BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Transkripsi

1 BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Sistem persmn ditemukn hmpir di semu cng ilmu pengethun Dlm idng ilmu ukur sistem persmn diperlukn untuk mencri titik potong eerp gris yng seidng, di idng ekonomi tu model regresi sttistik sering ditemukn sistem persmn dengn nykny persmn sm dengn nykny peuh dlm hl memperoleh jwn tunggl gi peuh (vriel) Dlm ini, kn dihs sistem persmn liner ukn hny yng mmpunyi penyelesin tunggl tetpi jug yng mempunyi penyelesin tk hingg nykny, sert yng tidk mempunyi penyelesin TIK : Setelh mempeljri pokok hsn ini, mhsisw dihrpkn dpt menyelesikn sistem persmn dn pertidksmn Persmn Jik ditinju dri penmpiln peuhny, persmn dpt diedkn menjdi persmn liner dn persmn tidk liner Jik ditinju dri nyk peuhny, persmn liner tergi ts persmn dengn stu peuh, du peuh, tu leih dri du peuh Apil ditinju dri nyk persmnny, dpt diedkn ts persmn liner is yng hny terdiri ts stu persmn, dn sistem persmn liner yng terdiri ts leih dri stu persmn Persmn non liner tergi ts persmn polinomil dengn stu peuh, du peuh, tu leih dri du peuh, dn persmn pech rsionl yng pemilng dn penyeutny erup polinomil Persmn Liner Persmn liner dengn n peuh dlh persmn dengn entuk : n n dengn,,,, n dn dlh ilngn- ilngn rel dn,,,, n dlh peuh Secr khusus, persmn liner dengn stu peuh mempunyi entuk + =, Jik semest pemicrnny dlh R (himpunn ilngn rel), mk selesin persmn di ts dpt diperoleh dengn menmhkn lwn, yitu pd kedu rusny, kemudin kedu rus pd hsilny diklikn dengn kelikn, yitu Secr mtemtik proses penyelesin terseut dpt ditulis segi :

2 Contoh : ( + ) = ( ) () = ( ), = Crilh selesin persmn + 8 = Penyelesin : + 8 = = 8 = = Tentukn nykny lkohol yng terdpt dlm 6 ml lrutn lkohol erkdr % Penyelesin : Bnykny lkohol yng terdpt dlm 6 ml lrutn lkohol erkdr % dlh 6 ml ml Persmn Kudrt Bentuk umum persmn kudrt dlh : + + c =, Bilngn rel t diseut kr dri persmn kudrt + + c =, jik memenuhi t + t + c = Untuk mendptkn kr persmn kudrt dpt dilkukn dengn tig cr, yitu: pemfktorn, melengkpkn kudrt, dn rumus c Contoh : Crilh kr dri persmn kudrt + = Penyelesin : Cr pemfktorn : = (+ )( - ) = Diperoleh = - tu = Cr melengkpkn kudrt : + = + + = ( +) 9 = ( +) = 9 + = = - Diperoleh = - + = - tu = - = -

3 Dengn Rumus c: + = c =, =, dn c = - = ( ) = 6 = - Diperoleh = - + = - tu = - = - Dikethui tetpn kesetimngn untuk reksi: PCl (g) PCl (g) + Cl (g) dlh,8 Hitunglh jumlh mol PCl dn Cl yng terentuk, jik ke dlm rung yng volumeny, liter dimsukkn, mol PCl Penyelesin : Mislkn jumlh PCl yng teruri mementuk PCl dn Cl dlh mol, mk PCl yng terentuk = Cl yng terentuk = PCl yng tersis [PCl ] = [Cl ] = [PCl ] = K =,8 = [PCl ][Cl ] [PCl ], = koefisien reksi PCl koefisien reksi PCl = mol = mol mol PCl koefisien reksi Cl mol PCl koefisien reksi PCl = mol = mol = PCl wl - PCl yng teruri = (, ) mol (, ) = (, ) = + = mol PCl = molliter volume rung mol Cl = molliter volume rung mol PCl = volume rung yng teruri yng teruri, molliter

