metrik di atas dapat dituliskan sekaligus dalam ungkapan dr dl S r ( dθ sin θ dφ ) (5.6) kr dengan k untuk pers. (5.4) dan k untuk pers. (5.5). Jika diisikan k, dihasilkan ruang Eulid tiga dimensi. 5.4 Metrik Robertson-Walker Metrik Robertson-Walker dibangun di atas dua asumsi berikut :. Adanya waktu kosmik x dalam koordinat Gauss, yaitu koordinat yang ikut bergerak bersama pengamat. Asas homogen dan isotrop jagad raya. Metrik jagad raya mengambil bentuk ds g ν ν dx dx (5.7) Persamaan transformasi untuk g i adalah

131 7 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya g x x j x k g x x i i jk i j x yang menggambarkan bahwa g i menentukan arah tertentu pada ruang tiga dimensi. Hal ini bertentangan dengan asumsi kedua di atas sehingga ditarik kesimpulan bahwa g i untuk i,, 3. Bentuk metrik jagad raya tereduksi ke bentuk ij j i g j ds g ( dx ) g dx dx (5.8) Ditinjau dua kejadian yang masing-masing terjadi pada waktu x dan x dx. Diketahui d τ adalah swawaktu / waktu pribadi (proper time) antara dua kejadian tersebut. Karena koordinat spatial pengamat tidak pernah berubah, bentuk metrik (5.8) menjadi Berdasarkan asumsi pertama, swawaktu x t d τ g (dx ) (5.9) sehingga g. Bentuk metrik (5.8) menjadi τ d τ sama dengan waktu kosmik ds dt g dx dx ij i j (5.) Dengan mengambil t konstan, metrik di atas menjadi ds i j ij g dx dx dl (5.) Berdasarkan asas kosmologi, setiap pengamat akan mendapati ruang spatial bersifat homogen dan isotrop. Oleh karena itu, bentuk elemen garis pers. (5.6) sehingga pers. (5.) dituliskan sebagai dl adalah bentuk umum dr ds dt S r ( dθ sin θ dφ ) (5.) kr Metrik di atas dinamakan metrik Robertson-Walker. S adalah faktor skala kosmik yang merupakan fungsi t saja. Untuk k, nilai S menyatakan ruji spatial bolahiper 3 dimensi dalam ruang empat dimensi spatial. 5.5 Pergeseran merah galaksi

132 8 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya Informasi penting yang diperoleh mengenai faktor skala kosmik S (t) akan membawa pada pengamatan pergeseran frekuensi ahaya yang dipanarkan dari sumber tertentu. Untuk menghitung pergeseran frekuensi ini, kita akan menempatkan diri kita pada titik awal koordinat r. Ditinjau ahaya yang merambat hanya pada arah r dengan θ dan φ konstan. Persamaan geodesik ahaya tersebut adalah atau dr dτ dt S (5.3) kr dt dr. (5.4) S kr Jika ahaya meninggalkan galaksi dengan koordinat ( r, θ, φ) pada saat t maka ahaya tersebut akan sampai pada kita pada saat t yang diberikan oleh persamaan dengan t dt f ( r ) (5.5) S t f ( r ) r dr kr sin r r sinh r k k k (5.6) Galaksi tersebut memiliki koordinat r, θ, ) konstan sehingga f r ) tak ( φ gayut waktu. Selanjutnya jika ahaya berikutnya meninggalkan r pada waktu t δ, ahaya tersebut akan sampai kepada kita pada waktu t δt dengan t hubungan sebagai ( yang berimplikasi pada hubungan t t δ δ t t dt S f ( r ) (5.7) δt δt. (5.8) S t ) S( t ) (

133 9 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya Cahaya berfrekuensi ν yang dipanarkan akan teramati berfrekuensi ν melalui hubungan gelombang Karena maka ν δt ν δ t S( t). (5.9) S( t ) Didefinisikan pergeseran merah z sebagai fraksi pertambahan panjang Jadi z akan bernilai positif jika λ λ z. (5.3) λ λ ν (5.3) λ ν S( t) z. (5.3) S( t ) S t ) > S( ) (5.33) ( t yang menyatakan adanya ekspansi jagad raya. Jika galaksi yang diamati ukup dekat pada skala besar, t t relatif keil dan S t ) dapat dinyatakan dalam deret Taylor sebagai ( S t) S( t) ( t t) Sɺ ( t) ( t t) Sɺ ( t )... ( ( t )( H ( t t ) q H ( t t )...) S (5.34) dengan H dan q berturut-turut menyatakan tetapan Hubble dan parameter perlambatan untuk saat ini. Kedua besaran itu dikatakan konstanta, meski sebenarnya nilai gayut waktu. Namun untuk rentang waktu yang relatif keil, jika dibandingkan dengan usia jagad raya, kedua nilai di atas praktis konstan. Seara umum keduanya didefinisikan sebagai dan Sɺ H (5.35) S

134 3 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya SSɺɺ q (5.36) Sɺ Dengan substitusi pers. (5.34) (5.36) ke (5.3) diperoleh hasil z H ( t t ) ( q ) H ( t t )... (5.37) Dengan mengamati z untuk sejumlah galaksi serta menghitung t ) setiap ( t galaksi, ekspansi z di atas menghasilkan nilai H dan q saat ini yang besarnya masing-masing adalah (Weinberg, 97) H 75 km/smp (5.38) q, ±,4. (5.39) Selanjutnya kedua nilai tersebut dipakai untuk menelaah sifat fisis jagad raya. 5.6 Ekspansi Jagad Raya Bukti adanya ekspansi jagad raya berasal dari efek pergeseran Doppler ahaya yang dipanarkan oleh galaksi-galaksi jauh. Pergerakan bintang-bintang atau galaksi dekat relatif terhadap kita tidaklah ukup memberikan bukti adanya ekspansi jagad raya. Beberapa bintang di galaksi kita bergerak menuju kita dan panjang gelombang yang dipanarkannya teramati mengalami pergeseran ke panjang gelombang yang lebih pendek (pergeseran biru). Sementara itu beberapa bintang lainnya bergerak menjauhi kita sehingga ahayanya mengalami pergeseran ke arah panjang gelombang yang lebih besar atau dikenal sebagai pergeseran merah. Jika kita beralih ke ahaya yang berasal dari galaksi-galaksi di dekat kita, kembali akan diperoleh beberapa di antara mereka mengalami pergeseran biru, dan beberapa lainnya mengalami pergeseran merah. Hanya jika kita alihkan perhatian kepada galaksi-galaksi jauh, barulah nampak seara konvergen galaksi-galaksi tersebut bergerak menjauhi kita serta ahaya yang dipanarkannya mengalami pergeseran merah. Bagaimanakah kita dapat meyakini adanya pengembangan jagad raya yang menyebabkan terjadinya pergeseran merah tersebut? Sekurang-kurangnya terdapat tiga alasan yaitu (Krane, 99) :

135 3 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya. Menurut pengamatan, jumlah galaksi yang mengalami pergeseran merah dan biru tidak seimbang. Semua galaksi jauh bergerak menjauhi kita. Oleh karena itu pergeseran merah ini tidak dapat dijelaskan sebagai pergeseran aak sejumlah galaksi yang mematuhi suatu distribusi tertentu.. Pergeseran merah itu nampaknya bukanlah pergeseran merah galaksi menurut relativitas umum. Hal ini disebabkan materi dalam galaksi tidaklah terlalu padat sehingga tidak dapat menghasilkan pergeseran yang besar. 3. Pergeseran yang diamati berbanding lurus dengan jarak galaksi dari kita. Agaknya kenyataan ini merupakan langkah paling penting untuk mendukung gagasan ekspansi jagad raya yang biasanya diungkapkan sebagai Hukum Hubble, yaitu v Hd (5.4) dengan v adalah laju galaksi, H adalah tetapan Hubble dan d adalah jarak galaksi dari kita. Hukum Hubble tersebut dapat diturunkan dari metrik Robetrson-Walker. Jika tempat kita dipilih dengan koordinat r, maka jarak radial galaksi ( r, θ, φ ) terhadap kita pada waktu kosmik t adalah d r S r dr kr Sf ( r ) (5.4) dengan f r ) seperti pada pers. (5.6). Laju pergerakan galaksi tersebut terhadap ( kita diberikan sebagai ds Sɺ v dɺ f ( r ) f ( r ) S Hd (5.4) dt S yaitu hukum Hubble. Bagaimanakah hukum Hubble melukiskan ekspansi jagad raya? Ditinjau kiasan jagad raya yang digambarkan oleh sistem koordinat tiga dimensi pada Gambar 5. yang mana setiap titik mewakili sebuah galaksi. Galaksi Bima Sakti dipilih pada titik O. Jarak mula-mula suatu galaksi terhadap Bima Sakti adalah d. Setelah jagad raya mengembang yang digambarkan oleh menjauhnya semua titik tersebut, jarak tersebut menjadi d. Diasumsikan pengembangan tersebut terjadi

136 3 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya sedemikian sehingga seluruh jarak ukur bertambah dengan faktor pengali konstan k pada waktu t. Rumus yang berlaku adalah x ' kx. Jadi d ' kd. Dengan demikian jika dalam selang waktu t galaksi tersebut menempuh jarak menjauhi Bima Sakti, laju pergerakannya adalah d d v ' t d ( k ) Jika kita bandingkan antara kelajuan galaksi dan diperoleh t d' d. (5.43) v d (5.44) v d yang identik dengan hukum Hubble. Pers. (5.44) di atas sekaligus menunjukkan bahwa makin jauh jarak galaksi dari kita, makin epat pula ia meninggalkan kita. Gambar 5.. Kiasan pengembangan jagad raya dengan kiasan kawat Perlu diatat di sini bahwa ekspansi jagad raya berlangsung sedemikian sehingga tidak ada satu tempat/ruang di jagad yang menjadi pusat ekspansi. Semua titik/ruang mengalami ekspansi sehingga tidak ada titik yang memiliki kedudukan istimewa di jagad raya. Jika kita mengeat beberapa titik pada balon kemudian meniupnya, tampak bahwa setiap titik bergerak saling menjauhi. Semakin jauh jarak antara dua titik, semakin epat pula keduanya menjauh. Peristiwa fisis ekspansi jagad raya ini melahirkan dua teori besar. Teori pertama, jika setiap galaksi bergerak saling menjauhi, berarti di masa lampau jarak mereka lebih dekat. Kalau kita menengok lebih jauh lagi, akan didapati seluruh galaksi dan materi lainnya mula-mula berada pada titik singularitas dengan

137 33 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya kerapatan dan temperatur takhingga besar. Teori ini dikenal sebagai hipotesis Big Bang (Ledakan Besar) yang dikemukakan oleh George Gamow dkk pada tahun 948. Teori kedua, kerapatan jagad raya selalu konstan. Sewatu galaksi-galaksi bergerak saling menjauhi, dalam ruang antargalaksi terus diiptakan materi baru agar kerapatan jagad raya selalu konstan. Galaksi atau materi baru yang diiptakan akan menyebabkan jagad raya tampak sama sepanjang masa, baik pada masa lampau, sekarang maupun masa depan. Teori ini dikenal dengan hipotesis Steady State (Keadaan Ajeg) yang dikemukakan oleh Hoyle dkk pada tahun 96. Teori kedua ini menggunakan asas kosmologi sempurna, sebagaimana tersebut pada pasal. Pengamatan dengan teleskop radio yang dilakukan oleh Penzias dan Wilson di tahun 965 berhasil menyingkap adanya suatu radiasi latar belakang kosmik pada daerah gelombang mikro yang diyakini sebagai sisa-sisa radiasi Big Bang. Dengan demikian pengamatan tunggal ini mengunggulkan teori Big Bang dari semua model kosmologi lainnya. 5.7 Sejarah Suhu Jagad Raya menurut Big Bang Menurut teori Big Bang, jagad raya berasal dari suatu ledakan besar yang menghamburkan seluruh isi jagad raya ke segala arah ruang. Saat ledakan terjadi, jagad raya berukuran titik berkerapatan energi takhingga, bersuhu takhingga besar. Saat jagad raya terus mengembang dan usianya bertambah, suhunya semakin mengeil. Akhirnya suhu jagad raya sampai pada ambang peniptaan partikelantipartikel. Menurut Weinberg (97), garis besar sejarah suhu (thermal history) jagad raya adalah sebagai berikut :. Pada suhu T > K, jagad raya berisi banyak sekali variasi partikel pada kesetimbangan suhu, seperti foton, lepton, meson dan nukleon beserta antipartikel masing-masing. Suhu ambang bagi peniptaan nukleon ini adalah sekitar 3 K. Di atas suhu tersebut, energi jagad raya sedemikian tinggi sehingga mungkin mampu meniptakan kuark yang lebih berat dari nukleon seperti kuark jenis harmed, bottom dan top (Griffith, 987).

138 34 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya. Pada T K, jagad raya berisi foton, muon, antimuon, elektron, positron, neutrino dan antineutrino. Terdapat perampuran nukeon dalam jumlah amat keil, dengan neutron dan proton berjumlah kurang lebih sama. Semua partikel masih berada dalam kesetimbangan suhu. 3. Ketika T < K, muon dan antimuon mengalami proses pelenyapan (annihilation). Setelah seluruh muon lenyap, pada T,3 K, neutrino dan antineutrino mengalami ketidakgandengan (deoupled) dengan partikel lain. Partikel suhu dengan T S. ± e, γ dan sebagian keil nukleon berada pada kesetimbangan 4. Ketika T < K atau t s, perbedaan massa proton dan neutron menyebabkan terjadinya perubahan perampuran nukleon sehingga proton lebih banyak daripada neutron. 5. Ketika T < 5 9 K atau t 4 s, pasangan elektron-positron mengalami pelenyapan sehingga melenyapkan seluruh positron dan menyisakan sedikit elektron. Jagad raya hanya didominasi oleh foton, neutrino dan antineutrino dengan suhu foton lebih tinggi 4, % daripada suhu neutrino-antineutrino. Perbandingan neutron terhadap proton kira-kira : Pada T 9 K atau t 8 s, terjadi fusi antara proton dengan neutron yang membentuk inti yang lebih berat seperti deuterium dan helium. 7. Ekspansi bebas foton, neutrino dan antineutrino terus berlanjut dengan T γ,4t ν S. Pada 3 K < T < 5 K, nilai rapat energi foton, neutrinoantinuetrino menjadi di bawah rapat energi rehat hidrogen dan helium. Atom hidrogen terbentuk kira-kira pada T 4 K setelah elektron bergabung dan inti atom membentuk atom hidrogen. Dimulailah masa dominasi radiasi. Pada tabel 5. di bawah ini disajikan beberapa partikel elementer penyusun jagad raya beserta energi rehat dan suhu ambang yang berkaitan suhu tersebut. Nilai suhu ambang tersebut diperoleh melalui kaitan persamaan dengan k adalah tetapan Boltzmann. E T (5.45) k

139 35 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya Tabel 5.. Partikel utama penyusun jagad raya beserta energi dan suhu ambang No Partikel Energi (MeV) Suhu ambang ( 9 K) Foton ν, ν 3 4 e e,,5 5,9, π π, p, p n, n 94 9 Kali ini akan ditelaah sejarah suhu jagad raya seara lebih rini, dimulai dari K > T >,3 K ketika moun ( ) dan antimuon ( ) ukup jarang. Pengisi penting jagad raya, adalah elektron-positron ( e, ), foton (γ), neutrinoantineutrino untuk elektron ( ν, ( ν, ν e ν e e ) serta neutrino-antineutrino untuk muon ) yang seluruhnya masih berada pada kesetimbangan suhu (thermal equilibrium). Foton memenuhi distribusi Plank sedangkan elektron-positron dan neutrino-antineutrino memenuhi distribusi Fermi. Neutrino dan antineutrino tersebut dihasilkan, dilenyapkan dan dihamburkan melalui reaksi berikut : e ν (5.46) e ν Pada masa dominasi radiasi berlaku kaitan antara rapat energi (ρ) dengan suhu (T) jagad raya yang dirumuskan sebagai e ν ν e (5.47) ν e (5.48) ν e e e ν (5.49) e ν ν ν e (5.5) ν e. (5.5) ν e

