BAB 2 MATRIKS. ( ) merupakan array dimana array adalah susunan objek dalam baris.

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB 2 MATRIKS. ( ) merupakan array dimana array adalah susunan objek dalam baris."

Bambang Iskandar
7 tahun lalu
Tontonan:

1 BB MTRIKS Pengertin ( -) merupkn rry imn rry lh susunn ojek lm ris. merupkn vektor imn vektor lh susunn ojek lm kolom. 8 kolom. Ji: merupkn mtriks imn mtriks lh susunn ojek lm ris n rry pt iseut jug mtriks ris kren rry merupkn mtriks yng mempunyi stu ris. Vektor pt iseut jug mtriks kolom kren vector merupkn mtriks yng mempunyi stu kolom. Notsi mtriks isny menggunkn huruf kpitl, misl, M, B n entri ri mtriks inotsikn engn huruf kecil, misl,, m, m. Ukurn mtriks itentukn oleh nyk ris n kolom, yng inotsikn engn ris x kolom. ukurn mtriks lh x B ukurn mtriks B lh x

2 Jik lh mtriks erukurn mxn, mk pt isjikn = [ ij ], engn i=,,,m n j=,,,n, engn entuk: m m n n mn Mtriks untuk SPL Bentuk umum SPL: x + x + + n x n = x + x + + n x n = m x + m x + + mn x n = pt iuh ke mtriks: m m n n mn x x x n m Mtriks yng iperesr ri entuk mtriks i ts lh: m m n n mn m Opersi Bris Elementr (OBE) Metoe sr untuk menyelesikn SPL lh engn menggntikn system yng ierikn engn sutu system ru yng mempunyi himpunn penyelesin yng sm tetpi leih muh iselesikn. Sistem ru ini iperoleh engn menerpkn tig opersi

3 ris sr erikut:. Menglikn sutu ris engn sutu konstnt, k. Menukrkn u uh ris. Menmhkn keliptn sutu ris engn ris yng lin Eliminsi Gussin Bentuk Eselon Bris Tereuksi Sutu mtriks iktkn lm entuk eselon ris tereuksi jik memenuhi sift erikut:. Jik sutu ris yng entriny tik seluruhny nol, mk entri tk nol pertmny n iseut utm. Jik sutu ris yng seluruhny nol, mk ris terseut iletkkn p ris pling wh. Dlm ris yng erurutn, utm p ris yng wh terletk leih ke knn ri utm p ris tsny. Kolom yng memut utm mempunyi entri nol i tempt lin Sutu mtriks yng mempunyi sift,,, tetpi tik mempunyi sift, iseut mtriks erentuk eselon. Contoh mtriks yng mempunyi entuk eselon ris tereuksi lh:,,, Contoh mtriks yng mempunyi entuk eselon ris lh:,, Eliminsi Guss n Eliminsi Guss Jorn Eliminsi Guss isrkn p mtriks entuk eselon ris n eliminsi Guss Jorn isrkn p mtriks entuk eselon ris tereuksi. Lngkh memw mtriks yng iperesr ri sutu SPL ke entuk eselon ris tereuksi lh:

4 . Letkkn kolom pertm yng tik seluruhny nol. Tukrkn ris pertm engn ris yng lin, jik iperlukn, untuk memperoleh entri tk nol p kolom pertm ris pertm. Jik entri ris pertm kolom pling kiri (pertm), mk klikn / p ris pertm untuk memperoleh utm p ris pertm. Tmhkn keliptn yng sesui ri ris pertm terhp ris linny untuk memperoleh entri nol i wh utm. Lkukn lngkh - p ris-ris erikutny. Kolom yng memut utm vrielny erpern segi vriel utm n kolom yng tik memut utm segi vriel es Cri himpunn penyelesin untuk SPL i wh ini engn eliminsi Guss Jorn: x + x + x = - x + x = x + x = Lngkh : mementuk SPL menji mtriks yng iperesr / / Lngkh : menglikn ris pertm engn / / / Lngkh : menmhkn - kli ris pertm ke ris keu / / / / Lngkh : menglikn ris keu engn / / / Lngkh : menmhkn - kli ris keu ke ris ketig

