2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN

Transkripsi

1 Bulletin of Matheatics Vol. 03 No. 0 (20) pp EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN Mardiningsih Saib Suwilo dan Indra Syahputra Abstract. Let D asyetric two-coloured-digraph on n 2 4 vertices with two cycles that has one coon vertex and the length of each cyccle and +. Since D is asyetric then there are two cycles with the length of denoted by and 2 two cycles with the length + denoted by 3 and 4 and also hve cycles with the length 2. If and 3 have exactly one blue arc this research shows that by using of sub atrices with order of 2 2 and deterinant fro atrix cycle in D then exp2(d) 2(2n 2 n 6). On the other hand based on epirical data it has been showed that 2-exponent of D can be found by using (h k)-walk with h red arc as sae as k blue arc. This fact concludes exp2(d) 2(n 2 + 2n).. PENDAHULUAN Digraph erupakan salah satu disiplin ilu ateatika. Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah. Titik-titik tersebut disebut verteks dari digraph dan garis berarah yang enghubungkan titik-titik tersebut disebut arc dari digraph. Suatu digraph dikatakan terhubung kuat bila untuk setiap pasangan verteks u dan v terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Suatu digraph D adalah priitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan Received Accepted Matheatics Subject Classification: 05C20 05C50 Key words and Phrases: 2-Eksponen. 39

2 Mardiningsih et. al. 2-Eksponen Digraph Dwiwarna 40 verteks u dan v terdapat walk dari u ke v dengan panjang k. Bilangan bulat terkecil dari k yang deikian disebut eksponen dari digraph yang dinotasikan exp(d). Penelitian digraph sapai saat ini asih difokuskan pada digraphdwiwarna. Digraph-dwiwarna disingkat 2-digraph adalah digraph yang arcarcnya terdiri dari dua warna warna arc yang dipakai di sini adalah warna erah dan biru 3. Suatu digraph-dwiwarna D adalah 2-priitif bila terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang h + k dan terdiri dari h arc berwarna erah dan k arc berwarna biru. Bilangan bulat positif terkecil h + k diantara seua bilangan bulat tak negatif h dan k yang deikian disebut 2-eksponen digraph dwiwarna D yang dinotasikan exp 2 (D). Riset tentang 2-eksponen dari digraph-dwiwarna diulai oleh Shader dan Suwilo 6. Mereka eperlihatkan bahwa bila D adalah digraph-dwiwarna 2-priitif atas n verteks aka 2-eksponen terbesar dari D terletak pada interval 2 (n3 5n n3 + n 2 n. Sejak itu riset tentang 2-eksponen digraph-dwiwarna ulai berkebang (lihat ). Selanjutnya riset pada 2-eksponen digraph-dwiwarna berkebang pada kelas digraph dwiwarna asietrik. Riset pada kelas digraph-dwiwarna asi-etrik telah dilakukan oleh Suwilo 7 yang enentukan 2-eksponen dari digraph dwiwarna koplit asietrik. Pada tahun 2008 Suwilo eperlihatkan bahwa bila D adalah digraph-dwiwarna yang berbentuk lollipops dan asietrik aka exp 2 (D) (s 2 - )/2 + (s + )(n - s).. Sehingga seperti riset yang dilakukan Goa dan Shao 4 Shader dan Suwilo 9 dan 8 aka penelitian untuk 2-eksponen dari digraph-dwiwarna asietrik yang terdiri dari dua cycle perlu dilakukan. Andaikan D adalah digraphdwiwarna asietrik dengan dua cycle yang bersinggungan (eiliki satu verteks persekutuan). Karena D adalah asietrik aka koposisi cyclecycle dari digraph-dwiwarna tersebut adalah r(γ ) b(γ ) r(γ2 ) b(γ 2 ) r(γ3 ) b(γ 3 ) r(γ4) b(γ 4 ) dan yang ana γ diulai dari v v v 2 v 3 v v γ 2 diulai dari v v v 2 v v γ 3 diulai dari v v + v +2 v n v n v dan γ 4 diulai dari v v n v n v n 2 v + v. Tulisan ini difokuskan untuk encari batas atas 2-eksponen dari digraph-dwiwarna D tersebut.

3 Mardiningsih et. al. 2-Eksponen Digraph Dwiwarna 4 2. BATAS ATAS 2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA MELALUI SUB MATRIKS Tulisan ini ebahas tentang 2-eksponen digraph-dwiwarna dengan dua cycle yang bersinggungan. Hasil utaa dala penelitian ini berupa batas atas 2-eksponen digraph dwiwarna asietrik dengan dua cycle yang bersinggungan. Andaikan D adalah digraph-dwiwarna asietrik atas n 2 2 verteks dengan dua cycle yang bersinggungan dengan panjang asing-asing cycle adalah dan +. Karena D adalah asietrik aka koposisi cycle-cycle dari digraph-dwiwarna tersebut adalah r(γ ) b(γ ) r(γ2 ) b(γ 2 ) r(γ3 ) b(γ 3 ) r(γ4) b(γ 4 ) dan yang ana γ diulai dari v v v 2 v 3 v v γ 2 diulai dari v v v 2 v v γ 3 diulai dari v v + v +2 v n v n v dan γ 4 diulai dari v v n v n v n 2 v + v. Lea berikut ini akan eberikan jainan untuk digraph-dwiwarna asietrik dengan dua cycle yang bersinggungan sehingga 2-priitif. Lea 2. Andaikan D adalah digraph-dwiwarna asietrik atas n 2 verteks dengan dua cycle yang eiliki satu verteks persekutuan dengan panjang asing-asing cycle adalah dan +. Misalkan cycle atriks M di D adalah M a a b b + a a b + b Dengan 2 0 a dan 0 b +. Maka D adalah 2-priitif jika dan hanya jika gcd( 2a 2b + ). Bukti. Andaikan c i enyatakan kolo ke-i dari cycle atriks M. Misalkan entri x i enyatakan entri yang terletak pada baris ke- dan kolo ke-i dari cycle atriks M. Kurangkan c i dengan x i kali dari kolo ke-5 untuk i Sehingga diperoleh atriks seperti berikut a 2a 2b + 2b + Content dari atriks tersebut saa seperti M dan akan enjadi jika dan hanya jika gcd( 2a 2b + ). Jadi D adalah 2-priitif jika dan hanya jika gcd( 2a 2b + ).

4 Mardiningsih et. al. 2-Eksponen Digraph Dwiwarna 42 Andaikan D adalah digraph-dwiwarna asietrik atas n 2 4 verteks dengan dua cycle bersinggungan yang panjang asing-asing cycle dan + γ dan γ 3 asing-asing eiliki tepat satu arc biru. Lea enjain bahwa terdapat subatriks dari cycle atriks M di D yang eiliki deterinan. Proposisi berikut ini akan eperlihatkan batas atas 2-eksponen digraph-dwiwarna asietrik D yang dapat dicapai dengan enggunakan subatriks tersebut. Proposisi 2. Andaikan D erupakan digraph-dwiwarna asietrik atas n 2 4 verteks dengan dua cycle yang eiliki satu verteks persekutuan dengan panjang asing-asing cycle dan + dan 3 asingasing eiliki tepat satu arc biru. Misalkan cycle atriks M di D epunyai subatriks ordo 2 2 dengan deterinan. Maka exp2(d) 2 (2n2 n 6). Bukti. Andaikan cycle atrik dari D adalah M M Tanpa enghilangkan keuuannya dari cycle atrik M diperoleh suatu subatrik N berordo 2 2 yang deterinannya yaitu N dengan diulai dari v v v 2 v 3 v v diulai dari v v + v +2 v n v n v. Oleh Lea cycle atriks M eiliki content. Akibatnya D adalah 2- priitif. Untuk setiap pasangan verteks u dan v di D andaikan p uv adalah sebuah path terpendek dari u ke v. aka diperoleh suatu persaaan baru yakni l r ax {r(p uv) ( )} () uv V dengan V adalah hipunan verteks di D. l b ax uv V {b(p uv) r(p uv )} (2) 3. BATAS ATAS 2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA MELALUI (h k) WALK TERPADU

5 Mardiningsih et. al. 2-Eksponen Digraph Dwiwarna 43 Bila path p uv engandung paling banyak dua arc biru aka keungkinan r(p uv ) terbesar diperoleh dari verteks v 2 ke v 2 atau dari verteks v 2 ke v +2 yang elalui γ dan γ 3. Sehingga l r diperoleh apabila D euat path erah r(p uv ) dari u ke v dengan panjang 2 3 dan tidak euat path biru dari u ke v l b diperoleh apabila D euat path biru dari u ke v dengan panjang 2 dan tidak euat path erah r(p uv ) dari u ke v. Dari Persaaan dan 2 diperoleh l r 2 3 dan l b 2. Berdasarkan Lea: Andaikan D adalah digraph-dwiwarna yang terdiri dari dua cycle yang eiliki paling sedikit satu arc pada asing-asing warna.misalkan s dan t erupakan bilangan bulat tak negative sedeikian h s s r(puv ) hingga p uv M.Maka untuk beberapa path k t t p uv dari u ke v. Diperoleh (h k)-walk dari u ke v di D dapat diperoleh dengan koposisi sebagai berikut h s N (3) k t untuk beberapa path p uv dari u ke v dengan s dan t adalah bilangan bulat tak negatif. Pilih s l r 2 3 dan t l b 2 aka Persaaan 3 enjadi h 2-3 N (4) k 2 Karena setiap (h k)-walk dari verteks u ke v dapat dibentuk elalui perjalanan u ke v yang engelilingi cycle γ dan γ 3 dan keudian path p uv dari u ke v aka x h k r(puv ) x + N x 2 dengan adalah solusi bilangan bulat tak negatif. x 2 x Sekarang akan ditunjukkan bahwa adalah solusi bilangan bulat tak negatif. Dari Persaaan 4 dan 5 diperoleh r(puv ) x N n 2 x 2 x 2 (5)

6 Mardiningsih et. al. 2-Eksponen Digraph Dwiwarna 44 Sehingga x x r(puv ) N ( ) r(puv ) r(puv ) ( )b(p uv ) 2 r(p uv ) 2 3 (r(puv ) ( )) 2 ( r(p uv )) Oleh Persaaan dan 2 aka diperoleh l r r(p uv ) ( ) dan l b b(p uv) r(p uv ) untuk seua path terpendek p uv aka x 0 dan x 2 0. Jadi Persaaan 5 epunyai solusi bilangan bulat tak negatif. Ini engakibatkan bahwa untuk setiap pasangan verteks u dan v ada uv-walk di D yang terdiri dari ((2 3)r(γ 3 ) + 2r(γ )) arc erah dan ((2 3)b(γ 3 ) + 2b(γ )) arc biru. Sehingga sebuah (h k)-walk dari verteks u ke v dapat dibentuk dengan cara sebagai berikut. Walk diulai dari verteks u engelilingi cycle γ 3 sebanyak x kali dan cycle γ sebanyak x 2 kali keudian kebali ke u dan selanjutnya ke v elalui path p uv. Jadi h+k (+)(2 3) (2n2 n 6). Berdasarkan data epiris bila D adalah digraph-dwiwarna asietrik atas n 2 4 verteks dengan dua cycle bersinggungan yang panjang asing-asing cycle dan + dengan γ dan γ 3 asing-asing eiliki tepat satu arc biru aka untuk setiap pasangan dua verteks u dan v di D dapat dibentuk (h k)-walk terpendek dari u ke v dan dari v ke u dengan h arc erah saa dengan k arc biru. Fakta baru ini akan digunakan dala pebuktian proposisi berikut ini sehingga akan diperlihatkan bahwa batas atas 2-eksponen digraph-dwiwarna asietrik D yang diperoleh lebih baik daripada batas atas 2-eksponen digraph-dwiwarna asietrik D di Proposisi 3. Proposisi 3.2 Andaikan D erupakan digraph-dwiwarna asietrik atas n 2 4 verteks dengan dua cycle yang eiliki satu verteks persekutuan dengan panjang asing-asing cycle dan + γ dan γ 3 asingasing eiliki tepat satu arc biru. Maka exp 2 (D) 2 (n2 + 2n). Bukti. Karena D adalah asietrik cukup ditunjukkan bahwa untuk setiap verteks u dan v di D ada sebuah (e e)-walk dengan e 4 (n2 + 2n). Karena

7 Mardiningsih et. al. 2-Eksponen Digraph Dwiwarna 45 D asietrik untuk setiap verteks u di D ada ( )-walk dari u ke dirinya sendiri. Misalkan u dan v adalah dua verteks berbeda di D dan isalkan p uv adalah path berarah dari u ke v. Perhatikan bahwa r(p uv ) n 4 (n2 +2n). Jika r(p uv ) dengan enggunakan ()-walk aka dapat dicapai (e e)-walk sehingga bukti selesai. Jadi asusikan bahwa r(p uv ) dan tanpa enghilangkan keuuannya anggap bahwa r(p uv ) >. Pebuktian ini akan ditunjukkan atas 3 kasus yaitu : Kasus : Bila verteks u dan v terletak di γ atau γ 2. Andaikan p u (γ ) adalah path dari verteks u ke verteks elalui γ dan p u (γ ) adalah path dari verteks ke verteks u elalui γ. Sebuah (e e)-walk dari verteks u ke v dibentuk dengan cara sebagai berikut. Walk dari u ke v tersebut di ulai dari u keudian engikuti path p u (γ ) ke verteks lalu engelilingi sebanyak (r(p uv ) ) kali dan kebali ke setelah itu engikuti path p u (γ ) ke verteks u keudian engelilingi sebanyak (r(p uv ) ) kali dan kebali ke u akhirnya ke v elalui p uv. Koposisi dari walk tersebut adalah r(wuv ) r(puv ) + (r(p b(w uv ) uv ) ) r(pu ) r(pu ) +(r(p uv ) ) + b(p u ) b(p u ) Karena r(pu ) b(p u ) aka sehingga r(wuv ) b(w uv ) γ + r(puv ) r(pu ) b(p u ) γ + (r(p uv ) ) γ + + a. Untuk bernilai genap r(p uv ) + 2 aka r(wuv ) b(puv ) + r(p uv ) ( + ) b(w uv ) + r(p uv ) ( + ) ( + ) (r(p uv ) + ) ( + ) ( + ) 8 (n2 + 4) 2 ( + ) 8 (n2 + 4) γ

8 Mardiningsih et. al. 2-Eksponen Digraph Dwiwarna 46 b. Untuk bernilai ganjil r(p uv ) + 2 aka r(wuv ) + 8 (n2 4) b(w uv ) (n2 4) Kasus 2 : Bila verteks u dan verteks v terletak di γ 3 atau γ 4. Andaikan p u (γ 4 ) adalah path dari verteks u ke verteks elalui γ 4 dan p u (γ 4 ) adalah path dari verteks ke verteks u elalui γ 4. Sebuah (e e)- walk dari verteks u ke v dibentuk dengan cara sebagai berikut. Walk dari u ke v tersebut di ulai dari u keudian engikuti path p u (γ 4 ) ke verteks lalu engelilingi sebanyak (r(p uv ) ) kali dan kebali ke setelah itu engikuti path p u (γ 4 ) ke verteks u keudian engelilingi sebanyak (r(p uv ) ) kali dan kebali ke u akhirnya ke v elalui p uv. Koposisi dari walk tersebut adalah r(wuv ) r(puv ) + (r(p b(w uv ) uv ) ) r(pu ) + (r(p uv ) ) + b(p u ) Karena r(pu ) b(p u ) aka sehingga: r(wuv ) b(w uv ) γ 4 + r(puv ) r(pu ) b(p u ) γ 4 + (r(p uv ) ) γ a. Untuk + bernilai genap r(p uv ) aka r(pu ) b(p u ) γ 4 r(wuv ) b(w uv ) b(puv ) + r(p uv ) ( + ) + r(p uv ) ( + ) ( + ) (r(p uv ) + ) ( + ) + ( + ) 8 (n2 + 4n + 4) 2 ( + ) 8 (n2 + 4n + 4)

9 Mardiningsih et. al. 2-Eksponen Digraph Dwiwarna 47 b. Untuk + bernilai ganjil r(p uv ) + 2 aka r(wuv ) + b(w uv ) 2 8 (n2 + 2n) + 8 (n2 + 2n) Kasus 3 : Bila verteks u berada di γ atau γ 2 dan verteks v berada di γ 3 atau γ 4. Sebuah (e e)-walk dari verteks u ke v dibentuk dengan cara sebagai berikut. Walk dari u ke v tersebut di ulai dari u keudian engelilingi sebanyak (r(p uv ) ) kali dan kebali ke u setelah itu engikuti path p uv ke verteks v keudian engelilingi sebanyak (r(p uv ) ) kali dan kebali ke v. Koposisi dari walk tersebut adalah r(wuv ) r(puv ) + (r(p b(w uv ) uv ) ) +(r(p uv ) ) r(puv ) + (r(p uv ) ) + Karena r(p uv ) + aka r(wuv ) b(puv ) + r(p uv ) ( + ) b(w uv ) + r(p uv ) ( + ) ( + ) (r(p uv ) + ) ( + ) ( + ) 4 (n2 + 2n) ( + ) 4 (n2 + 2n) Dengan enggunakan ( )-walk (e e)-walk dari verteks u ke v di setiap kasus aka dapat diperpanjang enjadi (e e)-walk dari verteks u ke v dengan e 4 (n2 + 2n). Hal ini berakibat bahwa exp 2 (D) 2 (n2 + 2n) 4. KESIMPULAN Dengan enggunakan subatriks dari cycle atriks M di D diperoleh exp 2(D) 2 (2n2 n 6). Dengan enggunakan (h k) walk terpendek diperoleh exp 2(D) yang lebih baik yakni exp 2(D) 2 (n2 + 2n).

10 Mardiningsih et. al. 2-Eksponen Digraph Dwiwarna 48 Daftar Pustaka Beasley L. B dan Kirkland S A note on k-priitive digraphs. Linier Algebra Appl. 373: hal Brualdi R. A dan Ryser H. J. 99. Cobinatorial Matrix Theory. Cabridge :Cabridge University Press. 3 Fornasini E. dan Valcher M. E Directed graphs 2D State Mo dels and characteristic polinoials of irreducible atrix pairs. Linear Algebra Appl. 263: hal Gao Y. dan Shao Y Exponents of two-colored digraph with two cycle. Linear Algebra Appl. 407: hal Lee S. G dan Yang J. M Bound for 2-exponents of priitive extreal digraph. Coun.Korean.Math.Soc. 20(): hal Shader B. L. dan Suwilo S Exponents of nonnegative atrix pairs. Linear Algebra Appl. 363: hal Suwilo S The exponent set of coplete asyetric 2-digraphs. Edited by: Mawengkang H. Suwilo S. dan Sutaran(eds.). Proceeding of the st IMT-GT Regional Conference on atheaticsstatistics and Their Applications: hal Suwilo S Exponents of two-coloured lollipops. Matheatics Journal of Universiti Teknologi Malaysia. 24(): hal Suwilo S. dan Shader B. L On 2-Exponents of inistrong 2- digraps. Edited by Ali R.M. dan Ravichandran R(eds.). Procedding of the 2nd IMT-GT 2006 Regional Conference on Matheatics Statistics and Applications: hal Mardiningsih: Departeen Mateatika FMIPA Universitas Suatera Utara Jl. Bioteknologi No. Kapus USU Medan 2055 Indonesia. E-ail: ardiningsih@usu.ac.id Saib Suwilo: Departeen Mateatika FMIPA Universitas Suatera Utara Jl. Bioteknologi No. Kapus USU Medan 2055 Indonesia. E-ail: saib@usu.ac.id Indra Syahputra: Departeen Mateatika FMIPA Universitas Suatera Utara Jl. Bioteknologi No. Kapus USU Medan 2055 Indonesia.