EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2

Transkripsi

1 EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2 TESIS Oleh HARI SUMARDI /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014

2 EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2 T E S I S Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh HARI SUMARDI /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014

3 Judul Tesis : EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2 Nama Mahasiswa : Hari Sumardi Nomor Pokok : Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua (Dr. Mardiningsih, M.Si) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus : 4 Juni 2014

4 Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2014 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Mardiningsih, M.Si 2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Prof. Dr. Tulus, M.Si

5 PERNYATAAN EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2 TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya. Medan, 4 Juni 2014 Penulis, Hari Sumardi i

6 ABSTRAK Sebuah digraph dwiwarna D (2) adalah sebuah digraph dimana setiap arc atau busur berarahnya di warnai dengan menggunakan satu dari dua warna dalam hal ini warna yang digunakan adalah merah atau biru. Sebuah (h, k)-jalan adalah sebuah jalan yang menggunakan h buah busur berwarna merah dan k buah busur berwarna biru. Sebuah digraph dwiwarna D (2) dengan n verteks {v 1, v 2,..., v n } dikatakan primitif bila terdapat bilangan-bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks v i dan v j di D (2) terdapat (h, k)-jalan dari v i ke v j dan dari v j ke v i. Eksponen dari sebuah digraph dwiwarna, dinotasikan exp(d (2) ), adalah bilangan bulat positif h + k terkecil atas semua bilangan bulat tak negatif h dan k yang demikian. Eksponen lokal masuk dari sebuah verteks v l di D (2), dinotasikan expin(d (2), v l ), adalah bilangan bulat positif s + t yang terkecil atas semua bilangan bulat tak negatif s dan t sehingga untuk setiap verteks v i, i = 1, 2,..., n di D (2) terdapat (s, t )-jalan dari v i ke v l. Dari hasil utama dapat disimpulkan bahwa expin(d (2), v t ) = expin(d (2), v 1 )+d(v 1, v t ) untuk semua t = 1, 2,, n. Kata kunci: Digraph dwiwarna, Primitif, Eksponen lokal masuk ii

7 ABSTRACT A two colored digraph D (2) is a digraph each of whose arcs is colored by either red or blue. An (h, k)-walk in a two-colored digraph is a walk of lengh h+k consisting of h red arcs and k blue arcs. A two-colored digraph D (2) consisting of n vertex {v 1, v 2,..., v n } is primitive provided that there are nonnegative integers h and k such that for each pair of vertices v i and v j there exists an (h, k)-walk from v i to v j and from v j to v i. The exponent of a vertex v in D (2), denoted exp(d (2) ), is the smallest positive integer h + k over all nonnegative integers h and k such that for each vertex u in D (2) there is an (h, k)-walk from u to v. The inner local exponent of a vertex v l in D (2), denoted expin(d (2), v l ), is the smallest positive integer s +t over all nonnegative integers s and t such that for each vertex v i, i = 1, 2,..., n in D (2) there is an (s, t )-walk from v i to v l. From the main result we can conclude that expin(d (2), v t ) = expin(d (2), v 1 ) + d(v 1, v t ) for all t = 1, 2,, n. Key Word: Two colored digraph, Primitive, Inner local exponent iii

8 KATA PENGANTAR Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas berkat dan rahmatnya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi Program Magister Matematika pada FMIPA USU. Tesis ini merupakan salah satu syarat penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesarbesarnya kepada: Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A (K) selaku Rektor yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku penguji tesis ini. Para Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai. Ibu Misiani, S.Si, selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pendidikan. iv

9 Secara khusus penulis menyampaikan terima kasih dan sayang yang mendalam kepada ayahanda Sumar, ibunda Supatmi, dan kedua adik tersayang Agus Sumarno, dan Tri Wahyu Sumaryono serta segenap keluarga yang senantiasa memberi dukungan dan Doa kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini. Tidak lupa rekan-rekan Mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012, atas kerjasama dan hubungan yang baik selama perkuliahaan, semoga persahabatan yang kita jalin abadi. Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan tesis ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai manusia yang tidak sempurna memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini. Medan, Juni 2014 Penulis, Hari Sumardi v

10 RIWAYAT HIDUP Hari Sumardi lahir di Meranti tanggal 18 Mei 1989, ayah bernama Sumar, dan ibu bernama Supatmi, anak pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2001 lulus SD Negeri Meranti, tahun 2004 lulus dari SMP Negeri 1 Meranti dan tahun 2007 lulus dari SMA Negeri 1 Kisaran. Pada Tahun 2012 lulus Sarjana Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Asahan. Selanjutnya pada tahun 2012 penulis mengikuti perkuliahan Pascasarjana S2 Program Studi Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam USU Medan. vi

11 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metodologi Penelitian 4 BAB 2 DIGRAPH Dua Cycle Primitifitas Matriks Ketetanggaan Eksponen Eksponen Lokal Digraph 14 BAB 3 DIGRAPH DWIWARNA Dua Cycle Dwiwarna Primitifitas Digraph Dwiwarna Matriks Ketetanggaan 20 vii

12 3.4. Hurwitz Product Eksponen Eksponen Lokal Batas Bawah dan Atas dari Eksponen Lokal Masuk Batas bawah eksponen lokal masuk Batas atas eksponen lokal masuk 31 BAB 4 EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA SELISIH DUA 32 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran 79 DAFTAR PUSTAKA 80 viii

13 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 Representasi digraph (a) Dua cycle berpotongan, (b) dua cycle bersinggungan pada sebuah busur berarah, dan (c) dua cycle bersinggungan pada satu verteks (a) Digraph terhubung kuat, dan (b) digraph tak terhubung kuat Representasi digraph dwiwarna Dua cycle dwiwarna Dua cycle dwiwarna Path merah mempunyai verteks awal yang sama Path biru mempunyai verteks awal yang sama Verteks awal path biru tidak sama Verteks awal path merah tidak sama 65 ix