EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-titik GANJIL SKRIPSI MARDHA TILLAH

Transkripsi

1 EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-titik GANJIL SKRIPSI MARDHA TILLAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

2 EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-titik GANJIL SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains MARDHA TILLAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

3 i PERSETUJUAN Judul : EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-titik GANJIL Kategori : SKRIPSI Nama : MARDHA TILLAH Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen Fakultas : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Medan, Oktober 2013 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Dra. Mardiningsih, M.Si Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP NIP Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP

4 ii PERNYATAAN EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-titik GANJIL SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Oktober 2013 MARDHA TILLAH

5 iii PENGHARGAAN Besar rasa syukur kepada Sang Khaliq dengan limpahan rahmat dan kasih sayang-nya memberikan keluasan waktu serta kesempatan bagi saya untuk menyelesaikan penelitian ini dengan judul EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SE- BUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-titik GAN- JIL. Serta salawat dan salam kepada baginda Rasul Muhammad SAW yang sampai detik ini merupakan panutan terbaik bagi setiap manusia. Serangkai ucapan terima kasih saya hanturkan kepada Ibunda Sabariah, Ibunda Waliyah dan Ayahanda Alm.H.Amiruddin Tholib yang tanpa pernah lelah menyayangi, menjaga, merawat serta mendoakan dalam setiap langkah. Semoga Ibunda dan Ayahanda tercinta selalu berada dalam cinta dan lindungan-nya. Kepada Bapak Prof.Saib Suwilo,M.Sc selaku dosen pembimbing I dan Ibu Dra.Mardiningsih,M.Si selaku dosen pembimbing II terima kasih atas segala bentuk bimbingan dan motivasi dalam menyelesaikan penelitian ini sebagai tugas akhir akademik, dan kepada Bapak Prof.Tulus,M.Si dan Bapak Drs.Ariswoyo,M.Si selaku dosen penguji, terima kasih atas segenap sarannya. Kepada Bapak Prof.Dr.Sutarman,M.Sc, selaku Dekan FMIPA USU, Bapak Prof.Dr.Tulus,M.Si dan Ibu Dra.Mardiningsih,M.Si, selaku Ketua Departemen dan Sekretaris Departemen FMIPA USU serta seluruh Staf Pengajar yang telah memberikan pengetahuan-pengetahuan akademik dan seluruh Staf Departemen Matematika yang turut mempermudah jalannya proses penyelesaian tugas akhir ini. Semoga selalu dalam Rahmat dan Karunia-Nya. Terima kasih kepada seluruh abanganda tercinta Ahmad Aulia,S.Pd, Afzar Aulia, Alfi Syahrin,S.E, dr.ibnu Hasyim, Ir.Anshor Khawari, dan abanganda Rafiq Kahfi serta adikku tercinta Samanthi Hibbah yang selalu memberikan motivasi, dukungan moral dan materi, serta doa yang tak pernah henti, semoga selalu dalam lindungan dan Rahmat Allah SWT, dan kepada sahabatku Anggita Fathimah Siregar yang tak pernah bosan mendengar segala keluh kesah perjalanan tugas akhir ini serta selalu mengingatkan bahwa pelajaran yang takkan habis dalam hidup ini adalah bab ikhlas, bab adil, dan bab sabar, terima kasih atas segala dukungannya. Semoga segala impianmu dapat terwujud. Kepada sahabat-sahabat Ilham Firdaus Siregar, Dewi Uli Sinulingga, dan teman-teman seperjuangan 1708 di pesantren Ar-Raudhatul yang ikut memberikan dukungan, terima kasih atas segala bantuan, motivasi serta doanya. Semoga visi dan misi hidup kita berjalan dalam Ridho-Nya. Tak lupa pula penulis berterima kasih kepada Wiwit, Nisa, Desi, Sari, Defi, Best, Isah, Dika, Ida,dan Wirda yang selalu ada dalam suka duka di awal perkuliahan hingga penyelesaian tugas akhir ini,kepada Putri dan Sarah terima kasih krna tak pernah bosan menjadi tempat bertanya persoalan akademik. Kepada teman-teman kelas murni Panca, Bakti, Lukas, Jundi, Vela, Fitri, dan Zati terima kasih atas kesolidaritasannya. Kepada Yudha, Fendi, Gilang, Dhani, Iman, Adinda Lita, Organisasi IM 3, teman-teman sejawad dan seperjuangan selama perkuliahan yang tak

6 iv bisa disebutkan namanya satu persatu oleh penulis, terima kasih atas ikatan pertemanan dan silaturrahmi yang dijalani bersama. Semoga tali silaturrahmi ini dapat terjalin tanpa batas waktu. Sebagai manusia, sudah tentu banyak kekurangan penulis dalam bentuk apapun, baik dalam silaturrahmi ataupun dalam penulisan tugas akhir ini penulis hanturkan segenap permintaan maaf dan harapan dalam menyelesaikan tulisan ini semoga berguna bagi pembaca. Akhir kata, ribuan terima kasih penulis hanturkan atas segala doa dan dukungan pembaca. Wassalam. Medan, Oktober 2013 Penulis MARDHA TILLAH

7 v ABSTRAK Sebuah digraf dwiwarna D (2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D (2) terdapat (g, h)-walk dari u ke v. Bilangan bulat positif g + h terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif g dan h disebut eksponen dari digraf dwiwarna D (2), dinotasikan dengan exp D (2)(v). Andaikan v adalah sebuah titik di D (2). Eksponen titik keluar v pada D (2) adalah bilangan bulat positif terkecil g+h sehingga terdapat (g, h)-walk dari titik v ke setiap titik di D (2), dinotasikan dengan expout D (2)(v). Penelitian ini mempelajari eksponen titik keluar dari sebuah kelas digraf dwiwarna primitif D (2) atas n 5 titik ganjil yang terdiri dari n-cycle v 1 v n v n 1 v 2 v 1 dan tepat satu arc v 1 v n+1 2 Andaikan v k, k = 1, 2,..., n adalah sebuah titik di D (2). Diperlihatkan bahwa jika arc biru berturut-turut terletak pada arc v 2 v 1 dan arc v 1 v n di D (2), maka eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna D (2) adalah expout D (2)(v k ) = n 2 n 2+k untuk semua k = 1, 2,..., n.jika arc biru berturut-turut terletak pada arc v n+3 v n+1 2 2, maka eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna primitif D (2) dan arc v n+1 v n adalah expout D (2)(v k ) = 2n2 3n 2+2k 2 untuk semua k = 1, 2,..., n. Kata kunci : Digraf dwiwarna, primitif, eksponen titik dan eksponen titik keluar..

8 vi THE OUTER VERTEX EXPONENTS OF A CLASS OF PRIMITIVE TWO - COLORED DIGRAPHS ON n-odd VERTEX ABSTRACT A two-colored digraph D (2) is primitive provided there are nonnegative integer g and h such that for each pair of vertices u and v there is a (g, h)-walk from vertex u to vertex v. The smallest positive integer g + h taken over all such nonnegative integers g and h is the exponent of a two-colored digraph D (2), denoted by exp(d (2) ). Let v be a vertex of D (2). The outer vertex exponent v is the smallest positive integer g +h there is a (g, h)-walk from v to every vertex in D (2), denoted by expout D (2)(v). This study explains about the outer vertex exponent of primitive two colored-digraph D (2) on n 5 odd vertices consisting the n-cycle v 1 v n v n 1 v 2 v 1 and blue arc v 1 v n+1. Let v k be a vertex of D (2). We show that if two consecutive blue 2 arcs lies on arc v 2 v 1 and arc v 1 v n in D (2), then the outer vertex exponents is expout D (2)(v k ) = n 2 n 2 + k for all k = 1, 2,..., n. If two consecutive blue arcs lies on arc v n+3 v n+1 and arc v n+1 v n 1, then the outer vertex exponents is expout D (2)(v k ) = 2n2 3n 2+2k for all k = 1, 2,..., n. 2 Key words : Two-colored digraph, primitive, vertex exponent and outer vertex exponent.

9 vii DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR Halaman i ii iii v vi vii viii BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Masalah Penelitian Tinjauan Pustaka Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian 6 BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF 2.1 Definisi Matriks Adjacency Primitifitas Dari Digraph Dwiwarna Terhubung Kuat Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraph Dwiwarna Eksponen Titik Digraph dan Digraph Dwiwarna Sistem Persamaan Diophantine Formula Eksponen Titik Digraph Dwiwarna dengan Dua Cycle 28 BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Menentukan Eksponen Titik Keluar Pembuktian Bentuk Umum Eksponen Titik Keluar 31 BAB 4 EKSPONEN TITIK KELUAR 33 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Saran 42 DAFTAR PUSTAKA 43

10 viii DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 1.1 Karakter Pertama D (2) Karakter Kedua D (2) Digraf dengan 4 titik dan 6 arc Digraf dwiwarna dengan 6 titik dan 8 arc Digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Digraf terhubung kuat dan primitif Digraf dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Digraf dwiwarna terhubung kuat dan primitif Digraf dengan 3 titik dan 4 arc Digraf dwiwarna D (2) Tipe A Digraf dwiwarna D (2) Tipe B 34