MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN
|
|
- Sudirman Muljana
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATHunesa Jurnal Iliah Mateatika Volue 3 No.6 Tahun 2017 ISSN SIFAT-SIFAT TURUNAN MUTLAK FUNGSI PADA RUANG METRIK Wicitra Diah Kusua (S1 Mateatika, Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala, Universitas Negeri Surabaya) E-ail: wicitrakusua@hs.unesa.ac.id Dwi Nur Yunianti (Mateatika, Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala, Universitas Negeri Surabaya) E-ail: nian_zalpha@yahoo.co Abstrak Konsep turunan telah diperkenalkan pada studi tentang fungsi bernilai real. Naun, pada turunan fungsi bernilai real terdapat fungsi-fungsi yang tidak epunyai turunan. Sebagai contoh fungsi bernilai utlak f(s) = s untuk setiap s R. Fungsi f tidak epunyai turunan di 0 R. Sehingga diperlukan suatu konsep turunan yang baru sedeikian hingga f epunyai turunan. Pada tahun 2012, Charatonik dan Insall eperkenalkan turunan utlak fungsi pada sebarang ruang etrik (A, d A ) dengan A sebarang hipunan tak kosong dan d A sebarang etrik pada A. Berdasarkan konsep tersebut, fungsi f epunyai turunan utlak di 0 R dengan nilai turunan utlaknya saa dengan satu. Artikel ini terinspirasi dari Charatonik dan Insall (2012). Di dala artikel ini dibahas sifat-sifat turunan utlak fungsi pada ruang etrik, seperti kekontinuan fungsi yang epunyai turunan utlak, sifat turunan utlak saat nilai turunan utlaknya tak nol, sifat aturan rantai pada turunan utlak suatu fungsi, sifat turunan utlak pada R dan R n. Sebagai tabahan juga dibahas sifat-sifat lain eliputi hubungan turunan utlak dan turunan utlak kuat, kekontinuan fungsi yang epunyai turunan utlak kuat, sifat operasi penjulahan dan pengurangan turunan utlak suatu fungsi. Kata kunci: etrik, ruang etrik, turunan, turunan utlak, dan turunan utlak kuat. Abstract The concept of a derivative was introduced in the context of the study of real-valued functions of a real variable. But, soe real valued functions didn t have derivatives. For exaple, absolute valued function f(s) = s for each s R. This function doesn t have derivatif at 0 R. Therefore, we need new derivative concept that ake the absolute valued function has derivative. In 2012, Charatonik and Insall introduce the new concept of absolute derivative in any etric spaces (A, d A ) where A is any non-epty set and d A is any etric on A. Based on the concept, absolute valued function has an absolute derivative at 0 R with its absolute derivative value equal to one. This article was inspired by article was written by Charatonik and Insall (2012). The result of this article discuss about the charactheristics of absolute derivative in etric spaces. These properties are continuity of the absolutly differentiable function, property when absolute derivative is non-zero, chain rule, and properties on R and R n. For ore details, this article disscuss soe properties that not exist before. These are relation bertween absolute derivative and strong absolute derivative, continuity of the strong absolutly differentiable function, addition and subtraction. Keywords: etric, etric spaces, derivative, absolute derivative, and strong absolute derivative. PENDAHULUAN Konsep turunan telah diperkenalkan pada studi tentang fungsi bernilai real. Naun, pada turunan fungsi bernilai real terdapat fungsi-fungsi yang tidak epunyai turunan. Sebagai contoh fungsi bernilai utlak f(s) = s untuk setiap s R. Fungsi f tidak epunyai turunan di 0 R (Bartle and Sherbert, 2000: 159). Sehingga diperlukan suatu konsep turunan yang baru sedeikian hingga f epunyai turunan. Ruang etrik erupakan suatu generalisasi dari konsep jarak yang dikenal dala praktek sehari-hari. Konsep ini pertaa kali diperkenalkan oleh Maurice Fréchet pada tahun 1906 (Kreyszig, 1978: 2). Seperti yang sudah diketahui, hipunan bilangan real R dengan suatu etrik d erupakan salah satu contoh ruang etrik dan ditulis (R, d). Oleh karena itu, pengertian turunan suatu fungsi bernilai real dapat dikebangkan enjadi turunan fungsi pada sebarang ruang etrik (A, d A ) dengan A sebarang hipunan tak kosong dan d A sebarang etrik pada A. 74
2 Volue 3 No.6 Tahun 2017 Pada tahun 2012, Charatonik dan Insall telah eperkenalkan konsep turunan utlak Berdasarkan konsep tersebut, fungsi berniali utlak f(s) = s untuk setiap s R epunyai turunan utlak di 0 R dengan nilai turunan utlaknya saa dengan satu (Charatonik dan Insall, 2012: 1319). Selain itu, konsep turunan utlak ini lebih uu dibandingkan konsep turunan pada hipunan bilangan real R aupun konsep turunan pada hipunan bilangan kopleks C. Berdasarkan artikel tersebut, artikel ini ebahas sifat-sifat turunan utlak fungsi pada ruang etrik. LANDASAN TEORI Dala bab ini akan dikaji engenai beberapa definisi dan teorea pendukung yang diperlukan untuk ebahas turunan utlak fungsi pada sebarang ruang etrik (A, d A ). Definisi 2.1 Diketahui s R. Notasi s disebut nilai utlak s dan didefinisikan sebagai s s untuk a 0 = { s untuk a < 0 (Bartle and Sherbert, 2000: 31) Interpretasi dari nilai utlak s dari suatu eleen s R adalah jarak s ke titik origin 0. Secara uu, jarak s dan t untuk setiap s, t R adalah s t. Teorea 2.1 Untuk setiap s, t R berlaku t 0 aka s t t s t. (Bartle and Sherbert, 2000: 31) Definisi 2.2 