TITIK DAN SISI PENUTUP MINIMAL PADA GRAF BINTANG

Transkripsi

1 TITIK DAN SISI PENUTUP MINIMAL PADA GRAF BINTANG DAN GRAF RODA Nurul Hijriyah ) dan Wahyu H. Irawan ) ) Mahasiswa Pascasarjana Jurusan Mateatika Universitas Brawijaya Malang ) Jurusan Mateatika UIN Maulana Malik Ibrahi Malang e-ail: ) n.hijriyah@gail.co ABSTRAK Suatu titik dan sisi dikatakan saling enutup pada graf G jika titik dan sisi tersebut berinsiden di G. Titik penutup di G erupakan hipunan dari titik-titik yang enutup seua sisi di G dan sisi penutup pada graf G erupakan hipunan sisi-sisi yang enutup seua titik di G. Hipunan titik dan sisi penutup di katakan inial karena banyaknya anggota paling sedikit atau hipunan yang kardinalnya terkecil. Titik penutup inial dilabangkan dengan dan sisi penutup inial dilabangkan dengan. Skripsi ini bertujuan untuk engetahui ruusan uu titik dan sisi penutup inial pada graf bintang dan graf roda. Hasil dari penelitian ini adalah titik dan sisi penutup inial pada graf bintang dan graf roda. Keudian diruuskan enjadi suatu lea dan dibuktikan kebenarannya secara uu.. Graf bintang dengan, 3. aka ruusan titik dan sisi penutup inial asingasing adalah dan, dan, ; ; ; ;. Graf roda dengan, 3. aka ruusan titik dan sisi penutup inial asing-asing ; ; adalah ; dan ; ; ; dan ; ; ;, 3 ;, ;, 3 Kata Kunci: Titik Penutup, Sisi Penutup, Minial, Graf Bintang, Graf Roda PENDAHULUAN Teori graf erupakan salah satu cabang dari ilu ateatika yang asih sangat enarik untuk dibahas karena teori-teorinya asih aplikatif sapai saat ini dan dapat diterapkan untuk eecahkan asalah dala kehidupan sehari-hari. Dengan engkaji dan enganalisis odel atau ruusan, teori graf dapat diperlihatkan peranan dan kegunaannya dala eecahkan berbagai asalah. Perasalahan yang diruuskan dengan teori graf dibuat sederhana, yaitu diabil aspek-aspek yang diperlukan dan dibuang aspek-aspek lainnya (Purwanto, 998:). Graf telah dikebangkan sejak tahun 960- an yang didefinisikan sebagai hipunan titik (vertex) yang tidak kosong dan hipunan garis atau sisi (edge) yang ungkin kosong. Graf itu enghubungkan pasangan dari suatu hipunan, dala Alquran bisa kita hubungkan dengan Hablu in An-Nas dan Hablu in Allah. Hubungan antara Allah dengan anusia dapat dijelaskan bahwa secara uu seluruh ala ini ta at dan tunduk kepada Allah SWT, sehingga berfungsi aksial dan saling eberikan anfaat kepada bagian ala lainnya

2 Titik dan Sisi Penutup Minial pada Graf Bintang dan Graf Roda bahkan tahu cara bertasbih dan sholatnya. Secara khusus ternyata seluruh ala seesta ini juga berhijab atau eakai penutup atau pelindung agar berjalan sesuai fungsinya dan selaat dari hal-hal yang ebahayakan. Contoh kecil seperti pena tanpa penutup aka tintanya akan enjadi kering, seperti ruah juga perlu adanya penutup yakni atap dan dinding. Suatu titik dan sisi dikatakan saling enutup pada graf G jika titik dan sisi tersebut terkait langsung di G. Titik penutup di G erupakan hipunan dari titik-titik yang enutup seua sisi di G dan sisi penutup pada graf G (tanpa titik terisolasi) erupakan hipunan sisi-sisi yang enutup seua titik di G (Chartrand dan Lesniak, 986: 43). Berdasarkan latar belakang diatas, aka penelitian ini dapat diruuskan bagaiana ruus uu titik dan sisi penutup inial pada graf bintang dan graf roda. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk engetahui ruus uu titik dan sisi penutup inial pada graf bintang dan graf roda. Dala penelitian ini penulis endefinisikan untuk beberapa istilah yang digunakan agar tidak terjadi penafsiran ganda terhadap istilah-istilah tersebut yaitu, adalah graf bintang dengan titik, selanjutnya ditulis sebagai, diperoleh dari sebanyak kali dengan sisi di, adalah setiap anting graf bintang yang diberi titik, sehingga diperoleh dari sebanyak kali dengan sisi di.,,,,,,,,,,,, : graf bintang dengan titik. : setiap anting graf bintang yang diberi titik. v v Gabar. Graf Bintang : graf bintang sebanyak kali yang setiap anting graf bintang yang eiliki titik dan sisi di. v v Gabar. Graf Bintang Selanjutnya adalah graf roda dengan titik, selanjutnya ditulis sebagai, diperoleh dari sebanyak kali dengan sisi di, adalah setiap sisi graf roda yang diberi titik, sehingga diperoleh dari sebanyak kali dengan sisi di.,,,,,,,,,,,, graf roda dengan titik v v v v v v v v Gabar a. Graf Bintang Selanjutnya ditulis sebagai sehingga, : graf bintang sebanyak kali dan sisi di. Gabar 3. Graf Roda Selanjutnya ditulis sebagai : : graf roda sebanyak kali dan sisi di. v v v v v v v v v v v Gabar b. Graf Bintang v Gabar 4. Graf Roda : setiap sisi yang ada pada graf roda diberi titik. Jurnal CAUCHY ISSN:

3 4 4 4 Nurul Hijriyah dan Wahyu H. Irawan v v v v v v Gabar 5. Graf Roda : graf roda sebanyak kali dan sisi di. KAJIAN TEORI Gabar 6. Graf Roda Covering di dala Al-Qur an Dala Al-Quran kata penutup itu diartikan sebagai Hijab dan Hiar yang eiliki arti sebagai penutup (aurat) baik laki-laki aupun perepuan dan penutup kepala. Meakai hijab yang benar akan endatangkan kebaikan. Dala kajian ateatika khususnya dala teori graf ada juga kata penutup yaitu penutup (covering) yang di dala Alquran Allah SWT berfiran dala surat al-ahzab/33 ayat 53: öνà6ï9 sœ 5>$pgÉo Ï!#u uρ ÏΒ èδθè=t ó sù $Yè tftβ èδθßϑçgø9r'y #sœî)uρ (#ρèœ σè? βî) βr& öνà6s9 šχ%x. $tβuρ ÎγÎ/θè=è%uρ öνä3î/θè=à)ï9 v v ãyγôûr& # t/r& ÿ ÍνÏ èt/. ÏΒ çµy_ uρø r& (#þθßså3ζs? βr& Iωuρ «!$# š^θß u $ ϑšïàtã «!$# y ΖÏã tβ%ÿ öνä3ï9 sœ Artinya: Apabila kau einta sesuatu (keperluan) kepada ereka (isteri- isteri Nabi), Maka intalah dari belakang tabir. cara yang deikian itu lebih suci bagi hatiu dan hati ereka. dan tidak boleh kau enyakiti (hati) Rasulullah dan tidak (pula) engawini isteriisterinya selaa-laanya sesudah ia wafat. Sesungguhnya perbuatan itu adalah Aat besar (dosanya) di sisi Allah. (QS. al-ahzab/33: 53) Ini adalah ayat hijab yang di dalanya engandung beberapa huku dan beberapa adat syar i, di ana sebab turunnya adalah enyetujui perkataan Uar ra. Dan aku berkata: Ya Rasulullah, sesungguhnya orang yang baik dan orang yang