DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR GAMBAR BAB 1. PENDAHULUAN 1
|
|
- Sudomo Tanudjaja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv v vi viii BAB 1. PENDAHULUAN Latar Belakang Penelitian Perumusan Masalah Tinjauan pustaka Tujuan penelitian Manfaat penelitian Metode penelitian DIGRAPH PRIMITIF Notasi Matriks Adjacency Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop DIGRAPH DENGAN LOOP KESIMPULAN Kesimpulan 34 vi
2 4.2. Saran 35 DAFTAR PUSTAKA 36 vii
3 DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 2.1 Representasi grafis dari Digraph Digraph dengan path, walk, cycle dan loop Representasi grafis dari 2-Digraph Digraph dengan path, walk, cycle dan loop Digraph dengan 4 vertex, 6 arc Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru (a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat digraph terhubung kuat (a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat digraph primitif Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n-1 35 viii
4 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas direpresentasikan secara grafik dengan titik dan garis berarah, hubungan garis dan titik yang demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph. Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah. Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu : 1. Himpunan hingga yang tak kosong V, dimana unsurnya disebut vertex dari digraph D 2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V XV, unsurnya disebut arc dari digraph D vertex dalam digraph direpresentasikan oleh titik atau lingkaran kecil dan arc direpresentasikan oleh garis berarah dari suatu vertex ke vertex lainnya. Suatu walk dari vertex u ke vertex v yang panjangnya m adalah suatu barisan arc dalam bentuk (u = v 0,v 1 ), (v 1,v 2 ),...,(v m 1,v m = v)
5 2 walk diatas dapat direpresentasikan sebagai u = v 0 v 1 v 2... v m 1 v m = v Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat bila untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v. Digraph D dikatakan ministrong jika penghilangan satu arc dari D mengakibatkan D tidak terhubung kuat. Suatu digraph terhubung kuat D dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang tepat k. Bilangan bulat k terkecil yang demikian disebut disebut sebagai eksponen dari D dan dinotasikan oleh exp(d). Studi tentang eksponen digraph primitif diprakarsai oleh Wielandt[5] yang menyatakan bahwa untuk digraph primitif dengan n vertex, exp(d) (n 1) Holladay dan varga [4] memperlihatkan bahwa ila D adalah digraph primitif dengan q loop maka exp(d) 2n q 1. Selanjutnya, Liu dan Shao [1] memberikan syarat perlu dan bagi digraph terhubung kuat D dengan n vertex dan q loop yang mempunyai exp(d) = 2n q 1, sejalan itu dengan itu Dalimunthe dan Suwilo[10] memberikan syarat cukup untuk digraph agar mempunyai eksponen tepat exp(d) = 2n q 1. Pada tahun 1997, fornasini dan Valcher[3] memperkenalkan konsep 2-digraph yakni digraph dimana setiap arcnya diwarnai dengan merah atau biru. Sejalan dengan itu Shader dan Suwilo[2] memperkenalkan konsep 2-eksponen dari 2-digraph. Shader dan Suwilo mendefinisikan 2-eksponen dari 2-digraph sebagai bilangan bulat terkecil h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang h + k dan terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Shader dan Suwilo memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph D dengan n vertex, maka 2-eksponen terbesar terletak pada interval [(n 3 5n 2 )/, (3n 3 +2n 2 2n)/2]. Lebih lanjut Suwilo
6 3 secara eksplisit memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari cycle (lihat[8]), dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka 2 exp 2 (D) 4 (lihat[9]). Sejalan dengan hasil dari Holladay dan Varga[4] perlu ditentukan 2-eksponen dari 2-digraph dengan loop. 1.2 Perumusan Masalah Bula D adalah suatu 2-digraph primitif atas n vertex dan m 2 loop. Dapatkah ditemukan batas atas yang cukup baik bagi 2-digraph dengan m 2 loop. 1.3 Tinjauan pustaka Shader dan Suwilo [2] memperlihatkan bahwa 2-eksponen terbesar dari 2- digraph primitif terletak di interval [(n 3 5n 2 )/2, (3n 3 +2n 2 2n)/2]. Batas bawah pada interval tersebut ditemukan dengan menggunakan 2-digraph yang terdiri dari dua cycle dan batas atas ditemukan secara teoritis. Sehingga masih terdapat gap antara batas empiris dan batas teoritis. Suwilo[8] memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph, yang terdiri atas cycle, dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka 2 exp 2 (D) 4. Andaikan D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle γ 1 dan γ 2 dengan panjang masing-masing l(γ 1 ) dan l(γ 2 ). Untuk sebarang pasangan vertex u dan v, misalkan p uv adalah sebuah path terpendek dari u ke v dan definisikan l r = lim u,v V {b(γ 2)r(p uv ) r(γ 2 )b(p uv )} l b = lim u,v V {r(γ 1)b(p uv ) b(γ 1 )r(p uv )} Suwilo[8] menyatakan bila D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle
7 4 dengan sedikitnya terdapat satu arc untuk setiap warna, maka. exp 2 (D) =l(γ 1 )l r + l(γ 2 )l b Lee dan yang [7] secara khusus mendiskusikan 2-eksponen dari satu klas 2-digraph ministrong yang terdiri dari cycle 1 2 n 3 n 2 1 dan path n 3 n 1 n 1 Andaikan D adalah digraph ministrong dengan banyak vertex n 5 yang terdiri dari cycle 1 2 n 3 n 2 1 dan path n 3 n 1 n 1. Warnai paling sedikit satu arc untuk setiap warna, maka 2-eksponen dari 2-digraph terletak pada interval : 2n 2 8n +7 exp 2 (D) 2n 2 5n Tujuan penelitian 2 loop. Menentukan 2-eksponen bagi 2-digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan 1.5 Manfaat penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang 2-eksponen dari 2-digraph
8 5 1.6 Metode penelitian Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah - langkah sebagai berikut : 1. Menggunakan Software sederhana untuk mendukung pengerjaan pengamatan. 2. Mencari kelas-kelas dari 2-digraph kemudian membandingkannya 3. Mencari bentuk umum dari masing-masing 2-eksponen dari 2-digraph 4. Menentukan batas atas dan batas bawah dari 2-digraph
9 BAB 2 2-DIGRAPH PRIMITIF Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, 2-digraph, terhubung kuat, 2-digraph primitif, dan 2-eksponen dari 2-digraph. 2.1 Notasi Pada bagian ini akan dibahas beberapa notasi digraph yang akan dipergunakan dalam pembahasan 2-digraph Digraph. Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis tak berarah, jika garis penghubung diberi arah, maka graph yang demikian disebut dengan digraph (directed graph). Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah digraph adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari digraph D, dan himpunan A V V yang unsurnya disebut dengan arc dari D. Jika diberikan a, b V dengan (a, b) A, maka terdapat arc dari vertex a ke vertex b di digraph D. Vertex a disebut sebagai vertex awal dan vertex b disebut sebagai vertex akhir.
10 7 Contoh Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc merah A = {(1, 2), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3)} adalah suatu digraph dengan 5 vertex dan 7 arc. Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap vertex direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai garis berarah dari titik u ke v. Representasi dari digraph yang diberikan pada contoh diatas diberikan pada gambar berikut. Contoh Representasi Grafis dari digraph Gambar 2.1 : Representasi grafis dari Digraph Diberikan D adalah digraph, u dan v adalah vertex di digraph D. Sebuah walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan arc dan dituliskan sebagai berikut. (v 0,v 1 ), (v 1,v 2 ),...,(v m 1,m ) untuk m>0, v 0 = u dan v m = v. Sebuah walk juga biasa dinotasikan u w v dan panjangnya dinotasikan dengan l(w). Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah walk yang vertexnya tidak boleh berulang kecuali mungkin vertex awal dan akhir. Sebuah
11 8 cycle didefinisikan sebagai sebuah path tertutup, dan sebuah loop didefinisikan sebagai sebuah cycle dengan panjang satu. Berikut ini akan diberikan representasi dari digraph untuk menjelaskan beberapa definisi diatas. Contoh Diberikan digraph di bawah ini Gambar 2.2 : Digraph dengan path, walk, cycle dan loop berikut : Digraph pada gambar 2.2 diatas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai adalah sebuah path terbuka adalah sebuah path tertutup atau disebut cycle adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada perulangan vertex adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 tetapi bukan cycle. 2 2 adalah sebuah loop digraph. Sekarang akan dibahas notasi - notasi digraph yang dijelaskan diatas dan dituliskan kedalam notasi 2-digraph. Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga
12 9 tak kosong, sebuah 2 digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari D, bersama dengan himpunan A V V yang disebut arc merah dan himpunan B V V yang disebut arc biru dari D. Jika diberikan a, b, c, d V dengan a, b A dan c, d B maka terdapat arc merah dari vertex a ke vertex b dan terdapat arc biru dari vertex c ke vertex d. Vertex a dan c disebut vertex awal dan vertex b dan d disebut vertex akhir. Berikut ini diberikan sebuah contoh 2-digraph Contoh Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc merah A = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 1)} dan arc biru B = {(5, 2), (5, 3), (4, 5)} adalah suatu 2-digraph dengan 5 vertex, 4 arc merah dan 3 arc biru. berikut: Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai Setiap vertex direpresentasikan sebagai suatu titik. Setiap arc merah (a, b) direpresentasikan sebagai garis berarah tak putus dari titik a ke b. Setiap arc biru (c, d) direpresentasikan sebagai garis berarah putus-putus dari titik c ke d Berikut ini akan diberikan contoh representasi 2-digraph pada Contoh diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
13 10 Contoh Representasi Grafis dari 2-digraph Gambar 2.3 : Representasi grafis dari 2-Digraph Suatu (h, k) walk dalam 2 digraph adalah sebuah walk yang memuat sebanyak h arc merah dan k arc biru. Dari definisi yang diberikan diatas, suatu (h, k) walk dari u ke v disebut sebagai uv walk, untuk sebuah walk w, r(w) dan b(w) adalah notasi jumlah dari [ ] r(w) arc merah dan arc biru. Vektor disebut komposisi dari w b(w) Suatu path adalah suatu walk dengan semua vertex berbeda kecuali mungkin vertex awal dan vertex akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup dan loop adalah [ [ 0 1 suatu cycle dengan komposisi 1] atau 0]. Berikut ini akan diberikan representasi grafis dari sebuah 2-digraph seperti yang diperlihatkan pada contoh berikut ini.