140 36 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya 4 ρ T. (5.5) Sedangkan juga pada masa dominasi radiasi, hubungan antara rapat energi dengan ruji atau faktor skala kosmik (S) jagad raya dirumuskan sebagai T S. (5.53) Ketika T turun hingga,3 K, ν dan ν (mungkin juga ν e dan mengalami ketidakgandengan (deoupled) dengan partikel dalam kesetimbangan suhu dan mulai melakukan ekspansi bebas (free expansion). Tetapi, ketidakgandengan ini tidak berdampak apa-apa pada distribusi partikel. Partikel yang berada di dalam kesetimbangan suhu tersebut masih berperilaku seperti partikel ultrarelativistik sehingga suhu mereka tetap sebanding dengan ν e ) S. Rapat jumlah neutrino dan antineutrino bebas sebanding dengan 3 S dan mengalami pergeseran merah oleh faktor S seperti foton. Suhunya juga menurun mengikuti S. Selanjutnya terjadi ketidakgandengan (deoupled) kedua neutrino ν, ) ( e ν e pada saat T K, namun hal ini juga tidak membawa pengaruh pada fungsi distribusi neutrino dan antineutrino. Seara keseluruhan pada rentang suhu K > T > 5 9 K, nilai rapat energi neutrino dan antineutrino baik untuk elektron maupun untuk muon adalah sama yaitu sebesar 7aT ρν 6 ρ ν ρ e ν ρ e ν ρ ν dengan tetapan Stefan-Boltzmann 4 (5.54) Pada saat m e < kt, 5 4 8π k a 7,5 6 J m 3 K 4. (5.55) h ± e bersifat relativistik sehingga 7aT ρ ρ ρ e e ν. (5.56) 8 Rapat energi untuk elektron dan positron bernilai dua kali rapat energi neutrino karena elektron dan positron memiliki dua keadaan spin. Rapat energi total jagad raya saat rentang suhunya K > T > 5 9 K adalah jumlah rapat energi neutrino, elektron, positron dan foton sebesar 4

141 37 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya 4 9aT ρ total. (5.57) Berikutnya saat T di bawah suhu K, partikel yang berperan penting di dalam kesetimbangan suhu hanyalah ± e dan γ. Neutrino dan antineutrino tidak mengalami pemanasan ketika pelenyapan elektron-positron sehingga suhu keduanya turun sebanding dengan S. Selanjutnya untuk T < 5 9 K, suhu neutrino dan antineutrino ( T ν ) harus dibedakan dengan suhu foton dan partikel bermuatan lainnya (T). Suhu foton lebih besar daripada suhu neutrino dengan faktor sebesar T T 3 4 ν T < 9 K,4. (5.58) Untuk T < 9 K, partikel yang tersisa di kesetimbangan suhu adalah sejumlah keil nukleon dan elektron setelah seluruh pasangan e e mengalami proses pelenyapan. Kedua nilai T ν dan T turun mengikuti S dengan perbandingan antara keduanya seperti yang disajikan pada persamaan di atas. Nantinya suhu foton T γ juga akan berbeda dengan suhu materi T setelah T turun di bawah 4 K, yaitu saat suhu yang memungkinkan terbentuknya atom hidrogen. Suhu foton ini akan terus menurun mengikuti S. Radiasi kosmik latar belakang gelombang mikro yang ditemukan orang memiliki suhu saat ini sebesar T γ,7 K. (5.59) Karena itu seharusnya suhu radiasi benda hitam neutrino dan antineutrino sebesar Dari saat T 9 T γ T ν,9 K. (5.6) 3 / 4 K hingga saat ini, rapat energi foton, neutrino dan antineutrino yang membentuk rapat energi radiasi adalah 4,45 atγ ρr. (5.6)

142 38 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya 4 Selama masa dominasi radiasi, nilai rapat energi ρ S. Solusi persamaan dinamika jagad raya untuk keadaan tersebut adalah t 3 3πGρ tetapan. (5.6) Tabel 5. Deskripsi suhu, usia dan ruji jagad raya T (K) T / S / S T (detik) Tν,,9 6, 3,,94 4 3, 6,4,3 3, 9,6,6 3,,9,8 6, 3, 3, 3 3, 6,4,, 9,6,73,8,9,3 6 9, 3, 3,4 3 9,8 5,9 3,83 9,59 8,3 35, 9,346,6 9,8 3 8,4 9, 9,8 3 8,4,7 8,9 4 7,4,7 7,9 6 6,4,7 6,9 8 5,4,7 5,9 4,4,7 4,9 4 3,4 6,3 4, 3 Semenjak K > T > 5 9 K, rapat energi dirumuskan oleh pers. (5.57) sehingga diperoleh (nilai diisikan)

143 39 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya t 4 48πGaT tetapan K,9 T detik tetapan. (5.63) Jika t dimulai saat T K (tentu saja yang benar tidak demikian), maka diperlukan waktu,7 detik agar suhu turun ke K dan selanjutnya sebesar,7 detik untuk turun ke K. Adapun dari 9 K > T > T γ, waktu yang diperlukan adalah t tetapan 4 5,5πGaT γ,9 K tetapan. (5.64) T Waktu yang diperlukan agar suhu turun dari 9 K menuju 8 K adalah sekitar 5,3 jam. Jika radiasi terus lebih dominan daripada materi sampai terbentuknya atom hidrogen pada T 4 K, usia jagad raya saat itu sekitar 4. tahun. Pada Tabel 5. disajikan deskripsi suhu usia, usia dan ruji jagad raya dengan sumber dari Weinberg (97) Radiasi Kosmik Latar Belakang Gelombang Mikro Pengembangan jagad raya menyebabkan suhunya menurun, demikian pula dengan suhu radiasi foton. Hal ini membawa pula pada perubahan panjang gelombang foton yang bergeser ke arah yang lebih besar, yang dikenal sebagai pergeseran merah (red shift). Meskipun demikian, distribusi spektrum radiasi foton tetap seperti yang dimiliki oleh radiasi benda hitam. Pada tahun 94-an, para ilmuwan kosmolog Big Bang seperti Gamow dan lainnya meramalkan bahwa suhu bola api sekarang menurun menjadi suhu yang berorde 5 sampai dengan K. Foton-foton tersebut akan memiliki energi kt dalam orde 3 ev yang berkaitan dengan panjang gelombang berorde mm, yaitu dalam daerah spektrum gelombang mikro (mirowaves).

144 4 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya Spektrum panjang gelombang radiasi ini dilukiskan oleh distribusi Plank melalui perumusan dengan ( 8πh dλ u λ ) dλ λ 5 exp( h / λkt ) (5.65) u ( λ) dλ adalah rapat energi radiasi yang dipanarkan pada rentang panjang gelombang λ dan λ dλ. Distribusi panjang gelombang untuk suatu suhu tertentu memiliki nilai maksimum pada λ max yang dirumuskan dalam hukum pergeseran Wien sebagai λ max T,898 3 K m. (5.66) Rapat energi radiasi total untuk seluruh panjang gelombang diperoleh dari hukum Stefan-Boltzmann yaitu dengan mengintegralkan pers. (5.65) yang hasilnya ρ λ u ( λ) dλ 5 8π k h 3 T 4. (5.67) Ketika jagad raya mengembang, suhu T turun sehingga nilai Panjang gelombang λ max membesar. λ max membesar dengan faktor f, yang berpadanan dengan penurunan suhu T dengan faktor f sehingga ρ mengeil sebesar 4 f. Dengan substitusi h λ, (5.68) E pers. (5.65) dapat dituliskan sebagai 3 8πE u( E) de 3 3 h de. (5.69) exp( E / kt ) Persamaan di atas menyatakan kerapatan energi foton. Jika nilai di atas dibagi E, hasilnya menyatakan jumlah foton berenergi E persatuan volume atau n(e) yang dirumuskan sebagai 8πE n( E) de 3 3 h de. (5.7) exp( E / kt ) Jumlah foton untuk seluruh rentang energi persatuan volume atau N dapat diari dengan mengintegralkan persamaan di atas yang nilainya adalah

145 4 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya N 8πk T n( E) de untuk mana telah dilakukan substitusi exp( ) E h x x 3 x dx (5.7) E x. (5.7) kt Nilai integral tersebut dapat diari seara numerik, sehingga akhirnya diperoleh jumlah foton persatuan volume sebesar N,3 7 T 3 foton m 3. (5.73) Sementara itu nilai rapat energi dari pers. (5.67) adalah sehingga energi rata-rata tiap foton adalah ρ 4,73 3 T 4 ev m 3, (5.74) ρ Erata rata,33 4 T ev. (5.75) N Selanjutnya beralih pada upaya eksperimental untuk mendeteksi radiasi gelombang mikro serta penentuan suhunya. Dari pers. (5.65) tampak bahwa suhu T dapat ditentukan dengan mengukur energi radiasi benda hitam pada sembarang panjang gelombang. Namun untuk menunjukkan bahwa radiasinya mematuhi aturan spektrum radiasi benda hitam, maka diperlukan pengukuran dalam suatu rentang panjang gelombang. Pada tahun 965, Penzias dan Wilson menggunakan suatu teleskop radio yang dipasang untuk panjang gelombang 7,35 m. Pada panjang gelombang tersebut terekam suatu desis yang mengganggu teleskop mereka yang sulit untuk dihilangkan. Setelah upaya untuk menghilangkan gangguan itu ternyata sia-sia, mereka berkesimpulan bahwa asal radiasi tersebut adalah suatu sumber tak dikenal yang menghujami teleskop mereka dari segala arah, baik siang maupun malam. Dari energi radiasi pada panjang gelombang 7,35 m tersebut mereka menyimpulkan bahwa suhu radiasi benda hitam adalah 3, ±, K. Dalam perkembangan selanjutnya ternyata disimpulkan bahwa radiasi tersebut adalah warisan dari bola api Big Bang. Pada Gambar 5. disajikan distribusi radiasi benda hitam pada radiasi latar belakang gelombang mikro (Krane, 99).

146 4 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya Gambar 5. Distribusi radiasi benda hitam pada radiasi latar belakang gelombang mikro Sejak penemuan tersebut telah dilakukan pula pengamatan pada berbagai panjang gelombang dalam rentang, hingga m. Semua pengamatan memberikan kesimpulan suhu yang sama. Nilai baku suhu radiasi kosmik latar belakang gelombang mikro adalah,7 ±, K. Semua hasil pengamatan menampakkan keookan yang tinggi. Keookan ini akan lebih meyakinkan jika dilakukan pula pengamatan pada panjang gelombang di bawah, m. Hanya sayangnya, radiasi pada panjang gelombang tersebut mengalami penyerapan kuat oleh atmosfer bumi. Oleh karena itu teleskop radio di permukaan bumi tidak dapat bermanfaat. Namun demikain data yang diatat oleh stasiun balon yang diterbangkan di atas atmosfer bumi membuktikan bahwa intensitas radiasi pada rentang panjang gelombang di bawah, m memang mematuhi aturan radiasi benda hitam yang bersuhu,7 K (Krane, 99). Selain itu terdapat metode eksperimen lain yang mendukung kebenaran nilai suhu yang disimpulkan dari pengukuran dengan teleskop radio. Salah satu molekul dwiatom dalam ruang antarbintang yang diirikan dari spektrum serapnya adalah

147 43 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya Sianogen atau CN. Tingkat energi molekul adalah gabungan dari keadaan elektronik, vibrasi dan rotasi. Pada keadaan dasar, molekuk CN menyerap energi radiasi pada panjang gelombang λ 387,46 nm pada ujung biru spektrum tampak. Keadaan rotasi pertama memiliki energi sebesar 4,7 4 ev di atas keadaan dasar. Pada keadaan ini, panjang gelombang garis serapnya adalah 387,4 nm. Jika kita mengukur spektrum serap, perbandingan intensitas kedua garis serap ini merupakan ukuran perbandingan jumlah molekul pada keadaan dasar dan dalam keadaan rotasi pertamanya. Jika CN berada pada T, semua molekulnya harus berada dalam keadaan dasar. Pada suhu T, populasi keadaan eksitasi ditentukan oleh faktor Boltzmann exp( E / kt ). Bobot statistik tingkat tersebut dirumuskan sebagai N N L exp[ ( E E) / kt ]. (5.76) L Oleh karena itu penentuan jumlah relatif molekul pada kedua tingkat tersebut adalah suatu ara untuk menentukan suhu gas. Pengamatan terhadap intensitas kedua garis serap gas CN di atas menunjukkan bahwa sekitar 5 % molekulnya berada dalam keadaan tereksitasi. Persamaan di atas menjadi yang berarti 5% 4 exp( 4,7 ev / kt ) (5.77) 75% T,5 K. (5.78) Hal ini berarti bahwa pada ruang antar bintang yang amat dingin, terdapat sesuatu yang memanasi molekul-molekul gas CN sehingga memiliki suhu tersebut (Krane, 99). Pengamatan terhadap radiasi kosmik menunjukkan bahwa radiasi tersebut bersifat isotrop (merata) pada seluruh arah hingga ketelitian 3. Sifat ini sesuai dengan asas kosmologi. Suhu T,7 K ini dapat dikatakan sebagai suhu jagad raya. Hal ini tentu saja berlaku untuk skala besar (large sale). Dengan menggunakan suhu ini, dapat dihitung bahwa dalam setiap volume satu meter kubik ruang di jagad raya, terdapat sekitar 4 8 buah foton. Sumbangannya bagi rapat energi jagad raya adalah

148 44 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya sekitar,5 5 ev m 3 atau kira-kira setengah dari energi rehat sebuah elektron. Jadi setiap foton memiliki energi rata-rata sebesar 6,3 4 ev. Mengingat fenomena di atas, pantaslah jika Big Bang merupakan salah satu teori yang ukup menerangkan gejala peniptaan jagad raya dan ekspansinya. Namun demikian terdapat teori baru yang mampu memberikan tambahan penjelasan yang belum mampu dijelaskan oleh teori Big Bang, diantaranya adalah teori jagad raya yang mengalami inflasi (inflationary universe). Hal-hal yang belum dapat dijelaskan oleh teori Big Bang adalah, mengapa jagad raya nampak begitu datar dan seragam, darimanakah munulnya ketidakteraturan rapat massa jagad raya pada skala keil, dan sebagainya. Namun demikian telaah jagad raya yang mengalami inflasi tersebut tidak akan dibahas di sini.

