KALKULUS LANJUT. Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih. Resmawan. Universitas Negeri Gorontalo. 27 Agustus 2018
|
|
|
- Shinta Tedjo
- 5 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 KALKULUS LANJUT Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih Resmawan Universitas Negeri Gorontalo 27 Agustus 2018 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
2 3. Limit dan Kontinuitas 3.4 Latihan 3 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
3 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.1 Pendahuluan 4.1 Pendahuluan Pada subbab ini kita ingin memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai turunan di titik tertentu dan menentukan turunannya Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
4 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.1 Pendahuluan 4.1 Pendahuluan Turuna Parsial Saja Tidak Cukup Kita sudah mendefinisikan turunan parsial dari suatu fungsi dua peubah; tapi eksistensi turunan parsial di suatu titik tidak memberi kita informasi tentang nilai fungsi di sekitar titik tersebut. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
5 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.2 Turunan Fungsi Satu Peubah 4.2 Turunan Fungsi Satu Peubah
6 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.2 Turunan Fungsi Satu Peubah 4.2 Turunan Fungsi Satu Peubah
7 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah
8 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah
9 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah Beberapa catatan: 1 Jika turunan fungsi satu peubah merupakan bilangan f (p), maka turunan fungsi dua peubah merupakan vektor f (p) := (f x (p), f y (p)) 2 Hasil kali f (p) h dan ɛ ( h ) h merupakan hasilkali titik. 3 Definisi turunan fungsi tiga (atau lebih) peubah dapat dirumuskan secara serupa. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
10 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah Example Turunan dari fungsi f (x, y) = x 2 + y 2 di (1, 2) adalah f (1, 2) = (2x, 2y) (1,2) = (2, 4) Perhatikan bahwa untuk (h, k) (0, 0), fungsi f linear secara lokal: f (1 + h, 2 + h) = (1 + h) 2 + (2 + h) 2 = 1 + 2h + h h + h 2 = 5 + (2, 4) (h, k) + (h, k) (h, k) Disini ɛ (h, k) = (h, k) (0, 0) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
11 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah Theorem Jika f mempunyai turunan parsial f x dan f y yang kontinu pada suatu cakram yang memuat (a, b), maka f mempunyai turunan di (a, b). Example f (x, y) = x 2 + y 2 mempunyai turunan parsial f x = 2x dan f y = 2y yang kontinu pada R, sehingga f mempunyai turunan di setiap titik. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
12 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah Examples Perlihatkan bahwa f (x, y) = xe y + x 2 y dapat diturunkan dimana-mana. Hitung gradiennya lalu carilah persamaan bidang singgung di (2, 0) Solution Perhatikan bahwa f x = ey + 2xy; f y = xey + x 2 Kedua fungsi ini kontinu dimana-mana sehingga dapat diturunkan dimana-mana. Gradien garis adalah f (x, y) = (e y + 2xy) i + ( xe y + x 2) j = e y + 2xy, xe y + x 2 f (2, 0) = i + 6j = 1, 6 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
13 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah Solution Adapun persamaan bidang singgungnya antara lain: z = f (2, 0) + f (2, 0) x 2, y = 2 + 1, 6 x 2, y = 2 + x 2 + 6y = x + 6y Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
14 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah 4.3 Turunan Fungsi Dua Peubah Examples carilah f (1, 2, 0) jika f (x, y, z) = x sin z + x 2 y Solution Perhatikan bahwa turunan-turunan parsial f x = sin z + 2xy; f y = x 2 ; f z = x cos x masing-masing bernilai 4, 1 dan 1 pada titik (1, 2, 0) sehingga f (1, 2, 0) = 4i + j + k Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
15 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.4 Sifat Turunan 4.4 Sifat Turunan Operator del memenuhi sifat-sifat: 1 [f (p) + g (p)] = f (p) + g (p) 2 [α f (p)] = α f (p) 3 [f (p) g (p)] = f (p) g (p) + f (p) g (p) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
16 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.4 Sifat Turunan 4.4 Sifat Turunan Theorem Jika f mempunyai turunan di p, maka f kontinu di p Kontraposisi dari teorema ini berbunyi: jika f tidak kontinu di p, maka f tidak mempunyai turunan di p. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
17 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.4 Sifat Turunan 4.4 Sifat Turunan Examples Selidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan di titik (0, 0): 1 f (x, y) = xy x 2 +y 2, f (0, 0) = 0 2 f (x, y) = x 2 + y 2 Examples Buktikan bahwa ( ) f g f f g = g g 2 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
18 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.4 Sifat Turunan 4.4 Sifat Turunan Solution Proof: Resmawan (Math UNG) g = g ( g f Turunan Fungsi Dua Varia
19 4. Turunan Fungsi Dua Peubah (Keterdiferensialan) 4.4 Sifat Turunan 5. Turunan Berarah dan Gradien Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
20 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien
21 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien
22 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien Definition Untuk tiap vektor satuan u, Turunan Berarah f di p pada arah u didefinisikan f (p + hu) f (p) D u f (p) = lim h 0 h dengan catatan limitnya ada. Theorem Misalkan f terdiferensialkan di p, maka f mempunyai turunan berarah di p dalam arah vektor satuan u = u 1 i + u 2 j dan D u f (p) = u f (p) yaitu D u f (x, y) = u 1 f x (x, y) + u 2 f y (x, y) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
23 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien Example 1 Tentukan vektor berarah f di (2, 1) pada arah vektor a = 4i + 3j jika f (x, y) = 4x 2 xy + 3y 2 2 Tentukan vektor berarah dari f (x, y) = ye 2x di titik (0, 2) pada arah vektor u = 1, 2 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
24 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien Solution 1 Diketahui p = (2, 1) dan u = 4, 3. Akan ditentukan D u f (p) = u f (p) u Dari fungsi f diperoleh f = f x, f y = 8x y, 6y x f (2, 1) = , 6 2 = 17, 8 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
25 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien Solution 1 Dengan demikian, diperoleh vektor berarah D u f (2, 1) = 4, , 8 = 1 4, 3 17, 8 5 = 1 ( ) 5 = 44 5 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
26 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien Solution 2. Diketahui p = (0, 2) dan u = 1, 2. Akan ditentukan D u f (p) = u f (p) u Dari fungsi f diperoleh f = f x, f y = 2ye 2x, e 2x f (0, 2) = 2 2e 0, e 0 = 4, 1 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
27 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah dan Gradien Solution 2. Dengan demikian, diperoleh vektor berarah D u f (2, 1) = 1, 2 5 4, 1 = 1 5 ( ) = 6 5 = Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
28 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.2 Laju Perubahan Maksimum 5.2 Laju Perubahan Maksimum Theorem Suatu fungsi bertambah paling cepat di p pada arah gradien, dengan laju f (p), dan berkurang paling cepat ke arah berlawanan, dengan laju - f (p). Example Andaikan seekor semut berada pada paraboloida hiperbolik z = y 2 x 2 di titik (1, 1, 0), pada arah mana ia harusnya bergerak untuk panjatan yang paling curam? Berapa kemiringan pada saat ia memulai? Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
29 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.2 Laju Perubahan Maksimum 5.2 Laju Perubahan Maksimum Solution Misalkan f (x, y) = y 2 x 2, maka f (x, y) = f x, f y = 2x, 2y f (1, 1) = 2, 2 Dengan demikian, semut harus bergerak dari (1, 1, 0) ke arah vektor 2i + 2j, dengan kemiringan sebesar 2i + 2j = ( 2) = 8 = 2 2 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
