Konstruksi Kode Cross Bifix Bebas Ternair Untuk Panjang Ganjil

Transkripsi

1 Prosiding SI MaNIs (Seinar Nasional Integrasi Mateatika dan Nilai Islai) Vol.1, No.1, Juli 017, Hal. 1-5 p-issn: ; e-issn: X Halaan 1 Konstruksi Kode Cross Bifix Bebas Ternair Untuk Panjang Ganjil Moh. Affaf 1, Zaiful Ulu 1, Prodi Pendidikan Mateatika, STKIP PGRI Bangkalan Eail: ohaffaf@stkippgri-bkl.ac.id Info Artikel Riwayat Artikel: Diteria: 15 Mei 017 Direvisi: 1 Juni 017 Diterbitkan: 31 Juli 017 Kata Kunci: Sinkronisasi Frae Bifix bebas Barisan terdistribusi Lintasan Dyck Cross-Bifix bebas Korespondensi: ABSTRAK Suatu kode cross bifix bebas dengan panjang n adalah hipunan barisan dengan panjang n diana awalan (prefix) dengan panjang kurang dari n dari suatu barisan tidak uncul sebagai akhiran (suffix) dari barisan yang lain. Studi tentang kode cross bifix bebas uncul dari perasalahan barisan terdistribusi sebagai solusi dari perasalahan sinkronisasi frae. Pada tahun 01, untuk panjang barisan n yang lebih dari, Stefano Bilotta engkonstruksi kode cross bifix bebas biner dengan eanfaatkan lintasan Dyck. Satu tahun keudian, yaitu pada 013, Chee engajukan konstruksi kode cross bifix bebas untuk sebarang sibol q dan enaakan hasil konstruksinya sebagai S k q,n. Chee engklai bahwa kodenya optial. Naun, keoptialannya asih bergantung pada paraeter k. Dua tahun keudian, tepatnya pada 015, Blackburn eperbaiki konstruksi Chee dengan enentukan paraeter k sehingga Sk q,n optial. Dala akalah ini, akan dikonstruksi kode cross bifix bebas ternair untuk panjang ganjil dengan eanfaatkan konstruksi kode cross bifix bebas ilik Stefano Bilotta. Copyright 017 SI MaNIs. All rights reserved. Moh. Affaf, Prodi Pendidikan Mateatika, STKIP PGRI Bangkalan, Eail: ohaffaf@stkippgri-bkl.ac.id 1. PENDAHULUAN Dala siste kounikasi, dikenal apa yang disebut Frae Synchronization. Dala siste ini, untuk enjain adanya keselarasan diantara transitter dan receiver pada frae data yang dipancarkan, disisipkan kata penyelaras secara periodik ke dala aliran data. Karena data dipancarkan secara berulang-ulang, receiver perlu engetahui kapan aliran data diulai. Dala hal ini, kata penyelaras berperan sebagai penanda pada frae yang ana data diulai dan perulaan dari pesan yang dikirikan. Metoda sinkronisasi frae ini tidak hanya berguna dala siste kounikasi. Dala disertasinya, Weindl [9] berhasil enunjukkan bahwa etoda sinkronisasi dapat digunakan untuk eodelkan gene expression (sintesis protein). Serupa dengan kata penyelaras, ala enggunakan suatu barisan tertentu untuk enandai diulainya wilayah DNA yang fundaental. Analogi ini eungkinkan penggunaan teknik pada sinkronisasi frae dengan enggunakan siulasi pada genoe yang telah tersedia. Dala teknik sinkronisasi, receiver dilengkapi dengan alat pendeteksi pola untuk dapat engenali kata penyelaras. Massey [7] enjelaskan suatu prosedur yang optial untuk encari kata penyelaras dala suatu aliran data pada Gaussian Channel. Massey enyadari bahwa prosedur pencarian ditentukan oleh bentuk kata penyelaras yang dipilih eskipun dala analisisnya dia tidak eninjau hal tersebut. Setahun keudian, yakni di tahun 1973, Nielsen [8] enunjukkan bahwa ekspektasi dari pencarian kata penyelaras dapat diiniukan jika kata penyelaras yang diabil eiliki sifat bebas ibuhan (bifix free). Ini erupakan paper pertaa diana terinologi Bifix Free diperkenalkan. Suatu kata p dikatakan bebas ibuhan jika tidak ada akhiran sejati dari p yang uncul sebagai awalan dari p. Laan Prosiding:

2 Halaan p-issn: ; e-issn: X Dala perkebangan lebih lanjut, etoda sinkronisasi frae dapat dilakukan dengan engirikan data-data yang berasal dari kode {x 1, x x 3,..., x k } yang epunyai sifat khusus. Agar perulaan dari suatu data frae dapat dikenali, kita harus eastikan bahwa seua akhiran sejati dari x i tidak uncul sebagai awalan dari x j untuk setiap x i dan x j anggota {x 1, x x 3,..., x k }. Metode ini diperkenalkan oleh Wijngaarden dan Willink [5] pada tahun 000. Kode yang seperti ini disebut kode cross bifix bebas. Mengingat potensi praktikal dari hipunan/kode cross bifix bebas, beberapa peneliti engusulkan beberapa cara untuk engonstruksi hipunan tersebut. Pertaa, Bajic [1] engkonstruksi kode cross bifix bebas dengan enggunakan etode yang dia sebut Metode Kernel Set. Keudian, pada 01 Bilotta [] eperkenalkan konstruksi kode cross bifix bebas dengan panjang sebarang. Kode yang dihasilkan Bajic aupun Bilotta, keduanya adalah kode biner. konstruksi kode cross bifix bebas dengan enggunakan alphabet yang epunyai q sibol baru diperkenalkan di tahun 013 oleh Chee [4] dan keudian etoda tersebut diperuu oleh Blackburn [3] di tahun PENELITIAN TERDAHULU Mengingat goal dari penelitian ini adalah eperluas Konstruksi Bilotta, aka kajian pustaka ini akan ditutup dengan konstruksi kode cross bifix bebas biner oleh Stefano Bilotta [] pada tahun 01. Bilotta engkonstruksi kode cross bifix bebas biner dengan eanfaatkan lintasan Dyck. Dala konstruksinya, Bilotta ebagi kode yang dikonstruksinya enjadi tiga bagian, yaitu untuk panjang kode ganjil, panjang kode ganjil dengan paraeter genap, dan panjang kode genap dengan paraeter ganjil. Dari konstruksinya ini, Bilotta eperoleh hasil bahwa CBFS (n) adalah hipunan cross bifix bebas yang tak dapat diperluas di H (n), yaitu hipunan kata kode biner dengan panjang n, artinya setiap diabil h anggota H (n) yang bukan anggota CBFS (n), aka hipunan CBFS (n) {h} bukan lagi hipunan cross bifix bebas..1. Konstruksi CBFS ( + 1) Kode cross bifix bebas CBFS ( + 1) didefinisikan oleh Bilotta sebagai hipunan CBFS ( + 1) = {xα: α D }, yaitu hipunan lintasan dengan panjang + 1 yang diawali dengan langkah naik yang keudian diteruskan dengan lintasan Dyck dengan panjang. Tentu saja, kardinalitas dari CBFS ( + 1) adalah C, Bilangan Catalan ke-. Gabar.1 berikut eberikan gabaran hipunan CBFS ( + 1) secara geoetris. Gabar.1. CBFS ( + 1) secara geoetris Selain itu, Gabar. berikut eberikan gabaran bagaiana Konstruksi Bilotta enghasilkan kode CBFS (7), yaitu hipunan kata/katakode { , , , , }. Gabar.. Seua katakode di CBFS (7) Dari konstruksi CBFS ( + 1), Bilotta eperoleh hasil berikut. Teorea.1.[] CBFS ( + 1) adalah kode cross bifix bebas dengan kardinalitas C yang tak dapat diperluas di H ( + 1)... Konstruksi CBFS ( + ) dengan genap Kode cross bifix bebas CBFS ( + ) untuk genap didefinisikan oleh Bilotta sebagai hipunan CBFS ( + ) = {αxβx : α D i, α D ( i), 0 i }, yaitu hipunan lintasan dengan panjang + yang diawali dengan lintasan Dyck dengan panjang i, diikuti dengan langkah naik, lalu dilanjutkan dengan lintasan Dyck dengan panjang ( i), keudian diakhiri Prosiding SI MaNIs (Seinar Nasional Integrasi Mateatika dan Nilai Islai) Vol.1, No.1, Juli 017: 1-5

3 Prosiding SI MaNIs (Seinar Nasional Integrasi Mateatika dan Nilai Islai) Halaan 3 dengan langkah turun. Tentu saja, kardinalitas dari CBFS ( + ) untuk genap ini adalah C C i=0 i. Gabar. berikut eberikan gabaran hipunan CBFS ( + 1) secara geoetris. Gabar CBFS ( + ) dengan genap secara geoetris Selain itu, Gabar. berikut eberikan gabaran bagaiana Konstruksi Bilotta enghasilkan kode CBFS (6), yaitu hipunan kata/katakode {111000, , }. Gabar.. Seua katakode di CBFS (6) Dari konstruksi CBFS ( + ) untuk genap ini, Bilotta eperoleh hasil berikut. Teorea.. [] CBFS ( + ) untuk genap adalah kode cross bifix bebas dengan kardinalitas C i C i=0 i yang tak dapat diperluas di H ( + )..3. Konstruksi CBFS ( + ) dengan ganjil Kode cross bifix bebas CBFS ( + ) untuk ganjil didefinisikan oleh Bilotta sebagai hipunan CBFS ( + ) = {αxβx : α D i, α D ( i), 0 i + 1 } \{xax xβx : α D i, α D ( 1) }, yaitu hipunan lintasan dengan panjang + yang diawali dengan lintasan Dyck dengan panjang i, diikuti dengan langkah naik, lalu dilanjutkan dengan lintasan Dyck dengan panjang ( i), keudian diakhiri dengan langkah turun; setelah seua lintasan ini terkupul, aka Bilotta ebuang seua lintasan yang diawali dengan langkah naik yang dilanjutkan dengan lintasan Dyck dengan panjang 1, diikuti dengan langkah turun, lalu diikuti langkah naik, lalu dilanjutkan dengan lintasan Dyck dengan panjang 1, keudian diakhiri dengan langkah turun. Tentu saja, kardinalitas dari CBFS ( + ) untuk ganjil ini adalah i=0 C i C i C 1. Gabar.3 berikut eberikan gabaran hipunan CBFS ( + ) untuk ganjil secara geoetris. Gabar.3. CBFS ( + ) dengan ganjil secara geoetris Selain itu, Gabar.3 berikut eberikan gabaran Konstruksi Bilotta enghasilkan kode CBFS (8), yaitu { , , , , , } { , }. Gabar.3. Seua katakode di CBFS (8) Dari konstruksi CBFS ( + ) untuk ganjil ini, Bilotta eperoleh hasil berikut. Konstruksi Kode Cross Bifix Bebas Ternair Untuk Panjang Ganjil

4 Halaan 4 p-issn: ; e-issn: X Teorea.3. [] CBFS ( + ) untuk ganjil adalah kode cross bifix bebas berkardinalitas +1 i=0 C i C i C 1 yang tak dapat diperluas di H ( + ). 3. Konstruksi CBFS 3 ( + 1) Dala bagian ini akan dikaji engenai etoda perluasan konstruksi Bilotta untuk panjang ganjil sehingga enjadi Kode Cross Bifix Bebas ternair, yaitu kode cross bifix bebas dengan 3 sibol. Adapun sifatsifat yang akan ditinjau dari perluasan ini adalah hipunan yang dibentuk adalah Hipunan Cross Bifix Bebas dan kardinalitasnya asih terkait pula dengan Bilangan Catalan ke-. Bagian ini akan dibagi enjadi dua, yaitu bagian ide konstruksi untuk panjang ganjil dan bagian klai bahwa konstruksi tersebut adalah cross bifix bebas ternair. Sebagai catatan, pada konstruksi ini, langkah naik pada konstruksi Bilotta disibolkan dengan 0 dan langkah turun disibolkan dengan Ide Konstruksi Berikut ini adalah etoda/konstruksi untuk eperluas konstruksi Bilotta untuk panjang ganjil ke Kode Cross Bifix Bebas ternair. Konstruksi Misalkan CBFS ( + 1) adalah Kode Cross Bifix Bebas dengan panjang ganjil hasil konstruksi Bilotta. Perluasan CBFS ( + 1) enjadicbfs 3 ( + 1) adalah sebagai berikut. i) Seua anggota CBFS ( + 1) dijadikan anggota CBFS 3 ( + 1). ii) Seua anggota H 3 ( + 1) yang dapat diperoleh dari anggota CBFS ( + 1) dengan cara engganti 0 dengan, juga dijadikan anggota CBFS 3 ( + 1). Seperti yang telah diketahui sebelunya dari konstruksi Bilotta, CBFS (5) = {00011,00101}. Selanjutnya, seua keungkinan engganti sibol 0 pada dengan adalah 00011; 0011; 0011; 0011; 011; 011; 011; 11 dan seua keungkinan engganti sibol 0 pada dengan adalah 00101; 0101; 0101; 0011; 101; 011; 011; 11, sehingga diperoleh hipunancross bifix bebas ternair dengan panjang 5, CBFS 3 (5) = {00011,0011,0011,0011,011,011,011,11} {00101,0101,0101,0011,101,011,011,11}. Jika diperhatikan dengan seksaa, seua anggota CBFS 3 (5) saa dengan barisan yang terbentuk dengan engisi seua posisi 0 pada barisan di CBFS (5) dengan seua keungkinan sibol genap di {0,1,}. 3.. Hipunan Cross Bifix Bebas CBFS 3 ( + 1) Dengan eperhatikan tinjauan pada bagian akhir subbagian sebelunya, diperoleh Kontruksi 3..1 berikut yang selanjutnya akan diklai sebagai hasilnya erupakan hipunan cross bifix bebas. Untuk eperudah penulisan, selanjutnya didefinisikan [q] sebagai {0,1,,3,, q 1}. Konstruksi Misalkan ω = ω 1 ω ω 3 ω +1 anggota CBFS ( + 1). Selanjutnya, definisikan 0 ω = {i [n]: ω i = 0} dan yaitu hipunan seua posisi di ω yang bersibol 0. Hipunan ternair CBFS 3 ( + 1) didefinisikan sebagai +1 CBFS 3 ( + 1) = C ω,3 ω CBFS (+1) diana C +1 ω,3 = {c H 3 ( + 1): c i = 0 c i =, i 0ω } Yaitu Hipunan barisan ternair yang posisi ke-i-nya bersibol genap di [3] jika posisi tersebut bersibol 0 di ω. Sebagai contoh, jika ingin ebentuk CBFS 3 (3) aka cukup elihat CBFS (3). Karena CBFS (3) = {001}, aka = {1,}. Oleh karena itu, anggota CBFS 3 (3) adalah barisan ternair dengan panjang 3 yang dua posisi pertaanya bersibol genap di [3], yaitu 0. Sehingga, akan diperoleh hasil, yaitu CBFS 3 (3) = {001,01,01,1}. selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa hipunan CBFS 3 ( + 1) pada Konstruksi 3..1 tidak hanya hipunan barisan ternair hasil perluasan Konstruksi Bilotta, tetapi CBFS 3 ( + 1) juga erupakan Hipunan Cross Bifix Bebas. Hasil ini ditetapkan dala Teorea 3.. berikut. Teorea 3... Hipunan CBFS 3 ( + 1) adalah Hipunan/Kode Cross Bifix Bebas dengan kardinalitas +1 C. Bukti. Karena CBFS ( + 1) adalah hipunan lintasan latis yang diawali langkah naik yang diikuti lintasan Dyck dengan panjang, aka untuk setiap 0< k < n berlaku pre k ω 0 > pre k ω 1 dan suf k γ 0 suf k γ 1 untuk setiap ω dan γ di CBFS ( + 1). Karena sibol genap pada barisan di CBFS 3 ( + Prosiding SI MaNIs (Seinar Nasional Integrasi Mateatika dan Nilai Islai) Vol.1, No.1, Juli 017: 1-5

5 Prosiding SI MaNIs (Seinar Nasional Integrasi Mateatika dan Nilai Islai) Halaan 5 1) enepati posisi yang saa dengan posisi sibol 0 pada barisan di hipunan CBFS ( + 1), aka untuk 0 < k < n berlaku pre k α 0 + pre k α > pre k α 1... ( ) dan suf k β 0 + suf k β suf k β 1... ( ) untuk setiap α dan β di CBFS 3 ( + 1). Sekarang, andaikan CBFS 3 ( + 1) bukan hipunan cross bifix bebas, aka ada α dan β di CBFS 3 ( + 1) sehingga untuk suatu k yang berada di 0 < k < n berlaku pre k α = suf k β. Akibatnya, berlaku pre k α t = suf k β t untuk setiap t di [q]. Akibatnya, dengan enggunakan persaaan (*), diperoleh suf k β 0 + suf k β = pre k α 0 + pre k α > pre k α 1 = suf k β 1 Naun, hal ini kontradiksi dengan persaaan (**). Jadi haruslah CBFS 3 ( + 1) adalah hipunan cross bifix bebas. Terakhir, karena banyaknya cara engganti sibol 0 sebanyak t dengan sibol pada setiap anggota CBFS ( + 1) adalah sebanyak ( + 1 ) untuk setiap t = 0,1,,3,..., + 1 dan anggota t CBFS ( + 1) sebanyak C, aka diperoleh kardinalitas dari CBFS 3 ( + 1) adalah CBFS 3 ( + 1) = ( ) + ( ) + + ( ) + + ( ) + ( ) + + ( ) ( +1 0 )+(+1 1 )+ +(+1 +1 ) sebanyak C CBFS 3 ( + 1) = [( ) + ( ) + ( + 1 ) + ( ) + + ( )] C CBFS 3 ( + 1) = +1 C. 4. Kesipulan Dari hasil penelitian ini, diperoleh kesipulan bahwa Kode Cross Bifix Bebas hasil Konstruksi Bilotta untuk panjang ganjil, CBFS ( + 1), dapat diperluas enjadi Kode Cross Bifix Bebas Ternair, CBFS 3 ( + 1). Hal pertaa yang dilakukan engaitkan langkah naik dari lintasan di CBFS 3 ( + 1) dengan sibol 0 dan engaitkan langkah turunnya dengan sibol 1. Keudian, seua posisi sibol 0 diisi dengan seua keungkinan sibol genap di [3]. REFERENSI [1] Dragana Bajic and Tatjana Loncar-Turukalo. A siple suboptial construction of cross-bifix-free codes. Cryptography and Counications, 6(1):7 [] Bilotta, S., Pergola, E., & Pinzani, R. (01). A new approach to cross-bifix-free sets. IEEE Transactions on Inforation Theory, 58(6), [3] Blackburn, S. R. (015). Non-overlapping codes. IEEE Transactions on Inforation Theory, 61(9), [4] Chee, Y. M., Kiah, H. M., Purkayastha, P., & Wang, C. (013). Cross-bifix-free codes within a constant factor of optiality. IEEE Transactions on Inforation Theory, 59(7), [5] Van Wijngaarden, A. D. L., & Willink, T. J. (000). Frae synchronization using distributed sequences. IEEE Transactions on Counications, 48(1), [6] Eeric Deutsch. Dyck path enueration. Discrete Matheatics,04(1):167 [7] Jaes L Massey. Optiu frae synchronization. Counications, IEEE Transactions on, 0():115 [8] Peter Tolstrup Nielsen. On the expected duration of a search for a _xed pattern in rando data. IEEE Transactions on Inforation Theory, 19(5):70 [9] Johanna Weindl. Frae synchronization processes in gene expression. Verlag Dr. Hut, 008. Konstruksi Kode Cross Bifix Bebas Ternair Untuk Panjang Ganjil