149 45 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya Soal-Soal Latihan BAB V. Jelaskan alasan mengapa munulnya pergeseran merah galaksi-galaksi jauh merupakan isyarat terjadinya ekspansi jagad raya?. Apakah tetapan Hubble benar-benar sebuah tetapan? Apakah terhadap jarak yang jauh, ia mengalami perubahan? Bagaimanakah terhadap selang waktu yang lama, akankah ia juga mengalami perubahan? 3. Bagaimanakah kesimpulan anda, bahwa saat umur jagad raya sekitar 4 detik, perbandingan antara jari-jari jagad raya saat itu dengan jari-jari jagad raya saat ini adalah sekitar m)? (jari-jari jagad raya saat ini sekitar 6 4. Jelaskan perbedaan antara jagad raya terbuka, datar serta tertutup. 5. Buktikan persamaan (5.5). 5. Asumsikan suatu jagad raya bermetrik dengan ds dt R ( t) dr sin r( dθ sin θ dφ ) / 3 R ( t) Rt. Seorang pengamat pada t t mengamati suatu galaksi yang berjarak pribadi D tegaklurus dengan garis sight pada t t. Tentukan pergeseran merah yang diamati dalam suku R, t, t. 6. Asumsikan jagad raya bersifat isotropik dan datar seara spasial. Metrik jagad raya tersebut dapat mengambil bentuk ds dt a ( t)( dr r dθ r sin θ dφ )

150 46 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya dengan r,θ, φ adalah koordinat yang ikut bergerak (omoving oordinate). Jagad raya ini diasumsikan didominasi matero dengan rapat materi ρ (t) pada waktu t. Solusi persamaan Einstein adalah π 8 G 4 G aɺ ρ a dan aɺ ρ a. 3 3 Dari fakta bahwa ahaya merambat sepanjang geodesik null, tunjukkan bahwa pergeseran merah kosmologi dari garis spektrum yang dipanarkan pada waktu t e dan diterima pada waktu t yang didefinisikan sebagai π adalah λ λ Z e, λe a Z a e dengan a a( t ) dan a e a( t e ). 7. Asumsikan bahwa geometri jagad raya dilukiskan oleh metrik Robertson- Walker ( ) dr ds dt R ( t) r dω. kr Sebuah pesawat ruang angkasa bergerak relatif terhadap seorang pengamat kosmologis dengan keepatan v. Beberapa waktu kemudian ketika jagad raya telah mengembang dengan faktor skala terhadap pengamat tersebut. z, tentukan keepatan v ' relatif 8. Gunakan hukum Hubble untuk memperkirakan panjang gelombang 59 nm spektrum garis Na yang diamati terpanarkan dari galaksi yang jaraknya dari bumi adalah (a) juta tahun ahaya (b) juta tahun ahaya () milyar tahun ahaya

151 47 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya 9. Carilah panjang gelombang dari punak spektrum radiasi benda hitam yang bersuhu,7 K.. Keadaan rotasi pertama sianogen berada pada energi 4 4,7 ev di atas keadaan dasar. Hitunglah populasi relatif keadaan dasar dan ketiga keadaan rotasi pertama pada suhu T,7 K.. Kapankah suhu jagad raya berada di bawah suhu ambang bagi (a) Peniptaan nukleon (b) Peniptaan meson π () Terbentuknya atom hidrogen. Saat jagad raya memungkinkan foton menghasilkan meson K ( E 5 MeV) (a) (b) Pada suhu berapakah peristiwa itu dapat terjadi? Pada usia berapakah jagad raya saat memiliki suhu tersebut? 3. Andaikata rapat jumlah neutrino saat terjadi Big Bang sama dengan rapat jumlah foton sekarang, hitunglah energi diam seluruh neutrino yang dapat memberikan kerapatan kritis yang diperlukan untuk menghasilkan jagad raya tertutup. 4. Karena kita belum memiliki teori kuantum gravitasi, kita tidak dapat menganalisis jagad raya sebelum waktu Plank, sekitar 43 detik. Jika kita menganggap bahwa sifat jagad raya selama masa iu ditentukan oleh teori kuantum, relativitas dan grvitasi, waktu Plank haruslah ditentukan oleh tetapan dasar dari ketiga teori ini : h, dan G. Jadi kita dapat menuliskan α β γ t P h G. (a) Lakukan analisis dimensi untuk menentukan α, β dan γ. (b) Hitunglah waktu Plank tersebut.

152 48 Kosmologi : Sejarah Jagad Raya () Kita dapat pula melakukan hal yang sama untuk menentukan panjang Plank l P dan massa Plank m P. Tentukan pula panjang Plank dan massa Plank. 5. Mengapa suhu neutrino lebih rendah daripada suhu radiasi latarbelakang gelombang mikro?

153 49 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya BAB VI KOSMOLOGI : DINAMIKA JAGAD RAYA Interaksi antar materi pada skala besar jagad raya saat ini hanya dipengaruhi oleh gravitasi. Karena itu, pemeahan persamaan medan gravitasi Einstein akan sanggup memberikan deskripsi jagad raya seara klasik, baik pada asperk kualitatif maupun kuantitatif. Ada beberapa model jagad raya yang dapat disajikan sebagai penyelesaian persamaan Einstein. 6. Dinamika Jagad Raya Persamaan medan gravitasi Einstein akan diselesaikan untuk objek fisis jagad raya. Terlebih dahulu akan dihitung tensor energi-momentum gas galaksi. Setiap partikel (galaksi) di jagad raya bergerak mengikuti garis dunia (world line). Keepatan 4 partikel tersebut dapat dinyatakan oleh vektor kontravarian dengan V dx V (6.) dτ x adalah vektor koordinat 4 dan τ adalah swawaktu (proper time) yang diukur oleh jam standar yang ikut bergerak bersamanya. Partikel-partikel di jagad raya dapat dianggap sebagai fluida sempurna (perfet fluid). Tensor energimomentum untuk fluida sempurna dirumuskan sebagai (Anugraha, 997) ν ν ν T ( ρ p) V V pg (6.) dengan ρ adalah rapat massa galaksi dan p adalah tekanan jagad raya. Sepanjang garis dunia partikel gas galaksi, koordinat ( r, θ, φ) bernilai konstan. Dari keadaan ini, metrik Robertson-Walker (Anugraha, 997) memberikan Padahal dari definisi, yang berarti ds dt (6.3) ds dτ (6.4) τ t. (6.5)

154 5 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Jadi keepatan 4 partikel tersebut di kerangka Robertson-Walker adalah (, V ) (6.6) Komponen tensor metrik kovarian untuk metrik Robertson-Walker yang nilainya tak lenyap adalah S g, g, kr S r g dan g 33 S r sin θ (6.7) Adapun pasangan komponen kontravarian yang tak nol adalah kr g, g, g dan S S r 33 g (6.8) S r sin θ Dari bentuk persamaan (6.), tensor energi-momentum fluida sempurna memiliki komponen kovarian T ( (6.9) ν ρ p) V Vν pgν Dari keepatan 4 kontravarian di atas, nilai keepatan 4 kovarian adalah V (, ). (6.) Dengan demikian komponen kovarian tensor energi-momentum yang tak lenyap adalah ps T, T ρ, T ps r dan T 33 ps r sin θ (6.) kr Lambang Christoffel jenis kedua dirumuskan sebagai (Lawden, 99) Γ α ν αβ gνβ g β g ν g (6.) ν β x x x Dari pers. (6.7), (6.8) dan (6.), nilai-nilai lambang Christoffel jenis kedua yang tak lenyap adalah Γmn t Γ 33 sin θ, g mn, a a ds a Γ m Γ m δ m, S dt kr Γ, Γ ( ) r kr, Γ 33 kr Γ Γ Γ3 Γ3, Γ 33 sin θ, Γ otθ 3 Γ3 (6.3) r Tensor Rii dirumuskan sebagai (Lawden, 98) ν ν Γν Γα ν β ν β α Γ α ν βαγν Γβν Γα R (6.4) x x

155 5 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Dengan nilai-nilai lambang Christoffel di atas, nilai komponen tensor Rii yang tidak lenyap adalah R ν ν Γ ν Γ ν β ν β Γ ν β Γ ν Γβν Γ x x ν ( Γ Γ Γ3 ) () Γ. ν Γ ΓΓ Γ3Γ3 Γ βν t x 3 d S S dt (6.5) ν ν Γ ν Γ ν β ν β Γ ν βγ ν Γβν Γ 3 R ( Γ Γ Γ3 ) x x x 3 3 ( Γ Γ Γ Γ Γ Γ ΓΓ Γ3Γ 3) 3 3 ( Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ) 3 3Γ Γ x Γ x S d S ds k (6.6) kr dt dt R ν ν Γ ν Γ ν β ν β Γ ν β Γ ν Γβν Γ x x 3 Γ 3 3 ( ) 3 Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ x x x 3 3 ( Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ) 3 Γ3 3 3 S d S ds r k dt dt (6.7) R ν ν Γ3 ν Γ33 ν β ν β 33 Γ 3 ν β 3Γ3 ν Γβν Γ33 x x x () 3 Γ x Γ x 33 Γ x ( Γ 3Γ33 Γ3 Γ33 Γ3Γ33 Γ33Γ 3 Γ33Γ 3 Γ33Γ3 ) ( Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ) Γ33

156 5 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya S d S ds r sin θ k (6.8) dt dt Nilai skalar kelengkungan adalah ν ν R g R g R g R g R g 6 S S d dt S ds dt Kini persamaan Einstein yang berbentuk k ν gν R gν Λ πgt ν 33 R 33 (6.9) R 8 (6.) akan diselesaikan dengan menggunakan hasil-hasil di atas. Untuk komponen diperoleh R g R gλ 8πGT 3 S d dt S 6 ( ). S S d S dt ds dt k Λ.( ) 8πGρ atau Untuk komponen diperoleh ds dt k 3 ΛS 8 3 πgρs. (6.) kr S d dt S ds dt R k g R gλ 8πGT S 6. kr S S d S dt ds dt k Λ.( ) atau 8 GpS π kr S d dt S ds k ΛS 8πGpS dt. (6.) Untuk komponen dan 33 juga diperoleh hasil yang sama dengan seperti pada komponen.

157 53 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Selanjutnya model jagad raya standar diperoleh jika Λ. Bentuk pers. (6.) dan (6.) berturut-turut menjadi ɺ 8 k πgρs (6.3) 3 S S ɺ S ɺ k 8π (6.4) S GpS Pada bentuk di atas telah digunakan lambang dan ds S ɺ (6.5) dt d S S ɺ (6.6) dt untuk menyingkat penulisan. Jika pers. (6.3) dan (6.4) digabungkan, diperoleh atau G S ɺ 4π ( ρ 3p) S (6.7) 3 G S ɺ Sɺɺ 8π ( ρ 3p ) SSɺ. (6.8) 3 Sementara itu kalau pers. (6.3) diturunkan ke t, didapat bentuk 8 G d( S ) SS ɺ ɺɺ π ρ (6.9) 3 dt Dengan menyamakan ruas kanan (6.8) dan (6.9) diperoleh bentuk d( ρs dt ) ( ρ 3p) SSɺ. (6.3) Jika pada ruas kiri persamaan terakhir dikalikan dengan S, bentuk terakhir tersebut menjadi atau d( ρs S dt ) ρs 3 d( S ) d( S ) Sɺ 3pS Sɺ ρ p (6.3) dt dt 3 Alternatif bentuk lain untuk pers. (6.3) adalah 3 d ( ρs ) d( S ) p. (6.3) dt dt

158 54 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya S dp d[ S 3 ( ρ dt dt 3 p)]. (6.33) Pers. (6.33) dikenal sebagai persamaan kekekalan energi. Sementara itu pers. (6.3) dapat dibentuk menjadi atau 3 d S d S Sɺ ( ρ ) ( ) p Sɺ dt dt 3 (6.34) d( ρs ds 3 ) 3pS. (6.35) Dengan menyatakan persamaan keadaan p p(ρ), persamaan terakhir dapat digunakan untuk menyatakan ρ sebagai fungsi S. Sebagai ontoh jika rapat energi jagad raya didominasi oleh materi non-relativistik dengan pengabaian nilai tekanan (p ), pers. (6.35) memberikan 3 ρ S konstan. (6.36) Pada keadaan dimana rapat energi didominasi oleh partikel relativistik (radiasi) maka p ρ (Weinberg, 97) sehingga dari (6.35) diperoleh 3 4 ρ S konstan. (6.37) Dengan mengetahui ρ sebagai fungsi S, dapat ditentukan S(t) untuk seluruh waktu t. Model jagad raya dengan metrik Robertson-Walker ini dikenal dengan model Friedmann. Dinamika jagad raya di masa lalu, sekarang dan masa depan dapat dianalisis melalui persamaan-persamaan yang telah disebutkan di atas. Pers. (6.7) menunjukkan bahwa perepatan selalu positif. Karena menurut definisi S > dan S ɺ / S bernilai negatif karena besaran ρ 3p S ɺ / S juga > (karena yang nampak pergeseran merah, bukan pergeseran biru), maka kurve S(t) dengan t haruslah berbentuk kurve ekung dan memiliki nilai S(t) pada suatu waktu tertentu di masa lalu. Didefinisikan pada saat itu sebagai awal waktu t sehingga S ( t ) (6.38)

159 55 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Waktu saat ini ( t ) disebut usia jagad raya sejak t. Jika S ɺ untuk t t maka S ɺ K konstan dan S Kt. Nilai atau ( t) H t ( t) S ɺ (6.39) S t H (6.4) Karena S ɺ selalu negatif untuk t t maka usia jagad raya haruslah lebih keil dari waktu Hubble yang dirumuskan sebagai t < H (6.4) Untuk saat di masa depan, nilai tekanan p tidak pernah negatif. Dari pers. (6.3) nampak bahwa rapat ρ harus lebih keil dari kenaikan 3 S. Untuk nilai k, S ɺ (t) definit positif, sehingga S (t) monoton naik. Saat t, S(t). Untuk k, S (t) juga monoton naik, tetapi kenaikannya lebih lambat dari t. Adapun untuk k, S ɺ (t) ketika ρs 3/ 8πG. Karena S ɺ definit negatif maka S (t) akan membesar lalu menapai nilai maksimum (saat S ɺ (t) ) lalu mengeil sampai S pada suatu waktu yang terhingga di masa depan. Jadi seara kualitatif, model dan nasib jagad raya di masa depan ditentukan oleh tanda kelengkungan ruang. Jika k atau, jagad raya akan berekspansi selamalamanya. Sedangkan jika k, ekspansi terseut akan berhenti dan kemudian mengalami kontraksi balik menuju keadaan singular S. 6. Rapat Energi dan Tekanan Jagad Raya Pada masa kini ( t t ), rapat energi dan tekanan jagad raya diberikan oleh pers. (6.3) dan (6.4) sebagai dan 3( k / S H ) ρ (6.4) 8πG

160 56 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya p k / S ( q) H (6.43) 8πG Disini, S adalah faktor skala kosmik untuk saat sekarang ( t t), H dan q berturut-turut adalah konstanta Hubble dan parameter perlambatan, dengan nilai masing-masing 75 km(s Mp) dan,. Dari pers. (6.4), nilai kelengkungan ruang k / S dapat bernilai positif, nol atau negatif, sehingga ρ dapat bernilai lebih besar, sama atau lebih keil dari rapat kritis (ritial density) yang dirumuskan sebagai untuk mana telah diisikan nilai k. Akan terlihat nanti bahwa nilai 3H ρ, 6 kg/m 3 (6.44) 8πG p << ρ (6.45) sehingga dapat diambil nilai p. Hal ini menunjukkan bahwa rapat energi jagad raya saat ini didominasi oleh materi non-relativistik. Pers. (6.43) menjadi k S ( q ) H (6.46) dan (6.4) memberikan perbandingan rapat energi saat ini dengan rapat kritis (6.44) sebagai atau ρ ρ q (6.47) 3qH ρ 4πG. (6.48) Pers. (6.48) di atas memberikan informasi bahwa q tidak pernah bernilai negatif. Maka untuk q >, kelengkungan jagad raya bernilai positif (k ), sedangkan untuk q <, kelengkungan jagad raya bernilai negatif (k ). Jika rapat energi jagad raya saat ini sama dengan rapat kritis maka ruang-waktu bersifat datar yang berkorelasi dengan nilai q.

