Konstruksi Pelabelan- Pada Line Digraph dari Graf Lingkaran Berarah dengan Dua Tali Busur

Transkripsi

1 Konstruksi Pelabelan- Pada Line Digraph dari Graf Lingkaran Berarah dengan Dua Tali Busur Ma rifah Puji Hastuti, Kiki Ariyanti Sugeng, Denny Riama Silaban Departemen Matematika, FMIPA Universitas Indonesia, Depok {marifahpuji, kiki, Abstrak Graf berarah adalah pasangan himpunan (V, A dimana V himpunan tak kosong yang elemennya disebut simpul A himpunan pasangan terurut dari elemen-elemen himpunan V yang disebut busur berarah Suatu graf berarah D = (V, A dikatakan mempunyai pelabelan- apabila tiap simpulnya dapat dilabel dengan dengan memenuhi sifat yaitu tiap simpulnya memiliki label yang berbeda untuk setiap busur berarah, (u, v A jika hanya jika untuk i = 2, 3,, k dengan k > 1 Pelabelan quasi- memiliki definisi yang hampir sama, perbedaannya jika busur berarah, (u, v A maka untuk i = 2, 3,, k dengan k > 1 Pada makalah ini ditunjukkan bahwa graf lingkaran berarah dengan dua tali busur dapat dilabel dengan pelabelan quasi- dengan, line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur dapat dilabel dengan pelabelandengan sehingga line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur merupakan graf DNA Abstract Directed graph is a pair sets (V, A consists of a non-empty finite set V which its elements called vertices and A is a finite set of ordered pair of elements in V called arcs A directed graph can be - labeled if every vertex assigned a label with and, all vertices have different labels, and for any arc (u, v A if and only if for i = 2, 3,, k with and k > 1 A quasi- labeling almost have the same definition with - labeling, except for the arc, if (u, v A then for i = 2, 3,, k with and k > 1 In this paper, it is shown that a dicycle with two chords can be quasi- labeled, line digraph of a dicycle with two chords can be - labeled so that the line digraph of dicycle with two chords is a DNA graph Kata Kunci : DNA graph, dicycle with two chords, line digraph, (α, k-labeling, quasi-(α, k label 1 PENDAHULUAN Graf berarah atau digraph (directed graph D adalah pasangan himpunan (V, A dimana V himpunan tidak kosong yang elemennya disebut dengan simpul A himpunan pasangan terurut dari elemen elemen himpunan V yang disebut busur berarah, yaitu busur yang memiliki arah Jika busur berarah menunjukkan pasangan terurut dimana, maka u disebut ekor (tail v disebut kepala (head dari busur tersebut [3] Jalan (walk pada suatu graf berarah D adalah suatu barisan dimana adalah simpul adalah busur dari D sedemikian sehingga ekor dari adalah kepala dari adalah untuk setiap i = 1, 2, k 1 Suatu jalan dikatakan tertutup jika Jalan W dapat dikatakan sebagai jalan dari ke atau jalan- Jejak (Trail adalah jalan dimana semua busurnya berbeda segkan jalan dimana semua simpulnya berbeda disebut sebagai lintasan Jika u v adalah simpul pada suatu graf berarah maka jarak (distance dari u menuju v didefinisikan dengan panjang dari suatu lintasan terpendek (u,v Line digraph (L(D dari graf berarah adalah graf berarah dengan himpunan simpul sedemikian sehingga ada busur berarah dari ke di L(D jika hanya jika kepala dari busur di D adalah ekor dari busur di D [1] Misal k > 1 adalah bilangan bulat Suatu graf berarah D = (V, A dapat dilabel dengan pelabelan- jika tiap simpulnya dapat diberi label dengan panjang k memenuhi syarat: 1, 2 Setiap simpul yang berbeda memiliki label yang berbeda, 3 (u,v A jika hanya jika untuk i = 2, 3,, k [2] Pada [5] diperkenalkan suatu pelabelan lain yang dapat membantu mempelajari pelabelan- Didefinisikan suatu pelabelan lain yaitu pelabelan quasi- Misal k >1 bilangan bulat,