30 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.2 Laju Perubahan Maksimum 6. Aturan Rantai Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
31 6.1 Aturan Rantai Pertama 6. Aturan Rantai 6.1 Aturan Rantai Pertama Theorem Misalkan x = x (t) dan y = y (t) terturunkan di t dan misalkan z = f (x, y) terturunkan di (x (t), y (t)), maka z = f (x (t), y (t)) dapat diturunkan di t dan dz dt = z x dx dt + z y dy dt Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
32 6. Aturan Rantai 6.1 Aturan Rantai Pertama 6.1 Aturan Rantai Pertama Example Andaikan z = x 3 y dengan x = 2t dan y = t 2, hitunglah dz/dt. Solution dz dt = z x dx dt + z y dy dt = ( 3x 2 y ) (2) + ( x 3) (2t) = 6x 2 y + 2x 3 t = 6 (2t) 2 ( t 2) + 2 (2t) 3 (t) = 24t t 4 = 40t 4 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
33 6.1 Aturan Rantai Pertama 6. Aturan Rantai 6.1 Aturan Rantai Pertama Aturan rantai untuk kasus 3 variabel Example Andaikan w = x 2 y + y + xz dengan x = cos θ, y = sin θ dan z = θ 2, carilah dw/dθ dan hitung nilainya di θ = π/3. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
34 6.1 Aturan Rantai Pertama 6. Aturan Rantai 6.1 Aturan Rantai Pertama Solution dw dθ = w x dx dθ + w y dy dθ + w z dz dθ = (2xy + z) ( sin θ) + ( x ) (cos θ) + (x) (2θ) = (2xy + z) (sin θ) + ( x ) (cos θ) + 2xθ = 2 cos θ sin 2 θ θ 2 sin θ + cos 3 θ + cos θ + 2θ cos θ nilainya di θ = π/3 dw dθ = 2 cos θ sin 2 θ θ 2 sin θ + cos 3 θ + cos θ + 2θ cos θ = 2 cos π π ( π ) 2 3 sin2 3 π sin π cos3 3 + cos π + 2θ cos θ 3 = 1 3π π 18 3 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
35 6. Aturan Rantai 6.2 Aturan Rantai Kedua 6.2 Aturan Rantai Kedua Theorem Misalkan x = x (s, t) dan y = y (s, t) mempunyai turunan-turunan parsial pertama di (s, t) dan misalkan z = f (x, y) terturunkan di (x (s, t), y (s, t)), maka z = f (x (s, t), y (s, t)) mempunyai turunan-turunan parsial pertama yang diberikan oleh (1) z s = z x x s + z y y s (2) z t = z x x t + z y y t Example Jika z = 3x 2 y 2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st, carilah z/dt dan nyatakan dalam bentuk s dan t. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
36 6.2 Aturan Rantai Kedua 6. Aturan Rantai 6.2 Aturan Rantai Kedua Solution z t = z x x t + z y y t = (6x) (7) + ( 2y) (5s) = 42x 10sy = 42 (2s + 7t) 10s (5st) = 84s + 294t 50s 2 t Example Jika w = x 2 + y 2 + z 2 + xy dengan x = st, y = s t dan z = s + 2t, carilah w t s=1,t= 1 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
37 6.2 Aturan Rantai Kedua 6. Aturan Rantai 6.2 Aturan Rantai Kedua Solution w t = w x x t + w y y t + w z z t = (2x + y) (s) + (2y + x) ( 1) + (2z) (2) = 2s 2 t + s (s t) 2 (s t) st + 4 (s + 2t) = 2s 2 t + s 2 st 2s + 2t st + 4s + 8t = (2t + 1) s 2 2st + 2s + 10t w t s=1,t= 1 = ( ) (1) 2 2 (1) ( 1) + 2 (1) + 10 ( 1) = = 7 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
38 6.3 Fungsi Implisit 6. Aturan Rantai 6.3 Fungsi Implisit
39 6.3 Fungsi Implisit 6. Aturan Rantai 6.3 Fungsi Implisit Jika fungsi F (x, y) = 0 diturunkan menggunakan aturan rantai, maka diperoleh F x dx dx + F y dy dx = 0 Dengan demikian, dy/dx dapat diselesaikan menjadi Example dy dx = F / x F / y Jika x 3 + x 2 y 10y 4 = 0 carilah dy/dx dengan menggunakan: 1 Aturan Rantai 2 Turunan Implisit Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
40 6.3 Fungsi Implisit 6. Aturan Rantai 6.3 Fungsi Implisit Solution 1 Dengan aturan rantai diperoleh y x F / x = F / y = 3x 2 + 2xy x 2 40y 2 Dengan turunan implisit diperoleh 3x 2 + x 2 dy dx 3 dy + 2xy 40y dx ( x 2 40y 3) dy dx dy dx = 0 = ( 3x 2 + 2xy ) = 3x 2 + 2xy x 2 40y Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
41 6.3 Fungsi Implisit 6. Aturan Rantai 6.3 Fungsi Implisit Jika z fungsi implisit dari x dan y yang didefinisikan oleh F (x, y, z) = 0, maka diferensiasi kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap menghasilkan F x x x + F y y x + F z z x = 0 Dengan demikian, z/ x dapat diselesaikan dengan memperhatikan bahwa y x = 0 menghasilkan rumus (1). Perhitungan serupa dengan mempertahankan x tetap dan menurunkan persamaan terhadap y diperoleh rumus (2) (1) z x = F / x F / z (2) z y = F / y F / z Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
42 6.3 Fungsi Implisit 6. Aturan Rantai 6.3 Fungsi Implisit Example Carilah z/ x jika F (x, y, z) = x 3 e y +z y sin (x z) = 0 mendefinisikan z secara implisist sebagai fungsi x dan y. Solution z x F / x = F / z = 3x 2 e y +z y cos (x z) x 3 e y +z + y cos (x z) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
43 6.4 Latihan 4 6. Aturan Rantai 6.4 Latihan 4 Problem 1 Carilah dw/dt dengan menggunakan Aturan Rantai, nyatakan hasil akhir dan bentuk variabel t: a. w = x 2 y y 2 x; x = cos t, y = sin t ( ) x b. w = ln ; x = tan t, y = sec 2 t y c. w = xy + yz + xz; x = t 2, y = 1 t 2, z = 1 t 2 Carilah w/ t dengan menggunakan Aturan Rantai, nyatakan hasil akhir dan bentuk variabel s dan t: a. w = ln (x + y) ln (x y) ; x = te s, y = e st b. w = x 2 + y 2 + z 2 ; x = cos st, y = sin st, z = s 2 t c. w = e xy +z ; x = s + t, y = s t, z = t 2 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
44 6. Aturan Rantai 6.4 Latihan Latihan 4 Problem 3. Jika z = x 2 y + z 2, x = ρ cos θ sin φ, y = ρ sin θ sin φ, dan z = ρ cos φ,carilah z θ ρ=2,θ=π,φ=π/2 4. Gunakan aturan rantai fungsi implisit untuk menemukan dy/dx : a. ye x + 5x 17 = 0 b. x 2 cos y y 2 sin x = 0 c. x sin y + y cos x = 0 d. Jika ye x + z sin x = 0, Carilah x/ z Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
45 Penutup " Terima Kasih, Semoga Bermanfaat " Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 106
Kalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Kalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65
DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan
Open Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti
Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,
FUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II 016/017 4 Maret 017 Kulia ang Lalu 1.1 Fungsi dua atau lebi peuba 1. Turunan Parsial 1.3 Limit dan Kekontinuan 1.4 Turunan ungsi dua peuba 1.5 Turunan berara
Matematika Dasar INTEGRAL PERMUKAAN
Matematika asar INTEGRAL PERMUKAAN Misal suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan merupakan proyeksi pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i +
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 10 Kalkulus Vektor. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 )
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 ) Kalkulus Vektor Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering
Pertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR
Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205
ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
BAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Fungsi Analitik (Bagian Kedua)
Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu
perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Senin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semeser II, 016/017 9 Mare 017 Kuliah yang Lalu 11 Fungsi dua (aau lebih) peubah 1 Turunan Parsial 13 Limi dan Kekoninuan 14 Turunan ungsi dua peubah 15 Turunan berarah
, ω, L dan C adalah riil, tunjukkanlah
. Jika z j j PROBLEM SE# Sistem Bilangan Kompleks, tentukanlah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangan kompleks z z. Carilah harga dan y yang memenuhi persamaan : y j y, j, ( ) ( ). Carilah bentuk
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
TUGAS KALKULUS LANJUT SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT Oleh: KAMELIANI 46 JUUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVESITAS NEGEI MAKASSA 4 SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT A. SIFAT-SIFAT INTEGAL
Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.
PEMBAHASAN KISI-KISI SOAL UAS KALKULUS PEUBAH BANYAK (TA 2015/2016)
PEMBAHAAN KII-KII OAL UA KALKULU PEUBAH BANYAK (TA 5/6) Arini oesatyo Putri DEEMBER 3, 5 UNIVERITA ILAM NEGERI UNAN GUNUNG DJATI BANDUNG Pembahasan oal Kisi-Kisi UA Kalkulus Peubah Banyak Tahun Ajaran
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral (Stokes Theorem) Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Stokes Theorem Review : Pada pembahasan sebelumnya, kepadatan sirkulasi atau curl pada bidang dua dimensi
Integral Vektor. (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TK 47 Matematika III Integral Vektor (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik ipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Teorema Gauss Definisi : Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup
Kalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga)
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VI) Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan
KALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika
Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui
BAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Hendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya TIK : Mahasiswa
TIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik
Bab II Fungsi Kompleks
Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Turunan dalam Ruang berdimensi n
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah October 13, 2011 Andaikan f adalah fungsi dengan peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalkan y = y 0 maka f(x, y 0 ) adalah fungsi dengan peubah tunggal
TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.
BAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Integral Garis. Sesi XIII INTEGRAL 12/7/2015
2//25 Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TK 85 Pengampu : Achfas Zacoeb esi XIII INTEGRAL e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 823398339 Integral Garis Dari Gambar.,
Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 / 2 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu
Bab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah
Fungsi Elementer (Bagian Kedua)
Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Kalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB
Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum
Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.
Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f
Jurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),
TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22
TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika
Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri
Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Contoh - 1 Volume V dari sebuah silinder dengan
Geometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I
Hendra Gunawan. 25 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 25 September 2013 Kuis 1 (Kuliah yang Lalu) 1. Selesaikan pertaksamaan 2x 3 < x. 2. Diketahui i f(x) ) = x 2 sin (1/x) untuk x 0 dan f(0) = 0.
4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :
4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah
Bagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
DERIVATIVE Arum Handini primandari
DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan
Hendra Gunawan. 4 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Persamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal
Linear Lokal = Mempunyai Turunan
oki neswan FMIPA-ITB Linear Lokal = Mempunyai Turunan De nisi turunan fungsi untuk dua peubah tampak sangat berbeda dari turunan untuk fungsi satu peubah De nition 1 Fungsi f : A! R; A R; dikatakan mempunyai
SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 016 SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS Dahliatul Hasanah FMIPA Universitas Negeri Malang
BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli
Catatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA
Khairul Basar atatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA Semester I 2015-2016 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung Bab 6 Analisa Vektor 6.1 Perkalian Vektor Pada bagian
TEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi
MATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari-
MATEMATIKA 3 Turunan Parsial -Irma Wulandari- Pengertian Turunan Parsial T = (,) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, ) Rata-rata
BAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
ada. x 1 2, maka x 1 tidak ada.
PEMBAHASAN SOAL UJIAN KALKULUS TIPE SOAL :. Dengan menggunakan definisi, buktikan Ambil sebarang 0, 0, yakni sedemikian sehingga Jika o, maka Terbukti bahwa. Diberikan g( ), dengan menggunakan definisi
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Purcell, hal atau lebih:
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315 Mg Ke- Pokok & Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum (TIU) Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Materi & Pendekatan Media Tes
Fungsi Gamma dan Fungsi Beta. Ayundyah. Ayundyah Kesumawati. Prodi Statistika FMIPA-UII. March 31, 2015
Fungsi Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII March 31, 215 Gamma Fungsi Fungsi Gamma didefinisikan sebagai integral tak wajar berikut: Γ(α) := e x x α 1 dx (1) Integral ini konvergen bila α >. Dengan menerapkan
Fungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Husna Arifah,M.Sc : Persamaan Bessel: Fungsi-fungsi Besel jenis Pertama
Bentuk umum PD Bessel : x 2 y"+xy' +(x 2 υ 2 )y =...() Kita asumsikan bahwa parameter υ dalam () adalah bilangan riil dan tak negatif. Penyelesaian PD mempunyai bentuk : y(x) = x r m = a m x m = a m xm
Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
DERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan November 25 rd, 2011 Yogyakarta Aturan Turunan Trigonometri Aturan Turunan Trigonometri d (sin x) = cos x d (cos x) = sin x Aturan Turunan Trigonometri