PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)"

Devi Irawan
6 tahun lalu
Tontonan:

1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh s: D Dx Dx Dx Mk Dx x = D Dx x = Dx x = D D Contoh-contoh sol Penyelesin Sistem Persmn Liner dengn Aturn Crmer. Dri sistem persmn linier (SPL) : x + x + x = x + x - x = -x +x + x = -, Selesikn dengn Aturn Crmer Jw : D = = [.. + (-)(-) +...] - [.()(-) + (-)()+.. ] = (++8) - (-+-) = 0 =

2 D x = = (++)-(-+-)=-(-8)=+8= D x= = (+-)-(+-)=8-9=- D x= = (--+)-(--)=0+= x = Dx / D = / = x = D x/ D = -/ = - x = D x/ D = / =. Tentukn Selesikn Aturn Metode Crmer x - y + z = x - y + z = -x + y + z = Jw : D = = (-++0) - (0-8+9) = 8- = 7

3 Dx = =(-8-0+) (0--) = 7- (-7) = Dy = =(-+0) (0+-9) = (0)- (-7) = 0+7=7 Dz = =(-+78+0) (-0+7) = 9 (7) = x = Dx/D = /7= y = Dy/D = 7/7 = z = Dz/D = /7 =. Dri sistem persmn linier (SPL) x + x - x = -x + x +x = - x -x + x =, Selesikn dengn Aturn Crmer Jw : D = = (+-)-(--8-)=-(-)=+=

4 D x= = (+- )-(---8 )=-(-8)=+8=8 D x= = (-+8+)-(-+)=8-(-) =8+= D x= = ( 8-+)-(-+)=-(-0)=+0= x = D x /D = 8/= x = D x /D = /= x = D x /D = /=. Dri sistem persmn linier (SPL) : x + x + x = x + x - x = -x +x + x = -, Selesikn dengn metode Crmmer Jw : D = = (++8)-(-+-)=-0=

5 Dx = = (++)-(-+-)=-(-8)=+8= D x= = (+-)-(+-)=8-9=- D x= = (--+)-(--)=0+= x = Dx / D = / = x = D x/ D = -/ = - x = D x/ D = / =. Tentukn Selesikn dengn Metode Crmer x - y + z = x - y + z = -x + y + z = Jw : D = = (-++0) - (0-8+9) = 8- = 7

6 Dx = =(-8-0+) (0--) = 7- (-7) = Dy = =(-+0) (0+-9) = (0)- (-7) = 0+7=7 Dz = =(-+78+0) (-0+7) = 9 (7) = x = Dx/D = /7= y = Dy/D = 7/7 = z = Dz/D = /7 = A 0 Tentukn Minor, kofktor, djoint, determinn dn invers mtriks A jw: ) Minor M = 0 M = 0 M = -0 = M = -0 = M = 0-9 = M = -0 =-8 M = 0 0- =- - =- M = =-8 - =- M = -=- ) Kofktor C = M = C = -M =8 C = M =-

7 C = -M =- C = M =- C = - M =8 C = M = C = -M = C = M =- Mtriks Kofktor: Cij 8 8 c. Adjoint [ Cij] T Adj( A) 8 8 d) Determinn A = M - M + M =() (-8) + (-) = +-=

8 Segi contoh, kit mil mtriks A x tentukn determinn A untuk mencri determinn mtrik A mk, det d - c Determinn dengn Ekspnsi Kofktor Determinn dengn Minor dn kofktor tentukn determinn A Pertm ut minor dri M = = detm = x Kemudin kofktor dri dlh c = (-) + M = (-) + x kofktor dn minor hny ered tnd C ij=±m ij untuk memedkn pkh kofktor pd ij dlh + tu - mk kit is meliht mtrik diwh ini Begitu jug dengn minor dri M = = det M = - Mk kofktor dri dlh

9 c = (-) + M = (-) + x x Secr keseluruhn, definisi determinn ordo x dlh det(a) = C + C + C Determinn dengn Ekspnsi Kofktor Pd Bris Pertm Mislkn d seuh mtriks A x mk determinn dri mtriks terseut dengn ekspnsi kofktor dlh, Contoh Sol: det(a) = - + = ( - ) - ( - ) + ( - ) = tentukn determinn A dengn metode ekspnsi kofktor ris pertm Jw: det(a) = = - + = (-) - (-8) + (-7) = -8 Determinn dengn Ekspnsi Kofktor Pd Kolom Pertm Pd dsrny ekspnsi kolom hmpir sm dengn ekspnsi ris seperti di ts. Tetpi d stu hl yng memedkn keduny yitu fktor pengli. Pd ekspnsi ris, kit menglikn minor dengn komponen ris pertm. Sedngkn dengn ekspnsi pd kolom pertm, kit menglikn minor dengn kompone kolom pertm. Mislkn d seuh mtriks A x

