METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293, Indonesia birmansyah81@gmail.com ABSTRACT This article discusses the use Adomian decomposition method to solve the boundary value problem of nonlinear partial differential equations. Discussions focused on the boundary value problem of nonlinear partial differential equations of order two. From the application of this method to two examples of nonlinear partial differential equations, solution obtained by this method approaches the exact known solutions. Keywords: Adomian decomposition method, nonlinear partial differential equations, boundary conditions ABSTRAK Artikel ini membahas penggunaan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan masalah nilai batas persamaan diferensial parsial nonlinear. Pendiskusian difokuskan untuk masalah nilai batas persamaan diferensial parsial nonlinear berorde dua. Dari penerapan metode ini ke dua contoh persamaan diferensial parsial yang dipilih terlihat solusi yang diperoleh metode ini mendekati solusi eksak yang diketahui. Kata kunci: metode dekomposisi Adomian, persamaan diferensial parsial nonlinear, nilai batas 1. PENDAHULUAN Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan fungsi. Persamaan diferensial terbagi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial terbagi dua yaitu linear dan nonlinear. Salah satu persamaan diferensial yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari yaitu persamaan diferensial parsial nonlinear dengan syarat batas. Penyelesaian masalah nilai batas merupakan penyelesaian persamaan diferensial yang ditinjau Repository FMIPA 1

2 dari kondisi batas yang diberikan. Permasalahan nilai batas pada persamaan diferensial parsial nonlinear memiliki beberapa bentuk. Pada artikel ini penulis hanya membahas bentuk persamaan diferensial parsial nonlinear orde dua. Adapun bentuk permasalahan nilai batas pada persamaan diferensial parsial nonlinear pada umumnya sebagai berikut [5] 2 u + = h(x, y), x, y 1, (1) yang bergantung pada syarat batas u(, y) = α 1 (y), u(1, y) = α 2 (y), u(x, ) = β 1 (x), u(x, 1) = β 2 (x). (2) α 1 (y), α 2 (y), β 1 (x), β 2 (x), dan h(x, y) diasumsikan real dan dapat diturunkan sebanyak yang diperlukan untuk x, y [, 1]. Pada artikel ini didiskusikan bagaimana menemukan solusi u(x, y) yang memenuhi persamaan (1) dan (2) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian, yang menghasilkan solusi dalam bentuk deret [5]. Pembahasan dimulai dengan memperkenalkan metode dekomposisi Adomian secara umum pada bagian 2, pada bagian 3 diberikan penerapan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan permasalahan nilai batas pada persamaan diferensial parsial nonlinear, kemudian pada bagian 4 diberikan penerapan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan parabolik dan pada bagian akhir diberikan contoh pemakaian untuk permasalahan nilai batas pada persamaan diferensial parsial nonlinear dan persamaan parabolik. 2. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Pandang bentuk umum persamaan diferensial berikut F u(t) = g(t), (3) dimana F merupakan operator diferensial nonlinear yang memuat bentuk linear dan nonlinear, g(t) adalah fungsi yang diketahui dan u(t) adalah fungsi yang akan ditentukan [2, h. 7-8]. Metode dekomposisi Adomian menguraikan bagian nonlinear F menjadi bagian linear dan nonlinear. Bentuk linear dipisahkan lagi menjadi dua bagian yaitu L dan R, dengan L adalah operator linear yang mempunyai invers dan R adalah operator linear lainnya. Sedangkan bentuk nonlinear dari F dimisalkan Y. Metode dekomposisi Adomian menguraikan bagian nonlinear F menjadi Y = L + R + Y. Untuk operator orde dua operator L 1 didefinisikan sebagai integral lipat dua dari ke x dengan L(.) = 2 (.) x. Sehingga 2 L 1 (.) = x x (.)dxdx. Jadi Persamaan (3) dapat ditulis menjadi Lu + Ru + Y u = g, (4) atau dapat juga ditulis dalam bentuk Lu = g Ru Y u. (5) Repository FMIPA 2