Diberikan A sebarang hipunan bagian tak kosong dari R. Jika A eiliki batas atas, aka s disebut supreu dari A dinotasikan sup A = s jika eenuhi: i) untuk a A berlaku x s (u disebut batas atas A), ii) jika t batas atas A, aka s t. (Bartle and Sherbert, 2000: 35) Teorea 2.2 Batas atas s dikatakan sebagai supreu suatu hipunan tak kosong A R jika dan hanya jika untuk setiap bilangan real ε > 0 ada suatu a A sedeikian hingga s ε < a. (Bartle and Sherbert, 2000: 36) Berikut ini diberikan beberapa definisi terkait dengan raung etrik beserta sifat-sifatnya. Definisi 2.3 Diketahui A sebarang hipunan tak kosong. Fungsi d: A A R disebut etrik pada A (atau fungsi jarak pada A) jika untuk setiap a, b, c A berlaku i) d(a, b) 0, ii) d(a, b) = 0 a = b, iii) d(a, b) = d(b, a), iv) d(a, b) d(a, c) + d(c, b). Pasangan (A, d) disebut ruang etrik dan d(a, b) disebut jarak a ke b. (Kreyszig, 1978: 3) Definisi 2.4 Diberikan ruang etrik (A, d) dan sebarang bilangan real ε > 0. Bola terbuka dengan pusat a 0 X dan jari-jari ε didefinisikan sebagai B(a 0 ; ε) = {a A d(a, a 0 ) < ε}. (Kreyszig, 1978: 18) Definisi 2.5 Diketahui ruang etrik (A, d) dan M A. Titik a 0 A disebut titik interior M, jika ada bilangan real r > 0 berlaku B(a 0 ; r) M. Hipunan seua titik interior M dinotasikan dengan Int(M). (Kreyszig, 1978: 18) Definisi 2.6 Diberikan ruang etric (A, d A ) dan (B, d B ). Fungsi f: A B kontinu di a A jika untuk sebarang bilangan real ε > 0, bola terbuka dengan pusat f(a) B yaitu B(f(a); ε) = {b B d B (f(a), b) < ε} aka ada bilangan real δ > 0, bola terbuka dengan pusat a X yaitu B(a; δ) = {a A d A (a, a ) < δ} sehingga untuk setiap a A B(a; δ) berlaku f(a ) B(f(a); ε). Selanjutnya juga dapat ditulis sebagai f(a B(a; δ)) B(f(a); ε). (Shirali dan Vasudeva, 2006: 105) Definisi 2.7 Diberikan ruang etric (A, d A ) dan (B, d B ). Fungsi f: A B kontinu di a A jika untuk setiap bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0, sehingga untuk a A dan d A (a, a) < δ aka d B (f(a ), f(a)) < ε. (Pugh, 2003: 55) Definisi 2.8 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Fungsi f: A B disebut fungsi injektif lokal di a A jika terdapat suatu bilangan real r 0 > 0 sehingga untuk setiap s, t B(a ; r 0 ) berlaku jika s t aka f(s) f(t). (Villanacci, 2002: 69) Berikut ini diberikan beberapa definisi dan teorea engenai ruang bernora dan sifat-sifatnya. Definisi 2.9 Diberikan suatu hipunan tak kosong F dengan dua operasi biner dan disebut lapangan (field) ditulis (F,, ), jika untuk setiap a, b, c F eenuhi sifat-sifat: 75
3 Volue 3 No.6 Tahun 2017 i) a b F. ii) (a b) c = a (b c). iii) Terdapat 0 F sedeikian hingga a 0 = 0 a = a. iv) Terdapat a 1 F sedeikian hingga a a 1 = a 1 a = 0. v) a b = b a. vi) a b F. vii) a (b c) = (a b) c. viii) a (b c) = (a b) (a c). ix) (a b) c. = (a c) (b c). x) a b = b a xi) Terdapat 1 F sedeikian hingga a 1 = 1 a = a. xii) Untuk setiap a F dengan a 0, aka a 1 F. (Heirstein, 1996: 256) Definisi 2.10 Diberikan suatu hipunan tak kosong A dengan operasi penjulahan dan operasi perkalian skalar disebut ruang linier atas lapangan R jika untuk setiap α, β R dan u, v, w A eenuhi: i) u + v A. ii) (u + v) + w = u + (v + w). iii) Terdapat 0 A sedeikian hingga u + 0 = 0 + u = u. iv) Terdapat u A sedeikian hingga u + ( u) = ( u) + u = 0. v) u + v = v + u. vi) αu X. vii) Terdapat 1 A sedeikian hingga u1 = 1u = u. viii) α(u + v) = (αu) + (αv). ix) (α + β)u = (αu) + (βu). x) α(βu) = (αβ)u. (Kreyszig, 1978: 50) Definisi 2.11 Diketahui A ruang linier. Fungsi. : A R dengan sifat-sifat: i) u 0 untuk setiap u A, ii) u = 0 u = 0, iii) αu = α u untuk setiap α R dan setiap u A, iv) u + v u + v untuk setiap u A. disebut nor pada A. Ruang linier A dengan nor. dan ditulis dengan (A,. ) disebut ruang bernora. (Kesavan, 2009: 26) Teorea 2.3 Diberikan ruang bernora (A,. ). Jika untuk setiap a, b A didefinisikan d(a, b) = a b, aka d erupakan etrik pada (A,. ). Teorea 2.4 (Translation Invariance) Suatu etrik yang diinduksi dengan nor tertentu pada ruang bernora A eenuhi i) d(u + w, v + w) = d(u, v) ii) d(αu, αv) = α d(u, v) untuk setiap u, v, w X dan α R. (Kreyszig, 1978: 63) Definisi 2.12 Diketahui A dan B ruang linier. Fungsi f: A B dikatakan linier jika eenuhi: i) f(u + v) = f(u) + f(v) untuk setiap u, v A. ii) f(αu) = αf(u) untuk setiap u A dan α R. (Kreyszig, 1978: 83) Selanjutnya diberikan definisi turunan pada R dan turunan berarah pada ruang bernora, khususnya R n. Hal ini dikarenakan kekhasan dari R n yang erupakan ruang linier, ruang bernora, sekaligus ruang etrik. Definisi 2.13 Diketahui A R, f: A R, dan a titik interior I. Bilangan real L disebut turunan f di a, jika diberikan sebarang bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0, sehingga untuk a A eenuhi 0 < a a < δ aka f(a ) f(a) L < ε a a Dala kasus ini, f dikatakan epunyai turunan di c, dan ditulis f (a) = L. Secara ekivalen, turunan f di a dapat ditulis sebagai it, yaitu f(a ) f(a) f (a) = a a a a bilaana it tersebut ada. (Bartle and Sherbert, 2000:158) Definisi 2.14 Diketahui f: A R n R, p titik interior X, dan u sebarang vektor di A. Fungsi linier L: R n R dikatakan sebagai turunan berarah f di p A dengan arah u jika untuk setiap bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0 sehingga untuk setiap t R, 0 < t < δ, aka f(p + tu) f(p) L(u) < ε. (2.14.1) t Secara ekivalen, persaaan (2.14.1) dapat ditulis sebagai it, yaitu f(p + tu) f(p) L(u) = t 0 t (Bartle, 1975: 348) Pada saat u = e 1 = (1,0,,0) vektor di X aka L(e 1 ) enjadi f (p) x 1 atau yang lebih dikenal sebagai turunan parsial fungsi f terhadap variabel x 1. Jadi, secara uu turunan parsial fungsi f terhadap variabel x j dapat didefinisikan sebagai 76
