Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII

Transkripsi

1 Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205

2 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl [,b] yitu d M > 0 sebgi nili pembts sehingg M f (x) M untuk setip x [, b] Bil slh stu sj dri kedu syrt tersebut tidk dipenuhi mk integrl (.) diktkn tk wjr

3 Definisi Integrl Wjr Definisi. Integrl tk wjr (improper integrl)dlh integrl dengn stu tu kedu syrt berikut ini dijumpi, yitu: i. Intervl dri integrl dlh tidk terbts Sebgi contoh: [, + ), (, b].(, ) x 2 dx ii. Integrn mempunyi sutu ketkkontinun tk hingg di sutu titik c dlm [,b]: Sebgi contoh: lim f (x) = ± x c 0 x dx

4 Tipe I Dlm bidng fisik, ekonomi, probbilits dn sttistik mupun di bidng linny sering melibtkn integrl yng didefinisikn pd domin yng tk terbts. Kenytn ini melhirkn integrl tk wjr tipe I kren bts integrsiny memut tu Definisi.2 Andikn bhw sutu fungsi f kontinu pd (, ). Didefinisikn integrl tk wjr ketik limitny d b f (x)dx = f (x)dx = lim f (x)dx = c b b b lim f (x)dx + c f (x)dx (2) f (x)dx (3) f (x)dx (4)

5 Dimn, dlm definisi (4), integrl-integrl di rus knn d untuk sutu c. Jik integrl tk wjr d, mk integrl diktkn konvergen, tetpi jik tidk d mk diktkn divergen. Contoh. Fungsi F (x) = 2π e x2 2 disebut fungsi densits norml dn memiliki bnyk pliksi dlm bidng probbilits dn sttistik. Secr khusus F (x) = 2π e x2 2 =

6 Definisi.3 Mislkn sutu bilngn tertentu dn disumsikn N f (x)dx d untuk setip N. Selnjutny jik lim N f (x)dx d mk nili integrl tk wjr didefinisikn sebgi N f (x)dx := lim f (x)dx N Selnjutny, integrl tk wjr f (x)dx diktkn konvergen jik niliny berhingg. Selin dri itu diktkn divergen

7 Contoh 2 Hitunglh integrl tk wjr dx (5) x 2 Penyelesin: Dengn menggunkn definisi.3, kn diperoleh: dx = lim x 2 N = lim N = lim N N Jdi, integrl tk wjr ini konvergen. f (x)dx [ ] N dx x [ N ] ( ) =

8 Contoh 3. Hitunglh integrl tk wjr 3x (3x 2 + 2) 3 dx

9 Penyelesin: Selesikn dhulu integrl tk tentu 3x (3x 2 dx kemudin cri + 2) 3 limitny. Mislkn u = 3x mk du = 6xdx. Jdi 3xdx = du. Subtitusikn pemisln ini ke dlm integrl, mk 2 diperoleh: 3x (3x 2 + 2) 3 dx = 2 u 3 du = 4 u 2 = /4 (3x 2 + 2) 3 Selnjutny dengn menggunkn definisi.3 didptkn 3x (3x 2 dx = lim + 2) 3 N = lim N = lim N = 0 N 3x N (3x 2 + 2) 3 dx [ ] /4 N (3x 2 + 2) 2 N [ /4 (3N 2 + 2) 2 + /4 (3( N) 2 + 2) 2 ]

10 Jdi, integrl tk wjr ini konvergen dn bernili nol. Khusus nili nol integrl ini didpt kenytn bhw terdpt du lusn der h yng sm tetpi stu ini di ts sumbu x dn stuny di bwh sumbu x

11 Contoh 4 Tentukn semu bilngn p sehingg integrl tk wjr x p dx Konvergen, dn hitunglh niliny?

12 Penyelesin: [ dx = lim x p N p ] N p Bil p > 0 p < mk N p untuk N. Jdi, x p dx = [0 ] = p p [ ] = p konvergen(berhingg) untuk p = 0, yitu p = integrl ini divergen. Jdi dpt disimpulkn x p dx = p, p > divergen, p Jdi untuk setip p >, integrl tk wjr dengn nili p dx konvergen x p

13 Khusus Jenis Pertm. Integrl Geometrik tu Eksponensil e tx dx (6) dimn t dlh sebuh konstnt, konvergen jik t > 0 dn divergen jik t 0.Perhtiknlh nlogi dengn deret geometri jik r = e tx sehingg e tx = r x 2. Integrl p jenis pertm dx (7) x p dimn p dlh sebuh konstnt dn > 0, konvergen jik p > dn divergen jik p.

14 Ltihn. Sebutkn dn tuliskn beberp fungsi kepdtn pelung dimn rentng vribelny menuju ketkberhinggn. Kemudin tunjukkn integrl sepnjng dominny bernili 2. Hitunglh integrl tk wjr. b. u x dx cos(x)dx

15 Tipe II Sutu fungsi diktkn tk terbts di c jik niliny sngt besr sekli (mendekti tu ) di sekitr c. Mislkn fungsi f didefinisikn pd domin [, b]. Beberp model fungsi tk terbts di sekitr, b dn titik c dengn < c < b ditunjukkn pd gmbr berikut

16 Pd gmbr sebelh kiri, fungsi f tk terbts di titik dri knn. Gmbr tengh menunjukkn fungsi f tk terbts di titik b dri kiri. Sedngkn gmbr sebelh knn menunjukkn f tk terbts di titik c dengn c b dri knn dn kiri. Bil f tk terbts pd [, b], bik di titik dri knn di titik b dri kiri tupun di titik interior [, b] mk integrl b f (x)dx merupkn integrl tk wjr, dn disebut integrl tk wjr tipe II.

17 Definisi.4 Bil f (x) tk terbts di dn b f (x)dx dn d untuk setip t > mk integrl tk wjr didefinisikn sebgi: b b f (x)dx := lim f (x)dx (8) t + t Bil f (x) tk terbts di b dn b t f (x)dx d untuk setip t < b mk b t f (x)dx := lim f (x)dx (9) t b

18 Selnjutny, bil f (x) tk terbts di c, dengn c b mk integrl dipech menjdi du yitu b f (x)dx := c b f (x)dx + f (x)dx (0) c Dn selnjutny digunkn definisi integrl tk wjr sebelumny. Contoh 5. Hitunglh nili integrl tk wjr berikut dengn menggunkn definisi.4 0 dx (x ) 2 3

19 Penyelesin Perhtikn fungsi f (x) = (x ) 2 3 tk terbts di x = dri kiri. Berdsrkn definisi 4 mk diperoleh: 0 (x ) 2 3 t dx = lim t 0 Contoh 6. Selesikn integrl berikut (x ) 2 3 x 2 dx [ dx = lim 3(x ) /3] t t 0 cob kit kerjkn dhulu integrl ini dengn cr bis tnp menggunkn definisi integrl tk wjr. Hsilny, x 2 dx = [ x ] = ( ( )) = 2

20 Integrl ini kelihtnny konvergen, tpi cr ini slh sebb integrn f (x) = tk terbts di x = 0. x 2 Penyelesin 0 x 2 dx = x 2 dx + t 0 x 2 dx = lim dx + lim t 0 x 2 t 0 + t x 2 dx [ ] t [ ] = lim + lim t 0 x t 0 + x = Ternyt integrl tk wjr ini divergen, sebb tk terdefinisi t