14 11 Contoh Diberikan 2-digraph di bawah ini Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop berikut : 2-Digraph pada gambar 4 di atas memiliki path, walk, cycle dan loop sebagai [ 1 b 3 r 1 2 adalah sebuah path terbuka dari 1 ke 2 dengan komposisi 1]. 1 b 3 b 4 r 1 adalah sebuah path tertutup atau cycle dari 1 ke 1 dengan [ 1 komposisi 2]. 1 b 3 r 2 r 5 b 3 b 4 adalah walk dari 1 ke 4 dengan komposisi [ 2 3], tetapi bukan suatu path karena path adalah walk tanpa melalui lebih dari satu vertex kecuali mungkin vertex awal dan akhir. 3 b 4 r 1 b 3 r 2 r 5 b 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 dengan [ 3 komposisi 3], tetapi bukan cycle. 2 r 2 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi 1 b 1 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi [ 1 0]. [ 0 1].
15 12 Sebuah digraph atau 2-digraph dapat direpresentasikan kedalam sebuah matriks, berikut ini diberikan hubungan antara digraph dan 2-digraph dengan matriks. 2.2 Matriks Adjacency Pada subbab ini akan dibahas hubungan antara digraph, 2-digraph dengan matriks. Sebuah digraph D dan 2-digraph D dengan n vertex dapat dinyatakan oleh matriks, yang entri dari matriks tersebut adalah bilangan 1 atau 0, matriks yang demikian disebut sebagai matriks adjacency Matriks Adjacency dari digraph. Sebuah representasi grafis dari digraph D dapat dituliskan adjacency sebagai berikut. 1, jika terdapat arc dari i ke j a ij = 0, jika sebaliknya Berikut ini diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi digraph. Contoh Representasi dari sebuah digraph Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 vertex, 6 arc
16 13 Dari representasi digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut Berikut ini akan diberikan sebuah matriks adjacency dari 2-digraph Matriks Adjacency 2-digraph. Pada 2-digraph matriks adjacency dari sebuah representasi grafis dapat dinyatakan sebagai berikut. Matriks adjacency merah, R =[r ij ] pada D adalah matriks n n dengan 1, jika terdapat arc merah r ij = 0, jika sebaliknya matriks adjacency biru B =[b ij ] pada D adalah matriks n n, dengan 1, jika terdapat arc biru b ij = 0, jika sebaliknya Berikut ini akan diberikan sebuah 2-digraph dan direpresentasikan kedalam matriks adjacency nya Contoh Representasi dari sebuah 2-digraph Gambar 2.6 : 2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru
17 14 Dari representasi 2-digraph diatas, dapat dibuat sebuah matriks adjacency sebagai berikut R = Adalah matriks adjacency merah B = Adalah matriks adjacency biru Berikut ini akan dibahas mengenai digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan keterhubungan dengan digraph dan 2-digraph primitif. 2.3 Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan keterhubungan dengan primitifitas Digraph primitif. Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk setiap walk berarah dari vertex u dan v dan walk berarah dari vertex v ke u. Berikut ini diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph yang tidak terhubung kuat.
18 15 Contoh Representasi dari 2 buah digraph. Gambar 2.7 : (a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat Pada gambar2.7 diatas menunjukkan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2. Suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat uv-walk yang panjangnya k. Lemma Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di D terletak pada cycle. bukti : Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D. karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari v ke n, akibatnya diperoleh suatu path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex v ke u di D. Oleh definisi, path tertutup adalah suatu cycledari sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di D terletak pada suatu cycle. Andaikan himpunan C = {c 1,c 2,...,c t } adalah himpunan semua cycle di D. Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke-i untuk i =1, 2,...,t dari
19 16 M adalah panjang cycle c i (l(c i )) misalkan <M>sebagai subgrup dari grup bilangan bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni <M > = {z 1 l(c 1 )+z 2 l(c 2 )+...+ z t l(c t ):z i Z,i=1, 2, 3,...,t} Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, dan k = gcd(l(c 1 ),l(c 2 ),,l(c t ). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k =1 dan imprimitf jika k 1 Berikut ini diberikan representasi grafis digaph yang terhubung kuat dan primitif. Contoh Representasi dari digraph tehubung kuat Gambar 2.8 : digraph terhubung kuat Pada gambar 2.8 diatas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle yaitu dengan panjang 5 dan cycle dengan panjang 4. Oleh definisi diatas, maka pembagi persekutuan terbesar dari cycle dengan panjang 5 dan 4 adalah 1 sehingga D adalah primitif.
