BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
|
|
- Ida Atmadjaja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitifitas, terhubung kuat, eksponen dan eksponen titik. 2.1 Definisi Sub-bab ini akan membahas definisi tentang digraf dan digraf dwiwarna secara keseluruhan Digraf Andaikan V adalah sebuah himpunan berhingga yang tak kosong yang disebut sebagai titik (vertex) dan E adalah himpunan pasangan berurut dari titik V yang disebut sebagai edge, maka graf adalah suatu objek yang dibentuk dari himpunan V,dan himpunan E V V yang unsurnya disebut sebagai edge. Digraf D adalah objek yang dibentuk dari himpunan V, dan himpunan A V V yang unsurnya disebut sebagai arc dari D. Jika (u, v) A merupakan sebuah arc pada digraf D, maka u sebagai titik awal dan v sebagai titik akhir. Titik V direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil sedangkan arc direpsentasikan dalam bentuk garis berarah. Barisan sejumlah titik v 1, v 2,..., v m sehingga terdapat arc dalam D yang menghubungkan titik v i ke titik v i+1 untuk setiap i = 1, 2, 3,..., m 1 disebut sebagai walk dengan panjang m > 0 pada suatu digraf D. Dapat ditulis sebagai berikut 7
2 8 v 1 v 2 v 3... v m untuk v 1 v m maka disebut walk terbuka. Suatu walk yang tidak mengalami perulangan titik disebut sebagai path, sedangkan suatu path tertutup disebut sebagai cycle dan cycle yang memiliki panjang 1 disebut sebagai loop. Contoh Berikut merupakan representasi dari definisi diatas. Gambar 2.1 : Digraf dengan 4 titik dan 6 arc Digraf diatas memperlihatkan walk, path, cycle, dan loop sebagai berikut: a. v 1 v 2 v 3 v 4 v 2 adalah walk terbuka b. v 1 v 2 v 3 v 4 v 2 v 3 v 1 adalah walk tertutup namun bukan path c. v 1 v 2 v 3 v 4 adalah path terbuka d. v 1 v 2 v 3 v 1 adalah path tertutup atau disebut cycle e. v 1 v 1 adalah loop Digraf Dwiwarna Suatu digraf yang setiap arc-nya berwarna biru atau merah dan tidak keduanya pada satu arc disebut sebagai digraf dwiwarna. Digraf dwiwarna dibentuk oleh himpunan vertex V, himpunan R V V yang unsurnya adalah arc berwarna merah, dan B V V yang unsurnya adalah arc berwarna biru. Digraf Dwiwarna dinotasikan dengan D (2).
3 9 Arc merah (u, v) direpresentasikan dengan u m v atau dengan tanda panah sedangkan arc biru (u, v) direpresentasikan dengan u b v atau garis putus-putus. Contoh Berikut gambar digraf dwiwarna Gambar 2.2 : Digraf Dwiwarna dengan 6 titik 8 arc Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan himpunan vertex V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dengan uraian sebagai berikut : a. Himpunan arc biru B = {(v 3, v 4 ), (v 4, v 2 ), (v 6, v 1 )} b. Himpunan arc merah R = {(v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 2, v 5 ), (v 5, v 6 ), (v 1, v 1 )} merupakan suatu digraf dwiwarna dengan 6 vertex, 3 arc biru dan 5 arc merah. Pada digraf dwiwarna juga terdapat walk, path, dan cycle. Suatu (h, k)-walk dalam digraf dwiwarna adalah sebuah walk dengan h arc merah dan k arc biru sedangkan vektor ((r(w), b(w)) atau r(w) merupakan komposisi dari walk w, dengan b(w) r(w) adalah notasi dari jumlah arc merah dan b(w) adalah notasi dari jumlah arc biru dan l(w) = r(w) + b(w) adalah panjang walk w yang merupakan jumlah dari arc merah dan arc biru. Seperti halnya digraf,path pada digraf dwiwarna merupakan walk yang tidak mengalami perulangan titik, namun jika titik awal sama dengan titik akhir maka disebut sebagai path tertutup atau cycle, sedangkan loop adalah cycle dengan panjang
4 10 satu yang memiliki komposisi 1 0 atau 0 1. Contoh Berikut adalah contoh walk, path, cycle dan loop dari Gambar 2.2. Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan : 1. v 1 m v 2 m v 3 b v 4 b v 2 adalah walk terbuka. 2. v 1 m v 2 m v 3 b v 4 adalah path terbuka. 3. v 1 m v 2 m v 5 m v 6 b v 1 adalah cycle. 4. v m 1 v 1 adalah loop dengan komposisi Matriks Adjacency Matriks adjacency dari digraf dan digraf dwiwarna dengan n-titik adalah suatu matriks berordo n n yang dinotasikan dengan A dimana setiap entrinya adalah 1 atau Matriks Adjacency Digraf Matriks adjacency pada Digraf D dengan n-titik yang dinotasikan sebagai A(D) = [a ij ] dengan entry sebagai berikut: { 1, jika terdapat arc dari vi ke v j di D a ij = 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3,..., n Contoh Berikut adalah matriks adjacency pada digraf D yang diperoleh dari Gambar
5 Matriks Adjacency Digraf Dwiwarna Pada digraf dwiwarna matriks adjacency dibagi menjadi 2 bagian berdasarkan warna arc yakni : a. Matriks adjacency merah Matriks adjacency merah yang berordo n n dinotasikan sebagai R = [r ij ] dengan entri adalah sebagai berikut: { 1, jika terdapat arc merah dari vi ke v j di D (2) r ij = 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3,..., n Contoh Berikut adalah matriks adjacency merah dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar b. Matriks adjacency biru Matriks adjacency biru yang berordo n n dinotasikan sebagai B = [b ij ]dengan entri adalah sebagai berikut: { 1, jika terdapat arc biru dari vi ke v j di D (2) b ij = 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3,..., n. Contoh Berikut adalah matriks adjacency biru dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar 2.2.