buruk, terkadang asuk kepada isteri-isteriu, aka kiranya engkau eberikan ereka hijab, lalu Allah enurunkan ayat hijab. Dala surat diatas jika di pandang dala segi ateatika yang diaksud sebagai hijab/khiar adalah suatu covering. Covering pada suatu graf enjadi bukti bahwa dengan engaati petunjuk Allah, yang berupa penutup (hijab) tersebut dapat diperoleh suatu forula yang luar biasa yang beranfaat bagi anusia yaitu dala bentuk penutup. Teori Dasar Definisi. Graf Graf G adalah pasangan hipunan (V,E) dengan V adalah hipunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut sebagai titik dan E adalah hipunan (ungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di V yang disebut sebagai sisi (Chartrand dan Lesniak, 986:4). Definisi. Adjacent dan Incident Sisi, dikatakan enghubungkan titik dan. Jika, adalah sisi pada graf G, aka dan adalah titik yang terhubung langsung (adjacent), seentara itu dan saa halnya dengan dan disebut terkait langsung (incident). Lebih jauh, jika dan berbeda pada terkait langsung (incident) dengan sebuah titik bersaa, aka dan disebut sisi adjacent (Chartrand dan Lesniak, 986:4). Definisi 3. Jalan Misalkan dan (yang tidak harus berbeda) adalah titik pada graf. Jalan - pada graf adalah barisan berhingga yang berselang-seling,,,,,,,, antara titik dan sisi, yang diulai dari titik dan diakhiri di titik, dengan untuk,,, (Chartrand dan Lesniak, 986:6). Definisi 4. Trail Jalan - yang tidak engulang sisi atau seua sisinya berbeda disebut trail - (Chartrand dan Lesniak, 986:6). Definisi 5. Lintasan Jalan - yang seua titiknya berbeda disebut path (lintasan) -. Dengan deikian, seua lintasan adalah trail. Contoh pada gabar.4 yaitu jalan,,,,,,,,,, adalah lintasan (Chartrand dan Lesniak, 986: 6). Definisi 6. Sirkuit Trail tertutup (closed trail) dan tak trivial pada graf disebut sirkuit. Contoh pada gabar.4 yaitu jalan,,,,,,,,,, adalah sirkuit (Chartrand dan Lesniak, 986:8). Definisi 7. Sikel Sirkuit,,..,, 3 eiliki titik dengan adalah titik-titik berbeda untuk 98 Volue No. Mei 0

4 Titik dan Sisi Penutup Minial pada Graf Bintang dan Graf Roda disebut sikel (Cycle). Contoh pada gabar.4 yaitu jalan,,,,,,,, adalah contoh sikel (Chartrand dan Lesniak, 986:8). Definisi 8. Keterhubungan Pasangan titik dan dapat dikatakan terhubung (connected), jika terdapat lintasan - di. Suatu graf dapat dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap titik dan di terhubung (Chartrand dan Lesniak, 986:8). Definisi 9. Gabungan (union) Gabungan (union) dari dan, ditulis, adalah graf dengan dan. Jika graf erupakan gabungan dari sebanyak graf,, aka ditulis (Abdussakir, 009:33). Definisi 0. Penjulahan (join) Penjulahan (join) dari dan, ditulis, adalah graf dengan dan dan (Abdussakir, 009:33). Definisi. Graf Bintang Graf bipartisi koplit, disebut graf bintang (star) dan dinotasikan dengan. Jadi, epunyai order dan ukuran (Abdussakir, 009:-). Definisi. Graf Roda Graf roda adalah graf yang euat satu sikel yang setiap titik pada sikel terhubung langsung dengan