4 Volue 3 No.6 Tahun 2017 f f(p + te j ) f(p) (p) = x j t 0 t (2.14.2) Untuk t = x p R dan f fungsi linier aka persaaan (2.14.2) dapat ditulis sebagai f f(x)e j f(p)e j (p) = (2.14.3) x j x p x p PEMBAHASAN Bagian ini enjelaskan hasil penelitian berupa sifat-sifat yang berlaku pada turunan utlak kuat suatu fungsi pada ruang etrik. Di bawah ini definisi turunan utlak dan turunan utlak kuat suatu fungsi pada ruang etrik. Definisi 3.1 Diberikan ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Bilangan real K dikatakan turunan utlak dari fungsi f: A B di p A jika diberikan sebarang bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0 sehingga untuk setiap a A eenuhi d A (a, p) < δ berlaku d B(f(a), f(p)) K < ε d A (a, p) Dala kasus ini, f dikatakan epunyai turunan utlak di p A, dan ditulis K = f (p). Dengan kata lain, turunan utlak f di p A dapat ditulis sebagai it, yaitu d B (f(a), f(p)). a p d A (a, p) Nilai it tersebut bilaana ada disebut turunan utlak f di p A. (Charatonik dan Insall, 2012: 1315) Contoh 3.1 Diketahui ruang etrik (R 2, d) dan fungsi g: R 2 R 2 dengan g(u, v) = (u, v) dengan (u, v) R 2 dan u, v R. Dapat dibuktikan bahwa g epunyai turunan utlak di p = (0,0) R 2 dan 0 R. d(g(u), g(p)) d((u, v), (0,0)) = u p d(u, p) (u,v) (0,0) d((u, v), (0,0)) (u 0) 2 + (v 0) 2 = (u,v) (0,0) (u 0) 2 + (v 0) 2 = 1 = 1 (u,v) (0,0) Jadi, f epunyai turunan utlak di p = (0,0) R 2. Definisi 3.2 Diberikan ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Bilangan real T dikatakan turunan utlak kuat dari fungsi f: A B di p A jika diberikan sebarang bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0 sehingga untuk setiap a, b A, a b eenuhi d A (a, b) < δ aka d B(f(a), f(b)) T < ε d A (a, b) Dala kasus ini, f dikatakan epunyai turunan utlak kuat di p A, dan ditulis T = F (p). Dengan kata lain, turunan utlak f di p A dapat ditulis sebagai it, yaitu (a,b) (p,p) a b d B (f(a), f(b)). d A (a, b) Nilai it tersebut bilaana ada disebut turunan utlak kuat f di p A. (Charatonik dan Insall, 2012: 1316) Berikut diberikan hubungan antara fungsi yang epunyai turunan utlak, fungsi yang epunyai utlak kuat, dan kekontinuan fungsi. Teorea 3.1 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak kuat di p A aka f epunyai turunan utlak di p A. Turunan utlak kuat suatu fungsi erupakan peruuan dari turunan utlak suatu fungsi. Oleh karena itu, setiap fungsi yang epunyai turunan utlak kuat aka fungsi tersebut erupakan fungsi yang epunyai turunan utlak (Charatonik dan Insall, 2012: 1316). Tetapi, kebalikannya belu tentu berlaku. Sebagai contoh fungsi bernilai utlak f(a) = a untuk setiap a R epunyai turunan utlak di titik nol, tetapi f tidak epunyai turunan utlak kuat di titik tersebut. Teorea 3.2 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak di p A, aka f kontinu di p A. (Charatonik dan Insall, 2012:1317) Teorea 3.3 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak kuat di p A, aka f kontinu di p A. Bukti: Karena fungsi f epunyai turunan utlak kuat di p A, aka berdasarkan Teorea 3.1 aka fungsi f epunyai turunan utlak di p A. Selanjutnya, berdasarkan Teorea 3.2 aka fungsi f kontinu di p A. Jadi, f kontinu di p A. Selanjutnya berturut-turut pada Teorea 3.4 dan Teorea 3.5 akan dibahas engenai sifat turunan utlak kuat dan turunan utlak suatu fungsi saat nilai turunan utlak fungsinya tak nol. 77
5 Volue 3 No.6 Tahun 2017 Teorea 3.4 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak kuat di p A dan f (p) tak nol, aka fungsi f injektif lokal di p A. (Charatonik dan Insall, 2012: 1317) Teorea 3.5 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak di p A dan f (p) tak nol, aka terdapat bola terbuka B(p; δ) sehingga untuk setiap a B(p; δ) {p} berlaku f(a) f(p) (Charatonik dan Insall, 2012: 1318) Berikut akan dijelaskan sifat turunan utlak pada suatu koposisi fungsi. Sebelunya, akan diberikan Teorea 3.6 yang erupakan perluasan dari Teorea Caratheodory pada R. Teorea 3.6 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Fungsi f: A A epunyai turunan utlak di p A jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi φ pada A kontinu di p A dan d B (f(a), f(p)) = φ(a)d A (a, p) untuk setiap a A. Lebih lanjut φ(p) = f (p). Teorea 3.7 Diketahui ruang etrik (A, d A ), (B, d B ). dan (C, d c ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak di p A dan fungsi g: B C epunyai turunan utlak di f(p) B, aka koposisi fungsi g f: A C epunyai turunan utlak di p A dan (g f) (p) = g (f(p)) f (p). (Charatonik dan Insall, 2012: 1318) Selanjutnya akan dibahas engenai sifat operasi penjulahan dan pengurangan perkalian skalar turunan utlak suatu fungsi. Teorea 3.8 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B dan g: A B asing-asing epunyai turunan utlak di p A, aka fungsi (f + g) epunyai turunan utlak di p A dan (f ± g) (p) = f (p) ± g (p). Di bawah ini sifat turunan utlak