5 / / Lngkh : menglikn ris ketig engn / Smpi p lngkh ini, iktkn Eliminsi Guss, sehingg ipt penyelesin segi erikut: Pemcn ri wh, ris ketig, yitu x + x + x = -, sehingg x = -. Pemcn untuk ris keu, yitu x x =, sehingg jik x = - isustitusikn lm persmn ipt x =. Pemcn untuk ris pertm, yitu x + /x + /x = -, sehingg jik x = - n x = isustitusikn lm persmn ipt x =. Untuk melengkpkn penyelesin Eliminsi Guss ini, kn ilkukn lngkh-lngkh segi erikut: / / Lngkh 7: menmhkn kli ris ketig ke ris keu / / Lngkh 7: menmhkn -/ kli ris ketig ke ris pertm Lngkh 8: menmhkn -/ kli ris keu ke ris pertm Smpi p lngkh 8 ini, iktkn Eliminsi Guss Jorn, sehingg ipt penyelesin segi erikut: Pemcn is ri ris mn sj, yitu ris pertm x =, ris keu x =, n ris ketig x. Ji penyelesinny lh x =, x =, x = -

6 Opersi Mtriks Jik ikethui =[ ij ] n B=[ ij ], i=,,,m n j=,,,n, mk opersi p mtriks lh:. Kesmn mtriks Mtriks iktkn sm engn mtriks B jik ukurn mtriks sm engn ukurn mtriks B n ij = ij, ij Dikethui x, B y Jik mtriks = mtriks B, mk x= n y=-. Penjumlhn n pengurngn mtriks Du uh mtriks n B pt ijumlhkn tu ikurngkn jik ukurn keu mtriks terseut sm. B = C, engn c ij = ij ij Dikethui, B mk B ( ). Perklin mtriks engn sklr Mtriks pt iklikn engn sutu konstnt k tnp syrt ppun. k = [kij], engn k sutu konstnt Dikethui, mk 9. Perklin mtriks engn mtriks Du uh mtriks n B pt iklikn engn syrt ukurn kolom mtriks sm engn ukurn ris mtriks B, sehingg hsil perklinny erukurn: ukurn ris x ukurn kolom B. mxn, B nxp, mk xb = C mxp = [c ij ] engn c ij = n k ik kj

7 Perlu iingt hw xb Bx. Dikethui, B, mk x x B x erukurn x, sehingg ipt.. ( ).( ) xb...( ),...( ) tetpi B x x x tik is ihitung kren ukurn kolom mtriks B tik sm engn ukurn ris mtriks Ltihn: Hitunglh:.. Sift Mtriks Jik, B, C mtriks engn ukurn seemikin sehingg opersi mtriks pt ikerjkn n k, l lh sklr, mk erlku:. B = B. (B)C = (BC). ( B) C = (B C). ( B)C = C BC. C( B) = C CB. k(b) = (k)b = (kb) 7. (k l) = k l 8. k( B) = k kb 9. k(lb) = (kl)b Trnspose Mtriks Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks engn notsi t lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom.

8 7, mk t 7 Sift:. ( t ) t =. ( B) t = t B t. (B) t = B t t. (k) t = k t, engn k sutu konstnt Mcm-mcm Mtriks. Mtriks ientits Mtriks ientits (I) lh mtriks persegi yng entri p igonl utmny lh n p tempt yng lin. I, I. Mtriks nol Mtriks nol () lh mtriks yng semu entriny nol.,. Mtriks igonl Mtriks igonl lh mtriks persegi yng entri p igonl utmny tik nol n p tempt yng lin. Bentuk umum: D n. Mtriks segitig ts Mtriks segitig ts lh mtriks persegi yng entri i ts igonl utmny tik nol.

9 . Mtriks segitig wh Mtriks segitig wh lh mtriks persegi yng entri i wh igonl utmny tik nol.. Mtriks simetris Sutu mtriks iktkn simetris jik mtriks sm engn mtriks t. mtriks simetris engn Pngkt Mtriks Jik lh sutu mtriks persegi, mk pt iefinisikn pngkt ult tk negtif ri segi: = I n =... (n ) Jik lh mtriks persegi n r, s lh ilngn ult, mk:. r s = r+s. ( r ) s = rs Jik ikethui mtriks igonl D n,

10 k mk pngktny lh D k k k n Invers Mtriks Jik lh seuh mtriks persegi n jik seuh mtriks B yng erukurn sm is iptkn seemikin sehingg B = B = I, mk iseut is ilik n B iseut invers ri. Sutu mtriks yng pt ilik mempunyi tept stu invers. B lh invers ri kren B I n B I Cr mencri invers khusus mtriks x: Jik ikethui mtriks mk mtriks pt ilik jik -c, imn c inversny is icri engn rumus c c c c c c c invers ri lh () ( )( ) Sift: Jik n B lh mtriks-mtriks yng pt ilik n erukurn sm, mk:. B pt ilik