20 digraph primitif. Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari vertex u ke v dan walk berarah dari vertex v ke u, dengan mengabaikan komposisi arc yang ada. Berikut ini diberikan contoh 2-digraph yang terhubung kuat dan 2-digraph yang tidak terhubung kuat. Contoh Representasi dari 2 buah 2-digraph. Gambar 2.9 : (a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat Pada gambar di atas menunjukkan bahwa (a) adalah 2-digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya. Sedangkan (b) adalah 2- digraph tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2. Lemma Andaikan D adalah suatu 2-digraph terhubung kuat maka setiap vertex terletak pada cycle. Bukti. Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke vertex v di D Karena terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex v ke u dan dari vertex u ke v, akibatnya diperoleh suatu path tertutup di D, yang dibentuk oleh arc dari
21 18 vertex u ke v dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi vertex v terletak pada suatu cycle. Suatu 2-digraph terhubung kuat D dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (h, k) walk dari u ke v. Andaikan komponen C = {γ 1,γ 2,,γ c } adalah himpunan semua cycle di D [ ] r(γ1 ) r(γ adalah matrik dengan c kolom. M = 2 ) r(γ c ) untuk kolom j pada b(γ 1 ) b(γ 2 ) b(γ c ) M adalah komposisi dari cycle γ j kita definisikan sebagai <M>subgroup dari grup bilangan bulat Z 2 dibangun oleh kolom dari M. Proposisi Andaikan D adalah 2-digraph terhubung kuat, dan misalkan u dan v adalah vertex di D dan misalkan w 1 dan w 2 adalah walk dari u ke v di D. maka [ ] [ ] r(w1 ) r(w2 ) < M> b(w 1 ) b(w 2 ) Bukti: Karena D adalah 2-digraph terhubung kuat, maka terdapat walk w vu dari v ke u. Misalkan w 1 adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u w 1 v wvu u dan misalkan w 2 adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u w 2 v wvu u. Karena untuk [ ] [ ] r(w setiap walk tertutup dapat dikomposisi menjadi cycle, 1 ) r(w b(w 1 ), 2 ) b(w 2 ) < M > [ ] [ ] [ ] [ ] r(w1 ) r(w2 ) r(w sehingga = 1 ) r(w b(w 1 ) b(w 2 ) b(w 1) 2 ) b(w 2) < M>. Diberikan D adalah sebuah 2-digraph dan z adalah vertex di D. Dua vertex u dan v di D dikatakan equivalent, diu 2 v, bila terdapat sebuah walk w zu dari z ke u dan sebuah walk w zv dari z ke v dengan komposisi yang sama. Dalam kasus vertex equivalent, definisi dari equivalent vertex adalah vertex di D yang dipilih secara bebas. Lebih lanjut, hal itu ditunjukkan oleh hubungan 2 adalah hubungan equivalent dengan himpunan dari vertex di D dan partisi dari himpunan vertex di D
22 19 kedalam kelas equivalent. Bilangan dari kelas equivalent k 2 dari D disebut dengan index imprimitivity dari D. Sebuah 2-digraph terhubung kuat dikatakan primitif bila k 2 = 1 dan imprimitif bila sebaliknya. Berikut ini kita berikan sebuah contoh 2-digraph primitif. Contoh Representasi 2-digraph primitif Gambar 2.10 : 2-digraph primitif Perhatikan gambar diatas, kita mulai dengan arc nomor 2. Walk 2 b 3 dan 2 b 1, adalah walk dari 2 ke 3 dan dari 2 ke 1 dengan komposisi yang sama. Sehingga Walk 2 b 1 r 2 b 3 dan 2 b 3 b 1 r 2 adalah walk dari 2 ke 3 dan dari 2 ke 2. Sehingga Dengan sifat transitif kita peroleh akibatnya, D adalah primitif. Berikut ini akan diperlihatkan hubungan antara entri matriks hasil representasi dengan eksponen dari 2-digraph. 2.4 Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph Pada subbab ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan keterhubungannya dengan 2-digraph Matriks tak negatif. Sebuah matriks dikatakan sebagai matriks tak negatif bila untuk setiap entri matriksnya a ij adalah bilangan tak negatif, sebuah matriks dikatakan sebagai matriks positif bila untuk setiap entri matriksnya a ij adalah bilangan positif. Berikut ini
23 20 diberikan contoh dari matriks tak negatif dan matriks positif. [ ] [ ] , matriks tak negatif; 2 1 1, matriks positif Selanjutnya akan dilihat pengertian dari eksponen dari 2-digraph dan hubungannya dengan matriks tak negatif Eksponen digraph. Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk berarah dari u ke v yang panjangnya k. Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp(d). Proposisi Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri A k ij dari A k menyatakan banyaknya walk dari vertex v i ke v j yang panjangnya k di digraph D Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vertex v i ke v j di digraph D. Hal ini berakibat untuk k = 1, maka setiap entri a 1 ij dari A 1 menyatakan banyaknya walk dari vertex v i ke v j yang panjangnya satu Asumsikan setiap entri a (k) i,j dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex v i ke v j yang panjangnya k di D, untuk k 1. Berikut ini diperlihatkan a (k+1) ij banyaknya walk dari vertex v i ke v j yang panjangnya k +1diD, untuk k 1. adalah Perhatikan setiap walk dari vertex v i ke v j di D dengan panjang k + 1 yang terdiri dari walk dari v i ke v l dengan panjang k untuk l =1, 2,...,n.dan dilanjutkan dengan arc dari vertex v i ke v j. Sehingga a (k) il a lj adalah menyatakan walk yang panjangnya k + 1 dari vertex v i ke v j di D untuk k =1, 2,...,n. Jika tidak terdapat