dengan engabil kasus khusus yaitu X R dan d etrik biasa. Teorea 3.9 Diberikan A R dan ruang etrik (A, d) dengan d etrik biasa. Jika fungsi f: A R epunyai turunan di p A, aka f epunyai turunan utlak di p A, dan berlaku f (p) = f (p) (Charatonik dan Insall, 2012: 1321) Turunan utlak kuat suatu fungsi erupakan peruuan dari turunan suatu fungsi. Oleh karena itu, setiap fungsi yang epunyai turunan utlak kuat aka fungsi tersebut epunyai turunan utlak (Charatonik dan Insall, 2012: 1320). Tetapi, kebalikannya belu tentu berlaku. Sebagai contoh fungsi bernilai utlak f(a) = a untuk setiap a R epunyai turunan utlak di titik nol, tetapi f tidak epunyai turunan di titik tersebut. Berikut ini sifat turunan utlak dengan engabil kasus ruang etrik (R n, d). Pada Teorea 3.10 dibahas engenai sifat perkalian skalar turunan utlak suatu fungsi. Sedangkan Teorea 3.11 ebahas tentang turunan utlak pada ruang etrik (R n, d). Teorea 3.10 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). dengand A dan d B adalah etrik yang diinduksi oleh nor. Jika fungsi f: A B dan g: A B asingasing epunyai turunan utlak di p A, aka untuk setiap α R, fungsi αf epunyai turunan utlak di p X dan (αf) (p) = α [f (p)] Teorea 3.11 Jika fungsi linier f: R n R epunyai turunan utlak di x 0 R n, dan f = (u 1,, u ) dengan u j : R n R epunyai turunan parsial pertaa di x 0 R n, aka untuk setiap k n, berlaku f (x 0 ) = u j (x x 0 )e j k j=1 dengan 1 j n aka e 1 = (1,0,,0), e 2 = (0,1,,0),, e n = (0,0,,1). (Charatonik dan Insall, 2012: 1320) Bukti: Diketahui S R n dan ruang etrik (S, d) dengan d etrik pada S. Selanjutnya, didefinisikan x 0 = (x 1 (0),, x n (0) ) S. Karena S R n erupakan ruang bernora aka berdasarkan Teorea 2.3 (hubungan ruang etrik dengan ruang bernora) diperoleh turunan utlak f di x 0 R n sebagai berikut f d(f(x), f(x 0 )) (x 0 ) = x x0 d(x, x 0 ) f(x) f(x 0 ) x x 0 = x x0 Selanjutnya, karena f = (u 1,, u ) dengan u j : R n R dan e 1 = (1,0,,0) berlaku f j=1 u j (x)e j j=1 u j (x 0 )e j (x 0 ) = x x0 x x 0 Sehingga, untuk setiap k n, berlaku f j=1 [u j (x) u j (x 0 )]e j (x 0 ) = x x0 x k x (0) k 78
6 Volue 3 No.6 Tahun 2017 = x x0 j=1 [u j(x) u j (x 0 )] x k x (0) e k j Berdasarkan persaaan (2.14.3) diperoleh PENUTUP f (x 0 ) = u j (x x 0 )e j. k j=1 Sipulan Dala jurnal ini telah dibahas engenai konsep turunan utlak suatu fungsi pada ruang etrik beserta sifat-sifatnya. Berdasarkan pebahasan tersebut dapat diperoleh sipulan sebagai berikut: 1. Fungsi yang epunyai turunan utlak kuat adalah fungsi yang epunyai turunan utlak. Fungsi yang epunyai turunan utlak adalah fungsi kontinu. 2. Fungsi yang epunyai turunan utlak kuat dan turunan utlaknya tak nol adalah fungsi injektif lokal. 3. Suatu koposisi fungsi g f epunyai turunan utlak di p dengan (g f) (p) = g (f(p)) f (p). 4. Pada turunan utlak fungsi adalah (f ± g) (p) = f (p) ± g (p). 5. Fungsi f yang epunyai turunan adalah fungsi f yang epunyai turunan utlak dengan f (p) = f (p). Turunan utlak fungsi f pada ruang etrik dan dilengkapi etrik yang diinduksi oleh nor adalah (αf) (p) = α [f (p)]. Sedangkan, turunan utlak suatu fungsi linier f pada x 0 R n adalah f (x 0 ) = u j (x x 0 )e j. k j=1 Saran Pada artikel ini, sifat-sifat yang belu dibahas dapat dikebangkan lebih lanjut pada ruang yang lain, seperti ruang Banach, ruang Bernora, ruang Hilbert, dan lainlain. Charatonik, Wlodziierz J. and Insall, Matt Absolute Differentiation in Metric Spaces. Houston Journal of Matheatics. Vol. 38(4): hal Friedberg, Stephen H. et al Linear Algebra. New Jersey: Prentice Hall. Heirstein, I.N Abstract Algebra. New Jersey: Prentice Hall. Kesavan, S Functional Analysis. New Delhi: Hindustan Book Agency. Kreyszig, Erwin Introductory Functional Analysis with Applications. United States of Aerica: John Wiley & Sons. Pugh, Charles Chapan Real Matheatical Analysis. Berlin: Springer. Shirali, Satish and Vasudeva, Harkrishan L Metric Spaces. London: Springer. Villanacci, Antonio et al Differential Topology and General Equilibriu with Coplete and Incoplete Market. Boston: Springer. DAFTAR PUSTAKA Bartle, Robert G The Eleent of Real Analysis. United State of Aerica: John Wiley & Sons. Bartle, Robert G and Sherbert, Ronald R Introduction to Real Analysis. New York: Hailton Printing Copany. 79
Perbandingan Bilangan Dominasi Jarak Satu dan Dua pada Graf Hasil Operasi Comb
Perbandingan Bilangan Doinasi Jarak Satu dan Dua pada Graf Hasil Operasi Cob Reni Uilasari 1) 1) Jurusan Teknik Inforatika, Fakultas Teknik, Universitas Muhaadiyah Jeber Eail : 1) reniuilasari@gailco ABSTRAK
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinciPERHITUNGAN INTEGRAL FUNGSI REAL MENGGUNAKAN TEKNIK RESIDU
PERHITUNGAN INTEGRAL FUNGSI REAL MENGGUNAKAN TEKNIK RESIDU Warsito (warsito@ail.ut.ac.id) Universitas Terbuka ABSTRAT A function f ( x) ( is bounded and continuous in (, ), so the iproper integral of rational
Lebih terperinciSistem Linear Max-Plus Interval Waktu Invariant
Siste Linear Max-Plus Interval Waktu Invariant A 11 M. Andy udhito Progra Studi Pendidikan Mateatika FKIP Universitas Sanata Dhara Paingan Maguwoharjo Yogyakarta eail: arudhito@yahoo.co.id Abstrak elah
Lebih terperinciDiberikan sebarang relasi R dari himpunan A ke B. Invers dari R yang dinotasikan dengan R adalah relasi dari B ke A sedemikian sehingga
