A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan
|
|
|
- Fanny Hartono
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 (Oleh: Winit Sulndri, M.Si) A. Kompetensi Dsr : Menyelesikn sistem persmn liner B. Mteri :. Sistem Persmn Liner dn Mtriks. Determinn C. Indiktor :. Mendefinisikn persmn liner dn sistem persmn liner. Mengenl ergi entuk mtriks dn opersi dlm mtriks. Menyjikn sistem persmn liner dlm entuk mtriks dn menyelesiknny dengn opersi ris elementer. Menyelesikn sistem persmn liner menggunkn metode eliminsi Guss dn Guss-Jordn. Menentukn invers mtriks menggunkn opersi ris elemnter. Menyelesikn sistem persmn liner menggunkn metode invers mtriks 7. Menentukn determinn dri sutu mtriks 8. Menyelesikn sistem persmn liner menggunkn turn Crmer.
2 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / A. Pengntr BAB SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIK Dlm idng kimi, sistem persmn liner diutuhkn untuk menyelesikn perhitungn terkit dengn prinsip kesetimngn kimi. Segi contohny, pd proses penympurn toluene C 7 H 8 dn nitric cid HNO yng menghsilkn trinitrotoluene C 7 H O N. Berdsrkn persmn kimi diperoleh eerp persmn liner C 7 H 8 + yhno zc 7 H O N + wh O untuk unsur C : 7 = 7z untuk unsur H : 8 + y = z + w untuk unsur N : y = z untuk unsur O : y = z + w Keempt persmn di ts di seut dengn persmn liner kren setip vrielny mempunyi pngkt stu, dn ukn merupkn fungsi trigonometri, logritm mupun eksponensil. Himpunn dri eerp persmn liner yng jumlhny erhingg diseut dengn sistem persmn liner. Secr umum sutu sistem serng dri m persmn liner dengn n vriel (fktor yng tidk dikethui) dpt ditulis segi n n = n n = m + m + + mn n = m Dengn,,, n,, mn dn,,, n merupkn konstnt, sedngkn,,, n merupkn vriel yng dicri. Dlm ini, kit kn meliht hw untuk menyelesikn sutu sistem persmn liner di ts, seluruh informsi yng diutuhkn untuk memperoleh penyelesinny terngkum dlm mtriks m m n n mn m Jurusn Kimi FMIPA UNS hl
3 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / Dn penyelesinny dpt diperoleh dengn melkukn opersi yng sesui terhdp mtriks ini. Metode yng digunkn dlh. metode mtriks yng diperesr. metode eliminsi Guss. metode invers mtriks. turn Crmer Seelum memhs leih lnjut mengeni metode mtriks yng diperesr, eliminsi Guss dn invers mtriks, terleih dhulu kit hs mengeni mtriks. Untuk metode keempt kn dihs pd erikutny, yitu pd pemhsn determinn. B. Mtriks Mtriks dlh sutu kumpuln dt yng disusun menurut ris dn kolom dn dituliskn di dlm tnd kurung [ entri/unsur. Berikut dlh contoh mtriks A m ]. Bilngn-ilngn dlm mtriks diseut dengn m Mtriks A dlh mtriks erukurn m n, m menunjukkn nykny ris dn n menunjukkn nykny kolom. Mtriks A dpt jug dinotsikn dengn [ ij ] mn tu [ ij ]. Entri yng terletk pd ris i dn kolom j pd mtriks A dinytkn segi ij. Trnspose dri mtriks A dinytkn dengn dengn A T didefinisikn segi mtriks n m yng didptkn dengn mempertukrkn ris-ris dn kolom-kolom dri A; sehingg kolom pertm dri A T dlh ris pertm dri A, kolom kedu dri A T dlh ris kedu dri A, dn seterusny, sehingg diperoleh n n mn A T n n m m mn Sutu mtriks A dengn jumlh ris n dn jumlh kolom n diseut mtriks ujursngkr ordo n dn entri,,, nn diseut segi digonl utm. Jik A dlh seuh mtriks ujursngkr mk trce dri A, yng dinytkn segi tr(a), didefinisikn segi jumlh entri-entri pd digonl utm A. Jurusn Kimi FMIPA UNS hl
4 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / Terdpt eerp opersi dlm mtriks, yitu. Penjumlhn Mtriks jumlhn dri du mtriks A + B (A dn B mempunyi ukurn sm) dlh mtriks dengn entri-entriny merupkn jumlhn dri entri-entri A dengn entrientri yng ersesuin pd B.. Pengurngn (selisih) Selisih A B (A dn B erukurn sm) dlh mtriks yng diperoleh dengn mengurngkn entri-entri pd A dengn entri-entri yng ersesuin pd B.. Perklin. Jik A dlh mtriks m r dn B dlh mtriks r n mk hsilkli AB dlh mtriks m n yng entri-entriny ditentukn segi erikut. Untuk mencri entri pd ris i dn kolom j dri AB, pishknlh ris i dri mtriks A dn kolom j dri mtriks B. Klikn entri-entri yng ersesuin dri ris dn kolom terseut dn kemudin jumlhkn hsil yng diperoleh. Contoh : A = AB = dn B = diperoleh dri (-).(-) +.. Jik A dlh mtriks serng dn c dlh sclr serng, mk hsilkliny ca dlh mtriks yng diperoleh dri perklin setip entri pd mtriks A dengn ilngn c. Mtriks ca diseut segi keliptn sklr dri A. Notsi : Jik A = [ ij ] mk (ca) ij = c(a) ij = c ij.. Perklin lok Jik A dn B diprtisi menjdi sejumlh sumtriks mislny A = A A A A B B dn B = B B mk AB dpt dinytkn segi Jurusn Kimi FMIPA UNS hl
5 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / AB = A A B B A A B B A A B B A A dengn syrt ukurn-ukurn sumtriks A dn B sedemikin rup sehingg opersiopersi yng diseutkn dpt dilkukn. Metode perklin mtriks yng diprtisi ini diseut segi perklin lok. B B C. Bentuk Mtriks Dri Sutu Sistem Liner Perklin mtriks memiliki pliksi penting dlm sistem persmn liner. Perhtikn sistem yng terdiri dri m persmn liner dengn n fktor yng tidk dikethui erikut ini n n = n n = m + m + + mn n = m Kren du mtriks dlh setr jik dn hny jik entri-entri yng ersesuin dlh setr, mk kit dpt menukr m persmn dlm sistem ini dengn persmn mtriks tunggl m m n n mn n n mn Mtriks m pd rus kiri persmn dpt ditulis segi hsilkli, sehingg kit memperoleh m m n n mn n Jik kit menyeut mtriks-mtriks di ts msing-msing segi A, dn, mk sistem sli yng terdiri dri m dri persmn dengn n fktor yng tidk dikethui telh digntikn dengn persmn mtriks tunggl erikut ini. A = Mtriks A pd persmn ini diseut mtriks koefisien dri sistem terseut. Mtriks yng diperesr dri sistem terseut diperoleh dengn menggungkn ke A segi kolom terkhir, sehingg entuk mtriks yng diperesr menjdi m m Jurusn Kimi FMIPA UNS hl
6 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / [A ] =. Metode Mtriks Yng Diperesr m m n n mn m Sutu sistem persmn liner yng terdiri dri m persmn liner dengn n fktor yng tidk dikethui dpt dipersingkt dengn hny menuliskn deretn ilngnilngn dlm jjrn empt persegi pnjng: m Ini diseut mtriks yng diperesr dri sistem terseut. Contoh : m Mtriks yng diperesr untuk sistem persmn dlh + + = = + - = 9 Ketik menyusun sutu mtriks yng diperesr, fktor-fktor yng tidk dikethui hrus n n mn ditulis dengn urutn yng sm untuk setip persmn dn konstnt hrus erd pd gin pling knn. m Metode dsr untuk menyelesikn sistem persmn liner dlh dengn menggntikn sistem yng d dengn sutu sistem ru yng memiliki himpunn solusi yng sm tpi penyelesinny leih mudh. Sistem ru ini isny diperoleh dengn mellui eerp lngkh dengn cr menerpkn tig jenis tipe opersi erikut untuk mengeliminsi fktor-fktor yng tidk dikethui secr sistemtis.. menglikn persmn dengn konstnt tk nol. menukrkn posisi du persmn. menmhkn keliptn stu persmn ke persmn linny. Jurusn Kimi FMIPA UNS hl
7 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / Contoh. Menyelesikn sistem persmn liner dengn melkukn opersi terhdp persmn dlm sistem. + + = = + - = Lngkh-lngkh yng dimil untuk menyelesikn persmn di ts dlh. tmhkn - kli persmn petm ke persmn kedu untuk memperoleh + + = 9-7 = =. tmhkn - kli persmn pertm ke persmn ketig untuk memperoleh + + = 9-7 = -7 - = -7. klikn persmn kedu dengn ½ untuk memperoleh + + = 9 7/ = -7/ - = -7. tmhkn - kli persmn kedu ke persmn ketig untuk memperoleh + + = 9 7/ = -7/ - / = -/. klikn persmn ketig dengn - untuk memperoleh + + = 9 7/ = -7/ =. tmhkn - kli persmn kedu ke persmn pertm untuk memperoleh + / = / 7/ = -7/ = 7. tmhkn -/ kli persmn ketig ke persmn pertm dn 7/ kli persmn ketig ke persmn kedu untuk memperoleh = = = Jurusn Kimi FMIPA UNS hl 7
8 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / jdi diperoleh penyelesin =, =, dn =. Selnjutny kn kit ndingkn lngkh-lngkh di ts dengn menggunkn opersi ris elementer. Kren ris-ris (urutn horizontl) dri mtriks yng diperesr ersesuin dengn persmn-persmn dlm sistem yng erkitn, opersi-opersi dlm persmn di ts ini dengn opersi-opersi erikut pd ris-ris mtriks yng diperesr.. menglikn ris dengn konstnt tknol. menukrkn posisi du ris. menmhkn keliptn stu ris ke ris linny. Inilh yng diseut dengn opersi ris elementer. Contoh. Menyelesikn sistem yng sm dengn contoh seelumny dengn melkukn opersi terhdp ris pd mtriks yng diperesr. Sistem persmn liner terleih dhulu disjikn dlm mtriks yng diperesr, yitu 9 Lngkh-lngkh yng dilkukn untuk menyelesikn sistem di ts dlh. tmhkn - kli ris pertm ke ris kedu untuk memperoleh tmhkn - kli ris pertm ke ris ketig untuk memperoleh klikn ris kedu dengn ½ untuk memperoleh 9 7 / 7 / 7. tmhkn - kli ris kedu ke ris ketig untuk memperoleh Jurusn Kimi FMIPA UNS hl 8
9 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / 7 / / 9 7 / /. klikn ris ketig dengn - untuk memperoleh 7 / 9 7 /. tmhkn - kli ris kedu ke ris pertm untuk memperoleh / 7 / / 7 / 7. tmhkn -/ kli ris ketig ke ris pertm dn 7/ kli ris ketig ke ris kedu untuk memperoleh jdi diperoleh penyelesin =, =, dn =. D. Metode Eliminsi Guss Metode eliminsi Guss dlh sutu prosedur yng didsrkn pd ggsn untuk mereduksi mtriks yng diperesr dri sutu sistem menjdi mtriks yng diperesr lin yng cukup sederhn sehingg penyelesin sistem dpt diperoleh hny dengn melkukn inspeksi terhdp sistem terseut. Pd contoh sutu sistem liner dengn fktor-fktor yng tidk dikethui,, dn menggunkn reduksi mtriks yng diperesr sehingg diperoleh Atu dengn kt lin diperoleh penyelesin =, =, dn =. Ini merupkn contoh mtriks dlm entuk eselon ris tereduksi. Sift-sift dri mtriks ini dlh. Jik stu ris tidk seluruhny terdiri dri nol, mk ilngn tk nol pertm pd ris itu dlh. Bilngn ini diseut utm.. Jik terdpt ris yng seluruhny terdiri dri nol, mk ris-ris ini kn dikelompokkn ersm pd gin pling wh dri mtriks. Jurusn Kimi FMIPA UNS hl 9
10 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil /. jik terdpt du ris erurutn yng tidk seluruhny terdiri dri nol, mk utm pd ris yng leih rendh terdpt pd kolom yng leih knn dri utm pd ris yng leih tinggi.. setip kolom yng memiliki utm memiliki nol pd tempt-tempt linny. Mtriks yng memiliki tig sift pertm di ts merupkn mtriks dlm entuk eselon ris. Jdi mtriks dlm entuk eselon ris tereduksi sudh psti merupkn mtriks dlm entuk eselon ris, tetpi tidk selikny. Contoh. Mislkn sutu mtriks yng diperesr dri sutu sistem persmn liner telh direduksi mellui opersi ris menjdi entuk eselon ris tereduksi erikut ini. Selesikn sistem terseut... Penyelesin.. sistem persmn yng ersesuin dlh + d = - + d = c + d = kren,, c ersesuin dengn utm pd mtriks yng diperesr mk ketigny diseut segi vriel utm. Vriel-vriel yng ukn utm (dlm hl ini d) diseut segi vriel es. Dengn menyelesikn vrielvriel utm dlm entuk vriel es kn diperoleh = - d = d c = - d dri entuk persmn-persmn ini terliht hw dpt kit tetpkn nili serng untuk vriel es d, mislny t, yng selnjutny kn menentukn nili vriel-vriel utm,, dn c. Jdi kn terdpt tkterhingg nykny penyelesin dengn penyelesin umumny dinytkn dlm rumus-rumus = - - t, = t, c = t, dn d = t.. persmn terkhir dlm sistem persmn yng ersesuin dlh + + c = Kren persmn ini tidk dpt dipenuhi, mk sistem ini tidk memiliki solusi. Jurusn Kimi FMIPA UNS hl
11 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / Jurusn Kimi FMIPA UNS hl METODE ELIMINASI. Berikut dlh prosedur eliminsi thp demi thp yng dpt digunkn untuk mereduksi mtriks menjdi entuk eselon ris tereduksi. Untuk memeri gmrn supy mudh diphmi kit mil seuh contoh, yitu 8 7 Lngkh. Perhtikn kolom pling kiri yng tidk seluruhny terdiri dri nol. 8 7 Lngkh. Jik perlu, pertukrkn ris pling ts dengn ris lin untuk menemptkn entri tknol pd punck kolom yng kit peroleh pd lngkh. 7 8 B B Lngkh. Jik entri yng kini erd pd punck kolom yng kit peroleh pd lngkh dlh, klikn ris pertm dengn / sehingg terentuk utm. 7 ½ B Lngkh. Tmhkn keliptn yng sesui dri ris pling ts ke ris-ris di whny sehingg semu entri di wh utm menjdi nol B B Lngkh. Sekrng tutuplh ris ts dri mtriks dn mulilh lgi dengn lngkh pd sumtriks yng tersis. Lnjutkn lngkh ini hingg seluruh mtriks erd dlm entuk eselon ris Tutup ris pling ts kolom tknol pling kiri dlm sumtriks
12 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / Jurusn Kimi FMIPA UNS hl / -/ / 7 / / 7 / ris pling ts sumtriks ditutup kolom tknol pling kiri dlm sumtriks ru 7 / Keseluruhn mtriks kini erd dlm entuk eselon ris. Untuk memperoleh entuk eselon ris tereduksi kit memutuhkn lngkh tmhn erikut. Lngkh. Muli dengn ris tknol terkhir dn ergerk ke ts, tmhkn keliptn yng sesui dri tip ris di tsny untuk memperoleh nol di ts utm. B + 7/ B B - B 7 B + B Mtriks terkhir di ts erd dlm entuk eselon ris tereduksi. Lngkh Lngkh menghsilkn mtriks dlm entuk eselon ris, prosedur ini diseut dengn ELIMINASI GAUSS. Sedngkn prosedur smpi Lngkh menghsilkn entuk eselon ris tereduksi, diseut dengn ELIMINASI GAUSS-JORDAN. Contoh. Selesikn dengn menggunkn eliminsi Guss-Jordn + + = = -
13 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / Jurusn Kimi FMIPA UNS hl + + = = Penyelesin. Mtriks yng diperesr untuk sistem terseut dlh B 8 8 B B / B / B B / B + B / Sistem persmn yng ersesuin dlh = + = = / Dengn menyelesikn vriel utm kit peroleh = = - = / Jik kit menetpkn r, s, dn t msing-msing untuk vriel-vriel es,, dn mk penyelesin umumny dinytkn dlm rumus-rumus = -r - s t, = r, = -s, = s, = t, dn = / SUBSTITUSI BALIK. Dlm menyelesikn sutu sistem persmn liner kdng-kdng leih dipilih penggunn eliminsi Guss untuk menguh mtriks yng diperesr menjdi entuk eselon ris tnp menyelesiknny dengn tunts hingg didptkn entuk B - B B B B - B B B
14 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / eselon ris tereduksi. Jik lngkh ini dipilih, selnjutny sistem persmn yng ersesuin dpt diselesikn dengn metode yng diseut sustitusi lik. Contoh 7. Bentuk eselon ris dri mtrik yng diperesr pd contoh dlh / Untuk menyelesikn sistem persmn yng ersesuin = + + = = / lngkh-lngkh yng dilkukn dlh Lngkh. Selesikn persmn-persmn untuk vriel utm = = - - = / Lngkh. Muli dri persmn pling wh dn ergerk ke ts, erturut-turut lkukn sustitusi setip persmn ke dlm persmn tsny. Sustitusi = / ke persmn kedu menghsilkn = = - = / Sustitusi = - ke persmn pertm menghsilkn = = - = / Lngkh. Tetpkn nili-nili serng untuk vriel-vriel es jik d. Jik kit menetpkn r, s, dn t msing-msing untuk vriel-vriel es,, dn mk penyelesin umumny dinytkn dlm rumus-rumus = -r - s t, = r, = -s, = s, = t, dn = / Ini sesui dengn penyelesin pd contoh. Jurusn Kimi FMIPA UNS hl
15 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / E. Metode Invers Mtriks Jik A dlh mtriks ujursngkr, dn jik terdpt mtriks B yng ukurnny sm sedemikin rup sehingg AB = BA = I, mk A diseut dpt dilik (mempunyi invers) dn B diseut invers dri A. Jik mtriks B tidk dpt didefinisikn, mk A dinytkn segi mtriks singulr. Contoh mtrik singulr : Sift-sift invers:.. Jik B dn C kedu-duny dlh invers dri mtriks A, mk B = C.. Mtriks A = c d sesui dengn rumus A - = d - c dpt dilik jik d c, dn inversny dpt dihitung d - c d - = d - c c d - c d - c d - c. Jik A dn B dlh mtriks-mtriks yng dpt dilik dengn ukurn yng sm, mk AB dpt dilik dn (AB) - = B - A -. METODE MENENTUKAN A -. Untuk mencri invers dri mtriks A yng dpt dilik, kit hrus mencri sutu urutn opersi ris elementer yng mereduksi A menjdi identits dn melkukn urutn opersi yng sm terhdp I untuk memperoleh A -. Contoh 8. Tentukn invers dri 8 Penyelesin. Mtriks A direduksi menjdi mtriks identits mellui opersi-opersi ris dn secr simultn melkukn opersi yng sm terhdp I untuk memperoleh A -. Crny dlh mtriks dengn entuk [A I] Mtriks A (sisi kiri) direduksi menjdi I dengn menggunkn opersi-opersi ris sehingg diperoleh [I A - ] Jurusn Kimi FMIPA UNS hl
16 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / Jurusn Kimi FMIPA UNS hl Penghitungn yng dilkukn dlh segi erikut. 8 B B dn B B B + B -B B + B dn B B 9 B B Jdi A - = 9 Sutu mtriks A yng tidk dpt dilik, tidk dpt direduksi menjdi mtriks I mellui opersi ris elementer. Dengn kt lin entuk eselon ris tereduksi dri A memiliki pling tidk stu ris ilngn nol. Jdi jik terdpt stu ris ilngn nol sj pd sisi kiri mk dpt disimpulkn hw mtriks terseut tidk dpt dilik dn perhitungn dpt dihentikn Contoh 9. Dptkn invers mtriks A =
17 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / Jurusn Kimi FMIPA UNS hl 7 Penyelesin B B dn B + B 9 8 B + B Kren terdpt stu ris ilngn nol pd sisi kiri mk A tidk dpt dilik (A tidk mempunyi invers). Penyelesin Sistem Liner Dengn Inversi Mtriks. Jik A dlh sutu mtriks n n yng dpt dilik, mk untuk setip mtriks, n, sistem persmn A = memiliki tept stu solusi, yitu = A -. Contoh. Tentukn penyelesin sistem liner erikut dengn menggunkn A = + + = + 8 = 7 Penyelesin. Dlm entuk mtriks sistem di ts dpt ditulis segi A = di mn A = 8 = = 7 Berdsrkn Contoh 8, invers dri mtrik A dlh A - = 9 Dengn demikin penyelesin dri sistem ini dlh = A - = 9 7 = tu =, = - dn =.
18 [Sistem Persmn Liner Dn Mtriks] Semester gnjil / CATATAN : Ingt hw metode pd contoh di ts hny erlku pd sistem yng memiliki persmn senyk fktor yng tidk dikethui dn mtriks koefienny dpt dilik. Referensi:. Anton, H. nd C. Rorres,, Elementry Liner Alger, 9 th ed, John Wiley & Sons, Inc.. Jurusn Kimi FMIPA UNS hl 8
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :
MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
Sistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
Sudaryatno Sudirham. Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Sudrytno Sudirhm Mtriks Dn Sistem Persmn inier hn Kulih Teruk dlm formt pdf tersedi di www.uku-e.lipi.go.id dlm formt pps ernimsi tersedi di www.ee-cfe.org Mtrik dlh susunn tertur ilngn-ilngn dlm ris
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 3
Aljbr Linier & Mtriks Ttp Muk Eliminsi Guss-Jordn Sistem persmn linier dengn n vribel dn m persmn secr umum dinytkn sbg: Sistem persmn linier tsb dpt dinytkn dlm bentuk mtriks sbb: A x X = b dengn A dlh
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
BAB 2 MATRIKS. ( ) merupakan array dimana array adalah susunan objek dalam baris.
BB MTRIKS Pengertin ( -) merupkn rry imn rry lh susunn ojek lm ris. merupkn vektor imn vektor lh susunn ojek lm kolom. 8 kolom. Ji: merupkn mtriks imn mtriks lh susunn ojek lm ris n rry pt iseut jug mtriks
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I
DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Sistem persmn ditemukn hmpir di semu cng ilmu pengethun Dlm idng ilmu ukur sistem persmn diperlukn untuk mencri titik potong eerp gris yng seidng, di idng ekonomi tu
BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn
SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Integrl Tk Tentu dn Integrl Tertentu Pengertin Integrl Jik F dlh fungsi umum yng ersift F = f, mk F merupkn ntiturunn tu integrl dri f. Pengintegrln fungsi f terhdp dinotsikn segi erikut : f d F c notsi
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt
BAB 3 MATRIKS, SISTEM PERSAMAAN LINEAR, DAN DETERMINAN
iktt Kulih EL- Mtemtik Teknik I BB MTRIKS, SISTEM PERSMN LINER, N ETERMINN Petemun ke- Pokok/Su Pokok Bhsn Tuun Pemelrn Mtriks, Sistem Persmn Liner, dn eterminn Mtriks dn opersin Sistem Persmn Liner; Eliminsi
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
Hendra Gunawan. 30 Oktober 2013
MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester I, 2/24 Oktoer 2 Ltihn. Fungsi g =,, terintegrlkn pd [, ]. Nytkn integrl tentu g pd [, ] segi limit jumlh Riemnn dengn prtisi reguler, dn hitunglh niliny. //2 c Hendr
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2
GRMMR CONTEXT-FREE DN PRING entuk umum produksi CFG dlh :, V N, (V N V T )* nlisis sintks dlh penelusurn seuh klimt (tu sentensil) smpi pd simol wl grmmr. nlisis sintks dpt dilkukn mellui derivsi tu prsing.
Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :
RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
DETERMINAN dan INVERS MATRIKS
// DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.
Sistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt
Matriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.
1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut
Persamaan Linier Simultan II
e-tp.u.c.id Persmn Linier Simultn II Arif Hidyt TPI44 Mtemtik Industri Eliminsi Guss * ) / ( ) / ( / * Forwrd Elimintion Bck Sustitution......... E E E Eliminsi Guss Proses Forwrd Elimintion :. Eliminsikn
LEMBAR KERJA SISWA. Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B.
LEMBAR KERJA SISWA Juul (Mteri Pokok) : Pengertin, Kesmn, Trnspos, Opersi n Sift Mtriks Mt Peljrn : Mtemtik Kels / Semester : XII / Wktu : menit Stnr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor n trnsformsi
E-LEARNING MATEMATIKA
MOUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYAIN EKO RAHARJO, M.P. NIP. 7 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn IPA BLU UNY TA Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor./H./PL/ Tnggl Juli
02. OPERASI BILANGAN
0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Stndr Kompetensi Memhmi dn menggunkn turn dn sift sert mnipulsi Aljr dlm pemechn mslh ng erkitn dengn entuk pngkt, kr dn logritm. Kompetensi Dsr Menggunkn sift, turn
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &
PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (,
Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal
Relsi Ekuivlensi dn Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Semester Gnjil 01 Jum t, 1.11.01 Dosen pengsuh: Kurni Sputr ST, M.Sc Emil: kurni.sputr@gmil.com Jurusn Informtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
OSN 2015 Matematika SMA/MA
Sol 5. Mislkn,, c, d dlh ilngn sli sehingg c d dn d c. Buktikn hw () (cd) mx{,}. Jw: Klim hw c. Jik = 1 mk jels memenuhi pernytn. Mislkn p prim dn = p t s dengn p s. Untuk menunjukkn hw c cukup kit tunjukkn
(c) lim. (d) lim. (f) lim
FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s
SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika
Konsep yng erkitn dengn : www.ujinnsionl.we.id Ringksn Teori Ujin Nsionl 011 Sekolh Menengh Ats / Mdrsh Aliyh IPA SMA / MA IPA Mt Peljrn : Mtemtik Brisn dn Deret = U = S 1 1 U n = S n S n1 untuk n =, 3,
VEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI
Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm
Tiara Ariqoh Bawindaputri TIP / kelas L
Tir Ariqoh Bwindputri 500008 TIP / kels L INTEGRAL Integrl Tk tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C Untuk
PERTEMUAN 4 TEORI BAHASA DAN OTOMATA [TBO]
![PERTEMUAN 4 TEORI BAHASA DAN OTOMATA [TBO]](/thumbs/65/53261057.jpg "PERTEMUAN 4 TEORI BAHASA DAN OTOMATA [TBO]")
PERTEMUAN 4 TEORI BAHASA DAN OTOMATA [TBO] Jenis FSA Deterministic Finite Automt (DFA) Dri sutu stte d tept stu stte erikutny untuk setip simol msukn yng diterim Non-deterministic Finite Automt (NFA) Dri
BAB I PENDAHULUAN. Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n M M M M M
BAB I PENDAHUUAN Sebuh sistem sebrng yng teriri ri m persmn liner engn n bilngn tk ikethui kn ituliskn sebgi : x + x +... + n x n = b x + x +... + n x n = b n x + n x +... + nn x n = b n imn x, x,...,
Oleh. Ir. Hastha Sunardi, MT
Oleh Ir. Hsth Sunrdi, MT VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor.. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn jjrn genjng,
Hands Out Mata Kuliah: Aljabar Matriks (2 SKS) Dosen: Dra. Hj Ade Rohayati, M. Pd.
Hnds Out Mt Kulih: Aljbr Mtriks ( SKS) Dosen: Dr. Hj Ade Rohyti, M. Pd. No. Indiktor Urin Mteri. menyebutkn definisi mtriks.. membut beberp contoh mtriks dengn menggunkn notsi yng tept.. menentukn ordo
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN. Anlisis Arus Cng Anlisis rus cng memnftkn hukum Kirchoff I (KCL) dn hukum Kirchoff I (KVL). Contoh - Tentukn esr rus dlm loop terseut dn gimn rh rusny? Ohm 0V 0V Ohm 0V
ALJABAR LINIER. Ruang Hasil Kali Dalam. Oleh : Kelompok VI / VB
ALJABAR LINIER Rung Hsil Kli Dlm Dosen Pengmpu : DARMADI, S.Si, M.Pd Oleh : Kelompok VI / VB 1. Agustin Syrswri ( 08411.060 ) 2. Chndr Andmri ( 08411.095 ) 3. Mei Citr D.A ( 08411.186 ) 4. Nur Alfin Lil