24 21 walk yang panjangnya k dari vertex v i ke v j di D, maka a (k) il = 0 sehingga a (k) il a lj =0. Hal ini berarti tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari vertex v i ke v j yang melalui vertex v l di D. Sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k +1 dari vertex v i ke v j di D adalah. Karena maka hal ini berakibat a (k+1) ij v j yang panjangnya k +1diD. a (k) i1 a 1j + a (k) i2 a 2j + + a (k) in a nj = A k+1 = A k A a (k) ij = n l=1 a (k) il a lj n l=1 a (k) il a lj adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vertex v i ke Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari eksponennya dengan menggunakan proposisi diatas. Contoh representasi digraph dengan 3 vertex dan 5 arc. Gambar 2.11 : Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc Dari representasi [ ] grafis digraph diatas didapat matriks adjacency A sebagai berikut. A = 0 1 1, dari teorema diatas untuk mencari banyak walk dari vertex 1 0 1
25 22 v i ke v j dengan panjang k adalah entri dari matriks A (k) ij dari A k. Dengan demikian nilai k adalah eksponen dari digraph, bila matriks A k adalah matriks positif. Perhatikan matriks A k untuk k : [ 0 1 ] 0 a. k=1;a = bukan eksponen dari digraph pada contoh diatas, karena tidak terdapat walk dengan panjang satu, dari 1 ke 1, dari 1 ke 3, dari 2 ke 1 dan dari 3 ke 2 [ 0 1 ] 1 b. k=2;a 2 = bukan eksponen dari digraph contoh diatas, karena tidak terdapat walk dengan panjang dua, dari 1 ke 1. [ 1 1 ] 2 c. k = 3; A 3 = Eksponen dari digraph pada contoh diatas adalah 3, karena terdapat walk dengan panjang tiga dari tiap pasangan vertex pada digraph D eksponen dari 2-digraph. Pada 2-digraph D, eksponen didefisikan sebagai bilangan bulat terkecil h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang h + k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Eksponen dari 2-digraph D dinotasikan oleh exp 2 (D). Lemma Jika (R, B) adalah matriks adjacency dari 2-digraph D. Maka entri (i, j) dari (R, B) (h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari 2-digraph D Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (h+k) dan(h+k+1), jika h = 0 maka k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. Jika h = 0 maka entri (i, j) dari (R, B) (0,1) = B
26 23 adalah walk dengan komposisi [ 0 1] di 2-digraph D. Dengan cara yang sama, jika k =0maka(R, B) (1,0) = A adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk dengan [ 1 komposisi 0] di 2-digraph D. Andaikan lemma benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h dan k dengan h + k h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar, dengan catatan sebagai berikut. (R, B) (h+1,k) = R(R, B) (h,k) + B(R, B) (h+1,k 1) dengan induksi entri (i, j) pada R(R, B) (h,k) adalah walk dari i ke j diikuti dengan sebuah arc merah dan diikuti oleh sebuah (h, k)-walk dari entri (i, j) pada B(R, B) (h+1,k 1) adalah jumlah walk dari i ke j yang dimulai dengan sebuah arc biru dan dikuti oleh sebuah (h + 1, k 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari (R, B) (h+1,k) adalah jumlah (h +1,k)-walk dari i ke j Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang akan dicari eksponennya. Contoh Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah Gambar 2.12 : Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
27 24 Dari representasi 2-digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut. [ 0 1 ] 0 Matriks adjacency merah R = dan [ 0 0 ] 1 Matriks adjacency biru B = Dari contoh kita cari eksponennya, yaitu dengan melihat penjumlahan h arc biru dan k arc merahnya, dengan cara sebagai berikut: a. untuk h + k =1 1. (R, B) (1,0) = R = 2. (R, B) (0,1) = B = [ 0 1 ] [ ] b. untuk h + k =2 [ 0 0 ] 0 1. (R, B) (2,0) = RR = [ ] (R, B) (1,1) = RB + BR = (R, B) (0,2) = BB = c. untuk h + k =3 1. (R, B) (3,0) = RR 2 = [ [ 0 0 ] ] 2. (R, B) (2,1) = R(R, B) (1,1) + BR 2 = 3. (R, B) (1,2) = RB 2 + B(R, B) (1,1) = [ 1 3 ] [ ]
28 25 4. (R, B) (0,3) = BB 2 = d. untuk h + k =4 1. (R, B) (4,0) = RR 3 = [ 0 0 ] [ 0 0 ] (R, B) (3,1) = R(R, B) (2,1) + BR 3 = 3. (R, B) (2,2) = R(R, B) (1,2) + B(R, B) (2,1) = [ 0 1 ] [ ] [ 2 Untuk h + k = 4 dengan komposisi arc 2], 2 arc merah dan 2 arc biru, terdapat walk dari tiap pasangan vertex u dan v di 2-digraph D sehingga 2-digraph pada contoh [ diatas memiliki eksponen 4 dengan komposisi arc 2], 2 arc merah dan 2 arc biru. 2.5 Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop Dalam subbab ini akan diperlihatkan batas atas dan batas bawah dari eksponen 2-digraph exp 2 (D) dengan dua buah loop, satu dari masing-masing warna. Teorema Jika D adalah 2-digraph dengan n 2 vertex yang memuat sebuah loop merah dan sebuah loop biru, maka exp 2 (D) 3n 3 Bukti. Diberikan i dan j vertex di 2-digraph D yang saling berhubungan di D, terdapat loop merah dan loop biru di 2-digraph D. Untuk setiap pasangan vertex u dan v di D, selanjutnya walk w uv, u p ui i p ij j p jv v, adalah walk dari u ke v. Untuk p ui adalah path dari u ke i, p ij adalah path dari i ke j dan p jv adalah path
29 26 dari j ke v. Diberikan l r = max u V {r(p ui)} dan l b = max u V {b(p ui)} l r = max v V {r(p jp)} dan l b = max v V {b(p jv)} maka untuk setiap pasangan vertex u dan v adalah walk w uv dari u ke v dengan [ ] [ ] r(wuv ) lr + r(p ij )+l r b(w uv ) l b + b(p ij )+l b adalah kejadian loop merah dan loop biru, karena walk w uv adalah kejadian loop merah dan loop biru, walk w uv adalah sebuah walk dari u ke v dengan komposisi [ ] lr + r(p ij )+l r l b + b(p ij )+l b disekitar loop merah dan loop biru adalah bilangan hasil perkalian, sedemikian hingga l r + l b,l r + l b,r(p ij )+b(p ij ) n 1 akibatnya exp 2 (D) 3n 3 Teorema Jika 2-digraph D terhubung kuat dengan n vertex, sebuah loop merah dan sebuah loop biru pada vertex yang sama maka exp 2 (D) 2n 2. Bukti. Andaikan kedua loop berada pada vertex s, untuk 1 s n, dari setiap pasangan vertex i dan j di 2-digraph D, didapat P is adalah path dari i ke s dan P sj adalah path dari s ke j, jika: l r = max{r(p ui )} dan l b = max{b(p ui )} i i l r = max{r(p jp )} dan l b = max{b(p jv )} j j untuk setiap pasangan vertex i dan j di D didapat walk dari i ke j dimulai dari vertex i, kemudian melalui path P is sampai di vertex s kemudian diikuti path P [ ] [ ] sj r(wij ) lr + l sampai ke vertex j maka : r b(w ij ) l b + l b karena walk w ij melalui kedua loop, maka terdapat sebuah (l r + l r,l b + l b )-walk dari i ke j, sehingga exp 2(D) 2n 2
BAB 1 PENDAHULUAN. demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas
Lebih terperinciVERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF Pada bagian ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitifitas,
Lebih terperinci2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D.
BAB 2 DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF Pada Bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAPH. Representasi dari sebuah digraph D dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 2.1. Representasi dari digraph dengan 5 buah verteks.
BAB 2 DIGRAPH Pada bab ini akan dijelaskan teori-teori dasar tentang digraph yang meliputi definisi dua cycle, primitifitas dari digraph, eksponen, dan lokal eksponen. Dengan demikian, akan mempermudah
Lebih terperinciUniversitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Penelitian mengenai eksponen digraf dwiwarna telah banyak dilakukan. Shader dan Suwilo (003) adalah yang pertama sekali melakukan penelitian tersebut. Pada
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Penelitian
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Studi mengenai eksponen dari sebuah digraph menjadi pembahasan yang lebih sederhana setelah Wielandt (Schneider, H. 2002) mengemukakan sebuah gagasan mengenai
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf
Lebih terperinciUniversitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Sebuah graph G adalah sebuah objek yang terdiri atas sekumpulan titik yang disebut verteks dan garis yang menghubungkan dua buah verteks yang disebut sisi atau edge.
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinci2-EKSPONEN DARI DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK YANG MEMUAT CYCLE PRIMITIF TESIS
2-EKSPONEN DARI DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK YANG MEMUAT CYCLE PRIMITIF TESIS Oleh TITIK NGATMINTARSIH 067021030/MT SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008 2-EKSPONEN DARI DIGRAPH DWIWARNA
Lebih terperinciSCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI MERRYANTY LESTARI P
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI MERRYANTY LESTARI P 110803067 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinci2-EKSPONEN DARI 2-DIGRAPH DENGAN LOOP SKRIPSI RICHARD ALBERT NASUTION
2-EKSPONEN DARI 2-DIGRAPH DENGAN LOOP SKRIPSI RICHARD ALBERT NASUTION 010803013 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2007 2-EKSPONEN DARI
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Penelitian
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Graf merupakan pokok bahasan matematika yang banyak mendapat perhatian karena aplikasinya sangat berguna untuk menyelesaikan persoalan kehidupan manusia.