4 c ( ) = Jdi jumlh PCl dn Cl yng terentuk dlh Persmn Derjt Tinggi = 6 6 mol Pemicrn persmn polinomil dengn derjt leih dri du, ditsi hny pd derjt tig, dengn peneknn pd du rumus: = ( )( + + ) dn + = ( + )( - + ) Untuk pemfktorn persmn derjt tinggi dpt digunkn metode Horner Contoh : Crilh entuk pemfktorn dri 8 dn 8 Penyelesin : 8 = () = ( )( + +) 8 = () () = ( )( ) Sol Ltihn Tentukn volume dn kdr lkohol yng diperoleh dri penmhn ml ir kedlm ml lkohol erkdr % Seorng mhsisw dimint untuk mencmpurkn ml ir ke dlm ml lrutn lkohol erkdr % Tentukn kdr lkohol yng dihsilkn oleh mhsisw terseut Tentukn nykny ir yng hrus ditmhkn pd ml lrutn lkohol erkdr %, gr menjdi lrutn lkohol erkdr % dn tentukn pul volume lrutn lkohol erkdr % yng dihsilkn Seorng mhsisw dimint untuk memut ml lrutn lkohol erkdr % Jik lrutn lkohol yng dimiliki dlh lrutn lkohol erkdr %, mk tentukn nykny lkohol erkdr % yng hrus digunkn, sehingg hny diperoleh lrutn lkohol yng diutuhkn sj Crilh entuk pemfktorn dri polinomil di wh ini! d + e + 8 c 8 f Tentukn nili yng memenuhi = - + = c = d = e =

5 Sistem Persmn Liner Bentuk umum sistem persmn liner dlh : n n n m m m Sistem persmn di ts terdiri dri m persmn dn n peuh, dn dpt dinytkn dlm entuk perklin mtriks segi n mn n n n n n n = m m m mn n m n n n Jik A mn =, X n = m m m mn persmn liner di ts dpt dituliskn segi A B m, dn B m = n, mk sistem m Jik B merupkn mtriks nol, mk sistem persmn linerny diseut sistem persmn liner homogen Sedngkn jik B ukn mtriks nol, mk sistem persmn linerny diseut sistem persmn liner non homogen Mtriks Y diseut penyelesin dri sistem persmn liner A B, jik AY = B ernili enr Contoh : Tentukn pkh =, y = -, dn z = merupkn penyelesin dri sistem persmn liner + y + z =, y + z = 6, y + z = 6 Tentukn pkh Y = merupkn penyelesin dri sistem persmn liner

6 6 Penyelesin : Jik =, y = -, dn z = ke sistem persmn liner, mk diperoleh + y + z = + (-) + = y + z = (-) + = 6 y + z = (-) + = 6 Jdi =, y = -, dn z = merupkn penyelesin dri sistem persmn liner + y + z =, y + z = 6, y + z = 6 Jik Y = disustitusikn ke sistem persmn liner, mk diperoleh = Dengn demikin Y ukn penyelesin dri sistem persmn liner Sol Ltihn Tentukn pkh nili peuhvriel yng dierikn merupkn penyelesin dri sistem persmn liner (SPL) yng dierikn =, y = -, z = -, SPL : + y + z =, y + z = 6, dn y + z = 6 =, y = -, z = -, SPL : + y + z = -, y + z = -, dn y - z = c =, y = -, z =, SPL : + y + z =, y - z =, dn y + z = 6 d SPL : + y + z =, +y + z = -, dn + y + z = -, i = -, y = -, z = ii = -6, y = -, z = - iii = -, y = -9, z = Tentukn pkh mtriks di wh ini merupkn penyelesin dri SPL yng dierikn Y =, SPL :

7 Y =, SPL : c Y =, SPL : d SPL : i Y = ii Y = iii Y = Penyelesin Sistem Persmn Liner (SPL) Di SMU telh dijrkn metode sustitusi, eliminsi, metode invers mtriks, dn metode Crmer untuk menyelesin sistem persmn liner, khususny sistem persmn liner dengn du tu tig persmn dn du tu tig peuh Dlm gin ini dierikn metode lin, yitu metode Guss-Jordn Pd metode Guss-Jordn, lt ntu yng digunkn dlh mtriks ris eselon tereduksi dn opersi ris elementer Mtriks Bris Eselon Tereduksi Mtriks A (serng) diseut mtriks ris eselon tereduksi, jik memenuhi : Jik d ris yng elemenny d yng tidk nol, mk elemen pertm yng tk nol dlh dn diseut utm Utm pd ris yng leih wh d di seelh knn utm ris seelumny Elemen di ts dn di wh utm dlh nol Jik d ris yng semu elemenny nol, mk ris terseut erd pd ris pling wh Contoh : merupkn mtriks ris eselon tereduksi, sedngkn dn ukn mtriks ris eselon tereduksi (mengp?)

8 8 Sutu mtriks A dpt diuh ke entuk mtriks ris eselon tereduksi dengn menggunkn opersi ris elementer Terdpt tig jenis opersi ris elementer, yitu : menukrkn du ris menglikn ris tertentu dengn konstnt tk nol menmh stu ris dengn keliptn ris yng lin Jik mtriks B diperoleh dri mtriks A dengn opersi ris elementer, mk B diseut ekivlen ris dengn A Penyelesin SPL dengn Metode Guss-Jordn Jik SPL : A B kn diselesikn dengn metode Guss-Jordn, mk terleih dhulu diut mtriks A B kemudin dengn serngkin opersi ris elementer elementer diut mtriks yng ekivlen dengn mtriks A B dengn mtriks di seelh kiri tnd prtisi memut mtriks identits dengn orde teresr Contoh Tentukn penyelesin SPL di wh ini : + y z =, y + z = -, dn + y + z = + y z = dn y z = - c y =, + y =, y =, dn y = 9 Penyelesin : SPL : + y z =, y + z = -, dn + y + z = dpt dituliskn segi : A B, dengn A=, z y, dn B = - A B = 9 Dri hsil opersi di ts diperoleh =, y = dn z = SPL : + y z = dn y z = - dpt dituliskn segi A B, dengn A =, z y, dn B = - A B =

9 9 Dri hsil opersi di ts diperoleh : z = tu = z dn y ½ z = tu y = ½ z + Oleh kren itu penyelesin SPL di ts dlh z = t, = t, dn y = ½ t + SPL : y =, + y =, y =, dn y = 9 dpt dituliskn segi AX=B, dengn A =, y, dn B = 9 B A = 9 Dri hsil opersi di ts diperoleh = dn y = - Persmn Eksponensil dn Logritm Bentuk umum persmn eksponensil dlh: = dengn > dn, sedngkn entuk umum persmn ritm dlh: =, dengn > dn dn > Jik = e, mk e ditulis segi ln, sedngkn jik =, mk ditulis segi Sift-sift persmn eksponensil dn ritm dlh segi erikut: Persmn eksponensil: Persmn ritm: y = + y y = + y y = y n m m n ( ) y = y y y y = y y y

10 Contoh: Tentukn nili yng memenuhi persmn: + = 8 = 8 Penyelesin: Kren + = 8 =, mk + =, sehingg = Kren = 8 = 8, mk = 8 = 6 Sol Ltihn Dengn menggunkn metode Guss-Jordn, tentukn penyelesin dri SPL di wh ini y + z =, + y + z =, dn + y + z = - y + z =, + y + z =, dn - y + 9z = p + q + r + s =, p - q + r - s =, p + q + r - s = -6, dn p + q + r + s = - p + q + r + s =, p - q + r + s =, p + q + r - s =, dn p - q + 6r - s = + y + z = 6, dn - + y - z = - 6 p + q + r - s =, p - q + r + s =, dn p + q + r + s = y + z =, + y + z =, y + z =, dn - y + z = 8 p + q + r + s =, p - q - r + s =, p - q + r - s =, p + q - r - s = -, dn p - q - r - s = - 9 Seorng mhsisw mempunyi ml lrutn lkohol erkdr 6% dn ml lkohol erkdr % Dri kedu lrutn lkohol terseut ditmhkn lrutn lkohol erp liter dn erkdr erp gr memperoleh ml lkohol erkdr %, %, dn % Seorng mhsisw mempunyi 8 ml lrutn lkohol erkdr % dn 6 ml lkohol erkdr % Tentukn komposisi cmpurn kedu lrutn lkohol terseut gr diperoleh ml lkohol erkdr % Dikethui seuh perushn memproduksi tig jenis ot, mislkn ot I, II, dn III Untuk memproduksi ot-ot terseut digunkn hn ku A, B, dn C Untuk memproduksi ot I diutuhkn unit hn ku A, unit hn ku B, dn unit hn ku C Untuk memproduksi ot II diutuhkn unit hn ku A, unit hn ku B, dn unit hn ku C Untuk memproduksi ot III diutuhkn unit hn ku A, unit hn ku B, dn unit hn ku C Jik sutu hri perushn terseut menghiskn hn ku A, B, dn C erturut-turut dlh 6 unit, 8 unit, dn unit, mk utlh sistem persmn liner yng erhuungn dengn permslhn di ts dn crilh nykny ot yng dpt diproduksi pd hri terseut Untuk menghindri resiko tungn, Andi mendepositokn ungny sejumlh Rp,- segin di nk A, segin di nk B, dn segin di nk C, dengn ung nk A, B, dn C erturut-turut seesr 6%, % dn 8% per thun

11 Dikethui hw Andi setip thunny menerim ung deposito dri ketig nk di ts seesr Rp96,-dn du kli esr tungn Andi di nk C, Rp,- leih nyk dindingkn dengn jumlh tungn Andi di nk A dn B Crilh esr tungn Ali pd msing-msing nk Perushn Bintng Merh rng A dn B menggunkn jenis fktor produksi, yitu hn ku, modl, dn teng kerj Untuk setip unit rng A digunkn unit hn ku dn unit modl, sedngkn untuk setip unit rng B digunkn unit hn ku dn unit modl Fktor teng kerj yng diperlukn untuk memproduksi rng A dn B erturut-turut dlh unit dn unit Jik iy produksi untuk setip unit rng A dn B erturut-turut dlh Rp9,- dn Rp,-, mk tentukn hrg yng mungkin untuk msing-msing fktor produksi Seorng hli diet menyipkn hn yng terdiri ts jenis mknn A, B, dn C Setip ons mknn jenis A mengndung unit protein, unit lemk, dn unit krohidrt Setip ons mknn jenis B mengndung unit protein, unit lemk, dn unit krohidrt Setip ons mknn jenis C mengndung unit protein, unit lemk, dn unit krohidrt Tentukn erp ons setip jenis mknn yng hrus digunkn, jik mknn yng kn diut hrus mengndung unit protein, unit lemk, dn unit krohidrt Seuh perushn memproduksi du jenis elerng, yitu yng erkulits rendh dn yng erkulits tinggi Setip ton elerng kulits rendh diproses selm menit di tempt pencmpurn dn menit di tempt penyringn, sedngkn setip ton elerng kulits tinggi diproses selm menit di tempt pencmpurn dn menit di tempt penyringn Jik dlm stu periode produksi tempt pencmpurn hny dpt digunkn selm jm dn tempt penyringn hny dpt digunkn selm du jm, mk tentukn nykny msing-msing elerng yng dpt diproduksi dlm stu periode 6 Seuh prik memut tig jenis produk kimi, yitu jenis A, B, dn C Setip produk dihsilkn mellui pemrosesn du mesin, yitu mesin X dn Y Setip ton produk A diproses dlm mesin X selm jm dn jm dlm mesin Y Setip ton produk B diproses dlm mesin X selm jm dn jm dlm mesin Y Setip ton produk C diproses dlm mesin X selm jm dn jm dlm mesin Y Jik mesin X dn Y setip mingguny msing-msing dpt digunkn selm 8 jm dn 6 jm, mk tentukn nykny msing-msing jenis produk kimi yng dpt diut Tentukn nili yng memenuhi : 6 6 = ( + ) c ( + ) = d 8 = (8 + )

12 e e = f e e - = g (+) = Pertidksmn Pd dsrny untuk menyelesikn sutu pertidksmn dilkukn dengn lngkhlngkh erikut: uhlh entuk pertidksmn menjdi entuk persmn cri selesin persmn pd lngkh c cri tnd dri nili-niliny d tentukn himpunn penyelesin erdsrkn lngkh c Untuk pertidksmn eksponensil dn pertidksmn ritm d eerp hl yng hrus diperhtikn, yitu : Untuk > erlku: jik < y, mk < y jik < y, mk < y Untuk < < erlku: jik < y, mk > y jik < y, mk > y Contoh: Crilh selesin pertidksmn: > 8 (½) > ½ ( ) > Penyelesin: = ( + )( ) = = tu = Selesinny dlh Kren > 8 = dn = >, mk > Jdi selesinny dlh > Kren (½) > = (½) - dn = ½ <, mk < -

13 Jdi selesinny dlh < - ½ ( ) > Syrt : >, sehingg Kren ½ ( ) > = ½ (½) - dn = ½ <, mk < (½) - = tu < tu << Kren, mk selesinny dlh < < tu < < Sol Ltihn Tentukn nili yng memenuhi : > ( + ) ( ) ( ½) (½) + 8 ½ ( + ) _ ( ) ( ) 8 6