6 Primitifitas Digraf dan Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat Pada subbab ini akan dibahas mengenai digraf dan digraf dwiwarna terhubung kuat dan hubungannya dengan primitifitas Primitifas Digraf Terhubung Kuat Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Contoh Berikut adalah digraf terhubung kuat dan tak terhubung kuat. Gambar 2.3: (a) Terhubung Kuat (b) Tidak Terhubung Kuat Gambar 2.3 memperlihatkan bahwa pada (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v 3 ke v 1.
7 13 Lemma Andaikan D adalah digraf terhubung kuat maka setiap titik u di D terletak pada cycle. Bukti : Ambil sebarang titik u di D dan sebarang arc dari titik u ke v di D. Karena D adalah digraf terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk setiap titik u di D. Dengan kata lain bahwa setiap titik u di D terletak pada suatu cycle. Andaikan C = {γ 1, γ 2,..., γ q } merupakan himpunan semua cycle di D dan misalkan notasi l(γ i ) merupakan panjang semua cycle pada digraf D untuk setiap i = 1, 2,, q. Suatu digraf D terhubung kuat dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari setiap panjang cycle di D adalah 1 (Brualdi dan Ryser,1991). Contoh Berikut adalah digraf terhubung kuat yang primitif. Gambar 2.4 : Digraf Terhubung Kuat dan Primitif Pada gambar 2.4 diperlihatkan bahwa l(γ 1 ) dari cycle v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 adalah 5. Kemudian l(γ 2 ) dari cycle v 1 v 4 v 5 v 1 adalah 3. Dan l(γ 3 ) dari cycle tertutup v 1 ke v 1 adalah 1. Sehingga diketahui bahwa pembagi persekutuan terbesar dari setiap l(γ i ) cycle adalah 1.
8 Primitifitas Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Contoh Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat. Gambar 2.5: (a)terhubung Kuat (b)tidak Terhubung Kuat Gambar 2.5 memperlihatkan bahwa pada digraf dwiwarna (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v 3 ke v 1. Lemma Andaikan D (2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat maka setiap titik u di D (2) terletak pada cycle. Bukti : Ambil sebarang titik u di D (2) dan sebarang arc dari titik u ke v di D (2). Karena D (2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk setiap titik u di D (2). Dengan kata lain bahwa setiap titik u di D (2) terletak pada suatu cycle. Digraf dwiwarna D (2) terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat suatu bilangan bulat tak negatif h dan k dengan h + k > 0 sehingga untuk setiap pasang
9 15 titik (u, v) di D (2) terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Andaikan C = {γ 1, γ 2,..., γ q } merupakan himpunan semua cycle di D (2) dan misalkan notasi l(γ i ) merupakan panjang semua cycle pada digraf dwiwarna D (2) untuk setiap i = 1, 2, 3,, q. S disebut sebagai matriks cycle adalah matriks yang berordo 2 q sebagai berikut S = r(γ 1) r(γ 2 ) r(γ q ) b(γ 1 ) b(γ 2 ) b(γ q ) Kolom ke-q dari matrik cycle S merupakan komposisi dari cycle γ q dan jumlah baris pada matriks S menyatakan banyaknya warna pada D (2). Suatu digraf dwiwarna dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinandeterminan matriks minor berordo 2 2 dari S adalah 1 (Fornasini dan Valcher,1997). Contoh Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif. Gambar 2.6 Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat dan Primitif Dari Gambar 2.6 diatas terdapat2 cycle yaitu cycle yang pertama v m 1 v m 2 v m 3 b v 4 v 1 dengan komposisi S 1 = 3 b dan cycle kedua adalah v 5 v 2 m v 3 m v 5 1 dengan komposisi S 2 = 2, maka matriks cycle dari D (2) adalah S = dengan det(s) = 1. Sehingga Digraf Dwiwarna pada Gambar 2.6 adalah terhubung kuat dan primitif.