161 57 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Berdasarkan pengamatan, rapat massa-energi jagad raya yang disumbang oleh materi yang tampak, yaitu galaksi adalah (Weinberg, 97) 8 galaksi, kg / 3 ρ 3 m. (6.49) Jika massa-energi hanya terkonsentrasi di galaksi, pers. (6.48) memberikan nilai parameter perlambatan q,4 jika ρ ρgalaksi (6.5) yang berimplikasi pada model jagad raya terbuka dengan kelengkungan ruang bernilai negatif. Namun, nilai q ini tidak sesuai dengan hasil analisis q antara hubungan pergeseran dan luminositas yang memberikan nilai q, (Weinberg, 97). Di sini ada dua kemungkinan penyebab terjadinya ketidaksesuaian. Pertama, penghitungan nilai q melalui hubungan pergeseran merah dan luminositas menghasilkan nilai q yang tidak sesuai. Atau kedua, adanya massa yang hilang (missing mass) berupa materi gelap (dark matter) yang belum dapat dideteksi orang. Tampaknya, kemungkinan kedua inilah yang lebih masuk akal. Sebab paling tidak, ada beberapa kandiidat materi jagad raya yang dapat menyumbang massa-energi agar nilai rapat kritis dapat terlampaui, seperti lubang hitam (blak holes), lubang hitam mini, radiasi latar belakang gelombang mikro, lautan neutrino, graviton serta materi antar galaksi. Faktor kesulitan teknologi yang menyebabkan orang belum dapat memastikan materi apa saja yang dapat menyumbang massa jagad agar dapat melebihi massa kritis jagad raya. 6.3 Masa Dominasi Materi Dinamika jagad raya dapat ditentukan melalui solusi persamaan Einstein (6.3) dan (6.4) dengan pengabaian tetapan kosmologi Λ dan 8 G S S ɺ π ρ k 3 (6.5) S ɺ S ɺ k 8π. (6.5) S GpS Pada masa dominasi materi, p dapat diabaikan (p ) sehingga pers. (6.5) menjadi

162 58 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya SSɺ Sɺ k. (6.53) Bentuk terakhir ini dapat dituliskan menjadi d( SSɺ dt ) ksɺ. (6.54) Jika persamaan tersebut diintegralkan, dihasilkan bentuk SSɺ C ks (6.55) dengan C suatu tetapan integrasi. Dengan substitusi (6.55) ke (6.5) diperoleh C ρs 3 3 tetapan (6.56) 8πG yang menunjukkan bahwa C adalah suatu tetapan positif. Pers. (6.56) melukiskan bahwa selama masa dominasi materi, berlaku persamaan kekekalan massa-energi dengan bentuk yang serupa dengan pers. (6.). Pada saat sekarang ini, jagad raya didominasi oleh materi. Pers. (6.5) dapat dituliskan menjadi atau k S SSɺɺ Sɺ H S S ɺ S ( q ) H ( q ) (6.57) k. (6.58) dengan indeks menyatakan keadaan pada masa sekarang. Pers. (6.55) dapat dituliskan sebagai 3 S ks S H ks C S ɺ. (6.59) Dengan substitusi (6.59) ke (6.56), besaran C dapat dinyatakan dalam besaran q dan H untuk tiga nilai k : q Untuk k, q > : C (6.6) 3 / H (q ) Untuk k, q : 3 C S H (6.6) Untuk k, q < q : C (6.6) 3 / H ( q )

163 59 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Pers. (6.55) akan diselesaikan untuk menentukan nilai S dan t sebagai fungsi suatu parameter θ yang dikenal dengan sudut pengembangan jagad raya (development angel) 6.3. Untuk k Pers. (6.55) menjadi Melalui persamaan transformasi diperoleh SSɺ C S. (6.63) ( sinθ ) S C (6.64) sehingga pers. (6.63) menjadi Dengan mengintegralkan ke t diperoleh ɺ Cθ ɺ sinθ S (6.65) C( osθ ) ɺ θ. (6.66) C( θ sinθ ) t D (6.67) dengan D suatu tetapan integrasi. Dari syarat awal S(t) dihasilkan D. Dengan substitusi nilai C dari pers. (6.6) akhirnya diperoleh dan q S ( osθ ) (6.68) 3 / H (q ) q t ( θ sinθ ). (6.69) 3 / H (q ) Pers. (6.68) dan (6.69) melukiskan kurva S sebagai fungsi t dengan parameter θ yang berbentuk sikloid. Kurva tersebut ditampilkan pada Gb.. Jagad raya yang dilukiskan oleh nilai k ini adalam jagad raya yang berhingga (finite universe). Jagad raya pada model ini berekspansi dari keadaan singular lalu ketika θ π menapai ruji maksimum sebesar S t θ, (6.7)

164 6 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya pada saat q S maks (6.7) 3 / H (q ) t H πq ( q ) kemudian kembali berkontraksi menuju singularitas ketika θ π pada saat t H πq (q ) 3 / 3 / (6.7). (6.73) Jika pers. (6.68) dan (6.69) diturunkan ke θ akan diperoleh laju pertambahan ruji jagad raya sebesar ds dt ds θ osθ d. (6.74) dt sinθ dθ Laju pertambahan ruji jagad raya pada saat awal ketika jagad raya mulai berekspansi yaitu saat t atau θ adalah lim t ds dt. (6.75) Keanehan nilai tersebut sudah dapat diduga, mengingat adanya asumsi pengabaian tekanan. Padahal pada masa awal, jagad raya didominasi oleh radiasi sehingga pengabaian tersebut tidak benar. Namun demikian asumsi tersebut dapat dibenarkan untuk masa sekarang ini. Dapat dihitung pula laju pengerutan ruji jagad raya ketika mengakhiri masa kontraksi menuju keadaan singularitas adalah sebesar ds lim dt. (6.76) θ π Adapun laju pengembangan ruji jagad raya pada ruji maksimum tentu saja sama dengan nol, yang terjadi saat θ π. Hasil dua persamaan di atas menunjukkan bahwa ada suatu masa tertentu dimana laju pengembangan / pengerutan ruji jagad raya melebihi laju ahaya di ruang hampa yang dirumuskan sebagai

165 6 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya sehingga diperoleh ds dt osθ > sinθ (6.77) < θ < π / atau 3 π / < θ < π. (6.78) Hal ini berarti setengah dari sudut sudut pengembangan jagad raya ketika berekspansi atau setengah dari sudut pengerutan jagad raya ketika berkontraksi menyebabkan laju pertambahan / pengerutan ruji jagad raya lebih besar daripada laju ahaya di ruang hampa. Selanjutnya akan ditentukan ruji dan usia jagad raya saat ini. Pers. (6.64) dapat dituliskan sebagai sehingga S osθ (6.79) C q dan θ os (6.8) q q sinθ. (6.8) q Jika hasil ini diisikan ke dalam pers. (6.68) dan (6.69) dihasilkan nilai-nilai dan S (6.8) H q q t os ( q ). (6.83) 3 / H( q ) q Dengan mengisikan nilai H 75 km (s.mp) atau H 3 milyar tahun dan q, maka diperoleh nilai dan Ruji jagad raya S milyar tahun ahaya (6.84) Usia jagad raya t 7 milyar tahun (6.85)

166 6 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Hubungan antara rapat energi dan sudut pengembangan θ dapat diturunkan dari pers. (6.5). Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai 3( Sɺ ) ρ 8πGS Dengan menggunakan hasil (6.68) dan (6.74) diperoleh Ini berarti ketika (6.86) 3 3H (q ) ρ. (6.87) 3 4πGq ( osθ ) t atau θ maka ρ yang menunjukkan bahwa rapt energi jagad raya saat terjadi Big Bang bernilai takhingga. Nilai rapat energi jagad raya saat ini sebesar ρ dapat dihitung dengan hasil 3H (q ) 3H q ρ (6.88) 3 4πGq ( q ) 4πG yang identik dengan hasil yang ditelaah sebelumnya. 3 Dari pers. (6.8), seara umum q berubah terhadap waktu t atau sudut pengembangan θ yang dirumuskan sebagai q (6.89) osθ Karena θ mulai dari π sepanjang evolusi jagad raya, maka nilai q bernilai mulai dari sampai ketika ruji jagad raya menapai maksimum lalu mengeil kembali ke nilai Untuk k Pers. (6.55) menjadi SS ɺ C. (6.9) Dengan mengintegralkan pers. (6.9) terhadap t kemudian menggunakan pers. (6.6) akan dihasilkan Grafik S versus t terdapat pada Gb.. Limit S S 3H t / 3 (6.9) t menghasilkan nilai S. Jadi jagad raya dengan k adalah model jagad raya terbuka (open universe). Nilai S

167 63 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya tersebut tidak dapat dikatakan sebagai ruji jagad raya karena jagad raya menurut model ini tidak bertepi. Oleh karena itu S(t) lebih tepat disebut sebagai suatu faktor skala kosmik yang menyatakan pengembangan jagad raya. Nilai maksimum S(t) tidak bermakna. Usia jagad raya saat ini ketika S S adalah t (6.9) 3H Dengan H 3 milyar tahun, diperoleh Usia jagad raya t 8,7 milyar tahun. (6.93) Jika pers. (6.9) diturunkan ke pers. t dihasilkan ds dt H S 3t 3 / 3 (6.94) yang menunjukkan bahwa laju pengembangan mula-mula bernilai tak hingga, kemudian terus mengeil hingga mendekati nol saat t. Rapat energi jagad raya dapat ditentukan yaitu Rapat energi saat ini menjadi ρ. (6.95) 6πGt ρ 6πG 3 3 H ρ H 8πG (6.96) sesuai dengan pers. (6.44). Jadi rapat energi saat ini sejak dari t hingga menuju takhingga menurut model k sama dengan rapat kritis. Seara umum untuk rentang waktu yang panjang, rapat energi jagad raya untuk model k selalu sama dengan rapat kritisnya Untuk k Pers. (6.55) menjadi Melalui persamaan transformasi S Sɺ C S. (6.97)

168 64 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya diperoleh C(oshψ ) q S (oshψ ) (6.98) 3 / H ( q ) C(sinhψ ψ ) q t (sinhψ ψ ) (6.99) 3 / H ( q ) Pada Gb. ditunjukkan kurva S sebagai fungsi t. Seperti halnya pada model k, jika t atau ψ maka S. Jadi S di sini adalah faktor skala kosmik, bukan ruji jagad raya karena nilainya tak memiliki makna. Ini dapat juga dipahami dari nilai kelengkungan ruang yang negatif. Jika (6.98) dan (6.99) masing-masing diturunkan ke ψ akan diperoleh laju pengembangan jagad raya sebesar ds dt ds / dψ oshψ. (6.) dt / dψ sinhψ S k k k O t Gambar. 6. Kurva S sebagai fungsi t untuk tiga nilai k Ketika jagad raya mulai mengembang ( t atau ψ ) menurut model ini didapat laju pengembangan faktor skala kosmik sebesar lim t Adapun untuk t maka nilainya adalah ds dt. (6.)

169 65 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya ds lim. (6.) dt t Hal ini menunjukkan bahwa laju pengembangan jagad raya pada model k sepanjang waktu selalu lebih besar dari laju ahaya di ruang hampa. sehingga dan Dengan menggunakan hasil (6.97) dan (6.), terdapat ungkapan S oshψ (6.3) C q ψ osh (6.4) q sinhψ. (6.5) q ( q 3 / ) Jika hasil ini dimasukkan ke dalam pers. (6.99) akan dihasilkan bentuk t q osh ( q ) H q ( q). (6.6) Dengan anggapan bahwa rapat massa-energi jagad raya hanya terkonsentrasi di galaksi, maka nilai q,4. Dengan H 3 milyar tahun, diperoleh Usia jagad raya t,4 milyar tahun. (6.7) Hubungan antara rapat energi dan ψ dapat dituliskan sebagai 3( Sɺ ) ρ. (6.8) 8πGS Dengan menggunakan pers. (6.98) dan (6.), pers. (6.8) dapat dituliskan menjadi 3H ρ 4πGq ( q ) 3 (oshψ ) 3. (6.9) Ini berarti bahwa untuk t atau ψ maka ρ. Adapun untuk t atau ψ maka ρ. Nilai rapat energi saat ini sebesar ρ dapat dihitung sebesar

170 66 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya 3H ( q) 3H q ρ (6.) 3 4πGq ( q ) 4πG yang serupa dengan pers. (6.44). Dari pers. (6.3), seara umum q menurut model k berubah terhadap waktu t atau ψ dengan perumusan q. (6.) oshψ Karena ψ mulai dari, maka q mulai dari lalu mengeil sampai dengan nol Horison Partikel dan Horison Peristiwa Ditinjau koordinat r untuk mana suatu objek memanarkan foton pada waktu t yang selanjutnya diamati pada waktu t di koordinat r. Karena t tidak dapat lebih keil dari t saat ekspansi jagad raya dimulai, jarak objek terjauh dengan koordinat r yang dapat diamati saat ini disebut dengan horison partikel (partile horison) yang dirumuskan sebagai Untuk k, pers. (6.68) dan (6.69) memberikan r dr dt d H S S. (6.) kr S t dt dθ (6.3) S sehingga dengan menggunakan pers. (6.8) dan (6.8) diperoleh θ d H S dθ S θ os H ( q q ) (k ) (6.4) Untuk k dan, nilai d H berturut-turut adalah t dt d H S (k ) (6.5) / 3 S (3H t / ) H ψ osh ( q d H S dψ H q ) (k ) (6.6)

171 67 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Dengan mengisikan nilai H 3 milyar tahun, q, (k ) dan q,4 (k ), diperoleh horison partikel dengan nilai berturut-turut : 9 milyar tahun ahaya (k ), 6 milyar tahun ahaya (k ), dan 65 milyar tahun ahaya (k ). Jika sebuah peristiwa di koordinat r terjadi pada waktu t, kita akan mengamatinya pada waktu t yang dirumuskan oleh persamaan r dr kr t t dt S. (6.7) Jarak terjauh suatu peristiwa yang dapat kita amati adalah dengan dan t max H t max dt d E S (6.8) S πq (q ) t 3 / untuk k (6.9) t untuk k atau. (6.) max Besaran d E ini disebut sebagai horison peristiwa (event horison) Pada kasus k, nilai d E adalah d S ( θ ) E max θ π os H q ( q ) (6.) Dengan mengisikan nilai-nilainya diperoleh horison peristiwa untuk k sebesar 5 milyar tahun ahaya. Arti fisis horison peristiwa ini adalah ahaya yang dipanarkan dari suatu peristiwa terjauh tidak akan kita amati sebelum jagad raya jatuh menuju keadaan singularitas. Adapun untuk k atau, diperoleh takhingga sehingga peristiwa terjauh yang terjadi saat ini tidak akan dapat diamati. d E 6.5 Masa Dominasi Radiasi

172 68 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Dibandingkan dengan masa kini, peran radiasi bak elektromagnetik pada masa awal ekspansi jagad raya menjadi dominan (Peebles, 97). Meskipun saat itu radiasi dan materi berada dalam keadaan setimbang dengan yang satu meniptakan yang lain atau sebaliknya, materi memiliki energi amat tinggi sehingga berperilaku ultra relativistik. Dari teori relativitas khusus, energi materi ultra relativistik bernilai E p m p, seperti yang berlaku bagi radiasi. Karena materi berperilaku sama seperti radiasi, masa awal jagad raya ditelaah dengan asumsi seolah-olah jagad raya hanya berisi radiasi. Dengan demikian rapat energi jagad raya saat itu tidak lain adalah rapat energi radiasi bak radiasi elektromagnetik. Radiasi latar belakang gelombang mikro yang ditemukan pada tahun 965 oleh Penzias dan Wilson didapati bersifat isotrop untuk setiap pengamat galaksi. Rapat energi radiasi adalah ρ yang bernilai sama untuk setiap pengamat. Untuk pengamat yang ikut bergerak dalam kerangka Robertson-Walker, nilai keepatan 4 pengamat kontravarian adalah (, V ) (6.) Diasumsikan bahwa variasi wakttu terhadap komponen medan m E dan tersebut bersifat aak. Kaitan antara komponen tersebut dirumuskan sebagai dengan tanda < m n m n mn m B radiasi < E E > < B B > Aη (6.3) > menunjukkan nilai rerata. Jika dilakukan penjumlahan pada persamaan di atas meliputi jangkauan m, n,, 3 maka diperoleh 3 m,n 3 m n m n mn < E E > < B B > E B ρ A η 3A (6.4) m, n atau sehingga pers. (6.4) menjadi ρ A (6.5) 3 m n m n ρη < E E > < B B >. (6.6) 3 Nilai komponen tensor energi momentum medan elektromagnetik dirumuskan sebagai mn ν T

173 69 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya T ν ρ S S mn T (6.7) dengan T ρ ( E B ) adalah rapat energi medan elektromagnetik (6.8) m m T T S m ( E B) m adalah komponen ke m vektor Poynting (6.9) mn mn T η E B m n m n E E B B adalah tensor tegangan Maxwell. (6.3) ( ) ( ) Akan dihitung nilai rata-rata komponen (6.3) diperoleh < T Jika i j maka mn mn Sedangkan untuk i j berlaku ν T dari nilai di atas. Dari pers. m n m n ( E ) ( < E E > < B B > ) > < η > B (6.3) < mn T >. (6.3) 33 ρ ρ < T mn > < T > < T > < T >.ρ (6.33) 3 3 Selanjutnya mengingat radiasi bersifat ajeg (steady), laju aliran energi pada sembarang arah bernilai nol sehingga nilai rata-rata vektor Poynting lenyap yang dirumuskan sebagai Sementara itu m m < S > < T > < T > (6.34) m Dengan demikian hanya untuk lenyap. Jadi T > ρ. (6.35) < ν sajalah yang mengakibatkan nilai ν T dari pers. (6.7) tereduksi ke bentuk ν ν ν ν T tidak 4 T ρv V η ρ (6.36) 3 dengan keepatan 4 pengamat galaksi (, V ). (6.37) Persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk kovarian sebagai 3 T 4 V V η ρ (6.38) ν ρ 3 ν 3 ν