2 suatu graf berarah D = (V, A dimana tiap simpulnya diberi label disebut pelabelan quasi-(α, k pada D, jika memenuhi 1, 2 Setiap simpul yang berbeda memiliki label yang berbeda, 3 Jika maka untuk i = 2, 3,, k Perbedaan antara pelabelan quasi- dengan pelabelan- terletak pada sifat ketiga Pada pelabelan quasi- sifat ketiga hanya dapat berlaku satu arah artinya jika (u,v A maka untuk i = 2, 3,, k sebaliknya jika untuk i = 2, 3,, k maka (u,v A tidak harus merupakan busur berarah pada D Suatu graf berarah D merupakan graf DNA jika hanya jika sedemikan sehingga D memiliki pelabelan-(4, k Jika suatu graf berarah D dapat dilabel dengan pelabelan- untuk beberapa k > 1 bilangan bulat, maka D adalah suatu line digraph [2] Graf lingkaran berarah graf lintasan berarah merupakan graf DNA Rooted tree self adjoint digraph merupakan graf DNA jika hanya jika derajat maksimumnya empat Jika D dapat di label dengan pelabelan quasi maka line digraph dari D, L(D, dapat dilabel dengan pelabelan [5] Line digraph dari graf lingkaran berarah dengan satu tali busur merupakan graf DNA [4] Pada makalah ini dikonstruksi pelabelan quasi- dengan k>1 pada graf lingkaran berarah dengan dua tali busur dengan sehingga dapat diketahui line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur memiliki pelabelan- dengan dapat ditunjukkan line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur merupakan graf DNA 2 DISKUSI DAN HASIL Alur untuk membuktikan bahwa line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur merupakan graf DNA adalah sebagai berikut: Mendefinisikan fungsi pelabelan untuk simpul Menunjukkan bahwa label tersebut memenuhi sifat sifat pelabelan quasi- Menunjukkan bahwa line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur memiliki pelabelan- Menunjukkan bahwa line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur adalah graf DNA Pada Gambar 1 berikut ini diberikan pelabelan quasi-(3,3 pada graf lingkaran berarah dengan dua tali busur untuk n = 6 n = 7 Gambar 1 Pelabelan quasi-(3,3 pada graf lingkaran berarah dengan dua tali busur (a (b Teorema 21 Graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, dengan tali busur quasi-(, untuk memiliki pelabelan Bukti Nyatakan simpul simpul pada dengan seperti pada Gambar 2 yaitu gambar umum graf lingkaran berarah dengan dua tali busur Pada pembuktian ini dibagi menjadi dua kasus yaitu untuk n genap n ganjil Gambar 2 Gambar Umum Graf Lingkaran Berarah dengan dua Tali Busur Kasus 1 n genap Definisikan pelabelan l pada graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, dengan ( ( ( ( ( dimana (1,3,2 (3,3,2 (3,2,3 v 6 v 1 v 2 (3,1,3 (3,3,1 (2,3,3 (a (1,1,3 (1,3,3 (3,3,2 (3,2,3 v 7 v 1 v 6 v 2 (3,1,1 (3,3,1 (b (2,3,3 (21

3 ( sepanjang (22 Dari definisi l berlaku ( ( (23 dimana untuk ( berlaku sebagai berikut ( ( ( { (24 Pada pelabelan di atas, 0 mod 4 ditulis sebagai 4 Akan dibuktikan bahwa l memenuhi ketiga sifat pelabelan quasi- sehingga menjadi pelabelan quasi- untuk, yaitu 1 ( 2 Tiap simpul pada memiliki label yang berbeda 3 Jika maka Sifat 1 ( Berdasarkan persamaan (21, (22, (23, (24 diketahui ( pada fungsi pelabelan l mempunyai nilai mod 4 maka dari definisi fungsi yang ada, terlihat bahwa semua nilai pada l akan masuk dalam himpunan {1,2,3,4} atau Dengan demikian, sifat 1 berlaku Sifat 2 Tiap simpul yang berbeda pada memiliki label yang berbeda Ambil dua simpul yang berbeda,, pada Andaikan memiliki label yang sama Dalam hal ini akan dilihat 7 kasus, bergantung pada nilai p q, dimana Label pada setiap simpul terdiri dari tupel yaitu ( ( ( ( Dengan demikian, untuk pembuktian sifat ini harus diperhatikan setiap tupel pada setiap label Akan tetapi, pada pembuktian ini hanya akan diperhatikan pada tupel ke- Jika nilai pada tupel ke- berbeda maka terbukti bahwa label kedua simpul berbeda Akan tetapi, jika pada tupel ke- bernilai sama, maka diperhatikan tupel lainnya (dalam kasus ini tupel ke atau tupel ke 1 pada label simpul tersebut Dengan memperhatikan pelabelan pada persamaan (21, (22, (23, (24 terbukti bahwa label dua simpul tidak sama untuk setiap kasus Sifat 3 Jika maka Untuk i = 1,, n 1, dari definisi berlaku sehingga untuk membuktikan pelabelan l memenuhi sifat 3, tinggal ditunjukkan bahwa, (, ( dengan Dari definisi l diketahui bahwa sepanjang ( ( ( { dimana untuk ( ( ( sehingga diperoleh ( berlaku ( berlaku ( ( Dengan kata lain, Kemudian, ( ( ( ( (, (

4 ( ( ( ( ( ( dimana untuk ( berlaku ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dengan kata lain, (, Untuk, ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dengan kata lain, (, Jadi sifat 3 berlaku Terbukti bahwa pelabelan l memenuhi sifat sifat pelabelan quasi-(4, untuk n genap Kasus 2 n ganjil Definisikan pelabelan l pada graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, dengan ( ( ( ( dimana ( ( (25 sepanjang (26 Dari definisi l berlaku ( ( (27 ( ( ( (28 { Pada pelabelan di atas, 0 mod 4 ditulis sebagai 4 Akan dibuktikan bahwa l memenuhi ketiga sifat pelabelan quasi- sehingga menjadi pelabelan quasi- untuk, yaitu 1 ( 2 Tiap simpul pada memiliki label yang berbeda 3 Jika maka Sifat 1 ( Berdasarkan persamaan (25, (26, (27, (28 diketahui fungsi pelabelan l mempunyai nilai mod 4 maka dari definisi fungsi yang ada, terlihat bahwa semua hasil nilainya akan masuk sebagai elemen {1,2,3,4} atau Dengan demikian, sifat 1 berlaku Sifat 2 Tiap simpul yang berbeda pada memiliki label yang berbeda Ambil dua simpul yang berbeda,, pada Andaikan memiliki label yang sama Dalam hal ini akan dilihat 8 kasus, bergantung pada nilai p q, dimana Label pada setiap simpul terdiri dari tupel yaitu ( ( ( ( Dengan demikian, untuk pembuktian sifat ini harus diperhatikan setiap tupel pada setiap label Akan tetapi, pada pembuktian ini hanya diperhatikan pada tupel ke- Jika pada tupel ke- berbeda maka terbukti bahwa label kedua simpul berbeda Akan tetapi, jika pada tupel ke- bernilai sama, maka diperhatikan pada tupel lainnya (dalam kasus ini pada tupel ke atau tupel ke 1 pada label simpul tersebut

5 Dengan membandingkan pelabelan pada persamaan (25, (26, (27, (28 terbukti bahwa label dua simpul tidak sama untuk setiap kasus Sifat 3 Jika maka Untuk i = 1,, n 1, dari definisi berlaku sehingga untuk membuktikan pelabelan l memenuhi sifat 3, tinggal ditunjukkan bahwa, (, ( dengan Dari definisi l diketahui bahwa ( sepanjang berlaku ( ( dimana untuk ( berlaku ( Dengan kata lain,, Kemudian, ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dengan kata lain, (, ( Untuk, ( ( { ( ( sehingga diperoleh ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( ( ( ( ( ( ( ( Dengan kata lain, (, Sifat 3 berlaku Terbukti bahwa pelabelan l memenuhi sifat sifat pelabelan quasi-(4, untuk n ganjil

6 Dengan demikian, telah terbukti bahwa graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, dengan tali busur (, untuk memiliki pelabelan quasi- Pada Gambar 3 Gambar 4 diberikan contoh pelabelan quasi-( untuk graf lingkaran berarah dengan dua tali busur, busur, dengan tali untuk pada line digraph-nya Lemma 31 ini beserta pembuktiannya diberikan oleh [5] Lemma 21 [5] Diberikan graf berarah Jika D dapat dilabel dengan pelabelan quasimaka line digraph dari D,, dapat dilabel dengan pelabelan- (1,3,2 (3,3,2 (3,2,3 v 6 v 1 v 2 (4,4,3,2,1,4,3,2 v 1 (4,3,2,1,4,3,2,4 v 2 (3,1,3 (3,3,1 (a (2,3,3 (1,4,4,3,2,1,4,3 v 16 (3,2,1,4,3,2,4,4 (1,3,3,2 (3,3,2,3 (3,1,4,4,3,2,1,4 v 15 (2,1,4,3,2,4,4,3 v 61 v 12 (4,3,1,4,4,3,2,1 v 14 (1,4,3,2,4,4,3,2 (1,4,3,1,4,4,3,2 v 13 v 6 (4,3,2,4,4,3,2,1 (3,1,3,3 6 v 64 (1,3,3,1 v 13 (2,3,3,2 v 23 (3,2,3,3 (2,1,4,3,1,4,4,3 v 12 v 7 (3,2,4,4,3,2,1,4 (3,2,1,4,3,1,4,4 v 11 v 8 (2,4,4,3,2,1,4,3 v 10 v 9 (4,3,2,1,4,3,1,4 (4,4,3,2,1,4,3,1 Gambar 3 Pelabelan quasi-(4,8 pada 5 4 (3,3,1,3 (b (2,3,3,1 Gambar 5 (a Pelabelan quasi-(3,3 pada Pelabelan-(3,4 pada L( (b (4,4,3,2,1,4,3,2 v 1 (1,1,3 (1,3,3 (3,3,2 (3,2,3 v 7 v 6 v 1 v 2 (2,4,4,3,2,1,4,3 v 17 v 2 (4,3,2,1,4,3,2,4 (1,2,4,4,3,2,1,4 v 16 (3,2,1,4,3,2,4,4 (3,1,2,4,4,3,2,1 (4,3,1,2,4,4,3,2 (1,4,3,1,2,4,4,3 v 15 v 14 v 13 v 6 (2,1,4,3,2,4,4,3 (1,4,3,2,4,4,3,2 (4,3,2,4,4,3,2,1 (3,1,1 (1,1,3,3 (3,3,1 (a (1,3,3,2 (3,3,2,3 (2,3,3 (2,1,4,3,1,2,4,4 v 12 v 7 (3,2,4,4,3,2,1,4 v 67 v 71 v 12 (3,2,1,4,3,1,2,4 v 11 v 8 (2,4,4,3,2,1,4,3 (3,1,1,3 6 v 74 (1,3,3,1 (2,3,3,2 1 v 23 (3,2,3,3 (4,3,2,1,4,3,1,2 v 10 v 9 (4,4,3,2,1,4,3,1 quasi- Gambar 4 Pelabelan quasi-(4,8 Lemma 21 memberikan hubungan pelabelan pada graf berarah D dengan pelabelan- 5 (3,3,1,1 (b 4 (2,3,3,1