Departent of Matheatics FMIPA UNS Lecture 3: Relation C A. Universal, Epty, and Equality Relations Diberikan sebarang hipunan A. Maka A A dan erupakan subset dari A A dan berturut-turut disebut relasi
Lebih terperinciBENTUK NORMAL SMITH DAN MATRIKS BAIK KIRI/KANAN
BENTUK NORMAL SMITH DAN MATRIKS BAIK KIRI/KANAN Yuiati (yui@ail.ut.ac.id) Universitas Terbuka ABSTRACT The Sith noral for and left good atrix have been known in atrix theore. Any atrix over the principal
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciRUANG LIPSCHITZ. Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI. *Surel: : (, ) Ϝ
RUANG LIPSCHITZ Muhammad Rifqi Agustian 1), Rizky Rosjanuardi 2), Endang Cahya 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: Muhammadrifqyagustian@yahoo.co.id ABSTRAK. Diberikan ruang
Lebih terperinciBab III S, TORUS, Sebelum mempelajari perbedaan pada grup fundamental., dan figure eight terlebih dahulu akan dipelajari sifat dari grup
GRUP FUNDAMENTAL PADA Bab III S, TORUS, P dan FIGURE EIGHT Sebelu epelajari perbedaan pada grup fundaental S, Torus, P, dan figure eight terlebih dahulu akan dipelajari sifat dari grup fundaental asing-asing
Lebih terperinciPelabelan Total Super (a,d) - Sisi Antimagic Pada Graf Crown String (Super (a,d)-edge Antimagic Total Labeling of Crown String Graph )
1 Pelabelan Total Super (a,d) - Sisi Antiagic Pada Graf Crown String (Super (a,d)-edge Antiagic Total Labeling of Crown String Graph ) Enin Lutfi Sundari, Dafik, Slain Pendidikan Mateatika, Fakultas Keguruan
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni, S.Si., M.Pd Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmail.com ABSTRAK Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari Juni
Lebih terperinciSifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji
Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424,
Lebih terperinciDefinisi 3.3: RUANG SAMPEL KONTINU Ruang sampel kontinu adalah ruang sampel yang anggotanya merupakan interval pada garis bilangan real.
0 RUANG SAMPEL Kita akan eperoleh ruang sapel, jika kita elakukan suatu eksperien atau percobaan. Eksperien disini erupakan eksperien acak. Misalnya kita elakukan suatu eksperien yang diulang beberapa
Lebih terperinciANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciTITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111
TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT HIMPUNAN PROXIMINAL
Prima: Jurnal Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 1, Januari 2018, hal. 49-56 P-ISSN: 2579-9827, E-ISSN: 2580-2216 SIFAT-SIFAT HIMPUNAN PROXIMINAL Arta Ekayanti Universitas Muhammadiyah Ponorogo, Jl. Budi
Lebih terperinciADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH
SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI Sebagai
Lebih terperinciEKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari
Lebih terperinciPenentuan Akar-Akar Sistem Persamaan Tak Linier dengan Kombinasi Differential Evolution dan Clustering
Jurnal Kubik, Volue No. ISSN : 338-0896 Penentuan Akar-Akar Siste Persaaan Tak Linier dengan Kobinasi Differential Evolution dan Clustering Jaaliatul Badriyah Jurusan Mateatika, Universitas Negeri Malang
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE HOMOTOPI PADA MASALAH PERAMBATAN GELOMBANG INTERFACIAL
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI PADA MASALAH PERAMBATAN GELOMBANG INTERFACIAL JAHARUDDIN Departeen Mateatika Fakultas Mateatika Ilu Pengetahuan Ala Institut Pertanian Bogor Jl Meranti, Kapus IPB Daraga, Bogor
Lebih terperinciKelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n
Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi Vol.... No... 20... Kelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n Meriam, Naimah Aris 2, Muh Nur 3 Abstrak Rumusan norm-n pada l merupakan perumuman dari rumusan norm-n
Lebih terperinciTRANFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN KONVERGEN
TRANFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN KONVERGEN Wahidah Alwi Dosen pada Jurusan Mateatia Faultas Sains dan Tenologi UIN Alauddin Maassar Eail. Teno_sains@yahoo.co Abstract: The calculus have introduce
Lebih terperinciKarakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 A - 4 Karakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert Gunawan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Purwokerto gunoge@gmailcom
Lebih terperinciKetunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach
Ketunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach Badrulfalah 1,Khafsah Joebaedi 2 1 Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran badrulfalah@gmail.com 2 Departemen Matematika
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciBeberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciFAMILI BARU DARI METODE ITERASI ORDE TIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN AKAR GANDA ABSTRACT
FAMILI BARU DARI METODE ITERASI ORDE TIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN AKAR GANDA Elvi Syahriah 1, Khozin Mu taar 2 1,2 Progra Studi S1 Mateatika Jurusan Mateatika Fakultas Mateatika
Lebih terperinciALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR (Fuzzy Number Max-Plus Algebra) INTISARI ABSTRACT
M. And Rhudito, dkk., Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR (Fuzz Nuber Max-Plus Algebra) M. And Rudhito, Sri Wahuni 2, Ari Suparwanto 2 dan F. Susilo 3 Jurusan Pendidikan Mateatika
Lebih terperinciKonvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. (016) 337-350 (301-98X Print) A-59 Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap pada Ruang b-metrik Cahyaningrum Rahmasari, Sunarsini, dan Sadjidon Jurusan Matematika,
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAI-
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAI- Hajar Grestika Murti, Erna Apriliani, Sunarsini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE. Yogyakarta
FOURIER Oktober 014, Vol. 3 No., 146 166 KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE A. Rifqi Bahtiar 1, Muchammad Abrori, Malahayati 3 1,, 3 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga
Lebih terperinciBilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintang yang dihubungkan oleh suatu Lintasan
Jurnal Mateatika Integratif. Vol. 13, No. 2 (2017), pp. 115 121. p-issn:1412-6184, e-issn:2549-903 doi:10.24198/ji.v13.n2.11891.151-121 Bilangan Kroatik Lokasi n Aalgaasi Bintang yang dihubungkan oleh
Lebih terperinciHubungan Antara Turunan Parsial dan Kekontinuan Pada Fungsi Dua Peubah
Jurnal EKSPONENSIAL Volue Noor Mei ISSN 85-789 Hubungan Antara Turunan Parsial dan Kekontinuan Pada Fungsi Dua Peuba Relationsip Between Partial Derivatives and Continuit on te Function o Two Variables
Lebih terperinciKEBERADAAN SOLUSI PERSAMAAN DIOPHANTIN MATRIKS POLINOMIAL DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN TITIK-TITIK INTERPOLASI
KEBERADAAN SOLUSI PERSAMAAN DIOPHANTIN MATRIKS POLINOMIAL DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN TITIK-TITIK INTERPOLASI Laila Istiani R. Heri Soelistyo Utoo 2, 2 Progra Studi Mateatika Jurusan Mateatika FMIPA
Lebih terperinciVolume 1, Nomor 2, Desember 2007
Volume Nomor 2 Desemer 27 Barekeng Desemer 27 hal3-35 Vol No 2 TITIK-ANTARA DI DALAM RUANG METRIK DAN RUANG INTERVAL METRIK (Between-Points In Metric Space And Metric Interval Space MOZART W TALAKUA Jurusan
Lebih terperinciTEOREMA ELIMINASI CUT PADA SISTEM LOGIKA FL gc DAN FL w,gc
Jurnal Mateatika Vol 0 No Agustus 007:39-4 ISSN: 40-858 TEOREMA ELIMINASI CUT PAA SISTEM LOGIKA FL gc AN FL wgc Bayu Surarso Jurusan Mateatika FMIPA UNIP Jl Prof H Soedarto SH Tebalang Searang 5075 Abstract
Lebih terperinciTOPOLOGI METRIK PARSIAL
Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 71 78 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND TOPOLOGI METRIK PARSIAL DESY WAHYUNI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciKEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT
KEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT Moch. Ramadhan Mubarak 1), Encum Sumiaty 2), Cece Kustiawan 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: ramadhan.101110176@gmail.com ABSTRAK.
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN/SNMPTN 2008
Soal-Soal dan Pebahasan Mateatika IPA SBMPTN/SNMPTN 008. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x) g(x) x - x untuk setiap bilangan real x. Jika g(), f ' () f(), dan g ' () f(), aka g ' () A. C. 0 E.
Lebih terperinciRUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
Lebih terperinciEKSISTENSI SELEKTOR TERUKUR PADA FUNGSI BERNILAI HIMPUNAN DI DALAM RUANG BANACH TAK SEPARABEL
JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 51-58 EKSISTENSI SELEKTOR TERUKUR PADA FUNGSI BERNILAI HIMPUNAN DI DALAM RUANG BANACH TAK SEPARABEL Mohamad Muslikh Jurusan Matematika F.MIPA Universitas Brawijaya
Lebih terperinciITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF
ITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF Agung Anggoro, Siti Fatimah 1, Encum Sumiaty 2 Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: agung.anggoro@student.upi.edu ABSTRAK. Misalkan
Lebih terperinciPENJUMLAHAN MOMENTUM SUDUT
PENJUMAHAN MOMENTUM SUDUT A. Penjulahan Moentu Sudut = + Gabar.9. Penjulahan oentu angular secara klasik. Dua vektor oentu angular dan dijulahkan enghasilkan Jika oentu angular elektron pertaa adalah dan
Lebih terperinciDISTRIBUSI DUA PEUBAH ACAK
0 DISTRIBUSI DUA PEUBAH ACAK Dala hal ini akan dibahas aca-aca fungsi peluang atau fungsi densitas ang berkaitan dengan dua peubah acak, aitu distribusi gabungan, distribusi arginal, distribusi bersarat,
Lebih terperinciFUNGSI DELTA DIRAC. Marwan Wirianto 1) dan Wono Setya Budhi 2)
INTEGRAL, Vol. 1 No. 1, Maret 5 FUNGSI DELTA DIRAC Marwan Wirianto 1) dan Wono Setya Budhi ) 1) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung
Lebih terperinciBeberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski
Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski Rani Fransiska Departemen Marematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 1644 ranifransiska@uiacid Abstrak Pertidaksamaan Ostrowski adalah suatu pertidaksamaan integral untuk
Lebih terperinciANALISIS HOMOTOPI DALAM PENYELESAIAN SUATU MASALAH TAKLINEAR
ANALISIS HOMOTOPI DALAM PENYELESAIAN SUATU MASALAH TAKLINEAR JAHARUDDIN Departeen Mateatika, Fakultas Mateatika dan Iu Pengetahuan Ala, Institut Pertanian Bogor Jln. Meranti, Kapus IPB Draaga, Bogor 1668,
Lebih terperinciKESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN.
KESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN Hilwin Nisa, Hairur Rahman, 3 Imam Sujarwo Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri
Lebih terperinciKeterbatasan Lokal Suatu Operator Superposisi Pada Ruang Barisan Real. Lina Nurhayati, Universitas Sanggabuana
Keterbatasan Lokal Suatu Operator Superposisi Pada Ruang Barisan Real Lina urhayati, Universitas Sanggabuana nurhayati_lina@yahoo.co.id Abstrak Misalkan P suatu operator superposisi terbatas dan T adalah
Lebih terperinciKajian Fungsi Metrik Preserving
Kajian Fungsi Metrik Preserving A 2 Binti Mualifatul Rosydah Politeknik Perkapalan Negeri Surabaya Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jalan Teknik Kimia Kampus ITS Sukolilo Surabaya 6 Abstrak
Lebih terperinciSYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION
SYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION Azki Nuril Ilmiyah Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 azki.nuril@ui.ac.id ABSTRAK Nama Program Studi
Lebih terperinciBAB III m BAHASAN KONSTRUKSI GF(3 ) dalam penelitian ini dapat dilakukan dengan mengacu pada konsep perluasan filed pada Bab II bagian 2.8.
BAB III BAHASAN KONSTRUKSI GF( ) Untuk engonstruksi GF( ) dala penelitian ini dapat dilakukan dengan engacu pada konsep perluasan filed pada Bab II bagian 28 Karena adalah bilangan pria, aka berdasarkan
Lebih terperinciMETODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR I. P. Edwar, M. Imran, L. Deswita Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR. Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo. Abstrak
SIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo Abstrak Penulisan ini bertujuan menyelidiki sifat-sifat yang berlaku di dalam topologi
Lebih terperinciSIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 016 SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS Dahliatul Hasanah FMIPA Universitas Negeri Malang
Lebih terperinci2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
Bulletin of Matheatics Vol. 03 No. 0 (20) pp. 39 48. 2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN Mardiningsih Saib Suwilo dan Indra Syahputra Abstract. Let D asyetric two-coloured-digraph
Lebih terperinciTeorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar
Teorema Titik Tetap di Ruang Norm- Standar Muh. Nur Universitas Hasanuddin Abstract Pada tulisan ini, akan dipelajari ruang norm- standar, yakni ruang hasil kali dalam yang dilengkapi dengan norm- standar.
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1
FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 117 132 KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU Malahayati 1 1 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciKETERBAGIAN TAK HINGGA DISTRIBUSI LOG-GAMMA DAN APLIKASINYA DALAM PEMBUKTIAN RUMUS PERKALIAN GAUSS DAN RUMUS LEGENDRE
Jurnal Mateatika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 28 33 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Mateatika FMIPA UNAND KETERBAGIAN TAK HINGGA DISTRIBUSI LOG-GAMMA DAN APLIKASINYA DALAM PEMBUKTIAN RUMUS PERKALIAN GAUSS DAN RUMUS
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA PEMETAAN LINEAR DAN BILINEAR
HUBUNGAN ANTARA PEMETAAN LINEAR DAN BILINEAR Mustafa A.H. Ruhama Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan MIPA, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Unveristas Khairun ABSTRAK Let UU,
Lebih terperinciSUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN k-pseudononspreading SEJATI DI RUANG HILBERT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 52 60 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN k-pseudononspreading SEJATI DI RUANG HILBERT DESI RAHMADANI Program Studi
Lebih terperinciPersamaan Schrödinger dalam Matriks dan Uraian Fungsi Basis
Bab 2 Persaaan Schrödinger dala Matriks dan Uraian Fungsi Basis 2.1 Matriks Hailtonian dan Fungsi Basis Tingkat-tingkat energi yang diizinkan untuk sebuah elektron dala pengaruh operator Hailtonian Ĥ dapat
Lebih terperinciTOPOLOGI RUANG LINEAR
TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Jalan KHA. Dahlan 3 Purworejo e-mail: kurniasih.nila@yahoo.co.id Abstrak Tulisan ini bertujuan
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT OPERASI ARITMATIKA, DETERMINAN DAN INVERS PADA MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR. Oleh : NURSUKAISIH
SIFAT-SIFAT OPERASI ARITMATIKA DETERMINAN DAN INVERS PADA MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Meperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Mateatika Oleh : NURSUKAISIH 0854003938
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciKAJIAN KONSEP RUANG NORMA-2 DENGAN DOMAIN PEMETAAN BERUPA RUANG BERDIMENSI HINGGA
Jurnal Matematika Murni dan Teraan εsilon Vol. 07, No.01, 013), Hal. 13 0 KAJIAN KONSEP RUANG NORMA- DENGAN DOMAIN PEMETAAN BERUPA RUANG BERDIMENSI HINGGA Wahidah 1 dan Moch. Idris 1, Program Studi Matematika
Lebih terperinciKESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 51-59 KESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE Dewi Purnamasari, Faisal, Aisjah Juliani Noor Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat
Lebih terperinciANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS
UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS SAGITA CHAROLINA SIHOMBING 1006786266 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER
Lebih terperinciKELUARGA METODE ITERASI ORDE EMPAT UNTUK MENCARI AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
KELUARGA METODE ITERASI ORDE EMPAT UNTUK MENCARI AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR Kiki Reski Ananda 1 Khozin Mu taar 2 12 Progra Studi S1 Mateatika Jurusan Mateatika Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT PEMETAAN BILINEAR
SIFAT-SIFAT PEMETAAN BILINEAR Mustafa A.H. Ruhama Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FKIP Universitas Khairun ABSTRACT Let UU, VV and WW are vector
Lebih terperinciISSN: X 35 SEMI HASIL KALI DALAM ATAS DAN BAWAH
ISSN: 2088-687X 35 SEMI HASIL KALI DALAM ATAS DAN BAWAH Febi Sanjaya Program Studi Pendidikan Matematika FKIP USD Paingan, Maguwoharjo, Depok, Sleman, Yogyakarta, febi@usdacid ABSTRAK Konsep hasil kali
Lebih terperinciRuang Norm-n Berdimensi Hingga