3 Selanjutnya, dengan menerapkan L 1 pada kedua ruas persamaan (4), diperoleh L 1 Lu = L 1 g L 1 Ru L 1 Y u. (6) Jika L operator orde kedua atau L = 2 x, maka 2 L 1 Lu = = = = x x x x x x Lu dxdx 2 u(x, y) x 2 x dx u(x, y) x dxdx (u (x, y) u ())dx L 1 Lu = u(x, y) u() xu (). (7) Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (6), diperoleh u(x, y) u() xu () = L 1 g L 1 Ru L 1 Y u, u(x, y) = u() + xu () + L 1 g L 1 Ru L 1 Y u. (8) Metode dekomposisi Adomian [2, h. 7] mengasumsikan solusi dari u dengan u(x, y) = u n (x, y), (9) sedangkan bentuk nonlinear Y u dinyatakan dalam suatu polinomial khusus, yaitu Y u = A n (u, u 1,..., u n ), (1) dengan A n didefinisikan sebagai A n = 1 [ ( d n )] Y λ i u n! dλ n i i= λ=, n =, 1, 2,, (11) disebut polinomial Adomian [1], dan λ merupakan suatu parameter. Dari persamaan (11) diperoleh A = Y (u ), A 1 = u 1 Y (u ), A 2 = u 2 Y (u ) + 1 2! u2 1Y (u ), A 3 = u 3 Y (u ) + u 1 u 2 Y (u ) + 1 3! u3 1Y (u ), (12). A n = 1 ( )] d [Y n dλ n! n i= λi u i. λ= Repository FMIPA 3

4 Polinomial Adomian (12) merupakan perluasan dari Teorema Taylor terhadap fungsi Y u di sekitar u = u, diperoleh Y u = A n = Y (u ) + u 1 Y (u ) + u 2 Y (u ) + + u 1 u 2 Y (u ) + ( ) u 2 1 Y (u ) + u 3 Y (u ) 2! ( ) u 3 1 Y (u ) +, (13) 3! selanjutnya, susun kembali persamaan (13) menjadi [( ) u Y u = Y (u ) + (u 1 + u 2 + )Y 2 (u ) u 1 u 2 + 2! [ ] [ ] (u u ) (u Y u = Y (u ) + Y u ) 2 (u ) + Y (u ) +, 1! 2! [ (u u ) n Y u = n! ] Y (u ) +, ] Y (n) (u ). (14) Persamaan (14) merupakan bentuk umum deret Taylor[3] dari Y u di sekitar u = u. Selanjutnya dengan mensubstitusikan u = u n dan Y u = A n ke persamaan (8), maka diperoleh u n (x, y) = u() + xu () + L 1 g L 1 R u n L 1 Dari persamaan (15) diperoleh relasi rekursif dengan n sebagai berikut u (x, y) = u() + xu () + L 1 g, u 1 (x, y) = L 1 Ru L 1 A, u 2 (x, y) = L 1 Ru 1 L 1 A 1, u 3 (x, y) = L 1 Ru 2 L 1 A 2,. =. Persamaan (16) sederhanakan menjadi A n. (15) u n+1 (x, y) = L 1 Ru n L 1 A n. (16) u (x, y) =u() + xu () + L 1 g, u n+1 (x, y) = L 1 Ru n L 1 A n, Akan tetapi dalam penerapannya nilai dari u n(x, y) tidak dapat ditentukan secara eksak. Oleh karena itu digunakan solusi aproksimasi dengan menggunakan deret terpotong u M (x, y) = M u n(x, y) dengan lim M u M (x, y) = u(x, y) [4]. Repository FMIPA 4

5 3. PENERAPAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Pandanglah persamaan diferensial parsial nonlinear berikut 2 u + = h(x, y), x, y 1, (17) dengan sehingga persamaan (17) menjadi atau dengan syarat batas 2 u = 2 u x u 2, 2 u x + 2 u u x 2 = h(x, y) 2 u 2 = h(x, y),, x, y 1, (18) u(, y) = α 1 (y), u(1, y) = α 2 (y), u(x, ) = β 1 (x), u(x, 1) = β 2 (x), dimana α 1 (y), α 2 (y), β 1 (x), β 2 (x), dan h(x, y) diasumsikan real dan dapat diturunkan sebanyak yang diperlukan untuk x, y [, 1]. Karena yang akan dicari adalah solusi u(x, y), dari dinyatakan operator L = 2 dan u x 2 yy = 2 dengan 2 L 1 (.) = x x (.)dxdx, sehingga persamaan (18) dapat ditulis menjadi Lu = h(x, y) u yy, (19) selanjutnya, dengan menerapkan L 1 pada ke kedua sisi (19), sehingga diperoleh L 1 Lu = L 1 (h(x, y)) L 1 u yy L 1. (2) Dengan menerapkan L 1 (.) = x x (.)dxdx pada persamaan (2), maka diperoleh ( ) 2 ) u u(x, y) = u(, y) + xu x (, y) + L 1 (h(x, y)) L (u 1 yy +. Misalkan u(, y) = α 1 (y), u x (, y) = f(y), sehingga diperoleh u(x, y) = α 1 (y) + xf(y) + L 1 h((x, y)) L 1 (u yy + ( ) 2 ) u. (21) Repository FMIPA 5

