BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Penelitian

Transkripsi

1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Graf merupakan pokok bahasan matematika yang banyak mendapat perhatian karena aplikasinya sangat berguna untuk menyelesaikan persoalan kehidupan manusia. Secara umum, graf mempresentasikan model matematika terhadap sejumlah objek dalam bentuk simpul atau titik (vertex) dan hubungan antara objekobjek tersebut dalam bentuk garis atau sisi (edge). Pada persoalan komunikasi misalnya, graf dapat memodelkan hubungan sosial seseorang dengan seorang lainnya. Mahasiswa bernama Ani berteman dengan Budi dan Chaca tetapi tidak berteman dengan Dodi dan Eka, sedangkan Dodi berteman dengan Budi dan Chaca tetapi tidak berteman dengan Ani dan Eka, dan Eka hanya berteman dengan Budi. Hubungan sosial yang demikian dapat direpresentasikan dalam graf tak berarah seperti pada gambar berikut: Gambar 1.1. Representasi model hubungan sosial dengan graf tak berarah Selain itu aplikasi graf juga telah digunakan dan sangat bermanfaat dalam persoalan kehidupan lainnya, seperti pada persoalan transportasi, jaringan internet, jaringan listrik, pembuatan peta, ilmu komputer, penjadwalan dan lain sebagainya. Saat ini, studi mengenai graf sedang berkembang pesat dan banyak

2 dilakukan. Hal inilah yang menarik minat penulis untuk membahas scrambling index sebagai bagian dari pengembangan teori graf itu sendiri. Istilah scrambling index pertama kali diperkenalkan oleh Akelbek dan Kirkland pada tahun 009. Apabila diketahui titik u, v, dan w serta sisi (u, w) dan (v, w) termuat dalam sebuah graf G, maka titik w merupakan common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dari titik u dan v. Yang dinamakan scrambling index adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga setiap pasangan titik-titik dalam graf G memiliki tetangga persekutuan luar yang membentuk sisi-sisi dengan panjang k. Gambar 1.. Common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dalam graf Secara definisi, scrambling index dari sebuah graf primitif G, dinotasikan dengan k(g) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang k. Penelitian mengenai scrambling index pada graf primitif baik berarah maupun tak berarah telah banyak dilakukan. Namun, penelitian scrambling index lebih banyak dilakukan pada kelas graf primitif berarah. Akelbek dan Kirkland (009a) memberikan batas atas scrambling index pada graf primitif berarah terkait dengan order dan girth yang kemudian digunakan untuk menetapkan batas atas modulo terbesar kedua dari nilai eigen sebuah matriks primitif.

3 3 Di tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (009b) mengelompokkan semua graf primitif berarah sedemikian hingga nilai scrambling index sama dengan batas atasnya. Penelitian kemudian dilanjutkan Chen dan Liu (010) yang membahas hubungan antara scrambling index dan eksponen pada matrix primitif simetris. Mereka juga mengelompokkan semua matriks primitif simetris sedemikian hingga nilai scrambling index mencapai maksimum. Selanjutnya, Gao dan Shao (013) juga telah membahas mengenai scrambling index dari graf primitif berarah terdiri atas tepat dua lingkaran. Adapun penelitian ini secara khusus akan membahas mengenai scrambling index dari graf primitif tak berarah yang terdiri atas tepat dua lingkaran. 1. Masalah Penelitian Andaikan Cs t adalah sebuah graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang s dan t. Masalah yang akan diselesaikan pada penelitian ini adalah menentukan bagaimana bentuk umum scrambling index dari Cs, t dinotasikan dengan k(cs) t untuk lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan untuk salah satu dari lingkaran s atau t adalah ganjil. 1.3 Batasan Masalah Bentuk umum scrambling index yang dibahas dalam tulisan ini hanya dikhususkan pada satu objek graf, yaitu pada graf primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran, dinotasikan dengan k(cs). t Adapun bentuk umum yang ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu bentuk umum scrambling index untuk kedua lingkaran s dan t adalah ganjil dan untuk salah satu dari s atau t adalah ganjil. 1.4 Tinjauan Pustaka Pada tahun 009, Akelbek dan Kirkland memperkenalkan istilah baru dalam graf primitif yang dinamakan scrambling index. Scrambling index, dinotasikan dengan k(g) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik

4 4 u dan v di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang k. Dalam penelitiannya, Akelbek dan Kirkland (009a) membahas mengenai scrambling index pada graf primitif berarah dan memberikan batas atas dari scrambling index pada graf primitif berarah terkait dengan order dan girth yang kemudian digunakan untuk menetapkan batas atas pada modulo terbesar kedua dari nilai eigen sebuah matriks primitif. Order adalah jumlah titik dan girth adalah panjang terpendek dari lingkaran pada graf primitif berarah. Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth, maka scrambling index k(d) K(n, s). Gambar 1.3. Graf Berarah D s,n Jika D = D s,n dan gcd(n, s) = 1 di mana D s,n merupakan graf berarah primitif sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1.3, maka K(n, s) = k(n, s) + n s dan k(n, s) = { s 1 n 1 n, untuk s ganjil s, untuk s genap Di tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (009b) mengelompokkan semua graf primitif berarah sedemikian hingga nilai scrambling index sama dengan batas atasnya. Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth, dengan s genap. Maka scrambling index k(d) = K(n, s) jika dan

5 5 hanya jika D = D s,n dan gcd(n, s) = 1. Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth, dengan s genap dan s 3. Maka scrambling index k(d) = K(n, s) jika dan hanya jika gcd(n, s) = 1 dan D = D s,n, atau D = D s,n {n r ts + 1 n r ts + ms} untuk sebarang m N dan sebarang t {1,,..., n r s 1} sedemikian hingga n+h t 1 0(modm). Pada tahun berikutnya, Chen dan Liu (010) membahas hubungan antara scrambling index dan eksponen pada matrix primitif simetris. Sebuah matriks persegi non negatif A dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga A k > 0. Scrambling index dari matriks primitif A, dinotasikan dengan k(a) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua baris pada A k terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang sama. Eksponen dari matriks primitif A, dinotasikan dengan exp(a) adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga A k = j dimana j menotasikan 1-matriks, yaitu matriks yang semua elemennya memuat 1. Dalam penelitiannya dinyatakan bahwa untuk sebuah matriks primitif A berdasarkan definisi scrambling index dan definisi eksponen, dapat diketahui k(a) exp(a). Misalkan D adalah sebarang graf berarah primitif simetris dengan n dan misalkan u dan v adalah pasangan titik di D. Maka dan k u,v (D) exp D(u, v) k(d) = exp(d) dimana a menotasikan bilangan bulat positif terkecil yang tidak kurang dari a. Misalkan D adalah sebarang graf berarah primitif simetris dengan n dan misalkan u dan v adalah pasangan titik di D. Jika u k 1 v dan u k v dengan k 1 k 1(mod ), maka exp D (u, v) max{k1, k} 1

6 6 Selain itu, mereka juga mengelompokkan semua matriks primitif simetris sedemikian hingga nilai scrambling index mencapai maksimum. Diberikan S n (r) adalah himpunan semua graf primitif dengan n titik yang memiliki lingkaran sepanjang r tetapi bukan lingkaran dengan panjang ganjil yang lebih kecil dari r. Andaikan n dan m adalah bilangan bulat positif dengan n, r 1(mod) dan 1 r n, dan misalkan { 1, untuk r = 1 δ r = r 1, untuk r 1(mod ) dan r 3 dan G adalah graf primitif di S n (r), maka k(g) δ r. Misalkan n adalah bilangan bulat positif dengan n dan r adalah bilangan bulat positif ganjil dengan 1 r n. Andaikan G adalah graf primitif di S n (r) maka persamaan dipenuhi jika dan hanya jika: k(g) n r + 1 (i) n 3 dan G isomorfis terhadap G n,r n r, atau (ii) n = (r = 1)dan baik G isomorfis terhadap G,1 1 atau G isomorfis terhadap G,1 ditentukan dari G,1 1 dengan menambahkan sebuah loop (titik yang dihubungkan dengan sebuah sisi ke dirinya sendiri) pada titik lainnya. Gao dan Shao (013) dalam penelitiannya mengemukakan tentang scrambling index dari graf berarah primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran dan dalam penelitian ini secara khusus akan dibahas mengenai scrambling index dari graf primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran. 1.5 Tujuan Penelitian Sesuai dengan rumusan masalah yang dikemukakan sebelumnya, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui bentuk umum scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang s dan t. Adapun bentuk umum

7 7 yang ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu bentuk umum scrambling index dengan lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan bentuk umum scrambling index dengan salah satu lingkarans atau t adalah ganjil. 1.6 Manfaat Penelitian Penelitian ini dilakukan untuk menambah pengetahuan serta memperkaya literatur mengenai scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran sehingga dapat menjadi referensi untuk penelitian selanjutnya, baik dalam penyempurnaan teori seputar scrambling index ataupun aplikasi ilmunya.