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAF PRIMITIF
6 BAB 2 DIGRAF PRIMITIF Pada bagian ini, peneliti akan menjelaskan bahwa digraf k D n merupakan sebuah digraf primitif. Penjelasan tersebut diperkuat dengan memaparkan beberapa definisi digraf dan beberapa
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf adalah cabang kajian matematika yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara sederhana, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut titik yang terhubung
Lebih terperinci2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
Bulletin of Matheatics Vol. 03 No. 0 (20) pp. 39 48. 2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN Mardiningsih Saib Suwilo dan Indra Syahputra Abstract. Let D asyetric two-coloured-digraph
Lebih terperinciMinggu Ke XIV Uraian dan Contoh
Minggu Ke XIV 4. Uraian dan Contoh Suatu graf berarah (directed graph) D atau digraph terdiri dari dua komponen : (i) Himpunan V yang elemen-elemennya disebut titik-titik, (ii) Himpunan A dari pasangan-pasangan
Lebih terperinciBagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E
Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan
Lebih terperinci5. Representasi Matrix
5. Representasi Matrix Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Matrix Ketetanggaan 2. Walk Pada Graph dan Digraph 3. Matrix Insidensi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.
Lebih terperinciEKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2
EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2 TESIS Oleh HARI SUMARDI 127021003/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 EKSPONEN LOKAL
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
4 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Kemacetan Kemacetan adalah situasi atau keadaan tersendatnya atau bahkan terhentinya lalu lintas yang disebabkan oleh banyaknya jumlah kendaraan melebihi kapasitas
Lebih terperinci9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES
CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT RELASI
MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan
4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n. Oleh : Yogi Sindy Prakoso ( ) JURUSAN MATEMATIKA. Company
DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n Oleh : Yogi Sindy Prakoso (1206100015) JURUSAN MATEMATIKA Company FAKULTAS MATEMATIKA Click to DAN add ILMU subtitle PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI
Lebih terperinciDigraph eksentris dari turnamen transitif dan regular (Eccentric digraph of transitive and regular tournaments)
Digraph eksentris dari turnamen transitif dan regular (Eccentric digraph of transitive and regular tournaments) Oleh : Hazrul Iswadi Departemen Matematika dan IPA (MIPA) Universitas Surabaya (UBAYA), Jalan
Lebih terperinciBAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciStruktur dan Organisasi Data 2 G R A P H
G R A P H Graf adalah : Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik) Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk
Lebih terperinciPertemuan 12. Teori Graf
Pertemuan 2 Teori Graf Derajat Definisi Misalkan adalah titik dalam suatu Graf G. Derajat titik (simbol d()) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph Sebelum sampai pada pendefenisian masalah lintasan terpendek, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciR = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
Pertemuan 9 Relasi Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciDEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciCOURSE NOTE : Graph Theory. By : Syaiful Hamzah Nasution
COURSE NOTE : Graph Theory. By : Syaiful Hamzah Nasution Representasi Matriks untuk Graph. Defini Matriks Keterhubungan Misalkan G adalah graph dengan label titik 1, 2, 3,..., n, Matriks keterhubungan
Lebih terperinciRelasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk
Lebih terperinciSuatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik
BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,
Lebih terperinciRelasi. Oleh Cipta Wahyudi
Relasi Oleh Cipta Wahyudi Definisi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya
Lebih terperinciGraf. Matematika Diskrit. Materi ke-5
Graf Materi ke-5 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya
Lebih terperinciDasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013
Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri
Lebih terperinciGraf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017
Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012
Lebih terperinciGraf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan
Lebih terperinciEKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP SKRIPSI NURUL HIDAYATI
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP SKRIPSI NURUL HIDAYATI 060803032 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 EKSPONEN
Lebih terperinciABSTRAK. Universitas Sumatera Utara
iv ABSTRAK Untuk menemukan matching maksimum pada graph tak berarah dapat diformulasikan sebagai masalah rank matriks. Matriks Tutte dipopulerkan oleh Tutte sebagai gambaran sebuah graph tak berarah, yang
Lebih terperinciBab 2. Teori Dasar. 2.1 Definisi Graf
Bab 2 Teori Dasar Pada bagian ini diberikan definisi-definisi dasar dalam teori graf berikut penjabaran mengenai kompleksitas algoritma beserta contohnya yang akan digunakan dalam tugas akhir ini. Berikut
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciIV. MATRIKS PEMADANAN MAKSIMAL
{(1,),(2,4),(,1),(4,2)} yang berarti pada periode ke dua yaitu baris ke tiga pada kolom pertama, agen 1 dipasangkan dengan agen. Lalu pada kolom dua agen 2 dipasangkan dengan agen 4, pada kolom berikutnya
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex
Lebih terperinciSCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING-STAR DAN VARIASINYA
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING-STAR DAN VARIASINYA SKRIPSI FITRIANA 100803027 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 SCRAMBLING INDEX
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciBAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari
BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab
Lebih terperinciDigraf dengan perioda 2
Digraf dengan perioda 2 Hazrul Iswadi, Arif Herlambang, Heru Arwoko Departemen Matematika dan IPA (MIPA) Universitas Surabaya (UBAYA), Jalan Raya Kalirungkut, Surabaya, e-mail : us6179@wolf.ubaya.ac.id
Lebih terperinciPATH KUAT TERKUAT DAN JARAK KUAT TERKUAT DALAM GRAF FUZZY. Lusia Dini Ekawati 1, Lucia Ratnasari 2. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
PATH KUAT TERKUAT DAN JARAK KUAT TERKUAT DALAM GRAF FUZZY Lusia Dini Ekawati, Lucia Ratnasari, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, S H, Tembalang, Semarang Abstract Fuzzy graph is a graph
Lebih terperinciPEMBENTUKAN HAMILTONIAN CYCLE PADA DOUBLE LOOP NETWORKS
PEMBENTUKAN HAMILTONIAN CYCLE PADA DOUBLE LOOP NETWORKS Dina Fitri Aliana, Wamiliana dan Fitriani Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Email : adinafitri07@yahoo.com Abstrak. Graf Hamiltonian merupakan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui
Lebih terperincix 6 x 5 x 3 x 2 x 4 V 3 x 1 V 1
. PENGANTAR TEORI GRAF Definisi : Secara umum merupakan kumpulan titik dan garis. NET terdiri atas : 1. Himpunan titik (tidak boleh kosong) 2. Himpunan garis (directed line) 3. Setiap directed line menentukan
Lebih terperinciBAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang
BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.
Lebih terperinciEKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-titik GANJIL SKRIPSI MARDHA TILLAH
EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-titik GANJIL SKRIPSI MARDHA TILLAH 090803044 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciDiscrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika
Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu:
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pembagian Ilmu Statistik Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu: 1. Statistik Parametrik Statistik parametrik adalah ilmu statistik yang digunakan untuk
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A = a a M a 2 m a a a 2 22 M m 2
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Terminologi graf Tereminologi termasuk istilah yang berkaitan dengan graf. Di bawah ini akan dijelaskan beberapa definisi yang sering dipakai terminologi. 2.1.1 Graf Definisi
Lebih terperinciMASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS
MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS Farida Suwaibah, Subiono, Mahmud Yunus Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya,, e-mail: fsuwaibah@yahoo.com
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graph merupakan cabang ilmu yang memiliki peranan penting dalam pengembangan ilmu matematika dan aplikasi. Teori graph saat ini mendapat banyak perhatian karena
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
Lebih terperinciBAB III SIFAT SIFAT LINE DIGRAPH. Bab ini khusus membahas mengenai definisi serta sifat sifat dari line
BAB III SIFAT SIFAT LINE DIGRAPH Bab ini khusus membahas mengenai definisi serta sifat sifat dari line digraph yang dapat digunakan untuk mengenali line digraph. Jika suatu graf memenuhi sifat sifat yang
Lebih terperinciSISTEM INFORMASI UNIVERSITAS GUNADARMA 2012/2013. Graf Berarah
SISTEM INFORMASI UNIVERSITAS GUNADARMA 2012/2013 Graf Berarah Graf Berarah Suatu graf berarah (Direct Graf/Digraf) D terdiri atas 2 himpunan : 1. Himpunan V, anggotanya disebut Simpul. 2. Himpunan A, merupakan
Lebih terperinciGraph. Matematika Informatika 4. Onggo
Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi adalah struktur diskrit yang mengandung vertex dan edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut. vertex edge 2 Jenis-jenis Definisi 1: Suatu
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN PENGEMBANGAN TEOREMA DIRAC UNTUK GRAF BERORDE KURANG ATAU SAMA DENGAN SEPULUH
ALTERNATIF PEMBUKTIAN PENGEMBANGAN TEOREMA DIRAC UNTUK GRAF BERORDE KURANG ATAU SAMA DENGAN SEPULUH Hasmawati, Jusmawati Massalesse, Hendra, Muhamad Hasbi Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanudin
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelaskelas graf, dan dimensi metrik pada
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Algoritma Algoritma adalah teknik penyusunan langkah-langkah penyelesaian masalah dalam bentuk kalimat dengan jumlah kata terbatas tetapi tersusun secara logis dan sitematis
Lebih terperinciDigraf Eksentris Turnamen Tereduksi
Digraf Eksentris Turnamen Tereduksi Hazrul Iswadi Departemen MIPA Ubaya Jalan Raya Kalirungkut Surabaya Abstrak Turnamen tereduksi T adalah turnamen yang himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi sub himpunan
Lebih terperinciKode, GSR, dan Operasi Pada
BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan
Lebih terperinci