Pertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1.

Transkripsi

1 Pertemuan Kesatu Matematika III Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si Page 1

2 Materi 1. Persamaan Diferensial Orde I Pengenalan bentuk dasar Pers. Diff. Orde I. Definisi Derajat,Orde. Konsep Pemisahan Variabel PD Orde I Metode Benoulli. Penyelesaian dengan Syarat batas Penerapan pada rangkaian Listrik DC-RC, DC-RL, AC-RC,AC-RL. Penerapan pada aplikasi system Mekanis dengan melibatkan parameter Pegas,massa, dan peredam. Pengujian model matematis fisis untuk kestabilan dan respon keluaran dengan sinyal uji system kendali pada Toolbox Matlab Persamaan Diferensial Orde II Kondisi akar kembar Kondisi akar berbeda Kondisi akar khayal Kondisi akar lainnya (pengembangan yang lain) Penerapan pada rangkaian Listrik DC-RLC, AC-RLC. Keterlibatan Syarat Batas. Pengujian model matematis fisis untuk kestabilan dan respon keluaran dengan sinyal uji system kendali pada Toolbox Matlab Page 2

3 Materi Lanjutan Integral Rangkap II Cara menyelesaikan dalam bentuk polar, trigonometri dan kartesian Penerapan pada Luas Daerah ( dx,dy ) 4. Integral Rangkap III Cara menyelesaikan dalam bentuk polar, trigonometri dan kartesian. Penerapan pada Volume Ruangan ( dx,dy,dz ), dan matrik Jacobian 5. Differential Partial Bentuk Umum dan cara menyelesaikan. Aplikasi pada titik pelana dan fungsi kendala Lagrange Optimum (max,min dan optimalisasi ). 6. Transformasi Laplace dan Invers balik ke kawasan waktu. Konsep Umum dan Penerapan pada Sistem Fisik Elektrik.( Rangk. Listrik ) parallel dan seri sederhana serta Uji response dan kestabilan system kendali dengan Toolbox software Matlab 6.0 Page 3

4 Referensi [1] Edwin J. Purcel, Dale Varberg and Steven E. Rigdon, (2007). Calculus, ninth edition, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey. [2] Finizio & Ladas, (1982). An Introduction to Differential Equations with Difference Equations, Fourier Analysis and Partial Differential Equations, Wadsworth, Inc., Belmont, California. [3] Guide to Toolbox Mathlab [4] JA.Kastroude, (1996). Matematika Teknik, 2nd Edition., Prentice Hall. [5] Soehardjo, Matematika III, FMIPA-Matematika ITS. [6] William E. Boyce & Richard C. DiPrima, (1992). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Fifth Edition, John Wiley & Sons, Inc. New York Page 4

5 Hal pokok yang harus dikuasai - Turunan - Integral - Menentukan akar-akar persamaan kuadrat Chapter Pengertian a) Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah sauatu persamaan yang didalamnya mengandung turunan dari beberapa fungsi yang tidak diketahui. b) Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Orde n adalah persamaan yang memiliki bentuk y (n) = F(x, y, y, y,..., y (n-1) ),... (1) dengan y, y, y,..., y (n) semua dievaluasi pada x Page 5

6 Contoh a) y - 2xy = 10 PDB Linier b) y + 6y 7y = cos x PDB Linier c) y yy e x = 0 PDB Tak Linier d) PD Parsial Orde / Order suatu PD ditentukan oleh turunan tertinggi dari y(x) yang muncul pada PD tersebut. 1.2 Solusi Persamaan Diferensial Fungsi y = f(x) dikatakan solusi dari persamaan diferensial jika f(x) memenuhi persamaan diferensial tersebut. Contoh 1 y(x) = e x merupakan solusi dari persamaan diferensial biasa orde-2 y" y = 0, y = e x y' = e x y" = e x Sehingga y y = e x e x = 0 Page 6

7 Contoh 2 a) y = sin x adalah solusi dari persamaan diferensial y' cos x = 0 b) y = 2x 4, merupakan solusi dari persamaan diferensial y" + y' = Persamaan Diferensial Orde Satu Ingat kembali bentuk umum persamaan diferensial orde satu yaitu: y' = F(x, y) atau F(x, y, y') = 0 PD orde satu diklasifikasikan (berdasarkan cara penyelesaiannya) menjadi: 1. PD Terpisah (separable differential equations), metode integral langsung (direct integration) 2. PD Orde satu linier 3. PD Homogen, metode substitusi 4. PD Eksak, menggunakan faktor integrasi Selain dengan cara-cara yang tersebut diatas ada metode penyelesaian secara kualitatif yaitu menggunakan medan arah Page 7

8 1.4 Persamaan Diferensial Terpisah Bentuk umum persamaan diferensial terpisah adalah = F(x, y) = P(x)Q(y)... (2) Untuk memperoleh solusi umum dari PD terpisah, maka pertama kita memisah dua variabel pada persamaan (1), = P(x) dx, Q(y) 0 Kemudian mengintegralkan kedua ruas Contoh 3 Selesaikan persamaan diferensial = 6xy, y(0) = 7 = Solusi umum : Solusi khusus : Page 8

9 1.5 Persamaan Diferensial Homogen Persamaan diferensial orde satu dikatakan PD Homogen jika memiliki bentuk y' = atau =... (3) Perhatikan PD pada persamaan (3), substitusi yang sesuai adalah v = atau y = xv, dan PD persamaan (3) menjadi Contoh 4 Selesaikan PD berikut: v + x = F(v)... (4) 2xy = 4x 2 + 3y 2 Penyelesaian Persamaan diferensial tersebut dapat dirubah menjadi = + Page 9

10 Misalkan v =, maka PD menjadi v + x = + v Bentuk diatas merupakan bentuk PD terpisah, sehingga dengan pengintegralan kedua ruas diperoleh ln(v 2 + 4) = ln x + ln C y 2 + 4x 2 = Cx 3 (Implicite solution) Page 10

11 Selesaikan PD Homogen dan MNA berikut: 1. (x 2 + y 2 )dx 2xy dy = 0 2. xy dx (x 2 y 2 )dy = 0 3. y' = + 4. y' =, y(1) = 1 5. e y/x + y' = xyy' = x 2 + 2y 2, y(1) = 1 Page 11

12 Page 12