174 7 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Dalam kerangka Robertson-Walker, bentuk η ν diperluas menjadi tensor metrik g. Sementara itu keepatan 4 kovarian pengamat galaksi adalah V (, ). ν Dengan demikian komponen tensor medan elektromagnetik di dalam kerangka Robertson-Walker dapat dihitung sebagai ρs ρs r ρs r sin θ T ρ, T, T dan T 33 (6.39) 3( kr ) 3 3 Jika pers. (6.39) dihubungkan dengan pers. (6.) untuk fluida sempurna, nampak bahwa radiasi elektromagnetik berlaku untuk seperti fluida sempurna dengan rapat energi ρ dan tekanan yang setara dengan nilai ρ. Dengan demikian 3 pada masa dominasi radiasi dapat dikatakan bahwa nilai tekanan jagad raya sama dengan sepertiga nilai rapat energinya. Dengan menggunakan nilai komponen tensor Rii yang telah dihitung, persamaan Einstein untuk objek jagad raya pada masa dominasi radiasi dapat diselesaikan. Dengan mengabaikan tetapan kosmologi Λ, komponen memberikan 8 G S S ɺ π ρ k 3 (6.4) sedangkan komponen, dan 33 memberikan hasil yang sama berupa 8 G S SS ɺ π ρ S ɺ k 3 (6.4) Telah dijelaskan pada pembahasan-pembahasan sebelumnya bahwa pada masa-masa awal ekspansi jagad raya, nilai ds S ɺ >> k dt (6.4) untuk ketiga nilai k. Jadi nilai k pada dua penyelesaian persamaan Einstein di atas dapat diabaikan. Dengan mengeliminasi nilai ρ diperoleh Melalui dua kali pengintegralan dihasilkan d( SSɺ ) SSɺ Sɺ (6.43) dt

175 7 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya A S ɺ dan S At S (6.44) dengan A tetapan positif. Substitusi hasil terakhir ini ke pers. (6.4) akan dihasilkan 3 ρ (6.45) 3πG t Jika diasumsikan bahwa selama masa ini, radiasi berada dalam kesetimbangan suhu dengan materi, maka spektrum radiasi tersebut memenuhi aturan spektrum radiasi benda hitam. Kaitan antara suhu T dengan rapat energi ρ diberikan dalam hukum Stefan-Boltzmann (disini nilai diisikan) dengan perumusan (Lawden, 98) dengan 4 ρ at (6.46) 5 4 8π k ,5. Jm K 3 3 a 5 h (6.47) adalah tetapan Stefan-Boltzmann. Besaran k, h dan berturut-turut adalah tetapan Boltzmann, tetapan Plank dan laju ahaya di ruang hampa. Akhirnya dengan menyamakan pers. (6.45) dan (6.46) dihasilkan kaitan antara usia t dan suhu jagad T pada masa dominasi radiasi yaitu 3 T 3 Ga π t /,5 t (6.48) Jika diamati, persamaan di atas berisi tiga tetapan dasar dalam teori kuantum gravitasi yaitu G, dan h. Persamaan di atas juga meneritakan bahwa ketika jagad raya berusia satu detik, suhunya kira-kira,5 K. Ketika waktu t bertambah, maka suhunya menurun. 6.6 Data Fisis Jagad Raya Kini data fisis jagad raya diungkap, dengan pembatasan hanya untuk model jagad raya tertutup (k )

176 7 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Tabel 6. Data fisis jagad raya (k ) No Besaran jagad raya Lambang Nilai Tetapan Hubble H 75 km/semp Waktu Hubble H 3 milyar tahun 3 Parameter perlambatan q, 4 Ruji saat ini S milyar tahun ahaya 5 Ruji saat ekspansi maksimum S max 9 milyar tahun ahaya 6 Usia saat ini t 7, milyar tahun 7 Waktu Big Bang ekspansi maks. t max 9,5 milyar tahun 8 Waktu Big Bang Big Crunh t max 59 milyar tahun 9 Volume saat ini 3 π, 79 m 3 S Rapat energi saat ini ρ,5 6 kg/m 3 Volume saat ekspansi maksimum Rapat energi saat ekspansi maksimum 3 π max, 8 m 3 S ρ min 5, 7 kg/m 3 3 Sudut pengembangan θ,55π 4 Laju pertambahan ruji saat ini ( ds / dt),85 5 Laju pertambahan volume saat ini 6π S S ɺ,6 6 m 3 /s 6 Massa total materi ρ V 5,6 53 kg 7 Jumlah ekuivalen massa materi m total / m sun,8 8 8 Jumlah ekuivalen massa baryon m total / m proton 3,4 8 9 Horison partikel d H 9 milyar tahun ahaya Horison peristiwa d E 5 milyar tahun ahaya

177 73 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya 6.7 Masa Depan Jagad Raya Bagaimanakah masa depan jagad raya? Apakah akan terus mengembang selamanya ataukah pada akhirnya akan terhenti dan kembali menyusut? Apakah akan terjadi suatu kebalikan Big Bang yaitu semaam Big Crunh (Peniutan Dahsyat), ketika seluruh materi di jagad raya tertarik menuju satu titik, serta radiasi,7 K memanas kembali? Setelah Big Crunh, apakah akan terjadi lagi the New Big Bang yang memulai evolusi jagad raya yang baru? (Krane, 99). Dari telaah pada pasal 3, rapat energi jagad raya yang disumbang oleh galaksi tampak bernilai lebih keil daripada rapat kritis yang memisahkan model jagad terbuka dengan model jagad tertutup. Sementara itu analisis pergeseran merah galaksi menunjukkan model jagad raya tertutup. Manakah yang lebih mendekati fakta? Jika nilai H dan q berturut-turut adalah 75 km/semp dan,, agaknya masih sangat lama bagi jagad raya untuk menapai ekspansi maksimum, terlebih lagi untuk menapai kontraksi akhir. Waktu yang diperlukan untuk keduanya berturut-turut adalah 3 dan 5 milyar tahun. Dalam kaitannya dengan alam, pertanyaan yang ukup mendasar adalah tentang adanya peradaban lain di jagad ini. Apakah manusia hanyalah satu-satunya makhluk beradab di jagad yang amat luas dan hampir kosong ini yang menempati bumi yang tak istimewa? Ataukah jagad raya penuh berisi bentuk-bentuk kehidupan lain di luar jangkauan pemikiran manusia? Apapun jawaban untuk keduanya sama-sama menimbulkan rasa kagum, takut dan takjub. Demikian pula masa depan jagad raya ini telah memiliki dua kemungkinan yang sama-sama menimbulkan rasa takut dan kagum. () Jagad raya akan mengembang selamanya, semua bintang dan galaksi akan menggunakan seluruh energinya sampai habis hingga menjadi lubang hitam. Seluruh proton akan meluruh menjadi antilepton. Jagad raya akan menjadi dingin dan gelap, serta seluruh kehidupan berakhir. () Ekspansi jagad raya akan berhenti yang diikuti dengan penyusutan gravitasi, serta seluruh jagad raya luluh menjadi satu titik. Mungkin akan terbentuk jagad raya yang baru dengan hukum-hukum alam yang berbeda. Tidak ada yang

178 74 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya mengetahui kapan dan bagaimana peristiwa itu akan terjadi, keuali Tuhan yang telah meniptakan jagad raya ini.

179 75 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya Soal-Soal Latihan BAB VI. Tunjukkan bahwa metrik Robertson Walker dapat dinyatakan dalam bentuk ds S [ du u ( d sin d )] θ θ φ ku / 4 melalui persamaan transformasi u r. ku / 4 dt. Tunjukkan bahwa metrik de Sitter ds A exp( HT )( dr r dθ r sin θ dφ ) dt dapat ditransformasi ke bentuk ds du u ( dθ sin θ dφ ) H u / melalui persamaan transformasi u exp( HT ) r, A H u / ( H ln( H u / ) t T. H u / ) dt 3. Tunjukkan bahwa untuk seluruh model Friedmann dengan Λ p, jarak galaksi dengan pergeseran merah z diberikan oleh [ q z ( q )( qz )] d. H q 4. Tunjukkan bahwa jika Λ tidak lenyap dalam model Friedmann, maka S (t) memenuhi SSɺ 3 ( D ks ΛS / 3)

180 76 Kosmologi : Dinamika Jagad Raya dengan D adalah parameter rapat materi yang didefinisikan oleh persamaan 3 κ ρs 3D. Tunjukkan bahwa untuk kasus khusus k, D akan menghasilkan jagad raya de Sitter. 5. Suatu jagad raya yang berisi radiasi berapat energi U memiliki persamaan keadaan Tunjukkan bahwa SS ɺ S ɺ k ΛS κ US 3, ɺ. 3( S k ) ΛS κ US S Sɺ ( D ks 3 4 ΛS ) dengan D adalah parameter rapat energi yang didefinisikan oleh persamaan 4 3D κus. 6. Untuk jagad raya yang berisi radiasi, jika k, Λ 3 / 4D dan S pada t, tunjukkan bahwa pada sembarang t berlaku S D[ exp( t / D)]. Jika S D pada t, tunjukkan bahwa jagad raya tersebut statik tetapi tidak stabil.

181 77 Dinamika Gerak Partikel dan Foton BAB VII DINAMIKA GERAK PARTIKEL DAN FOTON Selama beberapa abad sejak kemunulannya di abad ke 7, gravitasi Newton menjadi hukum yang melandasi dan mendeskripsikan gerak benda benda yang terikat dalam interaksi gravitasi. Keakuratannya untuk menganalisis dinamika gerak benda langit misalnya, tak diragukan lagi. Namun, ada beberapa gejala yang tak mampu dijelaskan dengan gravitasi Newton, seperti presesi orbit planet di sekitar matahari (sebagai benda massif), pembelokan ahaya ketika melewati benda massif (misalnya ahaya bintang yang lewat di sekitar matahari) dan sebagainya (Bose, 98) Teori relativitas umum yang dirumuskan oleh Einstein pada tahun 95 dalam bentuk teori gravitasi Einstein ternyata mampu menerangkan fenomena tersebut. Teori ini menyempurnakan gravitasi Newton dengan memasukkan efek kelengkungan ruang waktu akibat hadirnya materi di dalamnya. Gravitasi Newton merupakan bentuk khusus dari gravitasi Einstein untuk medan gravitasi lemah (Lawden, 98). Persamaan gravitasi Einstein dirumuskan dalam bentuk persamaan tensor. Jika dinamika sistem ingin diselidiki melalui persamaan ini, mula mula metrik ruang waktu sistem tersebut dirumuskan sehingga diperoleh nilai tensor metrik. Selanjutnya nilai komponen simbol Christoffel, tensor Rii dan skalar kelengkungan dapat ditentukan. Selain itu, tensor energi momentum dalam sistem tersebut harus dirumuskan pula. Pada akhirnya semua nilai tersebut diisikan ke dalam persamaan gravitasi Einstein lalu diselesaikan. Kasus yang dapat diselesaikan seara analitik harus memiliki persyaratan simetri ruang waktu misalnya penempatan materi statik bermassa M di pusat koordinat. Untuk sistem ini, Shwarszhild menemukan penyelesaian berupa metrik Shwarszhild (Misner dkk, 973). Untuk objek bermassa M massif, terdapat besaran ruji Shwarszhild R s GM /. Dari metrik tersebut, dapat diturunkan

182 78 Dinamika Gerak Partikel dan Foton konsep lubang hitam yang dibatasi oleh horison peristiwa, dimana setiap partikel/foton yang berada di dalam horison peristiwa tidak dapat keluar darinya. Belakangan ditemukan salah satu sifat lubang hitam yang ternyata dapat melepaskan sebagian materi, jika konsep kuantum diisikan ke dalamnya (Hawking, 974). Yang jelas, lubang hitam telah menjadi salah satu objek fisis dan matematis yang memaning rasa keingintahuan orang untuk mengetahui karakteristiknya lebih dalam. Pada bab ini dikaji berbagai perilaku gerak foton dan partikel (yang bermassa jauh lebih keil dari massa lubang hitam Shwarszhild) di sekitar lubang hitam Shwarszhild. 7. PERSAMAAN GRAVITASI EINSTEIN Persamaan gravitasi Einstein (Weinberg, 97) dirumuskan sebagai 4 R ( / ) g R (8 πg / ) T ν ν ν (7.) dengan R ν tensor Rii kovarian rank, g ν tensor metrik kovarian rank, R skalar kelengkungan, G tetapan gravitasi universal, laju ahaya di ruang hampa dan T ν tensor energi momentum kovarian rank. Penyelesaian persamaan gravitasi Einstein untuk objek partikel statik bermassa M yang diletakkan di pusat koordinat (,,) dalam koordinat ruang waktu 4 dimensi x ( x, x, x, x ) ( t, r, θ, φ) adalah metrik (elemen garis) Shwarszhild yang berbentuk (Lawden, 98) dengan ( m / r) dt ( m / r) dr r ( dθ sin θ dφ ) ds ds kuadrat elemen garis, dan m GM/. 3. (7.) Dari metrik (7.) di atas diperoleh komponen tensor metrik kovarian rank- sebagai berikut : g ( m / ), r ( m / r) g, r 33 r g, g sinθ

183 79 Dinamika Gerak Partikel dan Foton dan g untuk ν. (7.3) ν 7. PERSAMAAN GEODESIK Dinamika partikel bermassa (dengan massa partikel m p <<< M) yang bergerak jatuh bebas di dalam ruang lengkung mematuhi persamaan geodesik d ds yang dapat diubah bentuknya menjadi x Γ αβ α dx ds β dx ds (7.4a) d ds ν dx g α β αβ dx dx g ν. (7.4b) ds x ds ds Dinamika gerak untuk foton dapat diperoleh dengan mengisikan ds pada metrik ruang-waktu. 7.3 DINAMIKA GERAK PARTIKEL DALAM MEDAN SCHWARZSCHILD Dengan menggunakan persamaan (7.4b) untuk tensor metrik kovarian rank yang terdapat pada persamaan (7.3), diperoleh set persamaan geodesik partikel di ruang waktu tersebut yaitu : d ds r r m dr ds m ( r m) dr ds r dθ ds r sin θ dφ ds m r dt ds, (7.5a) d ds r dθ r ds dφ sinθ osθ ds, (7.5b) d ds r sin dφ θ, (7.5) ds dan d ds r m r dt ds. (7.5d) Persamaan metrik ds g ν ν dx dx (7.6a)

184 8 Dinamika Gerak Partikel dan Foton dapat dituliskan sebagai sehingga persamaan (7.) menjadi ν dx dx g ν, (7.6b) ds ds r dr r m ds r dθ ds sin θ dφ ds ( r m) r dt ds. (7.7) Dalam rangka mengolah persamaan (7.5) lebih lanjut, selanjutnya diintroduksikan kaitan antara s elemen garis dengan τ waktu pribadi yang dirumuskan sebagai (Lawden, 98) ds dτ. (7.8) Dengan kaitan ini, persamaan (7.5a), (7.5b), (7.5) dan (7.5d) dapat dilakukan substitusi sehingga diperoleh hasil : untuk persamaan tersebut, bentuknya tetap setelah melalui penggantian s τ. Sedangkan persamaan (7.7) berubah sedikit menjadi : r dr r m dτ r dθ dτ sin dφ θ dτ ( r m) dt r dτ. (7.9) Ditinjau partikel yang jatuh bebas pada daerah r > m seara radial dengan θ dan φ konstan, yang berarti d θ dφ. Persamaan (7.5d) di atas dapat dituliskan menjadi dt / dτ kr /( r m), (7.) dengan k merupakan suatu suatu tetapan. Jika kita mengambil keadaan awal saat t, r R > m dan dr / dt t u dengan u <, akhirnya diperoleh dr dt ( r m) (m ( R r)( R m) r 3 ( R m) 3 u R 3 ( r m)). (7.) Selanjutnya pengintegralan persamaan (7.) di atas menghasilkan

