MODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
|
|
|
- Yuliana Johan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks dlh det() tu Contoh. : Diberikn mtriks dn B sebgi berikut : 4 dn B 4 7 But determinn dri dn B. Jwb : Sesui dengn definisi., mk diperoleh : n n n nn n 4 det( ) 4 7 det( B) n n n n nn Dengn demikin dpt diktkn bhw determinn dlh sutu fungsi dengn domin himpunn mtriks-mtriks bertipe n x n dn hsilny dlh bilngn riil dengn turn untuk menentukn determinn kn dibicrkn dibwh ini. Misl untuk n = kit definisikn det( )=. Untuk menentukn nili determinn dri sutu mtriks, dpt dilkukn dengn beberp metode, ntr lin :
2 . Perlusn Kofktor Untuk menghitung determinn dri sutu mtriks, dengn menggunkn perlusn kofktor, pndnglh sutu unsur ij dri mtriks berukurn n x n sebgi berikut : n n n n nn Jik pd bris ke-i kolom ke-j dihilngkn mk kit mendpt submtriks berukurn (n-) x (n-). Determinn submtriks ini disebut minor unsur ij dilmbngkn dengn M ij, sedng (-) i+j M ij disebut kofktorny dn ini dilmbngkn dengn ij. Jdi : ij = (-) i+j M ij. Jik mtriks berukurn n x n dengn n >, mk ) det() = ij ij + j j + + nj nj n = i ij ij untuk j tetp j n b) det() = i i + i i + + in in n = j ij ij untuk i tetp i n Bentuk ) disebut pengembngn determinn menurut kolom j dn bentuk b) disebut pengembngn determinn menurut bris ke-i. Untuk n = kit dptkn : det( ) ( ) ( ) Dengn kt lin determinn dri sutu mtriks berukurn x dlh perklin elemen-elemen digonl utm dikurngi dengn perklin elemen-elemen digonl linny. Sedng untuk n =, jik kit lkukn pengembngn bris pertm diperoleh : det() = =
3 = (-) + + (-) + + (-) + ( ( ) ) b. turn Srrus turn srrus, hny digunkn untuk menentukn determinn mtriks berukurn x. Dimn untuk menghitung nili determinnny sebgi berikut : (-) ( ) (+) Tulis lgi kolom ke- dn ke- di sebelh kolom ke-. Kemudin trik digonl dri kiri ts ke knn bwh dn du gris lgi yng sejjr. Ketig gris tersebut menghsilkn tig suku yng bertnd (+). Kemudin digonl kedu besert du gris sejjr yng lin menghsilkn tig suku yng bertnd (-). Jdi, = Contoh.. Hitunglh determinn dri mtriks : dn B 4 Jwb :. Dengn rumus untuk berukurn x diperoleh :
4 det( ) ()( ) ()(4) b. Dengn menggunkn pengurin menurut bris ke diperoleh : det( ) ( ) ( ) ( ) (4 ) ( 9) ( 6) 8 B Jik dikerjkn dengn turn Srrus diperoleh hsil sebgi berikut : sehingg Contoh. Diberikn mtriks sebgi berikut : Urikn menurut kolom ke-4 : Jwb : Dengn menggunkn perlusn pd kolom ke-4 mk : ) (
5 Selnjutny dpt digunkn turn Srrus. (lnjutkn sebgi ltihn) Jik kit menemui sutu mtriks berukurn 4 x 4 tu lebih, tentu cr penghitungn dengn teori seperti dits, tidk jrng kit temui penghitungn yng pnjng. Untuk menghindri, kit dpt menggunkn sift-sift dri determinn. Teorem.. Jik k dlh konstnt dn mtriks berukurn n xn, mk :. T =. k=k n. Jik dlh mtriks digonl mk = nn 4. Jik elemen dri sutu bris tu sutu kolom dri mtriks semuny bernili nol, mk = 5. Jik du bris tu du kolom sebnding mk = 6. Jik du bris tu du kolom mtriks dipertukrkn mk kn berubh tnd 7. Jik semu elemen dri sutu bris tu sutu kolom dri merupkn pergndn dri k mk determinny diklikn k 8. Jik dn B Mtriks bujur sngkr berukurn sm mk : B=B Sift-sift Determinn. Untuk setip mtriks bujursngkr berlku det() = det( T ) Contoh.4. Diberikn mtriks sebgi berikut : 4 Tentukn det() dn det( T ) Jwb : det( ) ( )(4) ()() 8 4 T 4 T det( ) ( )(4) ()() 8 4 4
6 . Jik semu unsur-unsur pd sutu bris (kolom) sutu mtriks sm dengn nol mk determinnny sm dengn nol. Contoh.5. Diberikn mtriks : Jwb : tentukn determinn dri. Sesui dengn sift, (kren kolom ke niliny ). Jik mtriks segitig berukurn n x n (Segitig ts, segitig bwh tu digonl), mk det() dlh hsil kli elemen-elemen pd digonl utm, yitu det()=.. nn Contoh.6. Diberikn mtriks : 4 7 tentukn determinn dri. Jwb : Menurut sift, 4 7 (..) 6 (kren merupkn mtriks segitig ts) 4. Jik B dlh mtriks yng didpt dri mtriks nxn dengn menggndkn semu unsur pd sutu bris (kolom) dengn k mk det(b) = k.det(). 5. Jik B dlh mtriks yng didpt dri mtriks nxm dengn menggndkn semu unsur pd semu bris (kolom) dengn k mk det(b) = k n.det(). Contoh.7. Dikethui mtriks, B dn C sebgi berikut : 5
7 , B dn C tentukn determinn dri, B dn C Jwb : Kren mtriks berukurn x, dpt digunkn turn srrus untuk mendptkn nili determinnny, dn diperoleh : det( ) 56 (tunjukkn sebgi ltihn) 4 5 Untuk mtriks B, dengn menggunkn sift 4, kren pd bris I mtriks B merupkn (-) kli dri mtriks mk diperoleh: det(b) = det(-) = - det()= x 56 = - Untuk mtriks C, dengn menggunkn sift 5, kren semu bris mtriks C merupkn (-) kli mtriks mk diperoleh : det(c) = det(-) = (-) x 56 = -448 Secr umum sift 4 dn 5 dpt diilustrsikn sebgi berikut : Misl diberikn mtriks ukurn x : k k k k bris I diklikn dengn k k k k k k k k semu bris diklikn dengn k k k k 6. Jik B dlh mtriks yng didpt dri mtriks dengn mempertukrkn du bris (du kolom) mk det(b) = -det(). Contoh.8. Diberikn mtriks 4 5 dengn det() = 56 6
8 Tentukn determinn dri mtriks B 5 4 Jwb : Dengn menggunn sift 6, Kren pd mtriks B diperoleh dengn mempertukrkn kolom I dn III mk det (B)= -56 Secr umum sift 6 dpt diilustrsikn sebgi berikut : Misl diberikn mtriks ukurn x : bris I dn II dipertukrkn 7. Jik B sutu mtriks yng didpt dri mtriks dengn menglikn sutu bris (kolom) dengn bilngn k kemudin menmbhknny pd sutu bris (kolom) yng lin mk det(b)=det(). Contoh.9. Diberikn mtriks 4 5 dengn det() = Tentukn determinn dri mtriks B 4 5 Jwb : Ksus dits dpt diselesikn dengn menggunkn sift 7. Dpt dikethui bhw mtriks B diperoleh dri mtriks, yitu bris I mtriks B diperoleh dengn menmbhkn bris I mtriks dengn kli bris II. Sehingg det(b)=det()=56 Secr umum sift 7 dpt diilustrsikn sebgi berikut : Misl diberikn mtriks ukurn x : 7
9 k k k sutu pergndn bris II dri ditmbhkn pd bris I 8. Jik du bris (du kolom) sutu mtriks sebnding mk det()=. Contoh.. Misl diberikn mtriks dn B sebgi berikut : 7 6 dn B Tentukn determinn dn B Jwb : Untuk mtriks, kren bris I dn III sebnding mk det() = Untuk mtriks B, kren bris II du kli bris I mk det (B)= Secr umum, mislny diberikn mtriks berukurn x : k k k bris I dn II disebnding 9. Jik, B dn C mtriks berukurn nx n yng berbed hny pd slh stu brisny (kolomny) mislny bris ke-i, dn jik bris ke I dri C dpt diperoleh dengn menmbhkn nggot-nggot yng berpdnn pd bris ke I dri dn B mk : det(c) = det() + det(b) Contoh.. Diberikn mtriks-mtriks sebgi berikut : C ; ; B 4 7 ( ) 4 7 8
10 Tunjukkn bhw det(c) = det() + det(b) det det det 4 7 ( ) 4 7 Jwb : Tentukn determinn dri tip-tip mtriks, Tunjukkn contoh., memenuhi sift 9. (lkukn sebgi ltihn nd). Jik dn B mtriks-mtriks bujursngkr berukurn sm, mk det(b) = det().det(b). Contoh.. Jik diberikn mtriks-mtriks sebgi berikut : 7 ; B ; B Mk kn diperoleh : det()=, det(b) = - dn det(b) = - (penghitungn sebgi ltihn) Dri contoh-contoh dits, sift-sift determinn sngt membntu dlm menentukn determinn sutu mtriks, kn tetpi jik nd menemui mtriks dlm ukurn yng besr dn perhitungn dengn menggunkn definisi determinn menjdi lebih rumit, dimn penggunn sift-sift determinn yng d tidk dpt secr lngsung digunkn. Dri ksus ini, muncul sutu ggsn yitu dengn metode mereduksi mtriks yng diberikn menjdi bentuk mtriks yng lebih sederhn, mislny dibentuk mtriks segitig ts. c. Metode Reduksi Sesui dengn ggsn yng telh diungkpkn dits, metode reduksi dilkukn dengn cr mereduksi mtriks sl menjdi bentuk yng lebih sederhn. Untuk lebih jelsny, perhtikn contoh berikut : Contoh. : 9
11 Hitung determinn dri Jwb : Mtriks dits dpt direduksi menjdi bentuk mtriks segitig ts : det( ) ( B ditukr dengn B) ( semu fktor umum dri B dikelurkn) 6 5 ( B B) 5 5 ( B B) 55 ( )( 55) 5 ( semu fktor umum 55 dri B dikelurk) 55 ( )( 55)() 65 Dengn metode reduksi, perhitungn nili determinn kn lebih sederhn. Contoh.4 Hitung determinn : 5 Jwb : Perhtikn mtriks dits, jik kit didpt : menmbhkn bris ke- pd bris ke-4
12 4 Dengn mengembngkn kolom ke- diperoleh : 4 4 Dengn menmbhkn kli bris ke- pd bris ke- diperoleh : 4 ( ) ( ) ( ) 4 9 Dri beberp cr tu metode menentukn determinn dri sutu mtriks yng telh dijelskn dits, tetp kn nd temui penyelesin yng rumit, jik menentukn determinn sutu mtriks yng berukurn besr ( berukurn 4 x 4 tu lebih) yng tidk mempunyi bentuk khusus. Contoh.5 : Diberikn mtriks sebgi berikut : Tentukn determinn dri mtriks. Jwb : Jik determinn mtriks dits dicri dengn menggunkn perlusn kofktor, tentu kn sngt pnjng dn rumit. Untuk menentukn determinn dri sutu mtriks, dpt dilkukn dengn bntun pket progrm. Dlm modul ini, kn
13 digunkn bntun progrm Mtlb, dengn lngkh-lngkhny dlh sebgi berikut : Setelh nd membuk progrm Mtlb, pd MTLB Commnd Window, msukkn nili-nili dri mtriks.» =[ 7 5; ; 4 6 ; 4 ; ] = Inilh mtriks berukurn 5 x 5. Untuk menentukn determinn dri mtriks, ketik det () :» det() ns = 767 Hsil inilh determinn dri mtriks berukurn 5 x 5. Jdi det()=767 Tentuny untuk mtriks berukurn kecilpun kn lebih cept jik dihitung dengn bntun pket progrm. Contoh.6. Cob nd perhtikn lgi contoh.4 dits. Tentukn detrminn dri dn T dengn menggunkn bntun pket progrm Mtlb. Jwb : nlog dengn penyelesin sol.5, pertm kli nd msukkn nili mtriks :» =[- ; 4] = - 4» det() ns = - Diperoleh hsil, determinn = -
14 Untuk menentukn determinn dri T, lkukn hl berikut :» ' ns = - 4 hsil di ts merupkn mtriks T» det(') ns = - Diperoleh det( T )=-. Jik nd perhtikn niliny sm dengn perhitungn dits. Dri sift-sift dsr fungsi determinn, dpt dikembngkn untuk mengethui hubungn ntr sutu mtriks bujursngkr dn determinnny, slh stuny dlh uji determinn untuk mengethui d tidkny invers sutu mtriks. Invers sutu mtriks merupkn bgin penting dlm mempeljri mtriks dn sttistik... Invers Mtriks Pd sub bb. telh kit peljri determinn dri sutu mtriks bujur sngkr. Sutu mtriks Bujur sngkr, jik, mk mtriks disebut mtriks non singulr, jik =, mtriks disebut mtriks singulr. Selnjutny nili determinn kn kit gunkn untuk menentukn inb=nvers dri sutu mtriks. Definisi. : (Invers Sutu Mtriks) Jik dlh sebuh mtriks bujur sngkr, dn jik mtriks B yng berukurn sm bis didptkn sedemikin hingg memenuhi : B B I dimn I dlh mtriks identits, mk disebut dpt diblik (invertibel). Untuk selnjutny invers dri mtriks dinytkn dengn simbol - Teorem.. Sutu mtriks bujur sngkr dpt diblik jik dn hny jik det().
15 Teorem. : (Invers mtriks berukurn x ) Mtriks c b d Mtriks mempunyi invers jik b bc, dimn inversny dpt ditentukn dengn rumus : Bukti : d b d b d bc d bc d bc c c d bc d bc Bukti untuk teorem ini, tunjukkn bhw berlku (lnjutkn sebgi ltihn nd) I dn I Teorem.4: (Sift-sift invers sutu mtriks) Jik dn B mtriks nonsingulr (determinn tidk sm dengn ) berukurn nx n mk : ) - tunggl b) ( B ) B c) ( ) T ( T ) d) ( ) e) f) Jik =dig(,,, nn ), mk - = dig, g) Jik = T mk - = ( - ) T,..., nn Bukti : ) nggp tidk tunggl, sehingg d invers linny dri mtriks, mislny * sehingg berlku *=*=I. Sehingg *=I 4
16 tu Dn *= I = *=I* =* (kren Sehingg berkibt *= (kren * invers dri ) inver dri ), berri invers dri tunggl (terbukti) b) Telh dikethui bhw ( B)( B ) BB I. Menurut definisi : ( B)( B) I, sehingg berlku ( B ) B ( B)( B) Jik persmn dits diklikn dengn ( B ) mk persmn menjdi : ( B ) B (terbukti) c) Kren I T I mk I ( T ) T Jik kit klikn dengn ( T ) mk diperoleh ( ) ( ) T T T T ( ) ( terbukti) d) Kren ( ) I I I mk Jik kit gunkn teorem bgin (b) diperoleh ( ) I Jik persmn di ts kit klikn dengn diperoleh : ( ( ) ) I ( terbukti ) e) Telh dikethui bhw I I Menurut sift determinn Mk diperoleh ( terbukti ) Teorem.5 : Jik dn B mtriks yng dpt diblik (invertibel) dri ukurn yng sm mk B jug dpt diblik. Bukti : 5
17 Untuk menunjukkn teorem tersebut hrus ditunjukkn bhw berlku ( B) B B ( B) I Mnurut teorem. bgin b) Tetpi ( B ) B B ( B ) ( B B ) I I (kren dn B invertibel) Dengn cr yng sm diperoleh : ( B )( B) B ( ) B B IB B Dri kedu persmn di ts diperoleh B I ( B) B B ( B) I (terbukti) Untuk menentukn invers sutu mtriks, ertb kitnny dengn determinn. Slh stu perhitungn nili determinn yng telh dipeljri dlh dengn perlusn kofktor, nili-nili kofktor ini sngt penting rtiny dlm penentun invers sutu mtriks. Definisi. : (djoint sutu mtriks) Jik dlh sebrng mtriks n x n dn ij dlh kofktor dri ij mk mtriks : n n n n nn disebut mtriks kofktor dri. Dn trnspose dri mtriks kofktor disebut djoint dn dinotsikn dj(). dj()= n n n n nn T Contoh.7 Diberikn mtriks sebgi berikut : 6
18 6 4 tentukn mtriks kofktor dri dn djoint. Jwb : Dengn menggunkn rumus pd sub bb sebelumny : ij = (-) i+j M ij. Kofktor dri dlh : = ; =6; = -6 = 4 ; =; = 6 = =-; = 6 Sehinggn mtriks kofktorny dlh : dn djoint() dlh : dj() T Definisi.4 : ( Invers sutu mtriks) Jik mk invers dri didefinisikn : dj( ) Sehingg pbil n n n n nn mk 7
19 n n T T n n n n n n nn n n nn n n nn dimn ij merupkn kofktor dri. Contoh.8 Diberikn mtriks sebgi berikut :, Tentukn :. -, B - B b. Dn tunjukkn bhw untuk mtriks di ts, berlku (B) - = B - - Jwb :. Dengn menerpkn rumus, sesui teorem.. diperoleh : Det ()= - =, det (B) = 6-4 = sehingg dn B 7 6 b. Dengn mtriks dn B dits didptkn B 9 8 Sehingg diperoleh det (B) = (7.8) (6.9)= = 8 6 ( B) Dri hsil (), diperoleh B 9 7 Dengn jminn dri teorem. (b), diperoleh (B) - = B - - Contoh.9 Diberikn mtriks sebgi berikut : 8
20 6 4 tentukn invers dri dn determinn dri - Jwb : Sesui dengn definisi. dits, nd tentukn, kofktor-kofktor mtriks. dengn menggunkn definisi pd determinn diperoleh hsil sebgi berikut : 6 6 ; 6; ; ; ; ; djoin = dj()= Dengn menggunkn definisi dri determinn diperoleh : Det() = 64 (tunjukkn sebgi ltihn nd) Mk dj( ) 6 6 det( ) Untuk mtriks yng berukurn kecil, mislny x tu x, menentukn invers dri sutu mtriks, msih mudh dilkukn. kn tetpi jik mtriks berukurn besr, misl 5 x 5 tu lebih, tentu menentukn inversny buknlh hl yng mudh. Perhtikn contoh berikut : Contoh. : Dri contoh.5, tentukn invers dri mtriks. 9
21 Mtriks dits berukurn 5 x 5, jik nd cri invers mtriks dengn menggunkn definisi., tentuny kn sngt pnjng. Untuk itu kit dpt menggunkn bntun pket progrm komputer, dlm modul ini, kn digunkn bntun pket progrm Mtlb. Dimn lngkh-lngkhny dlh sebgi berikut : Setelh nd membuk progrm Mtlb, pd MTLB Commnd Window, msukkn nili-nili dri mtriks.» =[ 7 5; ; 4 6 ;4 ; ] = Hsil dits dlh mtriks berukurn 5 x 5. Untuk menentukn invers dri mtriks, ketik inv () :» inv() ns = Hsil inilh invers dri mtriks berukurn 5 x 5. Tentuny untuk mtriks berukurn kecilpun kn lebih cept jik dihitung dengn bntun pket progrm. Contoh.. 4
22 Cob nd perhtikn lgi contoh.6 dits. Tentukn invers dri dn T dengn menggunkn bntun pket progrm Mtlb. Jwb : nlog dengn penyelesin sol.9, pertm kli nd msukkn nili mtriks :» =[- ; 4] = - 4» inv() ns = Untuk menentukn determinn dri T, lkukn hl berikut :» ' ns = - 4 hsil dits merupkn mtriks T» inv(') ns = Jik nd perhtikn contoh ini, mk berlku ( - ) T = ( T ) - (cob nd selidiki) Referensi nton, H., 987, Elementry Liner lgebr, John Wiley & Son, New York Bsilevsky,., 98, pplied Mtrix lgebr in the Sttisticl Sciences, Elsevier Sciences Publ. Co. Inc. 4
23 Cullen, CG., 988, Liner lgebr With ppliction, Schott, Foresmn nd Compny. Shchoot, J.R., Mtrix nlysis for Sttistics, John Wiley, New York. 4
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
Sistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
Matematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan
Mtemtik Lnjut 1 Onggo Wirywn Setip mtriks persegi tu bujur sngkr memiliki nili determinn Nili determinn sklr Mtriks Singulr= Mtriks yng determinnny bernili 0 Determinn & Invers - Onggo Wr 2 Mislkn A sutu
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm
4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
BAB I MATRIKS. Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang. dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley ( ).
BAB I MATRIKS Aljbr mtriks merupkn slh stu cbng mtemtik yng dikembngkn oleh seorng mtemtikwn Inggris Arthur Cyley (8 89) Mtriks berkembng kren pernnny dlm cbng-cbng Mtemtik linny, mislny bidng ekonomi,
Matriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
1. Matriks dan Jenisnya Definisi: Matrik A berukuran m x n ialah suatu susunan angka dalam persegi empat ukuran m x n, sebagai berikut:
triks dn opersiny by yudiri ATRIKS DAN OPERASINYA. triks dn Jenisny Definisi: trik A berukurn x n ilh sutu susunn ngk dl persegi ept ukurn x n, sebgi berikut: A = n n n triks berukurn (ordo) x n. tu A
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 3
Aljbr Linier & Mtriks Ttp Muk Eliminsi Guss-Jordn Sistem persmn linier dengn n vribel dn m persmn secr umum dinytkn sbg: Sistem persmn linier tsb dpt dinytkn dlm bentuk mtriks sbb: A x X = b dengn A dlh
Sistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Glng Ismu Hndoko 1, M Ntsir 2, Sigit Sugirto 2 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm
Materi V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,
Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui
Universitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
Modul 1. Pendahuluan
Modul Pendhulun.. Pengertin Mtriks Definisi. (Pengertin Mtriks) Mtriks didefinisikn sebgi sutu susunn bilngn berbentuk segiempt. Bilngnbilngn yng terdpt dlm susunn itu disebut elemen mtriks tersebut. Secr
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
2.Matriks & Vektor (1)
.triks & Vektor () t Kulih: ljbr Liner dn triks Semester Pendek T. / S Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro,.Kom. STIK IKO YOGYKRT Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 7 88 Fx 7-888 Website:
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I
DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
LIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
III. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Mtriks Dr. Whyu Widyt, M.Ec. S PENDAHULUAN ering kli kit berhdpn dengn mslh mencri solusi dri sistem persmn linier, tu mslh optimissi sutu fungsi dengn jumlh vribel yng bnyk. Mslh-mslh tersebut
Matriks. Bab II. Motivasi. Tujuan Pembelajaran
Mtriks Bb II Mtriks Sumber: Ensiklopedi Peljr, 999 Motivsi Secr umum mtriks merupkn sutu dftr yng berisi ngkngk dn ditulis di dlm tnd kurung. Dftr-dftr yng dpt ditulis dlm bentuk mtriks, mislny perolehn
A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan
(Oleh: Winit Sulndri, M.Si) A. Kompetensi Dsr : Menyelesikn sistem persmn liner B. Mteri :. Sistem Persmn Liner dn Mtriks. Determinn C. Indiktor :. Mendefinisikn persmn liner dn sistem persmn liner. Mengenl
Handout Mata Kuliah: Aljabar Matriks (2 SKS) Dosen: Dra. Hj Ade Rohayati, M. Pd.
Hndout Mt Kulih: Aljbr Mtriks ( SKS) Dosen: Dr. Hj Ade Rohyti, M. Pd. No. Indiktor Urin Mteri. menyebutkn definisi mtriks.. membut beberp contoh mtriks dengn menggunkn notsi yng tept.. menentukn ordo dri
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
Modul PELATIHAN GUIDE MATLAB UNTUK PEMBUATAN ANTARMUKA PEMBELAJARAN PERSAMAAN MATEMATIKA DAN GRAFIKNYA
Modul PELATIHAN GUIDE MATLAB UNTUK PEMBUATAN ANTARMUKA PEMBELAJARAN PERSAMAAN MATEMATIKA DAN GRAFIKNYA PENGENALAN PROGRAM MATLAB MENGGUNAKAN OPERASI OPERASI MATRIKS Oleh : Nur Hdi Wrnto, S.Si Lbortorium
CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
BAB I PENDAHULUAN. A. Latar belakang
BAB I PENDAHULUAN A. Ltr belkng Bnyk orng yng bernggpn bhw Mtemtik itu rumit, kren lsn itulh bnyk orng yng menghindri Mtemtik. Pdhl Mtemtik dpt kit jumpi di dlm kehidupn sehri-hri, dn mu tidk mu kit psti
Hands Out Mata Kuliah: Aljabar Matriks (2 SKS) Dosen: Dra. Hj Ade Rohayati, M. Pd.
Hnds Out Mt Kulih: Aljbr Mtriks ( SKS) Dosen: Dr. Hj Ade Rohyti, M. Pd. No. Indiktor Urin Mteri. menyebutkn definisi mtriks.. membut beberp contoh mtriks dengn menggunkn notsi yng tept.. menentukn ordo
Integral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persmn Liner Muhtdin, ST. MT. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Persmn Aljbr Liner Simultn Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 9 Menyelesikn SPL sederhn Grphicl Method dri kedu persmn
6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
RUANG VEKTOR (lanjut..)
RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
III. Bab. Matriks. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Bb III Mtriks 79 Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri bb ini, dihrpkn klin dpt. menjelskn ciri sutu mtriks;. menuliskn informsi dlm bentuk mtriks;. melkukn opersi ljbr ts du mtriks; 4. menentukn determinn
1. Introduction. Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika. Mata Kuliah: Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.
1. Introduction Mt Kulih: Aljbr Liner dn Mtriks Semester Pendek TA 9/1 S1 Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 74 8841
Teorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
Bilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )
Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).
ANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN
Kegiatan Belajar 5. Aturan Sinus. Kegiatan 5.1
Pge of 8 Kegitn eljr 5. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr 5, dihrpkn sisw dpt. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn sinus b. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn kosinus. Menghitung
Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :
MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.