11 . (B) - = B - - Jik is ilik, mk iefinisikn pngkt ult negtif segi -n = ( - ) n = Sift pngkt mtriks yng pt ilik:. - pt ilik n ( - ) - =. n pt ilik n ( n ) - = ( - ) n, n=,,,. Untuk serng sklr tk nol k, mtriks k pt ilik n ( k ) k Invers Mtriks Digonl Jik ikethui mtriks igonl D n, mk inversny lh D n. Invers Mtriks engn OBE Crny hmpir sm engn mencri penyelesin SPL engn mtriks (yitu engn Guss-Jorn) - = E k E k - E E I n engn E lh mtriks sr/mtriks elementer (yitu mtriks yng iperoleh ri mtriks I engn melkukn sekli OBE). Lngkh mencri invers mtriks engn OBE:

12 . Jik ikethui mtriks erukurn persegi, mk cr mencri inversny lh reuksi mtriks menji mtriks ientits engn OBE n terpkn opersi ini ke I untuk menptkn -.. Untuk melkuknny, sningkn mtriks ientits ke sisi knn, sehingg menghsilkn mtriks erentuk [ I].. Terpkn OBE p mtriks smpi rus kiri tereuksi menji I. OBE ini kn memlik rus knn ri I menji -, sehingg mtriks khir erentuk [I - ]. Cri invers mtriks untuk 8 Penyelesin: 8 9 Ji 9 Determinn Mtriks Jik lh mtriks persegi, eterminn mtriks (notsi: et()) lh jumlh semu hsil kli sr ertn ri.

13 Determinn Mtriks x Untuk mtriks erukurn x, c, mk eterminn mtriks lh: et () = = -c Jik ikethui mtriks P, mk P = (x) (x) = - Determinn Mtriks x Untuk mtriks erukurn x, mk eterminn mtriks pt icri engn turn Srrus., mk eterminn = ()() ()() ()() ()() ()() ()() Determinn Mtriks nxn Untuk mtriks nxn igunkn ekspnsi kofktor.

14 Jik ikethui mtriks = m m n n mn, mk eterminn mtriks pt icri engn lngkh segi erikut:. Menentukn ris/kolom mn yng kn iekspnsi. Mencri minor (M ij ) msing-msing elemen p mtriks sesui engn ris/kolom terpilih. Mencri kofktor ri msing-msing minor, engn rumus: c ij = (-) i+j M ij (jik i+j genp mk c ij = M ij, jik i+j gnjil mk c ij = -M ij ). Menghitung eterminn yitu: et() = ij cij Cttn: Khusus mtriks x: Segi contoh, imil untuk mtriks x yitu. Untuk menghitung eterminnny, kn ilkukn ekspnsi kofktor ris pertm. M = = 8 = - mk c = (-) +.(-) = - M = = = -8 mk c = (-) +.(-8) = 8 M = = 8 = -7 mk c = (-) +.(-7) = -7 Determinn mtriks lh: et() =.(-) (-7) = -8

15 joint Mtriks joint mtriks lh trnspose ri mtriks kofktor. Jik ikethui mtriks x mislny: Kofktor ri mtriks terseut lh: c =9 c =8 c =- c =- c =- c = c =- c =- c = Mtriks kofktor yng terentuk lh: 9 8 joint mtriks ipt ri trnspose mtriks kofktor, yitu: 9 8 T 9 8 Invers Mtriks nxn Selin engn OBE, invers mtriks nxn is icri jug engn memnftkn joint mtriks yitu engn rumus:.j( ), engn et() et( ) Cri invers ri. Penyelesin: et() =()()+(-)()()+()(-)-()()-(-)()()-()(-) = =

16 joint = 9 8 Mk - = / / / 8 / / / / 8 / / Ltihn:. Bgimn joint ri mtriks. Cri invers mtriks ri engn joint mtriks Metoe Crmer Digunkn untuk mencri penyelesin SPL selin engn cr eliminsi-sustitusi n eliminsi Guss/Guss-Jorn. Metoe Crmer hny erlku untuk mencri penyelesin SPL yng mempunyi tept solusi. Dikethui SPL engn n persmn n n vriel x + x + + n x n = x + x + + n x n = m x + m x + + mn x n = n ientuk mtriks n n n n nn, B n

17 Syrtny Penyelesin untuk vriel-vrielny lh: x, x,, x n n engn i lh eterminn engn menggnti kolom ke-i engn B. Crilh penyelesin ri: x+y-z = x+z = - -x+y-z = Penyelesin: Dientuk mtriks =, B = Dpt icri = = ()(-) + ()(-) + (-)()() (-)()(-) ()() (-)()() = - mk ipt: x y

18 z Ji penyelesinny lh x =, x = -, x =

dokumen-dokumen yang mirip

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS // DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.