6 Dari persamaan (9) bahwa metode dekomposisi Adomian mengurai solusi u(x, y) dengan suatu deret takhingga dari komponen dan suku nonlinear u(x, y) = u n (x, y), (22) ( u ) 2 dengan suatu deret takhingga dari polinomial = A n, (23) dimana A n merupakan polinomial Adomian. Polinomial Adomian A n dapat dihasilkan untuk seluruh jenis nonlinear berdasarkan algoritma yang ditetapkan. Komponen u n (x, y) akan ditentukan secara berulang, dengan mensubstitusi deret dekomposisi Adomian persamaan (22) dan (23) ke kedua sisi (21) diperoleh (( ) u n (x, y) = α 1 (y) + xf(y) + L 1 (h(x, y)) L 1 u n + A n ). (24) Metode dekomposisi Adomian mengidentifikasi komponen ke-nol u (x, y) dengan seluruh suku yang muncul dari syarat batas dan dari mengintegrasi suku asal. Oleh sebab itu, metode dekomposisi memuat hubungan rekurensi atau u n (x, y) = u + u n (x, y) = u + Dari persamaan (24) (25) u k, k=1 yy u k+1, k. (25) k= u (x, y) = α 1 (y) [ + xf(y) + L 1 h((x, y)), ( u k+1(x, y) = L 1 k+1 u k)yy + u k+1 (x, y) = L 1 [ (uk )yy + A k k+1 A k ], k ], k (26) dan dari persamaan (26) diperoleh u (x, y) = α 1 (y) + xf(y) + L 1 h((x, y)), u 1 (x, y) = L 1( ) (u ) yy + A, u 2 (x, y) = L 1( ) (u 1 ) yy + A 1,. =. u k+1 (x, y) = L 1( (u k ) yy + A k ), k. (27) Repository FMIPA 6

7 Beberapa polinomial Adomian pertama yang mewakili suku nonlinear A n didefinisikan oleh A = u 2 y, A 1 = 2u y u 1y, (28) A 2 = 2u y u 2y + u 2 1 y. Jadi dari persamaan (27) dan (28), diperoleh u (x, y) = α 1 (y) + xf(y) + L 1 ((h(x, y)) + L 1 (h(x, y)), u 1 (x, y) = L 1 (u yy + u 2 y ), u 2 (x, y) = L 1 (u 1yy + 2u y u 1y ). Dengan mensubstitusikan hasil dari persamaan (29) ke persamaan (22) diperoleh solusinya dalam bentuk deret u(x, y) = u n (x, y), (29) = u (x, y) + u 1 (x, y) + u 2 (x, y) +. (3) 4. PENERAPAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN PADA PERSAMAAN PARABOLIK Pandanglah persamaan parabolik berikut: dengan syarat awal u = 2 u + Y (u) + g(x, y), (x, y) [a, b] [, T ), (31) x2 u(x, ) = f(x). (32) Karena yang akan dicari adalah solusi u(x, y), dinyatakan operator M y (.) = (.) dan M xx (.) = 2 (.) x 2 dengan M 1 y selanjutnya, dengan menerapkan M 1 y M 1 y (.) = y (.)dy, sehingga persamaan (31) menjadi M y u = M xx u + Y (u) + g(x, y), (33) M y u = M 1 y Ruas kiri persamaan (34) dapat diturunkan menjadi M 1 y Mu = pada kedua ruas persamaan (33), maka M xx u + My 1 Y (u) + My 1 g(x, y). (34) = y y M y u u(x, y) = u(x, y) y, dy, dy, M 1 y M t u = u(x, y) u(x, ). (35) Repository FMIPA 7