titik pusat. Graf roda diperoleh dengan operasi penjulahan graf sikel dengan graf koplit. Jadi,, (Chartrand dan Lesniak, 996:8). Penutup pada Graf Definisi 0. Titik Penutup Titik penutup dari graf adalah sedeikian sehingga seua titik di enutup seua sisi di, artinya setiap sisi dari adalah terhubung langsung untuk setidaknya salah satu di titik (Bondy dan Murty, 008:40). Titik penutup inial dari graf dinotasikan adalah bilangan kardinal terkecil dari hipunan titik penutup yang paling sedikit. Definisi. Sisi Penutup Sisi penutup dari graf adalah sedeikian hingga seua sisi di enutup seua titik di, artinya adalah setiap titik di berinsiden dengan setidaknya satu sisi di (Bondy dan Murty, 008:40). Sisi penutup inial dari graf dinotasikan adalah bilangan kardinal terkecil dari hipunan sisi penutup yang paling sedikit. Titik dan Sisi Penutup Minial pada Graf Lintasan Titik penutup inial dari graf lintasan ) ; ; Sisi penutup inial dari graf lintasan ) ; ; Titik dan Sisi Penutup Minial pada Graf Sikel Titik penutup inial dari graf sikel 3) ; ; Sisi penutup inial dari graf sikel 3) ; ; PEMBAHASAN Suatu titik dan sisi dikatakan saling penutup pada graf G jika titik dan sisi tersebut inciden di G. Titik penutup di G erupakan hipunan dari titik-titik yang enutup seua sisi di G dan sisi penutup pada graf G (tanpa titik terisolasi) erupakan hipunan sisi-sisi yang enutup seua titik di G. Di katakan inial karena banyaknya anggota paling sedikit atau hipunan penutup yang kardinalnya terkecil. Titik dan Sisi Penutup pada Graf Bintang dan Perhatikan tabel di bawah ini: Tabel. Titik dan Sisi Penutup Minial pada Graf Bintang Sipul S3 3 3 S4 4 4 S5 5 5 S6 6 6 S7 7 7 S8 8 8 S9 9 9 S0.. Sn Jurnal CAUCHY ISSN:

5 Nurul Hijriyah dan Wahyu H. Irawan Berdasarkan Tabel aka diperoleh lea berikut: Lea : Titik penutup inial pada graf bintang adalah. Misal titik pusat adalah. Karena seua sisi insidensi dengan sehingga enutup seua sisi di, atau berinsiden dengan,,, aka adalah satu-satunya titik yang enutup seua sisi. Jadi titik penutup inial graf bintang adalah. Lea : Sisi penutup inial pada graf bintang adalah. Misal,,,,,. Titik,,,, tidak terhubung langsung tetapi titik,,,, terhubung langsung dengan sehingga sisi, enutup titik,,,. Maka sisi penutup inial pada graf bintang terbukti sebanyak. Lea 3; Titik penutup inial pada graf bintang adalah. Pada graf asing-asing titik pusat yang berurutan adalah terhubung langsung, yaitu,. Dari lea titik penutup inial adalah. Sehingga diperoleh titik penutup inial pada graf bintang adalah. Lea 4 Sisi penutup inial pada graf bintang adalah. Pada graf asing-asing titik pusat yang berurutan adalah terhubung langsung, yaitu,. Berdasarkan lea, sisi penutup inial pada graf bintang adalah. Sehingga diperoleh sisi penutup inial pada graf bintang adalah. Titik dan Sisi Penutup pada Graf Bintang Lea 5 Titik penutup inial pada graf bintang ; ; Berlaku untuk, 3.. Untuk genap Abil sebagai titik penutup. Maka anting graf berupa lintasan, dengan bilangan ganjil. Jadi. Karena