Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintang yang dihubungkan oleh suatu Lintasan

Transkripsi

1 Jurnal Mateatika Integratif. Vol. 13, No. 2 (2017), pp p-issn: , e-issn: doi: /ji.v13.n Bilangan Kroatik Lokasi n Aalgaasi Bintang yang dihubungkan oleh suatu Lintasan Asiati 1 1 Jurusan Mateatika, Fakultas MIPA, Universitas Lapung Jl. Brodjonegoro No. 1 Gd. Meneng, Bandar Lapung 1 asiati308@yahoo.co, asiati.1976@fipa.unila.ac.id Abstrak Bilangan kroatik lokasi graf diperkenalkan oleh Chartrand et al. pada tahun Konsep ini erupkan perpaduan dari konsep diensi partisi dan pewarnaan graf. Penentuan bilangan kroatik lokasi suatu graf dilakukan dengan engkonstruksi batas atasnya dan penentuan batas bawahnya. Dala paper ini, kai engkaji tentang bilangan kroatik lokasi aalgaasi bintang tertentu, yang dinotasikan dengan ns k,. Bilangan kroatik lokasi ns k, untuk k, 2, k dengan n, k, bilangan asli adalah ( + 1), jika 1 n dan ( + 2) untuk n. Kata kunci: aalgaasi bintang, bilangan kroatik lokasi graf, pewarnaan graf. Abstract The locating chroatic nuber of a graph was introduced by Chartrand et al in This concept is cobined fro the graph partition diension and graph coloring. Deterining the locating chroatic nuber of graph with construct the upper bound and the lower bound of the graph. In this paper, we deterine the locating chroatic nuber for certain aalgaation of stars, denoted by ns k,. We prove that the locating chroatic nuber, ns k, for k, 2, k natural nubers n, k, is ( + 1), if 1 n and ( + 2) for n Keywords : aalgaation of stars, locating-chroatic nuber of graph, graph coloring. 1. Pendahuluan Bilangan kroatik lokasi pada suatu graf erupakan pengebangan konsep diensi partisi (Chartrand, et al.[6]) dan pewarnaan suatu graf. Berikut ini diberikan definisi bilangan kroatik lokasi graf yang diabil dari Chartrand, et al. [7]. Misalkan c suatu pewarnaan titik pada graf G dengan warna titik u tidak saa dengan warna titik v (c(u) c(v)) untuk u dan v yang bertetangga di G. Misalkan C i hipunan titik-titik yang diberi warna i, yang selanjutnya disebut kelas warna dan Π = {C 1, C 2,..., C k } adalah hipunan yang terdiri dari kelas - kelas warna dari V (G). Kode warna c Π (v) dari v adalah k-pasang terurut (d(v, C 1 ), d(v, C 2 ),..., d(v, C k )) dengan d(v, C i ) = in{d(v, x) x C i } untuk 1 i k Matheatics Subject Classification: 05C12, 05C15. Received: ; accepted:

2 116 Asiati, JMI Vol 13 No 2 Oktober 2017, ,doi: /ji.v13.n Selanjutnya, k-pasang terurut dari kode warna tersebut, kita nyatakan dengan koponen ke- 1,..., koponen ke-k. Jika setiap titik di V (G) epunyai kode warna yang berbeda, aka c disebut pewarnaan lokasi dari graf G. Banyaknya warna iniu yang digunakan untuk pewarnaan lokasi tersebut disebut bilangan kroatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan χ L (G). Teorea 1.1. (Chartrand, et al.[7]) Misalkan G graf terhubung dan c suatu pewarnaan lokasi pada G. Jika s dan t adalah dua titik berbeda di G sedeikian sehingga d(s, u) = d(t, u) untuk setiap u V (G)\{s, t}, aka c(s) c(t). Dala hal khusus, jika s dan t adalah titik-titik yang tidak bertetangga di G sedeikian sehingga N(s) = N(t), aka c(s) c(t). Bukti. Misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan isalkan Π = {C 1, C 2,..., C k } adalah hipunan kelas-kelas warna dari V (G). Untuk titik s, t V (G), andaikan c(s) = c(t) sedeikian sehingga s dan t berada dala kelas warna yang saa, isal C i dari Π. Akibatnya, d(s, C i ) = d(t, C i ) = 0. Karena d(s, u) = d(t, u) untuk setiap u V (G)\{s, t} aka d(s, C i ) = d(t, C j ) untuk setiap j / i, 1 j k. Akibatnya, c Π (s) = c Π (t) sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi c(s) c(t). Akibat 1.2. (Chartrand, et al.[7]) Jika G adalah suatu graf terhubung dan terdapat titik yang bertetangga dengan k daun di G, aka χ L (G) k + 1. Kajian bilangan kroatik lokasi pada suatu graf erupakan hal yang enarik hingga saat ini, karena belu adanya teorea yang dapat digunakan untuk enentukan bilangan kroatik lokasi graf secara uu. Pada graf pohon, Chartrand et al. [7] telah endapatkan bilangan kroatik lokasi pada graf lintasan, graf bintang, graf bintang ganda, graf ulat, dan graf pohon berorde n 5, yang eiliki bilangan kroatik lokasi 3, 4,..., n kecuali n 1. Selanjutnya Asiati et al. [1],[2] telah endapatkan bilangan kroatik lokasi pada graf aalgaasi bintang hoogen dan graf kebang api; Des Welyyanti [8] untuk graf pohon n-ary lengkap, dan Asiati [4] pada graf aalgaasi bintang tak hoogen. Beberapa kajian tentang karakterisasi graf aalgaasi pohon dengan bilangan kroatik lokasi tertentu juga telah dilakukan diantaranya adalah: Chartrand et al. [7] telah endapatkan karakterisasi graf berbilangan kroatik lokasi (n 1) atau (n 2); Asiati et al. [3] untuk karakterisasi graf euat siklus berbilangan kroatik lokasi tiga; Baskoro et al. [5] telah endapatkan karakterisasi seua pohon berbilangan kroatik lokasi tiga. Berdasarkan hasil-hasil yang sudah didapatkan oleh Asiati et al [1] dan Asiati [4], aka pada paper ini didiskusikan tentang bilangan kroatik lokasi aalgaasi bintang tertentu, yaitu n buah aalgaasi bintang hoogen yang dihubungkan oleh sebuah lintasan. 2. Hasil dan Pebahasan Misalkan S +2, adalah graf bintang dengan ( + 2) titik. Aalgaasi bintang, S k, dengan k, 2 adalah graf yang diperoleh dari (k 1) buah graf bintang S +2, dengan cara enyatukan sebuah daun dari setiap graf S +2. Titik penyatuan tersebut disebut titik pusat S k,. Graf ns k, adalah graf yang diperoleh dari n kopi graf S k,, yang ana setiap titik pusat S k,, yaitu x i, i = 1, 2,..., n dihubungkan oleh suatu lintasan dan (n 1) titik baru, dinotasikan y i, i = 1, 2,..., n 1 erupakan titik-titik subdivisi pada sisi x i x i+1, i = 1, 2,..., n 1. Selanjutnya, pada graf ns k,, titik pusat untuk setiap S +2, dinotasikan dengan lj i, i = 1, 2, 3,..., n dan j = 1, 2, 3,..., k 1, sedangkan daun ke- t yang enepel pada titik lj i, dinotasikan dengan li jt, t = 1, 2, 3,...,. Pada bagian ini akan didiskusikan bilangan kroatik lokasi ns k, untuk k dengan n, k, bilangan asli.

3 Bilangan Kroatik Lokasi n Aalgaasi Bintang 117 Teorea 2.1. Misalkan ns k, adalah graf aalgaasi bintang tertentu untuk k, 2, k, dengan n, k, bilangan asli χ L (ns k, ) = { + 1; 1 n + 2; lainnya. Bukti. Pertaa-taa akan ditentukan batas bawah dan batas atas dari χ L (ns k, ) untuk 1 n. Karena setiap titik lj i untuk i = 1, 2, 3,..., n dan j = 1, 2, 3,..., k 1 bertetangga dengan daun, aka berdasarkan Akibat 1.2, χ L (ns k, ) + 1. Selanjutnya akan ditentukan batas atas dari χ L (ns k, ) untuk 1 n. Misalkan c adalah suatu pewarnaan dari V (ns k, ) enggunakan ( + 1) warna, yaitu c(x i ) = 1, untuk i = 1, 2, 3,..., n; c(y i ) = 2, untuk i ganjil dan c(y i ) = 3 untuk i genap, i = 1, 2, 3,..., n 1; Warna untuk lj i adalah berurutan dari 2, 3,..., ( + 1) untuk i = 1, 2, 3,..., n dan j = 1, 2, 3,..., k 1; {c(ljt i )} = {1, 2, 3,..., + 1}\{c(li j )} untuk i = 1, 2, 3,..., n dan j = 1, 2, 3,..., k 1 dan t = 1, 2, 3,...,. Akibatnya pewarnaan c akan ebangun suatu partisi Π = {C 1, C 2, C 3,..., C +1 } pada V (ns k, ), dengan C i adalah hipunan dari seua titik yang berwarna i untuk i = 1, 2, 3,..., + 1. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa kode warna untuk setiap titik di V (ns k, ) berbeda. Misalkan u, v V (ns k, ) dan c(u) = c(v) aka pandang kasus-kasus berikut ini: Jika u = x i, v = x k untuk suatu i, k dan i k, aka c Π (u) c Π (v) karena titik u dan v, asing-asing epunyai tetangga dengan hipunan warna berbeda. Jika u = x i, v = ljt i untuk suatu i, j, t, aka c Π(u) c Π (v), karena pada c Π (u) terdapat sekurang-kurangnya dua koponen bernilai satu, sedangkan pada c Π (v) euat tepat satu koponen yang bernilai 1. Jikau = y i, v = lj i untuk suatu i, j, aka c Π(u) c Π (v), karena titik u bertetangga dengan titik yang berwarna ( + 1), sedangkan titik v tidak. Jika u = y i, v = ljt i untuk suatu i, j, t, aka c Π(u) c Π (v), karena pada c Π (u) terdapat tepat dua koponen yang bernilai 1, sedangkan pada c Π (v) terdapat tepat satu koponen yang bernilai satu. Jika u = lj i, v = li jt untuk suatu i, j, t, aka c Π(u) c Π (v), karena pada c Π (u) terdapat sekurang-kurangnya dua koponen bernilai satu, sedangkan pada c Π (v) terdapat tepat satu koponen yang bernilai satu. Jika u = ljt i, v = li ht untuk suatu i, j, h, t aka c Π(u) c Π (v) karena c(lj i) c(li h ). ; Dapat dilihat bahwa kode warna seua titik di V (ns k, ) untuk n adalah berbeda, aka c erupakan pewarnaan lokasi. Jadi χ L (ns k, ) + 1. Akibatnya diperoleh χ L (ns k, ) = + 1. Selanjutnya akan ditentukan batas bawah dan batas atas untuk n >. Berdasarkan Akibat 1.2, diperoleh χ L (ns k, ) + 1 untuk n >. Akan ditunjukkan bahwa ( + 1) tidaklah cukup untuk ewarnai ns k,. Untuk suatu kontradiksi, andaikan terdapat pewarnaan lokasi c pada ns k, enggunakan ( + 1) warna. Karena n >, aka terdapat suatu i, j, k dengan i k sedeikian hingga c(lj i) = c(lk j ) dan {c(li jt )} = {c(lk jt )}. Akibatnya c Π (lj i) = c Π(lj k ), aka c bukan erupakan pewarnaan lokasi, suatu kontradiksi. Jadi χ L (S k, ) + 2 untuk n >.

4 118 Asiati, JMI Vol 13 No 2 Oktober 2017, ,doi: /ji.v13.n Misalkan c adalah pewarnaan ns k, enggunakan (+2) warna untuk n > warna titik titik di ns k, sebagai berikut:. Beri c(x i ) = 1, untuk i = 1, 2, 3,..., n; c(y i ) = 2, untuk i ganjil dan c(y i ) = 3 untuk i genap, i = 1, 2, 3,..., n; Warna untuk lj i, dengan j = 1, 2, 3,..., k 1 adalah berurutan dari 2, 3,..., k untuk i ganjil dan berurutan dari (k + 1),..., ( + 1) untuk i genap; Jika A = 1, 2, 3,..., + 2, didefinisikan { {c(ljt) i A\{1, 2}, jika i = 1, j = 1; t = 1, 2, 3,..., } = A\{ + 2}, lainnya. Pewarnaan c akan ebangun suatu partisi Π pada V (ns k, ). Akan ditunjukkan bahwa kode warna seua titik di ns k, berbeda. 0, koponen ke 1; 1, koponen ke 2; c Π (x 1 ) = 2, koponen ke ( + 1); 2, lainnya. Untuk i 3 ganjil 0, koponen ke 1; 1, koponen ke 2 dan ke k; c Π (x i ) = 2, koponen ke ( + 1); i + 3, lainnya. Untuk i 2 genap Untuk i 2 ganjil Untuk i 2 genap 0, koponen ke 1; 2, koponen ke 2; c Π (x i ) = 1, koponen ke ( + 1) i + 3, lainnya. 1, koponen ke 1; 0, koponen ke 2; c Π (y 1 ) = 1, koponen ke k; 3, koponen ke ( + 1); 3, lainnya. 1, koponen ke 1; 0, koponen ke 2; c Π (y i ) = 1, koponen ke 3; 3, koponen ke ( + 1); i + 2, lainnya. 1, koponen ke 1; 1, koponen ke 2; c Π (y i ) = 0, koponen ke 3; 3, koponen ke ( + 1); i + 2, lainnya.

5 Untuk j = 2, 3,..., k 1 Untuk i 2, j = 1, 2, 3,..., k 1 Untuk t = 2, 3,..., Bilangan Kroatik Lokasi n Aalgaasi Bintang 119 1, koponen ke 1; c Π (l1) 1 = 1, koponen ke ( + 1); 1, lainnya. 1, koponen ke 1; c Π (l) 1 0, koponen ke (k 1); = 1, koponen ke ( + 1); 3, lainnya. 1, koponen ke 1; c Π (lj 1 0, koponen ke (j + 1); ) = 1, koponen ke ( + 1); 3, lainnya 1, koponen ke 1; c Π (lj) i 1, koponen ke 2; = 1, koponen ke ( + 1); i + 4, lainnya. 2, koponen ke 1; c Π (l11) 1 1, koponen ke 2; = 2, koponen ke ( + 1); 0, lainnya. 2, koponen ke 1; 1, koponen ke 2; c Π (l1t) 1 = 0, koponen ke (t + 1); 2, koponen ke ( + 1); 2, lainnya. 2, koponen ke 1; c Π (l1) 1 1, koponen ke 2; = 0, koponen ke ( + 1); 2, lainnya. 2, koponen ke 1; c Π (l() 1 ) = 1, koponen ke (k 1); 0, koponen ke ( + 1); 4, lainnya. Untuk i 2, j = 1, 2, 3,..., k 1, t = 1, 2, 3,..., 0, koponen ke t; c Π (lj) i = 1, koponen ke (j + 1); i + 5, lainnya..

6 120 Asiati, JMI Vol 13 No 2 Oktober 2017, ,doi: /ji.v13.n Karena hanya terdapat satu daun yang berwarna ( + 2), engakibatkan kode warna seua titik di V (ns k, ) berbeda, aka c erupakan pewarnaan lokasi pada ns k,. Jadi χ L (ns k, ) + 2 untuk n >. Terbukti bahwa χ L (ns k, ) = + 2. Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi ns 3,4 untuk 1 n 2 yang dapat dilihat pada gabar berikut: Gabar 1. Pewarnaan lokasi iniu pada graf 2S 3,4 Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi ns 3,4 untuk n > 2 yang dapat dilihat pada gabar berikut: Gabar 2. Pewarnaan lokasi iniu pada graf ns 3,4 untuk n > 2 3. Sipulan Bilangan kroatik lokasi pada graf ns k, untuk k, 2, k, dengan n, k, bilangan asli adalah ( + 1), jika 1 n dan ( + 2) untuk n >. Penelitian ini dapat dilanjutkan untuk k >. Daftar Pustaka [1] Asiati, H. Assiyatun, E.T. Baskoro, 2011, Locating- chroatic nuber of aalgaation of stars, ITB J.Sci., 43A, 1-8. [2] Asiati, H. Assiyatun, E.T. Baskoro, D. Suprijanto, R. Sianjuntak, S. Uttunggadewa, 2012, Locatingchroatic nuber of firecracker graphs, Far East J. Math.Sci., 63(1), [3] Asiati, E.T. Baskoro, 2012, Characterizing of graphs containing cycle with locating-chroatic nuber three, AIP Conf. Proc., 1450, [4] Asiati, Locating-chroatic nuber of non hoogeneous aalgaation of stars, 2014, Far East J. Math. Sci., 93(1), [5] E. T. Baskoro, Asiati, 2013, Characterizing all trees with locating-chroatic nuber 3, Elec. J. Graph Theory Appl. 1(2),

7 Bilangan Kroatik Lokasi n Aalgaasi Bintang 121 [6] G. Chartrand, E. Salehi, dan P. Zhang, 1998, On the partition diension of graph, Congr. Nuer., 130, [7] G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Slater, dan P. Zhang, 2003, Graph of order n with locatingchroatic nuber n-1, Discrete Math., 269, [8] Des Welyyanti, E.T. Baskoro, R. Sianjuntak, S. Uttunggadewa, 2013, On locating-chroatic nuber of coplete n-ary tree, ACKE Int. J. Graphs Cob., 10(3),

8 122 Asiati, JMI Vol 13 No 2 Oktober 2017, ,doi: /ji.v13.n