10 Matriks Tak Negatif dan Digraf Dwiwarna Suatu matriks A dikatakan matriks tak negatif jika untuk setiap entri dari matriks A = [a ij ] bernilai tak negatif atau dapat dinotasikan dengan a ij 0. Contoh Berikut adalah matriks tak negatif sedangkan matriks A dikatakan postitif, jika untuk setiap entri dari matriks A = [a ij ] bernilai positif atau dapat dinotasikan dengan a ij > 0. Contoh Berikut adalah matriks positif Pada suatu digraf D, terdapat suatu bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan titik-titik u dan v terdapat walk dari u ke v dengan panjang l, maka bilangan bulat positif terkecil l disebut sebagai eksponen dari digraf D yang dinotasikan sebagai exp(d) (Brualdi dan Ryser,1991). Proposisi 2.4 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D. Entri a k ij dari A k menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j dengan panjang k di D. Bukti : Andaikan A suatu matriks adjacency dari digraf D, maka setiap entri a ij dari A menyatakan arc dari titik v i ke v j di D. Sehingga untuk k = 1, terdapat entri a 1 ij dari A 1 menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j dengan panjang satu di D. Asumsikan setiap entri a k ij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j dengan panjang k di D, untuk setiap k 1. Kemudian diperlihatkan setiap
11 17 entri a k+1 ij menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j dengan panjang k +1 di D, untuk setiap k 1. Perhatikan setiap walk dari titik v i ke v j di D dengan panjang k + 1 yang terdiri dari walk v i ke v l dengan panjang k dengan l = 1, 2, 3,.., n dan dilanjutkan dengan arc dari titik v l ke v j. Sehingga a k il a lj menyatakan walk dengan panjang k +1 dari titik v i ke v j di D untuk k = 1, 2, 3,, n. Jika terdapat walk dengan panjang k dari titik v i ke v j di D, maka a k il = 0 sehingga a k il a lj = 0. Hal ini berarti tidak terdapat walk dengan panjang k + 1 dari titik v i ke v j yang melalui titik v l di D. Sehingga diperoleh jumlah walk dengan panjang k + 1 dari titik v i ke v j di D adalah n a k i1a 1j + a k i2a 2j a k ina nj = i=1 a k ila lj Karena A k+1 = A k A maka a k ij = n i=1 ak il a lj. Hal ini berakibat a k+1 ij menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j yang panjangnya k + 1 di D. adalah benar Contoh Berikut adalah representasi menghitung eksponen dari digraf D. Dari Gambar 2.1 diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut A = Dari proposisi diatas, dengan mencari banyak walk dari titik v i ke v j dengan panjang k, sehingga bilangan bulat positif terkecil k adalah eksponen dari digraf D. Perhatikan matriks A k untuk k: a. Untuk k = 1, diperoleh A = maka k = 1 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk dengan panjang satu dari titik v 1 ke v 3, v 2 ke v 4, v 4 ke v 1, dst.
12 b. untuk k = 2, diperoleh A 2 = maka k = 2 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk dengan panjang 2 dari titik v 1 ke v 4, v 2 ke v 2, v 2 ke v 3, v 3 ke v 4, dst c. Untuk k = 3, diperoleh A 3 = maka k = 3 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk dengan panjang tiga dari titik v 2 ke v 3, v 3 ke v 4, dst d. Untuk k = 4, diperoleh A 4 = maka k = 4 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk dengan panjang empat dari titik v 2 ke v 4, v 4 ke v 3, v 4 ke v 4, dst e. Untuk k = 5, diperoleh A 5 = maka k = 5 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk dengan panjang lima dari titik v 4 ke v f. Untuk k = 6, diperoleh A 6 = merupakan eksponen dari digraf, karena setiap pasang titik (v i, v j ) memiliki walk dengan panjang 6.
13 19 Pada digraf dwiwarna D (2), eksponen dari digraf dwiwarna D (2), di definisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil h + k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru sehingga untuk setiap pasang titik u dan v terdapat sebuah (h, k)-walk dari u ke v, eksponen dari digraf dwiwarna D (2) dinotasikan oleh exp(d (2) )(Shader dan Suwilo, 2003). Andaikan A dan B adalah suatu matriks tak negatif berordo m m. Untuk bilangan tak negatif h dan k di definisikan (h, k)-hurwitz product, (R, B) (h,k) adalah jumlah keseluruhan matriks dari perkalian R sebanyak h kali dan B sebanyak k kali. Contoh : (R, B) (1,0) = R dan (R, B) (2,2) = R 2 B 2 + RBRB + RB 2 R + BRBR + B 2 R 2 Lemma Jika (R, B) adalah matriks adjacency dari digraf dwiwarna. Maka (R, B) (h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari v i ke v j pada digraf dwiwarna. Bukti : Pembuktian dilakukan dengan cara induksi, yakni jika h = 0dan k = 1 maka (R, B) (0,1) = B merupakan walk dari v i ke v j memiliki komposisi 0 1 pada digraf dwiwarna. Kemudian jika h = 1 dan k = 0 maka (R, B) (1,0) = R merupakan walk dari v i ke v j memiliki komposisi 1 0 pada digraf dwiwarna. Kemudian diperlihatkan untuk semua bilangan bulat tak negatif h + k + 1 adalah benar dengan pembuktian sebagai berikut. (R, B) (h+1,k) = R(R, B) (h,k) + B(R, B) (h+1,k 1) sehingga R(R, B) (h,k) menyatakan bahwa terdapat walk dari v i ke v j dengan panjang (h, k) yang diikuti dengan sebuah arc merah, sedangkan B(R, B) (h+1,k 1) menyatakan bahwa terdapat walk dari v i ke v j dengan panjang (h + 1, k 1) yang diikuti oleh sebuah arc biru. sehingga diperoleh (R, B) (h+1,k) merupakan jumlah (h + 1, k)-walk
14 20 dari v i ke v j. Contoh Berikut adalah representasi menghitung eksponen digraf dwiwarna. Gambar 2.7 : Digraf Dwiwarna dengan 3 titik dan 4 arc Dari Gambar 2.7 digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif terdapat matriks adjacency merah R = dan matriks adjacency biru B = Menggunakan Lemma 2.4.1, jika (R, B) adalah matriks adjacendy dari digraf dwiwarna. Maka (R, B) (h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari v i ke v j pada digraf dwiwarna. Sehingga h + k merupakan eksponen dari digraf bila matriks (R, B) (h,k) adalah matriks positif. Dengan demikian perhatikan matriks adjacency merah R dan matriks adjacency biru B adalah sebagai berikut : 1. Untuk h + k = 2, maka diperoleh a. (R, B) (2,0) = R 2 = b. (R, B) (1,1) = RB + BR =
15 21 c. (R, B) (0,2) = B 2 = Untuk h + k = 3, maka diperoleh a. (R, B) (3,0) = R 3 = b. (R, B) (2,1) = R(R, B) (1,1) + BR 2 = c. (R, B) (1,2) = RB 2 + B(R, B) (1,1) = d. (R, B) (0,3) = B 3 = Untuk h + k = 4, maka diperoleh a. (R, B) (4,0) = R 4 = b. (R, B) (3,1) = R(R, B) (2,1) + BR 3 = c. (R, B) (2,2) = R(R, B) (1,2) + B(R, B) (2,1) = 2 1 1
16 22 d. (R, B) (1,3) = RB 3 + B(R, B) (1,2) = e. (R, B) (0,4) = B 4 = 4. Untuk h + k = 6, maka diperoleh a. (R, B) (6,0) = R 6 = b. (R, B) (1,5) = RB 3 + B(R, B) (1,4) = c. (R, B) (2,4) = R(R, B) (1,4) + B(R, B) (2,3) = d. (R, B) (3,3) = R(R, B) (2,3) + B(R, B) (3,2) = e. (R, B) (4,2) = R(R, B) (3,2) + B(R, B) (4,1) = f. (R, B) (5,1) = R(R, B) (4,1) + BR 5 =
17 23 a. (R, B) (0,6) = B 6 = 5. Untuk h + k = 10, maka diperoleh a. (R, B) (10,0) = R 10 = b. (R, B) (1,9) = RB 9 + B(R, B) (1,8) = c. (R, B) (2,8) = R(R, B) (1,8) + B(R, B) (2,7) = d. (R, B) (3,7) = R(R, B) (2,7) + B(R, B) (3,6) = e. (R, B) (4,6) = R(R, B) (3,6) + B(R, B) (4,5) = f. (R, B) (5,5) = R(R, B) (4,5) + B(R, B) (5,4) = a. (R, B) (6,4) = R(R, B) (5,4) + B(R, B) (6,3) = terdapat walk dengan panjang 10 dari tiap pasang titik pada digraf dwiwarna, se-
18 24 hingga exp(d (2) ) = 10 dengan komposisi 6 arc merah dan 4 arc biru yakni Eksponen Titik Digraf dan Digraf Dwiwarna Pada subbab ini akan dibahas definisi dan penentuan eksponen titik digraf dan digraf dwiwarna Eksponen Titik Digraf Misalkan D adalah sebuah digraf primitif yang terdiri dari himpunan titik V (D) = {v 1, v 2,..., v n }. Eksponen titik dari digraph D didefinisikan sebagai jumlah walk dengan panjang minimum m yang menghubungkan titik v k ke setiap titik di D dinotasikan γ D (v k ). Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n n. Jika titik-titik di D adalah (v 1, v 2,...v n ) sehingga γ D (v 1 ) γ D (v 2 )... γ D (v n ) Maka γ D (v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, yang dinotasikan dengan exp D (v k ). Contoh Berikut adalah bagaimana mencari eksponen titik dari masing-masing titik di digraf D, berdasarkan proposisi 2.4 entri a ij harus bernilai positif. Dari Contoh diperoleh matriks-matriks dari A k : 1. Untuk k=3, pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka exp D (v 1 ) = Untuk k=4, pada baris ke-3 semua entri juga bernilai positif,maka exp D (v 3 ) = Untuk k=5, pada baris ke-2 semua entri bernilai positif, maka exp D (v 2 ) = Untuk k=6, pada baris ke-4 semua entri bernilai positif, maka exp D (v 4 ) = 6.
19 Eksponen Titik Digraf Dwiwarna Misalkan D (2) adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari himpunan titik V (D) = {v 1, v 2,..., v n }. Eksponen titik dari digraph dwiwarna D (2) didefinisikan sebagai jumlah walk dengan panjang minimum g+h yang menghubungkan titik v k ke setiap titik di D (2), dengan g menyatakan jumlah arc merah dan h menyatakan jumlah arc biru. Kemudian dinotasikan dengan γ D (v k ). Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n n. Jika titik-titik di D (2) adalah (v 1, v 2,..., v n ), maka γ D (v 1 ) γ D (v 2 )... γ D (v n ) sehingga γ D (v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D (2), yang dinotasikan dengan exp D (2)(v k ). Dengan menggunakan operasi (g, h)-matriks Hurwitz Product R dan B yang telah didefenisikan pada subbab 2.4. Untuk suatu bilangan positif terkecil g dan h yang masing-masing merupakan jumlah arc merah dan arc biru, sehingga g + h merupakan eksponen titik digraf dwiwarna untuk setiap baris ke-k dari matriks tersebut yang seluruh entrinya bernilai positif. Contoh Berikut mencari eksponen titik digraf dwiwarna dari masing-masing titik pada Gambar Untuk g+h=4, dengan (R, B) (2,2) = R(R, B) (1,2) + B(R, B) (2,1) = pada baris ke-2 semua entri bernilai positif,maka exp D (2)(v 3 ) = 4 yang terdiri dari 2 arc merah dan 2 arc biru yakni 2 2.
20 26 2. Untuk g+h=5 dengan (R, B) (3,2) = R(R, B) (2,2) + B(R, B) (3,1) = pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka exp D (2)(v 1 ) = 5 yang terdiri dari 3 arc merah dan 2 arc biru yakni Untuk g+h=6, dengan (R, B) (4,2) = R(R, B) (3,2) + B(R, B) (4,1) = pada baris ke-3 semua entri bernilai positif, maka exp D (2)(v 2 ) = 6 yang terdiri dari 4 arc merah dan 2 arc biru yakni Sistem Persamaan Diophantine Bentuk persamaaan Diophantine dapat dituliskan sebagai berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b memiliki solusi bilangan bulat untuk semua bilangan bulat positif n dan koefisienkoefisien a 1, a 2, a 3,..., a n tidak semuanya bernilai nol. Teorema 2.6 Persamaan diophantine a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b punya bilangan bulat jika dan hanya jika gcd(a 1, a 2, a 3,..., a n ) b
21 27 Bukti : Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophantine dalam n variabel yang sama, untuk m, n > 0. Berikut merupakan sistem persamaan diophantine. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Sistem persamaan diophantine tersebut dapat pula direpresentasikan dalam bentuk persamaan matriks Ax = b sebagai berikut a 11 a 12 a 1n x 1 a A = 21 a 22 a 2n x...., x = 2 dan b =... a m1 a m2 a mn x n Sistem persamaan diophantine memiliki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan submatriks 2 2 dari A adalah ±1. b 1 b 2. b m 2.7 Formula Eksponen Titik Digraf Dwiwarna dengan Dua Cycle Subbab ini dibahas bagaimana menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraf dwiwarna yang primitif yang memuat dua cycle. Lemma Andaikan D (2) adalah digraf dwiwarna primitif yang memuat dua cycle dengan matriks cycle S = r(γ 1) b(γ 2 ). Misalkan v k adalah sembarang titik b(γ 1 ) r(γ 2 ) dari D (2) dan terdapat sebuah (g, h)-walk dari titik v k ke setiap titik v j, j = 1, 2,, n di D (2) dengan persamaan berikut g h = S u w (1)
22 maka u S 1 r(p (k,j) untuk sembarang bilangan bulat tak negatif u, v dan w b(p (k,j) untuk suatu path p (k,j) dari v k ke v j. 28 Bukti : Misalkan p (k,j) adalah path dari titik v k ke v j untuk sembarang j = 1, 2,..., n. Karena D (2) memuat 2 cycle maka setiap walknya dapat didekomposisi ke dalam path dan cycle sebagai berikut : x 2 g = S x 1 + h r(p (k,j)) b(p (k,j) ) (2) dengan x 1, x 2 0. Karena D (2) primitif, maka M memiliki invers. Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2), maka diperoleh : S u = S x 1 + r(p (k,j)) w x 2 b(p (k,j) ) S x 1 = S u r(p (k,j)) x 2 w b(p (k,j) ) x 1 = u S 1 r(p (k,j)) 0 w b(p (k,j) ) x 2 sehingga u S 1 r(p (k,j) dan Lemma terbukti. w b(p (k,j) Menggunakan Lemma diperoleh teorema sebagai berikut. Teorema Andaikan D (2) adalah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari cycle γ 1 dan γ 2. Misalkan v k adalah titik di D (2). Untuk sembarang titik v i dan v j di D (2), didefinisikan u 0 = b(γ 2 )r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) dan w 0 = r(γ 1 )b(p k,j ) b(γ 1 )r(p k,j ) maka g S u 0, sehingga exp D (2)(v k ) l(γ 1 )u 0 + l(γ 2 )w 0. h w 0 Bukti : Andaikan bahwa eksponen titik v k dicapai oleh (g, h)-walk dengan
23 29 g h = S u w sehingga diperoleh persamaan u w S 1 r(p (k,j)) b(p (k,j) ) = untuk setiap path p k,j dari titik v k ke v j. Untuk sembarang titik v j, j = 1, 2,..., n, diperoleh b(γ 2)r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) r(γ 1 )b(p k,j ) b(γ 1 )r(p k,j ) (3) u 0 = b(γ 2 )r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) 0 (4) dan untuk sembarang titik v i, i = 1, 2,..., n, diperoleh w 0 = r(γ 1 )b(p k,i ) b(γ 1 )r(p k,i ) 0 (5) sehingga u u 0 dan w w 0. Oleh Lemma diperoleh g = S u S u 0 (6) h w sehingga exp D (2)(v k ) = g+h (r(γ 1 )+b(γ 1 ))u 0 +(r(γ 2 )+b(γ 2 ))w 0 = l(γ 1 )u 0 +l(γ 2 )w 0. w 0 Teorema menerangkan tentang batas bawah eksponen titik, sedangkan Proposisi berikut akan menerangkan batas atas eksponen titik digraf dwiwarna yang primitif dari suatu titik v, dengan d(v, v k ) merupakan jarak dari titik v k ke titik v sebagai walk terpendek dari v k ke titik v. Proposisi Asumsikan D (2) adalah digraf dwiwarna primitif atas n-titik. Misalkan v adalah sebuah titik di D (2) dengan exp (2) D (v k). Untuk sembarang titik v k, k = 1, 2,..., n di D (2), exp D (2)(v k ) exp D (2)(v) + d(v k, v). Bukti : Untuk setiap k = 1, 2,..., n misalkan p k,v adalah (r(p k,v ), b(p k,v ))-path dari titik v k ke titik v dengan panjang d(v k, v). Terdapat (g, h)-walk dari titik v ke setiap titik v j, j = 1, 2,..., n di D (2), sehingga exp D (2)(v) = g + h. ini memperlihatkan bahwa setiap titik v k di D (2) terdapat (g + r(p k,v ), h + b(p k,v )) walk dari
24 30 titik v k ke setiap titik v j. Walk tersebut berjalan dari titik v k ke v dengan melalui (r(p k,v ), b(p k,v ))-path selanjutnya menuju ke titik v j melalui (g + h)-walk. Sehingga diperoleh exp D (2)(v k ) exp D (2)(v) + d(v k, v). Proposisi Andaikan D (2) adalah digraf dwiwarna yang terdiri atas cycle γ 1 dan γ 2. Misalkan titik v k adalah titik di D (2) yang terdapat pada cycle γ 1 dan γ 2. Jika untuk setiap i = 1, 2,..., n dan sembarang bilangan g dan h, terdapat path p k,i dari titik v k ke titik v i sehingga sistem persamaan Sx + r(p (k,i)) = g (7) b(p (k,i) ) h punya solusi bilangan bulat tak negatif, sehingga exp D (2)(v) g + h. Bukti : Misalkan bahwa solusi persamaan (7) adalah x = (x 1, x 2 ) T. Karena D (2) adalah digraf dwiwarna primitif, maka S punya invers sehingga x 1, x 2 0, sehingga terdapat tiga kemungkinan dalam hal ini. 1. Jika x 1, x 2 > 0, maka terdapat (g, h)-walk yang bergerak dari titik v k ke titik v i mengelilingi γ 1 sebanyak x 1 kali dan mengelilingin γ 2 sebanyak x 2 kali dan kembali ke titik v k dan kemudian bergerak menuju titik v i dengan panjang path p k,i. 2. Jika x 1 = 0 dan x 2 > 0, maka terdapat (g, h)-walk yang bergerak dari titik v k ke titik v i mengelilingi γ 2 sebanyak x 2 kali dan kembali ke titik v k dan kemudian bergerak menuju titik v i dengan panjang path p k,i. 3. Jika x 1 > 0 dan x 2 = 0, maka terdapat (g, h)-walk yang bergerak dari titik v k ke titik v i mengelilingi γ 1 sebanyak x 1 kali dan kembali ke titik v k dan kemudian bergerak menuju titik v i dengan panjang path p k,i. Sehingga untuk setiap titik v i, i = 1, 2,..., n terdapat (g, h)-walk dari titik v k ke titik v i sehingga exp D (2)(v k ) g + h.
BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF Pada bagian ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi
Lebih terperinci2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D.
BAB 2 DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF Pada Bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan
Lebih terperinciVERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured
Lebih terperinciDAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR GAMBAR BAB 1. PENDAHULUAN 1
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv v vi viii BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang Penelitian 1 1.2. Perumusan Masalah 3 1.3.
Lebih terperinciUniversitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Penelitian mengenai eksponen digraf dwiwarna telah banyak dilakukan. Shader dan Suwilo (003) adalah yang pertama sekali melakukan penelitian tersebut. Pada
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAPH. Representasi dari sebuah digraph D dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 2.1. Representasi dari digraph dengan 5 buah verteks.
BAB 2 DIGRAPH Pada bab ini akan dijelaskan teori-teori dasar tentang digraph yang meliputi definisi dua cycle, primitifitas dari digraph, eksponen, dan lokal eksponen. Dengan demikian, akan mempermudah
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Penelitian
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Studi mengenai eksponen dari sebuah digraph menjadi pembahasan yang lebih sederhana setelah Wielandt (Schneider, H. 2002) mengemukakan sebuah gagasan mengenai
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf
Lebih terperinciUniversitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Sebuah graph G adalah sebuah objek yang terdiri atas sekumpulan titik yang disebut verteks dan garis yang menghubungkan dua buah verteks yang disebut sisi atau edge.
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinci2-EKSPONEN DARI DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK YANG MEMUAT CYCLE PRIMITIF TESIS
2-EKSPONEN DARI DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK YANG MEMUAT CYCLE PRIMITIF TESIS Oleh TITIK NGATMINTARSIH 067021030/MT SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008 2-EKSPONEN DARI DIGRAPH DWIWARNA
Lebih terperinciSCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI MERRYANTY LESTARI P
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI MERRYANTY LESTARI P 110803067 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAF PRIMITIF
6 BAB 2 DIGRAF PRIMITIF Pada bagian ini, peneliti akan menjelaskan bahwa digraf k D n merupakan sebuah digraf primitif. Penjelasan tersebut diperkuat dengan memaparkan beberapa definisi digraf dan beberapa
Lebih terperinci2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
Bulletin of Matheatics Vol. 03 No. 0 (20) pp. 39 48. 2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN Mardiningsih Saib Suwilo dan Indra Syahputra Abstract. Let D asyetric two-coloured-digraph
Lebih terperinci2-EKSPONEN DARI 2-DIGRAPH DENGAN LOOP SKRIPSI RICHARD ALBERT NASUTION
2-EKSPONEN DARI 2-DIGRAPH DENGAN LOOP SKRIPSI RICHARD ALBERT NASUTION 010803013 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2007 2-EKSPONEN DARI
Lebih terperinci9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES
CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf adalah cabang kajian matematika yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara sederhana, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut titik yang terhubung
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciEKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2
EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2 TESIS Oleh HARI SUMARDI 127021003/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 EKSPONEN LOKAL
Lebih terperinciStruktur dan Organisasi Data 2 G R A P H
G R A P H Graf adalah : Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik) Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Penelitian
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Graf merupakan pokok bahasan matematika yang banyak mendapat perhatian karena aplikasinya sangat berguna untuk menyelesaikan persoalan kehidupan manusia.