terdapat sebanyak anting aka diperoleh.. Untuk ganjil Abil sebagai titik penutup. Maka anting graf berupa lintasan, dengan bilangan genap. Jadi. Karena terdapat sebanyak anting aka diperoleh. Dari dan, karena terdiri dari yang titik pusat berurutan dihubungkan langsung aka titik penutup inial pada graf bintang ditunjukkan pada gabar 4 sehingga: ; ; Berlaku untuk, 3. Lea 6 Sisi penutup inial pada graf bintang ; ; Berlaku untuk, 3.. Untuk genap Pada graf pandang lintasan anting berikut: Gabar 9. Lintasan Graf ini berupa dengan adalah genap, sehingga. Dengan engabil, sebagai sisi penutup. Anting lainnya berupa dengan adalah ganjil aka. Karena lintasan sebanyak lintasan aka sisi penutup inialnya. Sehingga diperoleh.. Untuk ganjil Pada graf pandang lintasan anting berikut: 3 Gabar 0. Lintasan Graf ini berupa dengan adalah ganjil, aka 3. Dengan engabil, sebagai 00 Volue No. Mei 0

6 Titik dan Sisi Penutup Minial pada Graf Bintang dan Graf Roda sisi penutup. Anting lainnya berupa dengan genap aka. Karena lintasan sebanyak lintasan aka sisi penutup inialnya. Sehingga diperoleh. Dari dan, karena terdiri dari yang titik pusat berurutan dihubungkan langsung aka titik penutup inial pada graf bintang ditunjukkan pada gabar 4 sehingga: ; ; Berlaku untuk, 3. Titik dan Sisi Penutup pada Graf Roda dan Perhatikan tabel di bawah ini: Tabel. Titik dan Sisi Penutup Minial pada Graf Roda Sipul W3 3 3 W W W W W W W Berdasarkan Tabel aka diperoleh lea berikut: Lea 9 Titik penutup inial pada graf roda adalah ; ; Misal titik pusat pada dan,,,, adalah titik pada sikel luar. Karena akan enutup seua sisi di selain sikel luar dan ; ; Maka diperoleh: ; ; Lea 0: Sisi penutup inial pada graf roda adalah ; ; Misal titik pusat pada dan,,,, adalah titik pada sikel luar. Abil, sebagai sisi penutup, aka pada :,,,,, titik sudah tertutup oleh,., untuk genap dan tidak terpengaruh oleh tertutupnya., untuk ganjil dan terpengaruh oleh tertutupnya, sehingga harus dikurangi. Maka diperoleh: ; ; Lea : Titik penutup inial pada graf roda ; ; Pada graf asing-asing titik pusat yang berurutan adalah terhubung langsung, yaitu,. Berdasarkan lea 9, titik penutup inial pada graf roda adalah adalah ; untuk genap dan ; untuk ganjil. Sehingga diperoleh titik penutup inial pada graf roda ; ; Lea : Sisi penutup inial pada graf roda ; ; Pada graf asing-asing titik pusat yang berurutan adalah terhubung langsung, yaitu,. Berdasarkan lea 0, sisi penutup inial pada graf roda adalah adalah ; untuk genap dan ; untuk ganjil. Sehingga diperoleh sisi penutup inial pada graf roda ; ; Jurnal CAUCHY ISSN:

7 Nurul Hijriyah dan Wahyu H. Irawan Titik dan Sisi Penutup pada Graf Roda Lea 3: Titik penutup inial pada graf roda ; 3 ; ;,, 3. Untuk genap Pada graf pandang sikel luarnya: v v Gabar. Graf Sikel Graf tersebut berupa. Jika ganjil aka adalah ganjil, dan jika genap aka adalah genap. Sehingga untuk ganjil dan untuk genap. Selanjutnya pandang graf bintang tanpa titik terluarnya: Gabar. Graf Bintang Graf tanpa titik terluar ini saa dengan graf. Karena genap aka ganjil. Sesuai bukti lea 5, diperoleh: : Jadi, : ; untuk genap 3; untuk ganjil. Untuk ganjil Pada graf pandang sikel luarnya: v v Gabar 3. Graf Sikel C Graf tersebut berupa. Karena ganjil aka genap, sehingga selalu genap. Jadi. Selanjutnya pandang graf bintang tanpa titik terluarnya: Gabar 4. Graf Bintang Graf tanpa titik terluar ini saa dengan graf. Karena ganjil aka genap. Sesuai bukti lea 5, aka: : Jadi diperoleh, Dari dan, karena terdiri dari yang titik pusat berurutan dihubungkan langsung aka titik penutup inial pada graf roda ditunjukkan pada gabar 8 sehingga: ; 3 ; ;,, 3 Lea 4: Sisi penutup inial pada graf roda ; 3 ; ;,, 3. Untuk genap Pada graf pandang sikel luarnya: v v Gabar 5. Graf Sikel Graf tersebut berupa. Jika ganjil aka adalah ganjil, dan jika genap aka adalah genap. Sehingga untuk ganjil dan untuk genap. Selanjutnya pandang graf bintang tanpa titik terluarnya: 0 Volue No. Mei 0

8 Titik dan Sisi Penutup Minial pada Graf Bintang dan Graf Roda ; ; ;,, PENUTUP Gabar 6. Graf Bintang Graf tanpa titik terluar ini saa dengan graf. Karena genap aka ganjil. Sesuai bukti lea 6, diperoleh: : Jadi, ; untuk genap : 3; untuk ganjil. Untuk ganjil Pada graf pandang sikel luarnya: Gabar 7. Graf Sikel Graf tersebut berupa. Karena ganjil aka genap, sehingga selalu genap. Jadiá. Selanjutnya pandang graf bintang tanpa titik terluarnya: v v Berdasarkan penelitian yang telah dilaksanakan, dapat disipulkan bahwa:. Graf bintang dengan, 3. aka ruusan titik dan sisi penutup inial asing-asing a. dan á. b. dan. ; c. ; ; ;. Graf roda dengan, 3. aka ruusan titik dan sisi penutup inial asing-asing ; a. ; ; ; ; b. ; ; ; ;, c. : 3 ;, ;, : 3 ;, Gabar 8. Graf Bintang Graf tanpa titik terluar ini saa dengan graf. Karena ganjil aka genap. Sesuai bukti lea 6, aka: : Jadi diperoleh, ;, 3 Dari dan, karena terdiri dari yang titik pusat berurutan dihubungkan langsung aka sisi penutup inial pada graf roda ditunjukkan pada gabar 8 sehingga: dan ; ganjil dan, 3 DAFTAR PUSTAKA [] Abdullah Bin Muhaad.007. Tafsir Ibnu Katsir Jilid 6. Bogor: Pustaka Ia Asy-Syafii [] Abdussakir, dkk Teori Graf. Malang: UIN Press [3] Al-Maragi, Ahad Musthafa.99. Tafsir Al- Maraghi Juz 8 dan. Searang:Toha Putra [4] Al-Qurthubi, Syaikh Ia Tafsir Al- Qurthubi. Penj. Fathurrahan Abdul Haid dkk. Jakarta: Pustaka Azza Jurnal CAUCHY ISSN:

9 Nurul Hijriyah dan Wahyu H. Irawan [5] Balakrishnan.V.K Schau s Outline of Theory and Probles of Cobinatorics. New York: Mc Graw Hill. Inc [6] Chatrand, Gery and Lesniak, Linda Graphs and Digraphs Second Edition. California: a Division of Wadsworth.Inc. [7] Gallian, J. A "A Dynaic Survey of GraphLabeling.(Online:http// orics.org/surveys/dr6.pdf). Diakses Oktober 0 [8] Purwanto Teori Graph. Malang: IKIP MALANG [9] Rosen, Kenneth H Discrete Matheathics ang Its Application: Fifth Edition. Singapore: Mc. Graw-Hill [0] Wilson, Robin J dan Watkins Graph and Introductory Approach. Singapore: Open Universitycourse. 04 Volue No. Mei 0