10 mk determinn dri mtriks terseut dengn ekspnsi kofktor dlh, Contoh Sol: det(a) = - + = ( - ) - ( - ) + ( - ) = ( ) - ( ) - tentukn determinn A dengn metode ekspnsi kofktor kolom pertm Jw: det(a) = = - + = (-) - (-8) + (-7) = 8 Adjoin Mtriks x Bil d seuh mtriks A x Kofktor dri mtriks A dlh C = - C = C = - C = C = C = C = C = -0 C = mk mtriks yng terentuk dri kofktor terseut dlh untuk mencri djoint seuh mtriks, kit cukup menggnti kolom menjdi ris dn ris menjdi kolom dj(a) =

11 Determinn Mtriks Segitig Ats Jik A dlh mtriks segitig nxn (segitig ts, segitig wh tu segitig digonl) mk det(a) dlh hsil kli digonl mtriks terseut Contoh Metode Crmer = ()(-)()(9)() = -9 jik Ax = dlh seuh sistem liner n yng tidk di kethui dn det(a) 0 mk persmn terseut mempunyi penyelesin yng unik dimn A j dlh mtrik yng didpt dengn menggnti kolom j dengn mtrik Contoh sol: Gunkn metode crmer untuk menyelesikn persoln di wh ini Jw: x + x = -x + x + x = 0 -x - x + x = 8 entuk mtrik A dn = kemudin gnti kolom j dengn mtrik

12 A = A = A = dengn metode srrus kit dpt dengn mudh mencri determinn dri mtrik-mtrik di ts mk, Tes Determinn untuk Invertiilits Pemuktin: Jik R di reduksi secr ris dri Ä. Segi lngkh wl, kit kn menunjukkn hw det(a) dn det(r) keduny dlh nol tu tidk nol: E,E,...,E r menjdi mtrix element yng erhuungn dengn opersi ris yng menghsilkn Rdri A. Mk, dn, R=E r...e E A det(r)=det(e r)...det(e )det(e )det(e A) Jik A dpt di-invers, mk sesui dengn teorem equivlent sttements, mk R = I, jdi det(r) = 0 dn det(a) 0. Selikny, jik det(a) 0, mk det(r) 0, jdi R tidk memiliki ris yng nol. Sesui dengn teorem R = I, mk A dlh dpt di-invers. Tpi jik mtrix ujur sngkr dengn ris/kolom yng proposionl dlh tidk dpt diinvers. Contoh Sol : A= kren det(a) = 0. Mk A dlh dpt diinvers. Mencri determinn dengn cr Srrus tentukn determinn A

13 untuk mencri determinn mtrik A mk, det (ei + fg + cdh) - (di + fh + ceg) Metode Srrus hny untuk mtrix erdimensi x Menghitung Inverse dri Mtrix x kemudin hitung kofktor dri mtrix A C = C = C = - C = C = C = C = C = -0 C = menjdi mtrix kofktor cri djoint dri mtrix kofktor tdi dengn mentrnspose mtrix kofktor dits, sehingg menjdi dj(a) = dengn metode Srrus, kit dpt menghitung determinn dri mtrix A det(a) = Sistem Liner Dlm Bentuk Ax = λx dlm sistem ljr liner sering ditemukn

14 Ax = λx ; dimn λ dlh sklr sistem liner terseut dpt jug ditulis dengn λx-ax=0, tu dengn memsukkn mtrix identits menjdi (λi - A) x = 0 contoh: dikethui persmn liner x + x = λx x + x = λx dpt ditulis dlm entuk = λ yng kemudin dpt diuh dn x = yng kemudin dpt ditulis ulng menjdi λ λ sehingg didpt entuk λ I - nmun untuk menemukn esr dri λ perlu dilkukn opersi det (λ I - A) = 0 ;λ dlh eigen vlue dri A dn dri contoh diperoleh

15 det (λ I - A) = = 0 tu λ^ - λ - 0 = 0 dn dri hsil fktorissi di dpt λ = - dn λ = dengn memsukkn nili λ pd persmn (λ I - A) x = 0, mk eigen vector is didpt il λ = - mk diperoleh dengn mengsumsikn x = t mk didpt x = t x =

dokumen-dokumen yang mirip

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0. DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn