BAB I PENDAHULUAN. A. Latar belakang

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN A. Ltr belkng Bnyk orng yng bernggpn bhw Mtemtik itu rumit, kren lsn itulh bnyk orng yng menghindri Mtemtik. Pdhl Mtemtik dpt kit jumpi di dlm kehidupn sehri-hri, dn mu tidk mu kit psti menggunkn Mtemtik. Oleh kren itu sy membut mklh ini dengn mksud membntu pemhmn gr merek tidk menili Mtemtik dlh sesutu yng buruk. Secr khusus dlm ilmu pengethun Aljbr Liner. B. Tujun Mklh ini dibut dengn tujun utm untuk memenuhi Tugs Mndiri mt kulih Aljbr Liner Elementer, yng diberikn oleh dosen sy. Dn tujun berikutny dlh sebgi sumber informsi yng sy hrpkn bermnft dn dpt menmbh wwsn pr pembc mklh ini. BAB II

2 ISI DETERMINAN Determinn : Produk (hsil kli) bertnd dri unsur-unsur mtriks sedemikin hingg bersl dri bris dn kolom yng berbed, kemudin hsilny di jumlhkn. A = det (A) = A. Fungsi Determinn Definisi: Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {1, 2, 3,, n} dlh penyusunn bilngn bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. Contoh: Permutsi dri {1, 2, 3} dlh (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1) Secr umum, bilngn-bilngn pd {1, 2,, n} kn mempunyi n! permutsi. Sub Bhsn Determinn: 1. Menghitung determinn dengn perklin elementer 2. Menghitung determinn dengn opersi bris elementer 3. Sift-sift determinn sutu mtriks 4. Menghitung determinn dengn expnsi kofktor 5. Penyelesin SPL dengn turn crmer 1. Menghitung Determinn dengn Perklin Elementer Pd bgin ini kit kn membhs tentng determinn dn cr mencriny. Determinn merupkn nili yng pling penting dlm perhitungn mtriks. Definisi-definisi mupun teorem yng penting yng berhubungn dengn pencrin mtriks. Definisi 1.

3 Sebuh permutsi dri himpunn bilngn bult positif {1,2,3,....,n} dlh susunn bilngn-bilngn bult ini menurut turn tertentu tnp menghilngkn tnp mengurngi bilngn bult tersebut. Contoh 1. Permutsi dri {1,2} dln (1,2) dn (2,1). Permutsi dri {1,2,3} dlh (1,2,3),(3,1,2),(2,3,1),(2,1,3), (1,3,2),dn (3,2,1). Dri definisi permutsi, pbil d 4 bgin, mk bnykny permutsi dlh 24 buh. Hl ini dpt di hitung dri rumus n. Dpt diliht untuk n = 2, mk d 2 permutsi. Untuk n = 3, mk d 6 = permutsi. Untuk n = 4, mk d 24 = permutsi. Contoh 2. Tentukn jumlh inversi dri permutsi berikut :. (6,5,3,1,4,2) b. (2,4,1,3) c. (1,2,3,4) Penyelesin : Jumlh inversi/pemblik : = 12 Jumlh inversi/pemblik : =3 Tidk d inversi/pemblik dlm permutsi ini Definisi 2. Dlm permutsi, di ktkn terjdi sebuh inversi pbil sebuh bilngn bult yng lebih besr mendhului sebuh bilngn yng lebih kecil. Kit kn menghitung inversi dlm dlm permutsi (2,4,1,3). crny sebuh berikut : Bnyk ny bilngn bult lebih kecil dripd j 1 = 2 dn mengikuti (yitu j 3 = 1), dpt di liht pd permutsi (2,4,1,3). Dlm permutsi tersebut j 1 = 2, j 2 = 4, j 3 = 1, dn j 4 = 3.

4 Bnykny bilngn bult yng lebih kecil dripd j 2 = 4 dn mengikutiny, d du ( yitu j 3 = 1 dn j 4 = 3). Bnykny bilngn bult yng lebih kecil dripd j 3 = 1 dn mengikutiny dlh nol. Sehingg bnykny inversi dlm permutsi ini dlh = 3 Definisi 3. Sebuh permutsi di nmkn permutsi genp jik bnykny inversi dlm permutsi tersebut genp. Seblikny sebuh permutsi di nmkn permutsi gnjil jik bnykny inversi dlm permutsi tersebut gnjil. Permutsi (2,4,1,3) dlh permutsi gnjil kren bnykny inversi dlm permutsi tersebut gnjil.sementr itu,permutsi (1,2,3,4,5,6) dlh permutsi genp. Tbel berikut merupkn klsifiksi berbgi permutsi dri {1,2,3} sebgi genp tu gnjil Permutsi Jumlh Inversi Klsifiksi (1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) Genp Gnjil Gnjil Genp Genp Gnjil Definisi 4.

5 Hsil perklin elementer mtriks A yng berukurn n x n dlh hsil perklin elemen-elemen tersebut bersl dri bris yng sm tu kolom yng sm. Hsil perklin elemen mtriks A yng berukurn 4 x 4 dln Sementr itu, 11, 12, 23, 34 dlh bukn hsil perklin elementer sebb bentuk 11, 12, 23, 34 mempunnyi elemen pd bris yng sm, yitu elemen 11 dn 12 terletk pd bris yng sm. Cr mencri seluruh hsil perklin elementer dlm mtriks A yng berukurn n x n dlh sebgi berikut. 1. Tulislh bentuk 1., 2., 3.,..., n. 2. Tnd dlm bentuk tersebut di gnti dengn seluruh permutsi (j 1, j 2, j 3,...j n ) mk tentulh di dpt n. Hsil perklin elementer Dipunyi mtriks = mk kit tuliskn 1., 2., 3. Dn permutsi-permutsi dri n = 3 dlh : (1,2,3,) (2,1,3) (3,1,2) (1,3,2) (2,3,1) (3,2,1) Hsil perklin elemenny dlh : (1,2,3) (2,1,3) Definisi 5.

6 Sebuh hsil perklin elementer bertnd dri A dlh sebuh hsil perklin elementer ( 1., 2.,... n ) yng di klikn dengn + 1 jik permutsiny genp dn diklikn dengn 1 jik permutsiny gnjil. Untuk mtrisk A yng berukurn 3 x 3,mk hsil perklin bertnd dri dlh (kren permutsi yng bersesuin dlh (1,3,2) yng merupkn permutsi gnjil. Definisi 6. A dlh mtriks bujur sngkr. Determinn mtriks A yng di simbolkn det (A) dpt di definisikn sebgi jumlhn semu hsil perklin elementer bertnd dri mtriks A. Definisi di ts pbil di notsikn kn berbentuk : Det(A) = ± 1 j 1 2 j 2 3 j 3... n j n (j 1 j 2 j n ) Hsil untuk pencrin determinn kn di jbrkn dlm bgin berikut ini : Untuk n = 2 A = A 11 A 12 permutsi A invers hsil perklin elementer bertnd (1,2) (2,1) Jdi,det (A) = Menghitung Determinn dengn Opersi Bris Elementer Determinn sutu mtriks dpt di hitung dengn menggunkn opersi bris elementer yng telh di perkenlkn pd bb sebelumny.perhitungn

7 determinn sutu mtriks dpt di lkukn dengn mudh pbil kit mengenl sift-sift tu teorem yng berhubungn dengn determinn. Teorem-teorem yng berhubungn deng determinn dlh sebgi berikut : Teorem 1. Apbil A dlh sutu mtriks yng berukurn n x n dn memut sebuh bris (kolom) yng elemeny semu nol,mk det(a) = det = Teorem 2. Apbil A dlh sutu mtriks yng berukurn n x n dn terdpt 2 bris (kolom) yng sm mk,det A = det = Teorem 3. Jik A dlh mtriks segitig (ts/bwh) yng berukurn n x n,mk det(a) dlh hsil dri perklin elemen-elemen di gonl utm,yitu det (A) = nn

8 = (1)(2)(-3)(2) = - 12 det = (1)(-1)(-1)(2)(1) =2 Teorem 4. Apbil A1 dlh mtriks sebgi hsil dri mtriks A yng sebuh bris/kolomny di klikn dengn konstnt k,mk det A 1 ) = kdet(a) Bil A 2-1 2,mk kit dpt menghitung det(b) Untuk B Jels di hitung bhw det (A) = 15,mk det (B) = 30 (sebb mtriks B di peroleh dri A dengn bris ke du dri mtriks A di klikn 2). Teorem 5. Apbil B 1 dlh mtriks sebgi hsil dri mtriks B ( bil du bris mtriks B di pertukrkn letk temptny,mk det(b 1 ) = -det (B). Cob tunjukkn dengn perklin elementer bertnd pkh benr : det = -det = Teorem 6. Jik C 1 dlh mtriks yng di hsilkn bil sebuh keliptn sutu konstnt k 0 dri 1 bris (kolom) mtriks C yng di tmbhkn ke bris tu (kolom) yng lin,mk det (C 1 ) = det (C) det = det = 15

9 Sebb mtriks di ts di hsilkn dri mtriks A dengn opersi bris elementer yng ke tig, yitu R 2 R 2 + (2) R 1 tu perklin konstnt (2) terhdp bris stu yng di tmbhkn ke bris 2. Dn khirny dri teorem 1 smpi dengn teorem 6, kit kn dpt menghitung determinn mtriks dengn lebih cept secr mnul. 3. Sift-Sift Determinn Sutu Mtriks Pd bgin berikut ini kn di bhs beberp sift determinn sebgi lnjutn dri ke enm sift determinn yng telh di berikn pd bgin sebelumny. Teorem 1. Bil A dlh mtriks yng berukurn n x n,mk : Det (A T ) = det (A) Elemen mtriks ini menggunkn perklin elementer bertnd det dn det Teorem 2. Mislkn A,A 1 dn A 2 dlh mtriks yng berukurn n x n yng berbed di dlm sebuh bris/kolom sj (ktnknlh bris/kolom b) dn bris/kolom b dri A 2 di peroleh dri penjumlhn elemen-elemen yng bersesuin di dlm bris/kolom b dri mtriks A dn mtriks A 1,mk : Det (A 2 ) = det (A) + det (A 1 )

10 A= A 1 = A 2 = Teorem 3. Jik A dn B dlh mtriks bujur sngkr dengn ukurn n x n,mk det(ab) = det (A) + det (B) A= B = Teorem 4. Sebuh mtriks A yng berukurn n x n merupkn mtriks invertilbe jik dn hny jik det (A) 0. Teorem 5. Jik A merupkn mtriks invertible,mk det (A -1 ) = 1 det (A) Teorem 6. Diberikn E dlh mtriks elementer yng berukurn n x n. ) Jik E di hsilkn dri pertukrn 2 bris I n,mk det (E) = -1. b) Jik E di hsilkn dri menglikn stu bris I n dengn konstnt k,mk det (E) = k. c) Jik E di hsilkn dri penmbhn k kli bris kepd bris yng lin dri I n,mk det (E) = Menghitung Determinn dengn Ekspnsi Kofktor

11 Nili determinn sutu mtriks dpt jug di hitung dengn menggunkn ekspnsi kofktor sebeelum kit menghitung determinn sutu mtriks.nmun sebelum itu,perhtikn terlebih dhulu beberp definisi dn istilh-istilh yng berhubungn dengn kosep perhitungn tersebut. Definisi 1. Bil A dlh sebuh mtriks bujur sngkr,mk minor elemen ij (disimbolkn dengn M ij ) di definisikn sebgi determinn dri submtriks yng d setelh bris ke i dn kolom ke j di coret dri A. Nili (-1) i+j di tuls sebgi C ij dn dinmkn kofktor elemen ij. Jdi, C ij = (-1) i+j M ij. Diberikn A ,mk M 32 = det = det 1 1 = (1)(-3)-(1)(-1) = -3 += Dn C 32 = (-1) 3+2 M 32 = (-1)(-2) = 2 Jdi, C 32 = 2 dn M 32 = -2. Contoh lin : Hitunglh determinn mtriks A berikut ini : A = Dengn menggunkn ekspnsi kofktor bris 1 ekspnsi kofktor bris 2. Jwb : Perhitungn determinn dengn ekspnsi kofktor bris 1 dlh sebgi berikut : Det(A) = (1)

12 = (-2)(-8) + 2(-2) -1(2) = =10 Definisi 2. (Mtriks Kofktor) Jik A dlh sembrng mtriks n x n dn C ik dlh kofktor dri ij,mk mtriks dengn bentuk : C 11 C 21 C C 1n C C 2n C n1 C n2 C nn Dinmkn mtriks kofktor dri mtriks A. Reduksi Bris Determinn sebuh mtriks dpt di hitung dengn mereduksi mtriks menggunkn opersi bris elementer sehingg mtriks berd pd bentuk eselon bris. Defenisi 3. Mtriks djoin A di simbolkn dengn Ajd(A) dlh trnspose dri mtriks kofktor A. Definisi 4. Jik A dlh mtriks yng berukurn n x n dn A dlh mtriks yng invertibel,mk : A -1 = 1 dj(a) det(a) Deng kt lin kit dpt mencri A -1 dengn menggunkn det (A) dn dj (A). Contoh Tentukn A -1,bil A = Dengn menggunkn Adj (A).

13 Jwb : mk Sedngkn pbil di hitung,mk di dpt det (A) = 43 sehingg : /43-9/43 34/43 A -1 =1/ = -8/43 7/43-18/ Contoh 2. A = Ekspnsi mellui bris pertm : Det(A) = 11 C C C 13 Atu ekspnsi mellui bris ketig : Det(A) = 31 C C C 33 Atu ekspnsi mellui kolom kedu : Det(A) = 12 C C C Penyelesin SPL dengn Aturn Crmer Kit dpr menggunkn konsep determinn untuk mendptkn penyelesin SPL.crny dlh dengn menggunkn turn Crmer. Aturn Crmer :

14 Bil Ax = B dlh SPL yng terdiri dri n persmn linier dengn n vribel yng tidk di kethui dn det (A) 0,mk SP; tersebut mempunyi penyelesin tunggl dn penyelesiny dlh : x 1 = det (A 1 ) x 2 = det (A 2 ) x 3 = det (A n ) det (A) det(a) det(a) Dengn mtriks Aj,j = 1,2,4,....,n dlh mtriks yng di peroleh dengn menggnti elemen kolom j dri mtriks A dengn mtriks : b 1 b 2 B= b 3 Dipunyi SPL x + y -2z =1 SPL ini bersesuin dengn SPL bentuk A x =B 2x y + z = 2 x -2y 4z = x 1 1 Dengn A = x = x 2 dn B = x bn Det (A) = det =21 ;det(a 1 ) = det = Det (A 2 )=det =25 ;det(a 3 )=det = Jdi dengn menggunkn turn Crmer di dpt : x = det(a 1 ) = 26 y = det(a 2 ) = 25 z = det(a 3 ) = 15 det(a) 21 det(a) 21 det(a) 21

15 BAB III PENUTUP A. Kesimpuln Determinn dlh sutu fungsi tertentu yng menghubungkn sutu bilngn rel dengn sutu mtriks bujursngkr. Determinn memiliki penyelesin, yitu himpunn ngk yng kn memenuhi sutu determinn mtriks. Ad beberp mcm penyelesin determinn di ntrny dengn Ekspnsi Kofktor, Adjoin, Mtirks Segitig, Metode Crmer dn metode metode linny, dn yng pling sering di gunkn yitu dengn Ekspnsi Kofktor. B. Srn Dlm menyusun mklh ini, penulis menydri sepenuhny bhw isi mklh ini belumlh sempurn dn msih kurng bik mengeni mteri mupun cr penulisnny. Oleh kren itu, penulis sngt menghrpkn kritik dn srn yng siftny membngun dri pihk lin yng dpt menyempurnkn mklh ini. Dn lngkh bikny jug pbil kit terus mengembngkn berbgi mklh-mklh tentng Pengethun Aljbr Linier Elementer di tengh-tengh msyrkt lus secr khusus dlm mhsisw gr lebih mengerti bgimn lngkh-lngkh yng lebih mudh dlm memechkn sutu mslh dlm sutu determinn pd Aljbr Linier.

16 DAFTAR PUSTAKA Buku : Dsr-Dsr Aljbr Liner Jilid 1 Dsr-Dsr Aljbr Liner Jilid 2 Aljbr Liner Elementer Sumber Lin :