7 Gambar 6 (a Pelabelan quasi-(3,3 pada (b Pelabelan-(3,4 pada L Dari Gambar 5 Gambar 6 dapat dilihat bahwa line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur untuk dapat dilabel dengan pelabelan-(3,4 Telah ditunjukkan beberapa gambar contoh pelabelan quasi-( pada graf lingkaran berarah dengan dua tali busur Selanjutnya dari Teorema 21 Lemma 21 diperoleh Akibat 21 Akibat 22 seperti dijabarkan berikut ini Akibat 21 Line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, untuk dengan memiliki pelabelan-( Bukti Berdasarkan Teorema 21 untuk, graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, dengan memiliki pelabelan quasi-( Dengan demikian berdasarkan Lemma 21 line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, untuk dengan memiliki pelabelan-( +1 (3,1,4,4 v 7 v 6 (4,3,1,4 (4,3,1,4,4 v 67 (1,4,4,3 (4,4,3,2 (4,3,2,4 v 8 (4,4,3,1 (3,1,4,4,3 (1,4,4,3,2 v 78 6 v 85 (1,4,4,3,1 (a Gambar 7 Pelabelan Pelabelan quasi-(4,4 pada (b Pelabelan-(4,5 pada ( Pada Gambar 7 diberikan contoh pelabelan- ( pada line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, dengan dengan Suatu graf berarah D merupakan graf DNA jika hanya jika terdapat sedemikan sehingga D memiliki pelabelan-(4,k [2] Berdasarkan definisi pelabelan-, suatu graf yang memiliki pelabelan- juga dapat dilabel dengan pelabelan- v 1 (2,4,4,3 v 81 v 12 5 (4,4,3,1,4 (b (2,4,4,3,1 1 (2,4,4,3,2 (4,4,3,2,4 4 (3,2,4,4,3 v 2 (3,2,4,4 v 23 (4,3,2,4,4, sehingga suatu graf berarah D merupakan graf DNA jika hanya jika D memiliki pelabelanuntuk Dengan demikian, berdasarkan Akibat 21, telah diketahui bahwa graf lingkaran berarah dengan dua tali busur dengan n = 6 n = 7 memiliki pelabelan quasi-(3,3 pelabelan-(3,4 dapat diperoleh Akibat 22 Akibat 22 Line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, dengan Bukti adalah graf DNA Berdasarkan Teorema 21 graf berarah mempunyai pelabelan quasi-( untuk telah diketahui pula untuk n = 6 n = 7 juga mempunyai pelabelan quasi-( Berdasarkan Akibat 21 mempunyai pelabelan-( untuk telah diketahui pula untuk n = 6 n = 7 juga mempunyai pelabelan-( Karena untuk maka adalah graf DNA untuk Dari pembahasan ini, dapat terlihat bahwa dengan mengkonstruksi pelabelan- pada suatu graf berarah dapat membantu mengetahui graf berarah tersebut merupakan graf DNA atau bukan Dari pembahasan ini pula dapat diketahui suatu line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur,, untuk dengan 3 KESIMPULAN merupakan graf DNA Pada makalah ini, telah ditunjukkan bahwa graf lingkaran berarah dengan dua tali busur memiliki pelabelan quasi dengan k =3 untuk untuk seperti yang disebutkan pada Teorema 21 pada penjelasan sebelumnya Pada makalah ini juga dapat ditunjukkan line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur memiliki pelabelan dengan k =4 untuk untuk seperti yang disebutkan pada Akibat 21 pada penjelasan sebelumnya Telah ditunjukkan pula pada makalah ini, pada Akibat 22 bahwa line digraph dari graf lingkaran berarah dengan dua tali busur merupakan graf DNA untuk

8 UCAPAN TERIMA KASIH Sebagian dari penelitian ini diai oleh Hibah Kompetensi No 3686/H2R12/HKP0500/20`2 Terima Kasih penulis ucapkan pula kepada berbagai pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu, yang telah banyak membantu dalam proses penyelesaian makalah ini DAFTAR ACUAN [1] Bang-Jensen, J Gutin, G 2007 Digraphs Theory, Algorithms and Applications Springer- Verlag [2] Blażewicz, J, Hertz, A, Kobler, D, de Wera, D 1999 On Some properties of DNA Graphs Discrete Appl Math 98 ( [3] Hartsfield, N Ringel, G 2004 Pearls in Graph Theory, A Comprehensive Introduction Dover Publication, Inc [4] Inne, Sugeng, K A, Silaban, D R Preprint DNA Graph Characterization for Line Digraph of Dicycle with One Chord [5] Li, X Zhang, H 2007 Characterization for Some Types of DNA Graphs Journal of Mathematical Chemistry Vol 42 No