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 3, No. 2 (207), pp. 95 04. p-issn:42-684, e-issn:2549-903 doi:0.2498/jmi.v3.n2.986.95-04 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga Moh. Januar Ismail Burhan Jurusan Matematika dan
Lebih terperinciRuang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik
Ruang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik Oleh : Iswanti 1, Soeparna Darmawijaya 2 Iswanti, Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Semarang, Semarang, Jawa
Lebih terperinciPENENTUAN BESAR CADANGAN PADA ASURANSI JIWA BERSAMA DWIGUNA DENGAN MENGGUNAKAN METODE ILLINOIS
Jurnal Mateatika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 85 91 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Mateatika FMIPA UNAND PENENTUAN BESAR CADANGAN PADA ASURANSI JIWA BERSAMA DWIGUNA DENGAN MENGGUNAKAN METODE ILLINOIS FERDY NOVRI
Lebih terperinciOBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU
Jurnal Matematika UNAND Vol 5 No 1 Hal 96 12 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU SUKMA HAYATI, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB III UJI STATISTIK PORTMANTEAU DALAM VERIFIKASI MODEL RUNTUN WAKTU
BAB III UJI STATISTIK PORTMANTEAU DALAM VERIFIKASI MODEL RUNTUN WAKTU Salah satu langkah yang paling penting dala ebangun suatu odel runtun waktu adalah dari diagnosisnya dengan elakukan peeriksaan apakah
Lebih terperinciISBN:
POSIDING SEMINA NASIONAL P e n e l i t i a n, P e n d i d i k a n, d a n P e n e r a p a n M I P A Tanggal 18 Mei 2013, FMIPA UNIVESITAS NEGEI YOGYAKATA ISBN: 978 979-96880 7-1 Bidang: Mateatika dan Pendidikan
Lebih terperinciFISIKA. Sesi GELOMBANG CAHAYA A. INTERFERENSI
FISIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 03 Sesi NGAN GELOMBANG CAHAYA Cahaya erupakan energi radiasi berbentuk gelobang elektroagnetik yang dapat dideteksi oleh ata anusia serta bersifat sebagai gelobang
Lebih terperinciUSAHA DAN ENERGI DALAM ELEKTROSTATIKA
USAHA DAN ENERGI DALAM ELEKTROSTATIKA Usaha untuk Meindahkan Muatan Usaha adalah kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk eindahkan uatan dari satu tepat ke tepat lainnya. = (1) Jika kita hendak eindahkan
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
FUZZY SLIGHTLY PRECONTINUITY PADA TOPOLOGI FUZZY Elita Hartayati Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : elita_dean@yahoo.com Prof.
Lebih terperinciRuang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com
Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi
Lebih terperinciBEBERAPA TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN NONSELF. Kata kunci : pemetaan nonexpansive, pemetaan condensing, pemetaan kompak.
BEBERAPA TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN NONSELF Oleh: Rindang Kasih Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNIVET Sukoharjo Jl. Letjend Sujono Humardani No.1 Kampus Jombor Sukoharjo, e-mail: Rindang_k@yahoo.com
Lebih terperinciEdisi Juni 2011 Volume V No. 1-2 ISSN SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS
SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS Sri Maryani Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto Email : sri.maryani@unsoed.ac.id Abstract Inner
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Permasalahan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Pemetaan merupakan konsep yang tidak pernah terlepas dari bahasan matematika analisis. Pengaitan setiap anggota dari suatu himpunan dengan tepat satu
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciMETODE ITERASI TIGA LANGKAH DENGAN ORDE KONVERGENSI LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BERAKAR GANDA ABSTRACT
METODE ITERASI TIGA LANGKAH DENGAN ORDE KONVERGENSI LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BERAKAR GANDA Zuhnia Lega 1, Agusni, Supriadi Putra 1 Mahasiswa Progra Studi S1 Mateatika Laboratoriu Mateatika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. umum ruang metrik dan memperluas pengertian klasik dari ruang Euclidean R n, sehingga
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Permasalahan Permulaan munculnya analisis fungsional didasari oleh permasalahan pada kurang memadainya metode analitik klasik pada fisika dan astronomi matematika.
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor,
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor, ruang Bernorm dan ruang Banach, ruang barisan, operator linear (transformasi linear) serta teorema-teorema
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph Sebelu sapai pada pendefinisian asalah network flow, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan engenai konsep-konsep dasar dari odel graph dan representasinya
Lebih terperinci0,1, Holder s continue function in rank of and. 0,1, fungsi kontinu Holder berpangkat-,
JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal 233-240 HUBUNGAN ANTARA NILAI KRITIS DERIVATI- DENGAN DIMENSI- DARI SUATU KURVA Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika MIPA UNS Surakarta Email supriyadi_w@yahoocoid
Lebih terperinciPROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT. ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara
PROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara Pendahuluan Pada umumnya suatu teorema mempunyai ruang lingkup
Lebih terperinciPELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA TENSOR PRODUCT PATH DAN SIKEL
PELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA TENSOR PRODUCT PATH DAN SIKEL Setia Endrayana 1, Bayu Surarso 2, Siti Khabibah 3 1,2,3 Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH Tembalang
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 KODE SSRS (SUBSPACE SUBCODES OF REED-SOLOMON) Afifatus Sholihah Jurusan Mateatika Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala Universitas Negeri Surabaya e-ail: afif165@yail.co
Lebih terperinciEKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND. Nursiya Bito. Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo
EKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND Nursiya Bito Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo ABSTRACT In this paper, we will try to proof existence of
Lebih terperinci