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciBAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciuntuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
Lebih terperinciSuatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik
BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinci5. Representasi Matrix
5. Representasi Matrix Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Matrix Ketetanggaan 2. Walk Pada Graph dan Digraph 3. Matrix Insidensi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph Sebelum sampai pada pendefenisian masalah lintasan terpendek, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciMinggu Ke XIV Uraian dan Contoh
Minggu Ke XIV 4. Uraian dan Contoh Suatu graf berarah (directed graph) D atau digraph terdiri dari dua komponen : (i) Himpunan V yang elemen-elemennya disebut titik-titik, (ii) Himpunan A dari pasangan-pasangan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelaskelas graf, dan dimensi metrik pada
Lebih terperinciTeori Dasar Graf (Lanjutan)
Teori Dasar Graf (Lanjutan) MATRIKS DAN GRAF Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. Matriks-matriks yang dapat menyajikan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciTeori Dasar Graf (Lanjutan)
Teori Dasar Graf (Lanjutan) ATRIKS DAN GRAF Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. atriks-matriks yang dapat menyajikan
Lebih terperinciEKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-titik GANJIL SKRIPSI MARDHA TILLAH
EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-titik GANJIL SKRIPSI MARDHA TILLAH 090803044 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciPertemuan 12. Teori Graf
Pertemuan 2 Teori Graf Derajat Definisi Misalkan adalah titik dalam suatu Graf G. Derajat titik (simbol d()) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik pencacahan dalam bentuk definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang akan dilakukan. 2.1
Lebih terperinciBagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E
Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan
Lebih terperinciGRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).
GRAF GRAF Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT RELASI
MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciKonsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi
GRPH 1 Konsep Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi 2 Contoh Graph agan alir pengambilan mata kuliah 3 Contoh Graph Peta 4 5 Dasar-dasar Graph Suatu graph
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciGrup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari
Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinci2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: Suatu Graf G adalah suatu pasangan himpunan
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n. Oleh : Yogi Sindy Prakoso ( ) JURUSAN MATEMATIKA. Company
DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n Oleh : Yogi Sindy Prakoso (1206100015) JURUSAN MATEMATIKA Company FAKULTAS MATEMATIKA Click to DAN add ILMU subtitle PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI
Lebih terperinciABSTRAK. Universitas Sumatera Utara
iv ABSTRAK Untuk menemukan matching maksimum pada graph tak berarah dapat diformulasikan sebagai masalah rank matriks. Matriks Tutte dipopulerkan oleh Tutte sebagai gambaran sebuah graph tak berarah, yang
Lebih terperinciR = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
Pertemuan 9 Relasi Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciDasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013
Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciKode, GSR, dan Operasi Pada
BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan
4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan
Lebih terperinciDEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciRelasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk
Lebih terperinciOperasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut
RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciGraf. Matematika Diskrit. Materi ke-5
Graf Materi ke-5 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
4 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Kemacetan Kemacetan adalah situasi atau keadaan tersendatnya atau bahkan terhentinya lalu lintas yang disebabkan oleh banyaknya jumlah kendaraan melebihi kapasitas
Lebih terperinciGraf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciSIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK
Faktor Exacta 10 (2): 154-161, 2017 SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK NONI SELVIA noni.selvia@gmail.com Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik,Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu:
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pembagian Ilmu Statistik Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu: 1. Statistik Parametrik Statistik parametrik adalah ilmu statistik yang digunakan untuk
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Tri Anggoro Putro, Siswanto, Supriyadi Wibowo Program Studi Matematika FMIPA UNS Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini berisi tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berisi penelitian-penelitan yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian
Lebih terperinciRelasi. Oleh Cipta Wahyudi
Relasi Oleh Cipta Wahyudi Definisi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperincix 6 x 5 x 3 x 2 x 4 V 3 x 1 V 1
. PENGANTAR TEORI GRAF Definisi : Secara umum merupakan kumpulan titik dan garis. NET terdiri atas : 1. Himpunan titik (tidak boleh kosong) 2. Himpunan garis (directed line) 3. Setiap directed line menentukan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex)
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bab ini terdiri dari tiga subbab. Subbab pertama adalah tinjauan pustaka yang memuat hasil penelitian yang dilakukan oleh peneliti sebelumnya dalam bidang dimensi metrik. Subbab kedua
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciPelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari
Pelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari Yuni Listiana, Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinci