Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier

Transkripsi

1 Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm studi teknik elektro. A. MATERI PERKULIAHAN. Definisi Mtriks Sutu mtriks berukurn m x n tu mtriks m x n dlh sutu jjrn bilngn berbentuk persegi pnjng yng terdiri dri m bris dn n kolom. Mtriks tersebut ditulis dlm bentuk: m m m n n n mn Dlm menytkn sutu mtriks bisny digunkn huruf kpitl tu huruf besr dlm susunn Alphbet misl: A, B, dn C. Sedngkn dlm menytkn unsur tu elemen tu nggot digunkn huruf kecil dlm susunn Alphbet, misl:, b, dn c. Dlm menunjukkn sebuh mtriks kdng kl digunkn sepsng tnd kurung; ( ), dn gris tegk gnd;. Selnjutny dlm diktt ini kn dipki penulisn sepsng kurung siku. Pd stny mtriks () kn disebut mtriks [ ij ], m x n tu mtriks [ ij ], m x n. Bilmn ukurn (ordo) sudh dikembngkn, cukup dituliskn mtriks A sj. Fungsi ij menytkn unsur tu elemen dri sutu mtriks pd bris ke-i kolom ke-j, dimn i m dn j n. Bnykny bris dn kolom menytkn ukurn (ordo) dri sutu mtriks. This mteril dopted of vrious sources

2 . Beberp Jenis Mtriks. Mtriks Bujur Sngkr Definisi: Sutu mtriks diktkn mtriks bujur sngkr jik bnykny bris dn kolom dri mtriks tersebut sm. Dlm mtriks bujur sngkr elemen-elemen,,, nn disebut elemen digonl. Sedngkn jumlh elemen dlm digonl utm mtriks bujur sngkr A disebut trce A.». elemen digonl mtriks A=,,». trce + + b. Mtriks Segitig Definisi: Sutu mtriks bujur sngkr yng mn semu elemen di bwh tu di ts digonl dlh nol (). Dri kedn ini diperoleh du bentuk mtriks segitig, yitu : ). Mtriks segitig ts, jik elemen-elemen di bwh digonl semuny nol. b). Mtriks segitig bwh, jik elemen-elemen di ts digonlny semuny nol. B = C = Dri kedu mtriks tersebut mk B dlh mtriks segitig ts sedngkn mtriks C dlh mtriks segitig bwh. c. Mtriks Digonl Definisi: Sutu mtriks bujur sngkr yng mn semu elemen di bwh dn di ts digonl dlh nol () This mteril dopted of vrious sources

3 This mteril dopted of vrious sources D = d. Mtriks Sklr Definisi: Sutu mtriks digonl yng semu elemenny sm. D = e. Mtriks Identits/Stun Definisi: Sutu mtriks sklr yng elemen-elemenny stu (). Dengn kt lin sutu mtriks digonl yng semu elemenny dlh stu (). Mtriks identits ini bisny dinotsikn dengn I (nxn) tu I n. Mtriks identits ini dlm ljbr mtriks mempunyi pernn yng sm dengn bilngn dlm ljbr bis. I (x) = I = I (x) = I = I (x) = I =

4 f. Mtriks Trnspose Definisi: Sutu mtriks yng diperoleh dengn menukrkn bris menjdi kolom dri sutu mtriks yng dikethui. Apbil dikethui sutu mtriks A berukurn (mxn) mk mtriks trnspose A bisny dinotsikn dengn A t tu A tu A T dengn ukurn (n x m) untuk selnjutny dlm diktt ini digunkn notsi A T. 8 A T = 8 Sift-sift mtriks trnspose : (). ( A + B ) T = A T + B T (b). ( AB ) T = B T A T (c). A TT = (A T ) T =A g. Mtriks Invers Definisi: A dlh sutu mtriks bujur sngkr. B dlh invers dri mtriks A (B = A - ). Jik AB = A A - = A - I Dengn I dlh mtriks identits, sedngkn mtriks invers dpt dicri dengn beberp cr. Jik dikethui mk mtriks invers dri A tu A - = kren A A - = I = h. Mtriks Nol Definisi : Mtriks yng semu elemenny nol. Bilmn A sutu mtriks nol dn tidk terdpt kergun mengeni ukurnny, dpt dituliskn sebgi penggnti komposisi m x n dri elemen-elemen nol. This mteril dopted of vrious sources

5 i. Mtriks Simetri dn Skew-simetri Definisi: Sutu mtriks bujur sngkr A diktkn simetri jik A T = A dn skewsimetri jik A T = -A. (). C = C T = Mtriks C merupkn mtriks simetri. (). A T = Mtriks A merupkn mtriks skew-simetri. j. Mtriks Kompleks Sekwn Definisi: Jik semu unsur ij dri sutu mtriks A dignti dengn kompleks sekwnny ij, mk mtriks yng diperoleh dinmkn kompleks sekwn dri A dn dinytkn dengn A. Bilmn j j j mk j j j. Opersi Aljbr Pd Mtriks. Kesmn du mtriks Definisi: Du mtriks A dn B disebut sm, jik : (i). A dn B sejenis ( mempunyi ukurn yng sm) (ii). Setip unsur yng seletk sm. Jdi jik A (mxn) = B (pxq) mk: () m = p dn n = q, (b). ij = b ij untuk setip i n j. B = This mteril dopted of vrious sources

6 Dri kedu mtrik tersebut mk mtriks A dn mtriks B merupkn mtriks yng sm kren ukurnny sm dn unsur yng seletk sm. b. Penjumlhn mtriks Definisi: Jumlh du buh mtriks A dn B yng sejenis dlh sebuh mtriks C yng sejenis pul, dengn elemen-elemen C ij dimn terdpt hubungn c ij = ij + b ij Sift-sift penjumlhn mtriks: (). A + B = B + A (b). A + (B + C) = (A + B) + C (c). A + Z = A Z dlh mtriks yng semu unsurny ditulis tu (mxn). Z disebut mtriks nol. Jik B = mk A + B = c. Pengurngn mtriks Definisi: Jik [ ij ], dn B = [b ij ] berukurn sm tu sejenis, selisih dri A dn B dinytkn sebgi A B = [ ij b ij ]. Diikethui: B = dn 8 mk B This mteril dopted of vrious sources

7 d. Perklin sutu mtriks dengn sutu bilngn Definisi: Jik [ ij ] dn dlh sutu bilngn (sklr) hsil kli A dn sebgi [ ij ]. Misl dikethui sutu bilngn = dn B = mk B = Sift-siftny: Jik dikethui dn dlh bilngn (sklr) sert A dn B dinggp sejenis, mk berlku : (). (A + B ) = A + B (e). A= A (b). ( + ) A + A (f). (-) = - A (c). ( A) = A (d). ( mtriks nol sejenis A) e. Perklin mtriks Definisi: Jik [ ij ] dlh sutu mtriks berukurn m x n dn B = [b ij ] dlh sutu mtriks berukurn n x p mk hsilkli dri mtriks A dn B (A.B tu AB) sebgi mtriks C = [c ij ] dengn: c ij = n k ik b kj dn C berukurn m x p Perhtiknlh bhw perklin mtriks didefinisikn jik dn hny jik bnykny kolom dri mtriks pertm (A) sm dengn bnykny bris pd mtriks kedu (B). Mtriks yng demikin ini sering dinmkn conformble. Jik dikethui: B = dn mk hsil dri B x A This mteril dopted of vrious sources

8 dlh sebgi berikut: B = = 9 Hsil dri B x A Sift-siftny : Disumsikn A, B, dn C dlh mtriks yng sesui untuk penjumlhn dn perklin, mk berlku : (). (AB)C = A(BC) (b). A(B + C) = AB + AC (c). (A + B) C = AC + BC. Determinn Mtriks Bujur Sngkr Mislkn mtriks A yng disjikn dlm () dlh sutu mtriks bujur sngkr, mk A dpt dikitkn dengn sutu bilngn yng dinytkn oleh : = n n n n n n nn () yng dinmkn determinn dri A dengn ukurn n, ditulis det(a). Determinn sutu mtriks bujur sngkr berordo n disebut pul dengn determinn berordo n. Khusus untuk determinn ordo stu (memiliki stu elemen sj) mk nili determinnny merupkn nggot/elemen yng d dlm determinn itu sendiri, mislny dikethui determinn ordo yitu: ( ) mk nili determinnny dlh.. Determinn Berordo Du Dn Tig Dri bentuk mtriks () untuk ksus dimn n = dn n =, dipunyi bentuk determinn sebgi berikut. This mteril dopted of vrious sources 8

9 dn B = Untuk A, nili determinnny dpt dihitung dengn cr : A = det (A) = x x () Dikethui tentukn nili determinn A. Nili det(a) tu A dlh (x) (x) = =8 (b) Dikethui B = tentukn nili determinn B. Nili det(b) tu B dlh ( x) ( x) = 8 ( ) = Sedngkn untuk B, nili determinnny dpt dihitung dengn menggunkn sutu metode yng disebut ATURAN SARRUS. Yitu memperlus determinn tersebut dengn menmbhkn du kolom pertm setelh kolom terkhir. B = det (B) = (). Dikethui = ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( tentukn nili determinn A. Nili determinn A tu ( ) ( + +) = - ) (). Dikethui C = tentukn nili determinn B Nili determinn B tu B = ( (-)) ( + (-) + (-)) = 8 + = This mteril dopted of vrious sources 9

10 b. Determinn Berordo n Pndng bentuk determinn mtriks bujur sngkr berordo n berikut ini, n n n n n n nn untuk menentukn nili determinn A tersebut digunkn metode Urin Lplce, dlm metode ini terdpt du mcm cr yitu: (). dengn menjbrkn tu mengurikn determinn menurut bris ke-i: det (A) = n j i j ( ) ij M ij (). dengn menjbrkn/mengurikn determinn menurut kolom ke-j: A det (A) = n i i j ( ) ij M ij keterngn : i. ij = komponen determinn pd bris ke-i kolom ke-j ii. M ij = Minor dri ij (determinn berordo n- yng dibentuk dengn menghpus bris dn kolom yng memut ij ) iii. (-) i+j M ij = kofktor dri ij. iv. Dlm menentukn bris tu kolom yng kn dipki sebgi dsr dlm penjbrn, diliht elemen-elemen yng menyusunny. Dipilih bris tu kolom yng elemenny menyederhnkn perhitungn. Klu d bris tu kolom yng memut nol pling bnyk, bris tu kolom itulh yng dipilih. Jik elemen-elemnny tidk d yng nol mk pemilihn bris/kolom bebs. Sebelum pembhsn tentng pencrin nili determinn dilnjutkn, kit liht dhulu contoh dri pengertin-pengertin tersebut dits. (). Dikethui tentukn M dn kofktor dri. This mteril dopted of vrious sources

11 Penyelesin :. M = minor dri berrti bris kedn kolom ke- dihpus sehingg didpt sutu mtriks yng berbentuk. Kofktor dri = (-) + =. = (). Dri mtriks no. () tentukn nili determinnny. Penyelesin:. Menentukn bris tu kolom yng kn dijbrkn. Misl dipilih bris ke-, mk rumus nili determinnny menjdi : det (A) = n j j ( ) j M j. Menghitung nili determinn, dijbrkn dulu untuk tip-tip j (dri j = smpi dengn j = ), sebgi berikut : Untuk j = Untuk j = (-) + M =.. (-) + M = -.. =. (-8) = - = -. (-9) = Untuk j = Untuk j = (-) + M =.. (-) + M = -.. =. (-) = - = -. () = Jdi nili determinn dri A dlh: det(a) = (-) + + (-) + (-) = This mteril dopted of vrious sources

12 Sift-sift determinn mtriks bujur sngkr : Untuk setip determinn mtriks bujur sngkr berordo sembrng (n =,,, ) berlku: (). Jik terdpt stu bris/kolom semu elemenny nol mk nili determinnny nol. (b). Jik terdpt du buh bris/kolom mempunyi elemen sm tu keliptnny mk nili determinnny sm dengn nol. (c). Jik du buh bris/kolom sling ditukrkn mk nili determinnny berlwnn tnd (negtif) dri nili determinn semul. (d). Jik terdpt sutu bris/kolom tip-tip elemenny diklikn dengn sutu bilngn k mk nili determinnny dlh k kli nili determinn semul. (e). Jik elemen-elemen sutu bris/kolom dijumlhkn dengn k kli elemen-elemen bris/kolom yng seletk mk nili determinnny tidk berubh. Sol-sol Ltihn Cmpurn. Dikethui mtriks A= 8. Sebutkn ordo/ukurn dri mtriks A tersebut. b. Mtriks A dits, memiliki bris sebnyk... dn kolom sebnyk... c. Dri mtriks di ts jwblh pertnyn berikut dengn mengisi titik-titik yng telh tersedi. =... =... =... =... =... =... =... =... =.... Berikn contoh mtriks persegi ordo dri mtriks berikut!. Mtriks sklr b. Mtriks segitig bwh c. Mtriks segitig ts. d. Mtriks digonl This mteril dopted of vrious sources

13 . Tulislh trnspose dri mtriks berikut!. c. b. d. ( ). Tentukn x, y, dn z jik dikethui B. A= x y y dn B = y y z 8 b. x x y dn B = x z y. Tentukn x, y, dn z dri persmn berikut! y x z = tn sin 9 sin tn x y. Untuk mtriks: P = x y dn Q Tentukn x dn y jik P t = Q!. Dikethui tig buh mtriks berikut: ; B = ; C = Tentukn :. (A + C) (A + B) c. A B + C b. A + B C d. A B C 8. Jik dikethui tig buh mtriks berikut: P = ; Q = ; This mteril dopted of vrious sources

14 R = mk tentukn hsil dri:. P + Q R b. P Q R 9. Crilh mtriks X jik :. X c. X X b. X. Tentukn p, q, r, dn s jik persmnny berikut ini! p r q s p r s p q x. Jik, tentukn x y! y. Dikethui fungsi f(x) = x + x I. Tentukn f(a) jik dn I : mtriks identits sejenis dengn A. Dikethui fungsi f(x,y) = x + xy + y ; dn B = Tentukn berikut ini!. f(a,b) c. Apkh f(a,b) = f(b,a)? b. f(b,a). Jik x x dn B = x x mempunyi determinn yng sm, tentukn nili x! This mteril dopted of vrious sources

15 . Tentuknlh nili determinn mtriks-mtriks berikut ini.. c. e. b. cos sin sin cos d. cot n cos ec cos ec cot n. Tentuknlh hrg p jik nili determinn dn B =, dri mtriks berikut ini.. p p p, b. B = p p p. Tentuknlh nili determinn mtriks-mtriks berikut ini.. F = c. H = b. G = 9 8 d. J = This mteril dopted of vrious sources