8 Kemudian, disubstitusikan persamaan (35) ke persamaan (34), sehingga u(x, y) u(x, ) = My 1 M xx u + My 1 Y (u) + My 1 g(x, y), u(x, y) = u(x, ) + My 1 M xx u + My 1 Y (u) + L 1 y g(x, y). (36) Dari persamaan (9) Metode dekomposisi Adomian menguraikan solusi u(x, y) ke dalam deret takhingga u(x, y) = u n (x, y). (37) Dari persamaan (1) bentuk nonlinear Y u diuraikan dengan deret takhingga dari polinomial Adomian, yaitu Y u = A n (u, u 1,..., u n ). (38) Selanjutnya, substitusikan (37) dan (38) ke dalam persamaan (36), sehingga diperoleh solusi untuk u(x, y) adalah u n (x, y) = u(x, ) + M 1 y M xx ( ) ( ) u n (x, y) + My 1 A n + M 1 y g(x, y). (39) Contoh 1 Selesaikan permasalahan nilai batas pada persamaan diferensial parsial nonlinear berikut dengan metode dekomposisi Adomian. 2 u + = 2y + x 4, (4) dengan syarat batas x, u(, y) =, u(1, y) = y + a, dan syarat batas y, u(x, ) = ax, u(x, 1) = x(x + a), dimana a adalah konstanta. Penyelesaian: Untuk solusi menggunakan polinomial Adomian persamaan (4) dapat ditulis dalam bentuk ( ) 2 2 u x = 2y + 2 x4 2 u u, 2 Lu = 2y + x 4 u yy, (41) selanjutnya, dengan menerapkan L 1 pada ke kedua sisi (41), menghasilkan u(x, y) = u(, y) + xu x (, y) + yx L 1 (u yy + 3 x6 ( ) 2 ) u, (42) Repository FMIPA 8

9 substitusikan syarat batas u(, y) =, dan u x (, y) = f(y), ke persamaan (42), maka diperoleh u(x, y) = xf(y) + x 2 y + 1 ( ( ) 2 ) u 3 x6 L 1 u yy +. (43) Dengan mensubstitusi deret dekomposisi Adomian persamaan (22) dan (23) ke masing-masing ruas (43) menghasilkan u n (x, y) = xf(y) + x 2 y + 1 (( ) 3 x6 L 1 u n + A n ). (44) Ini memberikan hubungan rekurensi u (x, y) = xf(y) + x 2 y x6, yy u k+1 = L 1( (u k ) yy + A k ), k (45) Beberapa komponen pertama dari u(x, y) diberikan oleh u (x, y) =xf(y) + x 2 y x6, u 1 (x, y) = ( 1 1 x5 f (y) x3 f (y) x4 f 2 (y) x6 u 2 (x, y) = 1 42 x7 f (y) x5 f (4) (y) x6 (f 2 (y) x6 f (y)f (y) x8 f (y)f (y) x6 f (y)f (y) x7 f 2 (y)f (y) x9 f (y)f (y) x7 f (y)f (y) x8 f 2 (y)f (y). ), Dengan mensubstitusi hasil dari komponen pertama dari u(x, y), u (x, y), u 1 (x, y) dan u 2 (x, y) ke persamaan (3) menghasilkan u(x, y) = xf(y) + x 2 y x5 f (y) x3 f (y) x4 f 2 (y) x7 f (y) +. (46) Untuk menentukan fungsi f(y), subtitusikan syarat batas u(x, y) = ax ke persamaan (46) menghasilkan xf() x3 f () x4 f 2 () x5 f () x7 f () + = ax. (47) Dengan menyamakan koefisien pangkat pada x pada persamaan (47) kedua sisi menghasilkan f() = a, f () = f () = f (n) () =. (48) Repository FMIPA 9