185 8 Dinamika Gerak Partikel dan Foton t r 3 / 3 / r ( R m) dr dt t m)} 3 t r R ( r m){m ( R r)( R m) u R ( r /. (7.) Terlihat dari integral (7.) di atas, jika batas atas integrasi r m, maka t. Hal ini mengindikasikan bahwa rentang waktu t digelar menuju takhingga. Untuk kasus khusus dimana partikel dilepaskan dalam keadaan rehat (u ), persamaan (7.) tereduksi menjadi ( dr / dt) m ( m / R) ( m / r) ( r R ), (7.3) atau dr / dt ± m /( m / R)( m / r) (/ r / R). (7.4) Dari persamaan (7.4), nilai dr / dt bergantung pada suku ( m / r) dan ( / r / R), karena m /( m / R) > untuk R > m. Untuk suku ( m / r), nilai r dapat bernilai sembarang, sehingga keadaan dr / dt ditentukan oleh suku ( / r / R). Pada suku terakhir ini, agar nilai di dalam akar tidak menjadi imaginer, haruslah dipenuhi syarat ( / r / R) > atau r < R. Hal ini berarti jarak radial partikel tersebut berkurang dengan bertambahnya waktu t. Dari sini dapat ditarik kesimpulan bahwa gerakan partikel tersebut menuju ke arah lubang hitam. Jadi tanda yang diambil pada persamaan (7.4) adalah tanda minus, sehingga lebih tepat dituliskan sebagai dr / dt m /( m / R)( m / r) (/ r / R). (7.5) Penyelesaian persamaan (7.5) adalah R / r dr t ( R / m ). (7.6) / ( r m)( R r) Dari integral (7.6) di atas tampak bahwa nilai t saat r m. Ini berarti dalam koordinat Shwarzshild, partikel tersebut membutuhkan koordinat waktu (t) yang tak terhingga untuk menapai horison peritiwa berupa bola beruji m. r 3/

186 8 Dinamika Gerak Partikel dan Foton Kini yang diukur adalah waktu pribadi (τ) partikel tersebut. Jika persamaan (7.) diisikan ke dalam persamaan (7.9) untuk gerak radial, diperoleh r dr r m dτ ( r m) r R{ ( R m) ( R m) 3 u r R } r m atau dr dτ Rr m ( R r)( R m) ( R m) u u R R 3 ( r m). (7.7) Dengan mengisikan syarat batas : persamaan (7.7) memberikan r r R saat τ, R r { ( R m) u R } dr τ. (7.8) 3 / {m ( R r)( R m) u R ( r m)} R / / / Untuk kasus khusus keadaan awal partikel adalah keadaan rehat (u ), persamaan (7.7) tereduksi menjadi atau ( dr / dτ ) m (/ r / R). (7.9) dr / dτ ± m (/ r / R). (7.) Sama halnya pada telaah untuk nilai dr/dt di atas, agar nilai harus dipenuhi syarat ( / r / R) > atau r < R dr / dτ tidak imaginer yang menunjukkan bahwa gerak partikel tersebut menuju ke arah lubang hitam. Karena itu juga dipilih tanda minus sehingga (7.) menjadi Pengintegralan dengan syarat batas : dr / dτ m (/ r / R). (7.) τ saat r R memberikan hasil dengan 3 ( ρ ρ os (ρ ) ) τ ( R / m), (7.)

187 83 Dinamika Gerak Partikel dan Foton ρ r / R dan nilai invers osinus dapat diambil untuk kuadran satu atau dua. τ adalah waktu yang dihitung oleh jam yang ikut bergerak bersama partikel. Berbeda dengan nilai t, ternyata nilai τ tetap berhingga, walaupun r m. 7.4 DINAMIKA GERAK FOTON DALAM BIDANG DATAR MEDAN SCHWARZSCHILD Selanjutnya ditinjau gerak foton khusus pada bidang datar dengan θ π /. Untuk gerakan demikian, metrik Shwarszhild (7.) menjadi ( m / r) dt ( m / r) dr r dφ ds Lambang Christoffel dirumuskan sebagai (Weinberg, 97) αβ Γ Untuk metrik pada persamaan (7.3) digunakan lambang (7.3) g βν g ν g να αβ g α β ν (7.4) x x x x t, x r dan x φ, maka nilai lambang Christoffel yang tak lenyap adalah Γ Γ Γ ( m / r) mr, Γ m( m / r) r, r Γ r( m / ), Γ Γ r. (7.5) Dengan menggunakan persamaan geodesik (7.4a), diperoleh set persamaan d ds t Γ dt dr ds ds (7.6a) d ds r Γ dt ds Γ dr ds Γ dφ ds (7.6b) d φ ds Γ dφ dr (7.6) ds ds Selanjutnya ditinjau kurva orbit foton di sekitar lubang hitam dengan r r konstan. Dalam rangka melihat dinamika gerak yang berhubungan dengan swawaktu, dilakukan substitusi s τ, yang selanjutnya persamaan (7.6a), (7.6b) dan (7.6) memberikan

188 84 Dinamika Gerak Partikel dan Foton d dτ t (7.7a) Γ dt dφ Γ dτ dτ (7.7b) d φ dτ Penyelesaian persamaan (7.7a) dan (7.7) adalah (7.7) t k τ k (7.8a) dan φ k τ (7.8b) 3 k 4 dengan tetapan (7.7b) memberikan k i adalah tetapan sembarang. Akhirnya untuk dφ ± dt 3 m /(r ) r > Rs, persamaan Mengingat kaitan (7.8), bentuk metrik dapat dipakai untuk mendapatkan ν ν d (7.9) τ g dx dx ( m / r ) dt ( r ) φ (7.3) yang dengan menggunakan persamaan (7.9) diperoleh τ ( m / r ) m / r dt 3m / r t. (7.3) Untuk foton, τ, mengingat swawaktu foton, yang berarti lintasan gerak foton tersebut adalah lingkaran dengan ruji atau r 3m. Persamaan (7.6) dapat dituliskan menjadi yang berarti d ( r dφ / dτ ) / dτ r dφ / dτ konstan L (7.3) dengan tetapan L adalah momentum sudut partikel per satuan massa lubang hitam. Selain tetapan L tersebut terdapat tetapan lain yang dapat diperoleh dengan menuliskan persamaan (7.6a) sebagai d [( m / r)( dt / dτ )]/ dτ

189 85 Dinamika Gerak Partikel dan Foton dengan tetapan [( m / r)( dt / dτ )] konstan E (7.33) E dapat diartikan sebagai energi total partikel (menakup energi potensial gravitasi) per satuan massa lubang hitam. Dengan menggunakan dua tetapan di atas, persamaan (7.3) untuk ds dapat dinyatakan sebagai ( E) ( dr / dτ ) ( L / r) ( m / r) (7.34) Persamaan (7.34) di atas dapat dibaa sebagai persamaan gerak partikel dengan total energi sama dengan dimensi sebesar ) (E yang bergerak dalam potensial efektif satu V ( r) ( L / r) ( m / r ). (7.35) Nilai ekstrem (maksimum) potensial tersebut didapat melalui atau dv dr L r 3 L m ( m / r) 4 r yang mana nilai r tersebut tak gayut terhadap L. r 3m (7.36) 7.5 DINAMIKA GERAK FOTON SECARA RADIAL DALAM MEDAN SCHWARZSCHILD Selanjutnya untuk gerak foton ( d τ ) seara radial ( d θ dφ ), dari persamaan (7.3) diperoleh atau ( m / r) dt ( m / r) dr dr / dt ( m / r). (7.37) Nilai dr / dt dapat dikatakan sebagai laju foton pada daerah di sekitar lubang hitam. Tampak dari persamaan (7.37) di atas bahwa untuk daerah di luar lubang hitam ( r > m), nilai laju foton selalu kurang dari. Bahkan saat foton tepat berada di horison peristiwa r m, laju foton tepat sama dengan nol. Ini berarti ketika horison peristiwa berimpit dengan foton yang tepat gagal melepaskan diri dari lubang hitam (pada r m ). Dari persamaan (7.37) disimpulkan bahwa nilai laju

190 86 Dinamika Gerak Partikel dan Foton foton hanya sama dengan ketika foton berada di tempat jauh tak berhingga r, (arti fisisnya : pengaruh lubang hitam tidak mengenai foton tersebut) atau jika lubang hitam tersebut dilenyapkan ( m ) dengan arti fisis : ruang waktu menjadi datar (Minkowski) sehingga laju foton di sembarang tempat. 7.6 DINAMIKA GERAK PARTIKEL DAN FOTON DALAM JAGAD RAYA BERMETRIK ROBERTSON-WALKER Pada tinjauan klasik (non-kuantum), deskripsi jagad raya diperoleh melalui solusi persamaan gravitasi Einstein. Persamaan ini dirumuskan dalam bentuk persamaan tensor. Jika dinamika sistem ingin diselidiki melalui persamaan ini, mula mula metrik ruang waktu sistem tersebut dirumuskan sehingga diperoleh nilai tensor metrik. Selanjutnya nilai komponen simbol Christoffel, tensor Rii dan skalar kelengkungan dapat ditentukan. Selain itu, tensor energi momentum dalam sistem tersebut harus dirumuskan pula. Pada akhirnya semua nilai tersebut diisikan ke dalam persamaan gravitasi Einstein lalu diselesaikan. Karena tensor yang terlibat adalah tensor rank, maka untuk sistem ruang waktu 4 dimensi terdapat 6 komponen penyelesaian. Namun tensor metrik sistem biasanya bersifat simetri sehingga 6 komponen penyelesaian tersebut tereduksi menjadi komponen. Lebih khusus lagi, jika tensor metrik g ν bernilai tak lenyap hanya untuk ν, penyelesaian persamaan itu hanya berisi 4 komponen saja. Akan tetapi di dalam 4 komponen penyelesaian tersebut biasanya berisi suku persamaan diferensial orde yang tak linier sehingga banyak kasus sulit diselesaikan seara analitik. Kasus yang dapat diselesaikan seara analitik harus memiliki persyaratan simetri ruang waktu. Akan dikaji gerak foton dan partikel bermassa di dalam jagad raya yang bermetrik Robertson Walker. Dalam konteks teori relativitas umum, gerak foton dapat ditinjau dengan nolnya selang waktu pribadi yang dimilikinya. Sedangkan gerak partikel dapat ditelaah dengan menggunakan persamaan geodesik untuk gerak jatuh bebas. Persamaan geodesik yang digunakan untuk menelaah gerakan partikel berbentuk persamaan diferensial non linear orde yang menggabungkan beberapa

191 87 Dinamika Gerak Partikel dan Foton observabel, seperti empat koordinat polar (r, t, θ, φ), parameter k yang menentukan jenis kelengkungan ruang, faktor jarak S dan elemen garis s. 7.7 SOLUSI PERSAMAAN EINSTEIN UNTUK JAGAD RAYA Persamaan gravitasi Einstein dirumuskan sebagai (Weinberg, 97) R ( / ) g R g 8 GT (7.38) ν ν Λ ν π Laju ahaya di ruang hampa telah dipasang pada nilai. Penyelesaian persamaan (7.38) untuk objek jagad raya bermetrik Robertson- Walker adalah dua buah persamaan diferensial (Anugraha, 997) dan dengan : ( ds / dt) k ( Λ / 3) S (8 / 3) πgρs (7.39) S( d S / dt ) ( ds / dt) k ΛS 8πGpS. (7.4) Metrik Robertson-Walker itu sendiri dirumuskan sebagai (Weinberg, 97) ν ν d d τ g dx dx dt S dr /( kr ) r ( dθ sin θ φ ) (7.4) d τ kuadrat swa-waktu, S faktor skala jagad raya, dan k tetapan kelengkungan ruang yang dapat bernilai, atau. Untuk merumuskan tensor metrik di atas telah digunakan prinsip kosmologi (osmologial priniple) yang menyatakan bahwa setiap pengamat (galaksi) memiliki kedudukan yang sama. Tidak ada pengamat yang memiliki kedudukan yang istimewa di jagad raya. Dari metrik (7.4) di atas diperoleh nilai-nilai tensor metrik ν g, g S /( kr ), g r 33 r, g sinθ dan g untuk ν. (7.4) ν Untuk memperoleh hasil persamaan (7.39) dan (7.4) telah diasumsikan jagad raya bersifat homogen isotrop dengan gas galaksi seperti fluida sempurna (perfet fluid) dengan tensor energi-momentum kovarian rank- yang bersangkutan adalah T ν ν ( ρ p) V Vν g p (7.43) dan keepatan-4 kovarian gas yang ikut bergerak bersama pengamat di dalam kerangka Robertson-Walker adalah

192 88 Dinamika Gerak Partikel dan Foton V (, ). (7.44) Dinamika partikel bermassa yang bergerak jatuh bebas di dalam ruang lengkung mematuhi persamaan geodesik (Lawden, 98) ν α β d dx gαβ dx dx g ν. (7.45) dτ dτ x dτ dτ Adapun dinamika gerak foton dapat diperoleh dengan mengisikan ds pada metrik tersebut. 7.8 DINAMIKA GERAK PARTIKEL DALAM JAGAD RAYA Disajikan 3 model jagad raya untuk mana dinamika gerakan partikel dan foton akan ditelaah. Ketiga model jagad raya tersebut sebagai bagian dari penyelesaian persamaan (7.39) dan (7.4) yang mungkin adalah sebagai berikut (Anugraha, 997).. Model debu (Λ dan p ) dengan k Pada model ini, sifat jagad raya adalah datar (flat) tak bertekanan, dimana perubahan faktor skala sebagai fungsi waktu adalah / 3 (( 3/ ) H t) S S (7.46) dengan S faktor skala jagad raya, t usia jagad raya, dan H tetapan Hubble.. Model Einstein Pada model ini nilai faktor skala adalah dengan S faktor skala jagad raya. 3. Model de Sitter S konstan (7.47) Pada model ini nilai H sebagai salah satu papameter jagad raya selalu konstan setiap saat sehingga penyelesaian persamaan gravitasi Einstein untuk faktor skala kosmik sebagai fungsi waktu t adalah S S exp( Ht) (7.48) dengan S faktor skala jagad raya, t umur jagad raya, dan H tetapan Hubble.. Model debu (Λ dan p ) dengan k

193 Dinamika Gerak Partikel dan Foton 89 Kini ditinjau gerakan partikel seara jatuh bebas di jagad raya bermodel debu datar. Pada model ini jagad raya bersifat datar (flat) dengan kelengkungan ruang sama dengan nol. Akan ditinjau dua jenis gerakan partikel pada jagad raya model ini yaitu gerakan radial (r sebagai fungsi t) dan sudut polar φ sebagai fungsi t. Dari persamaan (7.46) dengan menurunkan S ke t diperoleh 3 / ) / 3 ( t H H S dt ds. (7.49) Dengan mengisikan,,, 3, ke dalam persamaan (7.45), diperoleh set persamaan geodesik sebagai berikut. 33 τ φ τ θ τ τ τ d d t g d d t g d dr t g d dt g d d atau sin ) / (3 3 / τ φ θ τ θ τ τ d d r d d r d dr t H H S d t d (7.5) 33 τ φ τ θ τ τ d d r g d d r g d dr g d d atau sin τ φ θ τ θ τ τ d d r S d d r S d dr S d d (7.5) 33 τ φ θ τ θ τ d d g d d g d d atau os sin τ φ θ θ τ θ τ d d r S d d r S d d (7.5) 3 sin 33 τ φ θ τ τ φ τ d d r S d d d d g d d (7.53) Ditinjau gerakan partikel seara radial sehingga φ θ d d. Persamaan (7.5) dan (7.5) tereduksi ke bentuk

194 9 Dinamika Gerak Partikel dan Foton dan Dari persamaan (7.55) maka d t / 3 dr SH (3H t / ) dτ dτ (7.54) d dr S. (7.55) dτ dτ dr A dτ S S H A ( 3H t / ) Jika bentuk di atas dibawa ke persamaan (7.54) diperoleh 4 / 3. (7.56) d dτ t t B 7 / 3 (7.57) dengan Melalui substitusi maka 3 3 A B. (7.58) 7 / 3 S H ( 3H / ) p dt dτ d dτ t dp p dt sehingga persamaan (7.57) dapat dituliskan menjadi 7 / 3 pdp Bt dt. Dengan melalukan pengintegralan diperoleh 4 / 3 dt dτ 3B t C (7.59) atau dt dτ 3B t 4 / 3 C (7.6) dengan C tetapan integrasi.

195 9 Dinamika Gerak Partikel dan Foton Persamaan (7.6) di atas dapat diatur sebagai dt τ. (7.6) 3B C 4 / 3 t Persamaan (7.6) di atas menyatakan hubungan antara waktu pribadi partikel yang bergerak jatuh bebas dengan waktu koordinatnya. Sayangnya, integral pada persamaan di atas sulit diselesaikan seara analitik, sehingga diperlukan komputasi numerik. Keuali jika pada integral (7.6) di atas diambil nilai C maka integral di atas dapat diselesaikan yaitu / 3 3 / 8 / 3 / 3 3(3/ ) S H 5 / 3 τ t dt t konstanta (7.6) 3B 5A Jika hasil (7.6) diisikan ke persamaan (7.5) diperoleh 3 dt dr B 4 / 3 t C S H At 4 / 3 ( 3H / ) 4 / 3 atau r S H A (3H / ) 4 / 3 t 3B t 4 / 3 dt 4 / 3 C (7.63) yang juga sulit diselesaikan seara analitik jika C. Jika dipilih C maka penyelesaian analitik persamaan di atas adalah A r dt 3 BS 8 t 3 4 3S H t / 3 4 / 3 H (3H / ) / 6 konstanta. (7.64) Persamaan (7.63) maupun (7.64) sama-sama menyatakan hubungan antara koordinat r dalam jagad raya dengan model di atas sebagai fungsi waktu koordinatnya (t). Selanjutnya ditinjau gerakan pada r konstan r pada bidang planar θ π /. Persamaan (7.5), (7.5) dan (7.53) tereduksi ke bentuk

196 9 Dinamika Gerak Partikel dan Foton d dτ t S H r (3H / ) / 3 / 3 t dφ dτ (7.65) dφ S r (7.66) dτ d φ dτ A S. (7.67) Untuk penyelesaian dengan memperhitungkan persamaan (7.66) terlebih dahulu, diperoleh nilai φ konstanta sehingga nilai tetapan A, dan dari persamaan (7.65) : t τ konstanta. Namun jika hanya diperhitungkan set persamaan (7.65) dan (7.67) maka kalau hasil (7.67) diisikan ke (7.65) akan diperoleh d dτ t ( / 3) S 7 / 3 r 3 4 / 3 H A t 7 / 3 d t dτ D t 7 / 3. (7.68) Bentuk persamaan di atas mirip dengan persamaan (7.57) sehingga dengan model penyelesaian yang sama akan diperoleh 4 / 3 dt dτ 3D t C (7.69) atau dengan C tetapan integrasi. dt dτ 3D t Persamaan di atas dapat diatur sebagai 4 / 3 C (7.7) dt τ. (7.7) 3D C 4 / 3 t Lagi-lagi integral pada persamaan (7.7) di atas sulit diselesaikan seara analitik, sehingga diperlukan komputasi numerik. Keuali jika pada integral (7.34) di atas diambil nilai C maka integral di atas dapat diselesaikan yaitu / 3 3/ / 3 3(3/ ) S H 5 / 3 τ t dt t konstanta (7.7) 3D 5Ar / 3

197 93 Dinamika Gerak Partikel dan Foton Selanjutnya dengan mengisikan (7.7) ke (7.67) diperoleh dφ dt dφ dt dτ dt 3D t 4 / 3 C A atau S 4 / 3 ( 3H t / ) 4 / 3 A t dt φ konstanta (7.73) 4 / 3 S (3H / ) 3D 4 / 3 t C yang juga sulit diselesaikan seara analitik, keuali jika telah dipilih nilai tetapan integrasi C. Untuk kasus pemilihan tetapan C maka / 6 44 t φ konstanta (7.74) S H r Persamaan (7.74) di atas menyatakan hubungan antara sudut polar φ sebagai fungsi waktu t untuk partikel yang bergerak pada r konstan di bidang planar. Dari dua model gerakan di atas masing-masing untuk r dan φ sebagai fungsi t, ternyata diperoleh penyelesaian yang serupa yaitu keduanya sebagai fungsi. Model Einstein / 3 t. Dari persamaan geodesik (7.65) dan nilai tensor metrik pada persamaan (7.4), jika diisikan maka Jika diisikan diperoleh d dt g atau dτ dτ dt A konstanta (7.75) dτ kr d dτ r kr ( kr ) dr dτ dθ r dτ r sin dφ θ dτ (7.76) Untuk diperoleh d θ dr dθ dφ r r r sinθ osθ (7.77) dτ dτ dτ dτ Sedangkan untuk 3 diperoleh d φ B (7.78) dτ r sin θ

198 94 Dinamika Gerak Partikel dan Foton dengan B konstanta. Sekarang ditinjau gerakan radial sehingga d θ dφ. Persamaan (7.77) dan (7.78) berturut-turut menyatakan dan B. Persamaan (7.76) menjadi Dengan mengisikan (7.75) ke (7.79) diperoleh menjadi Dilakukan substitusi dengan dua penyelesaian Penyelesaian pertama memberikan nilai d r dr ( kr ) kr (7.79) dτ dτ d r dr ( kr ) kr (7.8) dt dt v dr / dt, maka persamaan (7.8) dapat dituliskan dv v ( kr ) krv (7.8) dr dv kr v dan dr (7.8) v kr r konstan (7.83) sedangkan dari penyelesaian kedua diperoleh untuk ketiga nilai k berturut-turut adalah k v dr / dt C( r ) D exp( Et) r (7.84) D exp( Et) k v r konstan (7.85) k v dr / dt C( r ) r tg( Dt E). (7.86) dengan C, D dan E adalah tetapan integrasi. Jadi penyelesaian untuk jagad raya model Einstein untuk gerakan radial adalah persamaan trayektori persamaan (7.84) (7.86) yang bergantung pada nilai k. 3. Model de Sitter ini adalah Persamaan faktor skala jagad raya sebagai fungsi waktu untuk model de Sitter S S exp( Ht) (7.87)

199 95 Dinamika Gerak Partikel dan Foton Persamaan geodesik yang bersangkutan adalah d t dr HS exp(ht) dτ dτ d dr dθ dφ S S r S r sin θ dτ dτ dτ dτ (7.88) (7.89) d dθ dφ S r S r sinθ osθ dτ dτ dτ 3 dengan B suatu konstanta. (7.9) d φ B (7.9) dτ S r sin θ Kembali ditinjau gerakan radial, sehingga d θ dφ. Untuk jenis gerakan ini, persamaan (7.89) menjadi dr dτ A S (7.9) dengan A suatu tetapan. Dengan mengisikan persamaan (7.9) ke persamaan (7.88) diperoleh dengan Dilakukan substitusi sehingga d t C exp( Ht) dτ AH C. p 4 S dt dτ (7.93) d dτ Persamaan (7.93) dapat dituliskan menjadi yang jika diintegralkan bernilai t dp p. dt pdp C exp( Ht) dt

200 96 Dinamika Gerak Partikel dan Foton atau dt dτ CH exp( Ht) D (7.94) dt dτ. (7.95) CH exp( Ht) D Untuk mengintegralkan persamaan (7.95) di atas dilakukan substitusi u CH exp( Ht) D sehingga t (/ H )(ln[ u D) ln[ CH ]) dan udu dt. H ( u D) Persamaan (7.95) menjadi τ du H D u D u D CH exp( Ht) D ln H D CH exp( Ht) D D konstanta (7.96) D Hasil persamaan (7.94) selanjutnya diisikan ke persamaan (7.9) sehingga dihasilkan atau dr dt A D ( AH / S ) exp( Ht) (7.97) S exp( Ht) A 4 r exp(ht) D ( AH / S ) exp( Ht) dt S yang sulit diselesaikan seara analitik jika D. Namun jika D maka 3 / 4 (7.98) A r exp( Ht) konstanta. (7.99) 4 S Persamaan (7.99) di atas menyatakan hubungan antara r sebagai fungsi t untuk gerakan partikel jatuh bebas dalam jagad raya bermodel de Sitter.

201 97 Dinamika Gerak Partikel dan Foton 7.9 DINAMIKA GERAK FOTON DALAM JAGAD RAYA Kalau pada dinamika partikel, gerakan jatuh bebasnya ditelaah dengan persamaan geodesik, maka tidak demikian pada gerakan foton, mengingat nilai dτ foton. Karena swa-waktu foton bernilai demikian maka gerakannya dikaji dengan mengisikan yang dapat dituliskan sebagai S d τ dari metrik Robertson-Walker pada persamaan (7.4) kr dr dt r dθ dt r sin θ dφ dt. (7.) Dari persamaan (7.) di atas dapat ditelaah gerakan foton baik untuk koordinat r, θ maupun φ sebagai fungsi t untuk model-model jagad raya di atas, bergantung pada perumusan S sebagai fungsi t.. Model debu (Λ dan p ) dengan k Pada model ini ditinjau gerakan radial saja, gerakan sudut polar saja dan gerakan sudut θ saja. Untuk gerakan radial semata, persamaan (7.) tereduksi menjadi yang jika diintegralkan akan menghasilkan / 3 t dt dr (7.) / 3 S ( 3H / ) / 3 (3H / ) 3 / 3 r t konstanta. (7.) S Dengan ara yang sama dapat diperoleh nilai φ sebagai fungsi t untuk gerakan pada r konstan r di bidang planar θ π / yaitu 3 / 3 φ t konstanta. (7.3) S / 3 r (3H / ) Sedangkan nilai θ sebagai fungsi t untuk gerakan pada r konstan r dan φ konstan ternyata serupa dengan persamaan (7.3) yaitu 3 / 3 θ t konstanta. (7.4) S / 3 r (3H / )

202 98 Dinamika Gerak Partikel dan Foton. Model Einstein Untuk model ini, bentuk persamaan gerakannya lebih sederhana lagi karena nilai S yang konstan. Untuk ketiga gerakan foton jatuh bebas seperti halnya pada model debu di atas, diperoleh penyelesaian berturut-turut sebagai berikut :. gerakan radial k r sin( t / S C) (7.5) k r t / S C (7.6) k r tg( t / S C) (7.7). gerakan θ untuk ketiga nilai k θ t /( Sr ) C (7.8) 3. gerakan φ untuk ketiga nilai k φ t /( Sr ) C (7.9) Untuk semua persamaan pada model ini, C adalah tetapan integrasi. 7. DINAMIKA METRIK DE SITTER Untuk menelaah ruang de Sitter, pertama kali dirumuskan metrik ruang waktu de Sitter sebagai (Lawden, 98) ν ds g ν dx dx dr ( r / R ) dt r ( dθ sin θ dφ ). (7.) r / R dengan R konstan. Lambang Christoffel dirumuskan sebagai (Lawden, 98) ν β ( g / x g / x g ) α αβ Γ ν g β νβ ν / x. (7.) Dari nilai-nilai lambang Christoffel, dapat diari nilai tensor Rii R α yang dirumuskan sebagai (Lawden, 98) ν ν Γ ν Γ α ν β ν β R α Γ α ν βα Γν Γ βν Γνα. (7.) x x Untuk menelaah gerakan partikel jatuh bebas, dirumuskan persamaan geodesik lintasan partikel dalam ruang bermetrik sebagai (Lawden, 98)

203 99 Dinamika Gerak Partikel dan Foton β g ν d dx ν dx dx g αβ. (7.3) ds ds α x ds ds Gerakan foton dapat diselidiki dengan mengisikan nilai ds mengingat swawaktunya lenyap. Pada metrik (7.) telah dipilih koordinat 4 yang berbentuk : 3 x ( x, x, x, x ) ( t, r, θ, φ). (7.4) Tampak bahwa koordinat 3 spatial dipilih dalam bentuk koordinat bola. Dari metrik persamaan (7.), nilai komponen tensor metrik kovarian yang tak lenyap adalah : g ( r / R ), g R /( R r ), g r, g 33 r sin θ. (7.5) Adapun nilai g ν untuk ν bernilai lenyap. Nilai komponen tensor metrik dari persamaan (7.5) di atas bersifat simetri. Mengau pada persamaan (7.5) di atas, untuk r R, tensor metrik mengalami singularitas. Sementara itu relasi antara tensor metrik kovarian dan kontravarian adalah β α δ, g αβ g α, (7.6), α Hubungan di atas memungkinkan untuk mendapatkan komponen tensor metrik kontravarian yang tak lenyap dengan nilai-nilai sebagai berikut : g R /( r R ), g ( r / R ), g / r, g 33 /( r sin θ ). (7.7) Sama halnya dengan tensor metrik kovarian, nilai tensor metrik kontravarian juga bersifat simetri. Demikian pula tensor metrik kontravarian mengalami simgularitas untuk r dan r R. Langkah selanjutnya, dari nilai tensor metrik yang tertera pada persamaan (7.5) dan (7.7), dapat dihitung nilai-nilai lambang Christoffel yang tak lenyap dengan menggunakan rumus persamaan (7.) sebagai berikut : 4 Γ r( r R ) / R ; Γ Γ r /( r R ) ; r /( R r ) Γ ;

204 Dinamika Gerak Partikel dan Foton Γ r( r R ) / R ; Γ / r Γ ; 33 r sin ( r R ) / Γ θ R ; Γ Γ / r ; Γ (/ )sin θ ; Γ Γ otθ. (7.8) Jika diamati, beberapa lambang Christoffel menuju tak hingga untuk r, r R serta θ nπ dengan n bilangan bulat. Nilai-nilai lambang Christoffel yang terdapat pada persamaan (7.8) di atas selanjutnya sapat digunakan untuk menghitung komponen simetri tensor Rii memanfaatkan persamaan (7.) sebagai berikut : R 3( R r R 4 Untuk r R, nilai ) ; R 3 ; 33 R sin θ r R R 3 sin r θ R. (7.9) R, sementara R dan R 33 lenyap untuk r. Akhirnya, skalar kelengkungan R dapat ditentukan menggunakan tensor metrik kontravarian pada persamaan (7.7) dan tensor Rii pada persamaan (7.9) dengan nilai g ν R Rν. (7.) R Sesuai sifatnya, skalar kelengkungan di atas bernilai konstan, bukan merupakan fungsi variabel koordinat. 7. DINAMIKA GERAK FOTON DALAM METRIK DE SITTER Ditinjau gerak foton untuk mana swa waktunya lenyap, atau dσ ds, (7.) sehingga metrik de Sitter pada persamaan (7.) untuk gerak foton menjadi ( r R ) dt R dr r ( dθ sin θ dφ ). (7.) R R r Akan diambil kasus khusus : pada t, foton berada di r r dan selanjutnya bergerak keluar sepanjang garis lurus seara radial dengan θ konstan dan φ konstan. Ini menyebabkan d θ dφ sehingga persamaan (7.) menjadi

205 Dinamika Gerak Partikel dan Foton dr dt ( R R r 4 ). (7.3) Jika diambil akar positif (mengingat untuk t positif, r bergerak keluar) diperoleh Pengintegralan menghasilkan R dr r dt. (7.4) R R r t ln k, (7.5) R R r R dengan k tetapan integrasi. Dengan mengingat syarat batas : r ( t ) r, untuk mana r < R memberikan k R r sehingga persamaan (7.5) dapat dituliskan dalam bentuk ln, (7.6) R R r R ( R r)( R r ) t ln. (7.7) ( R r)( R r ) Untuk bentuk khusus : r, persamaan di atas menjadi R R t ln R r r. (7.8) Persamaan di atas menunjukkan bahwa nilai t hanya valid untuk daerah Untuk r < R. r R maka t. Persamaan (7.8) dapat dinyatakan dalam ungkapan exp(t / R) r R. (7.9) exp(t / R) Selanjutnya diambil kasus khusus : foton bergerak dengan r r konstan dan φ konstan sehingga persamaan (7.) dapat dituliskan dθ dt Jika diambil akar positifnya, diperoleh ( R r r R ) konstan. (7.3) R r dθ dt, (7.3) r R

206 Dinamika Gerak Partikel dan Foton sehingga untuk syarat batas : θ ( t ) θ dihasilkan R r θ ( t) θ t. (7.3) r R Gerakan foton pada kasus ini adalah berupa gerakan azimut melingkar pada r r konstan dengan keepatan sudut azimut konstan sebesar / R)( R ) ( / r r. Pada gerakan ini perlu diberikan pembatasan bahwa r keepatan sudutnya tidak tak hingga, juga r R agar keepatan sudutnya tidak lenyap. Ini berarti, syarat gerakan melingkar stabil terletak pada daerah r r < R. < Demikian pula untuk gerakan foton polar dengan r r konstan dan θ θ konstan yang menyebabkan persamaan (7.) memiliki ungkapan dφ R r konstan. (7.33) dt r sinθ R Pengintegralan dengan syarat batas φ ( t ) φ memberikan R r φ( t) φ t. (7.34) r sinθ R Mirip dengan gerakan foton seara azimut di atas, pada gerakan foton polar ini, syarat agar gerakan stabil adalah r, r R, θ dan θ π. Keepatan sudut polar gerak foton ini bernilai konstan / sin R)( R ) ( / r θ r. 7. DINAMIKA GERAK PARTIKEL DALAM METRIK DE SITTER Selanjutnya ditelaah persamaan geodesik lintasan partikel di dalam metrik de Sitter. Metrik (7.) dapat ditulis dalam bentuk r R R dt ds R R r dr ds r sin. (7.35) dθ ds θ dφ ds Dengan menggunakan persamaan geodesik (7.3) maka diperoleh set persamaan diferensial berikut :

207 3 Dinamika Gerak Partikel dan Foton dt ds k R, (7.36) ( r R ) d R dr r R dt R dr ds R r ds r R ds r R r ds r d ds dengan k dan l tetapan integrasi. r ( r ) dθ ds d ds θ dφ ( r sin θ ), (7.37) θ r ds dφ ( r sin θ ) ds. (7.38) d φ l. (7.39) ds r sin θ Ditinjau gerakan partikel seara radial, sehingga d θ dφ. Persamaan (7.35) tereduksi ke bentuk Dengan mengisikan nilai atas, diperoleh r R dt R dr. (7.4) R ds R r ds dt / ds dari persamaan (7.36) ke persamaan (7.4) di r k R R R R r k ( r R 4 R ) dr dt, (7.4) yang jika disederhanakan menjadi dr dt [( k ) R k r R 6 ][ R r Dari persamaan di atas, diambil akar positif yang memberikan ungkapan ]. (7.4) dr dt. (7.43) / 3 [ r R ][ r ( k ) R ] kr Ruas kiri persamaan di atas dapat diintegralkan dengan menggunakan rumus (Abramowitz dkk, 965) untuk b > ad

208 4 Dinamika Gerak Partikel dan Foton / / dx [ b( x d)] x( b ad) ln / / / / ( ax b)( x d) [ b( b ad)] [ b( x d)] x( b ad) (7.44) sehingga pengintegralan persamaan (7.43) memberikan ln kr ( k ( k ) R ) R r r kr kr t K, (7.45) 3 kr dengan K tetapan integrasi. Untuk syarat batas, misalnya r ( t ) diperoleh K sehingga t R ln ( k ) R r ( k ) R r kr kr. (7.46) Dari persamaan di atas, terdapat syarat : r R k agar nilai di dalam akar tidak negatif serta menjadi r R agar penyebut. Dua syarat tersebut dapat digabung r < R atau R < r < R k. (7.47) 7.3 METRIK DAN JAGAD RAYA DE SITTER Dari metrik de Sitter yang terdapat pada persamaan (7.), dilakukan transformasi dari koordinat 4 ( t, r, θ, φ) ke ( T, σ, θ, φ) melalui substitusi A σ exp(t / R) T Rln R t (7.48) r Aσ exp( T / R) (7.49) dengan A tetapan positif. Melalui transformasi tersebut metrik de Sitter menjadi ds dt A exp(t / R)[ dσ σ ( dθ sin θ dφ )]. (7.5) Bentuk metrik ini sama dengan metrik jagad raya de Sitter yang berasal dari metrik Robertson Walker yang dirumuskan sebagai dσ ds dt S σ ( dθ sin θ dφ ), (7.5) kσ kemudian dengan mengisikan untuk jagad raya de Sitter beberapa nilai berikut :

209 5 Dinamika Gerak Partikel dan Foton S Aexp(Ht) yang berasal dari asumsi bahwa nilai tetapan Hubble H S ( ds / dt) selalu konstan sepanjang waktu T. Selanjutnya diperoleh hubungan H / R. jagad raya bersifat datar (flat) karena tidak memiliki rapat massa ρ maupun tekanan p sehingga nilai tetapan kelengkungan k. Dari kedua asumsi di atas, diperoleh metrik de Sitter. Invers transformasi persamaan (7.48) dan (7.49) adalah r exp( t / R) σ (7.5) / A r R T t Rln r / R. (7.53) 7.4 DINAMIKA GERAK FOTON DALAM JAGAD RAYA DE SITTER Ditinjau sebuah foton yang dilepaskan dari titik ( σ, θ, φ) seara radial ke pusat O pada waktu T dalam jagad raya de Sitter dengan metrik diberikan pada persamaan (7.5). Mengingat untuk foton, swawaktunya lenyap serta gerakannya dipilih bersifat radial, persamaan (7.5) berbentuk dt A exp( T / R) d. (7.54) Karena gerakan foton menuju O, diambil akar negatif dari persamaan di atas sehingga dapat ditulis menjadi Jika diintegralkan σ exp( T / R) dt ( A/ ) dσ. (7.55) atau T exp( T / R) dt T A σ dσ exp( T / R) exp( T / R) ( Aσ / R). (7.56) Dengan menyederhanakan bentuk di atas, diperoleh R ln R. (7.57) T T [ ( Aσ / R)exp( T / )]

210 6 Dinamika Gerak Partikel dan Foton Dari hasil terakhir di atas, selang waktu yang diperlukan menurut pengamat di ruang de Sitter bagi foton untuk menempuh gerakan tersebut adalah R T T T ln[ ( Aσ / R)exp( T / R) ]. (7.58) Untuk nilai di atas, tentu saja harus dipenuhi ( Aσ / R)exp( T / R) > (7.59) atau σ < ( R / A )exp( T / R ). (7.6)

211 7 Dinamika Gerak Partikel dan Foton Soal-Soal Latihan BAB VII. Suatu daerah ruang-waktu memiliki metrik ds dx dy dz x dt. Sebuah partikel pada saat t berada pada posisi (,, ). Jika partikel tersebut dilepaskan dan bergerak jatuh bebas, tunjukkan bahwa ia bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan gerakan x seh t. Sebuah foton dipanarkan dari titik (,, ) pada t pada arah sumbu y positif. Tunjukkan bahwa pada saat tersebut dx / dt dz / dt, dy / dt serta lintasan foton tersebut adalah lingkaran dengan persamaan x y.. Jagad raya de Sitter memiliki metrik ds A dr r ( dθ sin θ dφ ) A dt dengan A r / R dan R tetapan. Saat t, sebuah foton meninggalkan pusat r dan bergerak keluar sepanjang garis lurus dengan θ tetapan dan φ tetapan. Carilah koordinat r pada waktu t dan tunjukkan bahwa r R / saat t ( R ln 3) / serta r R saat t. 3. r,θ, z adalah koordinat kuasi silindris dalam suatu medan gravitasi yang memiliki metrik ds r ( dr dθ ) r( dz dt ). Sebuah partikel diletakkan pada titik r, θ z pada medan tersebut dengan keepatan dr / dt dz / dt, dθ / dt 3 /. Tunjukkan bahwa jika

212 8 Dinamika Gerak Partikel dan Foton partikel tersebut jatuh bebas, ia bergerak pada bidang z antara lingkaran berjari-jari r dan r 3, pertama kali mengenai lingkaran terluar pada θ 3π. Sebuah foton dipanarkan dari titik r, θ z dan bergerak dengan keepatan awal dr / dt dz / dt. Tunjukkan bahwa lintasan foton tersebut berbentuk spiral dengan persamaan pada bidang z. r θ 4 4. Metrik de Sitter dapat dinyatakan dalam bentuk ds exp( t / R)( dx dy dz ) dt dengan R suatu tetapan, dan x, y, z dapat diperlakukan sebagai koordinat Kartesan tegaklurus. Tunjukkan bahwa trayektori partikel jatuh bebas dan foton adalah garis lurus. Sebuah partikel ditempatkan pada pusat saat t dengan keepatan V sepanjang sumbu x positif. Tunjukkan bahwa koordinat x pada waktu t diberikan oleh x ( R / V )[ V ( exp(t / R)]. Sebuah benda pada titik x X di sumbu x memanarkan foton yang bergerak menuju pusat saat t. Tunjukkan bahwa foton tersebut akan tiba di O pada waktu t ( R / ) ln( X / R). 5. r,θ, φ adalah koordinat kuasi kutub bola pada sebuah medan gravitasi yang bersifat simetri bola terhadap pusat r. Metrik ruang waktu adalah ds r dr ( r ) r dt r ( dθ sin θ dφ ). r Sebuah partikel diletakkan pada titik r, θ π /, φ pada waktu t dengan keepatan sedemikian sehingga dr / dt dθ / dt, dφ / dt / 6. Partikel tersebut kemudian bergerak jatuh bebas. Tunjukkan bahwa trayektori

213 9 Dinamika Gerak Partikel dan Foton lintasan partikel tersebut terletak pada bidang θ π / dan memiliki persamaan kutub 5 os( 8 / 3φ) r. 3 os( 8 / 3φ) 6. Carilah persamaan gerakan foton yang bergerak seara radial di dalam bola Shwarzshild dan tunjukkan bahwa foton tersebut bergerak keluar dari pusat O mengambil koordinat waktu t yang tak hingga untuk menapai bola tersebut. Buktikan pula bahwa foton yang bergerak menuju pusat O dari r R < m membutuhkan waktu t T yang diberikan oleh T R m ln( R / m) untuk menapai O. 7. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis radial menuju O dalam daerah r > m. Untuk kondisi awal t, r R, dr / dt, buktikan bahwa dr m m m. dt R r r R Selanjutnya tunjukkan pula bahwa dengan t R m R / R 3/ r dr / r ( r m)( R r) / [ r( R r) ( R 4m) os r / R ] m ln m γ m( R r) γ. r( R m) γ Tunjukkan bahwa t untuk r m. 8. Sebuah foton dipanarkan dari titik r m, θ π /, φ di dalam lubang hitam Shwarzshild dengan keepatan sudut dθ / dt, d φ / dt (3 3) / m.

214 Dinamika Gerak Partikel dan Foton Tunjukkan bahwa keepatan awal diberikan oleh dr / dt ± 7. Pada kasus dimana nilai awal dr / dt adalah negatif, tunjukkan bahwa foton tersebut bergerak pada bidang θ π / dan jatuh ke O sepanjang trayektori dengan α ln 5. 6m r[3oth {( α φ) / } ] 9. r,θ, φ adalah koordinat Shwarzshild. Seorang pengamat tetap pada titik R,θ,φ mengirim sinyal seara radial menuju pusat O. Sinyal dipantulkan oleh sebuah benda keil pada titik r,θ, φ dan kembali ke pengamat. Tunjukkan bahwa waktu antara transmisi dan penangkapan sinyal kembali yang diukur oleh jam standar pengamat adalah m / R R m R r m ln. r m. Sebuah foton dipanarkan dari titik ( r, θ, φ) sepanjang radius menuju pusat pada waktu t dalam jagad raya de Sitter. Tunjukkan bahwa waktu yang diperlukan untuk menapai pusat O adalah ln( ( HAr / ) exp( Ht). H. Dalam ruang dua dimensi dimana metriknya diberikan oleh ds dr r d r a θ r dr ( r a ) (r > a), tunjukkan bahwa persamaan diferensial lintasan geodesik dapat dituliskan dalam bentuk dengan dr a a r k dθ k adalah suatu tetapan, sedemikian sehingga k jika dan hanya jika, geodesik tersebut null. r 4

215 Dinamika Gerak Partikel dan Foton. Didefinisikan koordinat ( r, φ) pada keruut lingkaran yang memiliki sudut setengah vertikal α sehingga metrik permukaan keruut tersebut diberikan oleh sin ds dr r α dφ. Tunjukkan bahwa keluarga lintasan geodesik diberikan oleh dengan r a se( φ sinα β ) α, β adalah tetapan sembarang. 3. Suatu ruang tiga dimensi memiliki metrik ds λ dr r ( dθ sin θ dφ ) dengan λ merupakan fungsi r saja. Tunjukkan bahwa sepanjang lintasan geodesik untuk θ π / serta dθ / ds saat s, berlaku dengan r bseψ. φ λ dψ 4. Jika ruang waktu memiliki metrik ds kx e ( dx dy dz dt ) dengan k tetapan, serta v ( dx / dt) ( dy / dt) ( dz / dt), tunjukkan bahwa benda yang bergerak jatuh bebas memenuhi persamaan dengan v V untuk x. kx v ( V ) e 5. Jika ruang waktu memiliki metrik ds α ( dx dy dz ) dt α dengan α ( kx) dan k tetapan, serta

216 Dinamika Gerak Partikel dan Foton v ( dx / dt) ( dy / dt) ( dz / dt), tunjukkan bahwa untuk benda yang bergerak jatuh bebas tersebut dipenuhi persamaan dengan v V untuk x. V v k x 6. Jika metrik ruang waktu adalah ds α ( dx dy dz ) kα dt dengan α adalah fungsi x saja dan k tetapan, arilah persamaan diferensial yang membangun lintasan garis dunia partiel yang bergerak jatuh bebas. Jika x, y dan z diinterpretasikan sebagai koordinat Kartesan tegaklurus oleh seorang pengamat dan t adalah variabel waktunya, tunjukkan bahwa terdapat suatu persamaan energi untuk partikel tersebut dalam bentuk k v tetapan. α

217 3 Daftar Pustaka DAFTAR PUSTAKA Anugraha, R., 997 : Teori Relativitas Umum Einstein dan Penerapannya pada Model Standar Alam Semesta pada keadaan awal, sekarang dan masa depan, Skripsi, Fakultas MIPA UGM, Yogyakarta. Bose, S.K., 98 : An Introdution to General Relativity, etakan ke, Wiley Eastern Limited. Farmer, G., 966, Derivation of Compton Sattering Relation in Covariant Notation, Amerian Journal of Physis, Vol. 34, p. 64. Hawking, S., 974 : Blak Hole Explosion? Nature, vol. 48, p Krane, K., 99 : Fisika Modern, UI Press, Jakarta. Lapidus, I.R., 97, Motion of a Relativisti Partile Ated Upon by a Constant Fore and a Uniform Gravitational Field, Amerian Journal of Physis, Vol. 4, p Lawden, D.F., 98 : An Introdution to Tensor Calulus, Relativity and Cosmology, John Wiley & Sons, New York. Misner, C.W., Thorne, K.S., Wheeler, J.A., 973 : Gravitation, W.H. Freeman & Company, New York. Muller, R.A., 97, The Twin Paradox in Speial Relativity, Amerian Journal of Physis, Vol. 4, p Muslim, 985 : Teori Relativitas Khusus, Pasa Sarjana UGM, Yogyakarta. Muslim, 986 : Analisis Vektor dan Tensor dalam Fisika Matematik, Fakultas Pasa Sarjana UGM, Yogyakarta. Muslim, 997 : Teori Relativitas Khusus, Produk dan Eksponen Paradigma Simetri, Unifikasi dan Optimasi dalam Fisika Modern, Lab Atom Inti FMIPA UGM, Yogyakarta. Peebles, P.J.E., 97 : Physial Cosmology, Prineton University Press Siemon, R.E., Snider, D.R., Elasti Collisions as Lorentz Transformations with Appliation to Compton Sattering, Amerian Journal of Physis, Vol. 34, p Weinberg, S., 97 : Gravitation and Cosmology : Priniples and Appliations of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, New York. Wospakrik, H.J., 987 : Berkenalan dengan Teori Kerelatifan Umum dan Biografi Albert Einstein, ITB, Bandung. Zahara, M., Muslim, 99 : Relativitas Khusus dan Mekanika Kuantum Sebagai Sokoguru Fisika Masa Kini, Berkala Ilmiah MIPA, No., Tahun IV, FMIPA UGM Yogyakarta.