10 Perluasan Taylor dari f(y) diberikan oleh f(y) = f() + f ()y + 1 2! f ()y ! f ()y 3 +. (49) Dengan mensubstitusi persamaan (48) ke persamaan (49) menghasilkan f(y) = a. (5) Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (5) ke persamaan (46), sehingga diperoleh u(x, y) = x 2 y + xa. (51) Persamaan (51) adalah solusi yang memenuhi dari persamaan (4). Contoh 2 Selesaikan persamaan parabolik berikut dengan metode dekomposisi Adomian u = 2 u x + 2 e u + e 2u, (x, y) [, 1] [, 1] (52) dengan syarat awal u(x, ) = ln(x + 2). Untuk perbandingan diberikan solusi eksak u(x, y) = ln(x + y + 2). Penyelesaian: Dari persamaan (52) diketahui Y (u) = e u + e 2u, g(x, y) = dan f(x) = ln(x + 2). Dengan menerapkan beberapa polinomial Adomian pada persamaan (1) ke bentuk nonlinear Y u diperoleh A = Y (u ) = e u + e 2u, A 1 = u 1 Y (u ), A 1 = u 1 ( e u 2e 2u ), ( ) u A 2 = u 2 Y 2 (u ) + 1 (Y (u ) ), 2! ( A 2 = u ) 2 u2 1 e u + (2u 2 1 2u 2 )e 2u, A 3 = u 3 Y (u ) + u 1 u 2 Y (u ) + u3 1 3! Y (u ), ( A 3 = u 3 + u 1 u 2 1 ) ( 6 u3 1 e u + 4u 1 u 2 2u 3 4 ) 3 u3 1 e 2u. Dengan mensubstitusikan g(x, y) = ke persamaan (39) sehingga menjadi ( ) ( u n (x, y) = u(x, ) + M 1 M xx u n (x, y) + M 1 A n ). (53) Repository FMIPA 1

11 Selanjutnya, u n pada persamaan (53) dapat diperoleh secara rekursif sebagai berikut u = u(x, ) = ln(x + 2) u 1 = My 1 M xx u + My 1 A = y x + 2 u 2 = My 1 M xx u 1 + My 1 A 1 = y2 2(x + 2) 2 u 3 = My 1 M xx u 2 + My 1 A 2 =. =., sehingga dari u, u 1, u 2, u 3,..., diperoleh u(x, y) = u + u 1 + u 2 + u 3 +, y 3 3(x + 2) 3 = ln(x + 2) + y x + 2 y 2 2(x + 2) + y 3 2 3(x + 2) + + ( 1)n+1 y n 3 n(x + 2) +, n ( 1) n+1 y n u(x, y) = ln(x + 2) + n(x + 2). (54) n n=1 Persamaan (54) dapat disederhanakan ln(x + 1) = x 1 2 x x3, ln(x + 2) = ln((x + 1) + 1), ( 1) n n + 1 = (x + 1) 1 2 (x + 1) (x + 1)3, = ln 2, ln 2 = Jadi persamaan (54) dapat ditulis ( 1) n+1 y n n(x + 2) = y n x + 2 y 2 2(x + 2) + y 3 2 3(x + 2), 3 n=1 ( ) y = ln x , sehingga diperoleh ( ) y u(x, y) = ln(x + 2) + ln x , = ln(x + 2) + ln(y), u(x, y) = ln(x + y + 2). (55) Repository FMIPA 11

12 Persamaan (55) adalah solusi yang memenuhi dari persamaan (52). Dari contoh 1 dan 2 terlihat bahwa penerapan metode dekomposisi Adomian dengan mengambil solusi dari deret berhingga, solusi hampirannya diperoleh dan dapat menghasilkan solusi yang sama dengan solusi eksaknya. Hal ini berarti metode dekomposisi Adomian akurat dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear orde dua. DAFTAR PUSTAKA [1] Abbasbandy, S. 23. Improving Newton-Raphson Method for Nonlinear Equations by Modified Adomian Decomposition Method. Computational and Applied Mathematics, 145: [2] Adomian, G Solving Frontier Problems of Physics, The Decomposition Method. Kluwer-Academic Press, Boston. [3] Bartle, R. G. & D. R. Sherbert Introduction to Real Analysis, 4 th Ed. Hamilton Printing Company, New Jersey. [4] Javidi, M. & A. Golbabai. 27. Adomian Decomposition Method for Approximating the Solution of the Parabolic Equations. Applied Mathematical Sciences, 1: [5] Wazwaz, A. M. 2. A Note on Using Adomian Decomposition Method for Solving Boundary Value Problems. Foundation of Physics Letters, 13: Repository FMIPA 12